ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 6, стр. 991-1001

ГЕНЕРАЦИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В УСЛОВИЯХ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ ЧАСТИЦ

С ПОСТОЯННЫМ ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ

А. М. Башаровa,b*, А. И. Трубилко^c

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 15 декабря 2019 г.,

после переработки 12 января 2020 г.

Принята к публикации 15 января 2020 г.

Локализованный ансамбль одинаковых частиц с постоянным дипольным моментом при сверхизлучении

генерирует когерентный импульс низкочастотного излучения, форма которого существенно зависит от

числа частиц ансамбля. В частности, имеет место переход формы импульса низкочастотного излучения

от одногорбой к двугорбой в узком диапазоне изменения параметров ансамбля.

DOI: 10.31857/S0044451020060024

вании фемтосекундных оптических импульсов (см.

обзоры [1,2]). В дальнейшем будем говорить о низ-

кочастотном излучении, поскольку в зависимости от

1. ВВЕДЕНИЕ

контекста, для нашего рассмотрения важно соотно-

Электромагнитные процессы в средах с постоян-

шение частот задействованных квантовых перехо-

ным дипольным моментом (ПДМ), например, в ан-

дов и возникновение поляризации на частотах, мно-

самблях квантовых точек, привлекают внимание

го меньших частот задействованных квантовых пе-

как с точки зрения практических приложений (ге-

реходов, так что возможен и выход за рамки очер-

нерация низкочастотного терагерцевого излучения),

ченного диапазона терагерцевого излучения.

так и с общетеоретической точки зрения.

Большинство теоретических работ по генерации

К диапазону терагерцевого излучения приня-

и взаимодействию низкочастотного излучения со-

то относить электромагнитные частоты от 0.1 до

средоточено на численном моделировании процес-

ТГц (длины волн порядка 1-0.01 мм). Тера-

сов. К исключениям относятся работы, в которых

герцевое излучение эффективно взаимодействует с

рассмотрены различные вопросы интегрируемости

колебательными, вращательными, туннельными и

уравнений, см., например, [2-11], процессы в опти-

т. п. квантовыми переходами, что перспективно в

чески тонких средах [12,13] и микрорезонаторах, на-

задачах спектроскопии. Однако существует труд-

пример, [14].

ность получения терагерцевого излучения при ла-

В данной статье предложена простая и аналити-

зерной генерации когерентного излучения — здесь

существенно влияние тепловых эффектов, посколь-

чески разрешаемая модель генерации низкочастот-

ку кванту с частотой 1 ТГц соответствует темпера-

ного излучения ансамблем сверхизлучающих час-

тура около 50 К. Поэтому весьма популярны методы

тиц с ПДМ. Получены выражения для интенсивно-

генерации терагерцевого излучения, основанные на

сти низкочастотного излучения, которое имеет ме-

методе оптического выпрямления и/или использо-

сто в особом режиме сверхизлучения, названном на-

ми невинеровским режимом [15, 16]. Этот режим

^* E-mail: basharov@gmail.com

отличается от стандартного режима сверхизлуче-

991

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

ния [17] локализованного ансамбля возбужденных

ческой теории возмущений — динамика населенно-

частиц наличием эффекта подавления сверхизлуче-

стей энергетических уровней в этом подходе харак-

ния штарковским взаимодействием частиц ансам-

теризуется медленными изменениями во времени по

бля. В силу особенностей генерации низкочастотно-

сравнению с периодом быстрых колебаний величин,

го излучения процессы подавления сверхизлучения

определяемых оптическими квантовыми перехода-

позволяют определенным образом управлять фор-

ми. Тогда, в силу наличия у частиц ПДМ, возникает

мой импульсов низкочастотного излучения. Полу-

обычная дипольная генерация низкочастотного из-

ченные общие формулы проиллюстрированы чис-

лучения [13].

ленно рассчитанными графиками профиля интен-

Вторая группа отличий связана с невинеровской

сивности низкочастотного сигнала, результаты ана-

динамикой собственно N-уровневой системы, опре-

лиза которых свидетельствуют о возможности свое-

деляемой штарковским взаимодействием частиц си-

образного инжениринга импульсов низкочастотно-

стемы. В силу недостаточной изученности этой осо-

го излучения. Например, незначительно меняя па-

бенности в протяженных ансамблях мы ограничи-

раметры сверхизлучающего ансамбля, можно полу-

ваемся простейшим случаем спонтанного излуче-

чать низкочастотное излучение одногорбой или дву-

ния частиц локализованного ансамбля с участием

горбой формы.

