ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 1 (7), стр. 37-41
© 2020
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРА
ПОРЯДКА ПОЛЯРНОЙ ФАЗЫ ЖИДКОГО3He В
НЕМАТИЧЕСКОМ АЭРОГЕЛЕ
И. А. Фомин*
Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук
119334, Москва, Россия
Поступила в редакцию 10 марта 2020 г.,
после переработки 17 марта 2020 г.
Принята к публикации 17 марта 2020 г.
Приведено доказательство того, что в полярной фазе сверхтекучего3He, стабилизированной нематичес-
ким аэрогелем, при зеркальном отражении квазичастиц жидкости от нитей аэрогеля температурная за-
висимость амплитуды щели в спектре фермиевских возбуждений должна быть такой же, как в объемной
полярной фазе, не содержащей посторонних включений. Обсуждается аналогия с теоремой Андерсона
для обычных сверхпроводников.
Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию А. С. Боровика-Романова
DOI: 10.31857/S0044451020070044
куперовское спаривание для «лишних» проекций
момента и стабилизировать полярную фазу в жид-
1. ВВЕДЕНИЕ
ком3He, заполняющем пространство между нитями
высокопористого нематического аэрогеля нафена.
Экспериментальная реализация полярной фазы
Нафен — это жесткая структура [4], состоящая из
сверхтекучего3He [1] и результаты дальнейшего ис-
практически параллельных друг другу нитей Al2O3.
следования этой фазы [2] стали интересным и важ-
Средний диаметр нитей 8-9 нм, а среднее расстоя-
ным событием в физике квантовых жидкостей. Все
ние между ними в экспериментах [1] для разных об-
сверхтекучие фазы3He возникают в результате об-
разцов варьировалось от 18 до 64 нм. В этих экспе-
разования куперовских пар в состояниях с орби-
риментах нити нафена были покрыты пленкой4He
тальным моментом l =1 и спином s =1. Спиновая
толщиной 2.5-3 атомных слоя. Такая пленка пре-
структура параметра порядка полярной фазы такая
пятствует образованию на поверхности нитей слоя
же, как у А-фазы. Специфика новой фазы проявля-
твердого парамагнитного3He. Эффективность ста-
ется в орбитальной части — полярной фазе соответ-
билизации полярной фазы с помощью нафена бы-
ствует состояние, в котором все пары имеют про-
ла подтверждена экспериментами, поставленными в
екцию орбитального момента lz =0 на выделенное
других лабораториях [5, 6].
направление. При температурах ниже температуры
В более ранних экспериментах группы Дмитри-
куперовского спаривания Tc параметр порядка по-
лярной фазы является одним из экстремумов сво-
ева [7], где вместо нафена использовался другой
нематический аэрогель — обнинский, — полярная
бодной энергии объемного сверхтекучего3He [3], но
энергетически этот экстремум менее выгоден, чем
фаза не наблюдалась несмотря на то, что для этого
аэрогеля анизотропия длины свободного пробега в
экстремумы, соответствующие параметрам порядка
A- и B-фаз, которые содержат также и другие про-
десятки раз превышала анизотропию, достаточную
для стабилизации полярной фазы согласно теорети-
екции орбитального момента.
ческим оценкам [8].
В объемном3He полярная фаза неустойчива.
Дмитриеву и его сотрудникам [1] удалось подавить
Дальнейшие эксперименты с нафеном [2] пока-
зали также, что существенную роль играет харак-
* E-mail: fomin@kapitza.ras.ru, igor_fomin@list.ru
тер рассеяния фермиевских квазичастиц на нитях
37
И. А. Фомин
ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020
нафена. В этих экспериментах характер рассеяния
сверхпроводящей щели. Аналогичное утверждение
можно было менять, варьируя толщину пленки4He,
для термодинамических свойств полярной фазы в
покрывающей нити. Полярная фаза наблюдалась
работе [13] доказано не было, хотя оно использова-
только для достаточно толстых покрытий, при ко-
лось при экспериментальной идентификации поляр-
торых отражение квазичастиц от поверхности нитей
ной фазы [1] и при экспериментальном доказатель-
становилось близким к зеркальному, во всяком слу-
стве существования линии нулей в ее щели [6].
чае при низких давлениях [9].
Целью настоящей работы является формальное
В настоящее время нет универсальной теории,
доказательство справедливости для идеализирован-
удовлетворительно описывающей влияние различ-
ной модели нафена утверждения об отсутствии вли-
ных высокопористых аэрогелей на свойства сверх-
яния нафена на температурную зависимость щели в
текучих фаз3He. Хорошее качественное согласие с
спектре возбуждений полярной фазы.
