ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 250-268

РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА МОНОСЛОЕМ

СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ ПРИ НАКЛОННОМ ОСВЕЩЕНИИ

Н. А. Лойко^*, А. А. Мискевич^**, В. А. Лойко^***

Институт физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси

220072, Минск, Беларусь

Поступила в редакцию 10 декабря 2019 г.,

после переработки 14 февраля 2020 г.

Принята к публикации 4 марта 2020 г.

Получено решение задачи рассеяния и поглощения света монослоем однородных сферических частиц

при произвольном угле падения плоской волны, определяющем сдвиг фаз между усредненными полями

в частицах. Оно основано на квазикристаллическом приближении теории многократного рассеяния волн,

приближении среднего поля и мультипольном разложении полей и тензорной функции Грина по вектор-

ным сферическим волновым функциям. Получены формулы для определения углового распределения

интенсивности некогерентно рассеянного поля, коэффициентов некогерентного рассеяния, поглощения,

когерентного пропускания и отражения. На примере частично упорядоченных монослоев диэлектриче-

ских и полупроводниковых частиц проиллюстрированы зависимости этих характеристик от направления

освещения. Показано, что: (i) при наклонном освещении угловое распределение рассеянного излучения

по азимутальному углу рассеяния для любой поляризации падающей волны (кроме p и s) несимметрич-

но относительно плоскости падения, (ii) с ростом угла падения и/или концентрации частиц максимум

углового распределения излучения, прошедшего через монослой, может приближаться к его нормали,

(iii) существуют условия, при которых основная доля рассеянного излучения сосредоточена в направле-

нии, противоположном направлению падающего излучения, (iv) зависимость коэффициента поглощения

монослоя от угла освещения имеет экстремумы, положение и величина которых определяются поляри-

зацией падающей волны.

DOI: 10.31857/S0044451020080039

[4-19]. Поэтому актуальна задача описания оптиче-

ских характеристик таких слоев и решения прямых

и обратных задач рассеяния [4,20-22].

1. ВВЕДЕНИЕ

Наиболее простые методы описания оптических

Классической задачей рассеяния электромагнит-

свойств монослоев частиц основаны на приближе-

ных волн является задача рассеяния на однород-

нии однократного рассеяния и интерференционном

ном шаре. Ее аналитическое решение было полу-

приближении [4,20]. Область их применимости огра-

чено более ста лет назад. Оно записывается через

ничена малыми концентрациями частиц, поскольку

сферические функции и известно как решение Ми

эти приближения не учитывают переоблучение час-

[1-3]. Монослои частиц — более сложный объект.

тиц в слое, т. е. многократное рассеяние волн. Его

Сегодня они широко используются в фотонике, оп-

вклад в формирование результирующего поля мо-

тике, оптоэлектронике и других областях при со-

жет быть значительным при больших концентраци-

здании антиотражающих покрытий, спектральных

ях частиц. Он особенно велик, когда размеры частиц

фильтров пропускания и отражения, диффузоров,

сопоставимы с длиной волны падающего излучения.

солнечных элементов, светодиодов, фотонных кри-

Задача определения оптических характеристик

сталлов, синтетических опалов, детекторов, резона-

дисперсных слоев с учетом многократного рассе-

торов, лазеров, метаматериалов, сетчатых структур

яния волн при наклонном освещении может быть

решена в рамках численных методов [23-27], ос-

^* E-mail: n.loiko@ifanbel.bas-net.by

^** E-mail: miskevic@ifanbel.bas-net.by

нованных на использовании уравнений Максвелла.

^*** E-mail: loiko@ifanbel.bas-net.by

Как правило, численные методы используются для

250

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

решения задач рассеяния частицами произвольной

слоев из наночастиц золота. Среди других методов

формы, неоднородными и анизотропными частица-

решения задачи рассеяния в рамках ТМРВ мож-

ми, а также их ансамблями. Для систем однород-

но выделить метод Т-матриц, применяемый обычно

ных частиц, таких как сферы, сфероиды, цилиндры

для описания оптических свойств кластеров, содер-

удается получить аналитические и полуаналитиче-

жащих небольшое число частиц [68].

ские решения. К настоящему моменту хорошо раз-

работаны методы, основанные на теории дифракции

Несмотря на значительное количество статей,

низкоэнергетических электронов и методе Коррин-

посвященных решению задачи рассеяния излучения

ги-Кона-Ростокера (ККР) [28-35]. Они использова-

слоями частиц при наклонном освещении в рамках

ны, в частности, для анализа характеристик ближ-

ТМРВ, нам неизвестны работы, в которых была

него поля в фотонных зонах монослоя периодиче-

бы решена задача определения углового распреде-

ски расположенных сфер [30] и расчета поглощения

ления излучения, рассеянного монослоем, освещае-

света монослоями серебряных наносфер при разных

мым волной с произвольной поляризацией. В дан-

углах освещения [34]. Эти методы удобны для моде-

ной статье получены выражения для определения

лирования структур с идеальными решетками.

«полного» набора оптических характеристик моно-

Для моделирования рассеяния и распростране-

слоя: коэффициентов когерентного пропускания, ко-

ния волн в случайных и частично упорядоченных

герентного отражения, некогерентного рассеяния и

(имеющих ближний пространственный порядок в

поглощения монослоя, углового распределения рас-

расположении частиц) слоях используется стати-

сеянного излучения. Методы, разработанные нами

стическая теория многократного рассеяния волн

для решения задачи рассеяния света на монослое

(ТМРВ) [36-64]. Она оперирует усредненными по

частиц при освещении по нормали [69-73], обобще-

ансамблю характеристиками. В рамках ТМРВ из-

ны на случай произвольного угла падения плоской

вестны методы нахождения поля когерентной вол-

электромагнитной волны с произвольной поляриза-

ны, отраженной от полубесконечной дисперсной

цией. Здесь, как и ранее, мы основываемся на ква-

среды при наклонном освещении [48, 49]. В рабо-

зикристаллическом приближении [42] теории мно-

те [56] на основе квазикристаллического приближе-

гократного рассеяния волн и мультипольном разло-

ния (ККП) теории многократного рассеяния полу-

жении полей и тензорной функции Грина по век-

чены выражения для определения коэффициентов

торным сферическим волновым функциям [74, 75].

когерентного пропускания и отражения частично

Существенным отличием является наличие сдвига

упорядоченного монослоя сферических частиц при

фаз усредненных (эффективных) полей внутри от-

наклонном освещении циркулярно поляризованной

дельных частиц, который возникает при наклонном

плоской волной. ККП [42] основано на предполо-

освещении. Он определяется фазой плоской волны,

жении, что усредненное по конфигурациям ансам-

падающей на частицу. При падении вдоль нормали

бля частиц поле, найденное с фиксацией двух час-

к слою фазы полей во всех частицах одинаковы и

тиц, равно полю с фиксацией одной частицы. В этом

полученные в данной работе выражения переходят

случае для описания пространственного расположе-

в выражения, приведенные в наших работах [69-73].

ния частиц достаточно использовать радиальную

функцию распределения. В [64] с использованием

ККП получены простые аналитические выражения

Отметим, что мы рассматриваем монослои в бес-

для расчета коэффициентов когерентного пропуска-

конечной непоглощающей среде с показателем пре-

ния и отражения монослоя случайно расположен-

ломления menv = 1. Их оптические свойства за-

ных сфер. Они могут быть применены при любых

висят от размера, показателя преломления, кон-

углах падения и размерах частиц. Упрощение полу-

центрации, пространственного распределения час-

чено заменой эффективного поля суммой двух плос-

тиц и георметрии освещения. Если монослой на-

ких волн - падающей и зеркально отраженной. Под-

ходится в матрице или на подложке, то опти-

ход применим при малых концентрациях частиц. В

ческие свойства таких систем могут быть найде-

работах [65-67] рассмотрено когерентное отражение

ны с использованием методов, описанных, напри-

света при наклонном освещении монослоев с невы-

мер, в [31, 33, 34, 64-66, 76-79]. Задача определения

соким фактором заполнения. В частности, в [67] ре-

оптических свойств систем «монослой-матрица» и

зультаты применены для оценки плотности биоло-

«монослой-подложка» на основе развиваемого в

гических клеток. В [66] рассмотрены различные мо-

данной работе подхода будет рассмотрена нами в

дели для описания частично упорядоченных моно-

дальнейшем.

