ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 5, стр. 936-943

СПЕКТРАЛЬНЫЕ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СВЕТА, ПРОХОДЯЩЕГО ЧЕРЕЗ ХОЛЕСТЕРИЧЕСКИЙ

ФОТОННЫЙ КРИСТАЛЛ

П. В. Долгановa,b*, К. Д. Бакланова^a,b, В. К. Долганов^a

^a Институт физики твердого тела Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^b Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 декабря 2019 г.,

после переработки 4 декабря 2019 г.

Принята к публикации 5 декабря 2019 г.

Проведены комплексные оптические исследования холестерического фотонного кристалла: измерены

спектры пропускания, вращения плоскости поляризации света, поляризационные характеристики про-

шедшего через фотонный кристалл света. В спектрах вращения плоскости поляризации наблюдаются

особенности, связанные с наличием квазизапрещенной фотонной зоны. Определена плотность фотонных

состояний, ее трансформация при изменении температуры и толщины фотонного кристалла. Эллип-

тичность (отношение меньшей к большей осей эллипса) прошедшего через образец света максимальна

вблизи середины запрещенной зоны и уменьшается с удалением от зоны. В середине квазизапрещен-

ной фотонной зоны эллиптичность увеличивается с увеличением толщины L фотонного кристалла и с

уменьшением температуры и в исследованных образцах близка к круговой при L > 5 мкм. Проведено

сопоставление полученных результатов с существующими теориями, с аналитическими выражениями,

следующими из уравнений Максвелла, и с результатами численных расчетов методом 4 × 4-матриц Бер-

ремана.

DOI: 10.31857/S0044451020050156

новенный показатели преломления перпендикуляр-

но локальному директору холестерического жидко-

го кристалла и вдоль него. Для направления вдоль

1. ВВЕДЕНИЕ

оси холестерической спирали запрещенная фотон-

Фотонные кристаллы [1-3] в последние годы ин-

ная зона образуется только для света одной (соб-

тенсивно изучаются экспериментально и теоретиче-

ственной) круговой поляризации, у которой направ-

ски в связи с их необычными оптическими свойст-

ление вращения поляризации совпадает с направле-

вами и возможностью широкого практического ис-

нием вращения холестерической спирали.

пользования. Периодическое изменение показателя

Спектральное положение центра брэгговской ди-

преломления приводит к возникновению фотонной

фракционной полосы (λ₀) определяется периодом p

запрещенной зоны и к селективному отражению све-

геликоидальной структуры и усредненным показа-

та в области запрещенной зоны. Жидкокристалли-

телем преломления в плоскости, перпендикулярной

√

ческие фотонные кристаллы [3-6] составляют уни-

геликоидальной оси, n =

(n2e + n2o)/2. Оптический

кальный класс фотонных кристаллов, трансформи-

период в холестерике равен половине шага спирали,

рующих как спектральные, так и поляризацион-

p/2, центр брэгговской дифракционной полосы при

ные характеристики света. Холестерический жид-

нормальном падении света находится при λ₀ = np.

кий кристалл представляет собой пример одномер-

Ширина фотонной запрещенной зоны, Δλ ≈ λ₀δ, за-

ного кирального фотонного кристалла. Величины

висит от оптической анизотропии

n_o и n_e характеризуют обыкновенный и необык-

n2e - n2o

δ=

^* E-mail: pauldol@issp.ac.ru

n2e + n²

936

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Спектральные и поляризационные характеристики света. ..

В образце конечной толщины запрещенная фотон-

с использованием совершенных холестерических

ная зона трансформируется в квазизапрещенную зо-

фотонных кристаллов экспериментально изучена

ну, характеристики которой существенным образом

спектральная зависимость поляризационных харак-

зависят от толщины фотонного кристалла, оптиче-

теристик света, проходящего через фотонно-крис-

ской анизотропии, температуры. Свет собственной

таллическую структуру (спектры пропускания,

круговой поляризации в области квазизапрещенной

ВППС, эллиптичность). Восстановлена плотность

фотонной зоны практически полностью отражает-

фотонных состояний. Прослежена трансформация

ся при сравнительно небольшой толщине фотонного

фотонных характеристик и плотности фотонных

кристалла, L > λ₀/δ.

состояний при изменении температуры и толщины

В жидкокристаллическом фотонном кристалле

фотонного кристалла. Проведено сопоставление

наряду с селективным отражением происходит ги-

экспериментальных данных с теорией.

