ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 6, стр. 1120-1130

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ЛАЗЕРНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛАЗМЕ С УЧЕТОМ РЕЗОНАНСНОГО

МЕХАНИЗМА И ГЕНЕРАЦИИ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ДЛЯ

УСЛОВИЙ ЗАЖИГАНИЯ ТЕРМОЯДЕРНОЙ МИШЕНИ

Н. Н. Демченко^*

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 19 ноября 2019 г.,

после переработки 26 декабря 2019 г.

Принята к публикации 30 декабря 2019 г.

Рассмотрена модель резонансного поглощения лазерного излучения в плазме с учетом деформации

профиля плотности пондеромоторной силой. Рассмотрен механизм линейной трансформации лазерного

излучения в плазменные волны при резонансном поглощении. Для описания генерации быстрых электро-

нов плазменными волнами использовалось уравнение квазилинейной диффузии электронной функции

распределения в плазменном поле. Получены оценочные формулы для расчета доли энергии, поглощен-

ной за счет резонансного механизма, а также для расчета энергии быстрых электронов. Эти формулы

использованы в двумерной гидродинамической программе ATLANT-HE. Проведены расчеты гидродина-

мики плазмы и поглощения лазерного излучения для условий эксперимента на установке NIF при мощ-

ности излучения 30 ТВт и длительности импульса 7.5 нс по основанию. Плазма имела пространственные

размеры, которые возникают при облучении сферической мишени, предназначенной для зажигания тер-

моядерной реакции. Расчеты показали, что резонансный механизм поглощения приводит к генерации

быстрых электронов с энергией масштаба 40-80 кэВ. Энергия, переносимая быстрыми электронами, со-

ставляет величину масштаба (1 ÷ 1.5) % от лазерной энергии. Эти результаты оказались близкими к

результатам, полученным в эксперименте.

DOI: 10.31857/S0044451020060115

ни). Генерация надтепловых заряженных частиц в

лазерной плазме является одной из фундаменталь-

ных задач физики высоких плотностей энергии, ис-

1. ВВЕДЕНИЕ

следованию которой посвящено большое число ра-

Для зажигания лазерной термоядерной мишени

бот (см., например, обзоры [1-3] и монографию [4]).

при прямом облучении важной задачей является ис-

ключение предварительного прогрева мишени быст-

Экспериментальные и теоретические исследо-

рыми (надтепловыми) электронами, которые могут

вания показывают, что при прямом облучении

рождаться при взаимодействии лазерного излуче-

мишени, предназначенной для термоядерного за-

ния с плазмой разлетающейся короны. Прогрев ми-

жигания, импульсом Nd-лазера с интенсивностью

шени быстрыми электронами приводит к сниже-

10¹⁴-10¹⁵ Вт/см² главными механизмами генерации

нию коэффициента термоядерного усиления мише-

быстрых электронов являются развитие плазмен-

ни. Для повышения коэффициента усиления при

ных неустойчивостей (двухплазмонный распад и

этом необходимо повышать массу мишени, а следо-

вынужденное рамановское рассеяние) и линейная

вательно, и энергию лазерного импульса, так как па-

трансформация лазерного излучения в плазменные

раметр ρR должен превосходить значение 0.3 г/см²

волны при резонансном поглощении [5-7]. Следует

(ρ и R — плотность и радиус сжатой области мише-

отметить, что механизм линейной трансформации

хотя и является линейным по отношению к элект-

^* E-mail: demchenkonn@lebedev.ru

ронной компоненте плазмы, но с ростом плотности

1120

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Численное моделирование поглощения лазерного излучения...

потока лазерного излучения становится нелиней-

поглощении [10, 11]. Поэтому представляет интерес

ным по ионной компоненте, так как возрастает

анализ результатов эксперимента [8] на основе уче-

роль пондеромоторной силы, которая деформирует

та механизма резонансного поглощения, генерации

профиль плотности плазмы. От размера неодно-

плазменных волн при таком поглощении и ускоре-

родности плазмы в области критической плотности

ния электронов плазменными волнами. Для этого

зависит эффективность резонансного поглощения

была разработана приближенная модель таких про-

и величина продольного поля в резонансе, которое

цессов и получены аналитические выражения, кото-

определяет в конечном итоге энергию быстрых

рые можно использовать в гидродинамических про-

электронов. Законченной физической картины

граммах для эффективного учета этих процессов.

генерации быстрых электронов в плазме с раз-

Эта модель была использована в двумерной про-

мерами, характерными для мишеней зажигания

грамме ATLANT-HE [12]. В этой программе реша-

термоядерной реакции, в настоящее время нет. В

ются уравнения двухтемпературной гидродинамики

ряде работ сообщается о возможности генерации

с электронной и ионной теплопроводностями в пред-

быстрых электронов с температурой в диапазоне

положении аксиальной симметрии, а также вычис-

от

до

кэВ. Неопределенность существует

ляется поглощение лазерного излучения с учетом

и в отношении доли лазерной энергии, которая

рефракции излучения, обратного тормозного и резо-

трансформируется в энергию быстрых электронов.

нансного механизмов поглощения. В работе [13] рас-

В связи с этим большое значение имеет работа

сматривалась модель резонансного поглощения для

[8], в которой приведены результаты исследования

условий, когда пондеромоторное давление излуче-

генерации быстрых электронов в эксперименте на

ния превосходит тепловое давление в области кри-

установке NIF [9] для условий, возникающих при

тической плотности и углы падения излучения на

прямом облучении и зажигании сферической термо-

плазму являются небольшими. При этом точка по-

ядерной мишени. Часть пучков лазерной установ-

ворота луча находилась близко к критической точ-

ки направлялась на плоскую мишень (из CH или

ке. Здесь мы рассмотрим случай p_r/p_T ≪ 1, где p_r и

Si). Диапазон углов падения излучения на мишень

p_T — величины пондеромоторного и теплового дав-

был достаточно широким, так как число пучков бы-

ления соответственно, при этом углы падения не бу-

ло большое, а оси пучков составляли максималь-

дут предполагаться малыми.

