ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 6, стр. 1020-1025

СХЕМА МАГНИТНОГО ДЕМУЛЬТИПЛЕКСОРА

С ЧЕТЫРЬМЯ КАНАЛАМИ

А. Муадилиa*, А. Акжуж^b, Е. Х. Эль Будути^c, Л. Добржински^b

^a Laboratoire de Physique de la Matière Condensée et Energie Renouvelable, Département de Physique,

Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia,

Université Hassan II, Casablanca, Morocco

^b Institut d’Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie (IEMN),

UMR CNRS 8520, Département de Physique, Université Lille

59655, Villeneuve d’Ascq, France

^c Laboratoire de Physique de la Matière et du Rayonnement, Département de Physique,

Faculté des Sciences, Université Mohammed I, Oujda, Morocco

Поступила в редакцию 28 мая 2019 г.,

после переработки 18 сентября 2019 г.

Принята к публикации 18 сентября 2019 г.

(Перевод с английского)

MAGNETIC DEMULTIPLEXER CIRCUIT WITH FOUR CHANNELS

A. Mouadili, A. Akjouj, E. H. El Boudouti, L. Dobrzynski

Представлен магнитный демультиплексор, который позволяет передавать магнон из одного проводника

в другой, не внося помех в другие проводники. Предлагаемое устройство образовано с помощью вве-

дения резонансной системы между двумя бесконечными проводниками. Резонансная система соединяет

проводники, что позволяет магнонам с четко определенной частотой переходить с одного проводника в

другой. Эта частота зависит от длины различных элементов, составляющих конструкцию резонатора. С

помощью аналитических расчетов показано, как выбрать геометрические размеры элементов резонатора,

чтобы получить полную передачу магнонов.

DOI: 10.31857/S0044451020060048

гих аналогичных областях. Спиновые волны

мо-

гут использоваться в устройствах размером менее

10 нм [3]. Кроме того, частоты магнонов охватывают

1. ВВЕДЕНИЕ

очень широкий диапазон от менее 1 ГГц до десят-

ков ТГц. Прогресс в области производств, исполь-

Информация, закодированная в спиновой волне,

зующих нанотехнологии, позволяет обеспечить рас-

может передаваться и обрабатываться без переме-

пространение спиновых волн в одномерных и дву-

щения электрических зарядов. Этот процесс осу-

мерных МК [10-19]. Эти экспериментальные рабо-

ществим в магнонных кристаллах (МК), где ква-

ты подтверждают теоретические исследования ани-

зичастицами являются магноны. Это свойство де-

зотропии дисперсии в магнонных кристаллах для

лает MК подходящими для передачи и выделения

периодических или квазипериодических систем с де-

информации в различных устройствах [1-9] и то,

фектами или без них [3,14,20-25].

что частоты спиновых волн выше на гигагерцы, чем

частоты электромагнитных волн, позволяет умень-

Спиновые волны используются в различных

шить размеры устройств, используемых для обра-

устройствах, таких как переключатели [6, 25, 27],

ботки телекоммуникационных сигналов и в дру-

ответвители [28-30], датчики и демультиплексоры

[13, 16]. Что касается этих двух последних работ

^* E-mail: mouadilia@yahoo.fr

по демультиплексорам, в работе [13] использовано

1020

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Схема магнитного демультиплексора с четырьмя каналами

d₂

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2

d₂

представлены краткий обзор теоретической модели,

d₀

Incident wave R

используемой в настоящей работе, и обсуждение по-

T12

лученных аналитических и численных результатов.

d₁

d₀

Раздел 3 посвящен выводам.

T₁₄

T₁₃₁₃

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ,

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ

Рис. 1. Схематическое изображение одномерного магнон-

РЕЗУЛЬТАТЫ

ного мультиплексора

Хорошо известно [39, 40], что свойства спино-

вых волн в основном определяются двумя важными

магнитное поле для контроля намагниченности и

взаимодействиями между магнитными моментами:

дисперсии спиновых волн в Y-образной структуре

магнитным дипольным и обменным взаимодействи-

с внешним магнитным полем или без него. Там же

описана возможность передавать спиновые волны

ями. Поскольку вклад обменного взаимодействия

зависит от волнового вектора как k², для относи-

из одной ветви структуры в другую. В работе [16]

