ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 269-281

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ВЫСОКАЯ

ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ МОНОСЛОЯ

ТРЕХУРОВНЕВЫХ КВАНТОВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

С ДУБЛЕТОМ В ВОЗБУЖДЕННОМ СОСТОЯНИИ

Д. Я. Байрамдурдыев^a, Р. Ф. Маликов^a, И. В. Рыжовb*, В. А. Малышевb,c**

^a Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы

450008, Уфа, Россия

^b Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена

198164, Санкт-Петербург, Россия

^c Zernike Institute for Advanced Materials, University of Groningen

9747 AG, Groningen, The Netherlands

Поступила в редакцию 13 февраля 2020 г.,

после переработки 13 февраля 2020 г.

Принята к публикации 3 марта 2020 г.

Теоретически исследуется нелинейный оптический отклик монослоя регулярно расположенных трехуров-

невых квантовых излучателей с дублетом в возбужденном состоянии на действие монохроматического

электромагнитного поля, квазирезонансного оптическим переходам в излучателе. В приближении сред-

него поля учитывается полное запаздывающее диполь-дипольное взаимодействие излучателей. Это взаи-

модействие играет роль положительной обратной связи, которая, в сочетании с имманентной нелинейно-

стью самих излучателей, приводит к мультистабильности отклика монослоя. Для анализа устойчивости

различных ветвей последнего используется метод показателей Ляпунова. Найдено, что тип неустойчи-

вости зависит от величины расщепления дублета и эволюционирует от автоколебаний к хаосу по мере

увеличения расщепления. Другим важным оптическим свойством монослоя является его высокая (прак-

тически стопроцентная) отражательная способность в определенной полосе частот, т. е. в данной полосе

монослой функционирует как идеальное нанометровое зеркало, причем, отражение может быть переклю-

чено на пропускание небольшим изменением амплитуды падающего поля (бистабильность). Обсужда-

ются возможности применения перечисленных оптических свойств монослоя в нанофотонике.

DOI: 10.31857/S0044451020080040

в ней). К настоящему времени выполнен ряд тео-

ретических исследований энергетической структу-

1. ВВЕДЕНИЕ

ры [8-11] и линейных оптических свойств двумер-

ных СК полупроводниковых КТ [12, 13]. В этих ра-

Методы современной микро- и нанотехнологии

ботах были продемонстрированы широкие возмож-

позволяют создавать объекты с необычными элек-

ности управления линейным откликом двумерного

тромагнитными свойствами, так называемые мета-

СК, что создает платформу для практического при-

материалы [1-3], среди которых двумерные супер-

менения подобных объектов в нанофотонике.

кристаллы (СК) полупроводниковых квантовых то-

В то же время нелинейные оптические свойства

чек (КТ) [4-6] и органических полимеров [7] пред-

двумерных СК исследованы в значительно меньшей

ставляют особый интерес. Оптические свойства СК

зависят от размера КТ, их формы, химического со-

степени. В недавних работах [14-17] было показа-

но, что нелинейный оптический отклик СК кванто-

става и геометрии решетки и могут быть целена-

правленно контролируемы (см. работу [8] и ссылки

вых излучателей (КИ) с лестничной схемой [14-16]

и Λ-схемой оптических переходов [17] обнаружива-

^* E-mail: igoryzhov@yandex.ru

ет мультистабильность, автоколебания и динамиче-

^** E-mail: v.malyshev@rug.nl

ский хаос. Кроме того, в определенной полосе час-

269

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

тот СК практически полностью отражает падаю-

Основу нашего подхода к описанию оптического

щее поле, т. е. является идеальным нанометровым

отклика монослоя регулярно расположенных V-КИ

зеркалом, которое к тому же бистабильно. Други-

составляет система уравнений для матрицы плотно-

ми словами, отражательная способность СК может

сти 3 × 3 отдельного V-КИ и уравнений Максвелла

быть переключена от значения, близкого к едини-

для поля. Запаздывающее диполь-дипольное взаи-

це, к практически нулевому и обратно при незначи-

модействие V-КИ учитывается в приближении сред-

тельном изменении амплитуды внешнего или управ-

него поля, в котором части КИ-КИ-взаимодействия

ляющего поля. В результате коэффициент отраже-

в ближней и дальней зонах отвечают соответствен-

ния монослоя формирует петлю оптического гисте-

но за коллективный сдвиг уровней и за коллектив-

резиса при сканировании амплитуды внешнего поля

ную радиационную релаксацию состояний, завися-

вверх и обратно.

щие оба от разности населенностей уровней V-КИ.

В настоящей работе мы теоретически исследу-

Статья организована следующим образом. В

ем нелинейный оптический отклик монослоя, состо-

разд. 2 мы представляем нашу модель монослоя и

ящего из регулярно расположенных КИ с дублетом

математический формализм для описания оптиче-

в возбужденном состоянии (V-КИ). В качестве та-

ского отклика последнего. В разд. 3 приведены ста-

кого излучателя может выступать, например, полу-

ционарные решения управляющих уравнений и ана-

проводниковая КТ с вырожденной валентной зоной

лиз их стабильности (разд. 3.1). Здесь же представ-

в магнитном поле [18]. Благодаря высокой плотнос-

лены результаты исследования характера неустой-

ти V-КИ и их большой силе осциллятора перехо-

чивостей оптического отклика монослоя (разд. 3.2)

дов, диполь-дипольное взаимодействие V-КИ игра-

и обсуждаются качественно причины возникнове-

ет определяющую роль в оптическом отклике моно-

ния неустойчивостей (разд. 3.3). В разд. 4 рассмат-

слоя. Так как средний дипольный момент V-КИ за-

риваются особенности отражения падающего поля

висит от текущего квантового состояния последнего,

от монослоя. Раздел 5 резюмирует работу и содер-

КИ-КИ-взаимодействие также является функцией

жит анализ возможностей наблюдения найденных

этого состояния. Это обеспечивает положительную

особенностей оптического отклика монослоя V-КИ

обратную связь, которая в совокупности с имма-

для параметров реальных систем.