гантское вращение плоскости поляризации света

(ВППС). Это вращение кардинально отличается по

величине, спектральной зависимости, поляризаци-

2. ЭКСПЕРИМЕНТ

онным характеристикам от ВППС в жидкостях с

киральными молекулами. Гигантская величина вра-

Жидкокристаллические фотонные кристаллы

щения связана с киральным упорядочением на мак-

приготавливались из смеси нематического жидкого

роскопических размерах порядка нескольких сотен

кристалла E7, 65.2 % вес. и кирального жидкого

нанометров и с тем, что свет только одной круговой

кристалла CB15, 34.8 % вес. (Synthon Chemicals).

поляризации (собственной) сильно взаимодействует

Смесь образует холестерический фотонный крис-

с фотонной структурой. ВППС охватывает широ-

талл при температуре ниже 31^◦C с фотонной зоной

кий спектральный интервал, в том числе вне за-

в области 650 нм. Холестерический жидкий крис-

прещенной зоны. Теория предсказывает нетриви-

талл находился в оптической ячейке с покрытием,

альную спектральную зависимость ВППС, наличие

обеспечивающим планарную ориентацию молекул

тонкой структуры в виде ступенек в спектре ВППС

на ее внутренних поверхностях. Ось холестеричес-

вне фотонной запрещенной зоны [7]. Более того, в

кой спирали перпендикулярна поверхности ячейки.

отличие от ВППС, связанного только с киральнос-

Измерения проведены на образцах толщиной от

тью молекул, при прохождении света через кираль-

8.5 мкм до 2 мкм. Толщина зазора ячейки, в кото-

ный фотонный кристалл происходит не только пово-

рую помещался холестерический жидкий кристалл,

рот плоскости поляризации света, но и трансформа-

измерялась интерференционным методом.

ция линейно поляризованного света в эллиптически

поляризованный. Направление длинной оси эллип-

Термостатирующее устройство Linkam LTS120

са характеризует угол поворота плоскости поляри-

использовалось для регулировки и поддержания

зации.

температуры. Качество образцов контролировалось

Перечисленные особенности ВППС в фотонном

наблюдением в поляризационный микроскоп и по

кристалле содержат важную информацию о фотон-

спектрам пропускания света собственной (правой)

ных характеристиках и плотности фотонных состо-

круговой поляризации. Спектры пропускания изме-

яний [8, 9]. Использование совершенных жидкокри-

рялись с использованием микроскопа Altami, обо-

сталлических фотонных кристаллов в последние го-

рудованного волоконным спектрометром AvaSpec

ды позволило обнаружить ступенчатый ход ВППС

(Avantes).

вне запрещенной зоны [8, 9], использовать фунда-

Спектры пропускания I/I₀ представляют собой

ментальные соотношения Крамерса - Кронига для

спектр прошедшего через фотонный кристалл света

интерпретации спектров [8], восстановить плотность

I, деленный на спектр падающего света I₀. Измеря-

фотонных состояний ρ(ω) жидкокристаллического

лись спектры света, распространяющегося перпен-

фотонного кристалла [9-11].

дикулярно плоскости ячейки вдоль оси спирали. По-

В последние годы в связи с общим интересом

ляризационные характеристики прошедшего через

к фотонным структурам и перспективами их ши-

фотонный кристалл света (ВППС, эллиптичность)

рокого практического использования достигнут

измерялись с того же участка образца размером око-

существенный прогресс в описании оптических

ло 100 мкм, что и спектры пропускания. Характери-

свойств жидкокристаллических фотонных кристал-

стики холестерического фотонного кристалла рас-

лов

[12-17], однако целый ряд вопросов остается

считывались с использованием аналитической тео-

не до конца выясненными. В настоящей работе

рии [18-20] и численного метода Берремана [21-23].

