ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 334-344

НЕГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ ФЕРРИМАГНЕТИК

А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман^*

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

295007, Симферополь, Республика Крым, Россия

Поступила в редакцию 31 декабря 2019 г.,

после переработки 7 февраля 2020 г.

Принята к публикации 7 февраля 2020 г.

Исследованы статические и динамические свойства анизотропного ферримагнетика с подрешетками S =

= 1 и σ = 1/2 и негейзенберговским (билинейным и биквадратичным по спинам) обменным взаимодей-

ствием для подрешетки с S = 1. Анизотропия определяется изинговским взаимодействием подрешеток.

Показано, что при учете негейзенберговского обменного взаимодействия подрешетки с S = 1 в анизотроп-

ной системе возможна реализация фазы с векторными параметрами порядка (ферримагнитная фаза)

и фаза, характеризуемая как векторными, так и тензорными параметрами порядка (квадрупольно-фер-

римагнитная). Определен тип фазового перехода между этими фазами, а также условие компенсации

магнитных моментов подрешеток.

DOI: 10.31857/S0044451020080118

импульса с длительностью меньше 100 фс [5,6]. Ока-

залось, что этот эффект напрямую связан с нали-

чием двух подрешеток и в формировании эффек-

1. ВВЕДЕНИЕ

та существенную роль играет обусловленное обмен-

ным взаимодействием изменение модулей магнит-

Ферримагнетики представляют собой магнитные

ных моментов подрешеток M₁(t) и M₂(t), такое, что

материалы, свойства которых в некотором смыс-

их сумма остается постоянной [7,8]. Таким образом,

ле промежуточные между ферромагнетиками и ан-

для описания эффекта существенна чисто продоль-

тиферромагнетиками. Как и антиферромагнетики,

ная эволюция магнитных моментов подрешеток.

ферримагнетики содержат магнитные подрешетки

с антипараллельными намагниченностями. Как и

В новой и интенсивно развивающейся области

ферромагнетики, ферримагнетики обладают нену-

прикладной физики магнетизма — спинтронике в

левой суммарной намагниченностью, которая, од-

последние годы возник интерес к скомпенсирован-

нако, может обращаться в нуль в точке компенса-

ным магнетикам (см. [9-11]). Это связано с тем, что

ции. Ферримагнетики всегда рассматривались как

для них динамические параметры (частоты магнит-

важные материалы магнитной электроники, но в

ного резонанса, скорости доменных стенок) являют-

этих материалах постоянно обнаруживаются новые

ся обменно усиленными. Возможность использова-

интересные свойства. В начале нашего столетия

ния спиновой накачки антиферромагнетиков стала

оформилась новая перспективная область фунда-

понятна после работы [12], в которой было показано,

ментальной и прикладной физики магнетизма, по-

что спиновый ток активно влияет на магнитоупо-

лучившая название фемтомагнетизм, основанная на

рядоченные системы с нулевым интегральным маг-

возможности манипулирования спиновой системой

нитным моментом. В принципе, это позволяет по-

магнетиков с помощью фемтосекундных лазерных

высить скорость работы систем записи и считыва-

импульсов [1-4]. Для ферримагнетиков (конкрет-

ния информации [13-16] и существенно (до величин

но, сплава редкоземельных и переходных металлов

порядка терагерц) повысить рабочую частоту гене-

GdFeCo) был обнаружен сверхбыстрый (за время

раторов с накачкой спиновым током [17-19]. Одна-

порядка нескольких пикосекунд) переворот намаг-

ко антиферромагнетики обладают высокой чувстви-

ниченностей подрешеток под действием лазерного

тельностью магнитного порядка к наличию дефек-

тов, нарушающих подрешеточную структуру крис-

^* E-mail: yuriifridman@gmail.com

таллического образца, что затрудняет их примене-

334

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Негейзенберговский анизотропный ферримагнетик

ние в наносистемах. С другой стороны, для ферри-

Однако эффект квантового сокращения спина

магнетиков типа GdFeCo, аморфных сплавов ред-

наблюдается не только в сильно анизотропных маг-

коземельных элементов с элементами группы желе-

нетиках, но и в так называемых негейзенберговских

за, можно использовать стандартные нанотехноло-

магнетиках. Хорошо известно, что в общем случае

гии, такие же, как для классических материалов на-

изотропное обменное взаимодействие для магнети-

номагнетизма, железа, никеля или пермаллоя. Дав-

ка со спином S > 1/2 не ограничивается билиней-

но известен тот факт, что эффекты обменного уси-

ным взаимодействием и может включать высшие

ления динамических параметров, сходные с теми,

инварианты типа (S₁, S₂)ⁿ со значениями n до 2S,

что известны для антиферромагнетиков, имеют ме-

где S — величина спина магнитного иона [35-48].

