ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 5, стр. 834-846

ВЛИЯНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ЭЛЕКТРОННУЮ

СТРУКТУРУ ДВУХЗОННОЙ МОДЕЛИ ХАББАРДА

СО СПИНОВЫМ КРОССОВЕРОМ

Ю. С. Орловa,b*, С. В. Николаев^a,b, В. А. Дудников^a

^a Институт физики им. Л. В. Киренского ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский федеральный университет

660041, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 19 сентября 2019 г.,

после переработки 21 ноября 2019 г.

Принята к публикации 3 декабря 2019 г.

Рассматривается изменение электронной структуры двухзонной модели Хаббарда в режиме сильных

электронных корреляций со спиновым кроссовером при пересечении точки кроссовера в зависимости от

роста кристаллического поля. Обнаружен резкий переход полуметалл-диэлектрик-полуметалл при пере-

ходе через точку спинового кроссовера в отсутствие спин-орбитального взаимодействия, сопровождаю-

щийся скачкообразным перераспределением парциального спектрального веса между полюсами функции

Грина фермиевских квазичастиц. Обсуждаются роль спин-орбитального взаимодействия и изменение то-

пологии поверхности нулей одночастичной функции Грина.

DOI: 10.31857/S0044451020050090

вия. В рамках такой картины спиновый кроссовер

при нулевой температуре является квантовым

фазовым переходом по давлению с топологическим

1. ВВЕДЕНИЕ

параметром порядка, определяемым геометричес-

кой фазой Берри, скачком меняющейся на 2π в

Спиновый кроссовер — переход между низкоспи-

точке перехода [4], поэтому представляет интерес

новым (LS) и высокоспиновым (HS) состояниями

изменение электронной зонной структуры при

центрального иона переходного 3d-металла, наблю-

спиновом кроссовере. Целью настоящей работы

даемый в различных координационных соединениях

является исследование эволюции электронной зон-

под действием внешних физических факторов, та-

ной структуры при спиновом кроссовере в рамках

ких как температура, излучение, давление, магнит-

двухзонной модели Хаббарда, рассматриваемой

ное или электрическое поле, или химических фак-

для двумерной квадратной решетки. Принципи-

торов (сольватация, изомеризация, реакция обмена

альным при этом является учет многочастичных

лигандов и разрыва связи) [1-3].

эффектов — кулоновского взаимодействия электро-

Традиционно теоретическое описание спиновых

нов — поэтому в работе используются формализм

кроссоверов основано на одноионной картине, в

функций Грина и представление X-операторов

которой HS-состояние стабилизируется внутри-

Хаббарда.

атомным хундовским обменным взаимодействием,

а LS-состояние стабилизируется кристаллическим

полем, которое растет с увеличением внешнего дав-

2. МИНИМАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

ления. Поэтому типичное для изолированного иона

основное HS-состояние сменяется LS-состоянием,

Минимальной моделью сильнокоррелированных

когда энергия кристаллического поля сравнивается

систем со спиновым кроссовером является двухзон-

с величиной хундовского обменного взаимодейст-

ная модель Хаббарда, которая широко использует-

ся при теоретических исследованиях электронной,

^* E-mail: jso.krasn@mail.ru

магнитной, кристаллической структур и взаимосвя-

834

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Влияние кристаллического поля на электронную структуру. . .

E, эВ

зи различных систем в режиме сильных и слабых

электронных корреляций [5-10]. Гамильтониан мо-

дели может быть представлен в виде

H =H_t +H_Coulomb.

(1)

Первое слагаемое

∑

H_t = ε₁

a^†

i,1,σ

ai,1,σ + ε₂

a†i,2,σai,2,σ +

i,σ

∑

+t₁₁

a^†

aj,1,σ + t₂₂

a†i,2,σaj,2,σ +

i,1,σ

〈i,j〉,σ

∑

(

)

+t₁₂

a†i,2,σaj,1,σ + a^†

i,1,σ

aj,2,σ

〈i,j〉,σ

, эВ

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимость энергии термов от

включает перескок электронов между ближайшими

величины кристаллического поля Δ. Красной штриховой

соседними узлами кристаллической решетки с уров-

линией показано положение HS-состояния (S = 1), а зе-

нями энергии ε₁ и ε₂ = ε₁ +Δ, где Δ — энергия элек-

леной пунктирной — положение LS-состояния (S = 0).

