ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 6, стр. 1063-1071

АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА В

ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ТОПОЛОГИЧЕСКИ

МАССИВНОЙ ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

П. А. Эминов^*

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 октября 2019 г.,

после переработки 26 ноября 2019 г.

Принята к публикации 27 ноября 2019 г.

В однопетлевом приближении получено аналитическое выражение для аномального магнитного момен-

та электрона в постоянном магнитном поле в топологически массивной двумерной электродинамике. В

предельном случае относительно слабого магнитного поля найдены асимптотические формулы, опреде-

ляющие зависимость аномального магнитного момента от безразмерного параметра Черна- Саймонса и

динамического полевого параметра. Установлены условия применимости расчетов аномального магнит-

ного момента электрона, проведенных на основе вычисления вершинной функции в двумерной электро-

динамике с членом Черна - Саймонса.

DOI: 10.31857/S0044451020060085

внешнему полю приближении, т. е. без учета дина-

мической природы АММ электрона [14-19].

1. ВВЕДЕНИЕ

Отметим, что в работах [20-22], посвященных ис-

Исследование квантовых процессов в простран-

следованию АММ электрона в P -четной двумерной

стве-времени (2 + 1)-измерений, вызывающее боль-

модели квантовой электродинамики, для устране-

шой интерес, связано и с практическими приложе-

ния инфракрасной расходимости вершинной функ-

ниями в физике конденсированного состояния ве-

ции в постоянном магнитном поле используется

щества [1-3], и с необычными свойствами тополо-

спектральное представление фотонного пропагато-

гически массивных двумерных моделей квантовой

ра. Радиационный сдвиг энергии основного состоя-

теории поля [4, 5]. Актуальным является дальней-

ния электрона в постоянном магнитном поле в рам-

шее изучение радиационных и спиновых эффек-

ках двумерной электродинамики как с членом Чер-

тов в (2 + 1)-мерной квантовой электродинамике

на - Саймонса, так и без него вычислен в работах

(КЭД₂₊₁) при наличии внешних условий, таких как

[23] и [24] соответственно.

внешнее поле, конечная температура и плотность

вещества.

В работе [25] с учетом спиновых свойств про-

ведено полное описание стационарных состояний

Первые результаты исследований аномального

электрона в постоянном магнитном поле в модели

магнитного момента (АММ) электрона в тополо-

КЭД₂₊₁ с удвоенным фермионным представлением

гически массивной КЭД₂₊₁ c членом Черна - Сай-

[26,27]. Этот результат использован в [25] для расче-

монса были получены на основе расчета вершинной

та радиационного сдвига энергии основного состоя-

функции без учета влияния внешнего магнитного

ния электрона в замагниченной плазме топологиче-

поля [6-10], причем в работе [10] рассмотрен также

ски массивной двумерной электродинамики, а так-

случай ненулевой температуры.

же АММ электрона в сравнительно слабом магнит-

В работе [11] для анализа экспериментальных ре-

ном поле. АММ возбужденных состояний электрона

зультатов, приведенных в [12, 13], АММ электрона

в постоянном магнитном поле в КЭД₂₊₁ с удвоен-

вычисляется в рамках псевдоКЭД₂₊₁ в линейном по

ным фермионным представлением и без члена Чер-

^* E-mail: peminov@mail.ru

на - Саймонса исследован в работе [28].

1063

П. А. Эминов

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

В настоящей работе мы проводим исследование

при построении представления взаимодействия рас-

АММ возбужденных состояний электрона в пос-

сматривается гамильтониан, включающий взаимо-

тоянном магнитном поле в топологически массив-

действие электрон-позитронного поля с внешним

ной двумерной электродинамике с 2 × 2-матрицами

полем. Обобщение схемы вторичного квантования

[29,30]. В разд. 2 получены аналитические формулы

для случая свободных частиц на случай наличия

для АММ электрона в рассматриваемой модели дву-

внешнего электромагнитного поля сводится к тому,

мерной электродинамики с членом Черна - Саймон-

что вторично квантованные операторы электрон-

са в постоянном магнитном поле. В разд. 3 получе-

позитронного поля следует разлагать не по плоским

ны асимптотические формулы, описывающие зави-

волнам, а по полной системе решений уравнения Ди-

симость АММ возбужденных состояний электрона в

рака в заданном внешнем поле [31, 32].

слабом магнитном поле от безразмерного параметра

Потенциал внешнего магнитного поля выберем

Черна - Саймонса и полевого параметра.

в виде A^μext = (0, 0, xH) [23], а для двумерных гам-

На основе проведенного в работе вычисления

ма-матриц будем пользоваться представлением Ди-

АММ в P -нечетной теории получены новые, не толь-

рака, в котором [27, 30, 32, 33]

ко количественные, но и качественные результаты о

роли магнитного поля и параметра Черна - Саймон-

γ⁰ = σ₃, γ¹ = iσ₁, γ² = iσ₂,

(2)

са при исследовании энергии взаимодействия АММ

электрона с внешним магнитным полем в двумер-

где σ_k(k = 1, 2, 3) — матрицы Паули.