нентной нелинейностью самого V-КИ приводит, так

же как и в случае монослоя КИ с лестничной [14-16]

и Λ-схемами оптических переходов [17], к мультиста-

2. МОДЕЛЬ И ФОРМАЛИЗМ

бильности отклика монослоя, автоколебаниям, ди-

намическому хаосу и к высокой отражательной спо-

Мы рассматриваем монослой регулярно располо-

собности в определенной полосе частот. Здесь умест-

женных идентичных V-КИ. Схема уровней и пере-

но отметить, что, несмотря на глобальное подобие

ходов изолированного V-КИ изображена на рис. 1,

откликов указанных систем трехуровневых КИ, фи-

где |1〉 — основное состояние с энергией ε₁ = 0, |2〉 и

зика формирования оптического отклика монослоя

|3〉 — состояния дублета с энергиями соответствен-

V-КИ существенно отличается от двух других ана-

но ε₂ = ℏω₂ и ε₃ = ℏω₃. Оптически разрешенными

логов. В случае V-КИ оптические переходы в нем

являются переходы |1〉 ↔ |2〉 и |1〉 ↔ |3〉, характе-

изначально связаны диполь-дипольным взаимодей-

ризующиеся дипольными моментами переходов d₂₁

ствием излучателей, образуя коллективную систе-

и d₃₁ (для простоты, вещественными и одинаково

му с собственными частотами и состояниями, суще-

направленными). Состояния дублета |2〉 и |3〉 спон-

ственно отличающимися от их исходных. Это обсто-

танно затухают в основное состояние |1〉 с констан-

ятельство и является главной причиной различий

тами затухания соответственно γ₂₁ и γ₃₁. Безызлу-

в оптическом отклике монослоя V-КИ и таковых с

чательная релаксация в дублете учитывается кон-

другими схемами оптических переходов.

стантой γ₃₂.

Перечисленные свойства монослоя V-КИ дела-

Предполагается, что на монослой падает плоская

ют данную систему перспективной для различных

волна E₀(t) = E₀ cos(ω₀t) с частотой ω₀, квазирезо-

применений в нанофотонике. Предварительные ре-

нансной оптическим переходам в V-КИ. Мы ограни-

зультаты опубликованы в кратком сообщении [19].

чиваемся геометрией нормального падения и усло-

Отметим также, что некоторые аспекты неустойчи-

вием коллинеарности внешнего поля и дипольных

вого поведения оптического отклика тонкого слоя с

моментов переходов V-КИ (не являющемся принци-

высокой концентрацией V-КИ обсуждались в рабо-

пиальным). В этом случае все векторные величины

тах [20, 21].

можно считать скалярами.

270

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

H^RWA(t) = ℏ (Δ₂₁σ₂₂ + Δ₃₁σ₃₃) -

- iℏ [Ω₃₁(t)σ₃₁ + Ω₂₁(t)σ₂₁] + H.c.,

(2)

L{ρ(t)} =

γ₃₁ ([σ₁₃ρ(t), σ₃₁] + [σ₁₃, ρ(t)σ₃₁]) +

γ₂₁ ([σ₁₂ρ(t), σ₂₁] + [σ₁₂, ρ(t)σ₂₁]) +

(3)

d₃₁

d₂₁

+ 2γ32([σ32ρ(t),σ23]+[σ32,ρ(t)σ32]),

σ_ij = |i〉〈j|, i, j = 1, 2, 3,

(4)

где H^RWA — гамильтониан V-КИ во вращающейся

системе отсчета, [A, B] — коммутатор, L — релак-

сационный оператор Линдблада [22,23], определен-

= 0

ный уравнением (3). В уравнении (2) Δ₂₁ = ω₂ -

- ω₀ и Δ₃₁ = ω₃ - ω₀ — отстройки частоты ω₀

Рис. 1. Схема энергетических уровней изолированного

V-КИ, включающая основное состояние |1〉 и дублет |2〉

внешнего поля от частот переходов 2 ↔ 1 и 3 ↔

↔ 1. Далее, Ω₃₁(t) = d₃₁E(t)/ℏ = Ω(t) и Ω₂₁(t) =

и |3〉 в возбужденном состоянии: ε1 = ℏω1 = 0, ε2 = ℏω2

и ε3 = ℏω3 — энергии этих состояний. Сплошными дву-

= d₂₁E(t)/ℏ = μΩ(t) (μ = d₂₁/d₃) — амплитуды Раби

направленными стрелками отмечены разрешенные опти-

действующего на V-КИ поля, отвечающие перехо-

ческие переходы, характеризующиеся дипольными момен-

дам 3 ↔ 1 и 2 ↔ 1. Амплитуда Раби Ω(t) есть сумма

тами переходов d21 и d31. Волнистые стрелки обознача-

амплитуд Раби Ω₀ = d₃₁E₀/ℏ внешнего поля, и поля,

ют радиационное затухание состояний дублета |2〉 и |3〉

создаваемого другими V-КИ в месте расположения

со скоростями γ21 and γ31. Штриховая стрелка отвечает

данного. В приближении среднего поля Ω(t) дается

безызлучательной релаксации верхнего состояния дублета

уравнением [16] (здесь и в дальнейшем мы опускаем

со скоростью γ32

зависимость всех переменных от времени)

Ω = Ω₀ + (γ_R - iΔ_L)(ρ₃₁ + μρ₂₁).

(5)

При описании оптического отклика монослоя мы

Выражения для констант γ_R и Δ_L зависят от со-

принимаем приближение среднего поля, т. е. счита-

отношения между латеральным размером решетки

ем, что все динамические переменные V-КИ и поля

Na (N — латеральное число узлов, a — постоянная

не зависят от положения в монослое. Данное при-

решетки) и длиной волны излучения λ = 2πc/ω₀, c —

ближение оправдано, строго говоря, лишь для моно-

скорость света. Для простой квадратной решетки с

слоя бесконечной протяженности. Однако рассмот-

латеральным размером Na ≪ λ (точечная система)

рение системы конечного размера наталкивается на

величины γ_R и Δ_L даются формулами [16]

серьезные вычислительные трудности, связанные с

интегрированием системы нелинейных дифферен-

γ_R =

γ₃₁N²,

(6)

циальных уравнений огромного ранга. Как мы уви-

дим далее, решение нелинейной задачи даже в про-

⁽λ)3

Δ_L = 3.39γ₃₁

(7)

стейшем случае (среднее поле) требует определен-

ной аккуратности ввиду возможности неустойчиво-

где λ = λ/2π. В противоположном случае Na ≫ λ

го поведения отклика. В этой связи рассмотрение

(протяженная система) [16]

уже непростого «нулевого» приближения (среднее

поле) имеет определенный смысл.

⁽λ)2

γ_R = 4.51γ₃₁

(8)

Оптическая динамика V-КИ в монослое управ-

ляется уравнением для оператора плотности ρ(t)

⁽λ)3

[22, 23], которое во вращающейся с частотой ω₀

Δ_L = 3.35γ₃₁

(9)

внешнего поля системе отсчета имеет вид

Как следует из уравнений (6) и (8), константа

[

]

γ_R для точечной системы зависит от полного чис-

ρ(t) = -

H^RWA(t), ρ(t)

+ L{ρ(t)},

(1)

ла V-КИ в решетке, N², в то время как в случае

ℏ

271

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

протяженной системы величина γ_R пропорциональ-

ление Δ₃₂ и отстройка от резонанса Δ₃₁. Все расче-

на числу V-КИ внутри площади размером λ². Здесь

ты выполнены в предположении γ₂₁ = γ₃₁ (μ = 1).

