ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 5, стр. 877-888

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ТРУБЧАТОГО ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦИЛИНДРОМ

Ю. О. Аверковa,b*, Ю. В. Прокопенкоa,c**, В. М. Яковенкоa***

^a Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова Национальной академии наук Украины

61085, Харьков, Украина

^b Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина

61022, Харьков, Украина

^c Харьковский национальный университет радиоэлектроники

61166, Харьков, Украина

Поступила в редакцию 4 июля 2019 г.,

после переработки 3 ноября 2019 г.

Принята к публикации 8 ноября 2019 г.

Теоретически исследован эффект нелинейной стабилизации неустойчивости трубчатого электронного

пучка при его движении вдоль поверхности твердотельного диэлектрического цилиндра. Предполага-

лось, что пучок нерелятивистский, в радиальном направлении является бесконечно тонким и движется

вдоль поверхности цилиндра параллельно силовым линиям внешнего постоянного магнитного поля, пре-

пятствующего поперечным движениям электронов пучка. Методом медленно изменяющихся во времени

амплитуд и фаз исследован механизм нелинейной стабилизации азимутально-симметричных электромаг-

нитных волн E-типа с различными значениями радиальных модовых индексов. Физической причиной

возбуждения таких волн является резонанс Вавилова - Черенкова, а в основе механизма нелинейной ста-

билизации лежит эффект захвата частиц пучка полем возбуждаемой волны. Показано, что с увеличением

радиального модового индекса возбуждаемой волны время насыщения неустойчивости, максимальные

значения и «период» осцилляций амплитуд на нелинейной стадии насыщения неустойчивости умень-

шаются. Показано, что на нелинейной стадии неустойчивости возбуждаемые пучком волны имеют эл-

липтическую поляризацию. При этом в области вакуума направления вращения векторов электрических

полей E01- и E02-волн оказываются противоположными.

DOI: 10.31857/S0044451020050119

Однако использование традиционных подходов

к проектированию и построению соответствующих

электронно-вакуумных устройств испытывает зна-

1. ВВЕДЕНИЕ

чительные трудности, обусловленные малыми гео-

В последнее десятилетие большое внимание уде-

метрическими размерами основных элементов та-

ких устройств, генерирующих и стабилизирующих

ляется вопросам создания генераторов излучения

в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах

электромагнитное излучение. Одним из наиболее

перспективных решений данной проблемы являет-

длин волн. Это связано с активным применением та-

кого излучения в биологии [1], медицине [2], для пе-

ся использование сверхразмерных (по отношению к

редачи субмиллиметровых сигналов в земной атмо-

длине волны) электродинамических структур, рабо-

тающих в многомодовом режиме. В этой связи осо-

сфере [3], для осуществления широкополосной бес-

проводной связи [4], субмиллиметровой спектроско-

бое внимание уделяется цилиндрическим системам,

в которых осуществляется взаимодействие электро-

пии [5] и в других приложениях науки и техники.

нов трубчатого потока [6,7] или многоструйного по-

^* E-mail: yuriyaverkov@gmail.com

тока кругового сечения [8-12] с обдуваемым ими

^** E-mail: prokopen@ire.kharkov.ua

твердотельным цилиндром.

^*** E-mail: yavm@ire.kharkov.ua

877

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Следует отметить, что в работах [6-12] элек-

ных цилиндров делает возможным их применение

тронный пучок взаимодействовал со стержнем, из-

для создания генераторов электромагнитного излу-

готовленным из немагнитной диэлектрической сре-

чения в миллиметровом и субмиллиметровом диа-

ды. Возникавшая при этом неустойчивость имела

пазонах длин волн, обладающих «естественной» об-

конвективный характер. В то же время, в рабо-

ратной связью.

тах [13-15] в линейном приближении было показа-

Для возможности практической реализации эф-

но, что наличие частотной дисперсии диэлектриче-

фектов пучковой неустойчивости важно изучить по-

ской и магнитной проницаемостей среды, из которой

ведение исследуемой электродинамической систе-

изготовлен цилиндр, делает возможным возникно-

мы на нелинейной стадии неустойчивости. Теоре-

вение абсолютной неустойчивости. Именно, в рабо-

тические методы описания установления нелиней-

те [13] в электростатическом приближении рассмот-

ной стадии пучковой неустойчивости были разви-

рено взаимодействие нерелятивистского трубчато-

ты в работах по изучению взаимодействия пучков

го электронного пучка с твердотельным цилинд-

с плазменными средами. К числу первых таких ра-

ром, изготовленным из искусственной среды, ди-

бот можно отнести работы [17-31], в которых в каче-

электрическая проницаемость которой зависит от

стве основного эффекта, приводящего к стабилиза-

частоты и может становиться отрицательной в неко-

ции неустойчивости, рассматривался эффект захва-

торой области частот. Установлено, что именно в

та электронов пучка плазменной волной. В них рас-

этой области частот может возникать абсолютная

сматривались модулированные и немодулированные

неустойчивость собственных поверхностных мод ци-

релятивистские пучки, взаимодействующие с плаз-

линдра. В работе [14] с учетом эффекта запаздыва-

мой, которая предполагалась холодной и бесстолк-

ния рассмотрено взаимодействие нерелятивистско-

новительной или слабостолкновительной. Особо от-

го трубчатого электронного пучка с твердотельным

метим работы [27-30], в которых с помощью метода

цилиндром, изготовленным из искусственной сре-

медленно изменяющихся амплитуд и фаз была по-

ды, у которой частотной дисперсией обладают как

строена нелинейная теория неустойчивости размы-

диэлектрическая, так и магнитная проницаемость.

того и моноэнергетического электронных пучков в

Показано, что в области частот, где обе прони-

неограниченной (объемной) плазме как в отсутст-

цаемости становятся отрицательными, собственный

вие, так и при наличии столкновений.

спектр цилиндра допускает существование объемно-

В работах [32-37] построена нелинейная тео-

поверхностных волн E-типа с отрицательной груп-

рия неустойчивости прямолинейных релятивистс-

повой скоростью. Отметим, что в работе [14] под

ких электронных пучков в пространственно-огра-

объемно-поверхностными понимались такие волны,

ниченной плазме. В частности, в работах [32-34]

у которых зависимости амплитуд полей от радиаль-

рассмотрена общая теория различных механизмов

ной координаты имеют осциллирующий характер в

вынужденного излучения релятивистских электрон-

области цилиндра и монотонно убывающий в обла-

ных пучков: черенковского, циклотронного, ондуля-

сти вакуума (при удалении от цилиндра в направ-

торного в условиях эффекта Вавилова - Черенкова

лении внешней нормали к поверхности).

и аномального эффекта Доплера. В работе [36] рас-

Взаимодействие электронного пучка с такими

смотрен случай тонких в поперечном сечении пуч-

волнами делает возможным возникновение абсо-

ка и плазмы, полностью замагниченных и находя-

лютной неустойчивости. В работе [15] с учетом эф-

щихся в металлическом волноводе. При этом рас-

фекта запаздывания было рассмотрено взаимодей-

смотрен случай плотной плазмы, когда возбуждае-

ствие трубчатого электронного пучка с анизотроп-

мую пучком неустойчивую плазменную волну мож-

ным диспергирующим твердотельным цилиндром.