ной электродинамике. Обсуждение этих результатов

Тогда уравнение Дирака для электрона в посто-

проведено в заключение работы.

янном однородном магнитном поле принимает вид

∂ψ

= Hψ,

H₌ α₁p_x + α₂(p_y + exH) + mγ⁰, (3)

2. АММ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

∂t

ЭЛЕКТРОНА В ДВУМЕРНОЙ

где матрицы α1,2 = γ⁰γ1,2, p_x и p_y — проекции опера-

ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ С ЧЛЕНОМ

ЧЕРНА - САЙМОНСА

тора импульса, H > 0 — напряженность магнитного

поля.

Лагранжиан двумерной электродинамики с чле-

Матрицы γ^μ удовлетворяют соотношениям

ном Черна - Саймонса задается формулой [29, 30]

γ^μγ^ν = g^μν - iε^μνλγ_λ, Sp(γ^μγ^νγ^ρ) = -2iε^μνρ.

(4)

L=-

F_μνF^μν +

ψ(p+

A - m)ψ +

Существенно, что, в отличие от КЭД₃₊₁, в двумер-

ных моделях теории поля из-за отсутствия тензо-

Θε^μνλF_μνA_λ -

(∂_μA^μ)².

(1)

2ς

ра четвертого ранга ε_μναβ нельзя построить дуаль-

(

)

ный тензор поля, а след нечетного числа двумерных

ψ₁

Здесь ψ

— двухкомпонентный спинор,

гамма-матриц отличен от нуля.

ψ₂

Следует также отметить, что в системе покоя

F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ — тензор калибровочного поля,

электрона уравнение Дирака в КЭД₂₊₁ в отсутствие

ς — параметр, фиксирующий калибровку, m — масса

внешнего магнитного поля можно преобразовать в

электрона, -e < 0 — заряд электрона, ε^μνλ — полно-

уравнение для собственных векторов и собственных

стью антисимметричный единичный псевдотензор

значений спинового оператора [34]

третьего ранга, ε⁰¹² = 1, Θ — параметр Черна - Сай-

монса, метрический тензор g^μν = diag(1, -1, -1).

σ₃Ψ = ζΨ,

(5)

Добавление к лагранжиану калибровочного по-

ля A^μ члена Черна - Саймонса

где ζ = 2s = ±1.

Но спин в (2 + 1)-измерении является псевдо-

L_CS =

Θε^μναF_μνA_α

скаляром по отношению к преобразованиям Лорен-

ца, а не псевдовектором, как это имеет место в

приводит к тому, что калибровочное поле приобре-

КЭД₃₊₁ [30, 34]. Поэтому уравнение (5) определя-

тает массу, равную параметру Θ, но калибровочная

ет спин электрона в КЭД₂₊₁ в произвольной систе-

инвариантность теории не нарушается [29, 30].

ме отсчета. Заметим также, что и магнитное поле

В картине Фарри, которая используется в ра-

в КЭД₂₊₁ является не псевдовектором, а псевдоска-

боте, в качестве невозмущенного гамильтониана

ляром [30].

1064

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Аномальный магнитный момент электрона. . .

В однопетлевом приближении массовый опера-

а аргумент полиномов Эрмита

тор и радиационный сдвиг энергии электрона опре-

√ (

)

деляются формулами [31, 35, 36]

p_y

η=

eH x +

(13)

Σ(x, x^′) = -ie²γ^μS_c(H, x, x^′)γ^ν D_μν (x - x^′),

(6)

∫

Если представить двумерное пространство как

ΔE_n = d³xd³x^′ Ψ_qζ (x)Σ(x, x^′)Ψ_qζ (x^′),

(7)

вложенное в обычное трехмерное пространство и по-

где

ложить A_μ = (0, 0, xH, 0), то проекция магнитного

= -H, т. е. магнитное поле направ-

поля H_z = -F₁₂

∞

∫

лено против оси z. Для того чтобы воспользоваться

S_c(H, x, x^′) = -

dω exp[iω(t - t^′)] ×

результатом работы [32] и сохранить традиционную

2πi

-∞

в КЭД₃₊₁ физическую интерпретацию, будем гово- )(

∑

Ψsε)(x)Ψsε)(x^′)

(8)

рить, что в состоянии с ψ₁ =

проекция спина

ω + εE_s(1 - iδ)

s,ε=±1

на направление магнитного поля равна -1/2, т. е.