937

П. В. Долганов, К. Д. Бакланова, В. К. Долганов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

I/I₀

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И

ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

1.0

0.8

На рис. 1 сплошными линиями показаны экс-

периментальные спектры пропускания холестериче-

0.6

ского фотонного кристалла, I/I₀, для света соб-

ственной круговой поляризации при двух темпера-

0.4

турах. Приводимые в работе спектры пропускания

измерены с двумя круговыми поляризаторами, рас-

0.2

положенными до и после образца. При прохожде-

нии светом одного поляризатора, находящегося до

550

600

650

700

750

фотонного кристалла, для образца в термостатиро-

, нм

ванном устройстве в области селективного отраже-

I/I₀

ния при 23^◦C интенсивность I/I₀ регистрируемого

1.0

света была порядка 0.09 из-за многократного отра-

жения от поверхностей стекло - воздух, от жидкого

0.8

кристалла и прохождения части света несобствен-

ной круговой поляризации в спектрометр. Посколь-

0.6

ку жидкий кристалл отражает свет без изменения

знака круговой поляризации и при последующем от-

0.4

ражении от границы стекло - воздух происходит из-

0.2

менение знака круговой поляризации, часть света

несобственной круговой поляризации проходит че-

рез фотонный кристалл. Свет на выходе из холесте-

550

600

650

700

750

рика представляет собой суперпозицию собственной

, нм

и несобственной круговых поляризаций. Использо-

Рис. 1. (В цвете онлайн) Спектры пропускания холестери-

вание второго поляризатора для собственной круго-

ческого фотонного кристалла для света собственной кру-

вой поляризации практически полностью устраняет

говой поляризации (сплошная черная кривая) при темпе-

паразитные эффекты, связанные со светом несоб-

ратурах 23^◦C (a) и 28^◦C (б). Штриховая красная кри-

ственной круговой поляризации (интенсивность в

вая — результаты расчета спектров пропускания с исполь-

минимуме полосы менее 2·10-2 при 23^◦C, см. рис. 1).

зованием выражения (1). Теоретический спектр рассчитан

Спектры состоят из интенсивной дифракцион-

при значениях параметров p = 404.95 нм, δ = 0.0889,

ной полосы и узких боковых минимумов (маятнико-

n = 1.601 (a) и p = 402.33 нм, δ = 0.0693, n = 1.591

(б), L ≈ 4.8 мкм. Вертикальные линии показывают грани-

вых осцилляций), наличие которых говорит о высо-

цы фотонной запрещенной зоны

ком качестве образца [7,8,19,24,25]. В исследованиях

нами использовался холестерический жидкий кри-

развивалась в работах [7, 18-20]. Спектральная за-

сталл, у которого положение фотонной зоны прак-

висимость интенсивности проходящего через фотон-

тически не зависело от температуры. Небольшое

ный кристалл света при нормальном падении может

коротковолновое смещение дифракционной полосы

быть представлена в аналитическом виде [19]:

при увеличении температуры (см. рис. 1) связано с

уменьшением показателя преломления n при нагре-

τ²β²³

T (ω) ≡

(1)

ве (λ0 = np). Близость спектрального положения

I₀

τ²β²³ + κ⁴δ² sin² β₃L

дифракционных полос позволяет непосредственно

где

√

сопоставлять фотонные характеристики при раз-

)₂

( τ

√( τ

личных температурах. Полуширина дифракцион-

β₃ = κ

+δ²,

ной полосы определяется шириной фотонной запре-

2κ

щенной зоны, которая зависит от температуры (см.

κ = ωn/c, ω = 2πc/λ, τ = 4π/p, c — скорость света.

рис. 1). Форма дифракционной полосы существен-

Внутри фотонной зоны величина β₃ является мни-

но изменяется при изменении толщины фотонного

мой.

кристалла (рис. 2).

Спектры пропускания, рассчитанные с использо-

Теория, описывающая оптические характеристи-

ванием уравнения (1), приведены штриховыми кри-

ки жидкокристаллических фотонных кристаллов,

выми на рис. 1, 2. Подгоночными параметрами,

938

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Спектральные и поляризационные характеристики света. ..

I/I₀

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-20

550

600

650

700

750

, нм

-40

I/I

1.0

-60

550

600

650

700

750

0.8

, нм

0.6

Рис. 3. Спектры ВППС холестерического фотонного крис-

талла при температурах T = 23^◦C (темные символы) и

0.4

T = 28^◦C (светлые символы). Ступеньки в спектре ВППС

связаны с периодической структурой образца. L ≈ 4.8 мкм

0.2

550

600

650

700

750

спектральной зависимости пропускания, что и урав-

, нм

нение (1).

I/I₀

Как можно видеть, рассчитанные спектры хоро-

1.0

шо согласуются с экспериментальными спектрами.

