ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 300-308

ОБРАТИМОЕ И НЕОБРАТИМОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ

КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ И ПРОЯВЛЕНИЕ ЕГО В

СПЕКТРАХ МНОГОКВАНТОВОГО ЯМР В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

В. Е. Зобовa*, А. А. Лундинb**

^a Институт физики им. Л. В. Киренского, ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Институт химической физики им. Н. Н. Семенова Российской академии наук

117977, Москва, Россия

Поступила в редакцию 22 января 2020 г.,

после переработки 5 февраля 2020 г.

Принята к публикации 6 февраля 2020 г.

На основе развитой нами ранее статистической теории роста эффективного размера коррелированных

кластеров (числа коррелированных спинов) получено выражение для формы спектра многоквантового

ЯМР, учитывающее потери когерентности в спиновой системе, вызываемые, например, контролируемым

вмешательством экспериментатора. Показано, что процессы скремблинга и потери когерентности в мно-

гоквантовом спектре многочастичной системы твердого тела непосредственно не разделяются, в отличие

от соответствующих спектров некоторых больших изолированных молекул [27] в растворе. Полученные

соотношения позволят извлечь нужную информацию об указанных процессах (скремблинга и потери

когерентности) из зависимостей многоквантовых спектров от экспериментальных параметров.

DOI: 10.31857/S0044451020080076

цесс возникновения и распространения многочас-

тичных корреляций представляет фундаменталь-

ный интерес для статистической механики необра-

1. ВВЕДЕНИЕ

тимых процессов [11]. Кроме того, многочастичные

спиновые корреляции могут служить «квантовым

Динамическое поведение многоспиновых много-

регистром» (см., например, [5-9]) для квантовых

квантовых когерентностей, возникающих при облу-

вычислений.

чении определенной последовательностью радиоча-

Приготовленными когерентностями в ядерной

стотных (РЧ) импульсов ядерной спиновой подсис-

спиновой системе можно управлять с помощью по-

темы вещества, находящегося в конденсированной

следовательностей РЧ-импульсов, инициируя про-

фазе, лежит в основе многоквантовой (МК) спект-

текание различных процессов, например, процессов

роскопии ЯМР [1].

обработки квантовой информации при реализации

C одной стороны, МК ЯМР представляет собой

квантовых алгоритмов.

мощное, а зачастую и незаменимое средство для ис-

следования кластеров и локальных структур, раз-

В МК-спектроскопии изначально локализован-

мещенных, например, на поверхностях [2], в жид-

ная квантовая информация перераспределяется по

ких кристаллах [3], полостях наноразмеров [4] и

многочастичной системе, охватывая (вообще гово-

т. п. С другой же, с совершенствованием методов

ря) все частицы, и сопровождается появлением раз-

МК-спектроскопии появилась возможность экспе-

личных, в частности, нелокальных корреляций. Так,

риментально изучать развитие многоспиновых кор-

с помощью указанных выше корреляций и может

реляций с течением времени, наблюдая возникаю-

быть создан регистр квантового компьютера. Про-

щие когерентности с помощью МК ЯМР [5-10]. Про-

цесс обратимого перераспределения квантовой ин-

формации (скремблинг, scrambling) по многочастич-

^* E-mail: rsa@iph.krasn.ru

ным корреляциям обычно сопровождается необра-

^** E-mail: ya-andylun2012@yandex.ru

тимыми (хотя, как правило, и частичными) наруше-

300

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Обратимое и необратимое распространение квантовой информации...

ниями в процессе передачи. Эти нарушения принято

ющую ему ВКФ ОТОС [15]. Перечисленные свой-

называть потерей когерентности, и они могут быть

ства второго момента выполняются только при ре-

вызваны различными причинами. В частности, по-

гистрации неискаженного МК-спектра. Процессы,

теря когерентности может быть вызвана несовер-

вызывающие потери когерентности, исказят форму

шенством измерительной техники. Таким обpазом,

МК-спектра, поэтому их изучение имеет большое

в динамике МК-когерентностей конкурирующими

значение для соответствующего метода измерения

по существу являются два процесса: возникнове-

распространения квантовой информации.

ние сложных временных корреляционных функций

С целью исследования процессов потери коге-

(ВКФ), отражающих появление упомянутых выше

рентности в работе [8] обычная методика МК ЯМР

когерентностей, и их повреждение (или распад) под

[21] впервые была существенно модифицирована.

влиянием процессов потери когерентности.