— причинная функция Грина электрона в постоян-

спиновое(к)нтовое число ζ = -1, а в состоянии

ном магнитном поле [31,37], а фотонный пропагатор

с ψ2 =

, наоборот, ζ = +1. Такая интерпре-

в импульсном представлении в калибровке Ландау

определяется формулой [4, 38]

тация согласуется с формулой для главного кван-

тового числа n, определяющего спектр электрона в

D_μν(p) = -

КЭД₂₊₁ [32, 36]:

p² - Θ² + i0

[

]

p^λ

p_μp_ν

× g_μν + iθε_μνλ

(9)

p² + i0

n=k-

sign(eH) -

k = 0,1,2,...,

Суммирование в формуле (8) проводится по всем

квантовым числам

{s} положительно-частотных

где H > 0.

(ε

= +1) и отрицательно-частотных (ε

= -1)

Таким образом, разложив двухкомпонентную

стационарных состояний электрона, Ψ^εs(x) — ко-

волновую функцию по собственным функциям мат-

ординатная часть решения уравнения Дирака

рицы σ₃, формулу (10) представим в наиболее удоб-

в постоянном магнитном поле в КЭД₂₊₁, Es —

ном для дальнейших расчетов виде:

энергия стационарных состояний электрона.

Решение уравнения Дирака в представлении (2)

exp(-iE_nt + iyp_y)

для гамма-матриц было получено, например, в ра-

Ψpy,n,ζ(x, y, t) =

√

ботах [27, 32, 33], причем в [32] использован ме-

2E_n

тод собственных функций в электродинамике про-

[

(

)

√

извольного постоянного поля, который развит в ра-

× D-1

u_n(η)

E_n + m +

ботах [36,39,40]. Спектр и нормированные положи-

тельно-частотные решения уравнения Дирака в ка-

(

)

]

либровке A_μ = (0, 0, xH) описываются формулами

√

+ D₁

un-1(η)

E_n - m =

[32]

exp(-iE_nt + iyp_y)

(

)

Ψ_s(x, y, t) =

√

exp(-iE_nt + iyp_y)

D-1u_n(η)√En + m

2E_n

√

(14)

(

)

2E_n

D₁un-1(η)

E_n - m

u_n(η)√En + m

{s} = (p_y, n, ζ),

(10)

un-1(η)√En - m

где при ζ = +1 следует положить D₁ = 1, D-1 = 0,

√

а при ζ = -1, наоборот, D₁ = 0, D-1 = 1.

E_n =

m² + 2eHn, n = 0, 1, 2, . . .

(11)

Используя (2), (14) и предложенный в работах

Здесь u_n(η) — функция Эрмита [35],

[41,42] метод расчета, электронную функцию Грина

(

)

(eH)

1/4

η²

(8) в постоянном магнитном поле представим в виде

u_n(η) =

exp

H_n(η),

(12)

[2ⁿn!π1/2]1/2

1065

П. А. Эминов

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

[

]

E_n

S_c(H, x, x^′) = exp -i

(y - y^′)(x + x^′)

Δm_ζ =

ΔE^ζn = Δm(s)ζ + Δm(ps)ζ.

(19)

∫

exp[ik(x - x^′)]S(k),

Нас будет интересовать слагаемое Δm(s)ζ, которое

(2π)²

является истинным скаляром и определяет АММ

∫∞

электрона [31, 36, 45]:

S(k) = -i ds₁ ×

(

)

(15)

Δm(s)

[

(

)]

m R

tg eHs₁

Δμ = -

(20)

× exp -is₁ m² - k²⁰ + k²

- i0

E_n

ζH

eHs₁

{

Расчет радиационного сдвига энергии электрона,

× (m + ik⁰) + γ⁰(k⁰ + im tg eHs₁) -

определяемого формулой (7) с учетом (6), (9), (14)

}

и (15), проведем методом работ [25, 28].

k·γ

−

Используя швингеровскую параметризацию

cos² eHs₁

Этот результат совпадает с аналогичным результа-

том работ [27,32,43], в которых использован метод

p²⁰ - p² - Θ² + i0

Швингера [44].

∫∞

Рассмотрим также трансформационные свойст-

= -i ds₂ exp[is₂(p²⁰ - p² - Θ² + i0)],

(21)

ва классического действия теории с лагранжианом

(1)

при дискретных преобразованиях прост-

вычисление интегралов по пространственно-времен-

ранственного отражения и обращения времени

ным переменным проводим с помощью формулы [25]

[20, 26, 30, 33]:

∫

P : x^μ = (x⁰,x¹,x²) → x^′μ = (x⁰,-x¹,x²),

d³xd³x^′ ×

ψ(x) → γ¹ψ(x^′), A⁰(x) → A⁰(x^′),

(16)

[

A¹(x) → -A¹(x^′), A²(x) → -A²(x^′),

× exp -i(p+k)(x-x^′)-i

(y-y^′)(x+x^′) -

]

T : x^μ = (x⁰,x¹,x²) → x^′μ = (-x⁰,x¹,x²),

- iE_n(t - t^′) + i(p_y - p^′y) u_n(η)u_m(η^′) =

ψ(x) → γ²ψ(x^′), A⁰(x) → A⁰(x^′),

(17)

A¹(x) → -A¹(x^′), A²(x) → -A²(x^′).