двух уровней частицы — основного и возбужден-

В связи с важной ролью процессов штарковско-

ного. Оказывается, что слабый процесс штарков-

го взаимодействия частиц в рассмотренной в ста-

ского взаимодействия с вакуумным полем, остав-

тье картине формирования импульса низкочастот-

ляющий частицы в прежнем энергетическом состо-

ного излучения заметим, что в работах [1-14] и дру-

янии, меняет временную динамику коллективного

гих рассматривается динамика квантовых систем,

спонтанного перехода. При этом ансамбль двухуров-

состоящих из изолированных квантовых частиц с

невых частиц локализован в области с размерами

ПДМ, в которых и штарковским взаимодействием,

много меньшими характерной длины волны свер-

и диполь-дипольным взаимодействием пренебрега-

хизлучения. Поэтому здесь диполь-дипольное взаи-

ется либо в силу разреженности системы, либо по

модействие не проявляется в кинетических уравне-

иным соображениям. Такие предположения делают-

ниях для населенностей рассматриваемых энергети-

ся, в частности, чтобы не рассматривать возмож-

ческих уровней. Однако макроскопический диполь-

ные фазовые переходы, связанные со спонтанным

ный момент системы меняется за время коллектив-

появлением макроскопической поляризации. Мож-

ного спонтанного излучения, приводя к генерации

но, однако, сразу предположить определенную ори-

излучения на низкой (по сравнению с частотой пере-

ентацию ПДМ и тогда задаться вопросом об уче-

хода в квантовой частице) частоте. При этом число

те штарковского взаимодействия частиц ансамбля и

частиц ансамбля является дополнительным факто-

его роли, которая возрастает с ростом числа частиц

ром управления низкочастотным излучением. Пока-

и приводит к эффекту подавления коллективного

зано, что число атомов не только влияет на время

спонтанного излучения (сверхизлучения). При этом

излучения как в обычном сверхизлучении, но и су-

собственно фазовые переходы можно не рассматри-

щественно меняет форму низкочастотного излуче-

вать, предполагая формирование излучения ансамб-

ния (в отличие от обычного сверхизлучения).

лем в определенном его состоянии с точки зрения

ориентации ПДМ. Тогда динамика систем с ПДМ

сводится к обычным N-уровневым оптическим мо-

2. МОДЕЛЬ И ЕЕ ОПИСАНИЕ

делям, в которых определенные квантовые энерге-

ЭФФЕКТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

тические состояния не характеризуются четностью

и обладают ПДМ. При этом есть две группы отли-

Рассмотрим ансамбль одинаковых квантовых

чий.

частиц, локализованных в области пространства с

Первая группа связана с тем, что в системах

размерами меньшими, чем длины волн всех об-

с ПДМ возможна целая иерархия многоквантовых

суждаемых электромагнитных полей. Окружением

переходов в условиях всевозможных резонансов, а

ансамбля может являться вакуумное электромаг-

временная динамика квантовой системы характери-

нитное поле, диэлектрическая или полупроводнико-

зуется низкочастотными излучательными процесса-

вая среда и т.п. Таким образом, речь идет об од-

ми наряду с высокочастотными (оптическими) со-

ной из стандартных конфигураций открытой систе-

ставляющими. Происхождение низкочастотных со-

мы, которая используется для анализа коллективно-

ставляющих нетрудно понять на основе алгебраи-

го спонтанного излучения возбужденного ансамбля

992

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Генерация низкочастотного излучения. . .

[16, 17]. Спонтанное излучение вызвано взаимодей-

ного трехмерного пространства присутствует весь

ствием с окружением открытой системы.

спектр частот. Однако двухквантовые процессы —

Пусть ансамбль состоит из N_p неподвижных оди-

процессы второго порядка по константе связи кван-

наковых частиц, некоторые уровни которых обла-

товой частицы с электромагнитным полем. Будем

дают ПДМ. Гамильтониан такой системы в кван-

считать, что в рассматриваемой системе нет причин

тованном электромагнитном поле окружения дает-

для серьезного возрастания роли таких двухкванто-

ся обычным выражением, состоящим из гамильто-

вых процессов по сравнению с одноквантовыми, как

ниана изолированной частицы H^P , гамильтониана

это имеет место в случае одинаковой четности рас-

квантованного электромагнитного поля H^F и опера-

сматриваемых состояний |E₁〉 и |E₂〉 [18], или в слу-

тора их взаимодействия H^Int:

чае процессов в средах со спектральными особенно-

стями [19]. Несмотря на принятые соображения от-

H^Int = H^P + H^F + H^Int,

носительно рассматриваемых двух уровней части-

∑

H^P = E_j|E_j〉(i)〈E_j|(i), H^F =

ℏω_qb†qb_q,

цы, остальные уровни окажутся также учтенными

i,j

(см. далее).

∑

(1)

Особенностью теоретического анализа оптичес-

H^Int = Γ_q(b†q + b_q) d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i),

i,kj

ких открытых систем является необходимость по-

∑

строения эффективного гамильтониана для каждо-

|E_j 〉(i)〈E_j |(i) = 1(i),

〈E_j |(i)|E_k〉(i) = δ_jk.

го рассматриваемого случая взаимодействия элект-

ромагнитных полей с квантовой системой. Этот этап

Здесь |E_j〉 — квантовое состояние частицы с энер-

часто опускается, что предполагает описание про-

∑

гией E_j , dkj = 〈Ek|d|Ej 〉, d =kj dkj |Ek〉〈Ej | —

цессов взаимодействия в приближении вращающей-

оператор дипольного момента частицы. Верхний

ся волны [20]. Такой подход упускает из рассмотре-

индекс у векторов состояний частицы обознача-

ния процессы второго порядка по взаимодействию с

ет пространство состояний i-й частицы и сумми-

широкополосными квантованными полями, приме-

рование по i есть суммирование по всем части-

рами которых является вакуумное электромагнит-

цам ансамбля. Операторы рождения b†q и уничто-

ное поле, а также разного рода интерференционные

жения b_q фотонов с волновым вектором q удовлет-

процессы (см., например, [16] и приведенные в рабо-

воряют обычному коммутационному соотношению

те ссылки).