было продемонстрировано, что можно создавать

тельно малых волновых векторов (k < 10⁴ см-1) ди-

намика спиновой волны почти полностью определя-

и изменять конфигурацию наноканала с помощью

ется магнитным дипольным взаимодействием. Из-за

магнитной неоднородности, управляемой потен-

анизотропной природы магнитодипольного взаимо-

циалом. Представлен переключатель, который

действия частота спиновой волны зависит не толь-

является основой для создания демультиплексоров

ко от абсолютного значения ее волнового вектора,

с несколькими выходами, которые пропускают

но и от ориентации волнового вектора относительно

спиновые волны с одинаковыми или разными ча-

стотами в зависимости от того, что необходимо, с

статической намагниченности. Однако при больших

значениях волновых векторов (k > 10⁶ см-1) обмен-

внешним магнитным полем или без него.

ное взаимодействие доминирует. Здесь мы исполь-

Наша группа провела несколько исследований,

зуем классическую ферромагнитную модель Гейзен-

касающихся различных конструкций демультиплек-

берга, где гамильтониан содержит только ту часть,

соров в фотонике [31-33], фононике [34,35] и магно-

которая представляет обменное взаимодействие. По-

нике [36-38]. В настоящей работе мы приспособи-

этому при оценке искомой функции Грина удобно

ли конструкцию, изученную ранее в [33] для элект-

использовать континуальное приближение. Это при-

ромагнитных волн, для создания демультиплексора

ближение справедливо при условии, что длины волн

для спиновых волн. Мы приводим необходимые па-

велики по сравнению с постоянной решетки и попе-

раметры для изготовления этого устройства, кото-

речным размером волновода. В этом случае распро-

рое обеспечивает полную передачу сигнала из одно-

странение становится одномодовым [41]. На рис. 1

го канала в другой.

мы показали, как при проектировании можно рас-

Исследуемая конструкция представляет собой

положить и отделить друг от друга волноводы и ре-

резонансную систему в виде замкнутого контура

зонаторы, чтобы избежать любого магнитного вза-

12341, соединенного с четырьмя полубесконечными

имодействия между различными элементами кон-

волноводами (рис. 1). Резонансный контур выпол-

струкции, следовательно, приведенные ниже спек-

нен из сегментов и резонаторов. Расстояния d₁₂, d₄₃

тры пропускания не будут искажены такими взаи-

равны d₀ и d₁₄ = d₂₃ = 4d₁, где d₁ — расстояние, ко-

модействиями.

торое необходимо определить. На проводниках (1, 4)

Для расчета коэффициентов пропускания и от-

и (2, 3) установлены одинаковые резонаторы длиной

ражения мы применяем теорию отклика на взаимо-

d₂ на расстоянии d₁ от узлов 1, 2, 3 и 4. В середине

действие с использованием функции Грина. Когда

проводников d₁₄ и d₂₃ присоединен волновод (5, 6)

спиновая волна приходит в точку 1, мы обнаружива-

длиной d₅₆ = 3d₁ и на нем установлены два резона-

ем, что коэффициент отражения R и коэффициенты

тора длиной d₂ на расстоянии d₁ от узла 5 и узла 6. В

прохождения T1i (i = 2, 3, 4) связаны с элементами

узлах 1, 2, 3 и 4 к конструкции присоединены полу-

функции Грина g(i, j) следующими соотношениями

бесконечные волноводы. Система, соединяющая уз-

[41, 42]:

лы 5 и 6, играет роль встроенного резонатора, моды

R = |1 + 2jFg(1,1)|²,

(1)

которого попадают в интервал резонансных частот

системы.

T1i = |2jFg(1, i)|², i = 2, 3, 4,

(2)

1021

А. Муадили, А. Акжуж, Е. Х. Эль Будути, Л. Добржински

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

где F = jDk/γM₀, j =

√-1, D = (2Ja²M₀)/(γℏ²).