= (2π)²LT δ(p₀ + k₀ - E_n)

Мы видим, что классическое действие в случае

⁽2κ² )

× (-1)^m

exp[i(n - m)χ]I_n,m

(22)

безмассового фермиона в КЭД₂₊₁ без члена Чер-

на - Саймонса инвариантно относительно операции

инверсии, в то время как в случае массивного фер-

где p^μ = (p⁰, p) — импульс виртуального фотона,

миона, когда m = 0, массовый член

ψψ в формуле

κ = p + k, T — время взаимодействия, которое в

(1) с двумерными гамма-матрицами (2) не инвари-

дальнейшем полагаем равным единице, L — длина

антен относительно операций инверсии и обращения

периодичности в направлении оси y, δ-функция Ди-

времени:

рака δ(p⁰ + k⁰ - E_n) выражает закон сохранения

энергии, χ = π/2 - φ, φ = arctg(κ₂/κ₁), а функ-

P :

ψψ →

ψψ, T :

ψψ →

ψψ.

(18)

ция Лагерра I_n,m(τ) связана с полиномом Лагерра

L^n-mn(τ) соотношением [35]

При этом член Черна - Саймонса в формуле (1) име-

√

ет такие же трансформационные свойства при дис-

(

τ⁾

кретных P - и T -преобразованиях, как и массовый

In,m(τ) =

exp

τ(n-m)/2L^n-mm(τ),

(23)

член [30].

2κ²

Поэтому вычисление АММ электрона в КЭД₂₊₁

τ =

с членом Черна - Саймонса, являющейся теорией с

нарушенной пространственной четностью, начнем с

Интеграл по переменной k⁰ убирается с помощью

определения той части Δm_ζ радиационного сдви-

δ-функции Дирака, а интегралы по переменной p⁰

га массы, которая явно зависит от спина электро-

являются гауссовыми. Далее переходим от интег-

на. Далее, представим полученное выражение в ви-

рирования по переменной p к интегрированию по

де суммы скалярной и псевдоскалярной величин:

κ = p + k, т.е.

1066

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Аномальный магнитный момент электрона. . .

dk dp = dk dκ = k dk dακ dκψ →

Из двух типов таких слагаемых, пропорцио-

нальных соответственно sin(±αz

- arctg λ) и

→ 2πk dk κ dκ dψ,

(24)

cos(±αz - arctgλ), вклад в АММ электрона да-

где ψ = φ - α, ψ ∈ [0, 2π], α и φ — полярные углы

ют только слагаемые первого типа, являющиеся

векторов k и κ. Интегралы по переменной ψ дают

нечетными функциями напряженности магнитного

функции Бесселя J_ν(b) действительного аргумента

поля.

В результате в формуле (19) величина

b = 2s₂kκ

Δm^sζ = Δm^sζ(g^μν ) + Δm^sζ(Θ),

(29)

нулевого и первого порядка, а интегрирование по

определяющая в однопетлевом приближении АММ

переменной k проводится с помощью формулы Ве-

электрона в двумерной квантовой электродинамике

бера [46]

с членом Черна - Саймонса в постоянном магнитном

∫∞

поле, описывается формулами

(

)

exp[-px²]xν+1J_ν (cx) dx =

Δm^sζ(g^μν )

me² exp[iπ/4]

= -ζ

[

]

Δm^sζ(Θ)

16 · 2π3/2

(25)

c²

(

)

exp -

p > 0, c > 0,

∫

∞

(2p)ν+1

¹ du

Ω₁

exp[-iφ]

(30)

Rν > -1.

√u

√y

Ω₂

Выделим далее в сдвиге энергии электрона вкла-

2 - u + 2uexp[-2iz]

ды слагаемых в пропагаторе фотона (9), пропорцио-

Ω₁ =

sinz

нальных g^μν и ε^μνλ, и проведем замену переменных

1 - u + uexp[-iz]

s₁ и s₂ на u и y согласно формулам

[

]

exp[2i arctg λ]

2u + (2 - u)exp[-2iz]

s₁

(31)

sinz

y = u(s₁ + s₂),

1 - u + uexp[-iz]

s₁ + s₂

(26)

0 ≤ u ≤ 1,

0 ≤ y < ∞, ds₁ds₂ =

du dy.

u²

Ω₂ = -i√

1 - λ²(1 - u)sinz mΘ

Поставленная задача определения величины

(

[

])

1-u

RΔm(s)ζ в формуле (20) находит решение после

× 1 - exp iyΘ²

проведения интегрирования по переменной κ.