0.8

Прямыми вертикальными линиями показаны корот-

ко- и длинноволновая границы запрещенной фотон-

√

0.6

ной зоны λ1,2 = λ₀

1 ± δ или λ₁ = n_op, λ₂ = n_ep. В

то же время длины волн света в среде на границах

0.4

зон, λm1 и λm2, в бесконечном образце одинаковы и

0.2

равны шагу спирали: λm1 = p, λm2 = p. Изменение по-

луширины дифракционной полосы (см. рис. 1) кор-

релирует с уменьшениями оптической анизотропии

550

600

650

700

750

, нм

δ и ширины фотонной зоны при нагреве. У трех фо-

тонных кристаллов на рис. 2 ширина фотонной за-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Спектры пропускания холестери-

прещенной зоны одинакова. Трансформация спек-

ческого фотонного кристалла для света собственной кру-

тров и существенное увеличение расстояния меж-

говой поляризации (сплошные черные кривые) для фо-

ду ближайшими к полосе маятниковыми колебани-

тонных кристаллов толщиной L ≈ 8.5 мкм (а), 4.8 мкм

ями (69 нм и 184 нм у фотонных кристаллов толщи-

(б), 2 мкм (в). Штриховые красные кривые — результа-

ной 8.5 мкм и 2 мкм) связаны с изменением толщи-

ты расчета спектров пропускания с использованием выра-

жения (1). Теоретические спектры рассчитаны при значе-

ны фотонного кристалла. Параметры, полученные

ниях параметров p = 402.45 нм (a), p = 402.33 нм (б),

при расчете спектров пропускания, будут в дальней-

p = 405.25 нм (в), δ = 0.0693, n = 1.591, T = 28◦C.

шем использованы при анализе ВППС, поляризаци-

Вертикальные линии показывают границы фотонной за-

онных характеристик, плотности фотонных состоя-

прещенной зоны

ний.

На рис.

приведены результаты измере-

ний спектров ВППС при различных температурах

определяющими вид спектра, служили шаг спирали

(рис. 3) и толщинах образцов (рис. 4). В толстых

p, оптическая анизотропия δ, показатель преломле-

образцах (L

≈ 8.5 мкм) и в образце толщиной

ния n. При расчете спектров учитывалась дисперсия

L ≈ 4.8 мкм при низкой температуре ВППС в

показателя преломления [26]. Расчет с использова-

спектральной области фотонной зоны измерить не

нием метода Берремана [21-23] приводит к такой же

удалось, поскольку поляризация проходящего света

939

П. В. Долганов, К. Д. Бакланова, В. К. Долганов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

min max

100

0.8

0.6

0.4

-50

0.2

–100

550

600

650

700

750

, нм

550

600

650

700

750

, нм

Рис. 4. Спектры ВППС холестерических фотонных крис-

таллов различной толщины (символы). Ступеньки в спект-

Рис. 5. Отношение минимальной и максимальной интен-

ре ВППС связаны с периодической структурой образца.

сивностей световой волны (точки) при ориентации поля-

T = 28^◦C. L ≈ 8.5 мкм (■), 4.8 мкм (◦), 2 мкм (♦)

ризатора вдоль короткой и длинной осей эллиптически по-

ляризованного света. Эллиптичность максимальна внут-

близка к круговой. ВППС в изотропной фазе прак-

ри фотонной зоны. Вдали от фотонной зоны отношение

тически не зависит от длины волны и на несколь-

Imin/Imax близко к нулю и осциллирует с изменением дли-

ко порядков меньше наблюдаемого нами вращения

ны волны. Эллипсы в верхней части рисунка с отноше-

[27]. Фазовый переход в холестерик и образование

ниями длинной и короткой осей эллиптически поляризо-

фотонной зоны приводят к возникновению гигант-

ванного света, определенными из эксперимента (точки на

ского ВППС, связанного с периодической киральной

рисунке), характеризуют состояния световой волны на вы-

структурой. Особенностью этого вращения являют-

ходе из фотонного кристалла при различных длинах волн,

когда на входе в образец свет поляризован вертикально.