Декларируемая цель модификации — исследовать

Для изучения скремблинга, определения его ско-

вопрос: «Насколько далеко квантовая информация

рости и т. д. используются четырехчастичные ВКФ с

может передаваться при наличии вентилей конеч-

английской аббревиатурой «OTOC» (out-of-time-or-

ной (и контролируемой экспериментатором) «точ-

dered correlator) [12-15]. Эти ВКФ, связанные с ин-

ности?». Другими словами, авторы исследовали во-

формационной энтропией, содержат конкретную ин-

прос: сколь большого размера может в таких усло-

формацию о наиболее интимных процессах, проис-

виях вырасти кластер коррелированных спинов. В

ходящих в многочастичной системе. Например, о

связи с этим, авторы [8, 22] наблюдали рост клас-

многочастичном запутывании, локализации в систе-

теров коррелированных спинов, вводя контролируе-

ме многих тел, развитии хаоса и так далее, вплоть

мое возмущение в создающий их гамильтониан. Как

до некоторых аспектов физики черных дыр (см., на-

предполагалось [8, 22], максимальный размер клас-

пример, [14]).

тера в такой ситуации оказывается ограниченным,

Поскольку оба указанных процесса весьма важ-

причем кластеры максимального размера находят-

ны для современной физики конденсированного со-

ся в состоянии динамического равновесия с окру-

стояния и квантовой информатики, совершенно не

жением. Если изначальный размер кластера больше

удивительно, что предпринимаются самые серьез-

его равновесного значения, он под действием возму-

ные усилия с целью как теоретического, так и экс-

щающего гамильтониана уменьшается, в то время

периментального их изучения в различных много-

как невозмущенный гамильтониан приводит лишь к

частичных системах. Исследуются и возможности

неограниченному росту размера кластера. Указан-

«разделения» результатов воздействия этих процес-

ный равновесный размер кластера, по мнению авто-

сов на систему.

ров, уменьшается с ростом интенсивности возмуще-

Следует отметить, что при экспериментальных

ния. Все изложенное, в соответствии с концепцией

исследованиях МК ЯМР многоспиновых систем

статей [8, 22], означает процесс локализации по Ан-

имеет ряд заметных преимуществ по сравнению с

дерсону [23].

другими многочастичными системами, такими, на-

Однако в работах [24, 25], опираясь на разви-

пример, как ультрахолодные нейтральные атомы

тую нами ранее теорию роста размеров коррелиро-

[16] или ионы, захваченные в ловушки [17]. Дело

ванных кластеров в идеальных условиях [10] и тео-

в том, что используемые (возникающие естествен-

рию релаксации МК-когерентностей [26], мы объяс-

ным путем) в MК-спектроскопии ВКФ принадле-

нили наблюдавшиеся в работе [8] изменения про-

жат к классу OTOC. Это четырехчастичные ВКФ,

филя интенсивностей МК-когерентностей и пока-

содержащие (по определению) этап эволюции, об-

зали, что стабилизация последнего с ростом вре-

ращенный во времени. Стоит специально отме-

мени не связана со стабилизацией размера клас-

тить, что среди набора различных четырехчастич-

тера. Напротив, кластер коррелированных спинов

ных ВКФ весьма существенную роль играет вто-

монотонно растет, а наблюдаемые изменения про-

рой момент спектра MК ЯМР [10, 18], что обу-

филя интенсивностей (МК-спектра), его стабилиза-

словливается двумя обстоятельствами. Его величи-

ция, обусловливаются зависимостью скорости зату-

на определяет нижнюю границу [19, 20] критерия

хания МК-когерентности от ее порядка (положения

Фишера для квантовой информации, представляю-

в МК-спектре).

щего меру запутанности. Кроме того, второй мо-

Недавно в работе [27] была предложена схе-

мент МК-спектра — величина, непосредственно из-

ма эксперимента, позволяющая, по мнению ав-

меряемая в эксперименте и, следовательно, позво-

торов, разделять процессы потери когерентности

ляющая экспериментально определять соответству-

и скремблинга. Работа схемы продемонстрирова-

301

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

на в ЯМР-эксперименте на специфических молеку-

b_ij = γ²ℏ(1 - 3 cos² θ_ij)/2r3ij,

лах «звездчатой структуры» P(OCH₂CF₃)₃ (полный

r_ij — вектор, соединяющий спины i и j, θ_ij — угол,

сложный эфир фосфористой кислоты и 2,2,2-три-

образуемый вектором r_ij с постоянным внешним

фторэтанола). Система содержит один спин фосфо-

магнитным полем, γ — гиромагнитное отношение,

ра³¹P, шесть протонов¹H и девять спинов¹⁹F. Яд-

S_αi — α-компонента (α = z, +, -) векторного опера-

ро фосфора представляет собой центральный спин

тора спина в узле i. Здесь и далее энергия выража-

(кубит), а ядра водорода и фтора образуют соот-

ется в частотных единицах.