тронов в кристаллическом поле, t_λλ′ — интегралы

Сплошные черные линии — возбужденные синглетные со-

перескока (λ, λ^′ = 1, 2). Второе слагаемое

стояния, ΔC — точка кроссовера. Расчеты выполнены для

∑

следующего набора параметров: U = 3 эВ, V

= 1 эВ,

H_Coulomb = U a^†iλ↑a^†iλ↓a_iλ↑a_iλ↓ +

J = 0.7 эВ, J^′ = 0.3 эВ

^i,λ∑

a^†iλ↑a^†iλ′_↓aiλ↑aiλ′↓ +

(рис. 1, красная штриховая линия), трехкратно вы-

i,λ=λ^′

∑

рожденное по проекции спина m_S = 0, ±1:

a^†iλσa^†iλ′_σaiλσaiλ′σ +

⎧

†

i,λ>λ^′,σ

⎪

a†2↑|0〉,

m_S = +1,

⎪

1↑

∑

⎨

(

)

a^†iλσa^†iλ′_σaiλ′σaiλσ+

|m_S 〉 =

√

a†1↑a†2↓|0〉 + a†1↓a†2↑|0〉 ,

m_S = 0,

i,λ>λ^′ ,σ

⎪

∑

⎪

⎩

+J^′

a^†iλ↑a^†iλ↓a_iλ′_↑a_iλ′_↓

a†1↓a†2↓|0〉,

m_S = -1,

a^†iλ↑a†iλ′↓^aiλ^′↑^aiλ↓

i,λ=λ^′

а при Δ > Δ_C основным является синглетное (S =

содержит энергию кулоновского взаимодействия

= 0) LS-состояние

электронов (электрон-электронное взаимодействие

√

рассматривается в приближении Канамори [11]).

|S〉 = C₁(Δ)a†1↑a†1↓|0〉 -

1 - C²¹(Δ)a†2↑a†2↓|0〉

Важной особенностью такой двухорбитальной

с энергией

модели наряду с ее относительной простотой явля-

√

ется возможность формирования в случае половин-

E_LS = 2ε₁ + (Δ + U) -

Δ² - J′2

ного заполнения (N_e = 2 — число электронов на

узел кристаллической решетки) и в нулевом прибли-

(рис. 1, зеленая пунктирная линия). В точке крос-

жении по межузельным перескокам различных ло-

совера

кализованных многоэлектронных (двухчастичных)

√

состояний (термов), которые характеризуются зна-

Δ=Δ_C=

(U - V + J)² - J′2

чениями спина S = 0, 1 (рис. 1) и кроссовера между

происходит пересечение уровней энергии этих состо-

ними.

яний. Оставшиеся два состояния — это возбужден-

Так, при N_e = 2 и t_λλ′ = 0 гамильтониан (1) име-

ные синглетные состояния

ет шесть собственных состояний. В области Δ < Δ_C

(

)

основным является триплетное (S = 1) HS-состоя-

|S₁〉 =

√

a†1↑a†2↓|0〉 - a†1↓a†2↑|0〉 ,

ние |m_S 〉 с энергией

√

E_HS = 2ε₁ + Δ + V - J

|S₂〉 =

1 - C²¹(Δ)a†1↑a†1↓|0〉+C₁(Δ)a†2↑a†2↓|0〉

835

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

с энергиями соответственно

уравнений движения для матричной функции

Грина

ES1 = 2ε₁ + Δ + V + J,

D_mn(k, ω) = 〈〈X^mk|X^†nk〉〉_ω,

√

ES2 = 2ε₁ + (Δ + U) +

Δ² - J′2,

связанной с одноэлектронной функцией Грина

где

∕√

G_λσ(k, ω) = 〈〈a_kλσ|a^†kλσ〉〉_ω

C₁ = J^′

J′2 - (2ε₁ + U - E_LS)²

— нормировочный коэффициент, зависящий от Δ

соотношением

(на рис. 1 эти состояния показаны сплошной черной

∑

G_λσ(k, ω) =

γ_λσ(m)γ^∗λσ(n)D_mn(k, ω).

линией).

m,n

Через фермиевскую одночастичную функцию

3. ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ

Грина выражается спектральная плотность одноча-

СТРУКТУРЫ С РОСТОМ

стичных возбуждений

КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Для нахождения электронного спектра гамиль-

A_λσ(k, ω) = -

Im G_λσ(k, ω + iδ) =

тониана (1) удобно использовать X-операторы Хаб-

∑

барда X^pq = |p〉〈q|, построенные для собственных

Im γ_λσ(m)γ^∗λσ(n)D_mn(k, ω+iδ), δ → +0

состояний гамильтониана (1) в отсутствие электрон-

m,n

ных перескоков (при t_λλ′ = 0) с различным числом

и плотность одночастичных состояний для данной

электронов N_e = 1, 2, 3 на один узел кристалличе-

проекции спина (N — нормировочный множитель)

ской решетки. Поскольку операторы Хаббарда об-

разуют линейно независимый базис, любой локаль-

1^∑

ный оператор может быть выражен через линейную

N_λσ(ω) =

A_λσ(k, ω).