251

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

kr₀

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Detector

Рассмотрим монослой, состоящий из одинаковых

сферических частиц. Центры частиц расположены в

R_j + r

плоскости монослоя, совпадающей с плоскостью xy

декартовой системы координат x, y, z в точках, опре-

R_j

деляемых радиус-векторами R₁, R₂, . . . , R_N , . . . от-

носительно начала координат, находящегося в цен-

тре произвольно выбранной частицы. Ось z направ-

лена по нормали к плоскости монослоя. Направ-

ления вдоль осей x, y и z обозначим единичными

Рис. 1. Схематическое изображение частично упорядочен-

векторами x, ŷ и z. Монослой освещается плоской

ного монослоя сферических частиц, геометрии освещения

электромагнитной волной с электрическим векто-

и приема рассеянного излучения (слева) и отдельной час-

ром E₀, волновым вектором kr₀ и вектором поля-

тицы монослоя (справа). x, y, z — лабораторная система

ризации

ε₀ = ε_θθ0 + iεϕ ϕ0:

координат, связанная с монослоем, начало координат на-

ходится в центре произвольно выбранной частицы, xy —

E₀(r) =

ε₀eikr0·^r,

(1)

плоскость монослоя, kr0 — волновой вектор падающей

волны, θ0 и ϕ0 — полярный и азимутальный углы падения,

где

θ₀ и ϕ₀ — единичные векторы в направлениях,

Rj — радиус-вектор, описывающий положение центра j-й

определяемых полярным θ₀ и азимутальным ϕ₀ уг-

частицы в плоскости монослоя, Rj + r^′ — радиус-вектор

лами падения, r₀ — единичный вектор в направле-

элементарного объема внутри j-й частицы, r — радиус-

нии волнового вектора падающей волны, θ₀ — угол

вектор точки наблюдения, θ и ϕ — полярный и азимуталь-

между z и r₀, ϕ₀ — угол между x и плоскостью па-

ный углы рассеяния, S — площадь поверхности монослоя,

дения (z, r₀), k = 2π/λ — волновое число, λ — дли-

«видимая» приемником излучения

на волны падающего излучения, r — радиус-вектор

точки наблюдения (рис. 1). Полагаем, что |E₀| =

ε₀| = 1. Выбор осей координат в плоскости мо-

E(R_j + r^′) — поле в точке R_j + r^′ внутри частицы

↔

нослоя xy относительно плоскости падения может

(внутреннее поле),

G — диадная (тензорная) функ-

быть произвольным, как показано на рис. 1. Для

ция Грина свободного пространства:

упрощения решения выберем оси x, y так, чтобы

[

]

плоскость zx совпадала с плоскостью падения (при

↔

eik|r1-r2|

G (r1, r2) =

I +

∇⊗∇

(4)

этом угол ϕ₀ = 0, а ось y параллельна волновому

k²

|r₁ - r₂|

фронту падающей волны).

↔

Полное поле E(r) в некоторой точке r (внутри и

I — единичная диада.

вне слоя) можно представить как сумму поля пада-

Наша задача — найти поле 〈E(r)〉, усреднен-

ющей волны и полей волн, рассеянных ансамблем

ное по всем возможным расположениям частиц

частиц заданной конфигурации:

слоя. Для усреднения используются многочас-

∑

тичные функции распределения вероятности,

E(r) = E₀(r) + F_j (r, R_j ).

(2)

которые характеризуют вероятность нахождения

частиц в пространстве [40-42]. Мы ищем решение

Здесь

в рамках квазикристаллического приближения

(ККП) теории многократного рассеяния волн

(m2p

- 1)k²

(ТМРВ)

[4, 42]. В рамках этого приближения

F_j(r, R_j) =

4π

учитываются только двухчастичные корреляции

∫

↔

во взаимном расположении частиц, и усреднен-

× dr^′

G (r, Rj + r^′) · E(Rj + r^′)

(3)

ное внутреннее поле в каждой частице при двух

фиксированных частицах полагается равным

— поле, создаваемое в точке r частицей, центр кото-

усредненному полю при одной фиксированной

рой находится в точке R_j , m_p = n_p+iκ_p — комплекс-

частице: 〈E(R_l + r^′)〉lj ≈ 〈E(Rl + r′)〉l, где l, j —

ный показатель преломления частицы относитель-

номера частиц. Процедура усреднения подробно

но окружающей среды (относительный комплекс-

описана в работах [71, 72], где рассмотрено ре-

ный показатель преломления частицы), V_p — объ-

шение проблемы для падения плоской волны по

ем частицы, 0 ≤ |r^′| ≤ D/2, D — диаметр частицы,

нормали к плоскости монослоя (r₀

= z), когда

252

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

возбуждающее поле одинаково для всех частиц.

«узкоапертурного» приемника с площади S моно-

В таких условиях, и при однородном распреде-

слоя, содержащей N частиц (см. рис. 1). Линейные

лении частиц, поля 〈E(R_j + r^′)〉_j одинаковы для

размеры этой площади малы по сравнению с рас-

любого j и поле в частице с номером j равно

стоянием до точки наблюдения, но достаточно вели-

полю 〈E(r^′)〉₁ в частице, центр которой находится

ки, чтобы статистические характеристики ансамб-

в начале координат: 〈E(R_j + r^′)〉_j = 〈E(r^′)〉₁. При

ля частиц были такими же, как и во всем монослое

наклонном освещении усредненные внутренние

(N → ∞):

поля 〈E(R_j + r^′)〉_j отличаются от поля 〈E(r^′)〉₁

сдвигом фаз, определяемым сдвигом фаз падающей

lim

= const ≪ 1,

(7)

R→∞

волны: 〈E(R_j + r^′)〉_j = 〈E(r^′)〉₁eikr0·Rj .

r→∞

Учитывая сдвиг фаз и используя процедуру на-

где r = |r|.

хождения среднего поля [71, 72], получим следую-

При этих предположениях функция Грина

щее уравнение для усредненного поля вне частиц

↔

G (r, R+r^′), входящая в уравнение (5), упрощается,

при произвольном угле падения:

и можно записать

∑

[_↔

]

〈E(r)〉 = E₀(r^′) +

〈F_j (r, R)〉 =

↔

G (r, R + r^′)eikr0 ·^R =

I -r ⊗ r exp[ikΦ].

(8)

(m2p

- 1)k²

С учетом условия (7) показатель экспоненты в фор-

= E₀(r) +

ρ₀ ×

4π

∫

муле (8)

↔

× dR dr^′

G (r, R + r^′) · 〈E(r^′)〉1eikr0·^R.

(5)

· R] →

ikΦ = ik [|r - (R + r^′)| + r₀

(

)

r^′

→ ikr

1 - (r - r₀) · R/r - r ·

Для усредненного поля в частице 〈E(r^′)〉₁, входяще-

го в уравнение (5), получим

если (r - r₀) · R = 0. В противном случае

(m2p

- 1)k²

(

)

〈E(r^′)〉₁ = E₀(r) +

⁽R)2

r^′

4π

ikΦ → ikr

-r·

∫

↔

× dr^′′

G (r^′, r^′′) · 〈E(r^′′)〉1 +

Интегрирование в уравнении (5) по объему частицы

∫

и по ее положению разделяется. В результате

(m2p

- 1)k²

ρ₀

dR g(R) ×

4π

∑

∫

ρ₀

↔

〈F_j (r, R_j )〉 =

e^ikrf(r)h(r).

(9)

× dr^′′

G (r^′, R + r^′′) · 〈E(r^′′)〉1eikr0·^R.

(6)

j=1

Здесь f(r) — амплитудная функция рассеяния в на-

В выражениях (5) и (6) ρ₀ — средняя плотность

правлении r для отдельной частицы монослоя:

числа частиц (средняя поверхностная концентрация

частиц), g(R) — радиальная функция их распреде-

(m2p - 1)k³

f (r) =

ления [80,81], R = |R| — расстояние в плоскости мо-

4π

∫

(_↔

)

нослоя относительно начала координат. Если волна

× dr^′

I -r ⊗ r e-ikr·r′ · 〈E(r^′)〉1.

(10)

падает на монослой по нормали, то фазовый сдвиг

kr₀ · R_j между средними полями в частицах равен

нулю и уравнения (5), (6) переходят в соответствую-

Она учитывает вклад всех частиц слоя в форми-

щие уравнения, полученные в [71, 72].

рование внутреннего поля рассматриваемой части-

цы (т. е. многократное рассеяние волн в монослое).

Функция h(r) учитывает различие в фазах полей,

3. ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОЛЯ В ДАЛЬНЕЙ

создаваемых в точке наблюдения r частицами мо-

ЗОНЕ МОНОСЛОЯ

нослоя. Ее вид зависит от аппроксимации функции

При рассмотрении поля в дальней зоне монослоя

Грина. Если r удовлетворяет условию:

(|r-(R+r^′)| ≫ λ) предположим, что излучение, рас-

(r - r₀) · R = 0,

(11)

сеянное в направлении r, регистрируется с помощью

253

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

то

Поток излучения в телесном угле dΩ через элемен-

∫

2πir

тарную площадку сферы r²dΩ равен

h(r) = eikR2 /2rdR =

(12)

dJ_inc(r) = I_inc(r)r²dΩ =

Для остальных направлений рассеяния при выпол-

нении условия (7) интеграл

= f(r) · f^∗(r)

SS2 dΩ.

(16)

∫

πx²

h(r) = dR exp (-ik (r - r₀) · R) = 0

Здесь η — фактор заполнения монослоя (отношение

площади проекций всех частиц на плоскость моно-

и, следовательно, равно нулю усредненное рассеян-

слоя к площади, на которой они распределены), x =

ное поле.

= πD/λ — параметр дифракции частицы, D — диа-

Равенство (11) выполняется для двух значений r:

метр частицы, λ — длина волны падающего излу-

r = r_t и r = r_r, где r_t и r_r удовлетворяют условиям:

чения, S₂ — двумерный (2D) структурный фактор

rt = r0 и (rr - r0) ⊥ R. Первое соответствует волне

монослоя [71, 72], который при произвольном угле

〈E(r_t)〉, прошедшей в направлении волнового векто-

падения плоской волны имеет следующий вид:

ра падающей волны (r_t: θ_t = θ₀, ϕ_t = 0). Второе —

волне 〈E(r_r)〉, зеркально отраженной монослоем (r_r:

∫

∞

θr = π - θ0, ϕr = 0). Напряженность поля плос-

S₂(η, x, θ₀, θ, ϕ) = 1 + 8η

[g(u) - 1] ×

кой волны, распространяющейся в направлении r_t,

(

√

)

определяется полями волн, рассеянных частицами

монослоя, находящимися на площади S, и полем, со-

×J₀

2xu sin² θ₀ + sin² θ - 2 sin θ₀ sin θ cos ϕ

здаваемым падающей волной, прошедшей через эту

× udu,

(17)

площадь в отсутствие частиц [20]:

[

]

2πi

где θ и ϕ — полярный и азимутальный углы рассея-

〈E(r_t)〉 =

ε₀ cosθ₀ +

ρ₀f(r_t) eikrt .