сто для ферримагнетиков, находящихся в непосред-

В частности, общий гамильтониан для изотропно-

ственной близости точки компенсации подрешеток

го обменного взаимодействия двух спинов S = 1

[20]. В связи с этим возникает возможность исполь-

содержит слагаемые (S₁, S₂) и (S₁, S₂)². Магнети-

зовать ферримагнетики, находящиеся вблизи точки

ки, которые описываются таким гамильтонианом,

компенсации, для различных приборов сверхбыст-

принято называть негейзенберговскими магнетика-

рой спинтроники. В недавних работах эксперимен-

ми [35, 39, 44-50]. В модели изотропного негейзен-

тально и теоретически исследована сверхбыстрая

берговского магнетика при всех соотношениях па-

(со скоростями порядка км/с) динамика доменных

раметров билинейного и биквадратичного обменных

стенок [21,22] и высокочастотная динамика ферри-

взаимодействий возможно динамическое сокраще-

магнитных вихрей [23, 24]. Предложена схема маг-

ние спина, что приводит к принципиальной невоз-

нитного наногенератора на основе ферримагнетиков

можности использования уравнения Ландау - Лиф-

с накачкой спиновым током, работающего в диапа-

шица для описания динамики магнитоупорядочен-

зоне терагерц [25]. Эти обстоятельства делают де-

ной системы. Таким образом, в таких системах важ-

тальное исследование различных аспектов спиновой

ную роль также играет продольная динамика маг-

динамики ферримагнетиков практически важными

нитного момента.

и актуальными (см. недавний обзор [26]).

В связи с этим, представляет интерес исследо-

Важно отметить, что ряд аспектов физики фер-

вать фазовые состояния и динамические свойства

римагнетиков изучен сравнительно слабо. В част-

изотропного негейзенберговского ферримагнетика,

ности, отмеченный выше эффект переориентации

в котором одна из подрешеток имеет спин магнитно-

наблюдался для ферримагнетика, содержащего как

го иона равный единице, а вторая — спин 1/2. При

слабоанизотропные ионы, так и редкоземельные ио-

этом в подрешетке со спином единица учитывается

ны, обладающие немалой одноионной анизотропи-

не только билинейное обменное взаимодействие, но

ей. Наличие немалой одноионной анизотропии при-

и биквадратичное. В одноподрешеточных магнети-

водит к существенно квантовым эффектам, не опи-

ках или магнетиках с эквивалентными подрешетка-

сываемым стандартной феноменологической теори-

ми с S ≥ 1 учет высших спиновых инвариантов при

ей [27]. Полное описание подобных эффектов тре-

определенных условиях приводит к возникновению

бует учета динамики тензорных переменных, пред-

состояния, в котором параметр дипольного спино-

ставляющих собой квантовые средние от операто-

вого упорядочения равен нулю, 〈S〉 = 0 и харак-

ров, билинейных по компонентам спина, что выхо-

теризуется спонтанным нарушением вращательной

дит за рамки уравнения Ландау - Лифшица [28, 29].

симметрии, которое связано со спиновыми квадру-

В частности, для магнетика с ферромагнитным вза-

польными параметрами

имодействием эквивалентных спинов и большой од-

ноионной анизотропией показана возможность эф-

S_ik = 〈S_iS_k + S_kS_i〉, i, k = x, y, z

фекта квантового сокращения спина, при этом на-

магниченность меньше номинальной даже при нуле-

(для S = 1) или более сложными мультипольны-

вой температуре [30]. Явление квантового сокраще-

ми средними (для S > 1) [32, 37]. Возникновение

ния спина характерно для магнетиков с одноионной

этого состояния связано с влиянием большого би-

анизотропией типа «легкая плоскость», но не наблю-

квадратичного обменного взаимодействия (сравни-

дается в магнетиках с одноионной анизотропией ти-

мого, или даже превышающего билинейное обмен-

па «легкая ось», что обусловлено структурой основ-

ное взаимодействие). При этом большое биквадра-

ного состояния [31, 32]. Эффект сокращения спина

тичное взаимодействие приводит к квантовому сок-

был предложен для сверхбыстрого продольного «пе-

ращению спина и возникновению продольной дина-

реключения» спинов [33, 34].