экспериментом дает обобщение теории сверхпрово-
дящих сплавов [10, 11] на случай p-волнового спа-
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ривания. Такой подход в духе теории среднего по-
ля иногда называют однородной моделью рассея-
Рассуждения, использованные в работе [13], го-
ния [12]. Эта теория не учитывает флуктуации в
дятся только для вычисления температуры перехо-
расположении примесей. Те аэрогели, которые ис-
да. Чтобы найти температурную зависимость ще-
пользуются в экспериментах с жидким3He, вклю-
ли, следует использовать полную систему уравне-
чая нафен, не удовлетворяют условиям применени-
ний теории сверхпроводящих сплавов Абрикосова и
мости теории среднего поля. Для лучшего описания
Горькова [10, 11], сформулированную для триплет-
результатов реальных экспериментов предлагались
ного p-волнового спаривания, как это сделано в ра-
менее универсальные модели, которые учитывают
боте Ларкина [15]. В этом случае параметр порядка,
специфику конкретных аэрогелей [12].
т. е. аномальное среднее Fαβ (k) — это симметричная
Отличительным свойством нафена является его
спиновая 2 × 2-матрица, зависящая от направления
сильная анизотропия. Это свойство учитывается в
k в пространстве волновых векторов. Ее можно за-
предложенной недавно идеализированной модели
писать в виде комбинации матриц Паули σμαβ :
нафена [13]. В этой модели предполагается, что ни-
ти нафена — прямые, параллельные друг другу. В
Fαβ(k) ∼ dμ(k)σμαβσy.
плоскости, перпендикулярной нитям, они располо-
жены случайно, и фермиевские квазичастицы зер-
Индекс «μ» пробегает три значения: x, y, z. Поляр-
кально отражаются от поверхности нитей. Послед-
ная фаза принадлежит к семейству фаз, для ко-
нее предположение означает, что при рассеянии воз-
торых вектор dμ вещественный и его направление
буждений на нитях сохраняются продольные по от-
не зависит от
k. Ориентация dμ влияет на вели-
ношению к нитям компоненты их импульсов.
чину щели только в меру очень слабого диполь-
Ранее было показано [13], что для такой мо-
дипольного взаимодействия, и этим влиянием мож-
дели нафена переход жидкого3He, заполняющего
но пренебречь. Удобно считать, что вектор dμ на-
пространство между нитями, из нормальной фа-
правлен по оси y. Тогда Fαβ (k) ∼ δαβ , и основные
зы в полярную, содержащую только одну проек-
уравнения теории можно записать как скалярные
цию орбитального момента lz = 0, происходит при
уравнения для нормальной G(k) и аномальной F†(k)
более высокой температуре, чем переход в другие
функций Грина:
сверхтекучие фазы, содержащие также проекции
[
]
lz = ±1, причем температура перехода в полярную
iωn - ξ - Gω(k) G(k, ωn)+
фазу совпадает с температурой перехода объемного
[
]
3He в сверхтекучее состояние. Последнее утвержде-
+ Δ(k) + Fω (k) F†(k, ωn) = 1,
(1)
ние аналогично одному из результатов теории сверх-
проводящих сплавов [11], известному как теорема
[
]
Андерсона [14]. Эта теорема утверждает, что для
iωn + ξ + G-ω(k) F†(k, ωn)+
обычного (s-волнового) куперовского спаривания не
[
]
только Tc, но и все термодинамические свойства
+ Δ∗(k)+
ω(k) G(k, ωn) = 0.
(2)
сверхпроводников не меняются при введении в них
немагнитных примесей. В частности, немагнитные
Написанные уравнения содержат собственно-энерге-
примеси не изменяют зависимость от температуры
тические части Gω (k), Fω (k) и
ω(k), явный вид ко-
38
ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020
Температурная зависимость параметра порядка полярной фазы. . .