[b_q, b†q′ ] = δqq′, дисперсионное соотношение зада-

Другой проблемой при формулировке модели и

но условием ω_q = qc. Параметр связи электромаг-

ее теоретическом описании является применение об-

нитного поля и квантовых частиц в трехмерном

щих методов для получения кинетического урав-

пространстве Γ_q = (2πℏqc/ℓ³)1/2, где ℓ³ — объем

нения непосредственно для исходного гамильтони-

квантования. Вводя параметры связи, можно охва-

ана системы, в нашем случае гамильтониана (1).

тить другие модели окружающего электромагнит-

Такой подход также оказывается некорректным во

ного поля, например, однонаправленного поля в вол-

втором порядке по взаимодействию. Это связано с

новоде. Различием в пространственном положении

наличием в квантовых оптических открытых систе-

частиц пренебрегаем (приближение локализованно-

мах процессов с разными временными масштабами

го ансамбля).

протекания. Временной масштаб изменения быст-

Будем говорить о двухуровневых частицах: пара

рых слагаемых оператора взаимодействия с окру-

уровней частицы выделяется начальными условия-

жением — это время оборота электрона вокруг яд-

ми — предполагаем, что в начальный момент време-

ра, т. е. порядка 10-15 с. Будем рассматривать эту

ни заселен только заданный атомный уровень |E₂〉,

величину как имя нарицательное, говоря о быст-

который связан с низколежащим основным уров-

рых процессах, связанных со структурой рассмат-

нем частицы переходом частоты ω₀ = (E₂ - E₁)/ℏ.

риваемых объектов. Взаимодействие с окружением

Для простоты считаем, что других одноквантовых

обычно рассматривается в марковском приближе-

переходов с возбужденного уровня на низколежа-

нии. Формальное определение марковского процес-

щие нет. В отличие от частиц, в которых кванто-

са взаимодействия сводится к аппроксимации тер-

вые состояния характеризуются четностью, в сре-

мостата математическим белым шумом с нулевым

дах с ПДМ, наряду с одноквантовыми перехода-

временем корреляции. При переходе к реальным си-

ми с возбужденного уровня |E₂〉 на основной уро-

стемам, где все времена конечны, такое определе-

вень |E₁〉, возможны и двухквантовые переходы, по-

ние требует уточнения, поскольку наряду со време-

скольку в вакуумном электромагнитном поле обыч-

нем корреляции термостата τ_cor есть характерный и

993

ЖЭТФ, вып. 6

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

очень малый масштаб 10-15 с изменения быстроме-

Раскладывая

H и S в ряд по взаимодействию с

няющихся слагаемых гамильтониана открытой си-

вакуумным полем

стемы. Понятно, что время корреляции термостата

S = S⁽¹⁾+S⁽²⁾+...,

H= H(0)+ H(1)+ H(2)₊ . . .,

не может быть такого же порядка — оно его пре-

вышает (τ_cor ≫ 10-15 с), поскольку здесь идет ре-

получаем (с учетом формулы Бейкера - Хаусдорфа)

альный и достаточно инерционный процесс межча-

стичных взаимодействий и установления равновесия

H (0)=HP+HF ,

внутри самого термостата. Поэтому, чтобы приме-

[

]

dS⁽¹⁾

нять какие-либо общие методы для получения ки-

H (1)=HInt- i S⁽¹⁾,

H (0)

+ℏ

нетического уравнения рассматриваемой открытой

]

(3)

i [

системы, необходимо, прежде всего, избавиться от

H (2)=-

H (1)

S⁽¹⁾, HInt -

S⁽¹⁾,

быстроменяющихся слагаемых в гамильтониане (1),

[

]

dS⁽²⁾

т. е. по заданному исходному гамильтониану постро-

H (0)

−i S⁽²⁾,

+ℏ

ить эффективный гамильтониан.

Общим методом построения эффективного га-

Ведущей идеей для нахождения слагаемых S(i) и

мильтониана квантовой системы, взаимодействую-

H (0)+ H(1)₊

эффективного гамильтониана H^Eff =

щей с классическими электромагнитными поля-

+ H⁽²⁾ служит отсутствие быстроменяющихся во

ми, является метод усреднения дифференциальных

времени слагаемых в эффективном гамильтониане

уравнений, разработанный еще Крыловым, Боголю-

в представлении взаимодействия (картине Дирака),

бовым и Митропольским [21, 22]. Его алгебраичес-

в которой

кий вариант, разработанный в работах [23, 24], был

обобщен в [25] на взаимодействие квантованных по-

H (1)(t)+ H(2)(t).

H^Eff (t) =

лей, так что обобщенный вариант алгебраической

теории возмущений, далее называемой просто алгеб-

Требование отсутствия быстроменяющихся во вре-

раической теорией возмущений, стало удобно при-

мени слагаемых в H^Eff (t) отличает алгебраическую

менять и к квантовым открытым системам [26, 27].

теорию возмущений [23, 25-27] от других подходов

В нашем случае такое применение состоит в следую-

к построению эффективного гамильтониана теории

щем.

открытых квантовых систем [28-35]. В случае от-

В расширенном пространстве состояний атомной

крытых систем различия также связаны с форму-

системы и квантованного электромагнитного поля

лировкой условий марковского приближения. Тре-

исходный гамильтониан H^Ini определяет уравнение

бования марковского приближения можно налагать

Шредингера для волнового вектора:

на исходные начальные векторы состояния или на

преобразованные векторы состояний. Возникающие

iℏ

|ΨP+F 〉 = H^Ini|ΨP+F 〉.

здесь различия ярко иллюстрирует модельная зада-

ча, рассмотренная в работе [36].