будет не лишним отметить, что γ_R есть не что иное,

В дальнейшем все величины размерности частоты

как сверхизлучательная константа Дике [16, 24-26],

даны в единицах γ₃₁, а время — в единицах γ-131.

отвечающая за коллективную релаксацию V-КИ в

монослое. Параметр Δ_L практически не зависит от

3.1. Стационарные решения

размера решетки и представляет собой не что иное,

как статическое диполь-дипольное взаимодействие

В качестве первого шага нашего анализа оптиче-

V-КИ. Подчеркнем, что при λ ≫ a (интересующий

ского отклика монослоя V-КИ рассмотрим стацио-

нас случай) независимо от размера решетки выпол-

нарные решения управляющих уравнений (10)-(15),

нено соотношение Δ_L ≫ γ_R, которое, как будет вид-

формально полагая в них нулю производные по вре-

но далее, является определяющим для оптической

мени. Здесь уместно пояснить, что стационарность

динамики монослоя.

решения не означает его устойчивости. Как будет

В базисе состояний |1〉, |2〉 и |3〉 уравнение (1)

видно далее, стационарное решение может быть как

представляет собой систему уравнений для матрич-

устойчивым, так и неустойчивым.

ных элементов ρ_αβ (α, β = 1, 2, 3):

Для нахождения стационарных решений мы ис-

пользовали параметрический метод [16], описанный

ρ₁₁ = γ₂₁ρ₂₂ + γ₃₁ρ₃₃ + Ω^∗ρ₃₁ +

в Приложении A. Результаты расчетов представле-

+ Ωρ∗31 + μ(Ω^∗ρ₂₁ + Ωρ∗21),

(10)

ны на рис. 2 и 3. Первый из них получен для случая

ρ₂₂ = γ₃₂ρ₃₃ - γ₂₁ρ₂₂ - μ(Ω^∗ρ₂₁ + Ωρ∗21),

(11)

возбуждения монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

(Δ₃₁ = 0) в изолированном V-КИ, второй — в центр

ρ₃₃ = -(γ₃₁ + γ₃₂)ρ₃₃ - Ω^∗ρ₃₁ - Ωρ∗31,

(12)

[

]

дублета (Δ₃₁ = Δ₃₂/2). Отметим, что для V-КИ,

ρ₃₁ = - iΔ₃₁ +

(γ₃₁ + γ₃₂) ρ₃₁ +

находящегося в среднем поле («одетого» V-КИ) ис-

тинными резонансными условиями являются Δ₃₁ =

+ Ω(ρ₃₃ - ρ₁₁) + μΩρ₃₂,

(13)

= Δ₃₂/2 и Δ₃₁ = 2Δ_L (см. Приложение B). Таким

[

]

образом, лишь возбуждение в центр дублета, нере-

ρ₂₁ = - iΔ₂₁ +

γ₂₁

ρ₂₁ +

зонансное для изолированного V-КИ, оказывается

резонансным для одетого V-КИ.

+ μΩ(ρ₂₂ - ρ₁₁) + Ωρ∗32,

(14)

[

]

Варьируемым параметром являлась величина

ρ₃₂ = - iΔ₃₂ +

(γ₃₁ + γ₂₁ + γ₃₂) ρ₃₂ -

дублетного расщепления Δ₃₂. Каждая панель на

рис. 2 и 3 состоит из двух частей. На левой изобра-

− μΩ^∗ρ₃₁ - Ωρ∗21.

(15)

жена зависимость абсолютного значение амплитуды

Раби |Ω| поля в монослое от величины амплитуды

Отметим, что уравнения (10)-(15) сохраняют

Раби |Ω₀| внешнего поля. Правая часть представля-

суммарную населенность, ρ₁₁ +ρ₂₂ +ρ₃₃ = 1, т. е. мы

ет зависимость старшего показателя Ляпунова ре-

не учитываем иных каналов релаксации населеннос-

шения от |Ω| (см. ниже).

тей, кроме радиационного. Дефазировкой состоя-

Как следует из рис. 2, для всех рассмотрен-

ний, отличной от радиационной, также пренебрега-

ных значений дублетного расщепления Δ₃₂ зави-

ется.

симость |Ω| от |Ω0| в некотором интервале из-

менения |Ω₀| многозначна, что означает мульти-

стабильность отклика монослоя. При этом харак-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

тер устойчивости различных ветвей стационарно-

Мы провели численные расчеты оптического от-

го решения различен: фрагменты, изображенные

клика монослоя, фиксируя константы, определяю-

сплошными кривыми, устойчивы, штрихами пока-

щие γ_R и Δ_L подобными двумерным СК полупро-

заны неустойчивые части. Характер устойчивости

водниковых КТ [16]: λ ∼ 100-200 нм, a ∼ 10-20 нм

анализировался с помощью показателей Ляпунова

и γ₃₁ ≈ 3 · 10⁹ c-1. Тогда типичные значения па-

[27, 28], а именно, рассчитывались собственные чис-

раметров γ_R = 100γ₃₁ и Δ_L = 1000γ₃₁. Констан-

ла Λ_k(k = 1, 2, . . . , 8) матрицы Якоби правых ча-

та релаксации в дублете γ₃₂ выбиралась заданной,

стей уравнений (10)-(15) как функции |Ω|. Показа-

γ₃₂ = 0.01γ₃₁. Фактически, в силу γ₃₂ ≪ γ₃₁, эта кон-

тель Ляпунова Λ_k с максимальной действительной

станта практически не влияет на результаты. Варьи-

частью, max{Re[Λ]}, определяет, устойчиво решение

руемыми величинами являлись дублетное расщеп-

или нет: если max{Re[Λ]} < 0, то решение устой-

272

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

= 20

max{Re[ ]}

100

= 40

100

max{Re[ ]}

300

= 100

200

100

200

300 0

max{Re[ ]}

Рис. 3. То же, что на рис. 2, только для случая возбуж-

Рис. 2. Стационарный оптический отклик монослоя при

дения монослоя в центр дублетного расщепления V-КИ

возбуждении монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

(Δ31 = Δ32/2) в изолированном V-КИ. Стрелками на сред-

(Δ31 = 0) в изолированном V-КИ. Левые части пане-

ней панели указаны значения амплитуды Раби |Ω0| внеш-

лей — стационарное решение |Ω|(|Ω0|) системы уравне-

него поля, для которых в разд. 3.2 рассчитана оптическая

ний (5) и (10)-(15), полученное параметрическим методом

динамика отклика монослоя

(см. Приложение А) для значений дублетного расщепле-

ния Δ32 = 20 (а), 40 (б), 100 (в). Сплошные (штриховые)

фрагменты кривых соответствуют устойчивым (неустой-

чивым) частям стационарных решений. Правые части па-

чиво и наоборот. Другими словами, в первом слу-

нелей — старший показатель Ляпунова max{Re[Λ]}. Круж-

чае малые отклонения от стационарного решения

ками на нижней панели отмечены точки стационарного

будут затухать, возвращая систему в стационарное

решения, для которых в разд. 3.2 рассчитана оптическая

состояние, а во втором — возрастать, уводя систему

динамика отклика монослоя. Остальные параметры мо-

от него. Старший показатель Ляпунова max{Re[Λ]}

нослоя приведены в тексте. Все величины даны в едини-

изображен на правых частях панелей рис. 2 и 3. Ин-

цах γ31

273

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

тересно, что неустойчивыми оказываются не только

рисункам). На левых панелях изображена динами-

ветви с отрицательным наклоном, что обычно, но

ка абсолютной величины |Ω| амплитуды Раби по-

также ветви с положительным наклоном.