(13)

ния (угловые координаты вектора r), u = R/D —

k²

безразмерная переменная интегрирования, выра-

Напряженность поля зеркально отраженной волны

женная в диаметрах D частиц, J₀(z) — цилиндри-

2πi

〈E(r_r )〉 =

ρ₀f(r_r)eikrr .

(14)

ческая функция Бесселя нулевого порядка.

k²

В заключение данного раздела подчеркнем, что

Выражения (13), (14) описывают когерентную часть

приближение дальнего поля используется только

рассеянного излучения.

при описании поля, регистрируемого приемником

Флуктуации положений R_j частиц порождают

на достаточно большом расстоянии от «видимой»

некогерентно рассеянную часть поля, интенсивность

им площади монослоя (см. выражение (7)). Форму-

(модуль вектора плотности потока энергии) которо-

лы для определения эффективного поля в частицах

го в общем случае отлична от нуля. Она определя-

приведены в следующем разделе. Они основаны на

ется как разность между усредненной интенсивно-

разложении функции Грина по векторным сфериче-

стью полного поля I(r) = 〈E(r) · E^∗(r)〉 и интен-

ским волновым функциям. То есть в разрабатывае-

сивностью его когерентной составляющей I_c(r) =

мом подходе нет ограничений на расстояния между

= 〈E(r)〉 · 〈E^∗(r)〉: I_inc(r) = I(r) - I_c(r). Выраже-

частицами.

ние для I_inc(r) найдем, применив процедуру, анало-

гичную описанной в работах [71, 72] для освещения

по нормали. Она основана на приближении среднего

4. АМПЛИТУДНАЯ ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ

поля

Определим амплитудную функцию f(r), описы-

E(R_j + r^′) ≈ 〈E(R_j + r^′)〉_j .

вающую рассеяние излучения на частице, находя-

Таким образом, мы пренебрегаем флуктуациями по-

щейся в эффективном поле, созданном всеми час-

лей в частицах для конкретных конфигураций мо-

тицами ансамбля, используя разложения полей и

нослоя по сравнению со значениями этих полей,

функции Грина по векторным сферическим волно-

усредненными по возможным конфигурациям ан-

вым функциям [74, 75, 82]. Для плоской волны, па-

самбля при фиксации выбранной частицы. В резуль-

дающей под углом θ₀ к координатной оси z, разло-

тате, интенсивность рассеянного излучения опреде-

жение представляет собой двойную сумму по обо-

ляется по формуле

им индексам сферических функций. В случае произ-

η S

вольной поляризации (см. выражение (1)) оно имеет

I_inc(r) = f(r) · f^∗(r)

S₂.

(15)

πx² r²

следующий вид:

254

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

(e)

∑

— коэффициенты разложения, учитывающие

mlE

E₀(r) = 4π

il-1 ×

многократное рассеяние волн. Они связаны с коэф-

l=1 m=0

{

[

]

фициентами, определяющими вклад в усредненное

× a_ml τ(m)l(μ₀) ε_θN(1)eml(kr) + ε_ϕM(1)eml(kr) +

поле (20) четных и нечетных сферических функций,

[

]}

следующим образом:

+ imπ(m)l(μ₀) ε_θM(1)oml(kr) + ε_ϕN(1)oml(kr)

(18)

(

)

(σ)

a_m

ψ^′lψl - mpψlψ′

Индексы e и o означают, соответственно, четную и

b(σ)mlM

m_pi^l4πα_ml

нечетную сферические волновые функции; коэффи-

(

)

(22)

циенты

a(σ)

m_pψ^′l

ψ_l - ψ_lψ′

(σ)

mlE

b_m

(2l + 1)(l - m)!

m_pi^l4πα_ml

α_ml =

2πl(l + 1)(l + m)!(1 + δ0m)

{

(19)

Здесь σ = o или e; ψ_l = xj_l(x),

ψ_l = m_pxj_l(m_px),

1, m = 0

δ0m =

j_l — сферическая функция Бесселя l-го порядка.

m=0

Для когерентных прошедшей (r = r_t) и отражен-

ной (r = r_r) волн выражение (21) в сферической

μ₀ = cosθ₀, угловые функции

системе координат принимает следующий вид:

π(m)l(μ₀) = P^ml(cosθ₀)/ sinθ₀,

f (r_t,r ) =

θ_t,rf_θ(r_t,r) + i ϕ_t,rf_ϕ(r_t,r),

(23)

τ(m)l(μ₀) = dP^ml(cosθ₀)/dθ₀,

где

P^ml(cosθ₀) — присоединенные функции Лежандра:

∑

m/2

(1 - x²)

dm+l

f_θ(r_t,r) = 4πi

(±1)^l-m ×

P^ml(x) =

(x² - 1)^l.

2^ll!

dxm+l

l=1 m=0

[

]

× α_ml mπ(m)l(μ₀)b(o)mlM ± τ(m)l(μ₀)b(e)

(24)

Представим усредненное поле в частице анало-

mlE

гичным разложением:

∑

∑[

∑

〈E(r^′)〉₁ =

a(e)mlM M(1)eml(m_pkr) +

f_ϕ(r_t,r) = 4πi

(±1)^l-m ×

l=1 m=0

[

]

+ ia(o)mlMM(1)oml(m_pkr) + a(e)mlEN(1)eml(m_pkr)+

× α_ml mπ(m)l(μ₀)b(o)mlE ± τ(m)l(μ₀)b(e)

(25)

mlM

]

+ ia(o)mlEN(1)oml(m_pkr)

(20)

В формулах (24), (25) верхний знак «+» соответст-

вует r_t, нижний «-» — r_r.

(спользуя)также разложение матричной функции

↔

Коэффициенты b(o)mlM , b(e)mlM , b(o)mlE и b(e)mlE опре-

I -r ⊗ r e-ikr·r′ [74, 75] и ортогональность век-

деляются из решения уравнения (6). Для этого ис-

торных сферических гармоник при интегрировании

пользуется разложение усредненного поля в частице

(10), получим

(20). Входящие в уравнение (6) функции Грина тоже

раскладываются по векторным сферическим волно-

∑

{ [

вым функциям, определенным в точках наблюдения

f (r) = 4πi

α_ml

θ mπ(m)l(μ) ×

и в точках расположения частиц R [74,75]. Функции

l=1 m=0

(

)

в точках расположения частиц выражаются с помо-

× cos(mϕ)b(o)mlM + i sin(mϕ)b(e)

mlM

щью теоремы сложения [82, 83] через ряды вектор-

(

)]

ных сферических волновых функций, но уже с од-

+ τ(m)l(μ) cos(mϕ)b(e)mlE + isin(mϕ)b(o)

mlE

ним значением R = 0. Коэффициенты этого разло-

[

(

)

+ i ϕ τ(m)l(μ) cos(mϕ)b(e)mlM+isin(mϕ)b(o)

жения пропорциональны e(m-m′)ϕR, где m — индекс

mlM

(

)]}

исходной сферической функции, а m^′ — индекс чле-

+ mπ(m)l(μ) cos(mϕ)b(o)mlE+i sin(mϕ)b(e)

(21)

на ряда, ϕ_R — азимутальная координата положения

mlE

частицы в плоскости монослоя, по которой в уравне-

где μ = cos θ,

θ и ϕ — единичные векторы в на-

нии (6) проводится интегрирование. От этой коорди-

правлениях, определяемых полярным θ и азиму-

наты также зависит фазовый сдвиг между усреднен-

тальным ϕ углами рассеяния, b(o)mlM , b(e)mlM , b(o)mlE и

ными полями при наклонном освещении монослоя,

255

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

поэтому в формулах теоремы сложения необходи-

Коэффициенты A^±mlm′_l′, B^±mlm′_l′, C^±mlm′_l′ и

мо учитывать члены как с равными, так и различ-

D±mlm′l′^{определяютсяследующимобразом:}

ными индексами m, m^′ (при освещении по нормали

учитываются лишь члены с равными индексами).

