ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 1 (7), стр. 24-36

КВАНТОВАЯ МАГНОНИКА

Ю. М. Буньков^*

Российский квантовый центр

143025, Сколково, Москва, Россия

Поступила в редакцию 30 января 2020 г.,

после переработки 29 марта 2020 г.

Принята к публикации 30 марта 2020 г.

Одно из замечательных открытий, связанных с именем Андрея Станиславовича Боровика-Романова —

это открытие спиновой сверхтекучести в антиферромагнитном сверхтекучем³He. Спустя 30 лет кван-

товые эффекты для газа магнонов, такие как магнонный бозе-эйнштейновский конденсат и спиновая

сверхтекучесть стали весьма актуальными. Мы рассмотрим аналогии между спиновой сверхтекучестью

и сверхпроводимостью. Только что были опубликованы результаты квантовых вычислений с исполь-

зованием 53-битного программируемого сверхпроводящего процессора [1]. Они показали превосходство

использования квантового алгоритма вычислений в этом процессоре над классическим для некоторых

типов вычислений. Мы рассматриваем возможности создания во многом аналогичного процессора на

основе спиновой сверхтекучести.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию А. С. Боровика-Романова

DOI: 10.31857/S0044451020070032

периментах был обнаружен необычный сигнал спи-

новой индукции [4]. Этот сигнал индукции сначала

убывал в соответствии с пространственной неодно-

1. СВЕРХТЕКУЧИЙ

родностью магнитного поля, но затем восстанавли-

АНТИФЕРРОМАГНИТНЫЙ³He

вался и длился на порядки дольше, чем следовало из

неоднородности поля. Это спонтанное восстановле-

ние когерентности прецессии намагниченности яви-

Эта статья посвящена памяти моего наставни-

лось первым наблюдением бозе-конденсации квази-

ка — Андрея Станиславовича Боровика-Романова.

частиц — магнонов. Эффект был объяснен теоре-

Судьба подарила мне возможность быть посвящен-

тически Игорем Фоминым как сверхтекучее пере-

ным в тайны физической науки этим замечатель-

текание компонент отклоненной намагниченности в

ным человеком.

минимум магнитного поля и образование магнитно-

В 1972 г. в Америке была открыва сверхтеку-

го домена с однородной, когерентной прецессией на-

честь в³He при температуре 0.002 К. При переходе в

магниченности [5]. Данная теория была тут же под-

сверхтекучее состояние в³He нарушаются спиновая

тверждена прямым экспериментом, в котором от-

и орбитальная вращательные симметрии. Поэтому

клоненная намагниченность «всплывала» в сильном

кроме сверхтекучести³He обладает также свойства-

градиенте магнитного поля [6]. Спиновый сверхте-

ми антиферромагнитного жидкого кристалла. Это

кучий ток можно представить как противоток двух

уникальное сочетание нарушенных симметрий сде-

компонент сверхтекучего³He с противоположными

лало³He образцовым экземпляром для эксперимен-

магнитными моментами, возникающий за счет гра-

тального исследования многих явлений природы и,

диента фазы прецессии в неоднородном поле [7].

в частности, даже квантовой теории поля [2].

Однако это явление можно описать и на языке

В нашей лаборатории в Институте физических

неравновесных магнонов [7,8]. В этом случае сверх-

проблем мы создали уникальный криостат ядерного

текучие свойства³He уже не используются, а эф-

размагничивания меди [3] и получили первый в Со-

фект объясняется антиферромагнитным упорядоче-

ветском Союзе сверхтекучий³He. Уже в первых экс-

нием³He, которое возникает одновременно со сверх-

^* E-mail: y.bunkov@rqc.ru

текучестью. Отклоненная намагниченность в дан-

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

ном рассмотрении представляется в виде возбуж-

щих частиц, подчиняющихся статистике Бозе [19].

дения неравновесных магнонов. Это более общее

Недавно эта теория была успешно применена для

описание применимо уже ко всем магнитоупорядо-

описания экспериментов в разреженных атомарных

ченным системам. В данном формализме непосред-

газах при сверхнизких температурах [20, 21]. Одна-

ственно проявляются квантовые свойства магнонов

ко эта теория оказалась не применима для систем с

при их большой концентрации — бозе-концентрация

сильным взаимодействием, таких как жидкий⁴He.

магнонов и спиновая сверхтекучесть. При этом бы-

В 1941 г. Л. Д. Ландау предположил феноменоло-

ло показано, что для получения явления магнитной

гическую теорию, в которой рассматривались со-

сверхтекучести необходимо отталкивающее взаимо-

стояния атомов, модифицированные межатомным

действие между магнонами, которое стабилизирует

взаимодействием. Эта теория успешно описала свой-

когерентный ток намагниченности. В случае притя-

ства сверхтекучести в⁴Не [22]. Главным достиже-

жения между магнонами этот ток, а также однород-

нием теории явилось то, что она объяснила боль-

ная прецессия намагниченности неустойчивы.

шую плотность сверхтекучей компоненты жидкос-

В большом цикле экспериментальных работ с

ти, доходящую до 100 % при сверхнизких темпера-

различными фазами сверхтекучего³He были полу-

турах, в то время как плотность бозе-конденсата

чены все магнитные аналоги известных сверхтеку-

остается на уровне порядка 10 %. Тем не менее яв-

чих и сверхпроводящих эффектов, таких как сверх-

ление БЭК является ключевым механизмом сверх-

текучий спиновый ток в канале и проскальзыва-

текучести в жидком⁴He. Сверхтекучее состояние

ние фазы при достижении его критического значе-

является квантовым состоянием конденсированного

ния [9, 10], спин-токовый эффект Джозефсона [11],

вещества, описываемым единой волновой функци-

образование квантовых вихрей при круговом токе

ей. Сверхтекучее состояние может существовать без

намагниченности [12], голдстоуновские моды коле-

БЭК, как при переходе Березинского - Костерли-

баний [13-15] и т. д.

ца - Таулесса в двумерных материалах [23]. И на-

Также были проведены исследования динами-

оборот, БЭК может существовать, но не приводит

ки магнонного бозе-конденсата в условиях притя-

к сверхтекучему переносу. Это происходит в слу-

жения между магнонами [16]. В этом случае спи-

чае, когда нет энергетической щели в спектре воз-

новая сверхтекучесть не образуется. Следует отме-

буждений. В этом случае кинетическая энергия то-

тить, что эти явления являются свойствами магнит-

ка разрушает когерентное состояние и критический

ного упорядочения и не связаны напрямую с мас-

ток равен нулю. Таким образом, говорить о сверх-

текучем состоянии магнонов при их положительном

совой сверхтекучестью в³He, т. е. они могут также

наблюдаться и в твердотельных магнетиках! Глав-

потенциале взаимодействия не приходится.

ным отличием³He является рекордно большие вре-

Другой сверхтекучей системой являются элект-

мена жизни возбужденных магнонов, что связано с

роны в некоторых металлах, обладающие свойством

абсолютной чистотой³He и очень малой концент-

сверхпроводимости. Это явление нашло свое приме-

рацией фононов при столь низких температурах.