ля в монослое, демонстрирующая, независимо от

Следует отметить тот факт, что поведение ста-

величины дублетного расщепления Δ₃₂ и условий

ционарного отклика монослоя при возбуждении в

возбуждения, одинаковый сценарий: после некото-

центр дублета (Δ31 = Δ32/2), представленное на

рой переходной фазы сигнал приобретает устойчи-

рис. 3, существенно отличается от такового при воз-

вую форму — аттрактор [29-31]. Средние панели

буждении в резонанс с переходом 1 ↔ 3 (Δ₃₁ = 0)

рис. 4 и 5 показывают спектр Фурье аттрактора,

∫



в изолированном V-КИ. А именно, в первом случае,

exp(iωt)Ω(t) dt, правые — его фазовую траекто-

в противоположность второму, стационарные реше-

рию на плоскости (Re[Ω], Im[Ω]).

ния обнаруживают многозначность только для зна-

Характер аттрактора кардинально зависит от

чения дублетного расщепления Δ₃₂ = 20. В частно-

типа возбуждения и начальных условий. Так, в слу-

сти, для Δ₃₂ = 40, 100 зависимость |Ω| от |Ω₀| явля-

чае возбуждения монослоя в резонанс с переходом

ется однозначной. Более того, стационарные реше-

1 ↔ 3 в изолированном V-КИ (Δ₃₁ = 0) и селек-

ния в существенном являются неустойчивыми. Ха-

тированных начальных условиях (на верхней неста-

рактер неустойчивостей стационарных решений об-

бильной ветви стационарного решения, рис. 2, ниж-

суждается в следующем разделе.

няя панель) мы наблюдаем следующее. Для точки

(|Ω₀| = 100, |Ω| = 8.7879) спектр Фурье аттрактора

содержит конечное число гармоник, а его фазовая

3.2. Динамика

траектория представляет собой замкнутую кривую,

В этом разделе мы исследуем характер неустой-

означая, что аттрактором в данном случае являет-

чивостей оптического отклика монослоя при двух

ся предельный цикл [29-31]. Для точки (|Ω₀| = 200,

способах его возбуждения, рассмотренных выше:

|Ω| = 18.9398) в качестве начальной спектр Фурье

в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированном

состоит из набора несоизмеримых частот. Соответ-

V-КИ (Δ₃₁ = 0) и в центр дублетного расщепле-

ственно, фазовая траектория в этом случае описы-

ния (Δ₃₁ = Δ₃₂/2). С этой целью система динами-

вает незамкнутую кривую, лежащую на торе в вось-

ческих уравнений (5) и (10)-(15) интегрировалась

мимерном фазовом пространстве рассматриваемой

численно. Здесь уместно подчеркнуть, что данная

системы. И, наконец, для точки (|Ω₀| = 330, |Ω| =

система уравнений включает в себя несколько силь-

= 210.9087) аттрактором опять является предель-

но различающихся временных масштабов (γ-131 ≫

ный цикл.

≫ γ-1R ≫ Δ-1L,|Ω₀|-1), т.е. принадлежит к классу

Оптическая динамика монослоя при возбужде-

так называемых жестких дифференциальных урав-

нии в центр дублетного расщепления (Δ₃₁ = Δ₃₂/2),

нений, для которых традиционный метод Рунге -

представленная на рис. 5, рассчитывалась для усло-

Кутта оказывается несостоятельным. Для их ин-

вий, когда V-КИ в начальный момент времени на-

тегрирования мы использовали специальные коды,

ходился в основном состоянии, ρ₁₁(0) = 1. Расчеты

как, например, ОDE23tb пакета MATLAB.

были выполнены для четырех значений амплитуды

Начальные условия выбирались в зависимости

Раби |Ω₀| внешнего поля, указанных стрелками на

от типа возбуждения монослоя. В случае возбужде-

рис. 3 (средняя панель). В данном случае реали-

ния в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированном

зуются следующие типы аттракторов. Для |Ω₀| =

V-КИ (Δ₃₁ = 0) в качестве начальных брались точ-

= 26 и |Ω₀| = 100 система с течением времени вы-

ки, принадлежащие стационарному решению (см.

ходит в предельный цикл. Для двух других значе-

рис. 2, нижняя панель). Отметим, что эти точки

ний, |Ω₀| = 50 и |Ω₀| = 75, аттракторы имеют хао-

недостижимы из основного состояния V-КИ, но в

тический характер: их спектры представляют собой

них можно попасть, возбуждая стабильную часть

непрерывный набор частот, а фазовые траектории

верхней ветви стационарного решения и далее адиа-

заполняют плотно конечную площадь на фазовой

батически уменьшая амплитуду |Ω₀| внешнего поля.

плоскости (Re[Ω], Im[Ω]).

При возбуждении в центр дублетного расщепления

Исходя из изложенного, можно заключить, что

(Δ₃₁ = Δ₃₂/2) нестабильные решения верхней ветви

характер оптической динамики монослоя карди-

стационарной характеристики могут быть достигну-

нально зависит от начальных условий и условий

ты из основного состояния V-КИ, ρ₁₁(0) = 1.