комбинацию X-операторов, в том числе одноэлек-

тронный оператор уничтожения (рождения) на уз-

В приближении Хаббард-I для функции Грина

ле i с орбитальным индексом λ и проекцией спина

^D(k, ω) может быть записано уравнение

σ = ±1/2:

∑

^D(k, ω) =

D₀(ω) +

D₀(ω)t(k)^D(k, ω).

(3)

a_iλσ =

|p〉〈p|a_iλσ|q〉〈q| =

γ_λσ(pq)X^pqi.

(2)

p,q

Здесь

Или, поскольку число различных корневых векто-

Dmn0(ω) = δ_mnF_m/(ω - Ω_m),

ров (pq) конечно, можно их пронумеровать и каж-

где

дому вектору поставить в соответствие его номер m,

Ω_m ≡ Ω(pq) = E_p - E_q,

тогда

(

)

F_m ≡ F(pq) = 〈X^pp〉 + 〈X^qq〉 — фактор заполнения,

∑

названный в диаграммной технике для X-операто-

a_iλσ =

γ_λσ(m)X^mi

a^†iλσ =

γ^∗λσ(m)X^†m

ров концевым множителем [12]

∑

В представлении X-операторов Хаббарда га-

t_mn(k) =

γ^∗λσ(m)γ_λ′_σ(n)t_λλ′ (k),

мильтониан (1) имеет вид

σ,λ,λ^′

∑

H = E_pX^ppi +

t_mnX^†miX^nj.

где t_λλ′ (k) — фурье-образ интегралов перескока. Ре-

i,p

〈i,j〉 mn

шение (3) имеет стандартный для теории среднего

D-1

поля вид

D-1(k, ω) =

(ω) - t(k).

Здесь E_p — энергия многоэлектронных термов,

Дисперсионная зависимость фермиевских

∑

квазичастиц определяется уравнением на по-

t_mn =

t_λλ′ γ^∗λσ(m)γ_λ′_σ(n)

люса матричной функции Грина D_mn(k, ω)

σ,λ,λ^′

[

]

(

)-1

D-1

(ω) - t(k)

— перенормированный интеграл перескока.

Для получения дисперсионных соотношений

квазичастичных возбуждений мы используем метод

det||δ_mn(ω - Ω_m)/F_m - t_mn(k)|| = 0.

836

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Влияние кристаллического поля на электронную структуру. . .

Это уравнение близко по виду к дисперсионному

уравнению метода сильной связи в одноэлектрон-

E, эВ

ной зонной теории, но отличается от него двумя об-

1.2

стоятельствами: во-первых, индексы m и n нумеру-

ют не одноэлектронные орбитали, а одночастичные

1.0

возбуждения в многоэлектронной системе; во-вто-

рых, эффективный интеграл перескока определя-

0.8

ется произведением t_mn(k) и фактором заполнения

F_m, зависящим от чисел заполнения начального и

0.6

конечного состояний.

Заметим, что следствием точного представления

0.4

(2) и коммутационных соотношений для фермиевс-

0.2

ких операторов является следующее правило сумм:

∑

-2

〈[a_i,λ,σ , a^†i,λ,σ]₊〉 = 1 =

|γ_λσ(m)|²F (m).

E, эВ

Следствием этого правила сумм является сохране-

1.2

ние полного спектрального веса в каждой зоне λ для

1.0

любого волнового вектора k:

∑∫

0.8

A_λσ(k, ω)dω = 2.

0.6

В диаграммной технике для X-операторов для

0.4

функции Грина

^D(k, ω) может быть записано урав-

нение Дайсона [13]

0.2

[

]-1

^D(k, ω) =

Ĝ-1

(ω) -

P (k, ω)t(k) +

Σ(k, ω)

-2

×Pˆ(k, ω).

(4)

E, эВ

1.8

Здесь

Σ(k, ω) и

P (k, ω) — соответственно массовый

1.6

и силовой операторы,

1.4

G0mn(ω) = δ_mn

1.2

ω-Ω_m

1.0

В приближении Хаббард-I сохраняется структура

0.8

точной функции Грина (4), но массовый опера-

0.6

тор полагается равным нулю, а силовой оператор

0.4

P_mn(k, ω) → δ_mnF_m.