нение в различных приложениях, и недавно с ис-

Поэтому³He является эталонным образцом для ис-

пользованием этого эффекта был построен процес-

следования свойств неравновесных магнонов, их бо-

сор для квантового компьютера [1].

зе-конденсации и сверхтекучести.

Открытая в 1984 г. спиновая сверхтекучесть маг-

нонов обладает более широким спектром различных

эффектов, так как, в отличие от атомов и электро-

нов, имеет векторную природу. Магноны — кван-

2. СПИНОВАЯ СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И

МАГНОННАЯ БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИЯ

товые возбуждения магнитоупорядоченного веще-

ства, имеют большое разнообразие свойств и ко-

Когерентное квантовое состояние вещества, об-

герентных квантовых состояний в силу разнообра-

ладающее эффектом сверхтекучести, было откры-

зия их взаимодействия в различных магнетиках. В

то в 1938 г. П. Л. Капицей в жидком⁴Не при тем-

условиях теплового равновесия плотность магнонов

пературе 2.17 K [17]. Первое теоретическое объяс-

всегда ниже критической плотности, необходимой

нение этого состояния было сделано Ф. Лондоном.

для бозе-конденсации магнонов. Однако их плот-

Он предположил, что сверхтекучесть может быть

ность можно увеличить вплоть до числа Авагадро

связана с бозе-эйнштейновской-конденсацией (БЭК)

методами магнитного резонанса. Газ неравновесных

атомов [18]. В теории БЭК Эйнштейна рассмат-

магнонов может существовать гораздо дольше вре-

ривается когерентное состояние невзаимодействую-

мен установления квазиравновесного распределения

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

магнонов. За это время в магнонном газе спонтанно

что энергия Зеемана должна быть включена в хими-

устанавливается когерентное состояние, которое со-

ческий потенциал, поскольку она может изменяться

храняется и во время релаксации плотности магно-

в пространстве в случае неоднородности магнитного

нов. В сверхтекучем³Не-В параметр Гильберта, ха-

поля.

рактеризующий скорость релаксации магнонов, до-

Уравнения Гамильтона для канонически сопря-

стигает 10-8, в то время как времена установления

женных переменных N и α имеют вид

квазиравновесного распределения магнонов состав-

δF

ляют порядка нескольких времен соударения ква-

α=

(3)

δN

δα

зичастиц. В твердотельных магнетиках параметр α

и являются гидродинамическими уравнениями для

редко достигает величины 10-5, и поэтому время

сверхтекучего тока магнонов. Здесь F — функцио-

жизни когерентного состояния гораздо меньше, с

нал свободной энергии Гинзбурга - Ландау [28]. В

чем связана трудность его наблюдения.

системе координат, вращающейся с частотой ω, они

Строго говоря, магнонная бозе-конденсация и

имеют вид

спиновая сверхтекучесть являются различными со-

стояниями когерентной системы магнонов. Магнон-

F - μN =

ный БЭК возникает «автоматически», как только

∫

}

плотность неравновесных магнонов превысит кри-

^{ |∇Ψ|²

[

]

= d³r

ω_L(r)-ω

|Ψ|²+F_so(|Ψ|²)

(4)

тическую и установится их квазиравновесное рас-

пределение. При этом достаточно установления рав-

Здесь ω_L(r) = γH(r) является локальной ларморов-

новесного распределения магнонов только в части

ской частотой, которая играет роль внешнего потен-

их спектра! Оценка критической плотности неравно-

циала U(r) в атомных конденсатах. Последний член

весных магнонов для различных магнитных систем

F_so(|Ψ|²) содержит нелинейность, возникающую из-

проведена в работе [24]. Напротив, явление сверх-

за спин-орбитального взаимодействия. Он аналоги-

текучего переноса является кинетическим эффек-

чен члену четвертого порядка в атомном БЭК, кото-

том и возникает только тогда, когда пространствен-

рый описывает взаимодействие между атомами. Это

ный ток намагниченности стабилизируется магнон-

взаимодействие может иметь положительное либо

ным взаимодействием и характеризуется критиче-

отрицательное значение и описывать притяжение

ской скоростью и длиной когерентности Гинзбур-

либо отталкивание между неравновесными магно-

га - Ландау.

нами:

Сверхтекучее состояние характеризуется недиа-

F_so(|Ψ|²) = a|Ψ|² + b|Ψ|⁴ + . . .

(5)

гональным дальним порядком (ODLRO) [25]. В

сверхтекучем⁴Не и в когерентных атомарных сис-

И если квадратичный член изменяет потенциал

темах операторы рождения и уничтожения частиц с

U в свободной энергии Гинзбурга-Ландау,то следу-

импульсом p = 0 имеют зависящие от времени зна-

ющий член описывает взаимодействие между магно-

чения:

нами. Мы можем представить уравнение (4) в более

общей форме [27]:

〈â₀〉 = N1/20eiμt+iα ,

(1)

гдe N₀ — число частиц в когерентном состоянии, μ

F - μN =

∫

}

и α — соответственно химический потенциал и фаза

^{ |∇Ψ|²

[

]

волновой функции.

= d³r

ω₀(r) - ω

|Ψ|² + b|Ψ|⁴)

(6)

Аналогию между спиновой прецессией и ODLRO

в сверхтекучих состояниях хорошо видно, если срав-

где ω₀(r) = ω_L(r)+a(r) — частота прецессии при ма-

нить оператор рождения â⁺⁰ частицы с оператором

лом возбуждении, а m — масса магнонов. Плотность

рождения

S⁺ магнонов:

N неравновесных магнонов определяется углом от-

клонения прецессирующей намагниченности, β,

√

S⁺

= S_x + iS_y =

S-S_z eiωt+iα.

(2)

N = |Ψ|²

= M (1 - cosβ),

(7)

Из этой аналогии следует, что при когерентной пре-

где M — величина намагниченности. Соответствен-

цессии намагниченности роль числа частиц N игра-

но, частота прецессии отклоненной намагниченнос-

ет проекция полного спина на направление внешне-

ти есть

го магнитного поля, S_z [26, 27], а роль химического

потенциала — частота прецессии. Важно отметить,

ω_S(r) = ω₀(r) + 2b[1 - cos(β(r)].

(8)

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

В случае пространственной неоднородности маг-

нитного поля возникает пространственный градиент

фазы прецессии α, который непосредственно связан

с фазой волновой функции магнонов и приводит к

сверхтекучему спиновому току магнонов [28]

J = N∇α.

(9)

Перенос магнонов и, соответственно, продоль-

ной намагниченности на большие расстояния был

исследован в специально поставленных эксперимен-

тах, описанных в работах [29-31]. В них было под-

тверждено, что критический ток соответствует гра-

диенту критической фазы, который является об-

ратным значение длины когерентности Гинзбур-

га - Ландау ξ_GL:

Рис. 1. (В цвете онлайн) Схематически показано неод-

√

ω₀(ω_S - ω₀)

нородное распределение эффективного магнитного поля.