возбуждения. При некоторых значениях амплитуды

Результаты расчетов представлены на рис. 4 и

Раби |Ω₀| внешнего поля происходит смена динами-

5 (условия возбуждения оговорены в подписях к

ческого режима (аттрактора). Говорят, что систе-

274

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

Рис. 4. Оптическая динамика монослоя при возбуждении монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3 в изолированном V-КИ

(Δ31 = 0). Левые панели — динамика поля |Ω(t)| в монослое, полученная решением системы уравнений (5) и (10)-(15)

для точек на стационарной кривой, указанных на рис. 2 (нижняя панель): а — |Ω0| = 100, |Ω| = 8.7879; б — |Ω0| = 200,

|Ω| = 18.9398; в — |Ω0| = 330, |Ω| = 210.9087. Средние панели — спектр Фурье аттрактора. Правые панели — фазовый

портрет аттрактора на плоскости (Re[Ω], Im[Ω]). На вставках показаны детали основных графиков. Величины, имеющие

размерность частоты, даны в единицах γ31, время — в единицах γ

ма испытывает бифуркацию [29-31]. В случае воз-

тистабильным, а также неустойчивым, демонстри-

буждения монослоя в резонанс с переходом 1 ↔ 3

руя автоколебания и динамический хаос. Причиной

в изолированном V-КИ (Δ₃₁

= 0) мы наблюда-

такого поведения является поле (действующее), про-

ем бифуркации Андронова - Хопфа [29-31] предель-

изводимое другими излучателями в месте располо-

ный цикл-тор-предельный цикл. При возбуждении

жения данного. Это поле зависит от текущего кван-

в центр дублетного расщепления происходят би-

тового состояния излучателей, что порождает поло-

фуркации типа предельный цикл-хаос-предельный

жительную обратную связь, приводящую в конеч-

цикл. Точки, где случаются бифуркации, определя-

ном итоге к многозначности и неустойчивости от-

ются из расчета бифуркационной диаграммы откли-

клика монослоя. Отметим, что тонкий слой двух-

ка, что представляет собой самостоятельную задачу.

уровневых излучателей. кроме бистабильности, не

обнаруживает подобных свойств [32-42].

В этом разделе мы обсудим качественно прин-

3.3. Качественные соображения

ципиальные нелинейности, которые ответственны

Представленные выше результаты показывают,

за экстраординарные свойства оптического отклика

что оптический отклик монослоя может быть муль- монослоя V-КИ. В наиболее явной форме это прояв-

275

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8),

2020

Спектр

Im|

200

200.5

201

100

150

200

-100

100

Re|

Спектр

Im|

200

100

200

210

220

100

-100

100

150

200

-500

500

–100

100

Re|

300

Спектр

Im|

100

150

240

200

210

220

210

-50

100

150

200

-500

500

100

200

Re|

Спектр

Im|

130

120

200

199.8

200

200.2

100

-5

100

150

200

-200

200

115

125

Re|

Рис. 5. То же, что на рис. 4, только для случая возбуждения монослоя в центр дублетного расщепления (Δ31 = Δ32/2)

для значений амплитуды Раби |Ω0| внешнего поля, указанных стрелками на рис. 3 (средняя панель): а — |Ω0| = 26; б —

|Ω0| = 50; в — |Ω0| = 75; г — |Ω0| = 100 при начальном условии ρ11(0) = 1

ляется в уравнениях для оптических когерентностей

ρ₂₁ =

[

]

ρ₃₁ и ρ₂₁. Подставляя в уравнения (13) и (14) выра-

= - i(Δ₂₁ + μ²Δ_LZ₂₁) +

γ₂₁ - μ²

γ_RZ₂₁

ρ₂₁+

жение (5) для поля Ω, получаем

+ μ(γ_R-iΔ_L)Z₂₁ρ₃₁+(γ_R-iΔ_L)(ρ₃₁+μρ₂₁)ρ∗32 +

ρ₃₁ =

[

]

+ Ω₀(μZ₂₁ + ρ∗32).

(17)

= - i(Δ₃₁ + Δ_LZ₃₁)+

(γ₃₁ + γ₃₂)-γ_RZ₃₁ ρ₃₁ +

Рассмотрим первые слагаемые в правых частях

+ μ(γ_R-iΔ_L)Z₃₁ρ₂₁+μ(γ_R-iΔ_L)(ρ₃₁+μρ₂₁)ρ₃₂ +

уравнений (16) и (17). Обращают на себя внимание

+ Ω₀(Z₃₁ + μρ₃₂),

(16)

члены Δ_LZ₃₁, μ²Δ_LZ₂₁, γ_RZ₃₁ и μ²γ_RZ₂₁ в квад-

276

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

ратных скобах, которые отсутствуют в уравнениях

стей. Взаимное влияние этих факторов и являет-

для изолированного V-КИ и являются прямым след-

ся главной причиной сложной оптической динамики

ствием поля, действующего на V-КИ в монослое.

монослоя.

Как видно, это поле приводит, во-первых, к сдви-

гу резонансных частот V-КИ на величины Δ_LZ₃₁ и

4. ОТРАЖЕНИЕ

μ²Δ_LZ₂₁ для переходов соответственно 1 ↔ 3 и 1 ↔

↔ 2:

В нашем анализе нелинейного отклика монослоя

V-КИ мы использовали поле Ω, действующее на

ω₃ → ω₃ + Δ_LZ₃₁, ω₂ → ω₂ + μ²Δ_LZ₂₁,

V-КИ. В эксперименте, как правило, измеряются от-

раженное Ω_refl или прошедшее Ω_tr поля, которые

и, во-вторых, к дополнительному (коллективному)

отличаются от действующего поля Ω. Поля Ω_refl и

уширению этих переходов:

Ω_tr определяются частью Ω в дальней зоне и даются

(1/2)(γ₃₁ + γ₃₂) → (1/2)(γ₃₁ + γ₃₂ - γ_RZ₃₁),

выражениями (см., например, ссылки [16, 26, 36]):

(1/2)γ₂₁ → (1/2)(γ₂₁ - μ²γ_RZ₂₁).

Ω_refl = γ_R(ρ₃₁ + μρ₂₁),

(18)

Следует особо подчеркнуть, что и сдвиги, и ушире-

Ω_tr = Ω₀ + γ_R(ρ₃₁ + μρ₂₁).

(19)

ния зависят от разности населенностей переходов,

Нас интересует, в частности, отражательная спо-

т. е. имеют динамическую природу.

собность монослоя или, другими словами, коэффи-

Вторые слагаемые в правых частях уравнений

циент отражения R светового потока (мощности),

(16) и (17) описывают связь оптических переходов

который определяется как

1 ↔ 3 и 1 ↔ 2 через действующее поле и, в си-



лу этого, пропорциональны его амплитуде γ_R -iΔ_L,

Ωrefl2



(20)

а также разности населенностей Z₃₁ и Z₂₁. Сдвиги



Ω₀

частот переходов и их связь приводит к тому, что

собственные частоты одетого V-КИ (в монослое), на

4.1. Линейный режим

которых он резонансно откликается на внешнее по-

ле, существенно отличаются от значений ω₃ и ω₂ в

Рассмотрим прежде всего линейный режимом

изолированном V-КИ (см. Приложение B для дета-

отражения (|Ω₀ ≪ 1, ρ₁₁ ≈ 1). С этой целью удер-

лей).