но считать потенциальной. Установлено, в частно-

Среда цилиндра предполагалась немагнитной, а

сти, что нелинейные процессы, обусловленные реля-

тензор диэлектрической проницаемости — анизот-

тивизмом пучка, препятствуют хаотизации системы

ропным, негиротропным. Спектр колебаний такого

на развитой нелинейной стадии неустойчивости. На-

цилиндра, как было показано в работе [16], допус-

против, в случае нерелятивистского пучка наблюда-

кает существование объемно-поверхностных волн

ется его значительная аномальная нелинейная хао-

E-типа с отрицательной групповой скоростью. При

тизация.

этом становится возможным возникновение абсо-

Следует отметить теоретическую работу [38],

лютной неустойчивости. Из работ [13-15] следует, в

в которой частично построена самосогласованная

частности, что использование рассмотренных в них

нелинейная теория возбуждения электромагнитного

искусственных сред для изготовления твердотель-

излучения в электродинамической системе, состоя-

878

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Численное исследование взаимодействия трубчатого пучка. ..

щей из металлического цилиндрического волновода

го поля, ограничивающего движение электронов по

с помещенным в него диэлектрическим цилиндром,

радиусу и азимуту, находим из условия ω_H ≫ ω_b,

вдоль которого распространяется азимутально-пе-

где ω_H = |e|H₀/m₀c — электронная циклотронная

√

риодический сильноточный релятивистский элект-

частота, ω_b =

4πe²n₀/m₀ — плазменная частота

ронный пучок. Численно определены частоты воз-

электронов пучка, e и m₀ — заряд и масса свобод-

буждаемых пучком азимутально-несимметричных

ного электрона; n₀ — равновесная объемная плот-

волн с большими значениями азимутальных модо-

ность электронов пучка; H₀ — величина внешнего

вых индексов, построены временная зависимость

магнитного поля. Для пучка с характерной плотно-

энергии возбуждаемых волн и фазовые портреты

стью n₀ ∝ 10¹⁰ см-3 получаем H₀ ≫ 336 Э (или

электронных сгустков пучка в различные моменты

H₀ ≫ 26.7 кА/м).

времени развития неустойчивости.

Система уравнений, описывающая взаимодей-

В настоящей работе теоретически изучен эффект

ствие электронного пучка с собственными волна-

нелинейной стабилизации неустойчивости бесконеч-

ми (колебаниями) диэлектрического цилиндра име-

но тонкого в радиальном направлении трубчатого

ет вид

электронного пучка при его движении вдоль поверх-

1 ∂D(r, t)

4π

rotH(r, t) =

j(r, t),

(1)

ности твердотельного диэлектрического цилиндра.

∂t

В отличие от работы [38], рассматриваемая нами

div D(r, t) = 4πen(r, t),

(2)

электродинамическая система является открытой,

1 ∂H(r, t)

а возбуждаемые пучком волны — азимутально-сим-

rotE(r, t) = -

(3)

∂t

метричными. Кроме того, в отличие от работы [38],

div H(r, t) = 0.

(4)

построены и проанализированы временные зависи-

мости медленно изменяющихся амплитуд и фаз ком-

Здесь H(r, t) и E(r, t) — напряженности магнит-

понент электрического и магнитного полей возбуж-

ного и электрического полей; D(r, t) = εE(r, t) —

даемых волн с различными значениями радиальных

вектор индукции электрического поля; j(r, t)

модовых индексов, а также рассмотрен вопрос о по-

= (0, 0, j_z(r, t)) и n(r, t) — объемная плотность тока

ляризации волн.

и плотность электронов пучка соответственно, удов-

летворяющие уравнению непрерывности

∂n(r, t)

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ

+ div j(r, t) = 0.

(5)

∂t

УРАВНЕНИЯ

Величины j_z(r, t), n(r, t) определяются выражения-

Пусть диэлектрический цилиндр радиусом ρ₀ за-

ми j_z (r, t) = j_z (z, t)δ(ρ-ρ₀) и n(r, t) = n(z, t)δ(ρ-ρ₀),

нимает область пространства 0 ≤ ρ ≤ ρ₀, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

где j_z (z, t) и n(z, t) — поверхностные плотности соот-

и |z| < ∞ (ось z направлена вдоль оси цилиндра).

ветствующих величин, δ(x) — дельта-функция Ди-

Цилиндр изготовлен из изотропного немагнитного

рака. Заметим, что в линейной теории поверхност-

материала, диэлектрическая проницаемость которо-

ная плотность тока пучка j_z(z, t) задается в линей-

го является действительной величиной и равна ε.

ном приближении, где малые возмущения скорости

Вдоль его поверхности движется пучок заряженных

электронов связаны с электрическим полем соответ-

частиц (электронов) с равновесной плотностью n₀ и

ствующим уравнением движения.

скоростью v₀ ≪ c (где c — скорость света в вакуу-

В дальнейшем ограничимся рассмотрением ази-

ме). Такая электродинамическая система легко ре-

мутально-симметричных электромагнитных волн

ализуема при расположении цилиндра в простран-

электрического типа (E-типа) с компонентами

стве дрейфа прямолинейно движущегося трубчато-

полей E_ρ(ρ, z, t), H_ϕ(ρ, z, t), E_z (ρ, z, t). В отсутствие

го пучка с радиусом ρ_b = ρ₀ + a/2. Толщину пучка a

пучка однородные волновые уравнения, описываю-

будем считать бесконечно малой, а среду за пучком

щие собственные поля в цилиндре, получаются из

(ρ > ρ₀) — вакуумом. Непосредственный контакт

соответствующей системы однородных уравнений

между пучком и поверхностью цилиндра отсутству-

Максвелла (1)-(4) и имеют вид

ет. Предполагается, что пространство дрейфа нахо-

(

)

]

^[1 ∂

∂

дится в сильном продольном (в направлении движе-

E_z(ρ, z, t)-

ρ ∂ρ

∂ρ

∂z²

ния пучка) внешнем постоянном магнитном поле,

препятствующем поперечным движениям электро-

∂²

(6)

нов пучка. Пороговое значение внешнего магнитно-

- c2 ∂t2Ez(ρ,z,t)=0,

879

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

(

)

∂²

где интегрирование проводится по толщине пуч-

E_ρ(ρ, z, t) =

E_z(ρ, z, t),

(7)

∂z²

c² ∂t²

∂z∂ρ

ка. В дальнейшем мы будем использовать лишь

граничные условия (11) и (12). Компоненты полей

(

)

H_ϕ(ρ, z, t) будем находить, используя уравнение (8).

∂²

H_ϕ(ρ, z, t) =

Нам понадобится уравнение, связывающее компо-

∂z²

c² ∂t²

(ρ, z, t) с поверхностной

ненты полей E_ρ(ρ, z, t) и E_z

∂

плотностью электронов пучка n(z, t) при ρ = ρ₀.

E_z(ρ, z, t).

(8)

c ∂t∂ρ

Для его получения запишем уравнение (7) для ρ =

= ρ₀, вычтем из него аналогичное ему уравнение

Соответствующие уравнения для вакуума получа-

для области вакуума и воспользуемся граничным

ются из уравнений (6)-(8), если положить ε = 1.