∇α_c =

(10)

Слабое РЧ-поле возбуждает магнитный резонанс в облас-

ξ_GL

c_SW

тях, где поле соответствует частоте накачки

где c_SW — скорость спиновых волн а ω_S -ω₀ — сдвиг

частоты прецессии относительно локальной лармо-

ровской частоты. Длина когерентности Гинзбурга -

Ландау определяется конкуренцией между энерги-

ей отталкивающего взаимодействия (третий член

в уравнении (6)) и кинетической энергией потока

(первый член в уравнении (6)). Обратите внимание

на то, что при притягивающем взаимодействии ко-

эффициент b отрицателен и, следовательно, сверх-

текучее состояние неустойчиво и сверхтекучий пе-

ренос намагниченности невозможен.

J=M

3. КОГЕРЕНТНАЯ ПРЕЦЕССИЯ

НАМАГНИЧЕННОСТИ

Пространственные градиенты волновой функ-

ции в квантовых жидкостях приводят к процессам

переноса, которые протекают до тех пор, пока не

Рис. 2. (В цвете онлайн) При увеличении амплитуды воз-

образуется пространственно-однородное состояние.

буждающего РЧ-поля плотность магнонов в области резо-

Для сверхпроводимости этот процесс известен как

нанса достигает критической плотности образования БЭК

эффект Мейснера, при котором сверхпроводящий

(вверху). Возникает сверхтекучий спиновый ток, который

переносит магноны в область меньших полей (внизу)

ток «выдавливает» магнитное поле из образца. Ана-

логичный процесс происходит и при спиновой сверх-

текучести и приводит к образованию области с коге-

рентной прецессией намагниченности (КПН) даже

На рис. 1 схематически показано пространствен-

в сильнонеоднородном магнитном поле. Его также

ное распределение эффективного магнитного поля в

называют «однородно прецессирующим доменом»,

магнитоупорядоченном образце. Допустим, что оно

но, по-моему, важно отметить именно когерентность

увеличивается на краях, как это имеет место, напри-

прецессии, так как данное явление имеет кванто-

мер, в пленке железо-иттриевого граната (ЖИГ),

вую природу. В силу важности этого состояния для

намагниченной перпендикулярно поверхности. Схе-

современных исследований и приложений, рассмот-

матически показана также возможная неоднород-

рим его более подробно.

ность эффективного магнитного поля. В линей-

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Magnons density

Josephson region

Рис. 4. (В цвете онлайн) Схематическое представление

капли сверхтекучей магнонной жидкости, образовавшей-

ся в диске ЖИГ, намагниченном перпендикулярно поверх-

ности. Магнитная потенциальная яма образована полем

размагничивания, которое убывает к краям диска. Неод-

нородность эффективного магнитного поля компенсирует-

ся динамическим сдвигом частоты за счет больших углов

отклонения намагниченности в центральной части образца

Рис. 3. (В цвете онлайн) В результате пространственного

переноса магнонов последние заполняют всю область, в

которой поле меньше, чем ω/γ. Сдвиг частоты за счет вза-

ми был продемонстрирован экспериментально [11].

имодействия магнонов компенсирует неоднородность маг-

При дальнейшем увеличении частоты накачки КПН

нитного поля. На верхнем рисунке показано образование

занимает всю область магнитной ловушки. Имен-

трех областей с КПН, причем две из них соприкасаются.

но образование такой капли спинового сверхтеку-

В области соприкосновения возможно наблюдать эффект

чего состояния было недавно обнаружено в пленке

Джозефсона. На нижнем рисунке показано образование

ЖИГ, намагниченной перпендикулярно поверхно-

односвязной области КПН

сти [32]. Она появляется в потенциальной яме, обра-

зованной эффективным полем за счет того, что по-

ном приближении, при малой мощности возбужде-

ле размагничивания уменьшается на краях пленки.

Схематически капля сверхтекучего магнонного кон-

ния, линия магнитного резонанса будет соответство-

денсата показана на рис. 4. Ее образование недавно

вать спектральному распределению намагниченно-

сти, как показано на рис. 1 красными линиями.

было подтверждено в импульсных экспериментах, в

которых наблюдалась динамика уменьшения капли

При увеличении мощности концентрация магнонов

в точке резонанса может превысить критическую

при релаксации плотности магнонов с соответству-

ющей перестройкой частоты прецессии намагничен-

плотность бозе-конденсации магнонов, как показа-

но на рис. 2. В градиенте магнитного поля обра-

ности. В данном эксперименте также был обнару-

жен новый тип долгоживущего когерентного состо-

зуется градиент фазы прецессии, который связан с

яния, механизм образования которого требует даль-

градиентом волновой функции магнонов. Образует-

нейших исследований [33].

ся сверхтекучий ток магнонов, который переносит

их в область меньших полей. Если между магно-

Устойчивость когерентной прецессии обеспечи-

нами происходит отталкивание, то частота локаль-

вается сверхтекучим протеканием магнонов при об-

ной прецессии увеличивается с увеличением локаль-

разовании градиентов фазы прецессии. Этот меха-

ной плотности магнонов. Этот процесс останавлива-

низм приводит к образованию голдстоуновских мод

ется только тогда, когда динамический сдвиг час-

колебаний, аналогичных второму звуку в⁴He. Су-

тоты сконденсировавшихся магнонов компенсирует

ществование этих волны является прямым доказа-

пространственную неоднородность магнитного по-

тельством квантовой природы КПН. Данный эф-

ля. В области, в которой ω/γ больше, чем локаль-

фект был детально исследован в сверхтекучем³He

ное магнитное поле, отклоненная намагниченность

[13-15] и в антиферромагнетиках с динамическим

начинает прецесировать пространственно-когерент-

сдвигом частоты [34, 35]. Недавно голдстоуновские

но (рис. 3). Могут образоваться несколько областей

моды колебаний были обнаружены нами и в ЖИГ,

с КПН, как показано на верхнем рисунке. Напри-

что подтверждает сверхтекучую природу магнонно-

мер, можно создать ситуацию, в которой два домена

го конденсата.

с КПН интерферируют через область их перекры-

Данное состояние образуется при непрерывной

тия. Эффект Джозефсона между такими областя-

накачке магнонов. Однако оно является собствен-

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

ным состоянием магнонного газа при данной плот-

/2 )

ности и химическом потенциале магнонов, опреде-

1.0

ляемом частотой РЧ-накачки. Роль РЧ-накачки за-

ключается в возбуждении новых магнонов взамен

0.5

испаряющихся в процессе релаксации. При этом но-

³He-B

вые магноны рождаются непосредственно в состоя-

нии БЭК в соответствии с правилами рождения

бозе-частиц в присутствии конденсата [36] даже в

случае шумовой (расфазированной) РЧ-накачки.