мики в системе.

335

А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Таким образом, учет негейзенберговского обмен-

кристаллической решетки. В контексте данной ра-

ного взаимодействия в анизотропном ферримагне-

боты не принципиально, каким образом происходит

тике может приводить к возникновению квантовых

изменение материальных констант в рассматривае-

эффектов и, как следствие, к проявлению специфи-

мой модели.

ческих фазовых состояний. Эти эффекты практиче-

Поскольку межподрешеточное обменное взаимо-

ски не исследованы, отметим только работы [51,52],

действие является анизотропным и выделяет лег-

в которых проводился анализ основных состояний

кую ось — ось z, эту ось удобно выбрать в качестве

и спектров точно решаемых одномерных моделей

оси квантования. Дальнейшие вычисления будем

типа спиновых цепочек. Понимание роли специфи-

проводить, используя операторы Стивенса [55], по-

ческих квантовых эффектов сокращения спина мо-

скольку они являются генераторами группы SO(3)

жет оказаться существенным для описания эффек-

и реализуют полный набор динамических перемен-

тов типа лазерной переориентации в ферримагнети-

ных. Тогда гамильтониан системы принимает вид

ках, тем более что основная стадия переориентации

1^∑

происходит в течение времени, когда температура

H=-

J₁(m-m^′)(σ^xmσ^xm′+σ^ymσ^ym′+σ^mσ^m′) -

меняется слабо.

m,m^′

[

]

∑

K(n - n^′)

J₂(n - n^′) -

⁻ 2

2. ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ

n,n^′

∑

В качестве исследуемой системы рассмотрим

× (S^xnS^xn′ + S^ynS^yn′ + SⁿSⁿ

′

K(n - n^′) ×

)-2

n,n^′

двухподрешеточный анизотропный магнетик со спи-

ном магнитного иона первой подрешетки S = 1 и

⁽1

Õ1

O02nO02n′ + O12nO12n′ +

2n^′

+ O22nO22n′ +

второй — σ = 1/2 и негейзенберговским обменным

)

взаимодействием для подрешетки с S = 1. Анизот-

1^∑

+ Õ22n Õ²

2n^′

A(m - n)σ^zmS^zn,

(2)

ропия определяется изинговским взаимодействием

m,n

подрешеток. При этом в первой подрешетке учиты-

вается как билинейное обменное, так и биквадратич-

где

ное обменные взаимодействия. Гамильтониан такой

[

]

O⁰² = 3(S^z)²-S(S+1), O¹² =

S^z, (S⁺+S^-)₊ ,

системы можно представить в виде

∑

[

]

[

]

Õ1

S^z, (S⁺-S^-)₊ , O²² =

(S⁺)²+(S^-)²

H=-

J₁(m - m^′)σ_mσ_m′ -

m,m^′

[

]

∑

Õ2

(S⁺)² - (S^-)²

1^∑

J₂(n-n^′)S_nS_n′ -

K(n-n^′)(S_nS_n′ )² -

n,n^′

— операторы Стивенса.

n,n^′∑

Выделяя в гамильтониане (2) средние поля, свя-

A(m-n)σ^zmS^zn,

(1)

занные как с дипольными параметрами порядка

m,n

〈S^z 〉, так и с квадрупольными (qt2 = 〈Ot2〉), получим

одноузельный гамильтониан:

где J₁ > 0 — константа обменного взаимодействия

для подрешетки со спином σ = 1/2; J₂ > 0, K > 0 —

H₀ = H_σσ^zn + H_SS^zn - B⁰²O02n - B²²O22n + Δ;

(3)

константы билинейного и биквадратичного обмен-

(

)

ных взаимодействий для S = 1; A < 0 — констан-

K(0)

H_S =

A(0)〈σ^z 〉 - J₂(0) -

〈S^z〉,

та анизотропного (изинговского) межподрешеточно-

го взаимодействия. Дальнейшее рассмотрение будем

K(0)

проводить для случая низких температур (T ≪ T_N ,

H_σ =

A(0)〈S^z〉 - J₁(0)〈σ^z 〉, B⁰² =

q⁰²,

T_N — температура Нееля).