На рис. 2-7 представлено изменение электрон-

0.2

ного спектра и поверхностей Ферми в зависимости

-2

от роста кристаллического поля Δ. Все расчеты вы-

полнены при T = 0 для следующего набора пара-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Дисперсия фермиевских квазича-

метров: U = 3 эВ, V = 1 эВ, J = 0.7 эВ, J^′ = 0.3 эВ,

стичных возбуждений, рассчитанная в HS-фазе при Δ =

t11 = t22 = 1 эВ, t12 = t21 = 0.5 эВ. Так, при

= 1 эВ. Красной штриховой горизонтальной линией пока-

Δ = 1 эВ (рис. 2) рассчитанная зонная структу-

зано положение уровня Ферми внутри запрещенной зоны.

Цветом показано распределение парциального спектраль-

ра обладает непрямой диэлектрической щелью E_g,

ного веса квазичастичных возбуждений внутри первой зо-

а энергия Ферми лежит внутри запрещенной зоны.

ны Бриллюэна для λ = 1 (ε1) (а), λ = 2 (ε2) (б) и полного

Здесь и ниже цветом представлено распределение

спектрального веса (в)

парциального спектрального веса

∑

A_λ(k, ω) =

A_λσ(k, ω)

837

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

фермиевских квазичастичных возбуждений внутри

первой зоны Бриллюэна для λ = 1 (ε₁) (а), λ =

E, эВ

= 2 (ε₂) (б) и полного спектрального веса A(k,ω) =

∑

= λ,σ^Aλσ(k,ω)(в).ПосколькувHS-фазесисте-

1.2

ма рассматривается в парамагнитном состоянии, а

в LS-фазе, соответственно, в немагнитном, везде

1.0

A_λ↑(k, ω) = A_λ↓(k, ω). Красной штриховой горизон-

0.8

тальной линией показано положение уровня Ферми.

При Δ ≈ 1.64 эВ (рис. 3) диэлектрическая щель

0.6

исчезает, E_g = 0, и в точках G(0, 0), M(1, 1) пер-

вой зоны Бриллюэна происходит открытие поверх-

0.4

ности Ферми соответственно дырочного и элект-

0.2

ронного типов. С ростом кристаллического поля в

HS-фазе при Δ < Δ_C поверхность Ферми увеличи-

-2

вается и наблюдается типичное для полуметаллов

E, эВ

перекрытие валентной зоны и зоны проводимости.

На рис. 4 представлены результаты расчета элект-

1.2

ронной структуры непосредственно вблизи спиново-

го кроссовера в HS-фазе при Δ = Δ_C - δ, δ → 0

1.0

(численно δ бралось равным 5 · 10-4 эВ). Однако

0.8

строго в точке кроссовера при Δ = Δ_C в электрон-

ном спектре скачком открывается диэлектрическая

0.6

щель (рис. 5). Справа от точки кроссовера в LS-фа-

0.4

зе при Δ = Δ_C + δ, δ → 0 система резко перехо-

дит снова в полуметаллическое состояние (рис. 6),

0.2

причем с инверсной относительно исходной зонной

-2

структурой. Взаимная инверсия зон хорошо видна

из сравнения поверхностей Ферми до и после пере-

E, эВ

хода вблизи Δ_C (рис. 4г,д и рис. 6г,д). Здесь и ни-

1.8

же поверхность Ферми показана для первой четвер-

1.6

ти первой зоны Бриллюэна. Таким образом, в от-

1.4

сутствие спин-орбитального взаимодействия ξ = 0

1.2

между HS- и LS-состояниями с ростом кристалли-

1.0

ческого поля вблизи Δ_C имеет место резкий пере-

ход полуметалл-диэлектрик-полуметалл, характер-

0.8

ный для квантовых фазовых переходов, с инверсией

0.6

зон.

0.4

На рис. 7 для сравнения приведены результа-

0.2

ты расчета поверхностей Ферми в различных фазах

-2

HS-, LS-состояний вблизи перехода (соответственно

верхний и нижний ряды) с учетом распределения

Рис. 3. (В цвете онлайн) Дисперсия фермиевских квазича-

парциального и полного спектрального весов, а так-

стичных возбуждений, рассчитанная в HS-фазе при Δ =

же соответствующие расчеты поверхностей нулей

= 1.64 эВ. Диэлектрическая щель Eg = 0, в точках G(0, 0),

функции Грина G_λσ(k, ω) и полной функции Грина

M(1, 1) первой зоны Бриллюэна происходит открытие по-

∑

верхности Ферми соответственно дырочного и электрон-

G_σ(k, ω) =

G_λσ(k, ω)

ного типов. Цветом показано распределение парциального

спектрального веса квазичастичных возбуждений внутри

первой зоны Бриллюэна для λ = 1 (ε1) (а), λ = 2 (ε2) (б)