-0.5

В случае выключения РЧ-накачки плотность

³He-A

магнонов начинает уменьшаться вследствие их «ис-

-1.0

парения». При этом когерентное сверхтекучее состо-

яние сохраняется, но его химический потенциал и,

-1.5

соответственно, частота уменьшаются. Это состоя-

120

150

180

ние излучает долгоживущий сигнал индукции, на-

блюдение которого и стало доказательством сверх-

Рис. 5. Динамический сдвиг частоты в сверхтекучих состо-

текучего состояния магнонного конденсата [4]. В

яниях³Не как функция угла отклонения прецессирующей

сверхтекучем³He-В процесс релаксации КПН мо-

намагниченности. ΩL — частота Леггета порядка сотни ки-

жет достигать несколько минут [37, 38]. В плен-

логерц, ω — ларморовская частота

ках ЖИГ это время составляет порядка несколь-

ких микросекунд [33]. Однако этого времени вполне

достаточно для того, чтобы образовалось сверхте-

Согласно уравнению (3), частота прецессии на-

кучее состояние магнонов. Следует отметить, что

магниченности определяется производной свобод-

процессу релаксации также подвержен и атомарный

ной энергии по числу магнонов. Отталкивание маг-

БЭК в ловушке за счет испарения атомов. Время

нонов приводит к положительному сдвигу частоты

жизни атомарного БЭК составляет порядка секун-

при увеличении угла отклонения. На рис. 5 пока-

ды [20, 21]. Поэтому критические возражения отно-

заны динамические сдвиги частоты прецессии для

сительно конечного времени жизни магнонов отно-

сверхтекучих состояний³He-А и³He-В без учета

сятся также и к атомарному БЭК. Таким образом,

взаимодействия со стенками камеры. В первом слу-

конечное время существования не является препят-

чае мы имеем притяжение между магнонами. Бы-

ствием для образования БЭК и сверхтекучего состо-

ло показано экспериментально, что в этом случае

яния.

однородная прецессия быстро распадается на про-

странственно-неоднородные структуры [16, 40], раз-

мер которых определяется граничными условиями

на стенке камеры [41]. Во втором случае ситуа-

4. ЖЕЛЕЗО-ИТТРИЕВЫЙ ГРАНАТ В

СРАВНЕНИИ СО СВЕРХТЕКУЧИМ³He

ция более интересная. Для углов отклонения до

104^◦ взаимодействие между магнонами отсутствует,

В настоящее время уделяется большое внимание

несмотря на их плотность, сравнимую с числом Ава-

исследованиям динамических свойств газа магнонов

гадро. В этом случае мы имеем уникальный случай

в пленках ЖИГ, который обладает сильными нели-

классического магнонного бозе-конденсата без взаи-

нейными свойствами. Это связано с тем, что ЖИГ

модействия! При этом собственные процессы релак-

рассматривается как перспективный материал для

сации также отсутствуют, т. е. магноны являются

магнонной обработки сигналов и создания магнон-

бесконечно живущими возбуждениями. Однако гра-

ных приборов [39]. В случае продольной намагни-

ничные условия и градиенты магнитного поля при-

ченности пленки магноны испытывают притяжение,

водят к сдвигу частоты и, соответственно, к про-

и поэтому их однородная прецессия неустойчива.

цессам релаксации и магнитного переноса. Положи-

Напротив, при перпендикулярном намагничивании

тельный сдвиг частоты и формирование сверхтеку-

магноны расталкиваются. Их однородная прецессия

чего состояния начинаются при углах отклонения

и спиновая сверхтекучесть стабилизируются. Ситуа-

более 104^◦.

ция аналогична свойствам магнонов в сверхтекучем

На рис. 6 показан сдвиг частоты для однородной

³He, в котором в состоянии³He-А магноны притя-

прецессии намагниченности в пленке ЖИГ, намаг-

гиваются, а в³He-В — отталкиваются.

ниченной в плоскости пленки и по нормали к ней. В

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

f, ГГц

энергии. Это явление было интерпретировано как

1.5

новый вид бозе-конденсации магнонов [44]. Однако в

этих экспериментах был обнаружен обычный дрейф

1.0

всего магнонного газа в область меньших полей и

H₀

энергий, а когерентность отсутствовала в силу то-

го, что оптическое детектирование магнонов не дает

0.5

необходимого спектрального разрешения. Как было

показано в работе [45], для доказательства когерент-

ности необходимо подтвердить спонтанное фазиро-

вание сигнала от магнонного конденсата. И такой

H_0||

результат уже был получен за 20 лет до этих экспе-

-0.5

риментов, как мы показали в первой части статьи.

В сверхтекучем³He было получено не только коге-

-1.0

рентное состояние магнонов, но и их конденсация в

магнонное сверхтекучее состояние и продемонстри-

рован весь набор сверхтекучих эффектов, включая

Рис. 6. Динамический сдвиг частоты в пленке ЖИГ, на-

сверхтекучий ток на большие расстояния.

магниченной в плоскости пленки и перпендикулярно к ней

Когерентное распространение магнонов — спино-

как функция угла отклонения прецессирующей намагни-

вые волны — нашло свое применение в новой отрас-

ченности в поле 6 кЭ

ли физики — магнонике. Были созданы, в частнос-

ти, вычислительные алгоритмы, в которых исполь-

первом случае мы видим отрицательный сдвиг час-

зуются свойства спиновых волн. Обычная бинарная

тоты, как и в³He-А, а во втором случае — поло-

логика, основанная на частицах — электронах, — за-

жительный сдвиг частоты. Соответственно, в пер-

нимает большой объем и рассеивает значительную

вом случае развивается пространственная неустой-

мощность. Современное развитие вычислительной

чивость прецессии, которая заканчивается образова-

техники столкнулось с этими недостатками, кото-

нием пространственной текстуры прецессирующей

рые ограничивают ее миниатюризацию и конечную

намагниченности. Такая структура наблюдалась в

производительность. Обойти эти проблемы можно

экспериментах [42]. Попытка объяснения устойчи-

путем реализации новой логической парадигмы, ос-

вости такой текстуры была дана в работе [43].

нованной на использовании волн. В этом случае ин-

формация кодируется не только амплитудой, но и

Таким образом, можно констатировать аналогию

фазой волны и, таким образом, обеспечивает допол-

между поведением магнонного газа в сверхтекучих

нительную степень свободы при обработке данных

состояниях³He, в системах со связанной ядерно-

электронной прецессией, в антиферромагнетиках и

[46]. Это позволяет уменьшить количество обраба-

тывающих элементов, проводить параллельную об-

в пленках ЖИГ. Во всех случаях магнонный газ ха-

рактеризуется сильным взаимодействием, которое

работку данных [47] и использовать небулевы вы-

числительные алгоритмы [48]. Кроме того, ток маг-

модифицирует его спектральные свойства.

нонов не включает в себя движение электронов и,

следовательно, не генерирует тепловой джоулев на-

грев.

5. МАГНОНИКА В

Таким образом, появляется надежда преодолеть

ПРОДОЛЬНО-НАМАГНИЧЕННОЙ

ПЛЕНКЕ ЖИГ

тепловой предел миниатюризации компьютерных

устройств, что позволяет создавать устройства с го-

Спектр магнонов в продольно-намагниченной

раздо меньшим занимаемым объемом и рассеивае-

пленке ЖИГ имеет нетривиальную особенность.