ся резонансы вблизи границ фотонной зоны, сту-

Эллипсы соответствуют длинам волн 550, 614, 642, 666,

пеньки в спектре ВППС вне фотонной запрещенной

734 нм. L ≈ 4.8 мкм, T = 28^◦C. Вертикальные линии —

зоны, спектральные положения которых коррелиру-

границы фотонной запрещенной зоны

ют с маятниковыми колебаниями в спектре пропус-

кания. Оптическая активность вне фотонной зоны

практически не зависит от направления поляриза-

Анализ прошедшего света может быть проведен

ции падающего света. Коротковолновый сдвиг резо-

путем измерения отношения I_min/I_max минималь-

нансов и ступенек ВППС при нагреве (см. рис. 3),

как и в спектре пропускания (см. рис. 1), связан с

ной и максимальной интенсивностей света при ори-

ентации поляризатора вдоль короткой и длинной

температурной зависимостью показателя преломле-

ния. Уширение резонансов ВППС с уменьшением

осей эллиптически поляризованного света, прошед-

шего через фотонный кристалл. Ориентацию поля-

толщины фотонного кристалла (см. рис. 4) приво-

дит к нелинейной зависимости ВППС в максимумах

ризатора следует изменять с изменением длины вол-

ны света в соответствии с поворотом плоскости по-

резонансов от толщины фотонного кристалла.

ляризации.

Еще одной особенностью распространения све-

та в фотонном кристалле является нетривиаль-

На рис. 5 точками показаны результаты изме-

ная трансформация поляризационных характерис-

рений эллиптичности (I_min/I_max). Эллиптичность

тик прошедшего света. Напомним, что в макроско-

максимальна внутри фотонной зоны. Для толстых

пически изотропной киральной среде при ВППС ли-

образцов (L > 8 мкм) при низкой температуре по-

нейно поляризованный свет остается линейно по-

ляризация прошедшего через образец света близка

ляризованным. В киральном фотонном кристал-

к круговой, поскольку практически весь свет соб-

ле линейно поляризованный свет трансформирует-

ственной (дифрагирующей) круговой поляризации

ся в эллиптически поляризованный. ВППС в ки-

испытывает отражение. Для образцов малой тол-

ральном фотонном кристалле характеризуется по-

щины (рис. 5) прошедший свет внутри зоны эллип-

воротом длинной оси эллиптически поляризованно-

тически поляризован, в то время как вдали от фо-

го света.

тонной зоны свет остается практически линейно по-

940

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Спектральные и поляризационные характеристики света. ..

/₀

2.5

2.0

1.5

1.0

550

600

650

700

750

, нм

0.5

2.0

550

600

650

700

750

1.5

, нм

1.0

Рис. 6. Плотность фотонных состояний ρ/ρ0 холестериче-

ского фотонного кристалла при различных температурах,

0.5

определенная из спектров ВППС. T = 23^◦C (темные сим-

волы), T = 28^◦C (светлые символы). Кривые — спектры

плотности фотонных состояний, рассчитанные с исполь-

550

600

650

700

750

зованием параметров, определенных из спектров пропус-

, нм

кания. L ≈ 4.8 мкм

1.8

ляризованным с небольшими осцилляциями эллип-

1.2

тичности, аналогичными осцилляциям интенсивнос-

ти в спектре пропускания. Эллипсы в верхней ча-

сти рис. 5 с отношениями длинной и короткой осей,

0.8

определенными из эксперимента, характеризуют со-

стояния световой волны на выходе из фотонного

0.4

кристалла при различных длинах волн (на входе

в образец свет поляризован вертикально). В отли-

550

600

650

700

750

чие от вращения, экстремумы которого находятся

, нм

вне фотонной зоны вблизи ее границ, эллиптичность

Рис. 7. Плотность фотонных состояний ρ/ρ0 холестеричес-

максимальна внутри квазизапрещенной зоны.

ких фотонных кристаллов различной толщины, опреде-

Наблюдающиеся в эксперименте ступеньки в

ленная из спектров ВППС (символы). Кривые — спектры

спектральных зависимостях ВППС позволяют вос-

плотности фотонных состояний, рассчитанные с исполь-

становить как плотность фотонных состояний, т. е.