квазичастичных возбуждений, совпадающие для

и полного спектрального веса (в)

σ = ±1/2 (показаны черным цветом). Строго в точ-

ке кроссовера при Δ = Δ_C поверхность Ферми от-

сутствует. Кроме эволюции самих поверхностей при

изменении кристаллического поля Δ вблизи крос-

838

ЖЭТФ, том

157, вып. 5, 2020

Влияние кристаллического поля на электронную структуру. . .

k_y

E, эВ

1.0

1.4

0.30

1.2

0.8

0.25

1.0

0.20

0.6

0.8

0.15

0.6

0.4

0.10

0.4

0.2

0.05

0.2

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_y

k_x

E, эВ

1.0

1.4

0.30

1.2

0.8

0.25

1.0

0.20

0.6

0.8

0.15

0.6

0.4

0.10

0.4

0.2

0.05

0.2

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

k_y

E, эВ

1.8

1.0

0.7

1.6

0.6

0.8

1.4

0.5

1.2

0.6

0.4

1.0

0.8

0.3

0.4

0.6

0.2

0.4

0.2

0.1

0.2

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

Рис. 4. (В цвете онлайн) Электронная структура, рассчитанная в HS-фазе при Δ = ΔC - δ, δ → 0. Слева — дисперсия

фермиевских квазичастичных возбуждений. Справа — соответствующая поверхность Ферми. Цветом показано распре-

деление парциального спектрального веса квазичастичных возбуждений для λ = 1 (ε1) (а,г), λ = 2 (ε2) (б,д) и полного

спектрального веса (в,е)

совера хорошо видно, что соседство полюсов и ну-

логии поверхностей нулей функции Грина, что су-

лей функции Грина приводит к уменьшению спект-

щественно влияет на перераспределение парциаль-

рального веса первых. Предельный случай их нало-

ного спектрального веса на поверхности Ферми, но

жения соответствует их аннигиляции. Также видно,

при этом сами поверхности полюсов функции Гри-

что переход кристаллического поля через критиче-

на топологически не меняются. Таким образом, опи-

ское значение приводит к резкому изменению топо-

санный переход происходит с изменением тополо-

839

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

E, эВ

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-2

E, эВ

5.5

1.8

1.6

1.4

5.0

1.4

1.2

1.0

4.5

0.8

0.6

4.0

0.4

0.2

-2

3.5

Рис. 5. (В цвете онлайн) Электронная зонная структура, рассчитанная строго в точке кроссовера при Δ = ΔC , ξ = 0.

Цветом показано распределение парциального спектрального веса квазичастичных возбуждений внутри первой зоны

Бриллюэна для λ = 1 (ε1) (а), λ = 2 (ε2) (б) и полного спектрального веса (в,г). На рис. г отдельно представлен закон

дисперсии (в) в увеличенном масштабе вблизи уровня Ферми, отмеченного красной горизонтальной штриховой линией

гических свойств, что приводит к инверсии зонной

в отсутствие спин-орбитального взаимодействия

структуры и необходимости открытия диэлектриче-

= 0. Сплошная наклонная черная линия, сов-

ской щели в самой точке перехода.

павшая с красной штриховой, — крамерсовский

дублет. Таким образом, квантовый фазовый пере-

ход, обусловленный резким изменением основного

4. РОЛЬ СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО

состояния системы при наличии спин-орбитального

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

взаимодействия, переходит в плавный квантовый

кроссовер.

При наличии спин-орбитального взаимодействия

На рис. 9 представлены результаты расчета элек-

ξ происходит квантовомеханическое смешивание

тронной зонной структуры при Δ = Δ_C с учетом

HS- и LS-состояний и основное состояние системы

спин-орбитального взаимодействия ξ = 0.05 эВ. Зон-

становится их линейной комбинацией [14]. На рис. 8

ная структура имеет полуметаллический вид. Хо-

представлена зависимость энергии термов HS- и

рошо заметно расщепление валентной зоны и зо-

LS-состояний от величины кристаллического поля

ны проводимости, обусловленное спин-орбитальным

Δ вблизи Δ_C при наличии спин-орбитального

взаимодействием. Поскольку основное состояние си-

взаимодействия ξ = 0.05 эВ между ними (сплошные

стемы в этом случае является суперпозицией HS-

черные линии). Для сравнения красной штриховой

и LS-состояний, энергетический спектр вблизи Δ_C

и зеленой пунктирной линиями показано поло-

слева и справа качественно ничем не отличается от

жение термов соответственно HS- и LS-состояний

приведенного на рис. 9. Таким образом, система мо-

840

ЖЭТФ, том

157, вып. 5, 2020

Влияние кристаллического поля на электронную структуру. . .