ный угол в 50^◦ с нормалью к мишени. Плотность

потока излучения третьей гармоники Nd-лазера на

мишени составляла около 10¹⁵ Вт/см² при радиусе

2. РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ПРИ

лазерного пятна около 1 мм. Длительность лазер-

ДЕФОРМАЦИИ ПРОФИЛЯ ПЛОТНОСТИ

ного импульса по основанию составляла 7.5 нс при

ПЛАЗМЫ

времени возрастания (передний фронт) 2 нс и вре-

мени убывания (задний фронт) 0.5 нс. Измеренная

Эффективность резонансного поглощения опре-

доля энергии быстрых электронов составила 1-3 %

деляется функцией Φ(τ) [10], которая выражается

от лазерной энергии (в зависимости от плотности

через функцию Эйри и ее производную. Здесь τ =

потока), а их температура лежала в диапазоне 30-

= (k₀L)1/3α₀, где k₀ = ω/c — волновое число лазе-

60 кэВ. Количество и энергия быстрых электронов

ра, L — размер неоднородности плазмы, α₀ = sin θ₀,

определялись из измерений рентгеновского излуче-

θ₀ — угол падения излучения. Для функции Φ(τ)

ния. Для объяснения генерации быстрых электро-

можно записать приближенное выражение (макси-

нов использовалась теория вынужденного раманов-

мальная погрешность не более 10 %):

ского рассеяния (ВРР) в области плотности плазмы,

(

)

равной четверти критической плотности. Быстрые

2τ

Φ(τ) =

√

exp

τ³

(1)

электроны при этом генерируются в поле плазмен-

τ² + 0.46

ных волн, возникающих при ВРР. В эксперименте

было зарегистрировано рассеянное излучение с час-

Функция Φ(τ) имеет максимум при τ = 0.7. Эф-

тотой, лежащей в окрестности ω/2, где ω — частота

фективность резонансного поглощения p-поляризо-

лазерного излучения. Следует отметить, что плаз-

ванного излучения δ_ar = Φ²(τ)/2 [14, 15]. В случае

менные волны генерируются не только за счет нели-

аксиальной симметрии плазмы и аксиально-симмет-

нейных процессов (ВРР и двухплазмонного распа-

ричного лазерного пучка эффективность резонанс-

да), но и за счет линейной трансформации лазерно-

ного поглощения δar = Φ2(τ)/4, так как полови-

го излучения в плазменные волны при резонансном

на потока падающего излучения имеет p-поляриза-

1121

ЖЭТФ, вып. 6

Н. Н. Демченко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

цию, а другая половина — s-поляризацию. Для со-

пробега ионов становится больше длины волны

хранения аксиальной симметрии задачи необходи-

лазерного излучения. Например, длина пробега

мо предполагать циркулярную поляризацию лазер-

ионов H равна l_H = vTH/(ν_HC + ν_HH) = 2.7 мкм,

ного излучения. В программе ATLANT-HE опреде-

ионов C — l_C

= vTC/(ν_CH + ν_CC)

= 0.07 мкм.

ляется точка поворота луча, в которой ε = ε_t > 0

Индексы H и C в тепловых скоростях и частотах

(ε = 1 - ω2p/ω² — диэлектрическая проницаемость

столкновений обозначают участвующие в столк-

плазмы). Далее в окрестности точки поворота рас-

новениях ионы. Частоты столкновений имеют

сматривается волновая задача о наклонном падении

значения: ν_HH = 4.93 · 10⁹ с-1, ν_CC = 1.84 · 10¹² с-1,

излучения на плазму с линейным профилем плот-

ν_HC = ν_CH = 1.78 · 10¹¹ с-1. Средняя длина пробега

ности. Угол падения θ₀ выбирается из условия ε_t =

l_i определяется из соотношения

= sin² θ₀. Пусть L₀ — размер неоднородности невоз-

мущенного профиля плотности, L₁ — размер неод-

m_Hn_HvTHl_H + m_Cn_CvTCl_C =

нородности с учетом деформации профиля пондеро-

= (m_Hn_HvTH + m_Cn_CvTC) l_i

моторной силой. Размер L₀ определяется выраже-

нием L-10 = |grad ρ|/ρ_c, где ρ — плотность плазмы,

и оказывается равной 0.66 мкм, что больше длины

ρ_c — критическая плотность (ω2p/ω² = ρ/ρ_c). Размер

волны лазерного излучения 0.35 мкм. Поэтому для

L₁ находится с помощью приближенных соотноше-

определения структуры профиля плотности в рас-

ний. Ниже получим эти соотношения.

сматриваемой области необходимо учитывать ион-

Известна формула Киддера [16] для скачка плот-

ную вязкость: p_v = -μ du/dz, μ = μ₀T5/2i — коэф-

ности Δρ в окрестности критической точки, кото-

фициент ионной вязкости. Скорость u имеет отри-

рая для случая низкого пондеромоторного давле-

цательную компоненту вдоль оси z, ее производная

ния по сравнению с тепловым давлением имеет вид

по z положительна, следовательно, p_v < 0. В правых

Δρ/ρ_c

= (p_r/p_T )1/2. В случае скачка плотности

частях (2) и (3) стоят величины, взятые в звуковой

L₁ = 0. В действительности скачок имеет струк-

точке (точке Жуге), где |u| = c_s. Для определения

туру, и L₁ = 0. Мы рассмотрим структуру скачка,

положения точки Жуге рассмотрим вместо (3) диф-

обусловленную ионной вязкостью. Поскольку пере-

ференциальное уравнение движения:

ходный слой между точкой поворота и критической

точкой является очень узким по сравнению с раз-

ρu

(ρc2s + p_v + p_r).

(4)

мерами разлетающейся плазмы, можно рассмотреть

стационарные законы сохранения массы и импульса

Используя (2) и подставляя в (4) u = -ρ_sc_s/ρ, мож-

в предположении постоянных температур электро-

но получить

нов T_e и ионов T_i. Направим ось z вдоль градиен-

dρ

та плотности в направлении роста плотности, тогда

(c2s - u²)

(p_r + p_v).

(5)

скорость имеет отрицательный знак. Стационарные

уравнения имеют вид

Из (5) следует, что точкой Жуге при условии

dρ/dz = 0 является точка, в которой одновремен-

ρu = -ρ_sc_s,

(2)

но p_r и p_v имеют максимум (или минимум). Макси-

мум p_v означает, что в этой точке находится макси-

мум производной скорости (точка перегиба). Про-

p_T + ρu² + p_r + p_v = 2ρ_sc2s + p_rs + p_vs,

(3)

филь плотности также будет иметь точку переги-

где p_T = ρc2s, p_r и p_v — величины теплового, понде-

ба вблизи этой точки. Пондеромоторное давление

ромоторного и вязкостного давления соответствен-

имеет максимумы при критической плотности ρ_c и

но, c_s — скорость звука.