∑

A^±mlm′_l′ =

a_pll′ β^±pmlm′_l′ ,

Последующее интегрирование полученных уравне-

p=|l-l^′|

ний с учетом ортогональности сферических функ-

(28)

ций приводит к системе алгебраических уравнений

∑

для сумм

B±mlm′l′⁼

b_pll′ β±pmlm′l′^,

p=|l-l^′|

b(s)mlM(E) = b(e)mlM(E) + b(o)mlM(E)

∑

и разностей

C^±mlm′_l′ =

(-1)l-l′+^pa_pll′ β^∓pmlm′_l′ ,

p=|l-l^′|

(29)

b(d)mlM(E) = b(e)mlM(E) - b(o)mlM(E)

∑

D_m

(-1)l-l′+^pb_pll′ β^∓pmlm′_l′ ,

искомых коэффициентов:

lm^′l^′

p=|l-l^′|

(s)

b_m

где

ε_ϕτ(m)l(μ₀) + ε_θmπ(m)l(μ₀) =

^lM +

c_lM

∑

[

2l^′ + 1

a_pll′ =

i^-p(2p + 1)×

+ 8η

A+mlm′_l′ b(s′ml′_M + A^-mlm′_l′ b(d′ml′_M +

2l^′(l^′ + 1)

m^′,l^′

(

)

]

l^′

× [l(l+1)+l^′(l^′+1)-p(p+1)]

(30)

+ B+mlm′_l′b(s′ml′_E + B^-mlm′_l′ b(d′ml′_E

(s)

b_m

ε_θτ(m)l(μ₀) + ε_ϕmπ(m)l(μ₀) =

^lE +

c_lE

∑

[

2l^′ + 1

b_pll′

i^-p(2p + 1)[(p + l - l^′) ×

+ 8η

B+mlm′l′bms′l′M + Bmlm′l′ bmd′l′M +

2l^′(l^′ + 1)

m^′,l^′

]

× (p-l+l^′)(l+l^′+1+p)(l+l^′+1-p)]1/2 ×

(

)

+ A+mlm′l′bms′l′E + Amlm′l′bmd′l′E

(26)

l^′

p-1

(d)

(31)

b_m

ε_ϕτ(m)l(μ₀) - ε_θmπ(m)l(μ₀) =

^lM +

c_lM

∑

[

+ 8η

C+mlm′_l′ b(s′ml′_M + C^-mlm′_l′ b(d′ml′_M +

β_p

= (-1)^m(±1)m′(1 + δ_m′₀)-1 ×

m^′,l^′

mlm^′l^′

]

(

)

+ D+mlm′_l′b(s′ml′_E + D^-mlm′_l′ b(d′ml′_E

l^′

(d)

m ∓m^′

±m^′ - m

b_m

ε_θτ(m)l(μ₀) - ε_ϕmπ(m)l(μ₀) =

^lE +

c_lE

⁽ (l + m)!(l^′ - m^′)!(p - m ± m^′)!)1/2

∑

[

(l - m)!(l^′ + m^′)!(p + m ∓ m^′)!

+ 8η

D+mlm′l′bms′l′M + Dmlm′l′ bmd′l′M +

m^′,l^′

(32)

×Pm∓m′p (0)

]

+ C+mlm′l′bms′l′E + Cmlm′l′bmd′l′E

Pm∓m′p(0) — присоединенные функции Лежандра,

определенные выше,

Здесь

′

m_pψ_l(m_px)ψ^′l(x) - ψ_l(x)ψ^′l(m_px)

H^m∓mp

= (i)m∓m′ ×

c_lE =

m_pψ_l(m_px)χ^′l(x) - χ_l(x)ψ^′l(m_px)

∞

∫

(27)

ψ_l(m_px)ψ^′l(x) - m_pψ_l(x)ψ^′l(m_px)

× g(u)h(1)p(2xu)J_m∓m′(2xu sinθ₀)u du.

(33)

c_lM =

ψ_l(m_px)χ^′l(x) - m_pχ_l(x)ψ^′l(m_px)

— коэффициенты Ми для рассеянного поля, ψ_l(x) =

Входящие в формулы (30)-(32) коэффициенты

= xj_l(x) и χ_l(x)

= xh(1)l(x) — функции Рикка-

(

)

ти- Бесселя, h(1)l(x) — функция Ханкеля первого ро-

j₁

j₂

j₃

да, нижний индекс l означает порядок функций.

k₁

k₂

k₃

256

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

— это 3j-символы Вигнера. При k₁ = k₂ = k₃ = 0

порциональная ей интенсивность I_inc некогерентно-

они равны нулю, если j₁ + j₂ + j₃ — нечетное число

го поля не зависят от азимутального угла рассея-

[84]. Таким образом, ненулевые значения коэффици-

ния: I_inc(ϕ) = const. При линейной поляризации

ентов a_pll′ и b_pll′ имеют место, если сумма индексов

падающего излучения коэффициенты, определяю-

s = l+l^′+p является соответственночетным и нечет-

щие вклад четных и нечетных гармоник в разло-

ным числом. Поскольку значение p первого члена

жении усредненного поля в частице (формула (20)),

суммы (29) равно |l - l^′|, соответствующее значение

не равны. Как следствие, функцию I_inc можно запи-

s четное (s - 1 — нечетное) и коэффициент a_pll′ =

сать, используя формулу (42) из работы [73], в виде

= 0 (b_pll′ = 0). Ситуация меняется на обратную с

суммы двух членов. Один из них пропорционален

увеличением индекса p на единицу и т. д. Четность

cos²(α - ϕ), а другой — sin²(α - ϕ), где α — угол

степени множителя (-1)l-l′+^p, входящего в опреде-

между вектором поляризации и осью x. Коэффици-

енты при cos²(α - ϕ) и sin²(α - ϕ) разные. Таким

ление C∓mlm′l′(Dmlm′l′^{)(формула(29)),совпадаетс}

четностью s. В результате имеют место следующие

образом, функция I_inc(ϕ) является периодической

и симметричной относительно плоскости поляриза-

равенства: A±mlm′l′=Cmlm′l′,Bmlm′l′=-Dmlm′l′^.

Интеграл (33) рассчитывается численно. Он яв-

ции (плоскости колебаний вектора E₀(r)) и плоскос-

ляется осциллирующей функцией верхнего преде-

ти, ортогональной ей.

ла интегрирования u_up, которая стремится к своему

При освещении монослоя под углом θ₀ = 0 за-

асимптотическому значению с увеличением u_up. Оно

висимость I_inc(ϕ), как следует из выражения (21),

приближенно равно усредненному значению этой

усложняется. Это связано с появлением еще од-

функции на интервале значений верхнего преде-

ной выделенной плоскости — плоскости падения,

ла интегрирования, определяемому величинами u₁

относительно которой симметричен сдвиг фазы па-

и u₂:

дающей волны и равный ему сдвиг фазы усред-

ненного поля в частицах. Симметрия распределе-

∫

ния интенсивности некогерентного поля по азиму-

Hm∓m′p ≈ (i)m∓m′

du_up ×

тальному углу относительно плоскости поляриза-

u₂ - u₁

ции имеет место только для падающей волны, у ко-

∫

торой эта плоскость совпадает с плоскостью паде-

× g(u)h(1)p(2xu)J_m∓m′(2xu sinθ₀)u du.

(34)

ния (p-поляризованная или TM-волна). Относитель-

но плоскости падения симметрично также и распре-

деление I_inc(ϕ), если падающая волна поляризова-

Коэффициенты b(e)mlE, b(o)mlE, b(e)mlM , b(o)mlM находят-

на ортогонально этой плоскости (s-поляризованная

ся из решения системы (26):

или TE-волна). Для остальных типов поляризации

(

)

плоскость симметрии углового распределения ин-

b(e)mlM(E) = b(s)mlM(E) + b(d)

/2,

тенсивности отсутствует. Результаты расчетов, ил-

mlM(E)

(

)

(35)

люстрирующие зависимость I_inc(ϕ) при освещении

b(o)mlM(E) = b(s)mlM(E) - b(d)

/2.

mlM(E)

монослоя волнами с линейной и циркулярной поля-

ризациями от угла падения и плотности упаковки

Если внешнее излучение падает на монослой

частиц, приведены в разд. 6.

по нормали (θ₀

= 0^◦), то интегралы Hm+m′p и,

соответственно, коэффициенты A-mlm′l′(Cmlm′l′^)и

B^-mlm′_l′ (D+mlm′_l′ ) равны нулю. Система уравнений

5. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОГЕРЕНТНОГО

(26) разделяется на две подсистемы: одна для ко-

ПРОПУСКАНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ И

эффициентов b(s)mlM(E), другая для b(d)mlM(E). Ненуле-

НЕКОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ

МОНОСЛОЯ, УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

вое решение существует только при равенстве ин-

ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ

дексов m^′

= m = 1, поскольку угловые функ-

ции π(m)l(1)

= τ(m)l(1) = 0 при m = 1 [75]. Та-

Найдем доли излучения, когерентно прошедше-

кая система рассмотрена в работе [73], где пока-

го и отраженного монослоем, и рассеянного некоге-

зано, что для правосторонней циркулярной поля-

рентно. Первые две характеристики являются энер-

ризации b(e)mlM(E)

= b(o)mlM(E), а для левосторонней

гетическими коэффициентами когерентного пропус-

b(e)mlM(E) = -b(o)mlM(E). В результате, как следует из

кания T_c и отражения R_c монослоя, которые опреде-

выражения (21) для амплитудной функции рассе-

ляются как отношения интенсивностей прошедшей

яния f(r), при m = 1 функция f(r) · f^∗(r) и про-

прямо и зеркально отраженной волн к интенсивнос-

257

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

⎧



ти падающей волны. Используя результаты разд. 3,

⎨∑

∑

16πηS₂



4, получим

dσ(r) =



α_ml ×

x² cosθ₀ ⎩

l=1 m=0

[

(

)



× mπ(m)l(μ) cos(mϕ)b(o)mlM + i sin(mϕ)b(e)

8πη

∑

mlM



T_c =

εθ -

α_ml ×



x² cosθ



l=1 m=0

(

)]

(m)



+ τ_l

(μ) cos(mϕ)b(e)mlE +i sin(mϕ)b(o)mlE



[

]



× mπ(m)l(μ₀)b(o)mlM +τ(m)l(μ₀)b(e)mlE



∑

∑



α_ml ×



∑

l=1 m=0



8πη

εϕ -

α_ml ×

[

(

)



x² cosθ

l=1 m=0

× τ(m)l(μ) cos(mϕ)b(e)mlM + isin(mϕ)b(o)

mlM



⎫



[

]

(

)]

⎬



× mπ(m)l(μ₀)b(o)mlE+τ(m)l(μ₀)b(e)mlM



(36)

+ mπ(m)l(μ) cos(mϕ)b(o)mlE+i sin(mϕ)b(e)mlE



 ⎭

× dΩ = I^rdinc(θ, ϕ) dΩ.