k_y

E, эВ

2.0

1.0

0.9

1.8

0.8

1.6

0.8

0.7

1.4

0.6

1.2

0.6

0.5

1.0

0.4

0.8

0.4

0.3

0.6

0.4

0.2

0.1

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

E, эВ

k_y

2.0

0.9

1.8

1.0

0.8

1.6

0.8

0.7

1.4

0.6

1.2

0.6

0.5

1.0

0.4

0.8

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

0.1

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

E, эВ

k_y

k_x

2.0

1.0

2.0

1.8

1.6

0.8

1.5

1.4

1.2

0.6

1.0

0.8

0.4

0.6

0.5

0.4

0.2

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

Рис. 6. (В цвете онлайн) Электронная структура, рассчитанная в LS-фазе при Δ = ΔC + δ, δ → 0. Слева — дисперсия

деление парциального спектрального веса квазичастичных возбуждений для λ = 1 (ε1) (а,г), λ = 2 (ε2) (б,д) и полного

спектрального веса (в,е)

жет быть переведена непрерывным образом через

Несмотря на то, что при наличии спин-орбиталь-

точку кроссовера без резких особенностей, рассмот-

ного взаимодействия ξ электронная зонная струк-

ренных выше вблизи Δ_C при ξ = 0. Диэлектриче-

тура при пересечении точки кроссовера меняет-

ское основное состояние неустойчиво по отношению

ся непрерывным образом с ростом кристалличес-

к возмущению, вызванному спин-орбитальным вза-

кого поля, все же имеет место изменение топо-

имодействием.

логии поверхности нулей полной функции Гри-

на G_σ(k, ω). На рис. 10 для сравнения приведе-

841

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

k_y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

k_y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

Рис. 7. (В цвете онлайн) Поверхность Ферми и поверхность нулей функции Грина квазичастиц. Верхние рисунки — фаза

HS-состояния при Δ = ΔC - δ, δ = 5 · 10-6 эВ. Нижние рисунки — фаза LS-состояния при Δ = ΔC + δ. Цветом показано

распределение парциального спектрального веса квазичастичных возбуждений для λ = 1 (ε1), λ = 2 (ε2) и полного

спектрального веса. Соответствующие поверхности нулей функции Грина квазичастиц показаны черным цветом

ны результаты расчета поверхности Ферми и по-

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

верхности нулей полной функции Грина квази-

частиц в отсутствие (ξ

= 0 — левая колонка)

Спиновый кроссовер при нулевой темпера-

и при наличии (ξ

= 0.05 эВ — правая колон-

туре является квантовым фазовым переходом

ка) спин-орбитального взаимодействия. Цветом по-

по давлению (с ростом кристаллического поля)

казано распределение полного спектрального ве-

с топологическим параметром порядка, опреде-

са A(k, ω) квазичастичных возбуждений. Поверхно-

ляемым геометрической фазой Берри, скачком

сти нулей полной функции Грина G_σ(k, ω) квазича-

меняющейся на 2π в точке перехода [4]. Поэтому

стиц, совпадающие для σ = ±1/2, показаны чер-

представляет интерес изменение электронной зон-

ным цветом. Кроме расщепления, обусловленного

ной структуры при спиновом кроссовере. В рамках

спин-орбитальным взаимодействием, электронной и

двухзонной модели Хаббарда, рассматриваемой для

дырочной частей поверхности Ферми и поверхнос-

простой двумерной квадратной решетки, обнару-

ти нулей, хорошо видно изменение топологии фор-

жен переход полуметалл-диэлектрик-полуметалл

мы поверхности нулей вблизи Δ_C . Таким образом,

в коррелированной электронной системе со спино-

даже при наличии спин-орбитального взаимодей-

вым кроссовером с ростом кристаллического поля

ствия, приводящего к квантовомеханическому сме-

при переходе из фазы HS- в фазу LS-состояния.

шиванию HS- и LS-состояний, сохраняется тополо-

Резкое открытие диэлектрической щели в спектре

гическая особенность изменения формы поверхно-

электронных возбуждений в точке кроссовера

сти нулей полной функции Грина фермиевских ква-

обусловлено инверсией зонной структуры — скач-

зичастичных возбуждений.

кообразным перераспределением парциального

842

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Влияние кристаллического поля на электронную структуру. . .

E, эВ

основного магнитоупорядоченного HS-состояния

3.6

(антиферромагнитного или ферромагнитного) на

немагнитное LS-состояние, если zJ > ξ, где z — чис-

3.4

ло ближайших соседей, но уже при Δ > Δ_C [16-19].