вблизи точки поворота ρ_t (ε_t = 1 - ρ_t/ρ_c). Макси-

Вопрос сведения пондеромоторной силы

мум p_r вблизи точки поворота является широким,

(ε - 1)∇|E|2/16π к градиенту пондеромоторно-

так как это поперечное поле. Максимум p_r вблизи

го давления p_r был рассмотрен в работе [13]. Как

критической плотности является узким, так как его

показали предварительные расчеты в условиях

ширина определяется изменением плотности Δρ =

эксперимента NIF, температуры электронов и

= ρ - ρ_c на величину Δρ/ρ_c = ν/ω ≪ 1, где ν =

ионов достаточно высоки из-за большого прост-

= ν_ei+ν_p, ν_ei — электрон-ионная частота столкнове-

ранственного размера плазмы (T_e

≈

кэВ,

ний, ν_p — эффективная частота, описывающая об-

T_i

≈ 2.5 кэВ). При такой ионной температуре

разование плазменных волн, ν_p/ω = [β_T /(k₀L)]2/3,

в CH-плазме с критической плотностью длина

β_T = [T_e/(m_ec²)]1/2 [10]. Переходя к безразмерной

1122

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Численное моделирование поглощения лазерного излучения...

плотности x = ρ/ρ_s и записывая вязкостное давле-

Из (10) следует, что разность производных dx/dz

ние в виде p_v = -(μc_s/x²) dx/dz, из (3) можно полу-

определяется пондеромоторным давлением в крити-

чить уравнение для вязкостной структуры профиля

ческой точке. Производная определяет размер неод-

плотности:

нородности плотности: 1/L = dx/dz. Из (10) сле-

a dx

дует, что L_c < L₀, где L₀ — размер неоднородно-

= F(x) +

(p_r - p_rs - p_vs),

(6)

сти невозмущенного профиля плотности. Малая ши-

x² dz

ρ_sc²

рина поля в резонансе на критической поверхнос-

где a = μ/(ρ_sc_s), F (x) = x + 1/x - 2. Функция F (x)

ти означает, что профиль плотности в этой области

имеет минимум равный нулю при x = 1 (в точке

имеет излом, т. е. скачок производной dx/dz.

Жуге). В (6) необходимо положить p_rs + p_vs = 0

Оценку среднего размера неоднородности плаз-

(p_vs имеет отрицательный знак). Действительно, ес-

мы в диапазоне плотности x от 1 (это примерно точ-

ли предположить, что -p_vs = p_rs+Δ, то при отрица-

ка поворота) до x_c = 1/(1 - ε_t) можно сделать, если

тельном значении Δ правая часть в (6) может при-

найти пространственный размер Δz, соответству-

нимать отрицательные значения, и возникнут два

ющий этому интервалу плотности. Отметим, что

корня xk1 и xk2, при которых правая часть в (6) об-

вкладом в Δz области резонанса можно пренебречь

ращается в нуль. При этом переход от плотности xk1

из-за очень узкой области (и по x, и по z), в кото-

к xk2 должен происходить скачком, что невозмож-

рой этот резонанс существует. Правая часть (7) при

но при наличии вязкости. Если Δ > 0, то дополни-

x = 1 определяется слагаемым β = p_rs/ρ_sc2s. С рос-

тельное значение производной плотности, не связан-

том x правая часть (7), определяющая производную

ное с пондеромоторным давлением, будет описывать

dx/dz, будет иметь примерно такие же значения до

структуру ударной волны разрежения, существова-

значения x^∗, при котором F (x) сравнивается с β. Да-

ние которой не допускается законами термодинами-

лее производная dx/dz возрастает из-за роста F (x).

ки. Поэтому уравнение (6) будет иметь вид

Функцию F (x) в окрестности x = 1 можно прибли-

a dx

p_r

женно записать в виде F (x) ≈ (x-1)². Из равенства

= F(x) +

(7)

x² dz

ρ_sc²

F (x^∗) = β находим x^∗-1 =

√β. Поэтому можно счи-

тать, что расстояние Δz в основном набирается при

Если предположить, что точка Жуге совпадает с

изменении x в интервале Δx_p =

√β. Может оказать-

критической точкой, то в точке поворота x_t = 1 - ε_t

ся (при малых углах падения), что интервал Δx_p >

в правой части (6) появляется большое положитель-

> x_c-1. Тогда в качестве интервала Δx необходимо

ное слагаемое F (x_t), не связанное с пондеромотор-

выбрать x_c - 1. В результате имеем

ным давлением. Другая возможность — располо-

{√

}

жить точку Жуге в максимуме пондеромоторного

Δx = min

β, (x_c - 1)

(11)

давления вблизи точки поворота. Тогда в этой точ-

ке F (1) = 0 и производная dx/dz будет определяться

Интервал Δz, соответствующий интервалу Δx, на-

пондеромоторным давлением. В критической точке

ходим из (7), полагая для оценки x = 1: Δz =

xc > 1 и F (xc) > 0. Однако, для вычисления произ-

= Δx(a/β). Средний размер неоднородности L₁

водной dx/dz в этой точке необходимо учитывать

определяется из формулы

очень малую ширину пондеромоторного давления

x_c - 1

β x_c -1

как функции переменной x. Записывая (7) в виде

F (x) = -(p_r + p_v)/ρ_sc2s, рассмотрим это выражение

L₁

Δz

a Δx

в двух точках: в критической точке x_c и в точке x₀,

Для отношения y₁ = L₁/L₀, где L₀ — размер невоз-

где давлением p_r можно пренебречь:

мущенного профиля, имеем

F (x_c) = -

(p_rc + p_vc),

(8)

aΔx

ρ_sc²

y₁ =

(12)

βL₀(x_c - 1)

pv0

F (x₀) = -

(9)

При вычислении максимума пондеромоторного дав-

ρ_sc²

ления p_rs = (|E|² +|H|²)/16π необходимо учесть, что

Так как x₀ - x_c ≈ ν/ω ≪ 1, то можно считать,

поле имеет вид стоячей волны (сумма падающей и

что F (x_c) ≈ F (x₀). Вычитая левые и правые части

отраженной волн). В максимуме |E|² магнитное по-

(8) и (9), получим

ле равно нулю. В падающей волне в приближении

геометрической оптики |E_i|² ∼ 1/√εθ, |Hi|2 ∼√εθ

pv0 - p_vc = p_rc.