K(0)

Изменение фазовых состояний связано с изме-

B²² =

q²²,

нением величины обменных интегралов (и их со-

отношения между собой) [28, 44, 50, 53, 54]. Вариа-

(

)

K(0)

ция материальных параметров системы может про-

Δ=

J₁(0)〈σ^z〉² +

J₂(0) -

〈S^z〉² +

исходить, например, путем изменения концентрации

)

K(0)

⁽ (q⁰²)²

магнитных ионов, или приложением внешних меха-

+ (q²²)2

A(0)〈S^z〉〈σ^z 〉,

нических напряжений, приводящих к деформации

336

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Негейзенберговский анизотропный ферримагнетик

где J₁(0), J₂(0), K(0), A(0) — нулевые фурье-компо-

ε₁ для подрешетки с S = 1 и ε1/2 для подрешетки,

ненты обменных интегралов.

соответствующей σ = 1/2.

На базисах собственных функций операторов S^z

Связь спиновых операторов с операторами Хаб-

(|M〉, M = -1, 0, 1) и σ^z (|m〉, m = -1/2, 1/2) постро-

барда, построенных на базисе собственных функций

им операторы Хаббарда [56-59] соответственно для

гамильтониана (5), теперь имеет вид

первой XM′M = |M^′〉〈M| и второй Ym′m = |m^′〉〈m|

(

)

(

)

S^zn = cos2α

X11n-X-1-1n

-sin2α

X1-1n+X-11n

подрешеток. Связь спиновых операторов и операто-

ров Стивенса с операторами Хаббарда имеет вид

√

[

(

)

(

)]

S+n =

sinα

X01n-X-10n

+ cosα

X0-1n+X10n

S^z = X¹¹ - X-1-1, O²² = X1-1 + X-11,

S^-n = (S+n)^†,

O⁰² = X¹¹ - 2X⁰⁰ + X-1-1,

где α — параметр унитарного u-v-преобразования,

(

)

определяемый соотношением

σ^z =

Y1/21/2 - Y-1/2-1/2

H_S sin2α = -B²² cos2α.

σ⁺ = Y1/2-1/2, σ^- = (σ⁺)⁺.

Тогда в терминах операторов Хаббарда одноузель-

Из этой связи спиновых операторов с оператора-

ный гамильтониан (3) можно представить в виде

ми Хаббарда можно определить параметры порядка

как функцию α:

(

)

H₀ =

H_σ

Y1/21/2 - Y-1/2-1/2

〈S^z〉 = cos 2α, q²² = 〈O²²〉 = sin 2α, q⁰¹ = 〈O⁰²〉 = 1.

(

)

(

)

+H_S

X¹¹ - X-1-1

-B²²

X1-1 + X-11

(

)

Поскольку мы рассматриваем случай низких

−B⁰²

X¹¹ - 2X⁰⁰ + X-1-1

(4)

температур, свободная энергия системы (в расчете

на один спин) в приближении среднего поля совпа-

Как видно, гамильтониан (4) является недиагональ-

дает с энергией основного состояния, т. е. с энерги-

ным и для его диагонализации используем унитар-

ей низших энергетических уровней. Таким образом,

ное u-v-преобразование,

для плотности свободной энергии получаем

H₀ = U(α)H₀U⁺(α),

F =F_S +F_σ, F_S =ε₁, F_σ =ε1/2.

в результате чего получим гамильтониан (4) в виде

Учитывая явный вид энергетических уровней под-

H₀ = ε₁X¹¹ + ε₀X⁰⁰ + ε-1X-1-1 +

решеток и параметров порядка, свободную энергию

как функцию параметра α представим в виде

+ε1/2Y1/21/2 + ε-1/2Y-1/2-1/2,

(5)

K(0)

где

F =-

J₁(0)〈σ^z〉 +

J₁(0)〈σ^z〉² -

ε₁ = -B⁰² + H_S cos2α - B²² sin2α + Δ,

|A(0)|

−

cos2α -

(J₂(0) - K(0)) cos² 2α.