(39)

Величину I^rdinc, введенную в формуле (39), назо-



∑

вем приведенной интенсивностью (reduced intensity)



8πη

R_c =



(-1)^l-mα_ml ×

некогерентного поля.

x2 cosθ

l=1 m=0

Коэффициент некогерентного рассеяния F_inc мо-



нослоя определим, интегрируя (39) по всем направ-

[

]



лениям рассеяния:

× mπ(m)l(μ₀)b(o)mlM-τ(m)l(μ₀)b(e)mlE



∫



∑

F_inc = dσ(r) = dϕ I^rdinc(θ, ϕ)sin θ dθ.

(40)



8πη



(-1)^l-mα_ml ×

x2 cosθ

l=1 m=0



Примеры расчета углового распределения I^rdinc

[

]



рассеянного излучения, коэффициентов когерент-

× mπ(m)l(μ₀)b(o)mlE-τ(m)l(μ₀)b(e)mlM



(37)



ного пропускания T_c, когерентного отражения R_c,

некогерентного рассеяния F_inc и поглощения A мо-

нослоя приведены в следующем разделе.

Доля излучения, рассеянного в направлении r

(дифференциальный коэффициент некогерентного

6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

рассеяния), определяется как отношение потока из-

лучения dJ_inc(r), создаваемого частицами, распо-

ложенными на «видимой» приемником площади S

Полученные выше выражения применимы для

монослоя (см. формулу (16)), к потоку излучения

анализа оптических свойств монослоев с разным

|E₀|²S cos θ₀, падающего на площадь S:

типом пространственной упорядоченности: частич-

но упорядоченных, имеющих ближний порядок, и

упорядоченных монослоев с решетками, имеющими

dJ_inc(r)

dσ(r) =

(38)

«неидеальный дальний» порядок в расположении

|E₀|²S cos θ₀

частиц.

Ниже, для иллюстрации описанного подхода

приведены результаты расчетов для частично упо-

Явный вид функции (38) запишем, используя

рядоченных монослоев диэлектрических и полупро-

формулы (16) и (21):

водниковых частиц. Радиальная функция распреде-

258

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

0.2000

0.4140

0.1909

0.4400

0.3837

0.4124

0.1636

0.3289

0.8

0.3535

0.1364

0.2741

0.2945

0.6

0.1091

0.6

0.2193

0.2356

0.4

0.08182

0.4

0.1645

0.4

0.1767

0.05455

0.1096

0.1178

0.2

0.02727

0.2

0.05482

0.05891

–0.2

-0.2

–0.4

-0.4

–0.6

-0.6

–0.8

-0.8

–0.8 -0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

0.2000

0.3700

0.1909

0.3371

0.4040

0.1636

0.2950

0.3618

0.8

0.3166

0.1364

0.2528

0.6

0.2107

0.2714

0.1091

0.6

0.2261

0.1685

0.08182

0.4

0.1809

0.4

0.1264

0.4

0.05455

0.08427

0.1357

0.2

0.02727

0.2

0.04214

0.2

0.09045

0.04523

–0.2

-0.2

–0.4

-0.4

–0.6

-0.6

–0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8x

0.1000

0.1405

0.06200

0.09677

0.1360

0.06000

0.08710

0.1224

0.05400

0.8

0.07742

0.8

0.1088

0.8

0.04800

0.06774

0.09518

0.04200

0.6

0.05806

0.6

0.08158

0.6

0.03600

0.04839

0.06798

0.03000

0.4

0.03871

0.4

0.05439

0.4

0.02400

0.02903

0.04079

0.01800

0.2

0.01935

0.2

0.02719

0.01200

0.009677

0.01360

0.2

0.006000

–0.2

-0.2

–0.4

-0.4

–0.6

-0.6

–0.8

-0.8

–0.8 -0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

0.1020

0.07660

0.09677

0.09736

0.07235

0.08710

0.08345

0.8

0.07742

0.8

0.06202

0.06774

0.06955

0.05168

0.6

0.05806

0.6

0.05564

0.6

0.04839

0.04135

0.4

0.03871

0.4

0.04173

0.4

0.03101

0.02903

0.02782

0.02067

0.2

0.01935

0.2

0.01391

0.2

0.009677

0.01034

–0.2

-0.2

–0.4

-0.4

–0.6

-0.6

–0.8

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

-0.8

-0.4

0.4

0.8

Рис. 2. Зависимости приведенной интенсивности Irdinc(x, y) некогерентного поля в координатах x = sin(θ) sin(ϕ),

y = sin(θ)cos(ϕ) при освещении монослоя волной с p-поляризацией и s-поляризацией; D = 0.5 мкм, η = 0.5, λ = 0.5 мкм,

mp = 1.6 + 0i, θ0 = 0, 30^◦, 60^◦. Центры рисунков соответствуют направлениям рассеяния θ = 0 (для θ = 0 . . . 90^◦) и

θ = 180^◦ (для θ = 90...180^◦)

ления g(u) (см. выражение (34)), моделирующая та-

6.1. Непоглощающие частицы

кие монослои, рассчитывалась в приближении Пер-

6.1.1. Угловое распределение интенсивности

куса - Йевика [20, 76, 77] методом итераций [20].

некогерентного поля

Для определения оптических характеристик мо-

нослоев с «неидеальным дальним» порядком может

Рисунок 2 иллюстрирует зависимости углового

быть использована радиальная функция, метод рас-

распределения интенсивности некогерентного поля

чета которой приведен в наших работах [69,70]. Та-

при разных углах освещения θ₀ частично упорядо-

кое моделирование будет проведено нами в дальней-

ченного монослоя волной с линейными поляризаци-

шем.

ями: ε_θ = 1 + 0i, ε_ϕ = 0 + 0i (p-поляризованная или

259

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

0= 0

= 45

0= 0

= 45

Монослой

= 90

= 135

= 180

Рис. 3. Зависимости I^rdinc от полярного угла рассеяния θ в плоскости падения при разных углах освещения θ0 монослоя

волной с p-поляризацией (а) и s-поляризацией (б); D = 0.5 мкм, η = 0.5, λ = 0.5 мкм, mp = 1.6 + 0i. Стрелками обо-

значены направления освещения монослоя. Интервал изменения радиальной координаты одинаков для обоих рисунков

= 45

= 0.5

0.3

0.1

0.01

= 90

= 0.5

0.3

0.1

0.01

= 60

= 135

= 30

= 180

Рис. 4. Зависимости I^rdinc от полярного угла рассеяния θ в плоскости падения при углах освещения θ0 = 30^◦ (а) и 60^◦ (б)

монослоя волной с p-поляризацией (сплошные линии) и s-поляризацией (штриховые линии); D = 0.5 мкм, λ = 0.5 мкм,

mp = 1.6 + 0i. Интервал изменения радиальной координаты одинаков для обоих рисунков

TM-волна) и ε_θ = 0 + 0i, ε_ϕ = 0 + 1i (s-поляризован-

Зависимость приведенной интенсивности I^rdinc(θ)

ная или TE-волна), в координатах x = sin(θ) sin(ϕ),

от угла рассеяния θ в плоскости рассеяния, совпада-

y = sin(θ)cos(ϕ). Такое представление позволяет на-

ющей с плоскостью падения, показана в полярных

глядно проследить изменение интенсивности поля,

координатах на рис. 3 для более широкого диапазо-

рассеянного в переднюю и заднюю полусферы (от-

на углов θ₀.

носительно плоскости монослоя) во всем диапазоне

Видно, что для рассмотренных параметров моно-

изменений полярного и азимутального углов рассе-

слоя основная доля излучения, некогерентно рассе-

яния.

янного в плоскости падения, распространяется в пе-

Из результатов расчета и данных рисунка сле-

реднюю полусферу, а в направлении зеркального от-

дует, что угловое распределение интенсивности рас-

ражения имеет место минимум I^rdinc. При некоторых

сеянного света зависит от состояния поляризации

углах падения θ₀ наблюдается пик I^rdinc в области

падающей волны. Зависимость более выражена для

углов, близких к направлению, обратному направ-

задней полусферы.

лению освещения монослоя.

260

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

0.2000

0.1959

для рассмотренных параметров монослоя и условий

= 0.5

= 0...90

0.1714

освещения (D = 0.5 мкм, m_p = 1.6+0i, λ = 0.5 мкм,

0.8

0.1469

η = 0.5 и θ₀ = 60^◦) максимум распределения интен-

0.6

0.1224

сивности реализуется при угле рассеяния θ ∼ 0, а не

0.09794

0.4

0.07345

60^◦, как это имеет место при малой концентрации

0.04897

частиц.