(10)

где ε_θ = ε - ε_t. Поэтому |E_i|²/|H_i|² = 1/ε_θ. Поле в

1123

11*

Н. Н. Демченко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

резонансе вычисляется через магнитное поле в кри-

3. ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ И ГЕНЕРАЦИЯ

тической точке [10]:

БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

|H_i|Φ(τ)

Рассмотрим теперь процесс генерации быстрых

|E_zc| =

(13)

(2πk₀L₁)1/2(ν/ω)

электронов в плазменных волнах, которые распро-

страняются из резонанса в подкритическую плаз-

Поэтому в программе вдоль луча вычисляется |H_i|²

му. Плазменное поле в резонансе (13) ограничива-

с учетом уменьшения при поглощении за счет обрат-

ется суммарной частотой ν = ν_ei +ν_p. Поэтому доля

ного тормозного механизма. Для вычисления |E_i|²

резонансно поглощенной мощности состоит из двух

через |H_i|² надо знать величину ε_θ в точке, где мож-

частей: ν_ei/ν — это тепловой нагрев электронов, а

но использовать приближение геометрической опти-

ν_p/ν — это доля, переносимая плазменными вол-

ки. В [10] приведено сравнение точного решения для

нами. Для описания плазменных волн используем

слоя плазмы с линейным профилем с решением в

выражения для дисперсии и затухания плазменных

приближении геометрической оптики. Ближайший

волн (затухание Ландау на электронах) [17]. Если

к точке поворота максимум |E|² можно вычислить

имеются лишь тепловые электроны, то эти выраже-

в приближении геометрической оптики и значение

ния имеют вид

ε_θ в этой точке равно

(

)

ω=ω_p

k²r²

(19)

ε_θs =

(14)

(k₀L₁)2/3

(

)

где b ≈ 1.5. Приближенно выражение (14) можно

^√π ω_p

γ =

exp

(20)

получить из соотношения

(kr_D)3

2(kr_D)²

∫

Здесь ω — лазерная частота, а плазменная частота

√ε dz =

ω_p и волновое число k являются функциями коорди-

наты z, r_D — радиус Дебая. Если ввести переменную

s = ω_p/ω и использовать соотношение r_D = v_Te/ω_p

(z_cθ — точка, в которой ε_θ = 0), которое дает зна-

то (19), (20) можно записать в виде

чение b = (3π/4)2/3 = 1.77. Более точное значение

√

b = 1.5. Необходимо учесть также, что в стоячей

kv_Te = ω

s(1 - s),

(21)

волне в пучности |E|² = 4|E_i|². Это приводит к вы-

ражению для β:

(

)

2/3

|H_is|²(k₀L₁)

^√π ω4p

ω2p

β =

=β₀y2/31,

(15)

γ =

exp

(22)

4πρ_sc2sb

(kv_Te)³

2(kv_Te)²

где

2/3

Так как мы рассматриваем граничную задачу, то

|H_is|²(k₀L₀)

β₀ =

вместо декремента γ необходимо учитывать прост-

4πρ_sc2sb

ранственный коэффициент затухания κ

= γ/v_p,

Из условия (11) с помощью (12) находим два значе-

v_p = ω/k — фазовая скорость. Коэффициент κ мож-

ния для y₁:

но записать в виде

[

]3/4

κ=κ₀

G(s),

(23)

y₁₁ =

(16)

v_Te

√β₀ L₀(x_c - 1)

[

]

(

)3/5

s³

G(s) =

exp -

(24)

y₁₂ =

(17)

1-s

4(1 - s)

β₀L₀

где κ₀ = (3/2)(π/8)1/2 exp(-3/2) = 0.2097. Функция

и выбираем минимальное из них:

G(s) имеет максимум G₀ = 0.1997 при s = s₀ =

= 0.6849, при s > s₀ она убывает: G(0.8) = 0.1275,

y₁ = min{y₁₁, y₁₂}.

(18)

G(0.9) = 8.54 · 10-3. При s > s₁ (s₁ = 0.9) функция

В результате получаем значение размера неоднород-

G очень мала и ее можно считать равной нулю. Мы

ности L₁ в деформированном профиле плотности.

должны определить значение s_a, при котором волна

1124

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Численное моделирование поглощения лазерного излучения...

затухнет до относительного значения exp(-n), где

в предположении, что плазменная волна в области

n — задаваемая величина, n = 1-2. Для этой оцен-

s1 < s < 1 затухает слабо и энергия волны тра-

ки заменим функцию (24) в интервале s₀ < s < s₁

тится в основном на нагрев тепловых электронов

линейной:

(при s < s₁). При этом быстрые электроны набира-

(

)

ют энергию от плазменной волны наиболее эффек-

s-s₀

G(s) ≈ G₀

(25)

тивно, так как набор энергии происходит во всей

s₁ - s₀

области s₁ < s < 1. Эта оценка энергии быстрых

а при s₁ < s < 1 будем считать ее равной нулю. Сде-

электронов является оценкой сверху. Для опреде-

лаем переход от переменной s = ω_p/ω к пространст-

ления энергии быстрых электронов в этом случае

венной координате z. Пусть z = 0 в критической

используем уравнение квазилинейной диффузии (в

точке, тогда ε = z/L₀, s =

^√1 - ε =^√1 - z/L₀ ≈

импульсном пространстве) [17]:

≈ 1 - z/2L₀ (в отличие от предыдущего раздела

(

)

∂f₀

∂

∂f₀

здесь ось z направлена в сторону убывания плотно-

(29)

∂z

∂p

сти плазмы). Переменная s теперь линейно связана

с z, поэтому G(z) будет также линейной функцией

где D

≈ e²E2p/v₀Δk — коэффициент диффузии,

z. Из условия

определяемый спектральной плотностью квадрата

∫

плазменного поля, E_p — плазменное поле, v₀ — ха-

κ dz = n

(26)