торых зависит от потенциала взаимодействия квази-
Они легко решаются относительно G(k, ωn) и
частиц с примесями, U(r). В идеализированной мо-
F†(k, ωn):
дели нафена предполагается, что этот потенциал не
iωn +
ξ
зависит от координаты z вдоль направления нитей:
G(k, ωn) = -
,
∑
(ωn)2 +
ξ2 + |Δ|2
U (r) =
u(ρ - ρa),
(8)
Δ†
a
F†(k, ωn) =
(ωn)2 +
ξ2 + |̃|2
где ρ = (x, y) — двумерный вектор. Индекс «a» ну-
мерует нити. В уравнения входит фурье-образ по-
Подстановка этих выражений в уравнения (4), (5)
тенциала:
дает уравнения для G, F† и их комбинаций. Так,
∑
∫
U (k) = 2πδ(kz )u(κ)
exp(-iκρa),
(3)
ge(ω,k) = -n2
|u(κ - κ1)|2 ×
a
ξ
d2κ1
где κ = (kx, ky) — двумерный волновой вектор и
∫
×
(9)
u(κ) =
u(ρ) exp(iκρ) d2ρ. Для такой модели
(ωn)2 +
ξ2 + |Δ|2 (2π)2
∫
Интеграл в правой части формально расходится
d2κ1
Gω(k) = n2
|u(κ - κ1)|2G(κ1, kz )
,
(4)
при больших
ξ, т.е. значение интеграла определя-
(2π)2
ется вкладом состояний, далеких от уровня Ферми.
∫
Как и в случае s-волнового спаривания [16], добавку
d2κ1
ge(ω,k) к переменной ξ можно включить в перенор-
ω(k) = n2
|u(κ - κ1)|2F†(κ1, kz)
(5)
(2π)2
мировку химического потенциала и считать
ξ новой
переменной интегрирования, отсчитанной от пере-
Здесь n2 — двумерная плотность нитей.
нормированной энергии Ферми.
Система уравнений (1)-(5) отличается от рас-
Величина и температурная зависимость ампли-
смотренной в работе [15] видом потенциала приме-
туды щели находятся из уравнения
сей (3). Присутствие δ(kz ) в этом потенциале означа-
∑∑
ет, что при рассеянии квазичастиц на нитях сохра-
Δ†(k) = -T
V (k, k′)F†(k, ωn).
(10)
няется продольная компонента kz волнового векто-
n k
ра. Вследствие этого сохранения уравнения (1)-(5)
Ответственное за спаривание взаимодействие в
имеют решение Δ(k) = Δ(T )kz, которое не содер-
уравнении (10) обычно записывают в виде
жит других компонент
k. Ранее было показано, что
это решение соответствует сверхтекучей фазе с са-
V (k, k′) = 3g(k ·
k′).
(11)
мой высокой температурой перехода в нормальную
фазу [13]. Чтобы найти явный вид этого решения
Уравнение (10) становится замкнутым уравнением
следует разбить Gω(k) на четную и нечетную по ω
для щели, если в нем функция F†(k, ωn) выражена
части:
через исходные переменные ωn и Δ†(k). Для рас-
[
]
сматриваемой здесь модели нафена возможно вы-
1
ge(ω,k) =
Gω(k) + G-ω(k) ,
полнение соотношений
2
[
]
1
iωn = iωnη(kz, ωn),
Δ† = Δ†η(kz , ωn)
go(ω,k) =
Gω(k) - G-ω(k) ,
2
с одной и той же функцией η(kz , ωn). Вид функции
а затем ввести новые переменные:
находится подстановкой этих соотношений в опре-
iωn = iωn - go(ω,k),
ξ = ξ + ge(ω,k),
деления iωn или
Δ†:
m∗n2
1
Δ† = Δ∗ +
ω(k).
η(kz , ωn) = 1 +
√
×
4π
В этих переменных уравнения (1), (2) приобретают
ω2n
+ |Δ(k)|2
∫
простой вид:
×
|u(κ - κ1)|2dϕ1,
(12)
(iωn -
ξ)G(k, ωn) + ΔF†(k, ωn) = 1,
(6)
где m∗ — эффективная масса возбуждения. Инте-
грирование здесь производится по углу ϕ1 между
Δ†G(k, ωn) + (iωn +
ξ)F†(k, ωn) = 0.
(7)
κ1 и κ.
39
И. А. Фомин
ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020
Подстановка F†(k, ωn) в уравнение (10) дает
3/5 и 3/7 перед соответственно (Δ/πT)2 и (Δ/πT)4.
∑∑
Эта разница возникает из-за угловой зависимости
Δ†(k) = -T
3g(k ·
k′)×
щели. Температура Tc здесь совпадает с температу-
n k′
рой перехода из нормальной фазы в сверхтекучую
Δ†
k′)η
для объемного3He.
×
(13)
В пределе T → 0 более удобно сначала произве-
ω2nη2 + |Δ
k′)|2η2 + ξ′2
сти в уравнении (12) суммирование по n и исполь-
Суммирование по k′ обычным образом заменяется
зовать в качестве исходного уравнение
на интегрирование.