мой мощностью по сравнению с обычной двоич-

При волновом векторе k = 0 профиль энергии маг-

ной (CMOS) логикой, которые могут предложить

нонов имеет седловую точку. Энергия магнонов, бе-

очень продвинутые логические возможности [39].

гущих вдоль направления магнитного поля, пони-

Фактически речь идет об использовании интерфе-

жается и достигает минимума при некоторой конеч-

ренции спиновых волн для аналогового моделирова-

ной величине k. При сильной параметрической на-

ния таких вычислений, как, например, фурье-преоб-

качке магнонов была обнаружена большая концен-

разование. Спиновые волны имеют множество ярко

трация неравновесных магнонов в этом минимуме

выраженных нелинейных эффектов, которые мож-

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

но использовать для реализации магнонных тран-

Таким образом, векторные вычисления на базе

зисторов и формирования интегральных магнон-

магноники имеют очень важные перспективы при-

ных цепей. Задача преобразования прототипов этих

менения. Однако гораздо более глубокие перспек-

устройств в промышленно-применяемые технологии

тивы открываются при использовании в квантовых

давно назрела, равно как и исследование новых на-

компьютерах сверхтекучих магнонных состояний.

правлений для будущих реализаций, таких как вы-

числения на терагерцевых частотах и параллельные

6. КВАНТОВАЯ МАГНОНИКА

вычисления. Поэтому большой интерес представля-

ет цикл работ по наблюдению динамики бегущих

магнонов и их нетривиальной бозе-конденсации при

Явление суперпозиции перепутанных состояний

ненулевом волновом векторе [49, 50]. При распаде

является одной из основных неклассических особен-

БЭК в этих работах наблюдалось образование пото-

ностей квантовой физики. Оно заключается в том,

ка магнонов, который распространяется на большие

что состояния квантовых систем нельзя разложить

расстояния.

на комбинации составляющих состояний. БЭК и,

в частности, сверхтекучие и сверхпроводящие сос-

В магнонных вычислениях логические данные

тояния являются такими макроскопическими кван-

могут быть закодированы в амплитуду спиновой

товыми состояниями [53]. Можно ли использовать

волны (максимальная амплитуда спиновой волны

квантовые свойства магнонной сверхтекучести для

принимается за «1», а нулевой амплитуде соответст-

квантовых вычислений? На первый взгляд — нет,

вует «0»). С другой стороны, можно использовать

так же как и сверхпроводящее состояние, кото-

фазу спиновой волны для оцифровки информации

рое состоит из макроскопического числа куперов-

вместо амплитуды [51]. Такой подход допускает три-

ских пар, в результате чего его квантовые свойства

виальное использование логического элемента «НЕ»

«усреднены».

в магнонных схемах путем простого изменения по-

Магнонный БЭК, так же как и сверхпроводи-

ложения считывающего устройства на расстояние

мость, обладает квантовыми свойствами. В этом

λ/2. (В современной технологии CMOS он требует

случае, в отличие от стандартных одночастичных

использование двух транзисторов.) Более того, та-

кубитов, квантовая информация дублируется в

кой подход открывает доступ к реализации мажо-

большом количестве идентичных бозонных частиц.

ритарного вентиля в форме многоканального спин-

Поэтому ее можно считать макроскопическим

волнового сумматора [47]. Спин-волновой мажори-

кубитом. Дублирование квантовой информации

тарный вентиль состоит из трех или большего чис-

делает их потенциально более устойчивыми, чем

ла входных волноводов, в которых спиновые вол-

обычные кубиты, где вся квантовая информация

ны смешиваются и направляются в выходной вол-

теряется с одной ошибкой. Такие ансамбли могут

новод. В нем спиновая волна принимает фазу боль-

использоваться многими способами, так же как и

шинства. Таким образом может осуществляться ло-

стандартный кубит: они могут быть визуализирова-

гическая операция «Большинство». Мажоритарный

ны на сфере Блоха и могут управляться аналогично

вентиль может выполнять не только мажоритарную

стандартным кубитам. С другой стороны, кубиты

операцию, но также операции «И» и «ИЛИ» (а так-

на основе БЭК обычно слабо взаимодействуют

же операции NAND и NOR, если использовать по-

друг с другом. Однако, как будет показано ни-

ловину длины волны), если один из его входов ис-

же, этот процесс можно осуществить с помощью

пользуется в качестве управляющего входа [52].

РЧ-резонатора, который позволяет кубитам эф-

Преимущество мажоритарного вентиля заклю-

фективно взаимодействовать друг с другом для

чается также в том, что полный сумматор (исполь-

передачи информации и создания запутанности.

зуется в электронике для суммирования трех би-

Как и в случае со сверхпроводящими кубитами,

тов) может быть построен с использованием толь-

для работы с магнонными кубитами предпола-

ко трех мажоритарных вентилей, в то время как

гается существенная миниатюризация образцов.

в традиционных схемах используется несколько де-

Недавно была создана платформа для квантовых

сятков транзисторов. Еще одно преимущество ма-

вычислений в виде двумерного массива из

жоритарного вентиля заключается в том, что он мо-

микроскопических сверхпроводящих элементов,

жет работать со спиновыми волнами разных длин

расположенных в виде квадратной решетки [1].

волн одновременно, осуществляя параллельные вы-

Взаимодействие между элементами посредством

числения [47].

управляемой РЧ-связи позволило создать систему

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

управляемых и программируемых кубитов. На этой

долгоживущий сигнал индукции, т. е. обладающие

платформе было продемонстрировано квантовое

упорядочением во временном домене. Одной из наи-

превосходство для определенного типа вычислений.

более перспективных в этом отношении оказалась

Аналогичные платформы для квантовых вычис-

система сверхтекучего³Не в топологической ловуш-

лений разрабатываются и на основе других кван-

ке, названной «Кубол» [37, 62, 63]. Данное направ-

товых систем [54]. В частности, большой интерес

ление возможно развить путем создания системы с

представляют различные спиновые системы, в ко-

несколькими магнонными кубитами на основе пле-

торых магнитные возбуждения — магноны — свя-

нок ЖИГ, помещенных в единый резонатор [64].

заны с фотонами РЧ-резонатора [55-57]. Образова-

Подобные эксперименты дают возможность развить

ние магнонно-фотонных связанных колебаний было

новые подходы к квантовым вычислениям.

продемонстрировано в рассматриваемых здесь сис-

В данной работе мы рассматриваем возможность

темах с динамическим сдвигом частоты [56]. Гиб-

использования спиновой сверхтекучести для постро-

ридные системы магнон-фотон сочетают возмож-

ения кубитов, во многом аналогичных сверхпрово-

ности управляемой передачи информации между

дящим кубитам. Естественно, для создания различ-

кубитами и достаточно большими временами коге-

ных квантовых состояний необходима существенная

рентности магнонов [58,59]. Они также могут пред-

миниатюризация образцов до нанометровых разме-

ставлять собой когерентные квантовые состояния.