Чтобы реализовать полный перенос на одной

Здесь k, M₀, J, γ и ℏ обозначают соответственно вол-

частоте с распространением вектора k₀ от 1 к 3 (а

новой вектор спиновой волны, спонтанную намагни-

именно, T₁₃ = 1 и R = T₁₂ = T₁₄ = 0), длины различ-

ченность, обменное взаимодействие между соседни-

ных сегментов и резонаторов в структуре, представ-

ми магнитными узлами в решетке с шагом решетки

ленной на рис. 1, должны удовлетворять равенствам

a, образующей ферромагнитную среду, гиромагнит-

ное отношение и постоянную Планка [41,42]. Волно-

y₁ = y₃ = -

(15)

y₂

y₄

вой вектор k задается дисперсионным соотношением

√

Данное выражение приводит к следующему реше-

ω-γH₀

нию:

(3)

kd₀ = (1 + 4n₀)

(16)

где ω и H₀ — соответственно угловая частота спи-

новой волны и статическое внешнее поле.

kd₁ = (1 + 4n₁ ± δ)

(17)

Следует отметить, что намагниченность и при-

ложенное магнитное поле должны быть перпенди-

kd₂ = (2n₂ ∓ δ)

(18)

кулярны плоскости на рис. 1 (т. е. отклонение от ста-

где

тической намагниченности происходит в направле-

нии волноводов). Выражения для R и T1i (i = 2, 3, 4)

^[3(1 + 4n₁ + 2n₂)]1/2

δ=

n_i = 0, 1, 2, 3, . . .

(19)

можно записать в следующем виде:

πQ

R = |z₁ + z₂ + z₃ + z₄|²,

(4)

Здесь коэффициент качества Q, связанный с пиком

T₁₂ = |z₁ + z₂ - z₃ - z₄|²,

(5)

передаваемого сигнала, — добротность — определя-

ется как

T₁₃ = |z₁ - z₂ + z₃ - z₄|²,

(6)

ω₀

(20)

T₁₄ = |z₁ - z₂ - z₃ + z₄|²,

(7)

2(ω^′ - ω₀)

— резонансная частота, ω^′ — частота, на ко-

где ω₀

где

торой T(ω^′)₁₃ = 0.5.

z_n =

(y_n + j)-1, n = 1, 2, 3, 4,

(8)

Коэффициент качества может быть изменен пу-

тем изменения длин элементов конструкции, т.е. d₀,

d₁ и d₂. Отметим, что δ имеет противоположные зна-

y₁ = y₂ -

ки для d₁ и d₂, т. е. -δ для d₁ соответствует +δ для

2B⁴¹

d₂ и наоборот.

(

(9)

2B²¹

B²¹

Как видно из уравнений (16)-(19), длины про-

(2A₁+A₂)²

3A₁-

водников и добротность заданы как функции целых

2A₁+A₂

2A₁+A₂ + B₁

чисел n₀, n₁ и n₂, что позволяет выбирать парамет-

)

ры нашей структуры в соответствии с этими раз-

⁽πd₀

B²¹

личными целочисленными значениями. В случае де-

y₂ = tg

+A₁ -

(10)

2A₁ + A₂

мультиплексора предпочтительно выбирать доста-

точно большие значения добротности, чтобы избе-

)-1

жать влияния соседних длин волн, это возможно

⁽πd₀

B²¹

y₃ = - tg

+A₁ -

(11)

для такой конструкции, поскольку есть широкий

2A₁ + A₂

выбор целочисленных значений.

На рис. 2а представлен пример спектров пропус-

кания и отражения в зависимости от безразмерной

y₄ = y₃ -

частоты Ω =

H + (kd₀)², где

H = γH₀d²⁰/D, для

2B⁴¹

(

(12)

n₀ = n₁ = n₂ = 1 и δ = 0.1. Можно отметить пол-

2B²¹

B²¹

ную передачу с выхода (1,2) на выход (1,3) без воз-

(2A₁+A₂)²

3A₁-

2A₁+A₂

2A₁+A₂-B₁

мущений для отражения и для выхода (1,4). Кроме

того, случай на рис. 2б дает те же результаты, что и

случай на рис. 2а, но для δ = 0.2; для этих случаев

A_i = [tg(kd_i)]-1,

(13)

резонансные частоты передачи близки. Ширина пи-

B_i = [sin(kd_i)]-1, i = 1, 2.