рактерная фазовая скорость волны, Δk — ширина

спектра волновых чисел в волне. Так как волновой

вектор волны согласно (21) является функцией s и,

находим ширину области затухания плазменной

соответственно, координаты z, то в области 0 < z <

волны:

< z_a плазменное поле будет содержать фурье-ком-

)1/2

поненты с волновыми векторами в области 0 < k <

⁽nv_TeL₀

z_a - z₁ = 2

(27)

< k_a, где k_a — значение k на границе области z_a.

fω

Для оценок можно считать спектральную плотность

плазменного поля равномерной в этой области, по-

где множитель f = κ₀G₀/(s₁ - s₀) = 0.1947. Ши-

рина области по переменной s составляет s₁ - s_a =

этому коэффициент диффузии D записан в таком

виде. Из (29) можно получить оценочное уравнение:

= (z_a - z₁)/2L₀. Расчеты показали, что, как прави-

ло, точка s_a находится правее точки s₀, где G имеет

v^∗

максимум. Поэтому нет необходимости рассматри-

(30)

Δz

(Δp)²

вать функцию G(s) при s < s₀. Отметим, что G(s) →

→ 0 при s → 1, так как при s → 1 волновой вектор

где Δz = za = 2L0(1 - sa); v∗ = vh/2 — сред-

k → 0 (фазовая скорость стремится к бесконечно-

няя скорость быстрого электрона; Δp = p_h; v_h и

сти), и число электронов, имеющих фазовую ско-

p_h — скорость и импульс быстрого электрона, наб-

рость волны, экспоненциально мало. Если у элек-

ранные при прохождении расстояния Δz. В выра-

тронной функции распределения есть надтепловая

жении для коэффициента диффузии D можно ис-

часть, описываемая температурой T_h и плотностью

пользовать значения: v₀ = ω/k₀, k₀ = k_a/2, Δk =

электронов n_h, то в области s₁ < s < 1 декремент

= k_a = (ω/v_Te)[(2/3)s_a(1 - s_a)]1/2. При этом произ-

γ и коэффициент затухания κ отличны от нуля. Де-

ведение v₀Δk = 2ω. Поле E_p можно взять в точке

кремент затухания волны на быстрых электронах γ_h

s∗ = (1 + sa)/2. Значение поля в точке s∗ можно

имеет вид [17]

определить в приближении геометрической оптики

(

)

через поле в критической точке:

√ ω_pωn_h

ω²m_e

γ_h = π3/2e²

2m_e

exp

(28)

2k²T_h

^√ε₁

k³T3/2h

E2p = E²

(31)

^pcr ε^∗

Рассмотрим оценку энергии быстрых электро-

нов. В общем случае для этой оценки необходимо

Здесь ε^∗ = 1 - (s^∗)², а ε₁ = b(v_Te/ωL₁)2/3 — значе-

самосогласованно учитывать набор энергии быст-

ние ε вблизи критической плотности, где примени-

рыми электронами и затухание плазменной волны

мо приближение геометрической оптики. Выраже-

из-за передачи энергии этим электронам. На дан-

ние для ε₁ получается из (14), если в нем k₀ = ω/c

ном этапе ограничимся более простыми оценками в

заменить на ω/v_Te. В результате из (30) для энергии

двух предельных случаях. Первая оценка делается

быстрых электронов ε_h получаем оценку

1125

Н. Н. Демченко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

)1/3

Таблица

⁽2ε₁m_ec

ε_h = ε_oscr [k₀L₀(1 - s_a)]2/3

(32)

ε^∗ε_oscr

q_L, 10¹⁵ Вт/см²

0.5

1.0

1.5

Если предположить, что функция распределения в

δ_a

0.936

0.929

0.927

(29) имеет максвелловский вид с температурой T_h,

(

)

δ_ar

0.0114

0.0142

0.0164

p²

f₀ =

(33)

δ_p

0.0092

0.0125

0.0150

√T_h exp

2m_eT_h

то для T_h из (29) получим уравнение

I(r) = exp(-r²/a²). Угол падения луча с координа-

dT_h

той r = a составлял 25^◦. Граница пучка имела ра-

(34)

m_e

диус r_b = 2a. Радиус лазерного пятна на мишени по

уровню интенсивности при r = a составлял 980 мкм.

и для T_h получается оценочное выражение (32) с до-

Временная форма импульса имела вид трапеции с

полнительным численным множителем T_h = 24/3ε_h.

нижним основанием 7.5 нс, верхним основанием 5 нс

Вторая оценка энергии быстрых электронов де-

и передним фронтом 2 нс. Длина волны излучения

лается в предположении, что затухание плазменной

равнялась 0.351 мкм. Интенсивность в максимуме

волны на быстрых электронах является сильным

импульса варьировалась. Были рассмотрены три ее

и почти вся энергия плазменной волны передает-

значения: (0.5, 1, 1.5) · 10¹⁵ Вт/см². В таблице при-

ся быстрым электронам. В этом случае в (31) дол-

ведены значения общей доли поглощенной энергии

жен быть учтен множитель δ_ah = exp(-2κ_hΔz^∗), где

δ_a (обратный тормозной и резонансный механизмы),

κ_h — амплитудный коэффициент затухания плаз-

доли энергии, поглощенной за счет резонансного ме-

менной волны на быстрых электронах (квадрат по-

ханизма, δ_ar и доли энергии, переносимой плазмен-

ля затухает с коэффициентом 2κ_h), Δz^∗ = z₁/2 —

ными волнами, δ_p. Если эффективность передачи

полуширина области затухания. Доля потока энер-

энергии от плазменных волн в быстрые электроны

гии, которая теряется волной на генерацию быст-

высока (δ_h ≈ δ_p), то значения δ_h оказываются близ-

рых электронов, равна 1 - δ2ah. Выражение для κ_h

кими к измеренным в эксперименте значениям. Так

получается из (28) с учетом того, что κ_h = γ_h/v_p =

же как и в эксперименте, δ_h растет с ростом плот-

= γ_hk/ω. Если учесть также, что T_h = m_ev2h/2 и

ности потока лазерного излучения. Отметим, что в

v_h = v_p, получим

эксперименте распределение падающего потока по

√

углам падения не имело аксиальной симметрии, так

ωn_h

как мишень была повернута относительно оси ко-

κ_h =

√π exp(-1)s

s(1 - s)

(35)

v_Ten_ec

нуса, который образовывали падающие пучки. По-

ворот мишени делался для того, чтобы увеличить

где n_ec — критическая плотность электронов. Для

долю потока с малыми углами падения. Однако да-

температуры быстрых электронов в случае затуха-

же при такой разнице условий облучения мишени в

ния плазменной волны из (32) с учетом соотношения

расчете и эксперименте расчетная доля энергии, со-

24/3ε_h получаем

держащаяся в быстрых электронах, количественно

и качественно близка к измеренной в эксперименте.