ветственно второй и третий слои, за счет которых

Обычно при использовании импульсных мето-

(при их «подключении» к фосфору импульсными

дов ЯМР в твердом теле базовый гамильтони-

последовательностями) и осуществлялись процес-

ан (1) преобразуется с помощью «спиновой алхи-

сы скремблинга и потери когерентности. Каждая

мии» (различных последовательностей радиочас-

из трех ветвей системы содержит по два протона

тотных импульсов) в другие гамильтонианы, пред-

и по три ядра фтора. Эта «конструкция» разме-

ставляющие интерес для исследователя [29]. Напри-

щалась в дейтерированном растворе. Роль диполь-

мер, в традиционной МК-спектроскопии ЯМР ис-

дипольного взаимодействия играло скалярное об-

ходный гамильтониан трансформируют в двухспи-

менное (через электронные оболочки) взаимодей-

новый/двухквантовый эффективный гамильтониан

ствие.

[21, 30]:

Наличие трех сортов ядер обусловливало необ-

∑

ходимость облучения образца довольно специфичес-

H_eff = H_DQ = (-1/4) b_ij(S+iS+j+S_-iS_-j),

(2)

кой последовательностью РЧ-импульсов на разных

i=j

частотах (см. рис. 4 из работы [27]). Тем не менее,

несекулярный относительно сильного внешнего маг-

по существу эксперимент может быть описан сле-

нитного поля. Под его воздействием на так назы-

дующим образом. В то время как потеря когерент-

ваемом подготовительном периоде длительностью t

ности происходила в течение всего фиксированно-

первоначальная намагниченность перекачивается в

го времени смешивания T, интервал скремблинга t

различные ВКФ довольно сложной структуры, за-

регулировался на подготовительном периоде зада-

висящие от произведения различного числа спино-

нием длительности интервалов прямой и обратной

вых операторов (Q), которые называются класте-

эволюции (непосредственным развитием системы и

рами. Иными словами, равновесная высокотемпера-

восстановлением при обращении времени): соответ-

турная матрица плотности, в сильном постоянном

ственно (T + t)/2 и (T - t)/2.

магнитном поле имеющая вид [28]

Потери когерентности в новой эксперименталь-

ной схеме, предложенной в работе [27], ранее в МК

∑

γℏH₀

ЯМР твердого тела не рассматривалась. Их иссле-

ρ_eq ∝ 1 +

S_zj

дование, важное в перспективе для изучения дина-

j=1

мики квантовой информации методом МК ЯМР, яв-

(здесь k — постоянная Больцмана, T — температу-

ляется целью настоящей работы.

ра, N — полное число спинов в образце), превраща-

ется в неравновесную матрицу плотности, которую

2. ДИНАМИКА МК-КОГЕРЕНТНОСТЕЙ В

удобно представить в виде суммы недиагональных

ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

элементов ρ_M с определенной разностью M магнит-

ных квантовых чисел, получивших название много-

Как известно [28], основной причиной уширения

квантовых когерентностей (M — порядок когерент-

линий ЯМР в неметаллических диамагнитных твер-

ности):

дых телах является секулярная часть межъядерных

диполь-дипольных взаимодействий, которая и опре-

ρ(t) = exp{-iH_eff t}ρ_eq exp{iH_eff t} =

∑

деляет полностью динамику ядерной спиновой си-

= ρ_M(t),

стемы:

(3)

∑

1^∑

∑

∑∑

H_d =

b_ijS_ziS_zj-

b_ij(S+iS_-j+S_-iS+j) =

ρ_M (t) =

g_QMp{i}(t)|QMp{i}〉,

i=j

Q=M {i} p

=H0zz +H_ff,

(1)

где |QMp{i}〉 — базисный оператор, в котором Q од-

где

носпиновых операторов формируют произведение,

302

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Обратимое и необратимое распространение квантовой информации...