0.2

0.02448

Результаты, приведенные на рис. 2 для пада-

ющих p- и s-поляризованных волн демонстриру-

-0.2

ют симметрию интенсивности некогерентно рассе-

янного поля по азимутальному углу рассеяния от-

-0.4

носительно плоскости падения. Как отмечалось в

-0.6

разд. 4, для остальных типов поляризации зависи-

-0.8

мость I_inc(ϕ) усложняется. На следующих рисунках

0= 60

этого раздела мы иллюстрируем это на примере па-

-0.8

-0.6-0.4 -0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

дающей волны с циркулярной поляризацией. Так,

на рис. 5 и 6 показаны зависимости приведенной ин-

0.2700

0.2642

тенсивности I^rdinc(x, y) и I^rdinc(ϕ) некогерентного поля

= 0.5

= 90 ...180

0.2378

0.8

0.2114

при освещении монослоя волной с циркулярной по-

0.1849

ляризацией под углом θ₀ = 60^◦. Они иллюстрируют

0.6

0.1585

0.1321

асимметрию углового распределения по азимуталь-

0.4

0.1057

ному углу рассеяния ϕ относительно плоскости па-

0.07926

дения. Результаты расчетов показывают, что иска-

0.2

0.05284

0.02642

жение симметрии растет с увеличением угла освеще-

0.000

ния, показателя преломления частиц и фактора за-

-0.2

полнения монослоя. Для наглядности, на рисунках

представлены результаты расчетов для монослоев

-0.4

«модельных» частиц с достаточно большим показа-

-0.6

телем преломления m_p = nc-Si +0i = 4.2975+0i, где

-0.8

nc-Si — действительная часть показателя прелом-

0= 60

ления кристаллического кремния (более подробно

-0.8 -0.6-0.4 -0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

результаты для монослоев частиц c-Si рассмотрены

в следующем разделе). Как видно на рис. 5, асим-

метрия имеет место как для передней, так и для

Рис.

5. Зависимости приведенной интенсивности I^rdinc(x, y)

задней полусфер. Рисунок 6a показывает, что уг-

некогерентного поля в координатах x = sin(θ) sin(ϕ), y =

= sin(θ) cos(ϕ). Освещение монослоя волной с правой цир-

ловая структура по азимутальному углу рассеяния

√

кулярной поляризацией (ε_θ = 1/

2 + 0i, εϕ = 1/

2 + 0i)

ϕ для правой циркулярной поляризации (сплош-

под углом θ0 = 60^◦; D = 0.5 мкм, λ = 0.5 мкм, mp =

ные линии) зеркально симметрична угловой струк-

= nc-Si + 0i = 4.2975 + 0i, η = 0.5

туре для левой циркулярной поляризации (штри-

ховые линии) относительно плоскости падения. C

Влияние фактора заполнения η частично упо-

уменьшением фактора заполнения η монослоя угло-

рядоченного монослоя на I^rdinc(θ) в плоскости паде-

вые структуры для обеих циркулярных поляриза-

ния при углах освещения θ₀ = 30^◦ и θ₀ = 60^◦ по-

ций сближаются и становятся симметричными от-

казано на рис. 4. Рисунок наглядно иллюстрирует

носительно плоскости падения (рис. 6б). При осве-

влияние многократного рассеяния и интерференции

щении монослоя по нормали симметрия углового

волн на угловую структуру рассеянного поля в даль-

распределения по азимутальному углу рассеяния ϕ

ней зоне. При малых концентрациях частиц диа-

имеет место при любом факторе заполнения.

грамма рассеяния совпадает с диаграммой рассея-

Рассмотренная асимметрия относительно плос-

ния отдельной частицы. С ростом концентрации по-

кости падения имеет место и для линейной поляри-

являются различия. Максимум углового распреде-

зации падающей волны, если плоскость поляриза-

ления для излучения, прошедшего через монослой,

ции не совпадает и не ортогональна плоскости па-

все больше отклоняется от направления падающе-

дения. В случае s- или p-поляризаций симметрия

го излучения. В частности, на рис. 4б видно, что

сохраняется для любого угла освещения (рис. 2).

261

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

I_inc

0.30

0.025

0.28

= 0.5

= 0.01

0.26

0.24

= 0.5

0.020

= 0.5

30.5

0.22

30.5

60.5

0.20

60.5

90.5

0.18

120.5

0.015

120.5

0.16

150.5

0.14

0.12

0.010

0.10

0.08

0.06

0.005

0.04

0.02

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

√

Рис. 6. Зависимости I^rdinc от азимутального угла рассеяния ϕ при освещении монослоя волной с правой (ε_θ = 1/

2+0i,

√

εϕ = 1/

2+0i, сплошные линии) и левой (ε_θ = 1/

2+0i, εϕ = -1/

2+0i, штриховые линии) циркулярными поляри-

зациями под углом θ0 = 60^◦ для разных полярных углов рассеяния θ; η = 0.5 (а), η = 0.01 (б); D = 0.5 мкм, λ = 0.5 мкм,

mp = nc-Si + 0i = 4.2975 + 0i

6.1.2. Коэффициенты когерентного

волной с циркулярной поляризацией величины T_c,

пропускания, отражения и некогерентного

R_c и F_inc не зависят от направления вращения век-

рассеяния частично упорядоченного монослоя

тора поляризации падающей волны при любом θ₀

(рис. 8a) в отличие от распределения интенсивнос-

Рассмотрим влияние угла освещения, состояния

ти некогерентного поля по углу ϕ (рис. 6а). При из-

поляризации падающей волны и показателя пре-

менении угла падения в областях, близких к θ₀ =

ломления частиц на спектральные зависимости ко-

= 0 и θ₀ = 90^◦, наблюдается значительное изменение

эффициентов когерентного пропускания T_c, коге-

спектральных зависимостей T_c(λ), R_c(λ) и F_inc(λ). В

рентного отражения R_c и некогерентного рассеяния

области «средних» углов освещения наиболее силь-

Finc частично упорядоченного монослоя непоглоща-

ные изменения имеют место для зависимости R_c(λ).

ющих частиц с размерами, сопоставимыми с длиной

С ростом угла освещения в области θ₀ > 60^◦ до-

волны падающего излучения.

ля некогерентно рассеянного излучения уменьшает-

На рис. 7 показаны результаты расчетов для мо-

ся, а доля когерентно рассеянного — увеличивается.

нослоя частиц оксида кремния (SiO₂), освещаемого

Увеличение показателя преломления частиц приво-

волной с линейной поляризацией: ε_θ = 1 + 0i, ε_ϕ =

дит к росту F_inc(λ) и уменьшению T_c(λ) + R_c(λ)

= 0+0i (p-поляризованная или TM-волна, сплошные

(рис. 8).

линии) и ε_θ = 0 + 0i, ε_ϕ = 0 + 1i (s-поляризованная

или TE-волна, штриховые линии).

Погрешность расчетов ε_calc, которую для непо-

Рисунок 8 иллюстрирует влияние показателя

глощающих частиц мы определяем как ε_calc

преломления частиц на спектры T_c, R_c, и F_inc мо-

= |1 - T_c - R_c - F_inc|, зависит от характеристик

нослоя при наклонном освещении волной с цирку-

монослоя и угла освещения. При использованных в

лярной поляризацией. Рассмотрены монослои час-

работе параметрах расчета (шаге интегрирования,

тиц оксида кремния и оксида алюминия.

числе учитываемых коэффициентов разложения и

Результаты расчетов показывают, что при θ₀ = 0

т. д.) минимальная погрешность ε_calc < 5 · 10-5 име-

величины T_c, R_c и F_inc не зависят от состояния по-

ла место для зависимостей, приведенных на рис. 7б,

ляризации падающего света (их спектральные зави-

а максимальная ε_calc < 2.5 · 10-3 — на рис. 8г. Де-

симости показаны на рис. 7a). С ростом угла паде-

тальная оценка влияния задаваемых параметров на

ния в общем случае появляется зависимость от по-

точность расчетов будет проведена в будущих рабо-

ляризации, что иллюстрирует рис. 7. При освещении

тах.

262

ЖЭТФ, том

158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

F , T ,R_inccc

1.464

0= 0

1.0

1.462

m = mpSiO

0.8

1.460

^Finc

1.458

0.6

m = mpSiO

SiO2

+ 0i

1.456

0.4

+ R

1.454

inc

0.2

1.452

1.450

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

, мкм

F , T ,R_inccc

0= 60

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

, мкм

Рис. 7. Спектральные зависимости коэффициентов когерентного пропускания Tc, когерентного отражения Rc, некогерент-

ного рассеяния Finc и их сумм Tc + Rc, Tc + Rc + Finc при освещении монослоя частично упорядоченных частиц оксида

кремния SiO2 волной с p-поляризацией (сплошные линии) и s-поляризацией (штриховые линии) под углом θ0 = 0 (а),

5^◦ (б), 30^◦ (в), 60^◦ (г). Спектральная зависимость показателя преломления SiO2 (б) [85]. Фактор заполнения монослоя

η = 0.5. Диаметр частиц D = 0.5 мкм

6.2. Монослой поглощающих частиц:

плоскости падения при освещении монослоя крем-

рассеяние и поглощение

ниевых частиц волной с p- и s-поляризациями под

разными углами θ₀ монослоя. Видно, что в отличие

Рассмотрим влияние направления освещения на

от монослоя непоглощающих частиц (см. рис. 3),

светорассеивающие и поглощающие свойства моно-

имеет место значительное рассеяние в заднюю по-

слоя на примере частиц кристаллического крем-

лусферу. При углах освещения, близких к θ₀ = 30^◦

ния (c-Si). Этот материал широко используется при

(для обеих поляризаций) и θ₀ = 60^◦ (для p-поляри-

создании различных электрооптических приборов

зации), максимальный пик некогерентно рассеянно-

и устройств, таких как солнечные элементы, све-

го излучения сосредоточен в малой области углов

тодиоды, детекторы излучения и т. д. Коэффици-

около направления «назад» (направления, противо-

ент поглощения монослоя определим как A = 1 -

положного направлению освещения), т. е. имеет ме-

- (T_c + R_c + F_inc).