условием (12), предварительно продифференциро-

Решения уравнения (6) для областей цилиндра и ва-

ванным по времени. В результате получим

куума для объемно-поверхностной волны с частотой

ω и продольным волновым числом q_z имеют вид



∂²E_ρ(ρ, z, t)



E^cylz(ρ, z, t) = A_cylJ₀(κρ)exp[i(q_zz - ωt)],

(9)

∂z²

ρ=ρ0+0

ρ=ρ0-0



E^vacz(ρ, z, t) = A_vacK₀(qρ)exp[i(q_zz - ωt)],

(10)

∂²E_z(ρ, z, t)



∂z∂ρ

ρ=ρ0 +0

ρ=ρ0-0

где J₀(u) — функция Бесселя нулевого порядка пер-

4πe ∂²n(z, t)

вого рода, K₀(u) — модифицированная функция

(13)

c²

∂t²

Бесселя нулевого порядка второго рода (функция

Макдональда) [39]; A_cyl, A_vac — произвольные по-

Следуя работам [27-30], поверхностную плотность

стоянные. Выбор решений в виде (9) и (10) обуслов-

n(z, t) представим в виде

лен выполнением условий конечности величин по-

∑

лей при ρ → 0 и ρ → ∞. Величина κ² = εω²/c² - q2z

n(z, t) =

δ [z - z_p(z0p, v0p, t)] .

(14)

представляет собой квадрат поперечного волнового

q_zM

p=1

числа в области цилиндра, а q² = q2z - ω²/c² — квад-

рат волнового числа в вакууме, взятого с противопо-

Выражение (14) означает тот факт, что непрерыв-

ложным знаком. Из вида решений (9), (10) следует,

ный трубчатый поток электронов представляется

что поля объемно-поверхностных волн имеют осцил-

в виде набора макрочастиц (заряженных колец),

лирующий характер внутри цилиндра и убывающий

число которых равно M на длине 2π/q_z. Коор-

в направлении нормали к поверхности цилиндра —

дината z_p(z0p, v0p, t) описывает положение отдель-

в области вакуума.

ной p-й макрочастицы. Отметим, что координата

Напомним, что в отсутствие пучка граничные

z_p(z0p, v0p, t) и скорость v_zp(z0p, v0p, t) p-й макроча-

условия при ρ = ρ0 для компонент полей пред-

стицы являются решениями уравнений движения

ставляют собой условия непрерывности тангенци-

dz_p(z0p, v0p, t)

альных составляющих электрического и магнитно-

= v_zp(z0p, v0p, t),

го полей, а также условие непрерывности нормаль-

(15)

dv_zp(z0p, v0p, t)

ной (радиальной) составляющей вектора электриче-

Re{E_z(ρ₀, z_p, t)}

m₀

ской индукции. При наличии пучка и его движении

вдоль поверхности цилиндра (при ρ_b = ρ₀) гранич-

с начальными условиями z_p(z0p, v0p, 0)

= z0p и

ные условия при ρ = ρ₀ представляют собой условия

vzp (z0p, v0p, 0) = v0p. В дальнейшем анализ времен-

непрерывности компоненты поля E_z (ρ, z, t) и скачок

ной эволюции амплитуды и фазы волны, а также ко-

компоненты D_ρ(ρ, z, t), связанный с наличием воз-

ординат и скоростей макрочастиц будем проводить

мущенного заряда пучка:

в системе координат, связанной с пучком. Для этого



выполним замену



E_z(ρ, z, t)

= E_z(ρ,z,t)

(11)

ρ=ρ0+0

ρ=ρ0-0

z_p(z0p, v0p, t) = v₀t + z_p (z0p, v0p, t),



v_zp(z0p, v0p, t) = v₀ + v_zp (z0p, v0p, t),



E_ρ(ρ, z, t)

- εE_ρ(ρ, z, t)

ρ=ρ0 +0

ρ=ρ0-0

где z_p (z0p, v0p, t) и v_zp (z0p, v0p, t) — возмущения ко-

∫

4πe

ординаты и продольной скорости p-й макрочастицы.

lim

n(z, t)δ(ρ - ρ₀)ρ dρ,

(12)

ρ₀

Δρ→0

Тогда система уравнений (15) и соответствующие ей

ρ0-Δρ

начальные условия примут вид

880

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Численное исследование взаимодействия трубчатого пучка. ..

dzp (z0p, v0p, t)

∂²C_vac(ρ, t)

∂C_vac(ρ, t)

= vzp (z0p, v0p,t),

- 2iω

+ c²q²C_vac(ρ, t) =

(16)

∂t²

∂t

(

)

dv_zp (z0p, v0p, t)

∂A_vac(t)

Re{E_z(ρ₀, z_p, t)},

= cqK′0(qρ)

- iωA_vac(t)

(23)

m₀

∂t

и zp (z0p, v0p,0) = z0p и vzp (z0p, v0p,0) = v0p. В даль-

где штрих у специальных функций означает про-

нейшем будем полагать пучок моноскоростным в на-

изводную по аргументу. Подставив в (13) выраже-

чальный момент времени развития неустойчивости.

ния для полей (9), (10) и (18), (19), умножив затем

Поэтому в системе координат, связанной с пучком,

обе части равенства на exp[-i(q_zz -ωt)] и выполнив

начальные возмущения скорости макрочастиц пола-

усреднение по периоду 2π/ω, получим

гаем равными нулю, т. е. v0p = 0.

Уравнения (7), (8), аналогичные им уравнения

B_vac(ρ₀, t) - B_cyl(ρ₀, t) =

для области вакуума и уравнения (13), (16) совмест-

iq_z

но с граничным условием (11) представляют собой

4πe

× [qK′0(qρ₀)A_vac(t)-κJ′0(κρ₀)A_cyl(t)] -

(24)

Γ,

замкнутую систему самосогласованных нелинейных

c²q²

уравнений, описывающих временную эволюцию воз-

где

буждаемых пучком полей. Для ее решения будем по-

лагать, что величины A_cyl и A_vac зависят от времени

∫

∂²n(z, t)

и удовлетворяют следующим условиям:

Γ=

exp[-i(q_zz - ωt)] dt.

(25)

2π

∂t²



∂A_cyl,vac

−π/ω



ω.

(17)



^≪

A_cyl,vac

∂t

Подстановка (14) в (25) при выполнении резонанса

Вавилова - Черенкова ω = q_zv₀ дает

Остальные компоненты полей E_ρ(ρ, z, t), H_ϕ(ρ, z, t)

в области цилиндра и вакуума представим в виде

[

]

∑

Γ=-

exp -i

zp(z0p, v0p, t)

(26)

v₀

E^cyl,vacρ(ρ, z, t) = B_cyl,vac(ρ, t)exp[i(q_zz - ωt)],

(18)

p=1

H^cyl,vacϕ(ρ, z, t) = C_cyl,vac(ρ, t)exp[i(q_zz - ωt)],

(19)

Из выражений (9), (10) и граничного условия (11)

найдем следующую связь между амплитудами

где первый индекс «cyl» в обозначениях поля и его

A_cyl(t) и A_vac(t):

амплитуды соответствует области цилиндра, а вто-

рой «vac» — области вакуума; амплитуды B_cyl(ρ, t),

A_cyl(t)J₀(κρ₀) = A_vac(t)K₀(qρ₀).