зованием параметров, определенных из спектров пропус-

число фотонных состояний (волновых векторов k)

кания. T = 28^◦C, L ≈ 8.5 мкм (а), 4.8 мкм (б), 2 мкм (в)

на единицу частоты (для света собственной круго-

вой поляризации), ρ(ω) = dk/dω, так и зависимости

Определение плотности фотонных состояний

ρ(ω) от температуры и толщины фотонного крис-

талла [8]:

представляет существенный интерес, поскольку

целый ряд оптических характеристик фотонных

2 dϕ

кристаллов определяется видом плотности состо-

ρ(ω) =

(2)

L dω

яний. На рис. 6, 7 символами показана плотность

состояний, определенная из измерений ВППС по

В таком представлении величина ρ(ω) состоит из

формуле (2) и нормированная на ρ₀. Плотность со-

двух частей: плотности состояний при отсутствии

стояний получена нами для различных температур

фотонной зоны, ρ₀ = n/c, и добавки, связанной с

(23 и 28^◦C) и толщин фотонного кристалла (8.5,

фотонной зоной [8].

4.8 и 2 мкм). В бесконечном кристалле плотность

941

П. В. Долганов, К. Д. Бакланова, В. К. Долганов

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

состояний расходится на границах зоны вследствие

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

пониженной размерности. В фотонном кристалле

Проведены комплексные оптические исследо-

конечной толщины плотность фотонных состояний

вания холестерического фотонного кристалла.

осциллирует, амплитуда осцилляций увеличива-

Приводятся результаты измерений спектров про-

ется вблизи границ фотонной запрещенной зоны.

пускания, ВППС, поляризационных характеристик

Максимумы плотности состояний вблизи границ

прошедшего света в совершенных образцах жид-

фотонной зоны соответствуют максимумам dϕ/dω

кокристаллического фотонного кристалла. Просле-

вблизи экстремумов спектров ВППС. Спектральное

жена трансформация оптических характеристик

положение минимумов плотности состояний вне

при изменении температуры и толщины фотонного

зоны близко к минимумам спектра пропускания.

кристалла. Анализ экспериментальных данных

В области аномальной дисперсии, dϕ/dω

< 0,

проведен с использованием аналитических выраже-

плотность состояний меньше ρ₀. Расстояние меж-

ний, следующих из решений уравнений Максвелла,

ду главными резонансами плотности состояний

численных расчетов методом 4 × 4-матриц Беррема-

уменьшается с увеличением температуры. Резонан-

на. Определена плотность фотонных состояний, ее

сы плотности состояний вблизи краев фотонной

зависимость от ширины фотонной зоны, толщины

зоны становятся уже, их амплитуда увеличивается

фотонного кристалла. Спектральная зависимость

с увеличением толщины образца и уменьшени-

эллиптичности I_min/I_max, (E_⊥/E_∥) прошедшего

ем температуры, плотность состояний внутри

через фотонный кристалл света коррелирует со

квазизапрещенной зоны уменьшается.

спектральной зависимостью спектра пропускания

Традиционный метод расчета плотности фотон-

и достигает максимума в области фотонной запре-

ных состояний состоит в использовании действи-

щенной зоны.

тельной и мнимой частей комплексного коэффици-

ента пропускания t(ω) = X + iY , который содержит

Финансирование. Работа выполнена в рамках

информацию о спектре пропускания T (ω) = |t(ω)|²,

госзадания ИФТТ РАН при частичной поддержке

фазе tg ϕ = Y/X и плотности фотонных состояний

РФФИ (грант № 17-02-00246).

[24, 28-31]

1 Y^′X - X^′Y

ρ(ω) =

(3)

L X² +Y²

ЛИТЕРАТУРА

Действительные и мнимые части t(ω) были получе-

1. K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals,

ны в аналитическом виде, что облегчает вычисление

Springer, Berlin (2001).

плотности состояний [19]:

τ²β²³ cosβ₃L

2. S. G. Johnson and J. Joannopoulos, Photonic Crys-

X =

(4)

tals: The Road from Theory to Practice, Kluwer, Bos-

τ²β²³ + κ⁴δ² sin² β₃L

ton (2002).

τβ₃(β²³ + τ²/4 - κ²)sinβ₃L

3. Е. И. Кац, ЖЭТФ 59, 1854 (1970).

Y =-

(5)

τ²β²³ + κ⁴δ² sin² β₃L

4. P. G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid

Кривые на рис. 6, 7 — результат расчета ρ/ρ₀ с ис-

Crystals, Clarendon Press, Oxford (1995).

пользованием уравнений (3)-(5) и параметров δ, τ,

5. S. Chandrasekhar, Liquid Crystals, Cambridge Univ.

n, полученных из спектров пропускания. Наблюда-

Press, Cambridge (1977).