сто сильное обратное рассеяние. Подобный эффект

На рис. 9 показаны зависимости приведенной ин-

наблюдался экспериментально для слоев InP с на-

тенсивности I^rdinc от полярного угла рассеяния θ в

нопористой поверхностью [86, 87].

263

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

F , T ,R_inccc

0= 60

1.0

m = mpSiO

0.8

^Finc

0.6

^Finc

0.6

0.4

T +R

inc

+ R

inc

+ R

0.2

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

, мкм

F , T ,R_inccc

1.776

0= 60

1.0

1.774

inc

^Finc

1.772

0.8

1.770

1.768

0.6

+ R

0.6

+ R

inc

1.766

m = mpAl

2O3

1.764

0.4

1.762

0.2

1.760

0.2

m = mpAl

+ 0i

1.758

2O3

Al2O3

1.756

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

, мкм

Рис. 8. Спектральные зависимости коэффициентов когерентного пропускания Tc, когерентного отражения Rc, некоге-

рентного рассеяния Finc и их сумм Tc + Rc, Tc + Rc + Finc при освещении монослоя частично упорядоченных частиц

√

оксида кремния (SiO2) (а,б) и оксида алюминия (Al2O3) (в,г) волной с правой (εθ = 1/

2+0i, εϕ = 1/

2+0i, сплошные

√

линии, а-г) и левой (ε_θ = 1/

2 + 0i, εϕ = -1/

2 + 0i, штриховые линии, a) циркулярными поляризациями под углом

θ0 = 30^◦ (а,в) и 60^◦ (б,г). Спектральная зависимость показателя преломления оксида алюминия Al2O3 (в) [85], η = 0.5,

D = 0.5 мкм

На рис. 10 показаны зависимости коэффициен-

симум и затем уменьшается. Изменение коэффици-

тов когерентного пропускания T_c, когерентного от-

ента поглощения коррелирует с зависимостью ко-

ражения R_c, некогерентного рассеяния F_inc и погло-

эффициента некогерентного рассеяния. На графи-

щения A частично упорядоченного монослоя частиц

ках наблюдаются максимумы и минимумы A(θ₀)

c-Si от угла освещения θ₀.

для циркулярной и линейной p-поляризации и мак-

Как видно на рисунка, при наклонном освеще-

симум для s-поляризации. Величина и положение

нии (θ₀ = 0) все рассмотренные величины зависят

«глобальных» максимумов для p- и s-поляризаций

от состояния поляризации падающей волны. Их зна-

различны. Поглощение максимально в диапазоне уг-

чения при освещении волной с циркулярной поля-

лов падения θ₀ ∼ 45^◦-75^◦. Полученные результаты

ризацией равны среднему между значениями при

и изложенная методика могут быть использованы,

освещении волнами с p- и s-поляризациями. В це-

в частности, для оценки поглощения света в моно-

лом, с ростом угла падения коэффициент когерент-

слоях частиц при разработке тонкопленочных сол-

ного пропускания уменьшается, коэффициент коге-

нечных элементов с дисперсным активным слоем из

рентного отражения имеет минимум, а при сколь-

частиц кремния или других полупроводниковых ма-

зящих углах падения резко возрастает, коэффици-

териалов, полимерных, органических и перовскит-

ент некогерентного рассеяния растет, проходит мак-

ных солнечных элементов.

264

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

0= 0

= 45

0= 0

= 45

= 90

= 135

= 180

Рис. 9. Зависимости приведенной интенсивности I^rdinc от полярного угла рассеяния θ в плоскости падения при разных

углах освещения θ0 частично упорядоченного монослоя волной с p-поляризацией (а) и s-поляризацией (б); D = 0.5 мкм,

η = 0.5, λ = 0.5 мкм, mp = mc-Si = 4.2975+0.0728i. Стрелками обозначены направления освещения монослоя. Интервал

изменения радиальной координаты одинаков для обоих рисунков

,R ,F

работан метод определения оптических характери-

стик монослоя однородных сферических частиц при

0.5

его освещении плоской электромагнитной волной по

нормали. Здесь построено общее решение, примени-

0.4

мое при произвольном направлении освещения вол-

ной с произвольной поляризацией. Оно основано на

0.3

T_c

квазикристаллическом приближении теории много-

R_c

кратного рассеяния волн, приближении среднего по-

F_inc

0.2

ля и мультипольном разложении полей и тензорной

функции Грина по векторным сферическим волно-

вым функциям. Ключевым моментом является то,

0.1

что при наклонном освещении усредненные поля в

частицах отличаются сдвигом фаз, определяемым

сдвигом фаз падающей волны в точках расположе-

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ния частиц. Решение применимо для анализа оп-

тических свойств частично упорядоченных, имею-

Рис. 10. Зависимости коэффициентов когерентного про-

щих ближний порядок и упорядоченных монослоев

пускания Tc, когерентного отражения Rc, некогерентного

с неидеальными решетками, имеющими «неидеаль-

рассеяния Finc и поглощения A частично упорядоченного

ный дальний» порядок в расположении частиц с лю-

монослоя частиц c-Si с диаметром D = 0.5 мкм от уг-

бым фактором заполнения (нет ограничений на рас-

ла θ0 освещения волной с циркулярной (пунктирные ли-

стояние между частицами). Получены выражения

нии) и линейными p-поляризацией (сплошные линии) и

для определения углового распределения интенсив-

s-поляризацией (штриховые линии); η = 0.5, λ = 0.5 мкм,

ности некогерентно рассеянного поля, коэффици-

mp = mc-Si = 4.2975 + 0.0728i [85]. Шаг по θ0 равен 1^◦

ентов некогерентного рассеяния, поглощения, коге-

рентного пропускания и отражения монослоя. При-

ведены результаты расчетов, иллюстрирующие за-

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

висимости этих характеристик от направления осве-

щения частично упорядоченных монослоев, состоя-

Данная работа является продолжением опубли-

щих из диэлектрических и полупроводниковых час-

кованных нами ранее работ [69-73], в которых раз-

тиц.

265

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Получено, что при наклонном освещении угло-

V. A. Loiko and A. A. Miskevich, in: Springer Se-

вое распределение интенсивности рассеянного излу-

ries in Light Scattering, Vol. 1: Multiple Light Scatte-

чения по азимутальному углу рассеяния ϕ для всех

ring, Radiative Transfer and Remote Sensing, ed. by

A. Kokhanovsky, Springer, Berlin (2018), p. 101.

поляризаций (кроме p- и s-) несимметрично отно-

сительно плоскости падения. С уменьшением угла

A. A. Miskevich and V. A. Loiko, in Advances in

падения асимметрия уменьшается и исчезает при

Silicon Solar Cells, ed. by Sh. Ikhmayies, Springer

малых значениях этой величины. Распределение ин-

International Publishing (2018), p. 53.

тенсивности рассеянного поля становится более сим-

T. Yamasaki and T. Tsutsui, Jpn. J. Appl. Phys. 38,

метричным также с уменьшением плотности упа-

5916 (1999).

ковки частиц в монослое, что является следствием

уменьшения роли оптического взаимодействия меж-

W. Sun, G. Videen, and B. Lin, Appl. Opt. 46, 1150

ду частицами.

(2007).

Показано, что с ростом угла падения и/или кон-

B. Wang, Y. Jin, and S. He, J. Appl. Phys. 106,

центрации частиц максимум углового распределе-

014508 (2009).

ния излучения, прошедшего через монослой, может

B. K. Nayak, K. Sun, Ch. Rothenbach et al., Appl.

формироваться в направлении, близком к нормали

Opt. 50, 2349 (2011).

монослоя. При определенных углах падения и поля-

ризации падающей волны, параметре дифракции и

10.

G. Fujii, T. Matsumoto, and T. Takahashi, Opt. Exp.

показателе преломления частиц основная доля рас-

20, 7300 (2012).

сеянного излучения может быть направлена в сто-

11.

X. H. Wu, A. Yamilov, H. Noh et al., J. Opt. Soc.

рону, противоположную направлению освещения.

B 21, 159 (2004).

Показано, что на зависимостях коэффициентов

12.

Y. Rho, M. Wanit, J. Yeo et al., J. Phys. D: Appl.

когерентного отражения, некогерентного рассеяния

Phys. 46, 024006 (2013).

и поглощения монослоя кремниевых частиц от угла

падения могут иметь место один или несколько мак-

13.

D. S. Wiersma, Nat. Photon. 7, 188 (2013).

симумов и минимумов, величина и положение кото-

14.

I. Kim, D. S. Jeong, W. S. Lee et al., Opt. Exp. 22,

рых зависят от состояния поляризации падающей

A1431 (2014).

волны.

Полученные результаты могут быть использова-

15.

В. А. Лойко, А. А. Мискевич, Опт. и спектр. 115,

ны для оценки оптических характеристик моносло-

316 (2013).