связывающее различающиеся на M единиц зеема-

тия спиновой системы. Так, если на подготовитель-

новские состояния, {i} — номера узлов кристалличе-

ном периоде развитие системы происходит под дей-

ской решетки, занимаемых данным кластером. Та-

ствием гамильтониана (2) (соответствующий про-

ким образом, {i} здесь по существу представляет

пагатор U(t) = exp(-iH_eff t)), а в течение перио-

собой мультииндекс. Суммирование по {i} подразу-

да смешивания τ развитие происходит под действи-

мевает суммирование как по множеству кластеров,

ем некоторого, вообще говоря, другого гамильто-

так и по множеству спинов внутри каждого клас-

ниана H^′eff (соответствующий пропагатор V (τ) =

тера. Суммируемое выражение зависит только от

= exp(-iH^′eff τ)), полная амплитуда намагниченнос-

разностей задаваемых им координат. Таким обра-

ти описывается выражением [21]

зом, зависимость от одной из координат отсутству-

ет. Задав эту координату произвольной, получим,

Γ₀(t, t_d, τ) ∝ Sp{S_zρ(t, t_d, τ)} ∝ Sp{S_zV⁺(τ)×

что по другим координатам суммируемое выраже-

× exp(-iH_dt_d)U⁺(t)S_z U(t) exp(iH_dt_d)V (τ)}.

ние достаточно быстро затухает. Кластером здесь

называется группа спинов, для которой суммиру-

Здесь S_z — z-компонента векторного оператора пол-

емое выражение не пренебрежимо мало. Индекс p

ного спина системы.

нумерует разные базисные состояния с одинаковы-

Вычислим след этого выражения в базисе из соб-

ми значениями Q и M; N — полное число спинов

ственных функций секулярного диполь-дипольного

в системе. Возникшие за время приготовления t ко-

гамильтониана (1), обозначив их через |i〉, |j〉. Запи-

герентности метятся с помощью фазового сдвига ϕ

сав комплексные матричные элементы в виде

[21, 30]. Возникающий фазовый сдвиг пропорциона-

лен Mϕ, где M — целое число. Тем самым, Q-спино-

P_ij(t) = 〈i|U⁺(t)S_zU(t)|j〉,

вые корреляции различаются еще и по числу кван-

Q_ij(τ) = 〈i|V⁺(τ)S_zV (τ)|j〉,

тов (M ≤ Q) [1,21,30]. Далее при многих (интересу-

ющих нас) экспериментах эти когерентности релак-

получим

сируют в течение времени t_d под действием секу-

∑

лярного диполь-дипольного гамильтониана (1). По

Γ₀(t, t_d, τ) ∝

P_ij(t)Q_ji(τ)exp{-i(ω_i - ω_j)t_d}.

окончании периода свободной эволюции следует пе-

i,j

риод смешивания, на котором к системе приклады-

Здесь ω_i, ω_j — собственные значения (в частотных

вается новая импульсная последовательность, изме-

единицах) гамильтониана (1). Из изложенного сле-

няющая знак эффективного гамильтониана (2) на

дует, что если гамильтонианы, управляющие разви-

противоположный и, тем самым, проводится «об-

тием спиновой системы на подготовительном перио-

ращение времени» [21, 30], благодаря чему поря-

де и на периоде смешивания, различны, то МК-коге-

док вновь перекачивается в наблюдаемую величи-

рентности, созданные на подготовительном периоде,

ну — одноквантовую продольную намагниченность.

на периоде смешивания будут претерпевать лишь

Эта намагниченность может быть измерена с по-

дополнительную трансформацию. Если же опера-

мощью π/2-импульса, поворачивающего ее в плос-

тор, управляющий развитием системы на периоде

кость, перпендикулярную внешнему магнитному по-

смешивания, построен так, что V⁺(τ) = U(t), либо

лю. Амплитуда парциальной намагниченности (для

он отличается от U(t) только фазовым множителем

данного значения M) извлекается с помощью преоб-

ϕ, т. е.

разования Фурье по переменной ϕ. С целью опреде-

V⁺ = exp(-iϕS_z)U exp(iϕS_z),

ления скорости релаксации эксперимент многократ-

но повторяется для различных значений t_d [5-7].

а именно эта ситуация и реализуется с помощью об-

Следует особо отметить, что наблюдение сигна-

ращения времени, наблюдаемый сигнал приобретает

лов МК-когерентностей возможно лишь при выпол-

вид ряда Фурье по когерентностям различного по-

нении определенных условий, вследствие которых

рядка [21]:

все вклады в когерентность данного порядка по-

∑∑

являются (после периода восстановления (смешива-

Γ₀(t, t_d, t) ∝

|P_ij |² exp(iMϕ) ×

ния)) с одинаковой фазой [21]. В связи с принци-

M i,j

пиальной важностью этого обстоятельства обсудим

× exp{-i(ω_i - ω_j)t_d}.

указанный аспект МК-спектроскопии подробно.