жим в уравнениях (13) и (14) лишь линейные по Ω₀

После включения внешнего поля уровни одетого

слагаемые. Ограничимся также исследованием уста-

V-КИ начинают заселяться и, соответственно, сдви-

новившегося (стационарного) режима. Подставляя

гаться, приводя одновременно к изменению резо-

в формулу (20) линейное решение уравнений для

нансных условий и перераспределению населенно-

ρ₃₁ и ρ₂₁, для коэффициента отражения R найдем



[

]



μ2 iΔ31 +



(γ₃₁ + γ₃₂)

+ iΔ₂₁ +



R=γ2R

[

][

]



(21)



 i(Δ31 - ΔL) +

(γ₃₁ + γ₃₂) + γ_R i(Δ₂₁ - μ²Δ_L) +

γ₂₁ + μ²γ_R

- μ²(γ_R - iΔ_L)²

Зависимость R(Δ₃₁) в широком диапазоне изме-

4.2. Нелинейный режим

нения дублетного расщепления Δ₃₂ приведена на

рис. 6. Как видно, отражение от монослоя имеет два

Рассмотрим теперь нелинейный режим отраже-

пика на собственных частотах одетого V-КИ. Пику

ния. На рис. 7 показана зависимость коэффициента

слабого отражения (R ≪ 1) при Δ₃₁ ≈ Δ₃₂/2 отве-

отражения R монослоя от интенсивности |Ω₀|² внеш-

чает антисимметричное («темное») состояние оде-

него поля, рассчитанная для различных значений

того V-КИ, в то время как пику сильного (R ≈ 1)

отстройки от резонанса Δ₃₁ в окрестности пика пол-

при Δ₃₁ ≈ 2Δ_L = 2000 — симметричное («светлое»)

ного отражения (R ≈ 1). Результаты практически не

состояние (см. Приложение B).

зависят от величины дублетного расщепления Δ₃₂.

277

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

ности внешнего поля. Другими словами, в области

200

1.0

0.25

пика сильного отражения (R ≈ 1) монослой может

функционировать как бистабильное зеркало. Порог

0.20

0.8

150

бистабильности (возникновение трехзначного реше-

0.15

0.6

ния) для принятых значений параметров оказыва-

100

0.10

0.4

ется Δth31 = 1750. Это значение с высокой степенью

точности совпадает с таковым для двухуровневой

√

0.05

0.2

модели КИ, в которой Δth21 =

3Δ_L = 1732 [26, 36].

1000

2000

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 6. (В цвете онлайн) Контурное изображение линей-

ного коэффициента отражения R монослоя, рассчитанное

Мы провели теоретическое исследование оптиче-

на основании формулы (9). Виден слабый пик отражения

ского отклика монослоя регулярно расположенных

в области Δ31 ≈ Δ32/2 (а) и пик практически полного

квантовых излучателей с дублетом в возбужденном

отражения (R ≈ 1) в области Δ31 ≈ 2ΔL (б)

состоянии (V типа) с учетом их полного запаздыва-

ющего диполь-дипольного взаимодействия, которое

рассмотрено в приближении среднего поля. Данное

взаимодействие, в силу его зависимости от текущего

= 2000

1.0

квантового состояния излучателя, обеспечивает по-

= 100

ложительную обратную связь, которая вместе с им-

0.8

манентной нелинейностью самих излучателей при-

0.6

водит к мультистабильности, периодическим и апе-

= 1900

риодическим автоколебаниям и динамическому хао-

0.4

су в оптическом отклике монослоя. В качестве реа-

= 1750 threshold

лизации такой системы могут рассматриваться су-

0.2

перкристаллы полупроводниковых КТ с вырожден-

= 1500

ной валентной зоной в магнитном поле [18], которое

1000

2000

3000

4000

вызывает зеемановское расщепление зоны проводи-

мости квантовой точки. Асимметричные полупро-

водниковые квантовые точки, в которых анизотроп-

Рис. 7. Бистабильность (нелинейного) коэффициента от-

ное обменное взаимодействие электрона и дырки яв-

ражения R монослоя в зависимости от отстройки Δ31 от

ляется причиной дублетного расщепления одноэкси-

резонанса, значения которой указаны около кривых. Кри-

тонного состояния (см., например, работу [43]), так-

вые получены решением нелинейной стационарной задачи

же могут служить моделью квантового излучателя

методом, описанным в Приложении A. Дублетное расщеп-

V типа.

ление Δ32 = 100; Δ³¹ = 1750 — порог возникновения би-

Для параметров реальных суперкристаллов по-

стабильности. Сплошные (штриховые) фрагменты кривых

отвечают устойчивым (неустойчивым) участкам R

лупроводниковых квантовых точек частоты авто-

колебаний попадают в терагерцевый диапазон, т. е.

автоколебательный режим отклика монослоя, пред-

Поэтому в целях иллюстрации мы приводим дан-

ставляет интерес для терагерцевых источников из-

ные, полученные для Δ₃₂ = 100 (ср. с рис. 6). Из

лучения. Чувствительность отклика монослоя к на-

рис. 7 следует, что в диапазоне отстройки Δ₃₁ выше

чальным условиям в режиме динамического хаоса

пика линейного отражения при Δ₃₁ = 2Δ_L = 2000

может быть использована для кодирования инфор-

коэффициент отражения R является трехзначной

мации [44].

функцией интенсивности |Ω₀|². Анализ стабильно-

В определенной полосе частот монослой функ-

сти (показателей Ляпунова) различных ветвей пока-

ционирует как бистабильное зеркало, т. е. его от-

зал, что ветви с отрицательным наклоном неустой-

ражательная способность может быть переключе-

чивы, подразумевая, тем самым, бистабильность от-

на небольшим изменением амплитуды внешнего по-

ражения, т. е. отражательная способность монослоя

ля от состояния практически полного отражения к

может быть переключена от низкого значения к вы-

пропусканию. В недавних работах [45, 46] сообща-

сокому и обратно небольшим изменением интенсив-

лось об аналогичных свойствах двумерных полупро-

278

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

водников дихалькогенидов переходных металлов.

где обратная матрица M-1 может быть найдена в

Рассмотренный в настоящей работе (мета)монослой

явном виде. Подчеркнем, что как M, так и M-1 и,

квантовых излучателей со схемой оптических пере-

соответственно, решение уравнения (29) параметри-

ходов V типа представляет собой еще один пример

чески зависят от Ω. После того как вектор r най-

нанометрового бистабильного зеркала.

ден, мы можем использовать его в выражении (27)

Перечисленные особенности нелинейного опти-

и получить замкнутое уравнение для Ω. Зная Ω,

ческого отклика монослоя квантовых излучателей с

нетрудно восстановить все элементы матрицы плот-

дублетом в возбужденном состоянии представляют-

ности, используя решение (29) (для деталей см. ра-

ся чрезвычайно перспективными для применений в

боту [16]). Таким образом, стационарная задача мо-

нанофотонике.