ров. Однако принципы их работы целесообразно ис-

В работе [59] было проведено сравнение коге-

следовать на классических макроскопических об-

рентных свойств кубитов, созданных на основе раз-

разцах с последующей их миниатюризацией. Мак-

личных квантовых систем. Так, для сверхпроводя-

роскопический прототип такой системы показан на

щего кубита время когерентности на частоте 10 ГГц

рис. 7. Предложенная конструкция использует мас-

оценивалось величиной порядка 100 мс, в то время

сив элементов из пленки ЖИГ, намагниченной пер-

как для магнонного кубита оно было в 10 раз мень-

пендикулярно плоскости. Центральные элементы

ше при той же частоте. Однако для этой оценки бы-

имеют форму квадратов, а периферийные — пря-

ла использована величина неоднородного уширения

моугольников. В центральных элементах образуется

линии, которое исчезает в случае спиновой сверхте-

капля сверхпроводящего спинового состояния, опи-

кучести.

санная в первых разделах статьи. Периферийные

Кроме того, процессы спиновой сверхтекучести

элементы могут быть использованы для ввода-вы-

подавляют и основной источник спин-спиновой ре-

вода информации при помощи сверхтекучего потока

лаксации — пространственную неоднородность пре-

магнонов. Они связаны с полосковыми линиями, со-

цессирующей намагниченности. В результате сигнал

единенными с РЧ-генераторами и приемниками.

магнитной индукции может убывать медленнее сиг-

В рассматриваемой системе, базирующейся на

нала, полученного методами спинового эха. В рабо-

сверхтекучих свойствах магнонного газа, есть две

тах по исследованию спин-решеточной релаксации

различные возможности для конструирования ку-

были получены времена в 50 раз больше приведен-

битов. Во-первых, само явление магнетизма являет-

ных в таблице, представленной в работе [60].

ся квантовым. Так, атом со спином 1/2 в принци-

Таким образом, в случае формирования состоя-

пе является идеальным кубитом с его двумя состоя-

ния со спиновой сверхтекучестью в оптимально при-

ниями, основным и возбужденным. Его смешанные

готовленном образце ЖИГ следует ожидать време-

квантовые состояния могут быть описаны точками

на когерентности порядка 20 мс, что существенно

на так называемой сфере Блоха, полюсы которой со-

превысит времена когерентности сверхпроводящего

ответствуют основному и возбужденному состояни-

кубита.

ям [65]. Магнитоупорядоченные системы являются

Другим важным достоинством магнонного ку-

макроскопическим ансамблем магнитных атомов и

бита является его диэлектрические свойства. Дело

после усреднения по всем атомам могут быть опи-

в том, что основное шумовое воздействие внешней

саны в рамках классической физики. Коллективные

среды возникает за счет электромагнитных волн.

возбуждения этого состояния, магноны, вновь явля-

Отсутствие электронов проводимости в магнонных

ются квантовым объектом, представляемым с помо-

кубитах резко увеличивает их помехоустойчивость.

щью преобразования Хольштейна - Примакова. При

Недавно была предложена новая методика кван-

их большой концентрации исчезают недиагональ-

товых вычислений, основанная на свойствах так на-

ные элементы в матрице плотности, и они представ-

зываемых временных кристаллов [61]. Временными

ляют собой объект классической физики — спино-

кристаллами были названы системы, излучающие

вые волны. Однако ансамбль неравновесных маг-

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

При каких условиях спиновая сверхтекучесть

может быть использована для квантовых вычис-

лений? Здесь напрашивается полная аналогия со

сверхпроводимостью. В моделях сверхпроводящих

кубитов самым простым является зарядовый кубит

[65]. В этом кубите за основное и возбужденное со-

стояния принимаются состояния с числом куперовс-

ких пар n и n + 1 в образце малых размеров. При

этом важно, что разница энергий этих состояний

различима. В случае спиновой сверхтекучести мож-

но создать аналогичный кубит [67]. Допустим, обра-

зец пленки ЖИГ, намагниченной перпендикулярно,

имеет размеры порядка 10-14 см³, как, например,

образец в работе [68]. Плотность атомов в ферро-

магнитной подрешетке ЖИГ составляет величину

N ∼ 10²² см-3. Сдвиг частоты магнитного резонан-

са в пленке ЖИГ, намагниченной перпендикулярно

плоскости, равен приблизительно

Δω(n) = ω₀(1 + n/3N)

(11)

Рис. 7. Прототип программируемого квантового процес-

за счет возбуждения n неравновесных магнонов

сора на основе спинового сверхтекучего состояния. Про-

(формула (8)), где n = N(1 - cosβ). Таким об-

цессор состоит из матрицы с 49 элементами пленки ЖИГ

разом, в спектре магнонов появляется ангармонич-

квадратной формы и 28 прямоугольной формы. Прямо-

угольные элементы используются для накачки когерент-

ность, существование которой необходимо для про-

ных потоков магнонов в матрицу с заданными параметра-

ведения операций с кубитами, состоящими из разно-

ми амплитуды и фазы через полосковые линии 1, а также

го числа магнонов в образце. Следовательно, созда-

для считывания информации. Программирование кванто-

ние зарядового кубита на магнонной сверхтекучести

вых вычислений может осуществляется через соединения с

в принципе возможно.

эффектом Джозефсона, управляемые током, который из-

Аналогично можно предположить и создание

меняет профиль магнитного поля в области соединения

фазовых кубитов с использованием джозефсонов-

2. Программирование может осуществляться также путем

ского перехода [65]. Спиновое сверхтекучее состоя-

изменения локального поля на каждом элементе 3. Накач-

ние является квантовым состоянием, описываемым

ка магнонов и считывание информации могут проводиться

макроскопической волновой функцией (уравнение

также в каждом элементе через резонаторы типа разрез-

(2)). Оно характеризуется макроскопической длин-

ное кольцо 4. Эти резонаторы могут быть также соединены

в электронную сеть, что дает возможность связать между

ной когерентности (уравнение (10)). В нем так-

собой произвольные элементы. Накачка магнонов и считы-

же был обнаружен магнонный эффект Джозефсо-

вание информации с каждого элемента может проводить-

на [11]. Кроме того, в идущих сейчас экспериментах

ся также через спиновое взаимодействие с электронами

нам удалось получить магнонный эффект Джозеф-

проводимости в пленке металла 5, напыленной на ЖИГ.

сона в перемычке между двумя кристаллами ЖИГ.

Обычно для этих целей используется платина. И, наконец,

На основе циркуляции сверхтекучего магнонно-

считывание информации может проводиться с помощью

го потока возможно изготовить магнонные куби-

лазерного луча 6

ты, аналогичные фазовому и потоковому кубитам

для сверхпроводящих квантовых цепей с примене-

нием магнонных сверхтекучих контуров и магнон-

нонов достаточной плотности может образовывать

ных джозефсоновских контактов. Потоковый сверх-

БЭК с дальним порядком недиагональных элемен-

проводящий кубит основан на эффекте Ааронова -

тов, т.е. являться когерентным квантовым состоя-

Бома, когда фаза волновой функции электронов за-

нием [66]. В случае взаимодействия отталкивания

вязана с вектор-потенциалом поля. Аналогичный

между магнонами образуется потенциал, который

эффект, называемый эффектом Ааронова - Каше-

стабилизирует сверхтекучий ток магнонов, что сле-

ра [69] существует также и для потока магнонов.