[

(

)

Интегралы по переменной κ при этом представ-

× -i m²u² + i

sin(z + arctg λ) +

ляют собой линейную комбинацию различных пар

(

)]

слагаемых, каждое из которых определяется одним

λ²u

1-λ²

(32)

из интегралов

y(1 - u) sin z

(1 + λ)3/2

(

)

∫

∞

[

K₁

1-u

κ dκ I_n,n(t) exp[i(±αz - arctg λ)] ±

φ = m²uy + y

Θ² + 2n arctgλ-

K₂

]

- 2eHny(1 - u).

(33)

± In-1,n-1(t)exp[-i(±αz - arctg λ)]

Отметим, что результаты (30)-(33) получены в

модели топологически массивной двумерной элек-

= (-1)ⁿ√

exp[-i2n arctg λ] ×

тродинамики, описываемой формулами (1) и (2) ста-

1+λ²

тьи, а не в модели с удвоенным фермионным пред-

(

)

i sin(±αz - arctg λ)

ставлением, в рамках которой выполнены работы

(27)

[25, 28].

cos(±αz - arctgλ)

Формулы (30)-(33) для возбужденных состояний

где

электрона, как и в обычной КЭД₃₊₁, не содержат

2κ

α = 0,1,

расходимостей и являются конечными во всей обла-

сти изменения магнитного поля, причем результат

tg z

(28)

λ=

z = eHy.

(30), (31) для величины Δm^sζ(g^μν ) совпадает с соот-

u tg z

ветствующим результатом работы [28].

1-u z

1067

П. А. Эминов

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

3. АММ ЭЛЕКТРОНА В КЭД2+1 С ЧЛЕНОМ

β=

≪ 1, n ≪ β-1

(34)

ЧЕРНА - САЙМОНСА: ВКЛАД

H₀

СЛАГАЕМОГО С ε^μνλ В ПРОПАГАТОРЕ

ФОТОНА

и введено критическое поле для электрона H₀ =

Сначала рассмотрим случай относительно сла-

= m²c³/eℏ ≈ 4.41 · 10¹³ Гс. Величина Δm^sζ(g_μν) в

бого магнитного поля и нерелятивистских значений

этом случае имеет асимптотики, определяемые фор-

энергии электрона, когда выполнены условия

мулами (3.7) и (4.6) работы [28]:

⎛

]

⎞

e²β

^[3

-ζ

+ ln

ρ = 0, β ≪ 1, n ≪ β-1,

⎜

⎟

⎜

8π

⎟

R(Δm(s)ζ(g_μν )) =

⎜

[

(

)

]

⎟

(35)

(

⎝

e²β

3ρ²

ρ+2

ρ)⎠

3 - 3ρ -

β ≪ 2ρ 1 -

16π

∞

(

)

∫

Здесь мы получим сначала соответствующие асимп-

sinαt

lim

tμ-1 exp[-δt]

dt =

тотики для величины Δm(s)ζ(Θ) в формулах (30) и

δ→+0

cosαt

(32), определяющих вклад в АММ электрона слага-

⎛

⎞

πμ

емого с ε^μνλ в пропагаторе (9).

sin

Γ(μ)

⎜

⎟

В предельном случае (34) в формуле (28) в пер-

⎝

⎠.

(39)

α^μ

πμ

вом приближении λ ≃ eHy(1-u) и, соответственно,

cos

показатель экспоненты в (30) представляется в виде

Выполнив интегрирование по переменной t, находим

-iφ ≃ -

F (u, ρ),

∫

(

)

(36)

(s)

ζe²

Δm_ζ

u du ×

F (u, ρ) = u +

-1

ρ², t = eHy,

4π 4mΘ

[

где для определенности будем считать, что ρ =

5u - 6

u²(2 - u)

= Θ/m < 2. Функция F(u, ρ) переменной u ∈ [0, 1]

(u² + (1 - u)ρ²)1/2

(u² + (1 - u)ρ²)3/2

принимает значения от 1 при u = 1 до +∞ при u →

→ +0 для всех ρ = 0 и достигает наименьшего значе-

]

(

)

4(u - 1)

ния F (u₀, ρ) = 2ρ

1-ρ/2

> 0 в точке u₀ = ρ = Θ/m.

(40)

Это означает, что если выполнено условие

Таким образом, в предельном случае (34) асимп-

F (u₀, ρ)

≫ 1,

(37)

тотика радиационного сдвига массы электрона

Δm(s)ζ(Θ) при выполнении условия (37) описывается

формулой

т. е. если полевой параметр β мал по сравнению с па-

раметром ρ, то в предэкспоненциальном множителе

[

]

ζe2 eH

ρ+2

Ω₂ в формулах (30) и (32) основной вклад в интеграл

Δm(s)ζ(Θ) =

2-ρ ln

β ≪ ρ.

(41)

4π 4m²

дает область t ≪ 1. Для первого члена разложения

получаем

Рассмотрим далее важный случай квазикласси-

[

]

ческого приближения, когда выполнены условия

eHu

Ω₂ =

6 - 5u - i(4u - 2u²)

√

mΘ

β ≪ 1, p_⊥ =

2eHn ≫ m.