жет быть решена точно.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Решение стационарной задачи

Нормальные моды одетого V-КИ

Стационарные решения рассматриваемой задачи

Как отмечалось в разд. 3.3, оптические переходы

( ρ_αβ = 0, α,β = 1,2,3) находятся из следующей сис-

1 ↔ 2 и 1 ↔ 3 одетого V-КИ, во-первых, приобрета-

темы нелинейных алгебраических уравнений:

ют частотные сдвиги и дополнительные уширения

и, во-вторых, взаимодействуют благодаря действу-

(γ₂₁ + 2γ₃₂)Z₃₁ - (2γ₂₁ + γ₃₂)Z₂₁ -

ющему полю. Мы интересуемся нормальными мода-

- 3μ(Ω^∗ρ₂₁ + Ωρ∗21) = γ₂₁ - γ₃₂,

(22)

ми этой системы в линейном случае (|Ω₀| ≪ 1, ρ₁₁ ≈

2(γ₃₁ + γ₃₂)Z₃₁ - (γ₃₁ + γ₃₂)Z₂₁ +

≈ 1). Они находятся из решения однородной задачи

(Ω₀ = 0):

+ 3(Ω^∗ρ₃₁ + Ωρ∗31) = -(γ₃₁ + γ₃₂),

(23)

[

]

ΩZ₃₁ - iΔ₃₁ +

(γ₃₁ + γ₃₂) ρ₃₁ +

ρ₃₁ = [iΔ_L - Γ₃] ρ₃₁ - μ(γ_R - iΔ_L)ρ₂₁,

(30)

[

]

+ μΩρ₃₂ = 0,

(24)

ρ₂₁ =

i(Δ₃₂ + μ²Δ_L) - Γ₂

ρ₂₁ -

(

)

- μ(γ_R - iΔ_L)ρ₃₁,

(31)

μΩZ₂₁ - iΔ₂₁ +

γ₂₁

ρ₂₁ + Ωρ∗32 = 0,

(25)

[

]

где мы положили Δ₃₁ = 0 и Δ₂₁ = -Δ₃₂ (внешнее

μΩ^∗ρ₃₁ + iΔ₃₂ +

(γ₃₁ + γ₂₁ + γ₃₂) ρ₃₂ +

поле отсутствует) и ввели обозначения

+ Ωρ∗21 = 0,

(26)

Γ₂ =

γ₂₁ + μ²γ_R, Γ₃ =

(γ₃₁ + γ₃₂) + γ_R

Ω = Ω₀ + (γ_R - iΔ_L)(ρ₃₁ + μρ₂₁),

(27)

Далее, ищем стандартным образом решение в виде

где мы использовали подстановку

ρ_αβ = R_αβ exp(κt). Приравнивая нулю определитель

получившейся системы алгебраических уравнений,

ρ₂₂ =

(1-Z₃₁+2Z₂₁), ρ₃₃ =

(1+2Z₃₁-Z₂₁).

найдем уравнение для собственных частот нормаль-

Далее, определим два вектора:

ных мод:

r = (Z₃₁,Z₂₁,ρ₃₁,ρ₂₁,ρ₃₂,ρ∗31,ρ∗21,ρ∗32),

{

[

]

}

κ²-

(1+μ²)Δ_L+Δ₃₂

-Γ₂-Γ₃

κ+(iΔ_L-Γ₃)×

r₀ = (γ₂₁ - γ₃₂, -(γ₃₁ + γ₃₂), 0, 0, 0, 0, 0, 0).

= 0.

(32)

× [i(Δ₃₂ + μ²Δ_L) - Γ₂] - μ²(γ_R - iΔ_L)²

Тогда система уравнений (22)-(26) может быть пе-

реписана в матричной форме:

Мы не приводим общего выражения для корней κ_±

уравнения (32) в силу его громоздкости. Ограни-

Mr^T = rT0 ,

(28)

чимся случаем μ = 1. Тогда

где символ T означает транспонирование, а явный

]

вид матрицы M_ij , i, j = 1, 2, . . . , 8 может быть лег-

κ_± =

i(2Δ_L + Δ₃₂) - Γ₂ - Γ₃

ко восстановлен из уравнений (22)-(26). Формаль-

ное решение уравнения (28) имеет вид

]1/2

(iΔ₃₂ + Γ₃ - Γ₂)² + 4(iΔ_L - γ_R)²

(33)

r^T = M-1rT0 ,

(29)

279

Д. Я. Байрамдурдыев, Р. Ф. Маликов, И. В. Рыжов, В. А. Малышев

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Далее, учтем то обстоятельство, что для рассматри-

Y. Liu and X. Zhang, Chem. Soc. Rev. 40, 2494

ваемых в работе условий величина Δ_L много боль-

(2011).

ше всех остальных (Δ₃₂, Γ₂, Γ₃, γ_R), так что в κ_±

W. H. Evers, B. Goris, S. Bals, M. Casavola,

можно использовать разложение в ряд Тейлора по

J. de Graaf, R. van Roij, M. Dijkstra, and D. Van-

малым параметрам Δ₃₂/Δ_L, Γ₂/Δ_L, Γ₃/Δ_L, γ_R/Δ_L.

maekelbergh, Nano Lett. 13, 2317 (2013).

При этих предположениях выражения для корней

M. P. Boneschanscher, W. H. Evers, J. J. Geu-

κ_± приобретают вид

chies, T. Altantzis, B. Goris, F. T. Rabouw,

(

)

S. A. P. van Rossum, H. S. J. van der Zant,

κ₊ = i

2Δ_L +

Δ₃₂

(Γ₂ + Γ₃ + 2γ_R) =

L. D. A. Siebbeles, G. Van Tendeloo, I. Swart, J. Hil-

(

)

horst, A. V. Petukhov, S. Bals, and D. Vanmaekel-

bergh, Science 344, 1377 (2014).

2Δ_L+

Δ₃₂

(γ₂₁+γ₃₁+γ₃₂)-2γ_R,

(34)

A. V. Baranov, E. V. Ushakova, V. V. Golubkov,

A. P. Litvin, P. S. Parfenov, A. V. Fedorov, and

K. Berwick, Langmuir 31, 506 (2015).

κ_- =

iΔ₃₂ -

(Γ₂ + Γ₃ - 2γ_R) =

W. Liu, X. Luo, Y. Bao, Y. P. Liu, G.-H. Ning, I. Ab-

iΔ₃₂ -

(γ₂₁ + γ₃₁ + γ₃₂).

(35)

delwahab, L. Li, C. T. Nai, Z. G. Hu, D. Zhao, B. Liu,

S. Y. Quek, and K. P. Loh, Nature Chem. 9, 563

Отсюда следует, что исходные частоты

-Δ_L и

(2017).

−(Δ_L + Δ₃₂) (см. уравнения (30) и (31)), отстро-

A. S. Baimuratov, I. D. Rukhlenko, V. K. Turkov,

енные одна от другой на величину Δ_L, кардиналь-

A. V. Baranov, and A. V. Fedorov, Sci. Rep. 3, 1727

ным образом перенормируются вследствие взаимо-

(2013).