дует из уравнения (6) и продемонстрировано на

В этом случае электрический ток, пересекающий

рис. 1-3.

замкнутый магнонный сверхтекучий контур, при-

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

водит к изменению набега фазы волновой функ-

совершенно различным явлениям. Именно эту фун-

ции. Соответственно, магнонный СКВИД может из-

даментальную разницу мы и рассмотрели в начале

мерять электрический ток, пересекающий его кон-

данной статьи.

тур, а разность фаз на джозефсоновском контак-

Итак, векторные вычисления с использовани-

те, соответственно, управляться этим током. Кро-

ем потока магнонов сейчас исследуются в системах

ме того, разность фаз на магнонном джозефсонов-

с притяжением магнонов. Однако данная система

ском переходе может меняться за счет изменения

имеет мало общего со сверхтекучим когерентным со-

электрического поля. Можно предположить, что со-

стоянием. Напротив, состояние спиновой сверхтеку-

здание электротехнического резонансного контура,

чести в системах с отталкиванием магнонов обла-

в конденсаторе которого расположены магнонные

дает всеми свойствами сверхтекучести. Это первое

СКВИДы, настроенные на одинаковую частоту, со-

сверхтекучее состояние, существующее при комнат-

здаст совершенно новый прибор с уникальными воз-

ных температурах, если не считать ядерную мате-

можностями, рассмотрение свойств которого выхо-

рию в пульсарах.

дит за рамки данной статьи.

Бозе-конденсация магнонов и спиновая сверх-

Другим подходом к созданию магнонного куби-

текучесть могли бы быть обнаружены гораздо

та является помещение магнитного образца и сверх-

раньше в антиферромагнетиках со связанной

проводящиго СКВИДа в высокодобротный резона-

ядерно-электронной прецессией, так как в них

тор. В работе [58] было проведено наблюдение еди-

наблюдались эффекты-предвестники. Это

— за-

ничного магнона в ферримагнитном кристалле с

хватное эхо [70], которое образуется на частоте

квантовой эффективностью до 0.71. В ней в качест-

РЧ-возбуждения, а не на частоте линейного резо-

ве квантового датчика был использован сверхпро-

нанса. Кроме того, наблюдался резкий рост времени

водящий кубит на эффекте Джозефсона. Было об-

жизни магнонов при увеличении их концентрации

наружено запутывание между магнитостатической

при сильном параметрическом возбуждении [71].

модой и сверхпроводящим кубитом. Конечно, зада-

И сейчас стоит вопрос о быстром развитии этой

ча создания магнонных кубитов находится на на-

области физики, в истоке которой стоял замеча-

чальном этапе. Однако из сказанного выше видно,

тельный физик и человек Андрей Станиславович

что перед данным направлением исследований от-

Боровик-Романов.

крываются большие перспективы.

Благодарности. Я считаю подарком судьбы

возможность работать под руководством Анд-

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

рея Станиславовича. Я также благодарен всем

коллегам, с которыми проводились исследования

Рассмотренная в этой статье спиновая сверхте-

спиновой сверхтекучести и продолжаются сейчас в

кучесть была открыта А. С. Боровиком-Романовым

Российском квантовом центре.

с соавторами 35 лет назад, но только сейчас это от-

Финансирование. Исследования и данная

крытие имеет возможность стать основой для спи-

работа поддержаны Российским научным фондом

новых квантовых суперкомпьютеров. Данное явле-

(грант № 19-12-00397).

ние детально исследовано низкотемпературным со-

обществом физиков. К сожалению, магнитное сооб-

щество оставалось слабоинформированном об этом

ЛИТЕРАТУРА

открытии из-за безвременного ухода от нас Андрея

1. F. Arute, K. Arya, R. Babbush et al., Nature 574,

Станиславовича. И сейчас, когда возник большой

505 (2019).

интерес к физике магнонов, даже ведущие теорети-

ки не понимают, что магноны в сверхтекучем³He

2. G. E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet,

и в ряде магнетиков описываются одинаковым га-

Clarendon Press, Oxford (2003).

мильтонианом и, следовательно, имеют одинаковые

3. А. С. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

свойства. И поэтому спиновая система сверхтекуче-

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, Г. К. Твала-

го³He является прекрасной моделью для исследова-

швили, ПТЭ №3, 185 (1985).

ния свойств магноники и спиновой сверхтекучести в

твердых телах. И, соответственно, разница во взаи-

4. А. С. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

модействии магнонов в пленке ЖИГ, намагничен-

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, Письма

ной в плоскости и перпендикулярно ей, приводит к

в ЖЭТФ 40, 256 (1984).

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая магноника

И. А. Фомин, Письма в ЖЭТФ 40, 260 (1984).

24.

Yu. M. Bunkov and V. L. Safonov, J. Magn. Magn.

Mater. 452, 30 (2018).

A. C. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, К. Флахбарт,

25.

C. N. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

ЖЭТФ 88, 2025 (1985).

26.

Yu. M. Bunkov and G. E. Volovik, J. Phys.: Condens.

Yu. M. Bunkov, J. Magn. Magn. Mater. 310, 1476

Matter 22, 164210 (2010).

(2007).

27.

Yu. M. Bunkov and G. E. Volovik, J. Low Temp.

Phys. 150, 135 (2008).

Phys. 150, 135, (2008).

28.

Yu. M. Bunkov and G. E. Volovik, in Novel Super-

A. C. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

fluids, Ch. 4, ed. by Bennemann and Ketterson,

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, Письма

Oxford Univ. Press, Oxford (2013).

в ЖЭТФ 45, 98 (1987).

29.

Yu. M. Bunkov, Jpn. J. Appl. Phys 26, 1809 (1987).

10.

A. S. Borovik-Romanov, Yu. M. Bunkov, V. V. Dmit-

30.

A. C. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

riev, Yu. M. Mukharskiy, D. A. Sergatskov, Phys.

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, Письма

Rev. Lett. 62, 1631 (1989).

в ЖЭТФ 45, 98 (1987).

11.

А. С. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков, А. де Ва-

31.

Yu. M. Bunkov, Spin 9, 1940005 (2019).

ард, В. В. Дмитриев, В. Макроциева, Ю. М. Му-

харский, Д. А. Сергацков, Письма в ЖЭТФ 47,

32.

Yu. M. Bunkov, A. Farhutdinov, A. N. Kuzmichev,

400 (1988).

T. R. Safin, P. M. Vetoshko, V. I. Belotelov, and

M. S. Tagirov, arXiv:1911.03708 (2019).

12.

A. S. Borovik-Romanov, Yu. M. Bunkov, V. V. Dmit-

riev, Yu. M. Mukharskiy, and D. A. Sergatskov,

33.

Ю. М. Буньков, П. М. Ветошко, А. Н. Кузьми-

Physica B 165, 649 (1990).

чёв, Г. В. Мамин, С. Б. Орлинский, Т. Р. Сафин,

В. И. Белотелов, М. С. Тагиров, Письма в ЖЭТФ

13.