(27)

C_cyl(ρ, t), B_vac(ρ, t), C_vac(ρ, t) удовлетворяют усло-

виям аналогичным (17). Подставив выражения (9),

Тогда, воспользовавшись выражением (27), из (24)

(10), (18) и (19) в уравнения (7), (8) и аналогичные

получим

им уравнения для области вакуума, получим следу-

iq_zρ₀

ющие уравнения:

A_cyl(t) =

[B_vac(ρ₀, t)-B_cyl(ρ₀, t)] -

Δ₀J₀(κρ₀)

∂²B_cyl(ρ, t)

∂B_cyl(ρ, t)

c²κ²

4πieρ₀

(28)

- 2iω

B_cyl(ρ, t) =

c²q_zΔ₀K₀(qρ₀)

∂t²

∂t

ic²q_zκ

J′0(κρ)A_cyl(t),

(20)

A_vac(t) = A_cyl(t)J₀(κρ₀)/K₀(qρ₀),

Δ₀ = qρ₀Y_K - κρ₀Y_J ,

∂²B_vac(ρ, t)

∂B_vac(ρ, t)

где Y_K = K′0(qρ₀)/K₀(qρ₀) и Y_J = J′0(κρ₀)/J₀(κρ₀).

- 2iω

+ c²q²B_vac(ρ, t) =

∂t²

∂t

Подставив (28) в уравнения (20)-(23), получим за-

= -ic²q_zqK′0(qρ)A_vac(t),

(21)

мкнутую систему уравнений, связывающую между

собой амплитуды B_cyl(ρ₀, t), B_vac(ρ₀, t), C_cyl(ρ₀, t),

C_vac(ρ₀, t) и поверхностную плотность пучка n(z, t).

∂²C_cyl(ρ, t)

∂C_cyl(ρ, t)

c²κ²

Представим рассмотренные выше комплексные

- 2iω

C_cyl(ρ, t) =

∂t²

∂t

(

)

амплитуды полей в следующем виде:

∂A_cyl(t)

= cκJ′0(κρ)

- iωA_cyl(t)

(22)

∂t

A_cyl,vac(t) = F_cyl,vac(t)exp[iα_cyl,vac(t)],

(29)

881

ЖЭТФ, вып. 5

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

(

)

B_cyl,vac(ρ₀, t) = G_cyl,vac(ρ₀, t)exp[iχ_cyl,vac(t)],

(30)

∂²χcyl(t)

∂χ_cyl(t)

ω-

∂t²

∂t

G_cyl(ρ₀, t)

∂G_cyl(ρ₀, t)

c²q2zκρ₀

G_vac(ρ₀, t)

Y_J

C_cyl,vac(ρ₀, t) = P_cyl,vac(ρ₀, t)exp[iψ_cyl,vac(t)],

(31)

∂t

εΔ₀

G_cyl(ρ₀, t)

A₀Y_JU_cyl(t)

где α_cyl(t), α_vac(t), χ_cyl(t), χ_vac(t), ψ_cyl(t), ψ_vac(t)

× sin(χ_vac(t) - χ_cyl(t)) +

(34)

εMG_cyl(ρ₀, t)

представляют собой медленно меняющиеся во вре-

мени фазы, удовлетворяющие условиям аналогич-

ным (17). Подставив в граничное условие (27) пред-

[(

)₂

∂²Gvac(ρ0, t)

∂χ_cyl(t)

ставление комплексных амплитуд (29), получим

= ω-

∂t²

∂t

]

F_cyl(t)J₀(κρ₀) = F_vac(t)K₀(qρ₀),

c²qΔ₂

c²q2zqρ₀

-ω²

G_vac(ρ₀, t)-

Y_KG_cyl(ρ₀, t)×

ρ₀Δ₀

Δ₀

α_cyl(t) = α_vac(t) + 2πk, ∀ k ∈ Z.

A₀Y_KS_vac(t)

× cos(χ_vac(t) - χ_cyl(t)) -

(35)

В дальнейшем примем F_vac(t) = F (t) и α_cyl(t) =

= α_vac(t) = α(t) (для k = 0).

(

)

Система уравнений (16) с учетом выражений

∂²χvac(t)

∂χ_vac(t)

ω-

(26), (28), (30), (31) перепишется в виде

∂t²

∂t

G_vac(ρ₀, t)

∂G_vac(ρ₀, t)

c²q2zqρ₀

G_cyl(ρ₀, t)

dz_p(z0p, v0p, t)

= v_zp(z0p, v0p, t),

∂t

Δ₀

Y_K G_vac(ρ₀, t)^×

dv_zp(z0p, v0p, t)

eq_zρ₀

A₀Y_KU_vac(t)

× sin(χ_vac(t) - χ_cyl(t)) +

(36)

MG_vac(ρ₀, t)

m₀Δ₀K₀(qρ₀)

[

(

)

где

× -G_cyl(ρ₀, t)sin

zp(z0p, v0p, t)+χcyl(t)

v₀

4πeκω³n₀aρ₀

A₀ =

(

)

(32)

Δ₀v₀q_z

+ G_vac(ρ₀,t)sin

zp(z0p, v0p, t)+χvac(t)

v₀

ω²

(

)

Δ₁ = qκρ²⁰Y_K - ερ²

Y_J,

4πev²⁰n₀a

⁰ c²

σ₁(t)cos

zp(z0p, v0p, t)

c²M

v₀

ω²

(

))]

Δ₂ = ρ²

Y_K + qκρ²⁰Y_J ,

⁰ c²

- σ₂(t)sin

zp(z0p, v0p, t)

v₀

(

)

∑

S_cyl,vac(t) =

cos

zp(z0p, v0p, t)+χcyl,vac(t)

где

v₀

p=1

(

)

∑

(

)

∑

σ₁(t) =

cos

zp(z0p, v0p, t)

v₀

U_cyl,vac(t) =

sin

zp(z0p, v0p, t)+χcyl,vac(t)

p=1

(

)

∑

Решив систему уравнений (33)-(36) и воспользо-

σ₂(t) =

sin

zp(z0p, v0p, t)

вавшись соотношением (28), можно найти времен-

v₀

p=1

ную зависимость амплитуды F (t) продольной ком-

поненты электрического поля на границе цилиндра.