действия: частоты нормальных мод имеют значения

A. S. Baimuratov, I. D. Rukhlenko, and A. V. Fedo-

-Δ₃₂/2 и -(2Δ_L + Δ₃₂/2) и отстоят друг от друга

rov, Opt. Lett. 38, 2259 (2013).

на величину 2Δ_L. Релаксационные константы нор-

мальных мод также значительно модифицируются:

10.

A. S. Baimuratov, A. I. Shlykov, W. Zhu, M. Yu. Leo-

мода «+» содержит теперь удвоенную коллектив-

nov, A. V. Baranov, A. V. Fedorov, and I. D. Rukh-

ную константу γ_R, в то время как в моде «-» она

lenko, Opt. Lett. 42, 2223 (2017).

вовсе отсутствует.

11.

I. A. Vovk, N. V. Tepliakov, A. S. Baimuratov,

Используя алгебраические уравнения для амп-

M. Yu. Leonov, A. V. Baranov, A. V. Fedorov,

литуд R₃₁ и R₂₁, можно найти отношение R₃₁/R₂₁ в

and I. D. Rukhlenko, Phys. Chem. Phys. 20, 25023

модах «+» и «-». Несложные вычисления показы-

(2018).

вают, что

12.

J. F. Nossa and A. S. Camacho, Microelectron. J. 38,

R⁺³¹/R⁺²¹ = 1 + O(Δ₃₂/Δ_L),

1251 (2008).

13.

A. S. Baimuratov, Y. K. Gun’ko, A. V. Baranov,

R-31/R-21 = -1 + O(Δ₃₂/Δ_L),

A. V. Fedorov, and I. D. Rukhlenko, Sci. Rep. 6,

т. е. в моде «+» амплитуды R₃₁ и R₂₁ складываются

23321 (2016).

в фазе (симметричная, или светлая мода), а в моде

14.

R. Malikov, I. Ryzhov, and V. Malyshev, Eur. Phys.

«-» в противофазе (антисимметричная, или темная

J. Web Conf. 161, 02014 (2017).

мода). Это и определяет связь этих мод с внешним

полем: соответственно сильную или слабую. Смеше-

15.

V. A. Malyshev, P.

Á. Zapatero, A. V. Malyshev,

ние мод линейно зависит от величины дублетного

R. F. Malikov, and I. V. Ryzhov, J. Phys.: Conf. Ser.

1220, 012006 (2019).

расщепления Δ₃₂. Это находит свое подтверждение

в линейном режиме отражения (см. рис. 6).

16.

I. V. Ryzhov, R. F. Malikov, A. V. Malyshev, and

V. A. Malyshev, Phys. Rev. A 100, 033820 (2019).

ЛИТЕРАТУРА

17.

I. Ryzhov, R. Malikov, A. Malyshev, and V. Maly-

shev, Eur. Phys. J. Web Conf. 220, 02012 (2019).

1. N. I. Zheludev, Science 328, 582 (2010).

18.

Al. L. Efros, M. Rosen, M. Kuno, M. Nirmal,

2. C. M. Soukoulis and M. Wegener, Science 330, 1633

D. J. Norris, and M. Bawendi, Phys. Rev. B. 54, 4843

(2010).

(1996).

280

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020 Нелинейная оптическая динамика и высокая отражательная способность. . .

19.

D. Bayramdurdiyev, R. Malikov, I. Ryzhov, and

32.

Y. Ben-Aryeh, C. M. Bowden, and J. C. Englund,

V. Malyshev, Eur. Phys. J. Web Conf. 220, 03004

Phys. Rev. A 34, 3917 (1086).

(2019).

33.

С. М. Захаров, Э. А. Маныкин, Поверхность 2, 137

20.

Р. А. Власов, А. М. Демеза, М. Г. Гладуш, Ж. при-

(1988).

кладной спектр. 80, 711 (2013).

34.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 94, 82 (1988).

21.

R. A. Vlasov, A. M. Lemeza, and M. G. Gladush,

35.

М. Г. Бенедикт, А. И. Зайцев, В. А. Малышев,

Las. Phys. Lett. 10, 045401 (2013).

Е. Д. Трифонов, Опт. и спектр. 68, 812 (1990).

22.

G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 48, 119 (1976).

36.

M. G. Benedict, A. I. Zaitsev, V. A. Malyshev, and

E. D. Trifonov, Phys. Rev. A 43, 3845 (1991).

23.

K. Blum, Density Matrix: Theory and Applications,

Springer, Berlin (2012).

37.

A. N. Oraevsky, D. J. Jones, and D. K. Bandy, Opt.

Commun. 111, 163 (1994).

24.

R. H. Dicke. Phys. Rev. 93, 99 (1954).

38.

V. A. Malyshev and E. Conejero Jarque, Opt. Expe-

25.

Р. Ф. Маликов, Е. Д. Трифонов, А. И. Зайцев,

ress 6, 227 (2000).

ЖЭТФ 76, 65 (1979).

39.

H. Glaeske, V. A. Malyshev, and K.-H. Feller, J.

26.

M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,

Chem. Phys. 113, 1170 (2000).

I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radiance:

Multiatomic Coherent Emission, IOP Publ., Bristol

40.

J. A. Klugkist, V. A. Malyshev, and J. Knoester, J.

(1996).

Chem. Phys. 127, 164705 (2007).

27.

J. -P. Eckmann and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys. 57,

41.

Р. Ф. Маликов, В. А. Малышев, Опт. и спектр. 122,

1000 (2017).

617 (1985).

42.

R. F. Malikov and V. A. Malyshev, Eur. Phys. J. Web

28.

A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the

Conf. 161, 03005 (2017).

Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge

Univ. Press (1997).

43.

S. Stufler, P. Machnikowski, P. Ester, M. Bichler,

V. M. Axt, T. Kuhn, and A. Zrenner, Phys. Rev.

29.

A. A. Andronov, A. A. Vitt, and S. E. Khaikin, Theo-

B 73, 125304 (2006).

ry of Oscillators, Pergamon Press, New York (1966).

44.

T. Gao and Z. Chen, Phys. Lett. A 372, 394 (2008).

30.

J. Guckenheimerand P. Holmes, Nonlinear Oscilla-

tions, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector

45.

P. Back, S. Zeytinoglu, A. Ijaz, M. Kroner, and

Fields, Springer, Berlin (1986).

A. Imamoğlu, Phys. Rev. Lett. 120, 037401 (2018).

31.

V. I. Arnol’d (Ed.), V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il’ya-

46.

G. Scuri, Y. Zhou, A. A. High, D. S. Wild, C. Shu,

shenko, and L. P. Shil’nikov, Dynamical Systems V:

K. De Greve, L. A. Jauregui, T. Taniguchi, K. Wata-

Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Sprin-

nabe, P. Kim, M. D. Lukin, and H. Park, Phys. Rev.

ger, Berlin (1994).

Lett. 120, 037402 (2018).

281