Амплитуда и фаза парциальной намагниченно-

Таким образом, при описанном выше развитии

сти полностью определяется предысторией разви-

событий каждая из парциальных когерентностей

303

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

включает в себя вклады от всех когерентностей

экспериментальной иллюстрации изменения много-

данного порядка, различаясь с соседними по фазе

квантовых когерентностей и уменьшения числа кор-

на ±ϕ.

релированных спинов при обращении времени. Без

При руководстве простейшей статистической мо-

потери когерентности U_T (t) = U(t) и наблюдается

делью [21, 30] в эксперименте обычно используется

тот же МК-спектр.

гауссова форма для распределения когерентностей

Для соотнесения методик работ [8] и [27] перепи-

различного (небольшого) порядка в многокванто-

шем оператор эволюции с контролируемыми поте-

вом спектре :

рями когерентности из статьи [8] с учетом формулы

{

}

(6). Для контроля потери когерентности в работе [8]

M²

g_M(t) =

√

exp

(4)

на подготовительном периоде [0, t] был создан эф-

πK(t)

K(t)

фективный гамильтониан

Заметим, что, как было показано в [31], при боль-

H_eff = (1 - p)H_DQ + pH_d,

(7)

ших значениях порядка M упомянутое распределе-

ние из формулы (4) становится экспоненциальным.

где p — малый параметр, контролирующий потери

Дисперсия распределения в статистической моде-

когерентности. С целью явного учета потерь коге-

ли (K(t)/2) определяется средним числом спинов

рентности будем полагать

K(t), между которыми за время приготовления t

установилась динамическая корреляция вследствие

{

}

T +t

взаимодействия (2). Это число, получившее назва-

U_T (t) = exp

-i

[(1 - p)H_DQ + pH_d]

ние числа коррелированных спинов или эффектив-

{

}

ного размера кластера, растет с увеличением време-

T -t

× exp i

[(1 - p)H_DQ - pH_d]

(8)

ни приготовления t.

При традиционной схеме использования МК

ЯМР наблюдается временная корреляционная

при p = 0, U_T (t) = U(t). Тем самым, мы трансфор-

функция (ВКФ):

мируем экспериментальную схему работы [27] для

применения к более простым и традиционным спи-

{

}

Γ_ϕ(t, τ) = Sp

U⁺(τ)U_ϕU(t)S_zU⁺(t)U+ϕU(τ)S_z

новым системам, — таким, например, как использо-

ванный в работах [8,22] адамантан.

/ Sp{S2z},

(5)

где U(t) — оператор эволюции с гамильтонианом

H_eff = H_DQ из (2), U_ϕ = exp(iϕS_z) — оператор пово-

3. ПОТЕРИ КОГЕРЕНТНОСТИ В СИСТЕМЕ

рота на угол ϕ вокруг оси z. Мы ввели обозначение

И ИХ ВЛИЯНИЕ НА МК-СПЕКТР

τ для эволюции с «обращенным временем» (с га-

мильтонианом — H_DQ). В экспериментальных усло-

Для оценки влияния потерь когерентности рас-

виях τ = t. Поворот вокруг соответствующей оси на

смотрим динамику системы при условии действия

угол ϕ метит и позволяет различить ВКФ, отвеча-

на нее унитарного оператора из формулы (8). Вслед-

ющие когерентностям различного порядка M, кото-

ствие взаимодействия H_DQ размер кластера корре-

рый определяется разностью магнитных квантовых

лированных спинов K (число спинов в кластере) на

чисел. Полный спектр МК ЯМР может быть полу-

интервале [0, (T + t)/2] будет расти, а затем на ин-

чен посредством преобразования Фурье ВКФ (5) по

тервале [(T +t)/2, T] будет уменьшаться, как это схе-

переменной ϕ.

матично показано на рисунке.

В новой схеме эксперимента, предложенной в ра-

Предварительно, прежде чем заниматься общим

боте [27], оператор эволюции на подготовительном

случаем, соответствующим рисунку, обратимся к бо-

периоде реализуется посредством замены унитарно-

лее простой ситуации, исследованной ранее, и ко-

го оператора U(t) составным оператором, что соот-

ротко отметим главные положения. Пусть образо-

ветствует в эксперименте обращению эволюции на

вался кластер из K спиновых операторов с поряд-

промежутках времени [(T + t)/2, T ]:

ком когерентности M и пусть в дальнейшем K и M

)

остаются неизменными, а динамика системы зада-

⁽T +t

⁽T -t⁾

U_T (t) = U

U⁺

(6)

ется гамильтонианом pH_d. Этот случай исследовал-

ся экспериментально (при p = 1) в работах [5-7], а

Следует отметить, что такая схема применялась

теоретически — в работе [26]. Для распада такого

в основополагающей работе по МК ЯМР [21] для

когерентного состояния получено выражение [26]:

304

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Обратимое и необратимое распространение квантовой информации...