(14)

ка зависит от нескольких параметров. В этом случае

1022

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Схема магнитного демультиплексора с четырьмя каналами

T, R

1.0

T₁₂

T₁₃

T₁₂

T₁₄

T₁₃

0.5

T₁₄

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

T, R

1.0

T₁₂

T₁₃

0.5

T₁₄

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

T, R

1.0

0.5

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

Рис. 3. (В цвете онлайн) Зависимости от Ω коэффициен-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимости от Ω коэффици-

тов прохождения T и отражения R на разных входах-вы-

ентов прохождения T и отражения R на разных входах-

ходах демультиплексора с эффектом затухания: R (крас-

выходах мультиплексора: R (красные точки), T12 (штрихо-

ные точки), T12 (штриховые линии), T13 (сплошные си-

вые линии), T13 (сплошные синие линии), T14 (сплошные

ние линии), T14 (сплошные черные линии). Параметры на

черные линии). Параметры кривых: а) n0 = n1 = n2 = 1 и

рис. 3а,б,в такие же, как на рис. 2а,б,в соответственно

δ = 0.1; б) n0 = n1 = n2 = 2 и δ = 0.1; в) n0 = n1 = n2 = 1

и δ = 0.2

ром феноменологический безразмерный параметр α

определяет затухание намагниченности [43]. Чтобы

учесть этот эффект, мы ввели феноменологический

мы изменяли длины и величины δ между длинами

d₁ и d₂. Сравнение рис. 2a и 2б показывает, что пики

коэффициент затухания Γ, тогда волновой вектор k

в формуле (3) становится комплексным: k = k_R +

пропускания становятся очень узкими при увеличе-

нии длин элементов конструкции. Они становятся

+ jk_I, где

√

широкими, если мы увеличим δ, как показано на

ω-γH₀

рис. 2в.

k_R =

k_I =

√

D(ω - γH₀)

Другая интересная физическая величина, ко-

торая может значительно повлиять на качество

— действительная и мнимая части волнового векто-

демультиплексора при фильтрации резонансов, —

ра в разных волноводах. Параметр ЛЛГ α связан с

это затухание. В ферромагнитной системе дина-

Γ уравнением α = Γ/γH₀.

мика спина описывается с использованием уравне-

На рис. 3 представлены те же результаты, что и

ния Ландау - Лифшица - Гилберта (ЛЛГ), в кото- на рис. 2, но при учете эффекта потерь в материа-

1023

А. Муадили, А. Акжуж, Е. Х. Эль Будути, Л. Добржински

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

пути перехода состояния из одного континуума

400

в другой при неизменных остальных состояниях.

Это устройство объединения отдельных каналов

обеспечивает полную передачу магнонов заданной

частоты на одном выходе. Кроме того, мы рас-

смотрели геометрические параметры, позволяющие

200

настраивать различные значения добротности.

Также обсуждалось влияние затухания на резонанс

прохождения.

Благодарности. Авторы благодарят Иман Ак-

жуж (Imane Akjouj), аспиранта Университета Лил-

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ля, за подготовку рис. 1.

Рис. 4. Зависимости от δ добротности, регистрируемой на

выходе (1,3), без затухания (сплошная линия) и с затуха-

ЛИТЕРАТУРА

нием (кружки) для n0 = n1 = n2 = 1

S. O. Demokritov and A. N. Slavin, Magnonics from

Fundamentals to Applications, Topics in Appl. Phys.

лах. Предполагается, что волноводы изготовлены

125 (2013).

из пермаллоя (Py), материала, характеризующего-

T. Schwarze and D. Grundler, Appl. Phys. Lett. 102,

ся низким затуханием и однородными магнитными

222412 (2013).

свойствами с параметром α = 0.007 [6]. Видно, что

на резонансной частоте (Ω_r = 3.18) коэффициент

M. Krawczyk and D. Grundler, J. Phys.: Condens.

передачи T₁₃ не достигает единицы, а коэффициен-

Matter 26, 123202 (2014).

ты передачи T₁₂ и T₁₄, а также отражения R всегда

остаются равными нулю. Таким образом, в резонан-

A. V. Sadovnikov, E. N. Beginin, K. V. Bublikov,

се значительная часть энергии поглощается систе-

S. V. Grishin, S. E. Sheshukova, Yu. P. Sharaevskii,

and S. A. Nikitov, J. Appl. Phys. 118, 203906 (2015).

мой.