(7)

ε₀ = B⁰² + Δ,

(6)

ε-1 = -B⁰² - H_S cos2α + B²² sin2α + Δ,

Здесь мы учли, что константа анизотропного меж-

подрешеточного обмена A < 0. Выражение (7) за-

ε1/2 =

H_σ, ε-1/2 = -

H_σ,

висит как от материальных параметров магнетика,

так и от параметра α. Минимизируя плотность сво-

энергетические уровни магнитных ионов соответст-

бодной энергии по параметру α, получим следующее

венно первой и второй подрешеток, а волновые

уравнение:

функции подрешеток имеют вид

|A(0)|

Ψ(1) = cos α|1〉 + sin α| - 1〉;

sin2α+(J₂(0)-K(0))sin2α cos2α = 0,

(8)

Ψ(0) = |0〉 и Ψ(-1) = - sin α|1〉 + cos α| - 1〉;

решения которого имеют вид

)



(

)



⁽1

₁



и Φ



|A(0)|/4

^-

^2

sin2α = 0, cos2α =

K(0) - J(0)

Из явного вида энергетических уровней следует,

что низшими энергетическими уровнями являются

Проанализируем подробно эти решения.

337

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Как легко видеть, решением уравнения sin2α =

Таким образом, при K(0) > J(0) в системе реали-

= 0 являются следующие значения параметра α =

зуется состояние с намагниченностью первой подре-

= 0, π. Поскольку мы предполагаем, что константа

шетки меньше максимально возможного, а вторая

межподрешеточного обменного взаимодействия A <

подрешетка сохраняет насыщенное значение намаг-

< 0, единственным решением для параметра α яв-

ниченности (|〈σ^z 〉| = 1/2). Квадрупольные парамет-

ляется α = π. Это означает, что в системе реализу-

ры порядка первой подрешетки в этом случае имеют

ется ферримагнитное упорядочение (FiM) с векто-

вид

рами состояния подрешеток

q²² = 〈O²²〉 = sin2α < 1, q⁰² = 〈O⁰²〉 = 1.



⁽1^).

₁

|Ψ(1)〉 = |1〉 и



=-

^Φ

Таким образом, при

^2

и параметрами порядка

K(0) > J(0), K(0) - J(0) > |A(0)|/4

в системе реализуется фаза, в которой как вектор-

|〈σ^z 〉| =

〈S^z〉 = cos 2α = 1, q⁰² = 1, q²² = 0.

ный параметр порядка первой подрешетки (〈S^z〉),

так и компоненты тензора квадрупольных моментов

Как видно, в этом состоянии первая и вторая под-

(q⁰²) первой подрешетки принимают промежуточные

решетки достигают насыщения, но векторы намаг-

ниченности подрешеток антиколлинеарны.

значения, лежащие в интервале между нулем и еди-

ницей, а вторая подрешетка играет роль постоян-

Необходимо отметить, что это состояние являет-

ного «подмагничивающего поля». Таким образом,

ся устойчивым, если материальные параметры сис-

при больших значениях константы биквадратично-

темы удовлетворяют следующим соотношениям:

го обменного взаимодействия в первой подрешет-

|A(0)|

ке возникает эффект квантового сокращения спи-

J₂(0) > 0, J₂(0) > K(0) -

на [27, 33, 34]. Такое состояние назовем квадруполь-

но-ферримагнитным (QFiM). Эта фаза будет устой-

Из последнего соотношения следует, что FiM-фаза

чива при

устойчива при значениях константы билинейно-

го обменного взаимодействия существенно мень-

(K(0) - J₂(0))² - A²(0)/16

ших, чем в случае изотропного одноподрешеточно-

> 0.

K(0) - J₂(0)

го негейзенберговского ферромагнетика в FM-фа-

зе [49]. При этом анизотропное межподрешеточное

Векторы основного состояния подрешеток в

обменное взаимодействие эффективно «усиливает»

QFiM-фазе имеют вид

гейзенберговский обмен, т.е. вторая подрешетка со-



⁽1^).