F_K(T, t) =

⎧

⎫

⎨

∫

⎬

B²

dK(t^′)

= exp

[t_d(t′)]2dt′

(10)

⎩

dt^′

⎭

Спины, появившиеся в кластере на интервале

[0, t] (им соответствуют определенные операторы в

ВКФ), будут релаксировать до момента времени T .

Поэтому на этом интервале t_d(t^′) = (T - t^′). Спины

же, появившиеся на интервале [t, (T + t)/2], будут

(T + t)/2

релаксировать только до момента их исчезновения.

Для них t_d(t^′) = 2[(T +t)/2-t^′]. Разделив в формуле

Схематическая зависимость среднего размера кластера

(10) эти два интервала, получим

коррелированных спинов K(t^′) от текущего времени t^′ на

подготовительном периоде с составным оператором эво-

⎧

⎨

∫

люции (6). Штриховой линией отмечен интервал эволю-

B²

dK(t^′)

ции [0, t], соответствующий стандартному оператору U(t)

F_K(T, t) = exp

[T -t^′]²dt^′ -

⎩

dt^′

⎫

∫

⎬

Γ_KM (t_d) = exp(-KB²t2d/2)exp(-A²M²t2d) =

B²

dK(t^′)

−

[T + t - 2t^′]²dt^′

(11)

= F_K(t_d)F_M(t_d),

(9)

dt^′

⎭

где A² = p²A2d, B² = p²B2d, а A2d и B2d — некото-

Для завершения расчетов в формуле (11) сле-

рые константы, определяемые полем, возникающим

дует задать зависимость среднего размера класте-

вследствие диполь-дипольного взаимодействия со

ра коррелированных спинов от времени приготовле-

спинами кластера спинов, окружающих кластер в

ния. Эта зависимость определяется свойствами спи-

решетке. Эти константы непосредственно связаны

новой системы и, в частности, зависит от размер-

с решеточными суммами из коэффициентов b_ij га-

ности пространства. В соответствии с теорией [10],

мильтониана (1). При этом параметр B² характе-

развитой ранее, в трехмерных решетках ожидается

ризует некоррелированный вклад в локальное поле

экспоненциальная зависимость от времени, а в од-

на каждом из спинов, не зависящий от вкладов на

номерных — линейная. Действительно, линейная за-

другие спины. Параметр же A² характеризует сред-

висимость наблюдалась в квазиодномерной системе

нее поле, коррелировано действующее на все спи-

фторапатита [32], тогда как в трехмерном адаман-

ны кластера [24, 26]. Отметим, что формулу мож-

тане наблюдался существенно более быстрый рост

но обобщить и на случай, когда на спины кластера

[5, 8, 22], который хорошо описывается экспоненци-

действует дополнительное неоднородное (например,

альной зависимостью [10, 24, 25, 33].

«внешнее», создаваемое аппаратурой) магнитное по-

При экспоненциальном росте среднего числа

ле, имеющее две различные составляющие: локаль-

коррелированных спинов K(t^′) = exp(at^′), выпол-

ную и нелокальную. Если вклады в это поле описы-

нив интегрирование в (11), находим

ваются распределениями Гаусса с дисперсиями W_loc

{

[

и W_av, то соответствующие вклады можно добавить

B²

F_K(T, t) = exp

8ea(T+t)/2 -

к константам: A² = p²A2d + W2av, B² = p²B2d + W2loc.

2a²

Вернемся к общему случаю, соответствующему

]}

- eat (2a(T - t) + 6) - a²T² - 2aT - 2

(12)

рисунку. При увеличении текущего времени t^′ про-

исходит изменение числа K(t^′) спиновых операторов

в кластере. Операторы, присоединенные к класте-

В двух предельных случаях получаем

ру на каждом интервале [t^′ - Δt/2, t^′ + Δt/2], будут

при aT ≪ 1

релаксировать со своим собственным временем t_d в

{

}

B²a

[

]

формуле (9), зависящим от t^′. Число таких операто-

FK (T, t) = exp

T³ - (T - t)³/2

(13)

ров Δt dK/dt^′. Суммируя вклады от разных интер-

валов и устремляя Δt к нулю, получим для первого

при aT ≫ 1

сомножителя в формуле (9)