Отметим, что для увеличения ширины зоны пе-

S. A. Odintsov, A. V. Sadovnikov, A. A. Grachev,

реноса мы увеличиваем δ. Это различие напрямую

E. N. Beginin, Yu. P. Sharaevskii, and S. A. Nikitov,

связано с шириной пика, т.е. с добротностью. Эта

JETP Lett. 104, 563 (2016).

зависимость объясняется непосредственно форму-

лой (19), где Q обратно пропорциональна δ. На

A. V. Chumak, A. A. Serga, and B. Hillebrands, J.

рис. 4 показано изменение добротности Q в зави-

Phys. D: Appl. Phys. 50, 244001 (2017).

симости от δ для частоты переданного магнона, как

A. V. Sadovnikov, V. A. Gubanov, S. E. Sheshukova,

на рис. 2а и 3а, без эффекта затухания и с эффектом

Yu. P. Sharaevskii, and S. A. Nikitov, Phys. Rev.

затухания соответственно. На рис. 4 видно, что доб-

Appl. 9, 051002 (2018).

ротность Q уменьшается с увеличением δ и зависи-

мость расходится, когда δ приближается к нулю. От-

A. V. Sadovnikov, E. N. Beginin, S. E. Sheshukova,

метим, что добротность значительно снижается при

Yu. P. Sharaevskii, A. I. Stognij, N. N. Novitski,

учете затухания. Кроме того, при демультиплекси-

V. K. Sakharov, Yu. V. Khivintsev, and S. A. Nikitov,

Phys. Rev. B 99, 054424 (2019).

ровании предпочтительней высокие значения доб-

ротности для увеличения разрешения устройства.

G. Csaba,

Á. Papp, and W. Porod, Phys. Lett. A 381,

1471 (2017).

3. ВЫВОДЫ

10.

M. Collet, O. Gladii, M. Evelt, V. Bessonov,

L. Soumah, P. Bortolotti, S. O. Demokritov,

Мы представили устройство демультиплекси-

Y. Henry, V. Cros, M. Bailleul, V. E. Demidov, and

рования магнонов на основе двух континуумов,

A. Anane, Appl. Phys. Lett. 110, 092408 (2017).

соединенных цепью проводников и резонаторов.

Наша модель позволяет провести полное анали-

11.

R. Silvani, M. Kostylev, A. O. Adeyeye, and G. Gub-

тическое исследование условий для выбранного

biotti, J. Magn. Magn. Mater. 450, 51 (2018).

1024

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Схема магнитного демультиплексора с четырьмя каналами

12.

V. L. Zhang, H. S. Lim, S. C. Kuok, X. Zhou, and

29.

Haiming Yu, G. Duerr, R. Huber, M. Bahr,

A. O. Adeyeye, AIP Adv. 6, 115106 (2016).

T. Schwarze, F. Brandl, and D. Grundler, Nat.

Commun. 4, 2702 (2013).

13.

K. Vogt, F. Y. Fradin, J. E. Pearson, T. Sebastian,

S. D. Bader, B. Hillebrands, A. Hoffmann, and

30.

A. V. Sadovnikov, E. N. Beginin, M. A. Morozova,

H. Schultheiss Nat. Commun. 5, 3727 (2014).

Yu. P. Sharaevskii, S. V. Grishin, S. E. Sheshukova,

and S. A. Nikitov, Appl. Phys. Lett. 109, 042407

14.

K. Di, V. Li Zhang, M. H. Kuok, H. S. Lim, and

(2016).

S. C. Ng, Phys. Rev. B 90, 060405(R) (2014).

31.

A. Mouadili, E. H. El Boudouti, A. Soltani, A. Talbi,

15.

A. V. Sadovnikov, K. V. Bublikov, E. N. Beginin, and

K. Haddadi, A. Akjouj, and B. Djafari-Rouhani, J.

S. A. Nikitov, JCTE 59, 914 (2014).

Phys. D: Appl. Phys. 52, 075101 (2019).

16.

B. Rana and Y. Otani, Phys. Rev. Appl. 9, 014033

32.

L. Dobrzynski, B. Djafari-Rouhani, A. Akjouj, and

(2018).

J. O. Vasseur, Phys. Rev. B 60, 15 (1999).

17.

M. S. Alam, C. Wang, J. Chen, J. Zhang, C. Liu,

33.