Предположения о характере начального состояния

В картине Дирака разложения

^H(t) и S(t) в ряд

|ΨP+F 〉 при t = 0 в алгебраической теории возмуще-

по взаимодействию с вакуумным полем имеют вид

ний и в методах эффективного гамильтониана дела-

ются после построения эффективного гамильтониа-

H^Int(t) = ei(HP +HF )t/ℏH^Inte-i(HP +HF )t/ℏ,

на задачи. Это же касается и формулировки мар-

ковского приближения.

S(t) = S⁽¹⁾(t) + S⁽²⁾(t) + . . . ,

Преобразуем волновой вектор |ΨP+F 〉 при помо-

^H(t) =

H (1)(t)+ H(2)(t)+ . . . ,

щи унитарного преобразования

[

]

dS⁽¹⁾(t)

|ΨP+F 〉 = U|ΨP+F 〉, U = e^-iS, S^† = S

(2)

H (1)(t)=-i S⁽¹⁾(t), H^Int(t) +ℏ

с генератором S. Преобразованный вектор будет

удовлетворять преобразованному уравнению Шре-

]

i [

H (2)(t)=-

дингера

S⁽¹⁾(t), H^Int(t)

∂|ΨP+F〉

]

iℏ

= H|ΨP+F〉

i [

dS⁽²⁾(t)

S⁽¹⁾(t),

H (1)(t)

+ℏ

∂t

с преобразованным гамильтонианом

В результате стандартных вычислений алгебра-

∂

H₌ UH^IniU^† - iℏU

U^†.

ической теории возмущений [23, 25-27] во втором

∂t

994

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Генерация низкочастотного излучения. . .

порядке эффективного гамильтониана появляются

или отсутствия ПДМ, возникают единые парамет-

слагаемые, которые в картине Шредингера диаго-

ры теории оптических резонансных процессов [17]

нальны по переменным квантовой частицы и не за-

(

)

∑′ |dkj |2

висят от фотонных переменных (лэмбовские сдви-

Π_k(ω) =

(5)

ℏ

ω_kj + ω

ω_kj - ω

ги). Их удобно включить в

H (0). В слагаемом вто-

рого порядка

H (2) можно опустить проекционные

Штрих у знака суммы означает, что в суммировании

операторы на нерезонансные энергетические уров-

ни. Проекционные операторы на выделенные уров-

исключены резонансные слагаемые ω_jk ∓ ω ≈ 0.

Подчеркнем, что рассуждения в представлении

ни |E₁〉 и |E₂〉 учитывают все другие уровни кван-

товой частицы и определяют оператор штарковско-

взаимодействия необходимы только для коррект-

ного определения слагаемых алгебраической тео-

го взаимодействия частиц с вакуумным электромаг-

нитным полем. В этом проявляется отличие алгеб-

рии возмущений, относящихся к эффективному га-

раической теории возмущений как от банального

мильтониану и не содержащих быстроменяющих-

приближения вращающейся волны, так и от подхода

ся во времени величин. После определения тако-

[37,38], в котором оператор второго порядка по вза-

вых нетрудно вернуться к обычному представлению

Шредингера, что и проделано при написании выра-

имодействию частиц с вакуумным электромагнит-

ным полем имеет другую алгебраическую структу-

жений (4).

В выражении для Π_k(ω) нет ограничений на чет-

ру. В подходе [37, 38] не использовано исключение

быстроменяющихся слагаемых, поэтому их резуль-

ности учитываемых энергетических уровней. Соот-

ветственно, больше квантовых переходов в части-

тат отвечает случаю нулевого времени корреляции

для вакуумных полей.

це дают вклад в параметры Π_k(ω) по сравнению

со случаем атомов, квантовые уровни которых ха-

Во втором порядке алгебраической теории воз-

рактеризуются четностью. Наличие нерезонансных

мущений при использовании оператора взаимодей-

уровней, отличных от рассматриваемых, меняет па-

ствия атомов с квантованным электромагнитным

раметр Π_k(ω) — возникает зависимость этого пара-

полем появляется слагаемое, описывающее ди-

метра от ПДМ. Поэтому становится возможным об-

поль-дипольное взаимодействие атомов [15]. Таким

суждать динамику системы с ПДМ в случае раз-

оператором диполь-дипольного взаимодействия

личных значений Π_k(ω). Далее будет показано, что

пренебрегаем, поскольку он не влияет существенно

характер динамики оказывается весьма чувстви-

на рассматриваемое далее кинетическое уравне-

тельным к значениям Π_k(ω) и величинам Π_±(ω) =

ние для населенностей резонансных уровней. Это

= Π₁(ω) ± Π₂(ω).

приводит к следующим выражениям в картине

Другим следствием представленного эффектив-

Шредингера (знак тильда мы опустили):

ного гамильтониана задачи является зависимость

динамики системы по ее энергетическим подуров-

H⁽⁰⁾ = ℏω′21R₃, ω′21 = (E′2 - E′1)/ℏ,

∑

ням от наличия ПДМ только через посредство зна-

H⁽¹⁾ =

Γ_ωb^†ωd₁₂R_- + Γ_ωb_ωd₁₂R₊,

чений параметров Π_±(ω), если в исходной постанов-

∑

ке задачи ограничиться только парой уровней |E₁〉

H⁽²⁾ =

Γ_ωb^†

Γ_ω′ b_ω′ ×

и |E₂〉, а прямыми (одноквантовыми) переходами на

ω^′

энергетические уровни другой четности пренебречь.