T_h = 24/3ε_oscr [k₀L₀(1 - s_a)]2/3 ×

Расчет без учета деформации профиля плотности,

)1/3

⁽2ε₁m_ec

когда размер неоднородности плотности выбирался

δ2/3ah,

(36)

ε^∗ε_oscr

равным L₀, для варианта q_L = 10¹⁵ Вт/см² дал сле-

дующие значения: δ_a = 0.933, δ_ar = 4.01 · 10-3, δ_p =

так как T_h ∼ εos3, ε_os ∼ δ_ah.

= 2.27 · 10-3. Значения δ_p в этом случае оказались

Рассмотренная выше модель резонансного погло-

в 5.5 раз меньше, чем в варианте с деформацией

щения и генерации быстрых электронов использова-

профиля плотности. На рис. 1 приведены простран-

на в программе ATLANT-HE [12]. Были проведены

ственные распределения плотности плазмы и элек-

расчеты взаимодействия с плазмой фокусируемого

тронной температуры в момент времени t = 5 нс для

на CH-мишень лазерного пучка с учетом условий

варианта q_L = 10¹⁵ Вт/см². Максимум электрон-

эксперимента NIF [8]. В расчетах рассматривался

ной температуры в этот момент составляет около

аксиально-симметричный лазерный пучок с гауссо-

5 кэВ. В результате расчетов получено, что макси-

вой зависимостью интенсивности по сечению пучка:

мум ионной температуры составляет 2.5 кэВ. Мак-

1126

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Численное моделирование поглощения лазерного излучения...

z, см

1.0

Плотность, г/см³

Температура, эВ

-1

4.26

. 10

0.8

4.99. 10³

7.71 . 10^-2

4.16. 10³

1.40 . 10^-2

3.33. 10

0.6

2.53 . 10^-3

2.50. 10

-4

1.67. 10³

4.57

. 10

0.4

8.39. 10²

8.28 . 10^-5

1.00. 10¹

1.50 . 10^-5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

R,см

Рис. 1. Пространственные распределения плотности в г/см³ (a) и электронной температуры в эВ (б) плазмы в момент

времени 5 нс для варианта qL = 10¹⁵ Вт/см²

симальная энергия быстрых электронов ε_hmax, вы-

и доля резонансного поглощения связанного с

численная по формуле (32), в этот момент времени

данным лучом потока равна (Φ²/4) exp(-l)

составляет 64 кэВ. В приближении максвелловской

= 0.086. Не все лучи имеют параметр τ, близкий

функции распределения быстрых электронов с тем-

к оптимальному, поэтому интегральная доля

пературой T_h получаем T_hmax = 160 кэВ. Из экспе-

резонансного поглощения меньше. Вычислим энер-

римента следует, что плазменные волны эффектив-

гию осцилляций электрона в плазменном поле

но передают энергию быстрым электронам [8]. Если

(13) в критической точке. Для этого учтем, что

взять значение δ_ah = exp(-1), то из (36) получаем

|H_i| = |H0| exp(-l/2) = 1.5 · 106 ед. СГС, ν/ω =

T_hmax = 82 кэВ. При этом в энергию быстрых элект-

= ν_ei/ω + ν_p/ω = 7.58 · 10-3 (для Te = 5 кэВ).

ронов передается доля энергии плазменной волны

Тогда для энергии осцилляций электрона полу-

1 - δ2ah = 0.86. Если принять, что средняя темпера-

чаем ε_oscr

= e²|E_zc|²/(2m_e/ω²)

= 0.13 кэВ. В

тура T_h равна примерно половине максимальной, то

формуле

(31) используем следующие значения:

получается значение T_h = 41 кэВ. Из (36) следует,

sa = 0.89, ε∗ = 0.107, ε1 = 6.72 · 10-3. Тогда из

что с ростом доли энергии, передаваемой быстрым

(32) получаем ε_h

= 64 кэВ. Рассмотрим также

электронам, их температура падает. Энергии быст-

оценку размера L₁ по формулам (16)-(18). Для

рых электронов такого масштаба наблюдались и в

этого используем значения: μ = 30.9 ед. СГС (при

эксперименте.

T_i = 2.5 кэВ в CH-плазме), ρ_c = 2.85 · 10-2 г/см³,

c_s = 5.43 · 10⁷ см/с. Имеем y₁₁ = 0.162, y₁₂ = 0.0245,

Рассмотрим оценки, позволяющие представить

следовательно, L₁

= 250 · 0.0245

= 6.13 мкм.

масштабы величин, входящих в формулы (32) и

Для определения коэффициента вязкости μ в

(36). В численном расчете (вариант 10¹⁵ Вт/см²)

на момент времени 5 нс для луча, с которым свя-

CH-плазме использовалось выражение [18] μ

= T_i[n_H/(ν_HH + ν_HC) + n_C/(ν_CC + ν_CH)], где T_i —

зана максимальная энергия быстрых электронов,

получены значения: L₀ = 250 мкм, L₁ = 6.13 мкм,

ионная температура, n_H и n_C — плотности ионов

водорода и углерода (n_H

= n_C = n_i/2), ν_HH —

sinθ₀

= 0.12. Для третьей гармоники Nd-лазера

частота протон-протонных столкновений, в осталь-

k0 = 1.79 · 105 см-1. При этих параметрах имеем

ных частотах индексы указывают на сорта ионов,

τ = (k0L1)1/3 sin θ0 = 0.574, Φ(τ) = 1.14. Согласно

участвующих в столкновениях. Учитывалось также

таблице, δ_a = 0.929 = 1 - exp(-2l), где l — харак-

то, что в частоте столкновений протона и ядра

терная оптическая толщина плазмы для обратного

углерода приведенная масса частиц определяется

тормозного механизма поглощения на пути до

точки поворота. Тогда имеем exp(-l)

= 0.266,

более легкой частицей.