305

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

F_K(T, t) =

Это выражение следует усреднить по всем возмож-

{

}

ным траекториям изменения M(t^′), имеющим за-

4B²

B²

= exp

ea(T+t)/2+

e^at [a(T-t)+3]

(14)

данное значение M в момент T . Понятно, что M(t^′)

a²

будет расти на интервале [0, (T +t)/2], а на интерва-

Второй из сомножителей в (9) определяет зави-

ле [(T + t)/2, T ] уменьшаться или сохранять значе-

симость времени релаксации от порядка когерент-

ние M. Простой прием для адекватной оценки был

ности M. Кластеры с порядком M в конце подгото-

предложен нами в работе [24]. Полагая, что коге-

вительного периода (в момент T ), отмеченные фазо-

рентность заданного порядка M у растущего клас-

вым множителем exp(iMϕ), дают вклад в соответ-

тера появляется в случайный момент времени t^′ и

ствующую компоненту МК-спектра. Изменение раз-

далее не меняется, получаем

мера кластера на подготовительном периоде сопро-

(

)

вождается изменением также и порядка когерент-

F_M (T, t) ≈ exp

-A²M²〈(T - t^′)²〉

(16)

ности со временем M(t^′). В идеальном случае p = 0

это изменение не влияет на конечный результат. В

где 〈(T - t^′)²〉 — среднее по моменту времени появ-

общем случае на рисунке второй сомножитель запи-

ления когерентности t^′ на интервале [0, (T + t)/2],

шем в виде, который следует из теории [26],

характеризуемое плотностью вероятности R(t^′):

⎧

⎡

⎤₂⎫

⎨

∫

⎬

R(t^′) = a exp(at^′)/ [exp {a(T + t)/2} - 1] .

(17)

F_M(T, t) = exp

-A² ⎣

M (t^′) dt^′⎦

(15)

⎩

⎭

Выполнив усреднение, находим

a²(T - t)²/4 + (T - t)a + 2-e-a(T+t)/2(T²a² + 2Ta + 2)

〈(T - t^′)²〉 =

(18)

a²(1 - e-a(T+t)/2)

В частности, если aT ≫ 1, то

образом и, следовательно, не произошло разделе-

ние двух процессов: скрэмблинга и потери когерент-

(T - t)

T -t

〈(T - t^′)²〉 ≈

(19)

ности, наблюдавшееся для большой изолированной

a²

молекулы в условиях работы [27].

После подстановки (18) в (16) получим искомое вы-

Конечная формула (22) получена для условий

ражение для F_M (T, t).

МК-экспериментов [8], когда интервал свободной

Для линейного роста среднего размера кластера

эволюции между подготовительным периодом и пе-

K(t^′) = mt^′ тем же путем находим

риодом смешивания минимален. Если такой интер-

{

}

вал t_d увеличивается [5-7], происходит дополнитель-

B²m

ная потеря когерентности под влиянием секулярно-

F_K(T, t) = exp

[2T³ - (T - t)³]

(20)

го диполь-дипольного взаимодействия. Для учета

этой потери правую часть формулы (22) следует, в

соответствии с результатами работы [26], дополни-

8T³ - (T - t)

〈(T - t^′)²〉 =

(21)

тельно домножить на два сомножителя, приведен-

12(T + t)

ных в формуле (9), взятых, однако, с коэффициен-

Окончательно для спектра МК ЯМР с учетом

тами A₁ и B₁ (т. е. при p = 1).

потери когерентности находим

Поскольку потеря когерентности изменила фор-

му МК-спектра, изменится и величина его второго

{

}

M²

момента. Для связанного с ним эффективного сред-

g_M (T, t) =

√

exp

πK(t)

K(t)

него размера кластера из формулы (22) находим

[

]-1

× F_K(T,t)F_M(T,t).

(22)

K_eff (T, t) =

(K(t))-1 + A²〈(T - t^′)²〉 + A²¹t2d

Здесь F_K(T, t) задает уменьшение суммарной интен-

Эти изменения следует учитывать в предложенном

сивности МК-спектра, а F_M (T, t) — изменение фор-

в работе [15] методе измерения ОТОС через второй

мы МК-спектра вследствие потерь когерентности.

момент МК-спектра.

Как F_K(T, t), так и F_M (T, t) зависят от имеющих-

Наконец отметим, что в ряде работ приведены

ся временных параметров T и t довольно сложным аргументы в пользу экспоненциального (а не гаус-

306

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Обратимое и необратимое распространение квантовой информации...