1
∫
∫
В уравнение (13) следует подставить решение
3gm∗kF
dv
1=
x2dx
√
×
Δ(k) = Δ(T )kz. После замены переменной интегри-
2π2
v2 + (Δx)2
0
0
рования ξ′ = uη функция η исключается из подын-
√
v2 + (Δx)2
тегрального выражения в уравнении для Δ(T). За-
× th
,
(16)
мена сказывается только на значении верхнего пре-
2
дела интеграла по dξ′. Такое изменение приводит к
где x = kz . Асимптотическое решение этого урав-
поправкам порядка 1/lkF , которые выходят за пре-
нения при T → 0 подробно обсуждается в разделе
делы точности написанных уравнений. При инте-
Supplementary material работы [6], и нет необходи-
грировании по dϕ′ те члены скалярного произведе-
мости воспроизводить здесь эти рассуждения.
ния (k·k′), которые содержат поперечные компонен-
Таким образом, идеализированный нематиче-
ты
k′x и
k′y, дают нулевой вклад, а остальные члены
ский аэрогель не влияет не только на температуру
умножаются на 2π. В итоге получается уравнение,
перехода из нормальной фазы в полярную, но также
которое не содержит сечения рассеяния квазичастиц
и на температурную зависимость амплитуды сверх-
нитями нафена:
проводящей щели, а с нею и на другие термодина-
1
мические свойства полярной фазы аналогично тому,
∫
3gm∗kF
как немагнитные примеси не влияют на термодина-
1=
x2dx×
π2
мические свойства обычных сверхпроводников.
0
∫
3. ОБСУЖДЕНИЕ
∑
dv
×
(14)
(2n + 1)2 + v2 + (Δ(T )x)2 ,
n
Возможность применения доказанного выше
0
утверждения для интерпретации экспериментов
где
Δ= Δ(T)/πT, v = ηξ/πT. Уравнение (14) совпа-
ограничивается точностью, с которой идеали-
дает с уравнением, определяющим температурную
зированная модель описывает реальный нафен.
зависимость щели в свободной от примесей поляр-
Может вызывать вопросы заложенное в модель
ной фазе сверхтекучего3He. Верхний предел инте-
предположение о зеркальном характере отражения
грирования umax в этом уравнении можно выра-
квазичастиц от нитей нафена. Это предположение
зить через наблюдаемые величины Tc или Δ0 =
существенно, поскольку при зеркальном отражении
= Δ(T = 0). В литературе [16] описаны стандартные
сохраняются продольные компоненты импуль-
способы анализа уравнения (14) в пределах T → Tc
сов квазичастиц, причем этот закон сохранения
и T → 0.
выполняется для всех реализаций системы.
При T → Tc дробь в подынтегральном выраже-
Вопрос о совместимости того или иного вида па-
нии следует разложить по степеням (Δ(T )x)2. Сле-
раметра порядка с заданными возмущениями фер-
дуя далее рассуждениям, изложенным в моногра-
ми-жидкости обсуждался в литературе в связи с
фии [16], находим следующее асимптотическое раз-
теорией так называемых многоорбитальных сверх-
ложение:
проводников [17-19]. Сверхтекучий3He попадает в
(
)2
T
37
Δ
указанную категорию, поскольку куперовские пары
ln
=-
ζ(3)
+
Tc
58
πT
здесь имеют один и тот же орбитальный момент l =
(
)4
= 1, но могут быть комбинацией состояний с разны-
3
93
Δ
+
ζ(5)
-...,
(15)
ми проекциями момента на выделенное направление
7 128
πT
lz = 0, lz = ±1. В объемном3He температура пере-
где ζ(z) — ζ-функция Римана. Уравнение (15) отли-
хода Tc одна и та же для всех трех проекций, однако
чается от соответствующего уравнения для s-вол-
потенциал примесей (4) понижает симметрию систе-
нового случая дополнительными коэффициентами
мы и может приводить к расщеплению перехода.
40
ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020
Температурная зависимость параметра порядка полярной фазы. . .
Первым шагом к учету влияния возмущения на
ЛИТЕРАТУРА
нормальную фазу является определение правиль-
1.
V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov, and
ных функций нулевого приближения. При зеркаль-
A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).
ном отражении квазичастиц в базисе lz = 0, lz = ±1
матрица возмущения (3) блок-диагональна. В тер-
2.
V. V. Dmitriev, A. A. Soldatov, and A. N. Yudin,
минах работы [17] это означает, что полярная фаза
Phys. Rev. Lett. 120, 075301 (2018).
является результатом внутризонного куперовского
3.
D. Vollhardt and P. Woelfle, The Superfluid Phases
спаривания и что для нее потенциал (3) не явля-
of Helium 3, Taylor and Francis (1990).