(42)

(

[

])

ty(1 - u)ρ²

× 1 - exp i

(38)

βu

В этом приближении в показателе экспоненты фор-

мулы (30) следует сохранить два первых члена раз-

Интегрирование по переменной t проводится с уче-

ложения для величины arctg λ по малому параметру

том бесконечно малой мнимой части электронной

t. В результате получим лоренц-инвариантное выра-

массы δ в причинном пропагаторе [46]:

жение

1068

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Аномальный магнитный момент электрона. . .

exp[iπ/4]

однопетлевой вклад в АММ электрона исследован

Δm(s)ζ(Θ) = -ζe2H

16π²ρH₀

в [28]. Хотя радиационные поправки и приводят к

∫¹

{

генерации члена Черна - Саймонса [47], это не дает

√

[

]

× du

z₀

(6 - 5u)

F (z) - F (z₀)

вклада в однопетлевой АММ электрона.

С учетом условий справедливости результатов

}

[

]

(41) и

(43), представляет интерес исследование

+ 2(2 - u)z₀

F^′(z) - F^′(z₀)

(43)

асимптотики величины RΔm(s)ζ(Θ) в случае, допус-

кающем предельный переход, когда ρ → 0. Рассмот-

Здесь функция F (z) определяется формулой

рим нерелятивистский электрон, когда выполнены

∫∞

[ (

)]

dτ

τ³

условия (34), и предположим, что также выполнено

F (z) =

exp -i τz +

(44)

условие

√τ

ρ ≪ β ≪ 1.

(48)

F^′(z) = dF/dz, а также приняты обозначения:

(

)2/3

[

]

Разбиваем область интегрирования по переменной

1-u

(s)

z₀ =

z=z₀

1+ρ²

(45)

u в формулах (30) и (32) для величины Δm_ζ

(Θ)

χ(1 - u)

u²

], а во

на два отрезка. В первой области u ∈ [0, u₀

Отметим, что подынтегральное выражение в (43)

второй — u ∈ [u₀, 1], где значение величины u₀ удо-

зависит только от безразмерного параметра Чер-

влетворяет условию

на - Саймонса ρ и инвариантного динамического па-

раметра синхротронного излучения

ρ, β ≪ u₀ ≪ 1.

√

p_⊥ H

χ=

-(F_μν p^ν )² =

(46)

m³

m H₀

Тогда в первой области подынтегральное выраже-

а результат (43) получен в предположении, что на-

ние в формуле (30) для Δm(s)ζ(Θ) разлагается, кро-

ряду с (42) выполняется условие

ме соответствующего показателя экспоненты, в ряд

по переменной u, так как u ≤ u₀ ≪ 1, а во второй об-

χ ≪ ρ.

(47)

ласти, где u ≥ u₀ ≫ ρ, β, основной вклад в интеграл

Из лагранжиана (1) непосредственно следует, что

дает область, где переменная t ≪ 1, и подынтег-

если параметр Θ положить равным нулю, мы пере-

ральную функцию разлагаем в ряд по переменной

ходим к случаю массивной двумерной электродина-

t. Далее интегралы по переменной t берутся с помо-

мики без члена Черна - Саймонса, в рамках которой

щью формул [46]

⎛

⎞

πμ

∫

∞

cos

(|b - a|-μ - (b + a)-μ), a = b,

-2 < Rμ < 1,

⁽sinbt⁾

Γ(μ)

⎜

⎟

tμ-1 sinat

dt =

⎝

⎠,

(49)

cosbt

πμ

sin

((a + b)^-μ + |a - b|^-μ sign(a - b)),

|Rμ| < 1

{[

∫

где a > 0, b > 0.

u²

T₂ =

√

После интегрирования по переменной t получаем

mρ

u² + 2βu + ρ²

]

R(Δm(s)ζ) = ζ

[T₁ + T₂],

(50)

√

16π3/2

+ 3

u² + 2βu + ρ²

где приняты обозначения

(51)

[

∫

[

u²

2β

6 - 5u

-l

√

T₁ =

√π

u du

u² - 2βu + ρ²

mρ

(u² + ρ²(1 - u))1/2

]}

]

√

u²(2 - u)

+ 3

u² - 2βu + ρ²

+...,

(u² + ρ²(1 - u))3/2

(

√

)

1, u ∈ [0, u₁] ∪ [u₂, u₀], u₁ = β-

β² - ρ

√

(52)

0, u ∈ [u₁, u₂],

u₂ = β +

β² - ρ²

1069

П. А. Эминов

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

а многоточия в формулах (51) соответствуют вкла-

вклад в АММ электрона слагаемого с ε_μνλ в пропа-

ду членов более высокого порядка малости при раз-

гаторе фотона стремится к конечному, отличному от

ложении подынтегральной функции.