{

}

N_p

H (0)

Эффективный гамильтониан H^Eff

× Π₊(ω, ω^′)

+ Π_-(ω, ω^′)R3

+ H⁽¹⁾+

Ĥ (2)

представлен через атомные операторы

(4)

Π_±(ω, ω^′) =

(

)

1^∑

R₃ =

|E₂〉(i)〈E₂|(i) - |E₁〉(i)〈E₁

|(i)

{Π₁(ω) + Π₁(ω^′) ± (Π₂(ω) + Π₂(ω^′))} ,

∑

|d1j |²

E′1 = E₁ + Γ²

|E₁〉〈E₁|,

R_- =

|E₁〉(i)〈E₂|(i), R₊ =

|E₂〉(i)〈E₁|(i),

ℏ(ω1j - ω)

∑

|d2j |²

удовлетворяющие коммутационным соотношениям

E′2 = E₂ + Γ²

|E₂〉〈E₂|.

ℏ(ω2j

- ω)

[R₃, R_±] = ±R_±,

[R₊, R_-] = 2R₃.

В процессе вычислений, независимо от участия

Поляризация ансамбля квантовых частиц P напря-

классических и/или квантованных полей, наличия

мую зависит от дипольных матричных элементов.

995

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Чтобы ее сосчитать, необходимо выразить исходную

P^LF = Tr(ρ^P d^CDM ).

(7)

матрицу плотности ансамбля и окружения ρ через

Подчеркнем, что в формуле (7) ρ^P — преобразо-

преобразованную матрицу, поскольку поляризация

ванная матрица плотности ансамбля частиц, а со-

атомного ансамбля

ставляющая d^CDM оператора дипольного момента

∑

P = Tr_F ρd^E, d^E = d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i).

отвечает ПДМ ансамбля, так что в отсутствие раз-

i,kj

броса параметров частиц ансамбля

∑

Здесь d^E — оператор дипольного момента ансамбля

d^CDM

=d₁₁

|E₁〉(i)〈E₁|(i)

+d₂₂

|E₂〉(i)〈E₂|(i).

частиц, а след берется по состояниям электромаг-

нитного поля. Исходная матрица открытой системы

Для вычисления поляризации P^LF и определе-

и окружения, согласно (2) и определению матрицы

ния параметров генерируемого низкочастотного из-

плотности как ρ = |ΨP+F 〉〈ΨP+F |, дается выраже-

лучения необходимо знать кинетическое уравнение

нием ρ = e^iS ρe^-iS , так что, используя свойство сле-

для матрицы плотности ансамбля одинаковых кван-

да, имеем

товых частиц ρ^P = Tr_F ρ. Здесь нетрудно обобщить

(

)

результаты, полученные в [15], на учет ПДМ.

P = Tr_F(ρd^E) = Tr_F

e^iS ρe^-iSd^E

(

)

Выражение для низкочастотной поляризации

(

)

= Tr_F

ρe^-iS d^E e^iS

= Tr_F

d^E

P^LF в случае невзаимодействующих частиц может

быть представлено через одночастичную преобразо-

Здесь мы вернули знак тильда, чтобы различать

ванную матрицу плотности ρ1P11 :

преобразованные и непреобразованные величины.

(

)

Представленное выражение справедливо как в кар-

P^LF = N_p

d₁₁ρ1P11 + d₂₂ρ1P22

тине Шредингера, так и в картине Дирака.

Величину D ≡

d^E = e^-iSd^Ee^iS называем опера-

Это представление отличается от (7) и справед-

ливо лишь в задачах взаимодействия классических

тором эффективного дипольного момента системы

и, применяя формулу Бейкера - Хаусдорфа, имеем

электромагнитных полей с ансамблем невзаимодей-

ствующих между собой квантовых частиц [12,13].

D = e^-iSd^Ee^iS = d - i[S,d] -

[S, [S, d]] + . . . =

∑

3. НИЗКОЧАСТОТНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

= D_kj|E_k〉〈E_j|.

(6)

АНСАМБЛЯ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ С ПДМ

Будем рассматривать состояния ансамбля, сим-

Заметим, что в формуле (6) под величиной D

метричные по перестановкам частиц. Тогда их удоб-

можно понимать два выражения — оператор эффек-

но описывать собственными векторами |m〉 операто-

тивного дипольного момента

d одной квантовой час-

ра R₃: R₃|m〉 = m|m〉, -r ≤ m ≤ r. Здесь r — пара-

тицы и оператор эффективного дипольного момен-

метр, характеризующий неприводимое представле-

та всего ансамбля квантовых частиц

d^E. В нулевом

ние алгебры угловых моментов su(2) для описания

порядке различие между этими выражениями со-

симметричных состояний ансамбля из 2r = N_p оди-

стоит лишь в суммировании по частицам ансамбля

∑

наковых квантовых частиц [17]. Состояние ансамб-

d^E =_i d. Однако, если учитывать более высокие

ля из полностью возбужденных квантовых частиц

порядки алгебраической теории возмущений, то для

дается вектором |r〉, а состояние ансамбля, все час-

взаимодействующих между собой частиц будут от-

тицы которого находятся в основном состоянии, —

личия от простого суммирования, состоящие в появ-

вектором | - r〉.

лении интерференционных слагаемых. В контексте

Кинетическое уравнение для матрицы плотности

рассматриваемой задачи в (6) понимается эффек-

ансамбля, отвечающее представленному выше эф-

тивный дипольный момент всего ансамбля D ≡

d^E.