ется пароразрушающим. При добавлении диффуз-
4.
В. Е. Асадчиков, Р. Ш. Асхадуллин, В. В. Вол-
ной компоненты рассеяния создается возможность
ков, В. В. Дмитриев, Н. К. Китаева, П. Н. Марты-
межзонного куперовского спаривания. Возникаю-
нов, А. А. Осипов, А. А. Сенин, А. А. Солдатов,
щая при этом связь между состояниями с lz = 0
Д. И. Чекрыгина,А. Н. Юдин, Письма в ЖЭТФ
и lz = ±1 может изменить вид и симметрию пара-
101, 613 (2015).
метра порядка, добавив к нему поперечные компо-
5.
N. Zhelev, M. Reichl, T. S. Abhilash, E. N. Smith,
ненты. Это, вообще говоря, должно привести к по-
K. X. Nguen, E. J. Mueller, and J. M. Parpia, Nature
нижению температуры сверхтекучего перехода.
Comm. 7, 12975 (2016).
В настоящей работе шла речь только о потен-
6.
V. B. Eltsov, T. Kamppinen, J. Rysti, and G. E. Vo-
циальном рассеянии квазичастиц на нитях нафена,
lovik, arXiv: 1908.01645v1 (2019).
однако при уменьшения толщины пленки4He, по-
крывающей нити нафена в экспериментах [2], неиз-
7.
R. Sh. Askhadullin, V. V. Dmitriev, D. A. Krasni-
бежно включается магнитное рассеяние квазича-
khin, P. N. Martynov, A. A. Osipov, A. A. Senin,
and A. N. Yudin, Письма в ЖЭТФ 95, 355 (2012).
стиц из-за возникновения прямого контакта между
объемным жидким3He и образующимся на нитях
8.
K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504
слоем парамагнитной твердой фазы. Возможная
(2006).
роль этого механизма разрушения куперовских пар
9.
D. Kim, M. Nakamura, O. Ishikawa, T. Hata, T. Ko-
в полярной фазе обсуждалась в ряде работ [2,13,20].
dama, and H. Kojima, Phys. Rev. Lett. 71, 1501
Вопрос о магнитном рассеянии интересен также в
(1993).
применении к другим фазам3He и другим аэроге-
10.
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 35, 1558
лям [21]. В настоящее время не ясно, однако, как
(1958).
экспериментально отделить влияние на фазовую
диаграмму сверхтекучего3He магнитного рассея-
11.
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 36, 319
ния от влияния изменения степени зеркальности
(1959).
потенциального рассеяния возбуждений на нитях.
12.
E. V. Thuneberg, S.-K. Yip, M. Fogelstroem, and
J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett.80, 2861 (1998).
Эта статья написана для мемориального вы-
13.
И. А. Фомин, ЖЭТФ 154, 1034 (2018).
пуска ЖЭТФ. посвященного 100-летию академика
А. С. Боровика-Романова. В 80-е гг. прошлого века
14.
P. W. Anderson, J. Phys. Chem. Sol. 11, 26 (1959).
мне довелось работать в тесном контакте с группой
15.
А. И. Ларкин, Письма в ЖЭТФ 2, 205 (1965).
экспериментаторов из Института физических про-
16.
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинс-
блем им. П. Л. Капицы, руководимой Андреем Ста-
кий, Методы квантовой теории поля в статис-
ниславовичем. В группу кроме самого Андрея Ста-
тической физике, Наука, Москва (1962).
ниславовича входили Ю. М. Буньков, В. В. Дмит-
риев и Ю. М. Мухарский. Мы работали с большим
17.
M. H. Fischer, New J. Phys. 15, 073006 (2013).
подъемом и почти ежедневные обсуждения теку-
18.
A. Ramires and M. Sigrist, Phys. Rev. B 94, 104501
щих результатов, в которых Андрей Станиславович
(2016).
неизменно участвовал, до сих пор составляют одно
19.
A. Ramires, D. F. Agterberg, and M. Sigrist, Phys.
из моих самых ярких воспоминаний.
Rev. B 98, 024501 (2018).
20.
V. P. Mineev, Phys. Rev. B 98, 014501 (2018).
Благодарности. Я благодарен Г. Е. Воловику,
который обратил мое внимание на статьи [17-19] и
21.
A. M. Zimmerman, M. D. Nguen, J. W. Scott, and
В. В. Дмитриеву за полезные замечания.
W. P. Halperin, Phys. Rev. Lett. 124, 025302 (2019).
41