нуля, предельному значению.

В результате вычисления интегралов по перемен-

Наши результаты (55) и (57) показывают, что

ной u слагаемые, зависящие от величины u₀, взаим-

предельный переход ρ → 0 в этих формулах невоз-

но сокращаются и в логарифмическом приближении

можен в принципе, а поведение АММ нерелятивист-

получаем

ского электрона в предельном случае ρ → 0 описы-

вается формулами (56) и (58). Как следует из этих

R(Δm(s)ζ(Θ)) = -ζ

ρ ln(2β), ρ ≪ β ≪ 1,

(53)

формул, не параметр ρ Черна - Саймонса, а внешнее

4π

магнитное поле играет роль регуляризатора инфра-

Δμ(Θ)

e²

красной расходимости, причем энергия взаимодей-

ln(2β).

(54)

μ_B

2πm β

ствия АММ электрона с внешним магнитным полем

пропорциональна величине β ln β.

Наряду с этим, согласно формуле (58), однопет-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

левой вклад в АММ электрона слагаемого с ε_μνλ в

Проведенное исследование радиационного сдви-

пропагаторе фотона стремится при ρ → 0 к нулю, а

га массы электрона в КЭД₂₊₁ с членом Черна - Сай-

не к результату, следующему из формулы (24) рабо-

монса в постоянном магнитном поле показывает, что

ты [10].

в нерелятивистском приближении АММ электрона

Рассмотрение АММ электрона в топологичес-

согласно формулам (35), (41) и (54) имеет следую-

ки массивной двумерной электродинамике завер-

щие асимптотики:

шим двумя замечаниями. Во-первых, в отличие от

КЭД₃₊₁, в двумерной электродинамике отсутствует

[

(

)

Δμ(g_μν )

e²

свободное движение вдоль поля и спектр энергии

-(3 - 3ρ) +

ρ²

μ_B

8πm

электрона в магнитном поле является полностью

]

ρ+2

дискретным. Во-вторых, как это следует из фор-

× ln

β ≪ ρ, β ≪ 1,

(55)

мулы (17) из работы [10], магнитный формфактор

электрона в топологически массивной КЭД₂₊₁ в

свободном случае, когда нет внешнего магнитно-

]

Δμ(g_μν )

e²

^[3

го поля, содержит при Θ = 0 инфракрасную рас-

+ ln

ρ = 0, β ≪ 1,

(56)

μ_B

4πm

ходимость логарифмического типа. Поэтому, как

[

]

это нам представляется, при исследовании энергии

Δμ(Θ)

e²

ρ+2

2 - ρln

взаимодействия АММ с внешним магнитным полем

μ_B

8πm

(57)

на основе расчета вершинной функции переход к

β ≪ ρ, β ≪ 1,

малым значениям переданного импульса в КЭД₂₊₁

должен совершаться с учетом его зависимости от

Δμ(Θ)

e²

ln 2β,

магнитного поля.

μ_B

2πm β

(58)

ρ ≪ β ≪ 1, ln

≫ 1.

Благодарности. Автор выражает благодар-

2β

ность рецензенту статьи за сделанные замечания,

Заметим, что формулы (55) и (57) имеют вид,

В. Ч. Жуковскому и А. В. Борисову за обсужде-

совпадающий с соответствующими результатами

ние результатов работы и Г. В. Китаевой за помощь

(16) и (24) из работы [10], которые получены на ос-

в оформлении рукописи.

нове расчета вершинной функции. Но принципиаль-

Финансирование. Работа выполнена в рамках

ное отличие этих результатов состоит в том, что в

Программы фундаментальных исследований НИУ

работе [10] не исследованы условия применимости

ВШЭ.

формул (16) и (24). В результате этого в [10] де-

лается вывод о том, что вклад в АММ электрона,

описываемый формулой (16) этой работы, содержит

инфракрасную логарифмическую расходимость при

ЛИТЕРАТУРА

ρ → 0, которая устраняется благодаря члену Чер-

на - Саймонса в лагранжиане (1). Что касается фор-

1. P. K. Pyatkovskiy and V. P. Gusynin, Phys. Rev.

мулы (24), то в [10] делается вывод, что при ρ → 0

B 83, 075422 (2011).

1070

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Аномальный магнитный момент электрона. . .

M. A. H. Vozmediano, M. I. Katsnelson, and F. Gui-

24.

V. R. Khalilov, Eur. Phys. J. C 79, 196 (2019).

nea, Phys. Rep. 496(3-4), 109 (2010).

25.

P. A. Eminov, Phys. Rev. D 95, 075029 (2017).

I. V. Fialkovsky and D. V. Vassilevich, Int. J. Mod.

Phys A 27, 1260007 (2012).

26.

T. Appelquist, M. Bowick, D. Karabali, and

L. C. R. Wijewardhana, Phys. Rev. D 33, 3704

S. Deser, R. Jackiw, and S. Templeton, Ann. Phys.

(1986).