₁

здает постоянное подмагничивающее поле, стабили-



|Ψ(1)〉 = cos α|1〉+ sin α|-1〉,

Φ

^2

зирующее средний магнитный момент первой под-

решетки.

Векторы намагниченности первой и второй подре-

Суммарное значение магнитного момента систе-

шеток антиколлинеарны, и, следовательно, в этой

мы в FiM-фазе равно

фазе с учетом квантового сокращения спина пер-

вой подрешетки [27,33,34] возможна точка компен-

〈σ^z + S^z〉 =

сации магнитных моментов подрешеток (скорее, ли-

ния компенсации). Из условия 〈S^z〉 = -〈σ^z 〉 и учи-

Более интересно второе решение уравнения (8).

тывая, что 〈σ^z 〉 = 1/2, получим

Поскольку cos2α определяет средний магнитный

|A(0)|/4

момент (на узле) первой подрешетки, эта величина

должна быть положительной, т. е.

K(0) - J(0)

Решение этого уравнения имеет вид

|A(0)|/4

> 0.

K(0) - J(0)

|A(0)| = 2 (J(0) - K(0)) .

(9)

Поскольку |A(0)| > 0, K(0) - J(0) > 0. Кроме того,

Таким образом, уравнение (9) описывает линию в

функция cos2α ограничена, следовательно,

переменных (J, K, A), на которой суммарный сред-

|A(0)|/4

ний магнитный момент подрешеток равен нулю

cos2α =

< 1.

(〈S^z + σ^z〉 = 0). Удобнее переписать уравнение (9)

K(0) - J(0)

338

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Негейзенберговский анизотропный ферримагнетик

(x, y). Схематично эта диаграмма приведена на

1.0

рис. 1.

Для определения типа фазового перехода

QFiM-FiM используем термодинамическую теорию

FiM

фазовых переходов Ландау [60]. Для этого рассмот-

рим плотность свободной энергии (7) в окрестности

фазового перехода QFiM-FiM, т. е. в окрестности

линии y = 4 - 4x. Поскольку вторая подрешетка

выполняет роль

«подмагничивающего поля» и

-1.00

QFiM

намагниченность ее в обеих фазах одинакова и по-

стоянна (|〈σ^z 〉| = 1/2), сосредоточим свое внимание

на первой подрешетке. Как было показано ранее,

средний магнитный момент первой подрешетки

равен cos 2α и параметр α фактически определяет

параметр порядка системы. Раскладывая плотность

свободной энергии (7) в ряд по этому параметру в

-2.00

QFiM-фазе в окрестности линии фазового перехода

(α → 0), получим

Рис. 1. Фазовая диаграмма анизотропного не гейзенбер-

F = F₀ + Λα² + Θα⁴ + ...,

(12)

говского ферримагнетика с подрешетками S = 1 и σ =

= 1/2. Сплошная жирная линия — линия фазового пере-

где

хода FiM-QFiM, штриховая линия — линия компенсации

Λ = 2J₂(0) - 2K(0) +

|A(0)|,

Θ=-

|A(0)| -

J₂(0) +

K(0).

в приведенных переменных y = |A|/K, x = J/K.

Тогда уравнение (9) примет вид

Для упрощения анализа выражения (12) предста-

вим коэффициенты Λ и Θ как функции относитель-

y = 2x - 2.

(10)

ных переменных x, y:

Необходимо отметить, что в отсутствие межподре-

K(0)

Λ=

(4x-4+y), Θ =

(-y-16x+16).

шеточного обменного взаимодействия (A(0) = 0)

〈S^z 〉 = cos 2α = 0, т. е. параметр α = π/4. Это озна-

Анализ коэффициентов Λ и Θ вблизи линии y =

чает, что при A(0) = 0 в первой подрешетке реализу-

= 4 - 4x показывает, что коэффициент Λ с точно-

ется нематическое состояние [49-54], параметры по-

стью до множителя K₀/2 совпадает с линией фазо-

рядка которого имеют вид

вого перехода, и в QFiM-фазе Λ < 0, а коэффици-

ент Θ > 0. Такое поведение коэффициентов разло-

〈S^z〉 = 0, q²² = 〈O²²〉 = 1, q⁰² = 〈O⁰²〉 = 1.