Система уравнений (20)-(23) с учетом выражений

Уравнения (22) и (23) записываются в виде, ана-

(26), (28), (30), (31) перепишется в виде

логичном системе уравнений (33)-(36), чтобы опи-

сывать временную эволюцию амплитуд P_cyl(ρ₀, t),

[(

)₂

∂²Gcyl(ρ0, t)

∂χ_cyl(t)

P_vac(ρ₀, t) и фаз ψ_cyl(t), ψ_vac(t) магнитного поля

= ω-

∂t²

∂t

волн. Соответствующие уравнения мы приводить

]

не будем ввиду их громоздкости. В результате мы

c²κΔ₁

c²q2zκρ₀

-ω²

G_cyl(ρ₀, t)+

Y_J G_vac(ρ₀, t)×

имеем систему уравнений, из решения которой на-

ερ₀Δ₀

εΔ₀

ходим медленно изменяющиеся амплитуды полей

A₀Y_J S_cyl(t)

E^cylρ(ρ₀, z, t), E^vacρ(ρ₀, z, t), H^vacϕ(ρ₀, z, t), H^cylϕ(ρ₀, z, t)

× cos(χ_vac(t) - χ_cyl(t)) -

(33)

εM

и E^cylz(ρ₀, z, t) = E^vacz(ρ₀, z, t).

882

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Численное исследование взаимодействия трубчатого пучка. ..

Для численного решения указанной выше систе-

для нахождения инкремента возникающей неустой-

мы уравнений удобно ввести в рассмотрение без-

чивости γ, получим

размерные амплитуды полей. Для этого амплиту-

√

ды всех полей будем нормировать на некоторую ве-

γ =

(aω_Rω2b)1/3 ×

личину, имеющую смысл некоторого характерного

[

(

)]-1/3

максимального значения. Эту величину находим из

J²¹(κρ₀)

× ρ₀(ε - 1)

условия, что средняя за период волны энергия элек-

β²ε - 1 J²⁰(κρ₀)

тромагнитных волн, возбуждаемых пучком на нели-

√

нейной стадии неустойчивости, является величиной

где β = v₀/c, κ ≡ κ(q_z, ω_R) = ω_R

β²ε - 1/v₀, ω_R =

√

порядка кинетической энергии пучка в системе от-

= q_zv₀. Тогда для v_ph имеем v_ph = v₀ - γ/

3q_z, что

счета, связанной с волной. Это условие соответству-

соответствует медленной связанной волне. В резуль-

ет захвату частиц пучка полем возбуждаемой вол-

тате получаем следующее выражение для G^maxcyl:

ны. Оценим по порядку величины среднюю энергию



2γq√2πm0n0

YJ



электромагнитных волн в вакууме при условии, что



G^maxcyl =

√



^×

ρ = ρ₀, и в пренебрежении медленной зависимостью

3q_z

Y_K

[

амплитуд полей от времени:

(

)₂

(

)₂]-1/2

× 1+

(37)

cq_z

zYK

W^vac(ρ₀) =

Re {E^vac(ρ₀, z, t)E^∗vac(ρ₀, z, t) +

8π

Ниже будет приведен численный анализ временной

+ H^vac(ρ₀, z, t)H^∗vac(ρ₀, z, t)},

зависимости медленно изменяющихся амплитуд по-

лей электромагнитных волн, приведенных к безраз-

где «∗» обозначает комплексное сопряжение. Со-

мерному виду относительно величины (37), взятой

гласно сказанному выше имеем

для фиксированных значений v₀, q_z (при выполне-

W^vac(ρ₀) ∝ m₀n₀(v₀ - v_ph)²,

нии условия ω = q_zv₀) и радиального модового ин-

декса s, соответствующего количеству вариаций по-

где v_ph — фазовая скорость возбуждаемой пучком

ля вдоль радиальной координаты ρ.

волны. Воспользовавшись уравнениями Максвелла

(7), (8) при ε = 1 и определениями полей (9), (10),

(18), (19) и (29)-(31) для W^vac(ρ₀) получим

3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Численный анализ системы уравнений (32)-(36)

W^vac(ρ₀) =

⁽Y_K)² ×

8πq²

Y_J

и соответствующих уравнений для амплитуд

[

]

(

)

(

)₂

P_cyl(ρ₀, t), P_vac(ρ₀, t) и фаз ψ_cyl(t), ψ_vac(t) маг-

× 1+

(G^maxcyl)²,

нитного поля волны будем проводить, используя

cq_z

q_zY_K

следующие безразмерные величины: τ = ω₀t, ω =

где G^maxcyl — максимальное (по порядку величины)

= ω/ω₀, ω_b = ω_b/ω₀, γ = γ/ω₀, q_z = q_zρ₀, κ = κρ₀,

значение амплитуды G_cyl(ρ₀, t).

z_p = q_z z_p, v_p = q_z v_zp/ω,

Найдем выражение для фазовой скорости вол-



ны v_ph. Используя результаты работы [40], диспер-

E^v

(ρ₀, τ)=

E^c

(ρ₀, τ)=

сионное уравнение связанных волн пучка и диэлект-

F (ρ₀, τ)

рического цилиндра для рассматриваемого случая

K₀(qρ₀),

(38)

G^max

cyl

аксиально-симметричных волн можно представить



в виде

G_cyl(ρ₀, τ)



E^c

(ρ₀, τ)=

(

)

G^max

cyl

Y_K +

Y_J (ω - q_zv₀)² = -

ω2b.



(39)



G_vac(ρ₀, τ)

qρ₀

κρ₀

ρ₀

E^v

(ρ₀, τ)=

G^max

cyl

Заметим, что выражение в первых скобках в левой



P_cyl(ρ₀, τ)

части этого уравнения, приравненное к нулю, пред-

H^c

(ρ₀, τ)=

G^max

ставляет собой дисперсионное уравнение собствен-

cyl

(40)



ной аксиально-симметричной волны E-типа диэлек-



P_vac(ρ₀, τ)

H^v

(ρ₀, τ)=

трического цилиндра. Следуя методике работы [41]

G^max

cyl

883

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

cyl

vac

cyl

vac

cyl

|, |E

|, |H

|, |E

|, |H

100

200

300

400

100

200

Рис. 1. Зависимости медленно изменяющихся амплитуд

Рис. 2. Зависимости медленно изменяющихся амплитуд

электрического и магнитного полей волны E01 от безраз-

электрического и магнитного полей волны E02 от безраз-

мерного времени

cyl

vac

cyl

где ω0 = c/ρ0. В качестве материала диэлектри-

|, |E

|, |H

ческого цилиндра выберем поликор с ε = 9.6, ра-

диус цилиндра ρ₀

= 0.5 см. Значения равновес-

1.5

ной концентрации электронов пучка n₀, толщины

стенки пучка a и скорости направленного движе-

ния электронов пучка v₀ выберем следующими: n₀ =

1.0

= 10¹⁰ см-3, a = 10-3 см и v₀ = 0.48c. Для выбран-

ных параметров системы имеем ω₀ = 6 · 10¹⁰ с-1,

ω_b/ω₀ ≈ 0.1. Анализ временной зависимости безраз-

мерных амплитуд полей (38)-(40) проведем для трех

0.5

значений радиального модового индекса s = 1, 2, 3.