(N. Y.) 140, 372 (1982).

27.

V. P. Gusynin, V. A. Miransky, and I. A. Shovkovy,

C. R. Hagen, Ann. Phys. 157, 342 (1984).

Phys. Rev. D 52, 4718 (1995).

I. I. Kogan, Phys. Lett. B 262, 83 (1991).

28.

P. A. Eminov, Phys. Rev. D 97, 095019 (2018).

I. I. Kogan and G. W. Semenoff, Nucl. Phys. B 368,

29.

S. Deser, R. Jackiw, and S. Templeton, Phys. Rev.

718 (1992).

Lett. 48, 975 (1982).

M. Chaichian, W. F. Chen, and V. Ya. Fainberg, Eur.

30.

G. Dunne, in Proceedings of Topological Aspects of

Phys. J. C 5, 545 (1998).

Low Dimensional Systems, Springer-Verlag, Berlin

M. Fleck, A. Foerster, H. O. Girotti, M. Gomes,

(2000), pp. 3-76.

J. R. Nascimento, and A. J. da Silva, Int. J. Mod.

Phys. A 12, 2889 (1997).

31.

А. В. Борисов, А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский,

П. А. Эминов, УФН 167, 241 (1997).

10.

A. Das and S. Perez, Phys. Lett. B 581, 182 (2004).

32.

В. Р. Халилов, ТМФ 125, 132 (2000).

11.

N. Menezes, V. S. Alves, and C. M. Smith, Eur. Phys.

J. B 89, 271 (2016).

33.

Paolo Cea, Phys. Rev. D 32, 2785 (1985).

12.

E. V. Kurganova, H. J. van Elferen, A. McCollam,

34.

A. Neagu and A. M. J. Schakel, Phys. Rev. D 48,

L. A. Ponomarenko, K. S. Novoselov, A. Veligura,

1785 (1993).

B. J. vanWees, J. C. Maan, and U. Zeitler, Phys. Rev.

B 84, 121407 (2011).

35.

А. А. Соколов, И. М. Тернов, Релятивистский

электрон, Наука, Москва (1974), с. 392.

13.

Y. J. Song, A. F. Otte, Y. Kuk, Y. Hu, D. B. Tor-

rance, P. N. First, A. W. de Heer, H. Min, S. Adam,

36.

В. И. Ритус, Труды ФИАН 111, 5 (1979).

M. D. Stiles, A. H. MacDonald, and J. A. Stroscio,

37.

И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский, П. А. Эминов,

Nature 467, 185 (2010).

П. Г. Мидодашвили, ЯФ 43, 764 (1986).

14.

И. М. Тернов, И. Г. Багров, В. А. Бордовицын,

О. Ф. Дорофеев, ЖЭТФ 55, 2273 (1968).

38.

K. V. Zhukovskii and P. A. Eminov, Phys. Lett.

B 359, 155 (1995).

15.

В. И. Ритус, ЖЭТФ 57, 2176 (1969).

39.

А. И. Никишов, Труды ФИАН 111, 152 (1979).

16.

В. Н. Байер, В. М. Катков, В. М. Страховенко, ЯФ

24, 379 (1976).

40.

А. Е. Шабад, Труды ФИАН 192, 52 (1986).

17.

B. Jancovici, Phys. Rev. 187, 2275 (1969).

41.

В. Ч. Жуковский, Т. Л. Шония, П. А. Эминов,

ЖЭТФ 107, 299 (1995).

18.

E. J. Ferrer, V. la Incera, D. Paret, A. Martinez, and

A. Sanchez, Phys. Rev. D 91, 085041 (2015).

42.

А. В. Борисов, В. Ч. Жуковский, П. А. Эминов,

19.

E. J. Ferrer and V. de la Incera, Nucl. Phys. B 824,

ЖЭТФ 78, 530 (1980).

217 (2010).

43.

К. В. Жуковский, П. А. Эминов, ЯФ 59, 1265

20.

K. Farakos, G. Koutsoumbas, N. E. Mavromatos, and

(1996).

A. Momen, Phys. Rev. D 61, 045505 (2000).

44.

J. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951).

21.

N. Mavromatos and A. Momen, Mod. Phys. Lett.

45.

П. А. Эминов, ЖЭТФ 149, 76 (2016).

A 13, 1765 (1998).

22.

J. Alexandre, K. Farakos, and N. E. Mavromatos,

46.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-

New J. Phys. 7, 48 (2005).

лов, сумм, рядов и произведений, Наука, Москва

(1971), с. 1108.

23.

И. М. Тернов, А. В. Борисов, К. В. Жуковский,

Вестник МГУ, сер. 3, Физика, Астрономия № 1, 71

47.

V. R. Khalilov and I. V. Mamsurov, Eur. Phys. J.

(1997).

C 75, 167 (2015).

1071