фективному гамильтониану (4), в марковском при-

Поскольку мы рассматриваем квантовые части-

ближении [15], имеет замкнутый вид для диагональ-

цы, обладающие ПДМ, т. е. матричные элементы

ных матричных элементов ρ^Pmm = 〈m|ρ^P |m〉:

d₁₁ = 0 и d₂₂ = 0, получаем, что в средах с ПДМ

появляется низкочастотная (LF ) составляющая по-

dρ^Pmm

ляризации. Эта составляющая в первом неисчеза-

= -2χ²gm m-1Cm-1ρ^Pmm +

dτ

ющем порядке алгебраической теории возмущений

+ 2χ²gm+1 mC_mρPm+1 m⁺¹,

(8)

имеет простой вид:

996

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Генерация низкочастотного излучения. . .

в котором присутствуют как операторы стандарт-

вид (7). Составляющая d^CDM оператора дипольно-

ной теории сверхизлучения [17]

го момента ансамбля, отвечающая наличию ПДМ,

может быть представлена в виде (с учетом соотно-

gmm-1 = 〈m|R₊|m - 1〉〈m - 1|R_-|m〉 =

шений R_-R₊ + R₊R_- = N_P , R₊R_- - R_-R₊ = 2R₃)

= (r + m)(r - m + 1),

∑

P^LF =

[d₂₂(r + m) + d₁₁(r - m)] ρ_mm =

так и множители C_m, определяемые слагаемыми

m=-r

H⁽²⁾ эффективного гамильтониана (4), отвечающие

= p^LF(t) + p₀,

(9)

второму порядку по взаимодействию с окружаю-

щим электромагнитным полем:

∑

p^LF (t) = (d₂₂ - d₁₁)

mρ_mm

(10)

1 - cos(rη₊ + η_-m)

m=-r

C_m =

(rη₊ + η_-m)²

(здесь и далее все снова дается в размерных вели-

чинах).

Множители C_m определяют появление эффекта ста-

билизации возбужденных состояний, когда с ростом

Постоянная составляющая поляризации кванто-

вого ансамбля p₀ = const связана с существованием

2r = N_p ≥ N_cr появляются коллективные состоя-

ния, для которых Cm0 = 0 за счет параметров ан-

у частиц системы ПДМ и нашим предположением об

их выстроенности вдоль определенной оси. На об-

самбля, удовлетворяющих условию

суждаемую генерацию низкочастотного излучения

N_p

это слагаемое не влияет.

η₊ + η_-m₀ = 2π,

<m₀ ≤

Подчеркнем, что простое представление поляри-

зации ансамбля квантовых частиц на низких часто-

Тогда переход с коллективного уровня m₀ + 1 на

низколежащий уровень m₀ подавлен и в отсутствие

тах по сравнению с частотой квантового перехода

начальной когерентности в ансамбле динамика под-

ω₀ отвечает лишь наличию ПДМ и использованию

систем, заселяющих коллективные энергетические

в выражении для эффективного дипольного момен-

уровни m₀ + 1 ≤ m ≤ r и -r ≤ m ≤ m₀, стано-

та нулевого порядка по взаимодействию.

вится не зависимой друг от друга. Частицы «на-

капливаются» на уровнях |m₀〉 и | - r〉, так что

4. ИМПУЛЬС НИЗКОЧАСТОТНОГО

часть энергии возбужденного ансамбля коллектив-

ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ СВЕРХИЗЛУЧЕНИИ

но не высвечивается и сравнительно медленно дис-

сипирует за счет некогерентных излучательных про-

Считаем, что в начальный момент времени t = 0

цессов, которыми в данном подходе пренебрегается.

все квантовые частицы ансамбля возбуждены, так

Данный эффект определяется параметрами штар-

что из матричных элементов матрицы плотности от-

ковского взаимодействия η_±, которыми все прене-

личен от нуля только следующий: ρ_rr(0) = 1. Такие

брегают, но которые, несмотря на свою малость, иг-

начальные условия отвечают обычному сверхизлу-

рают существенную роль из-за другой алгебраиче-

чению Дике [17], однако в отличие от сверхизлуче-

ской природы штарковского взаимодействия с вы-

ния Дике в уравнениях (7) учтен эффект подавле-

сокочастотными широкополосными квантовыми по-

ния коллективной релаксации штарковским взаимо-

лями [15].

действием, который ярко проявляется в локализо-

Уравнение (8) записано в безразмерном виде.

ванных атомных ансамблях [15]. Кроме того, урав-

Безразмерное время τ

= ω₂₁t, параметр χ

нения (8) и (9) учитывают наличие у атомов ПДМ.

√

2ω₂₁d₁₂/μc3/2

ℏ представляет собой безраз-

Низкочастотное излучение можно найти, вос-

мерную константу взаимодействия с электромаг-

пользовавшись классическими представлениями о

нитным полем первого порядка, параметры η_± =

дипольном излучении ансамбля диполей. Классиче-

= Π_±(ω₂₁, ω₂₁)/d²¹²/(ℏω₂₁) характеризуют штарковс-

ская формула для полной интенсивности дипольно-

кое взаимодействие с электромагнитным полем и

го излучения дает выражение

определяет второй порядок взаимодействия.