сового) профиля МК-когерентностей (см., напри-

процессах из экспериментальных зависимостей от

мер, [4, 31]). При указанной форме спектра пока-

соответствующих временных параметров T и t.

затель экспоненты в (22) описывается выражением

|M|/K(t), причем и в этом случае описание процес-

Финансирование. Исследование выпол-

са потери когерентности качественно не изменит-

нено в рамках Государственного задания

ся. Количественный же результат для эффективно-

0082-2019-0001 (Государственный регистрационный

го среднего размера кластера может быть получен

номер AAAA-A19-119012890064-7).

численно, по ослаблению МК-спектра в e раз [24,25].

Выполненные нами в работе [25] расчеты его измене-

ния при замене гауссовского профиля на экспонен-

ЛИТЕРАТУРА

циальный в условиях МК-экспериментов [8] проде-

Р. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в од-

монстрировали, что эффект от указанной модифи-

ном и двух измерениях, Мир, Москва (1990).

кации незначителен.

P.-K. Wang, J.-P. Ansermet, S. L. Rudaz, Z. Wang,

S. Shore, Ch. P. Slichter, and J. M. Sinfelt, Science

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

234, 35 (1986).

J. Baum and A. Pines, J. A. Chem. Soc. 108, 7447

Как правило, в литературе, посвященной тео-

(1986).

ретическим исследованиям четырехчастичных вре-

менных корреляционных функций, представляю-

S. I. Doronin, A. V. Fedorova, E. B. Fel’dman, and

щих OTOC, используются численные расчеты для

A. I. Zenchuk, J. Chem. Phys. 131, 104109 (2009).

каких-либо достаточно простых модельных гамиль-

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 93,

тонианов, что, разумеется, вызвано сложностью об-

090501 (2004).

щей задачи расчета, соответствующей ВКФ:

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 97,

C(t) = 〈W⁺(t)V⁺(0)W (t)V (0)〉_β .

(23)

150503 (2006).

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. A 74,

Здесь V (0) и W(0) — два коммутирующих операто-

062319 (2006).

ра, а зависимость от времени определяется унитар-

ным оператором с гамильтонианом системы в пока-

G. A. Alvarez and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 104,

зателе. Угловые скобки 〈. . .〉_β означают статистичес-

230403 (2010).

кое среднее (см., например, [19]).

G. Cho, P. Capprlaro, D. G. Cory, and C. Ramana-

В работе [10] мы аналитически показали, что

than, Phys. Rev. B 74, 224434 (2006).

для трехмерных ядерных спиновых систем с се-

кулярным диполь-дипольным взаимодействием (1)

10.

В. Е. Зобов, А. А. Лундин, ЖЭТФ 130, 1047

(2006).

(или с эффективным двухквантовым взаимодейст-

вием (2)) при высоких температурах ВКФ ОТОС,

11.

Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статис-

представляющая в данном случае второй момент

тическая механика, т. 2, Мир, Москва (1978).

МК ЯМР и определяющая число коррелированных

12.

R.-Q. He and Z.-Y. Lu, Phys. Rev. B 95, 054201

спинов, растет экспоненциально со временем. По-

(2017).

следнее означает, что все ядерные спины образца

оказались бы моментально скоррелированы, если

13.

K. X. Wei, C. Ramanathan, and P. Cappellaro, Phys.

бы не разрушительные процессы потери когерент-

Rev. Lett. 120, 070501 (2018).

ности. В настоящей работе на основе развитой ранее

14.

P. Hosur, X.-L. Qi, D. A. Robetrts, and B. Yoshida,

статистической теории спектров МК ЯМР [24-26]

J. High Energy Phys. 2016, 1 (2016).

получены выражения для спектра МК ЯМР мно-

15.

K. X. Wei, P. Peng, O. Shtanko, I. Marvian, S. Lloyd,

госпиновой системы с учетом процессов потери ко-

C. Ramanathan, and P. Cappellaro, Phys. Rev. Lett.

герентности. Показано, что процессы скремблинга

123, 090605 (2019).

и потери когерентности не разделяются, по крайней

мере в многоспиновой системе из-за их «перепле-

16.

C. Gross and I. Bloch, Science 357, 995 (2017).

тающихся» временных зависимостей (см. формулу

17.

R. Blatt and C. F. Roos, Nature Phys. 8, 277 (2012).

(22)). Тем не менее полученные соотношения поз-

волят извлечь нужную информацию об указанных

18.

A. K. Khitrin, Chem. Phys. Lett. 274, 217 (1997).

307