ющиеся в эксперименте особенности плотности фо-

тонных состояний (экстремумы по обе стороны гра-

6. Л. М. Блинов, Электро- и магнитооптика жид-

ниц фотонной зоны, осцилляции плотности состоя-

ких кристаллов, Наука, Москва (1978).

ний вне зоны) согласуются с расчетом. Трансформа-

ция плотности фотонных состояний при изменении

7. V. A. Belyakov and V. E. Dmitrienko, Optics of Chi-

ral Liquid Crystals, Harwood Acad. Publ., London

температуры и толщины фотонного кристалла опи-

(1989).

сывается существующей теорией. Следует отметить,

что при расчете плотности состояний мы не исполь-

8. P. V. Dolganov, G. S. Ksyonz, V. E. Dmitrienko, and

зовали подгоночных параметров; фигурирующие в

V. K. Dolganov, Phys. Rev. E 87, 032506 (2013).

теории параметры были взяты из независимых из-

мерений.

9. P. V. Dolganov, Phys. Rev. E 91, 042509-1-5 (2015).

942

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Спектральные и поляризационные характеристики света. ..

10. П. В. Долганов, В. К. Долганов, Письма в ЖЭТФ

20. R. Barbet-Massin and P. Pieranski, J. de Phys. 46,

108, 170 (2018).

C3-61-C3-79 (1985).

11. P. V. Dolganov, K. D. Baklanova, and V. K. Dol-

21. D. W. Berreman, J. Opt. Soc. Amer. 62, 502 (1972).

ganov, Liq. Cryst. (2019), DOI:10.1080/02678292.

22. H. Wohler, G. Haas, M. Fritsch, and D. A. Mlynski,

2019.1641636.

J. Opt. Soc. Amer. A 5, 1554 (1988).

12. P. Palffy-Muhoray, W. Cao, M. Moreira, B. Taheri,

23. С. П. Палто, ЖЭТФ 119, 638 (2001).

and A. Munoz, Phil. Trans. Roy. Soc. London A 364,

2747 (2006).

24. J. Schmidke and W. Stille, Eur. Phys. J. B 31, 179

(2003).

13. N. A. Christou, N. C. Papanicolaou, and A. C. Poly-

carpou, Phys. Rev. E 85, 031702 (2012).

25. P. V. Dolganov, S. O. Gordeev, V. K. Dolganov, and

A. Yu. Bobrovsky, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 633, 14

14. J. Xiang, A. Varanytsia, F. Minkowski, D. A. Pater-

(2016).

son, J. M. D. Storey, C. T. Imrie, O. D. Lavrentovich,

and P. Palffy-Muhoray, PNAS 113, 12925 (2016).

26. J. Li, G. Baird, Y. H. Lin, H. Ren, and S.-T. Wu,

JSID 13/12, 1017 (2005).

15. M. S. Rafayelyan, H. Gharagulyan, T. M. Saru-

khanyan, A. H. Gevorgyan, R. S. Hakobyan, and

27. В. К. Долганов, С. П. Крылова, В. М. Филев,

R. B. Alaverdyan, Liq. Cryst. 46, 1079 (2019).

ЖЭТФ 78, 2343 (1980).

16. Н. М. Штыков, С. П. Палто, Б. А. Уманский,

28. J. M. Bendickson, J. P. Dowling, and M. Scalora,

Д. О. Рыбаков, И. В. Симдянкин, КЭ 49, 754

Phys. Rev. E 53, 4107 (1996).

(2019).

29. L. M. Blinov, Письма в ЖЭТФ 90, 184 (2009).

17. C. L. Folcia, J. Ortega, and J. Etxebarria, Liq. Cryst.

(2020), DOI:10.1080/02678292.2019.1693645.

30. Th. K. Mavrogordatos, S. M. Morris, F. Castles,

P. J. W. Hands, A. D. Ford, H. J. Coles, and

18. R. Dreher, G. Meier, and A. Saupe, Mol. Cryst. Liq.

T. D. Wilkinson, Phys. Rev. E 86, 011705 (2012).

Cryst. 13, 17 (1971).

31. Th. K. Mavrogordatos, S. M. Morris, S. M. Wood,

19. В. А. Беляков, В. Е. Дмитриенко, В. П. Орлов,

H. J. Coles, and T. D. Wilkinson, Phys. Rev. E 87,

УФН 127, 221 (1979).

062504 (2013).

943