Ю. М. Буньков, В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарс-

111, 52 (2020).

кий, Письма в ЖЭТФ 43, 131 (1986).

34.

Ю. М. Буньков, А. В. Клочков, Т. Р. Сафин,

14.

Yu. M. Bunkov, V. V. Dmitriev, and Yu. M. Mukhar-

К. Р. Сафиуллин, М. С. Тагиров, Письма в ЖЭТФ

skiy, Physica B 178, 196 (1992).

109, 43 (2019).

15.

M. Kupka and P. Skyba, Phys. Rev. B 85, 184529

35.

Ю. М. Буньков, А. В. Клочков, Т. Р. Сафин,

(2012).

К. Р. Сафиуллин, М. С. Тагиров, Письма в ЖЭТФ

106, 646 (2017).

16.

A. C. Боровик-Романов, Ю. М. Буньков,

В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарский, Письма

36.

R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The

в ЖЭТФ 39, 390 (1984).

Feynman Lectures on Physics, Basic Books (2011).

17.

P. L. Kapitza, Nature 3558, 74 (1938).

37.

S. Autti, V. B. Eltsov, and G. E. Volovik, Phys. Rev.

Lett. 120, 215301 (2018).

18.

F. London, Superfluids, Vol. II, Wiley, New York

(1954).

38.

S. N. Fisher, G. R. Pickett, P. Skyba, and N. Suram-

lishvili, Phys. Rev. B 86, 024506 (2012).

19.

A. Einstein, Sber. Preuss. Akad. Wiss. 22, 261 (1924);

1, 3 (1925).

39.

A. V. Chumak, A. A. Serga, and B. Hillebrands, J.

Phys. D: Appl. Phys. 50, 244001 (2017).

20.

M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews,

C. E. Wieman, and E. A. Cornell, Science 269, 198

40.

Ю. М. Буньков, В. В. Дмитриев, Ю. М. Мухарс-

(1995).

кий, ЖЭТФ 88, 1218 (1985).

21.

K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrewes,

41.

И. А. Фомин, Письма в ЖЭТФ 39, 387 (1984).

N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and

42.

P. Nowik-Boltyk, O. Dzyapko, V. E. Demidov,

W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).

N. G. Berloff, and S. O. Demokritov, Sci. Rep. 2,

22.

L. D. Landau, J. Phys. USSR 5, 71 (1941).

482 (2012).

23.

M. G. Vasin, V. N. Ryzhov, and V. M. Vinokur,

43.

C. Sun, T. Nattermann, and V. L Pokrovsky, J. Phys.

arXiv:1712.00757 (2018).

D: Appl. Phys. 50, 143002 (2017).

Ю. М. Буньков

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

44.

S. O. Demokritov, V. E. Demidov, O. Dzyapko,

57.

J. W. Rao, S. Kaur, B. M. Yao, E. R. J. Edwards,

G. A. Melkov, A. A. Serga, B. Hillebrands, and

Y. T. Zhao, X. Fan, D. Xue, T. J. Silva, Y. S. Gui,

A. N. Slavin, Nature 443, 430 (2006).

and C. M. Hu, Nature Comm. 10, 2934 (2019).

45.

D. Snoke, Nature 443, 403 (2006).

58.

D. Lachance-Quirion, S. P. Wolski, Y. Tabuchi, S. Ko-

no, K. Usami, and Y. Nakamura, Science 367, 425

46.

T. Fischer, M. Kewenig, D. A. Bozhko, A. A. Serga,

(2020).

I. I. Syvorotka, F. Ciubotaru, C. Adelmann, B. Hil-

lebrands, and A. V. Chumak, Appl. Phys. Lett. 110,

59.

D. Lachance-Quirion, Y. Tabuchi, A. Gloppe, K. Usa-

152401 (2017).

mi, and Y. Nakamura, arXiv:1902.03024 (2019).

47.

A. Khitun, J. Appl. Phys. 111, 054307 (2012).

60.

G. Dionne and G. Fitch, J. Appl. Phys. 87, 4963

(2000).

48.

A. Bérut, A. Arakelyan, A. Petrosyan, S. Ciliberto,

R. Dillenschneider, and E. Lutz, Nature 483, 187

61.

C. H. Wu, Int. J. Eng. Sci. Invention 8, 5, 1 ( 2019).

(2012).

62.

Yu. M. Bunkov and G. E. Volovik, Phys. Rev. Lett.

49.

D. A. Bozhko, A. J. E. Kreil, H. Yu. Musiienko-Shma-

98, 265302 (2007).

rova, A. A. Serga, A. Pomyalov, V. S. L’vov, and

63.

S. Autti, Yu. M. Bunkov, V. B. Eltsov et al., Phys.

B. Hillebrands, Nature Comm. 10, 2460 (2019).

Rev. Lett. 108, 145303 (2012).

50.

V. Tiberkevich, I. V. Borisenko, P. Nowik-Boltyk,

64.

M. X. Bi, X. H. Yan, Y. Xiao, and C. J. Dai, J. Appl.

V. E. Demidov, A. B. Rinkevich, S. O . Demokritov,

Phys. 126, 173902 (2019).

and A. N. Slavin, Sci. Rep. 9, 9063 (2019).

65.

A. F. Kockum and F. Nori, arXiv:1908.09558 (2019).

51.

M. Krawczyk and D. Grundler, J. Phys.: Condens.

Matter 26, 123202 (2014).

66.

G. E. Volovik, J. Low Temp. Phys. 153, 266 (2008).

52.

S. Klingler, P. Pirro, T. Brächer, B. Leven, B. Hille-

67.

S. N. Andrianov and S. A. Moiseev, Phys. Rev. A 90,

brands, and A. V. Chumak, Appl. Phys. Lett. 106,

042303 (2014).

212406 (2015).

68.

Y. Li, V. V. Naletov, O. Klein, J. L. Prieto, M. Mu-

53.

C. Simon, Phys. Rev. A 66, 052323 (2002).

noz, V. Cros, P. Bortolotti, A. Anane, C. Serpico, and

G. de Loubens, Phys. Rev. X 9, 041036 (2019).

54.

T. S. Humble, H. Thapliyal, E. Munoz-Coreas,

F. A. Mohiyaddin, and R. S. Bennink, arXiv:1804.

69.

E. N. Bogachek and U. Landman, Phys. Rev. B 50,

10648 (2018).

2678 (1994).

55.

B. Bhoi, T. Cliff, I. S. Maksymov, M. Kostylev,

70.

Ю. М. Буньков, Б. С. Думеш, ЖЭТФ 68, 1161

R. Aiyar, N. Venkataramani, S. Prasad, and

(1975).

R. L. Stamps, J. Appl. Phys. 116, 243906 (2014).

56.

L.V. Abdurakhimov, D. Konstantinov, and Yu. Bun-

71.

В. В. Кведер, Б. Я. Котюжанский, Л. А. Прозоро-

kov, Phys. Rev. Lett. 114, 226402 (2015).

ва, ЖЭТФ 63, 2205 (1972).