⁽d²P^LF(t))2

В пренебрежении двухквантовым распадом воз-

I^LF =

бужденного уровня |E₂〉 основное отличие динамики

3c³

dt²

(

)₂

рассматриваемой системы с ПДМ состоит в наведе-

2(d₂₂ - d₁₁)²

d²

∑

нии низкочастотной поляризации, которая в первом

mρ_mm

(11)

3c³

dt²

порядке алгебраической теории возмущений имеет

m=-r

997

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Величина

0.00015

d ∑r

0.010

mρ_mm

m=-r

0.00010

0.008

пропорциональна скорости изменения средней энер-

0.00005

гии атомной системы. Ее можно выразить че-

0.006

рез интенсивность высокочастотного сверхизучения

I^SR(t), воспользовавшись стандартными представ-

0.004

лениями [17] о связи убыли энергии в ансамбле с

интенсивностью излучения:

0.002

d ∑r

mρ_mm = -(ℏω₂₁)-1I^SR(t),

m=-r

Рис. 1. Импульс низкочастотного излучения полностью

I^SR(t) = ℏω21

возбужденного ансамбля с числом частиц, меньшим кри-

тического. Параметры штарковского взаимодействия ра-

В результате интенсивность I^LF низкочастотного

бочих уровней одинаковы η- = 0. Сплошная кривая —

излучения определяется интенсивностью сверхизлу-

η+ = 3π/4, штриховая кривая — η+ = 3π/4 + 0.2, штрих-

чения ансамбля с ПДМ:

пунктирная кривая — η+ = 3π/4 + 0.4. Штрихпунктирная

кривая отвечает параметрам, наиболее близким к крити-

)₂

ческим из представленных, так что интенсивность этого

⁽d²P^LF(t)

I^LF =

сигнала очень мала. Эта кривая отдельно воспроизведена

3c³

dt²

на вставке в другом масштабе

2(d₂₂ - d₁₁)

⁽ dI^SR(t))2 .

(12)

3c³ℏ²ω²

В простейшем случае сверхизлучения ансамбля

С ростом числа частиц в ансамбле меняется как

частиц, число которых 1 ≪ N_p ≪ N_cr недостаточ-

высокочастотное сверхизлучение, так и низкочас-

но для проявления эффекта стабилизации возбуж-

тотное (11). Характер изменений зависит и от чис-

денных состояний, имеем простую двугорбую фор-

ла частиц в ансамбле и от соотношения парамет-

му импульса терагерцевого излучения. Она может

ров штарковского взаимодействия η_±. Также суще-

быть описана аналитически:

ственным оказывается начальное возбуждение ан-

самбля. Здесь яркие различия характеризуют пол-

(d₂₂-d₁₁)

sh²[γN_p(t-t_D)/2]

I^LF =

ω⁴²¹N4pχ⁸β⁴

ностью возбужденное состояние ρ_rr(0) = 1 и полу-

6c³

ch⁶[γN_p(t-t_D)/2]

возбужденное состояние ρ₀₀(0) = 1 (матричные эле-

менты указаны в базисе Дике).

Здесь мы использовали размерные обозначения (c —

При числе частиц меньше критического и оди-

скорость света в вакууме, β — безразмерный гео-

наковых значениях параметров штарковского взаи-

метрический фактор [17], γ = χ²βω₂₁ — скорость

модействия рассматриваемых квантовых уровней

спонтанного распада одиночной частицы, t_D

η_- = 0 типичную форму импульса низкочастотного

= (γN_p)-1 ln(γN_p/ω₂₁) — время задержки максиму-

излучения полностью возбужденного ансамбля ха-

ма импульса сверхизлучения [17]). Из-за обращения

рактеризует рис. 1.

гиперболического синуса в нуль при t = t_D интен-

сивность импульса низкочастотного излучения так-

Эта же форма сохраняется для полностью воз-

бужденного ансамбля и при превышении числом

же становится равной нулю, а его форма имеет дву-

горбовый симметричный вид. Временной интервал

частиц критического значения, если различия в па-

раметрах штарковского взаимодействия нет η_- = 0.

T между максимумами низкочастотного излучения

√

T = 2ln(2 +

3 )/γN_p уменьшается с ростом чис-

Различие в параметрах штарковского взаимодей-

ла частиц (при числе частиц меньше критического

ствия η_- = 0 усиливает формы низкочастотного из-

значения).

лучения (рис. 2).

Заметим, что симметрию выражения (12) в ре-

Крайним случаем указанного различия является

альности не проявляется, поскольку излучение на-

переход к четкой одногорбой форме профиля низ-

чинается с момента времени t = 0.

кочастотного излучения полностью возбужденного

998

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Генерация низкочастотного излучения. . .

150

0.7

0.6

0.5

100

0.4

0.3

0.2

0.1

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Рис. 4. Интенсивность низкочастотного импульса полувоз-