L. Dobrzynski, A. Akjouj, B. Djafari-Rouhani,

J. Xiao, Y. Wu, L. Bi, and H. Yu, Phys. Lett. A 383,

J. O. Vasseur, M. Bouazaoui, J. P. Vilcot, A. Beau-

366 (2019).

rain, and S. McMurtry, Phys. Rev. E 67, 057603

(2003).

18.

K. Baumgaertl, S. Watanable, and D. Grundler,

Appl. Phys. Lett. 112, 142405 (2018).

34.

L. Dobrzynski, A. Akjouj, B. Djafari-Rouhani, P. Zie-

19.

S. L. Vysotski, S. A. Nikitov, and Yu. A. Filimonov,

linski, and H. Al-Wahsh, Europhys. Lett. 65, 791

JETP 101, 547 (2005).

(2004).

20.

S. A. Nikitov, Ph. Tailhades, and C. S. Tsai, J. Magn.

35.

L. Dobrzynski, H. Al-Wahsh, A. Akjouj, and G. Her-

Magn. Mater. 236, 320 (2001).

nandez-Cocoletzi, J. Phys.: Condens. Matter 18, 3151

(2006).

21.

K. H. Chi, Y. Zhu, and C. S. Tsai, J. Appl. Phys.

115, 17D125 (2014).

36.

A. Mouadili, E. H. El Boudouti, A. Akjouj,

H. Al-Wahsh, B. Djafari-Rouhani, and L. Dobrzyn-

22.

N. Kumar and A. Prabhakar, J. Magn. Magn. Mater.

ski, AIP Adv. 9, 035011 (2019).

450, 46 (2018).

23.

A. N. Kuchko, M. L. Sokolovskii, and V. V. Kruglyak,

37.

H. Al-Wahsh, B. Djafari-Rouhani, L. Dobrzynski, and

Physica B 370, 73 (2005).

A. Akjouj, Surf. Sci. 602, 1795 (2008).

24.

S. L. Vysotsky, S. A. Nikitov, N. N. Novitskii,

38.

H. Al-Wahsh, Eur. Phys. J. B 76, 445 (2010).

A. I. Stognii, and Yu. A. Filimonov, Tech. Phys. 56,

308 (2011).

39.

M. G. Cottam and D. R. Tilley, Introduction

to Surface and Superlattice Excitations, Cambridge

25.

Yu. V. Gulyaev, S. A. Nikitov, L. V. Zhivotovski,

Univ. Press, Cambridge (1989).

A. A. Klimov, Ph. Tailhades, L. Presmanes, C. Bon-

ningue, C. S. Tsai, S. L. Vysotski, and Yu. A. Filimo-

40.

K. H. Bennemann and J. B. Ketterson, Novel Super-

nov, JETP Lett. 77, 10 (2003).

fluids, Vol. 2, Oxford Univ. Press, Oxford (2014).

26.

A. V. Sadovnikov, S. A. Odintsov, E. N. Beginin,

41.

H. Al-Wahsh, A. Akjouj, B. Djafari-Rouhani, and

A. A. Grachev, V. A. Gubanov, S. E. Sheshukova,

L. Dobrzynski, Surf. Sci. Rep. 66, 29 (2011).

and Yu. P. Sharaevskii, JETP Lett. 107, 25 (2018).

27.

A. V. Sadovnikov, A. A. Grachev, S. E. Sheshukova,

42.

A. Akjouj, L. Dobrzynski, H. Al-Wahsh,

Yu. P. Sharaevskii, A. A. Serdobintsev, D. M. Mitin,

E. H. El Boudouti, G. Lévêque, Y. Pennec, and

and S. A. Nikitov, Phys. Rev. Lett. 120, 257203

B. Djafari-Rouhani, Magnonics, Elsevier

(2019),

(2018).

ch. 2, p. 53.

28.

A. V. Sadovnikov, S. A. Odintsov, E. N. Beginin,

43.

Spin Dynamics and Damping in Ferromagnetic Thin

S. E. Sheshukova, Yu. P. Sharaevskii, and S. A. Niki-

Films and Nanostructures, A. Barman and J. Sinha,

tov, Phys. Rev. B 96, 144428 (2017).

Springer Nature (2018).

1025

ЖЭТФ, вып. 6