1127

Н. Н. Демченко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Одной из причин низких значений δ_ar и δ_p во

p h exp

, %

всех вариантах является значительное поглощение

1.0

лазерного излучения на пути к критической поверх-

ности за счет обратного тормозного механизма. Су-

ществует еще один эффект от деформации профи-

0.8

ля плотности в окрестности точки поворота луча.

Эффект заключается в снижении эффективности

поглощения за счет обратного тормозного механиз-

0.6

ма, так как плотность подкритической плазмы с де-

формированным профилем меньше в сравнении с

плотностью с недеформированным профилем. Рас-

0.4

четы величин, приведенных в таблице, проводились

без учета снижения этой эффективности поглоще-

ния. С уменьшением оптической толщины плазмы

0.2

для лазерного излучения возрастает доля потока,

дошедшая до точки поворота, следовательно, воз-

растает доля резонансного поглощения. Можно при-

ближенно рассмотреть этот эффект, предположив

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

линейную зависимость плотности от пространствен-

q_L, 1015 Вт/см2

ной координаты z (ρ/ρ_c = z/L) и нормальное паде-

ние излучения на плазму. Коэффициент поглощения

Рис. 2. Зависимости от интенсивности лазерного излуче-

ния доли энергии, трансформированной в плазменные вол-

для обратного тормозного механизма как функция

ны, δp без учета (1) и с учетом (2) снижения обратного тор-

плотности имеет вид κ_b = κb0ρ²/(1 - ρ/ρ_c)1/2. Опти-

мозного поглощения из-за деформации профиля плотно-

ческая толщина l до критической точки определя-

сти. Точки — экспериментальные значения доли лазерной

ется интегралом вдоль луча:

энергии, трансформированной в быстрые электроны. Кри-

вая 3 — эффективность δ_ph передачи энергии плазменных

∫L

волн (расчетная кривая 2) в энергию быстрых электронов

l = κ_bdz.

(37)

(эксперимент)

Отношение лазерного потока в точке поворота при

Плотность деформированного профиля в подкрити-

деформированном профиле к потоку при недефор-

ческой области (0 < z < L) запишем в виде ρ_d =

мированном профиле f_t = exp[l₀(1 - g_d)] представ-

= f_dρ (fd < 1). Если рассматривать отклонение

ляет собой фактор увеличения доли резонансного

плотности Δρ = ρ - ρ_d, то относительное отклоне-

поглощения из-за деформации профиля плотности.

ние α_d = Δρ/ρ = 1 - f_d. Величину α_d определяем по

На рис. 2 приведены результаты расчетов доли ла-

формуле Киддера α_d = (p_rt/p_T )1/2, где p_rt — пон-

зерной энергии, трансформированной в плазменные

деромоторное давление в точке поворота. Интеграл

волны, δ_p без учета и с учетом деформации профи-

(37) для линейного профиля плотности вычисляется

ля плотности. Точками показаны эксперименталь-

аналитически при любых значениях α_d:

ные значения доли лазерной энергии, трансформи-

рованной в энергию быстрых электронов, δ_hexp, взя-

l=κb0ρ2cL

тые из [8]. Кривая 3 изображает эффективность пре-

1-α_d

[

(

)]

образования энергии плазменных волн в энергию

- 2√αd -

α3/2d +

α5/2

(38)

быстрых электронов, δ_ph, полученную из расчетных

значений δ_p с учетом деформации (кривая 2) и экс-

Введем отношение оптических толщин деформиро-

периментальных значений δ_hexp. Из рис. 2 следует,

ванного и недеформированного профилей: g_d(α_d) =

что учет деформации профиля плотности привел к

= l(α_d)/l₀, где l₀ = l(0). Для небольших значений

более сильной зависимости δ_p от плотности потока,

α_d можно пренебречь высокими степенями α_d и вы-

и наклон кривой 2 стал ближе к зависимости δ_hexp

ражение для g_d принимает вид

от лазерной интенсивности.

(

)

Рассмотрим теперь генерацию быстрых электро-

√

нов при ВРР. В работе [8] этот процесс рассматри-

g_d =

α_d

(39)

1-α_d

вался для объяснения количества и энергии быст-

1128

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

Численное моделирование поглощения лазерного излучения...

рых электронов. Предполагалось, что быстрые элек-

T_h = 24/3ε_os[k0RL₀(1 - s_a)]2/3 ×

троны генерируются в электронной волне, которая

создается пондеромоторной силой. Эта сила возни-

⁽2m_ec² )1/3 δ2/3ah.

(40)

ε_os

кает при сложении падающей и рассеянной волн

[19]. Необходимо различать плазменные волны, ко-

Отличие (40) от (36) состоит в том, что в (36) ос-

торые возникают из-за градиента теплового давле-

цилляторная энергия электрона ε_oscr берется в кри-

ния, и электронные волны, возникающие из-за пон-

тической точке и имеется множитель (ε₁/ε^∗)1/3, ко-

деромоторной силы. Длины волн и фазовые ско-

торый возникает из-за различия значений плазмен-

рости в этих двух типах возмущений электронной

ного поля в критической точке и в середине области

плотности существенно различаются. В плазменной

распространения волны. В (40) ε_os сразу берется в

волне масштабом длины волны является дебаевский

середине области, поэтому упомянутый множитель

радиус, а масштабом фазовой скорости — тепловая

отсутствует. В (40) k0R = ω_R/c = 8.95·10⁴ см-1. При

скорость электрона. В вынужденной электронной

q_L = 10¹⁵ Вт/см² энергия осцилляций электрона в

(рамановской) волне масштабом длины волны яв-

поле лазерной волны составляет 0.023 кэВ. Согласно

ляется длина волны лазерного излучения, а масшта-

[8], в ВРР-излучении содержится от 2 % до 6 % ла-

бом фазовой скорости — скорость света. При темпе-

зерной энергии, а для электронных волн эти значе-

ратуре электронов масштаба 5 кэВ нет электронов,

ния составляют от 1.4 % до 5 %. Если взять энергию

которые двигались бы с фазовой скоростью рама-

плазменных волн, равную 3 % от лазерной энергии,

новской волны. Рамановская волна является част-

учесть, что энергия осцилляций обратно пропорцио-

ным решением неоднородного уравнения для воз-

нальна квадрату частоты волны и что частоты плаз-

мущений электронной плотности, в правой части

менной и рамановской волн одинаковы, то для ε_os в

которого стоит вынуждающая сила [19]. Известно,

(40) получаем ε_os = 0.023 · 0.03 · 4 = 2.76 · 10-3 кэВ.