Таким образом, несмотря на спин-орбитальное вза-

3.2

имодействие, будет иметь место резкая перестройка

электронного спектра в точке спинового кроссо-

3.0

вера с изменением топологии поверхности Ферми

и нулей функции Грина. Расчеты электронной

2.8

зонной структуры с учетом антиферромагнитного

2.6

порядка — предмет отдельного рассмотрения.

Поскольку полуметаллические HS- и LS-фазы

2.4

могут быть пространственно разделены, а их элект-

ронная зонная структура в отсутствие спин-орби-

2.2

тального взаимодействия не может быть преобра-

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

зована одна в другую непрерывно (без разрывов),

, эВ

в этом случае на границе раздела двух фаз можно

Рис. 8. (В цвете онлайн) Зависимость энергии термов

предположить формирование диэлектрического со-

HS- и LS-состояний от величины кристаллического поля

стояния аналогично формированию металлического

Δ вблизи ΔC при наличии спин-орбитального взаимодей-

состояния на границе раздела двух диэлектриков с

ствия ξ = 0.05 эВ между ними (сплошные черные линии).

топологически нетривиальной зонной структурой. В

Для сравнения красной штриховой и зеленой пунктирной

связи с этим в заключение нам бы хотелось на ос-

линиями показаны положения термов соответственно HS-

нове рассмотренного в настоящей работе модельно-

и LS-состояний в отсутствие спин-орбитального взаимо-

го примера коррелированной системы со спиновым

действия, ξ = 0

кроссовером обсудить в общем вопрос о возможном

существовании диэлектрического состояния на гра-

спектрального веса квазичастичных возбужде-

нице раздела между двумя какими-либо полуметал-

ний между электронным и дырочным участками

лическими средами со взаимно инвертированными

поверхности Ферми

— и изменением топологии

зонами в инверсном контакте. Для этого вспомним,

поверхности нулей функции Грина квазичастичных

что топологические электронные состояния были

возбуждений. Следует отметить, что одновремен-

предсказаны Волковым и Панкратовым [20] как по-

ный анализ поверхностей нулей и поверхностей

граничные состояния в инверсном контакте между

полюсов функции Грина на уровне Ферми позво-

полупроводниками со взаимно инвертированными

ляет точнее отследить топологические изменения

зонами (с противоположными знаками запрещенной

электронной структуры в точке спинового кроссо-

зоны). Это оказалось предвестником нового кванто-

вера и отражает сущность метода, основанного на

вого типа материи. Более того, полупроводниковые

анализе топологических инвариантов [15].

соединения с инверсией зон Pb1-xSn_xTe_x, которые

Приведены результаты расчета электронной

в работе [20] рассматривались в качестве модель-

структуры с учетом недиагональной компоненты

ной системы, на самом деле оказались топологичес-

спин-орбитального взаимодействия, приводящей

кими изоляторами [21]. Как стало ясно впослед-

к квантовомеханическому перемешиванию HS- и

ствии, вовсе нет необходимости синтезировать ин-

LS-состояний и плавному изменению основного со-

версный контакт, чтобы увидеть вейлевские состоя-

стояния системы с ростом кристаллического поля.

ния. Достаточен контакт с вакуумом, т. е. существо-

Показано, что даже при наличии спин-орбитального

вание поверхности. Поскольку «инвертированный»

взаимодействия имеет место топологическая осо-

полупроводник SnTe сам по себе является тополо-

бенность изменения формы поверхности нулей

гическим изолятором, на его поверхности всегда су-

полной функции Грина фермиевских квазичастич-

ществуют вейлевские состояния. Их топологическая

ных возбуждений. Все расчеты были выполнены

устойчивость гарантирована симметрией кристал-

для парамагнитного HS-состояния в отсутствие

ла [22]. Модель, рассмотренная в работе [20], ока-

магнитного упорядочения. При наличии же ко-

залась первым примером топологического изолято-

оперативного суперобменного взаимодействия

ра, а инверсный контакт — примером топологичес-

в системе снова наблюдается резкое изменение

ки нетривиальной границы [23]. Аналогично рабо-

843

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

k_y

E, эВ

1.0

0.9

0.5

0.8

0.7

0.4

0.6

0.3

0.5

0.4

0.2

0.3

0.2

0.1

-2

0.1

-4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

E, эВ

k_y

1.0

0.9

0.5

0.8

0.7

0.4

0.6

0.5

0.3

0.4

0.2

0.3

0.2

0.1

-2

0.1

-4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

k_y

E, эВ

1.5

1.0

0.9

0.8

0.7

1.0

0.6

0.5

0.4

0.5

0.3

0.2

-2

0.1

-4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k_x

Рис. 9. (В цвете онлайн) Электронная структура, рассчитанная строго при Δ = ΔC и наличии спин-орбитального вза-