Резонансные значения q_z и ω, соответствующие точ-

кам пересечения дисперсионных кривых собствен-

ных азимутально-симметричных мод рассматрива-

емого цилиндра и зависимости ω

= q_zv₀, равны

(см. [40]) qz ≈ 3.3, ω ≈ 1.6, γ ≈ 1.2 · 10-2 (ω ≈

Рис. 3. Зависимости медленно изменяющихся амплитуд

≈ 9.56 · 10¹⁰ с-1, λ ≈ 0.95 см) для s = 1; q_z ≈ 6.15,

электрического и магнитного полей волны E03 от безраз-

мерного времени

ω ≈ 2.98, γ ≈ 1.5·10-2 (ω ≈ 1.79·10¹¹ с-1, λ ≈ 0.5 см)

для s = 2; q_z ≈ 8.97, ω ≈ 4.35, γ ≈ 1.7 · 10-2 (ω ≈

≈ 2.6 · 10¹¹ с-1, λ ≈ 0.35 см) для s = 3; где λ =

= 2π/q_z — длина волны. Величину G^maxcyl вычис-

риаций поля по азимутальному углу ϕ (n = 0 для

лим для значений q_z и ω, соответствующих s = 1:

азимутально-симметричной волны), а второй индекс

G^maxcyl ≈ 5.3 · 10-2 СГС (или G^maxcyl ≈ 1.6 · 10-3 В/см).

s — радиальный модовый индекс.



На рис. 1-3 приведены зависимости

(ρ₀, τ)

На рис.1-3 кривые 1 соответствуютзависимости

E^c

,



E^c

(ρ₀, τ), кривые 2 — зависимости

E^v

(ρ₀, τ),

E^v

(ρ₀, τ),

E^v

(ρ₀, τ),

H^v

(ρ₀, τ),

H^c

(ρ₀, τ)



vac



от безразмерного времени τ для волн со значением

кривые 3 — зависимости

E_z (ρ0, τ), кривые 4 —



радиального модового индекса s = 1 (волны E₀₁),



зависимости

H^v

(ρ₀, τ), кривые 5 — зависимо-

s = 2 (волны E₀₂) и s = 3 (волны E₀₃) соответствен-



но. Здесь мы используем обозначения для собствен-

сти

H^c

(ρ₀, τ). Решение рассматриваемой систе-

ных мод цилиндра E_ns, принятые в работе [42]. Пер-

мы уравнений для медленно изменяющихся во вре-

вый индекс n соответствует половине количества ва-

мени амплитуд и фаз полей было выполнено чис-

884

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Численное исследование взаимодействия трубчатого пучка. ..

ленно методом Рунге - Кутта. Пучок электронов мо-

мплитуд наыщения неустойчивости величин



делировался отдельными макрочастицами (в форме

E^v

(ρ₀, τ)и

E^c

(ρ₀, τ)

 для волны E01 приблизи-

колец), равномерно распределенными в начальный

тельно равно 8.7, для волны E₀₂ — приблизительно

момент времени в интервале 0 ≤ z_ρ ≤ 2π. Число

равно 7.6, а для волны E₀₃ — приблизительно равно

макрочастиц M было равно 8000. Отметим, что ис-

3.6. Применительно к граничному условию

(12)

пользовавшаяся программа вычислений позволяла

это означает, что «вклад пучка» в величину скач-

проводить интегрирование с переменным шагом пу-

ка радиальной компоненты электрического поля

тем задания относительной погрешности на каждом

волны растет с увеличением значения радиального

шаге. Начальные значения безразмерных амплитуд

одового идеса s. Ана из скачков зависимостей

полей (38)-(40) полагались равными 10-12, а их про-



H^v

(ρ₀, τ) и

H^c

(ρ₀, τ)

 для волн E01, E02 и E03

изводных по времени — произведению их начальных

приводит к аналогичному выводу.

значений на соответствующий каждому типу вол-

Из сравнения рис. 1, 2 с рис. 3 видно, что осцил-

ны безразмерный инкремент γ. Начальные значения

ляции медленных амплитуд на рис. 3 носят нерегу-

медленных фаз и их производных полагались рав-

лярный характер. Вероятной причиной этого явля-

ными нулю.

ется то, что «период» нелинейных осцилляций для

Из рис. 1-3 видно, что для волны E₀₁ время на-

s = 3 оказывается сравнимым с периодом возбуж-

сыщения неустойчивости τ₁ ≈ 217 (или t₁ = τ₁/ω₀ ≈

даемой волны: ω₀T₃ ≈ 2 и ω₀(2π/ω) ≈ 1.44, где час-

≈ 3.6 нс) приблизительно в 3.8 раза больше, чем для

тота ω соответствует волне E₀₃. Это означает нару-

волны E₀₂ (τ₂ ≈ 56 или t₂ = τ₂/ω₀ ≈ 0.94 нс), и при-

шение условия (17), являющегося фактически усло-

близительно в 12.5 раза больше, чем для волны E₀₃

вием «медленности» изменения амплитуд полей во

(τ₃ ≈ 17.3 или t₃ = τ₃/ω₀ ≈ 0.07 нс). К этому мо-

времени. Это может свидетельствовать о том, что

менту времени происходит захват частиц пучка по-

используемый в настоящей работе метод медленно

лем возбуждаемой волны и прекращается дальней-

изменяющихся амплитуд и фаз перестает быть при-

ший рост амплитуды поля, соответствующий линей-

менимым для волн со значениями радиального мо-

ной стадии развития неустойчивости. Анализ при-

дового индекса, превышающими некоторое «крити-

веденных на рис. 1-3 зависимостей показывает, что

ческое» значение. Для выбранных параметров ци-

амплитуды насыщения неустойчивости электриче-

линдра и пучка это значение равно s_cr = 2. Дей-

ского и магнитного полей для волны E₀₁ прибли-

ствительно, для s = 2 имеем ω₀T₂ ≈ 21, что в 7

зительно в 2.2 раза больше соответствующих зна-

раз превышает величину ω₀(2π/ω) ≈ 3, где часто-

чений для волны E₀₂ и приблизительно в 7.3 раза

та ω соответствует волне E₀₂, а для s = 1 имеем

больше, чем для волны E₀₃. При этом «период» ос-

ω₀T₁ ≈ 83, что почти в 52 раза превышает величину

цилляций этих амплитуд на нелинейной стадии на-

ω₀(2π/ω) ≈ 1.6, где частота ω соответствует волне

сыщения неустойчивости для волны E₀₁ приблизи-

E₀₁. Здесь величина ω₀(2π/ω) представляет собой

тельно в 3.8 раза больше, чем для волны E₀₂ и при-

безразмерный период «быстрых» осцилляций полей

близительно в 40 раз больше, чем для волны E₀₃.

возбуждаемой волны с резонансной частотой ω.

Так, для волны E₀₁ этот период приблизительно ра-

Рассмотрим вопрос о поляризации возбуж-

вен T₁ ≈ 1.38 нс, для волны E₀₂ — T₂ ≈ 0.36 нс,

даемых пучком волн. Для этого, используя

а для волны E₀₃ — T₃ ≈ 0.033 нс. Следователь-

подход, развитый в

[43], запишем уравнение

но, можно сделать вывод о том, что с ростом ра-

эллипса для безразмерных компонент полей Λ_z =

диального модового индекса s времена насыщения

= Re E_z(ρ₀, τ)/Φ(ρ₀, τ) и Λ_ρ = Re E_ρ(ρ₀, τ)/Φ(ρ₀, τ):

неустойчивости, соответствующие им значения мед-

ленных амплитуд и «периоды» осцилляций этих ам-

Λ2z + Λ2ρ - 2Λ_zΛ_ρ cos(α(τ) - χ(τ)) =

плитуд на нелинейной стадии насыщения неустой-

= sin² (α(τ) - χ(τ)) ,

(41)

чивости уменьшаются. Заметим, что с увеличением

где Φ(ρ₀, τ) = F (ρ₀, τ)K₀(qρ₀) для области вакуума

радиального модового индекса s время насыщения

(в силу граничного условия (11) эта же величина

неустойчивости и «период» нелинейных осцилляций

Φ(ρ₀, τ) соответствует и области цилиндра) и для

медленных амплитуд уменьшаются приблизительно

области цилиндра, компонента E_ρ(ρ₀, τ) и соответст-

в одинаковое число раз.