ев частиц при разработке и создании на их основе

16.

A. A. Miskevich and V. A. Loiko, J. Quant. Spect.

оптических и оптоэлектронных устройств: антиот-

Rad. Transf. 136, 58 (2014).

ражающих покрытий, светофильтров, солнечных

17.

A. A. Miskevich and V.A. Loiko, J. Quant. Spect.

элементов, светодиодов и других устройств.

Rad. Transf. 146, 355 (2014).

Благодарности. Авторы выражают благодар-

18.

A. A. Miskevich and V. A. Loiko, J. Quant. Spect.

ность сотруднику Института физики НАН Белару-

Rad. Transf. 167, 23 (2015).

си А. В. Малинке за полезные дискуссии по теме

19.

В. А. Лойко, А. А. Мискевич, Опт. и спектр. 122,

работы.

825 (2017).

Финансирование. Работа поддержана Бело-

20.

А.П. Иванов, В.А. Лойко, В.П. Дик, Распростра-

русским республиканским фондом фундаменталь-

нение света в плотноупакованных дисперсных сре-

ных исследований (проект Ф20КИ-004).

дах, Наука и техника, Минск (1988), 191 с.

21.

А. А. Мискевич, В. А. Лойко, ЖЭТФ 146, 246

ЛИТЕРАТУРА

(2014).

1. G. Mie, Ann. Phys. 25, 377 (1908).

22.

A. A. Miskevich and V. A. Loiko, J. Quant. Spectr.

Rad. Transf. 151, 260 (2015).

2. H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Partic-

les, Dover, New York (1981).

23.

J. B. Pendry and A. MacKinnon, Phys. Rev. Lett.

69, 2772 (1992).

3. C. F. Bohren and D. R. Huffman, Absorption and

Scattering of Light by Small Particles, John Wi-

24.

A. V. Lavrinenko, W. Wohlleben, and R. J. Leyrer,

ley & Sons, New York (1983).

Opt. Exp. 17, 747 (2009).

266

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рассеяние и поглощение света монослоем сферических частиц. . .

25.

B. T. Draine, Astrophys. J 333, 848 (1988).

48.

L. Tsang and J. A. Kong, Radio Sci. 18, 1260 (1983).

26.

M. A. Yurkin and M. Huntemann, J. Phys. Chem.

49.

L. Tsang and J. A. Kong, J. Electromagn. Waves and

C 119, 29088 (2015).

Appl. 6, 265 (1992).

27.

A. Andueza, P. Morales, and J. Sevilla, J. Appl. Phys.

50.

L. Tsang, C.-T. Chen, A. T. C. Chang et al., Radio

111, 104902 (2012).

Sci. 35, 731 (2000).

28.

K. Ohtaka, J. Phys. C: Solid St. Phys. 13, 667 (1980).

51.

K. M. Hong, J. Opt. Soc. Amer. 70, 821 (1980).

29.

M. Inoue, K. Ohtaka, and S. Yanagawa, Phys. Rev.

52.

D. Mackowski, Proc. R. Soc. Lond. A 433, 599 (1991);

B 25, 689 (1982).

JOSA A 11, 2851 (1994).

30.

H. Miyazaki and K. Ohtaka, Phys. Rev. B 58, 6920

53.

Y. Xu, Appl. Opt. 34,

4573

(1995); Phys. Lett.

(1998).

A 249, 30 (1998).

31.

Y. Kurokawa, H. Miyazaki, and Y. Jimba, Phys. Rev.

54.

В. Г. Верещагин, А. Н. Понявина, Н. И. Сильва-

B 69, 155117 (2004).

нович, Докл. АН БССР 34, 123 (1990).

32.

A. Modinos, Physica A 141, 575 (1987).

55.

A. N. Ponyavina, S. M. Kachan, and N. I. Sil’vano-

vich, JOSAB 21, 1866 (2004).

33.

N. Stefanou and A. Modinos, J. Phys.: Condens.

Matter. 3, 8135 (1991).

56.

В. А. Лойко, В. И. Молочко, Опт. и спектр. 79, 329

(1995).

34.

N. Stefanou and A. Modinos, J. Phys.: Condens.

Matter. 3, 8149 (1991).

57.

V. Loiko and V. Molochko, Part. Part. Syst. Charact.

13, 227 (1996).

35.

N. Stefanou and A. Modinos, J. Phys.: Condens.

Matter. 5, 8859 (1993).

58.

V. A. Loiko, V. P. Dick, and A. P. Ivanov, J. Opt.

Soc. Amer. A 17, 2040 (2000).

36.

А. Исимару, Распространение и рассеяние волн

в случайно-неоднородных средах, Мир, Москва

59.

V. A. Loiko and A. A. Miskevich, Appl. Opt. 44, 3759

(1981).

(2005).

37.

L. Tsang, J. A. Kong, and K.-H. Ding, Scattering of

60.

В. А. Лойко, А. А. Мискевич, Опт. и спектр. 98,

Electromagnetic Waves, Vol. 1: Theories and Appli-

65 (2005).

cations, John Wiley & Sons, New York (2000).

61.

M. I. Mishchenko, L. Liu, D. W. Mackowski et al.,

Opt. Exp. 15, 2822 (2007).

38.

L. Tsang et al., Scattering of Electromagnetic Waves,

Vol. 2: Num. Simulat., John Wiley & Sons, New York

62.

M. I. Mishchenko, J. M. Dlugach, and D. W. Mac-

(2001).

kowski, JOSA A 33, 2144 (2018).

39.

L. Tsang and J. A. Kong, Scattering of Electromag-

63.

Y. Okada and A. A. Kokhanovsky, J. Quant. Spectr.

netic Waves, Vol. 3: Adv. Topics, John Wiley & Sons,

Rad. Transf. 110, 902 (2009).

New York (2001).

64.

A. Garc´ıa-Valenzuela, E. Gutiérrez-Reyes, and

40.

L. L. Foldy, Phys. Rev. 67, 107 (1945).

R. G. Barrera, JOSA A 29, 1161 (2012).

41.

M. Lax, Rev. Mod. Phys. 23, 287 (1951).

65.

O. Vázquez-Estrada and A. Garc´ıa-Valenzuela, J.

Opt. Soc. Amer. A 31, 745 (2014).

42.

M. Lax, Phys. Rev. 85, 621 (1952).

66.

A. Reyes-Coronado, G. Morales-Luna, O. Váz-

43.

V. Twersky, J. Appl. Phys. 23, 407 (1952).

quez-Estrada et al., Opt. Exp. 26, 12660 (2018).

44.

V. Twersky, J. Math. Phys. 16, 633 (1975).

67.

R. Márquez-Islas, O. Vázquez-Estrada, G. Mora-

45.

J. G. Fikioris and P. C. Waterman, J. Math. Phys. 5,

les-Luna et al, Opt. & Laser Technol. 114, 1 (2019).

1413 (1964); JQSRT 123, 8 (2013).

68.

M. I. Mishchenko, L. D. Travis, and A. A. Lacis,

46.

N. C. Mathur and K. C. Yeh, J. Math. Phys. 5, 1619

Multiple Scattering of Light by Particles, Univ. Press,

(1964).

Cambridge (2006).

47.

V. V. Varadan and V. K. Varadan, Phys. Rev. D 21,

69.

А. А. Мискевич, В. А. Лойко, ЖЭТФ 140, 5

388 (1980).

(2011).

267

Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

70. A. A. Miskevich and V. A. Loiko, J. Quant. Spectr.

79. D. W. Mackowski, J. Quant. Spectr. Rad. Transf.

Rad. Transf. 112, 1082 (2011).

109, 770 (2008).

71. N. A. Loiko, A. A. Miskevich, and V. A. Loiko, JOSA

80. J. Ziman, Models of Disorder, Univ. Press, Cambrid-

A 35, 108 (2018).

ge (1979).

81. J. K. Percus and G. J. Yevick, Phys. Rev. 110, 1

72. Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко, ЖЭТФ

(1958).

153, 193 (2018).

82. O. R. Cruzan, Q. Appl. Math. 20, 33 (1962).

73. Н. А. Лойко, А. А. Мискевич, В. А. Лойко, Опт. и

спектр. 125, 623 (2018).

83. M. I. Mishchenko, L. D. Travis, and A. A. Lacis, Scat-

tering, Absorption, and Emission of Light by Small

74. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical

Particles, Univ. Press, Cambridge (2002).

Physics, McGraw-Hill Book, New York (1953).

84. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонс-

75. V. A. Babenko, L. G. Astafyeva, and V. N. Kuzmin,

кий, Квантовая теория углового момента, Нау-

Electromagnetic Scattering in Disperse Media: Inho-

ка, Ленинград (1975).

mogeneous and Anisotropic Particles, Springer,

Berlin (2003).

85. Handbook of Optical Constants of Solids, Vol. 1, ed.

by E. D. Palik, Academic, San Diego (1985).

76. О. Н. Гадомский, А. С. Шалин, ЖЭТФ 132, 870

(2007).

86. S. Ya. Prislopski, I. M. Tiginyanu, L. Ghimpu et al.,

Appl. Phys. A 117, 467 (2014).

77. B. N. Khlebtsov, Phys. Rev. B 77, 035440 (2008).

87. V. V. Sergentu, S. Ya. Prislopski, E. V. Monaico et

78. А. С. Шалин, Письма в ЖЭТФ 91, 705 (2010).

al., J. Opt. 18, 125008 (2016).

268