Рис. 2. Импульс низкочастотного излучения полностью

бужденного ансамбля с числом частиц, меньшем крити-

возбужденного ансамбля с числом частиц, меньшим кри-

ческого. Параметры штарковского взаимодействия рабо-

тического. Параметры штарковского взаимодействия ра-

чих уровней разные η- = π/4. Сплошная кривая — η+ =

бочих уровней разные η- = π/8. Сплошная кривая —

= π/4 + 0.4 (эта кривая отдельно представлена на встав-

η+ = π/4, штриховая кривая — η+ = π/4 + 0.1, штрих-

ке), штриховая кривая — η+ = π/4+0.5, штрихпунктирная

пунктирная кривая — η+ = π/4 + 0.2. Штрихпунктирная

кривая — η+ = π/4 + 0.6

кривая отвечает параметрам, наиболее близким к крити-

ческим из представленных, так что интенсивность этого

сигнала очень малая. Эта кривая отдельно воспроизведе-

на на вставке в другом масштабе

0.08

0.06

0.05

0.04

0.00008

0.04

0.00006

0.02

0.0012

0.03

0.00004

0.0010

0.00002

0.02

0.0008

0.01

0.0006

0.0004

Рис. 5. Интенсивность низкочастотного импульса полувоз-

0.0002

бужденного ансамбля с числом частиц, большем критичес-

кого. Параметры штарковского взаимодействия рабочих

уровней различные η- = π/4. Сплошная кривая — η+ =

= π/4 +1.3, штриховая кривая — η+ = π/4 + 1.45, штрих-

Рис. 3. Интенсивность низкочастотного импульса полно-

пунктирная кривая — η+ = π/4+ 1.6. Эта кривая отдельно

представлена на вставке

стью возбужденного ансамбля с числом частиц, большем

критического. Параметры штарковского взаимодействия

рабочих уровней разные η- = π/8. Сплошная кривая —

η+ = π/4 + 0.8, штриховая кривая — η+ = π/4 + 0.9,

ансамбля при числах частиц ансамбля больших кри-

штрихпунктирная кривая — η+ = π/4 + 1.0. Сплошная

кривая отвечает параметрам, наиболее близким к крити-

тического (рис. 3).

ческим из представленных, так что интенсивность этого

Подчеркнем, что указанные изменения формы

сигнала очень малая. Эта кривая отдельно воспроизведе-

импульса низкочастотного излучения, а именно, пе-

на на вставке в другом масштабе

реход от двугорбой формы к одногорбой, характе-

ризовали ансамбль полностью возбужденных час-

999

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

тиц. Случай полувозбужденного ансамбля отлича-

M. A. Agrotis, Phys. Lett. A 315, 81 (2003).

ется переходом от четкой одногорбой (колоколооб-

M. A. Agrotis, Physica D 183, 141 (2003).

разной) формы низкочастотного сигнала к размыто-

му профилю без каких-либо четких пиков профиля.

M. A. Agrotis and N. M. Ercolani, Physica D 212,

Это видно на рис. 4, 5. Подчеркнем, что отсутствие

82 (2005).

пика отличает случай, когда число частиц ансамбля

А. А. Заболотский, ЖЭТФ 133, 970 (2008).

больше критического.

S. V. Sazonov, Opt. Commun. 380, 480 (2016).

10.

С. В. Сазонов, Н. В. Устинов, ЖЭТФ 151, 249

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2017).

11.

S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Rev. A 98,

Системы с ПДМ всегда характеризуются низко-

063803 (2018).

частотной составляющей поляризации. Представ-

12.

A. M. Basharov, J. Phys. CS 714, 012005 (2016).

ленное рассмотрение генерации низкочастотного

изучения основано на применении алгебраической

13.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 103, 16 (2016).

теории возмущений

[23, 25-27] и классической

теории излучения диполя. При этом проявляется

14.

И. Ю. Честнов и др., Письма в ЖЭТФ 104, 167

(2016).

особенность динамики многочастичных ансамблей,

названная нами невинеровской [16] и состоящая

15.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

в роли малых слагаемых второго порядка алгеб-

раической теории возмущений. Эти слагаемые

16.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 425

описывают взаимодействие частиц с широкополос-

(2019).

ным квантованным полем, про которое говорят

17.

M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,

как о высокочастотном эффекте Штарка [18] или

I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radiance:

штарковском взаимодействии

[27]. Именно оно

Multiatomic Coherent Emission, Bristol and Phila-

влияет на форму низкочастотного импульса, обес-

delphia: IOP (1996).

печивая генерацию одногорбой и двугорбой формы

18.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

импульсов и импульсов без отчетливых пиков.

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

Помимо возможных практических приложений ис-

света с веществом, Наука, Москва (1977).

следованные особенности низкочастного излучения

могут быть использованы для установления типа

19.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 70, 434 (1999).

динамики

— винеровской или невинеровской

—

20.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

открытых квантовых систем.

ger-Verlag, Berlin 2000 (2004).

Финансирование. Работа выполнена при

21.

Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Введение в нели-

частичной финансовой поддержке Российского

нейную механику, РХД, Москва (2004) (переизда-

фонда фундаментальных исследований (грант

ние книги 1937 г.).

№19-02-00234а).

22.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

тотические методы в теории нелинейных коле-

баний, Гостехиздат, Москва (1958).

ЛИТЕРАТУРА

23.

А. М. Башаров, А. И. Маймистов, Э. А. Маныкин,

ЖЭТФ 84, 487 (1983).

1. С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 96, 281 (2012).

24.

Е. Ю. Перлин, Е. Ю. Федоров, М. Б. Кашевник,

ЖЭТФ 85, 1357 (1983).

2. А. Н. Бугай, ЭЧАЯ 50, 185 (2019).

25.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 102, 1126 (1992).

3. M. Agrotis, N. M. Ercolani, S. A. Glasgow, and

J. V. Moloney, Physica D 138, 134 (2000).

26.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Opti-

cal Waves, Kluwer Academic, Dordrecht (1999).

4. А. И. Маймистов, Ж. Капуто, Опт. и спектр. 94,

275 (2003).

27.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

1000