вующие ей амплитуда G(ρ₀, τ) и фаза χ(τ) могут от-

Из рис.

1-3

видно также, что наибольшей

носиться как к области цилиндра, так и к области

казываетс амплитуда осцилляций величины

вакуума. Кроме того, выпишем выражение для ко-



E^v

(ρ₀, τ) (кривые 2). Отношение максимальных

эффициента поляризации:

885

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

-10

200

400

600

-1

200

400

600

Рис. 4. Зависимости разности фаз η(τ ) компонент элект-

рического поля E^cylρ(ρ0, τ ) и E^zac(ρ0, τ ) волны E01 для

Рис. 5. Зависимости разности фаз η(τ ) компонент элект-

областей цилиндра (кривая 1) и вакуума (кривая 2) от без-

рического поля E^cylρ(ρ0, τ ) и E^zac(ρ0, τ ) волны E02 для

размерного времени

областей цилиндра (кривая 1) и вакуума (кривая 2) от без-

размерного времени

E_z(ρ₀, τ)

Φ(ρ₀, τ)

J (τ) =

exp{iπη(τ)},

метить, что на нелинейной стадии неустойчивости,

E_ρ(ρ₀, τ)

G(ρ₀, τ)

при τ > τ₁ ≈ 217, разность фаз η_vac(τ) с хорошей

где η(τ) = [α(τ) - χ(τ)]/π. Напомним, что в области

точностью (погрешность приблизительно равна

цилиндра χ(τ) = χ_cyl(τ) и мы рассматриваем вели-

0.1 %) совпадает со значением 3.5, оставаясь при

чину η_cyl(τ), в области вакуума χ(τ) = χ_vac(τ) и рас-

этом осциллирующей зависимостью времени. Это

сматриваем величину η_vac(τ). Заметим, что, как сле-

свидетельствует о том, что поляризация волны в

дует из (41), поляризация волны может изменяться

вакууме является эллиптической (|J (τ)| < 1), а оси

со временем. Кроме того, из рис. 1, 2 видно, что

эллипса практически совпадают с осями координат

Φ(ρ₀, τ)/G(ρ₀, τ) > 1 (т. е. |J (τ)| > 1) для области

ρ и z. Действительно, при η_vac(τ) = 3.5 уравнение

цилиндра и Φ(ρ₀, τ)/G(ρ₀, τ) < 1 (т. е. |J (τ)| < 1)

(41) переходит в уравнение эллипса. Обращает

для области вакуума.

на себя внимание также то, что на нелинейной

На рис. 4 представлены зависимости η_cyl(τ) (кри-

стадии неустойчивости (при τ > τ₁ ≈ 217) знаки

вая 1) и η_vac(τ) (кривая 2) для волны E₀₁. Из рис. 4

η_cyl(τ) и η_vac(τ) противоположны. Физически это

видно, что разность фаз η_cyl(τ) для электрического

означает, что в цилиндре и в вакууме в волне E₀₁

поля в цилиндре осциллирует со временем и изменя-

направления вращения вектора электрического

ется в пределах -1 < η_cyl(τ) ≤ 1.011. Это означает,

поля противоположны.

что поляризация электрического поля в цилиндре

На рис. 5 представлены зависимости η_cyl(τ) (кри-

изменяется со временем и может быть как линей-

вая 1) и η_vac(τ) (кривая 2) для волны E₀₂. Из рис. 5

ной при η_cyl(τ) = 0 и η_cyl(τ) = 1, так и эллиптиче-

видно, что качественное поведение этих зависимо-

ской при прочих значениях η_cyl(τ) (с учетом того,

стей аналогично приведенным выше зависимостям

что в цилиндре |J (τ)| > 1). Изменение знака η_cyl(τ)

для волны E₀₁. Сравнение зависимостей η_cyl(τ) и

означает изменение направления вращения вектора

η_vac(τ) на рис. 4, 5 приводит к выводу о том, что

электрического поля волны в плоскости (ρ, z). Так,

для волн с разными значениями радиального модо-

при η_cyl(τ) > 0 вектор электрического поля волны

вого индекса s на нелинейной стадии неустойчиво-

вращается против часовой стрелки, если смотреть с

сти направления вращения вектора электрического

конца единичного вектора, определяющего положи-

поля в области цилиндра совпадают (η_cyl(τ) < 0 для

тельное направление оси ϕ.

волн E₀₁ и E₀₂), а в области вакуума оказываются

Подобным образом ведет себя зависимость

противоположными (η_vac(τ) > 0 для волны E₀₁ и

η_vac(τ). В моменты времени, когда η_vac(τ) равна 0,

η_vac(τ) < 0 для E₀₂). Кроме того, в области ваку-

1, 2, 3, поляризация волны линейная, а в остальные

ума главные оси эллипса поляризации практически

моменты времени — эллиптическая. Интересно от-

совпадают с осями координат ρ и z.

886

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Численное исследование взаимодействия трубчатого пучка. ..

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодарности. Авторы выражают благодар-

ность В. И. Карасю за плодотворное обсуждение ре-

В настоящей работе решена задача о нелинейной

зультатов работы.

стабилизации неустойчивости трубчатого электрон-

ного пучка при его движении вдоль поверхности

твердотельного диэлектрического цилиндра. Пучок

ЛИТЕРАТУРА

полагался нерелятивистским, бесконечно тонким в

E. Pickwell, B. E. Cole, A. J. Fitzgerald et al., Appl.

радиальном направлении, движущимся вдоль сило-

Phys. Lett. 84, 2190 (2004).

вых линий бесконечно сильного постоянного маг-

нитного поля на малых (по сравнению с дли-

P. C. Ashwort, E. Pickwell-MacPherson, E. Proven-

zano et al., Opt. Express 17, 12444 (2009).

ной возбуждаемой волны) прицельных расстояни-

ях от поверхности цилиндра. Рассмотрено возбуж-

Y. Yang, A. Shutler, and D. Grischkowsky, Opt.

дение азимутально-симметричных объемно-поверх-

Express 19, 8830 (2011).

ностных электромагнитных волн E-типа при вы-

T. Nagatsuma, S. Horiguchi, Y. Minamikata et al.,

полнении условия резонанса Вавилова - Черенкова.

Opt. Express 21, 23736 (2013).

Расчет выполнен с использованием медленно меня-

ющихся во времени амплитуд и фаз электрическо-

M. C. Kemp, IEEE Trans. Terahertz Sci. Technol. 1,

282 (2011).