жения термодинамического потенциала (12) свиде-

тельствует о том, что фазовый переход QFiM-FiM

При этом «подмагничивающее поле», т. е. вторая

является переходом второго рода.

подрешетка не оказывает никакого влияния на

первую.

Из равенства плотности свободной энергии в

3. СПЕКТРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

FiM- и QFiM-фазах получим линию фазового пе-

ВОЗБУЖДЕНИЙ

рехода между этими фазами:

3.1. FiM-фаза

|A(0)| = 4 (J(0) - K(0)) ,

Для более полного анализа исследуемой систе-

мы исследуем спектры элементарных возбуждений

или в приведенных переменных (x, y)

в FiM-фазе. Для этого воспользуемся методом бо-

y = 4 - 4x.

(11)

зонизации хаббардовских операторов [61]. Операто-

рам X^αn ставятся в соответствие псевдохаббардовс-

Полученные результаты позволяют построить

кие операторы

Xα

, которые связаны с бозевски-

фазовую диаграмму исследуемой системы, причем

ми операторами рождения и уничтожения магнонов

ее удобнее изобразить в приведенных переменных

следующими соотношениями:

339

А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

X-1-1

=b+nb_n,

3.5

X 00

=a+na_n,

X 11

= 1-a+na_n-b+nb_n,

-c+mc_m,

3.0

X 10

=a_n,

=c+mc_m,

2.5

X 1-1

=b_n,

(13)

X 0-1

=a+nb_n,

2.0

= (1 - c+mc_m)c_m,

X 01

=a+n,

=c+m,

1.5

X-11

=b+n, .

X-10

=b+na_n

1.0

Здесь a — бозе-операторы, соответствующие перехо-

0.5

ду иона первой подрешетки из состояния E₁ в со-

стояние E₀, b — соответствуют переходу из состоя-

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ния E₁ в состояние E-1, а операторы c — бозевские

операторы, соответствующие переходу иона второй

Рис. 2. Спектры элементарных возбуждений негейзенбер-

подрешетки из состояния E1/2 в состояние E-1/2.

говского анизотропного ферримагнетика в FiM-фазе при

Вообще говоря, операторы Хаббарда, а следова-

J1 = 1, J2 = 1.5, K = 1.45, |A| = 0.2. Сплошная линия —

тельно, и гамильтониан (1) не могут быть выраже-

ветвь Ωa(k), штриховая линия — ветвь Ωc(k) штрихпунк-

ны ни через какие-либо комбинации бозевских опе-

тирная линия — ветвь Ω_b(k)

раторов. В то же время, можно построить бозевс-

кий аналог гамильтониана (1), т. е. оператор, дейст-

вующий в бесконечномерном гильбертовом прост-

второй подрешеток, соответственно, и в отсутствие

ранстве, причем определенная часть его матричных

межподрешеточного анизотропного обменного вза-

элементов оказывается равной матричным элемен-

имодействия (A = 0) принимают стандартный вид

там исходного гамильтониана.

[49]. Более интересным является поведение спект-

Легко убедиться, что алгебра Ли, построенная

ра (17), который представляет собой «продольную»

на операторах

^X, совпадает с алгеброй Ли операто-

ветвь возбуждений первой подрешетки, т. е. связан

ров X.

с колебанием длины вектора магнитного момента

Применяя представление (13), перепишем га-

первой подрешетки. В отсутствие межподрешеточ-

мильтониан исследуемой системы в FiM-фазе через

ного обменного взаимодействия (A = 0) ветвь (17)

бозевские операторы, ограничиваясь квадратичны-

описывает продольную ветвь возбуждений спиново-

ми членами по операторам рождения и уничтоже-

го нематика с S = 1 [49]. Кроме того, из обращения в

ния квазичастиц. Как показали проведенные преоб-

нуль энергетической щели в спектре (17), при k → 0,

разования, гамильтониан исследуемой системы диа-

получим линию потери устойчивости FiM-фазы:

гонален в терминах операторов рождения и уничто-

жения:

2J₂(0) - 2K(0) +

|A(0)| = 0,

(18)

∑{

}

Ω_a(k)a+ka_k+Ω_b(k)b+kb_k+Ω_c(k)c+kc_k

(14)

которую в переменных (x, y) можно представить в

виде

где Ω_i(k) определяют спектры элементарных воз-

буждений изотропного негейзенберговского магне-

y = 4 - 4x.