что общее решение неоднородного уравнения состо-

При L₀ = 500 мкм (40) дает значение T_h = 16 кэВ.

ит из суммы частного решения неоднородного урав-

В действительности в плазменной волне содержит-

нения и общего решения однородного уравнения. В

ся лишь часть энергии рамановской волны, поэтому

рассматриваемом случае общее решение однородно-

ε_os и T_h будут меньше.

го уравнения — это собственные плазменные волны,

дисперсия и затухание которых описываются урав-

нениями (21), (22). При этом в (21) необходимо рас-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

сматривать частоту ω_R = ω/2, где ω — лазерная

частота. Точкой плазменного резонанса теперь яв-

Рассмотрена модель резонансного поглощения

ляется точка с плотностью ρ_cR = ρ_c/4. В этой точке

лазерного излучения в плазме с учетом деформации

волновой вектор k в (19) обращается в нуль, и плаз-

профиля плотности под действием пондеромотор-

менное колебание является общим для рамановской

ной силы. Рассмотрена генерация плазменных волн

и плазменной волн. При плотности плазмы ниже ρ_cR

при резонансном поглощении. В рамках теории

эти волны различаются по длине волны: на длин-

квазилинейной диффузии электронной функции

новолновой рамановской волне имеется мелкомас-

распределения рассмотрена генерация быстрых

штабная плазменная волна. Плазменная волна рас-

электронов в плазменных волнах. Получены

пространяется от плотности ρ_cR в сторону меньшей

оценочные формулы, которые были использова-

плотности, так как при ρ > ρ_cR волновой вектор

ны в двумерной гидродинамической программе

в (19) становится мнимой величиной и волна рас-

ATLANT-HE. С помощью этой программы прове-

пространяться не может. Здесь имеется аналогия с

дены расчеты взаимодействия лазерного импульса

волной, рассмотренной выше для случая линейной

с плоской CH-мишенью для условий эксперимента

трансформации лазерного излучения в плазменную

на установке NIF. Показано, что количество и

волну. Отличие заключается в том, что в случае ра-

энергию быстрых электронов в условиях этого экс-

мановского резонанса плазменная волна возникает

перимента можно объяснить моделью резонансного

за счет нелинейного механизма генерации раманов-

механизма поглощения с учетом трансформации

ской волны. Для плазменной волны, возникающей

лазерного излучения в плазменные волны и далее

при ВРР, можно рассматривать диффузию элек-

в поток быстрых электронов. Если считать, что

тронной функции распределения и получить анало-

основным механизмом генерации быстрых электро-

гичное (36) выражение для температуры быстрых

нов является механизм резонансного поглощения,

электронов:

то результаты эксперимента с плоской мишенью

1129

Н. Н. Демченко

ЖЭТФ, том 157, вып. 6, 2020

нельзя переносить на случай сферической мишени.

A. Colaitis, G. Duchateau, X. Ribeyre et al., Phys.

Резонансный механизм сильно зависит от углов

Rev. E 92, 041101 (2015).

падения излучения на плазму, и в случае сфериче-

M. J. Rosenberg, A. A. Solodov, J. F. Myatt et al.,

ской мишени только малая доля потока лазерного

Phys. Rev. Lett. 120, 055001 (2018).

излучения будет иметь условия взаимодействия,

близкие к случаю плоской мишени. Это представ-

E. I. Moses, Fusion Sci. Technol. 60, 11 (2011).

ляется важным для выбора режимов облучения и

10.

В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнит-

состава лазерных мишеней, предназначенных для

ных волн в плазме, Наука, Москва (1967).

зажигания термоядерной реакции, так как суще-

ствуют жесткие ограничения на предварительный

11.

Н. Е. Андреев, В. П. Силин, Г. Л. Стенчиков,

прогрев мишени быстрыми электронами.

ЖЭТФ 78, 1396 (1980) [N. E. Andreev, V. P. Silin,

and G. L. Stenchikov, Sov. Phys. JETP 51, 703

(1980)].

Финансирование. Исследование выполнено

при финансовой поддержке Российского научного

12.

I. G. Lebo, N. N. Demchenko, A. B. Iskakov et al.,

фонда (проект №16-11-10174).

Laser Part. Beams 22, 267 (2004).

13.

С. Ю. Гуськов, Н. Н. Демченко, К. Н. Макаров и

др., КЭ 41, 886 (2011).

ЛИТЕРАТУРА

14.

С. Ю. Гуськов, Н. Н. Демченко, К. Н. Макаров и

др., Письма в ЖЭТФ 73, 740 (2001).

1. R. S. Craxton, K. S. Anderson, T. R. Boehly et al.,

15.

J. P. Freidberg, R. W. Mitchell, R. L. Morse, and

Phys. Plasmas 22, 110501 (2015).

L. I. Rudsinski, Phys. Rev. Lett. 28, 795 (1972).

2. A. J. Kemp, F. Fiuza, A. Debayle et al., Nucl. Fusion

16.

Р. Киддер, в сб. Проблемы лазерного термоядерно-

54, 054002 (2014).

го синтеза, под ред. А. А. Филюкова, Атомиздат,

Москва (1976), с. 354.

3. С. Ю. Гуськов, Физика плазмы 39, 3 (2013).

17.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая ки-

4. S. Atzeni and J. Meyer-ter-Vehn, The Physics of Iner-

нетика, Наука, Москва (1979).

tial Fusion, Oxford Univ. Press, Oxford (2004).

18.

С. И. Брагинский, в сб. Вопросы теории плазмы,

5. M. N. Rosenbluth, Phys. Rev. Lett. 29, 565 (1972).

Госатомиздат, Москва (1963), c. 183.

6. C. S. Liu, M. N. Rosenbluth, and R. B. White, Phys.

19.

D. W. Phillion, D. L. Banner, E. M. Campbell et al.,

Fluids 17, 1211 (1974).

Phys. Fluids 25, 1434 (1982).

1130