го и магнитного полей волны. Для этих величин

из уравнений Максвелла, материальных уравнений

A. S. Shlapakovski, S. N. Artemenko, V. A. Avgusti-

и граничных условий была получена соответствую-

novich et al., The 14^th Symposium on High Current

щая система дифференциальных уравнений, кото-

Electronics, Tomsk (2006), p. 359.

рая решалась методом Рунге - Кутта с переменным

В. А. Августинович, С. Н. Артеменко, А. И. Ма-

шагом. При этом пучок представлялся в виде на-

щенко и др., Письма в ЖТФ 36, 103 (2010).

бора макрочастиц — заряженных колец. Показано,

А. Я. Кириченко, Ю. Ф. Лонин, В. Г. Папкович и

что в результате нелинейных процессов происходит

др., Вопросы атомн. науки и техники, сер. Ядер-

уменьшение частоты возбуждаемых электромагнит-

но-физические исследования № 2 (66), 135 (2010).

ных волн. Анализ зависимостей медленно меняю-

щихся амплитуд полей от времени показал, что с

K. V. Galaydych, Yu. F. Lonin, A. G. Ponomarev et

увеличением радиального модового индекса s вре-

al., Probl. Atom. Sci. Technol., Ser.: Plasma Phys. 6,

123 (2010).

мя насыщения неустойчивости, максимальные зна-

чения и «период» осцилляций амплитуд на нелиней-

10.

А. В. Дормидонтов, А. Я. Кириченко, Ю. Ф. Ло-

ной стадии насыщения неустойчивости уменьшают-

нин и др., Письма в ЖТФ 38, 65 (2012).

ся. Установлено, что использованный в работе ме-

11.

K. V. Galaydych, Yu. F. Lonin, A. G. Ponomarev et

тод медленно изменяющихся амплитуд и фаз пе-

al., Probl. Atom. Sci. Technol., Ser.: Plasma Phys.

рестает быть применимым для волн со значения-

№ 6(82), 158 (2012).

ми радиального модового индекса, превышающими

некоторое «критическое» значение, для которого ха-

12.

К. В. Галайдыч, Ю. Ф. Лонин, А. Г. Пономарев и

др., ВАНТ, сер. Ядерно-физические исследования

рактерный «период» осцилляций амплитуд полей на

№ 3(79), 174 (2012).

нелинейной стадии неустойчивости становится соиз-

меримым с периодом «быстрых» осцилляций воз-

13.

Yu. O. Averkov, Yu. V. Prokopenko, and V. M. Yako-

буждаемой волны.

venko, Telecomm. Radio Engin. 75, 1467 (2016).

Анализ зависимостей разностей медленных фаз

14.

Yu. O. Averkov, Yu. V. Prokopenko, and V. M. Yako-

радиальной и аксиальной компонент электрическо-

venko, Phys. Rev. E 96, 013205 (2017).

го поля волн E₀₁ и E₀₂ от безразмерного времени

15.

Yu. O. Averkov, Yu. V. Prokopenko, and V. M. Yako-

τ показал, что на нелинейной стадии неустойчивос-

venko, Probl. Atom. Sci. Technol., Ser.: Plasma

ти поляризация волн — эллиптическая. Направле-

Electronics and New Methods of Acceleration

ния вращения векторов электрических полей E₀₁- и

№ 4(116), 3 (2018).

E₀₂-волн в области цилиндра совпадают, а в облас-

16.

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковен-

ти вакуума оказываются противоположными. Кро-

ко, ЖТФ 89, 9 (2019).

ме того, в области вакуума главные оси эллипса по-

ляризации с хорошей точностью совпадают с осями

17.

Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро, ЖЭТФ 47, 1389

координат ρ и z.

(1965).

887

Ю. О. Аверков, Ю. В. Прокопенко, В. М. Яковенко

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

18.

Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро, 4-я конф. по физи-

33.

М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, П. С. Стрел-

ке плазмы и проблемам управляемого термоядер-

ков, Плазменная релятивистская СВЧ-электро-

ного синтеза, Киев (1963), c. 92.

ника, Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва

(2002), с. 544.

19.

Р. К. Мазитов, Прикладная механика и техничес-

кая физика 1, 27 (1965).

34.

Ю. В. Бобылёв, М. В. Кузелев, Нелинейные яв-

ления при электромагнитных взаимодействиях

20.

T. O’Neil, Phys. Fluids 8, 2255 (1965).

электронных пучков с плазмой, Физматлит, Моск-

21.

Ya. B. Fainberg, Czechoslovak J. Phys. 18B, 652

ва (2009), с. 456.

(1968).

35.

А. В. Кукушкин, А. А. Рухадзе, Физика плазмы

22.

Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко,

43, 776 (2017).

ЖЭТФ 57, 966 (1970).

36.

Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Фи-

23.

В. И. Курилко, ЖЭТФ 57, 885 (1970).

зика плазмы 30, 419 (2004).

24.

W. E. Drummond, J. H. Malmberg, T. M. O’Neil et

37.

Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Фи-

al., Phys. Fluids 13, 2422 (1970).

зика плазмы 34, 122 (2008).

25.

Р. И. Ковтун, A. A. Рухадзе, ЖЭТФ 58, 1709

(1970).

38.

K. V. Galaydych, Yu. F. Lonin, A. G. Ponomarev et

al., Probl. Atom. Sci. Technol., Ser.: Plasma Phys.

26.

Б. Н. Брейзман, Д. Д. Рютов, ЖЭТФ 60, 408

№ 6(82), 158 (2012).

(1971).

39.

М. Абрамовица, И. Стиган, Справочник по специ-

27.

И. Н. Онищенко, А. Р. Линецкий , Н. Г. Мацибор-

альным функциям, Наука, Москва (1979), с. 832.

ко и др., Письма в ЖЭТФ 12, 407 (1970).

28.

I. N. Onishchenko, V. D. Shapiro, and V. I. Shev-

40.

Yu. O. Averkov, Yu. V. Prokopenko, and V. M. Yako-

chenko, Plasma Phys. 14, 591 (1972).

venko, Telecomm. Radio Engin. 76, 1595 (2017).

29.

А. А. Иванов, В. В. Параил, Т. К. Соболе-

41.

А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Р. В. Половин и др.,

ва, ЖЭТФ 63, 1678 (1973).

Электродинамика плазмы, Наука, Москва (1974),

с. 720.

30.

А. А. Иванов, Физика сильнонеравновесной плаз-

мы, Атомиздат, Москва (1977), с. 352.

42.

М. Е. Ильченко, В. Ф. Взятышев, Л. Г. Гаса-

нов и др., Диэлектрические резонаторы, под ред.

31.

Б. А. Альтеркоп, С. Е. Росинский, В. П. Тарака-

М. Е. Ильченко, Радио и связь, Москва (1989),

нов, Физика плазмы 5, 291 (1979).

с. 328.

32.

Энциклопедия низкотемпературной плазмы,

Вводный том, кн. 4, под ред. В. Е. Фортова,

43.

М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. В. Сухору-

Наука, Москва (2000), с. 516.

ков, Теория волн, Наука, Москва (1990), с. 432.

888