имодействия ξ = 0.05 эВ. Слева — дисперсия фермиевских квазичастичных возбуждений. Справа — соответствующая

поверхность Ферми. Цветом показано распределение парциального спектрального веса квазичастичных возбуждений для

λ = 1 (ε1) (а,г), λ = 2 (ε2) (б,д) и полного спектрального веса (в,е)

те [20], мы предполагаем возможность существова-

ной в настоящей работе, в противоположность су-

ния диэлектрического поверхностного состояния в

ществованию металлического состояния на границе

гетероструктурах на основе полуметаллов со схожей

раздела двух диэлектриков с топологически нетри-

инверсией электронной зонной структуры, описан-

виальной зонной структурой.

844

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, В. А. Дудников

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Благодарности. Авторы выражают благодар-

10.

Л. В. Келдыш, Ю. В. Копаев, ФТТ 6, 2791 (1964).

ность С. Г. Овчинникову за обсуждение полученных

11.

Maurits Haverkort, Spin and Orbital Degrees of Free-

результатов и сделанные замечания.

dom in Transition Metal Oxides and Oxide Thin

Финансирование. Работа выполнена при фи-

Films Studied by Soft X-ray Absorption Spectrosco-

нансовой поддержке Фонда развития теорети-

py, PhD thesis, Universität zu Köln (2005).

ческой физики и математики

«БАЗИС»; Рос-

сийского фонда фундаментальных исследований

12.

Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 70, 1100 (1976).

(грант

№19-03-00017), Правительства Краснояр-

13.

S. G. Ovchinnikov and V. V. Val’kov, Hubbard Ope-

ского края, Красноярского краевого фонда науки

rators in the Theory of Strongly Correlated Electrons,

в рамках научного проекта «Новые термоэлект-

Imperial College Press, London-Singapore (2004).

рические материалы на основе многомасштабных

пространственно-неоднородных замещенных редко-

14.

J. S. Griffith, The Theory of Transition-Metal

земельных оксидов кобальта и фаз Раддлесде-

Ions, Cambridge University Press, Cambridge (1961).

на - Поппера» (грант № 18-42-243004).

15.

G. E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet,

Oxford University Press, Oxford (2003).

ЛИТЕРАТУРА

16.

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, А. И. Нестеров,

1. F. Renz, J. Phys.: Conf. Ser. 217, 012022 (2010).

С. Г. Овчинников, Письма в ЖЭТФ 105, 732

(2017).

2. Spin Crossover in Transition Metal Compounds I-III,

ed. by P. Gütlich and H. A. Goodwin, Springer, Ber-

17.

A. I. Nesterov, Yu. S. Orlov, S. V. Nikolaev, and

lin-Heidelberg (2004).

S. G. Ovchinnikov, Phys. Rev. B 96, 134103 (2017).

3. Spin-Crossover Materials: Properties and Applica-

18.

Ю. С. Орлов, С. В. Николаев, С. Г. Овчинников,

tions, ed. by M. A. Halcrow, John Wiley & Sons,

ЖЭТФ 156, 1165 (2019).

Ltd.: Oxford (2013).

19.

V. I. Kuz’min , Yu. S. Orlov, A. E. Zarubin, T. M. Ov-

4. A. I. Nesterov and S. G. Ovchinnikov, Письма в

chinnikova, and S. G. Ovchinnikov, Phys. Rev. B 100,

ЖЭТФ 90, 580 (2009).

144429 (2019).

5. К. И. Кугель, Д. И. Хомский, ЖЭТФ 64, 1429

(1973).

20.

Б. А. Волков, О. А. Панкратов, Письма в ЖЭТФ

42, 145 (1985).

6. К. И. Кугель, Д. И. Хомский, УФН 136, 621 (1982).

21.

Y. Tanaka, Zhi Ren, T. Sato, K. Nakayama, S. Sou-

7. С. В. Стрельцов, Д. И. Хомский, УФН 187, 1205

ma, T. Takahashio, K. Segawa, and Y. Ando, Nature

(2017).

Phys. 8, 800 (2012).

8. Jan Kuneš, J. Phys.: Condens. Matter 27, 333201

(2015).

22.

T. H. Hsieh, H. Lin, J. Liu, W. Duan, A. Bansil, and

L. Fu, Nature Comm. 3, 982 (2012).

9. Wojciech Brzezicki, Jacek Dziarmaga, and Andrzej

M. Oles, Phys. Rev. Lett. 109, 237201 (2012).

23.

О. А. Панкратов, УФН 188, 1226 (2018).

846