(19)

тика:

Линия потери устойчивости

(19) FiM-фазы в

Ω_a = J₂(0) - J₂(k) +

|A(0)|,

(15)

точности совпадает с линией фазового перехода

FiM-QFiM, определяемой выражением (11), что

Ω_c =

(J₁(0) - J₁(k) + |A(0)|) ,

(16)

подтверждает сделанное нами утверждение о том,

что данный фазовый переход является переходом

Ω_b = 2J₂(0) - K(0) +

|A(0)|.

(17)

второго рода.

На рис. 2 изображены спектры возбуждений ани-

Очевидно, что ветви возбуждений (15) и (16)

зотропного ферримагнетика в ферримагнитной фа-

являются «поперечными» возбуждениями первой и

зе. Как следует из графиков и выражений (15)-(17),

340

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Негейзенберговский анизотропный ферримагнетик

(

)

все три ветви возбуждений имеют энергетические

^B(k) = 2

B²² sin2α - H_s cos2α

щели при k → 0. При этом щель в спетре «про-

+ (J₂(k) - K(k))cos² 2α - J₂(k),

дольных» возбуждений (17) максимальна, и именно

эта ветвь теряет устойчивость при фазовом переходе

C(k) = -

(J₂(k) - K(k)) sin² 2α,

второго рода FiM-QFiM.

Необходимо отметить, спектры Ω_a и Ω_c при k →

B(k) = H_σ -

J₁(k),

→ 0 имеют энергетические щели, пропорциональ-

(

)

ные A(0). Легко понять, что при A(0) = 0, т. е. на ли-

K(0)

H_S =

A(0) - J₂(0) -

cos2α,

нии y = 0 константа межподрешеточного обменного

взаимодействия меняет знак, следовательно, это ли-

J₁(0)

ния фазового перехода из ферримагнитного состоя-

H_σ =

A(0) cos 2α -

ния в ферромагнитное. Однако, поскольку констан-

K(0)

та билинейного обменного взаимодействия первой

B⁰² =

sin2α.

подрешетки J₂ больше константы обменного взаи-

модействия второй подрешетки J₁, ветка Ω_a более

Применяя u-v-преобразование Боголюбова к га-

«жесткая», и фазовый перход из ферримагнитно-

мильтониану (20), получим спектры элементарных

го состояния в ферромагнитное протекает по более

возбуждений:

«мягкой» моде Ω_c.

(

Ω2a(k) = K(0) - J₂(k) +

|A(0| cos 2α +

3.2. QFiM-фаза

)₂

+ (J₂(0) - K(0)) cos² 2α

Исследуем спектры элементарных возбуждений

в QFiM-фазе, поскольку наибольший интерес пред-

(

)₂

ставляет динамика системы в окрестности линии

sin2α (J₂(k) - K(k))

(21)

компенсации. Как уже отмечалось ранее, парамет-

ры порядка в этой фазе имеют вид

(

|A(0)|

Ω2b(k) = K(0) - J₂(k) +

|A(0| cos 2α +

〈σ^z 〉 =

〈S^z〉 = cos 2α =

4[K(0) - J(0)]

)₂

+ (2J₂(0) - 2K(0) - K(k) + J₂(k)) cos² 2α

q⁰² = 1, q²² = sin2α,

(

)₂

а векторы основного состояния подрешеток в

sin² 2α (J₂(k) - K(k))

(22)

QFiM-фазе равны



⁽1^).

₁

|Ψ(1)〉 = cos α|1〉+ sin α| - 1〉,



=-

^Φ

^2

Ω_c(k) = -

(J₁(k) - J₁(0) - |A(0)| cos2α).

(23)

Используя явный вид параметров порядка и

Ветви (21) и (23), как и в FiM-фазе, определяют

связь (13) операторов Хаббарда с операторами рож-

спектры «поперечных» возбуждений соответствен-

дения и уничтожения магнонов, для гамильтониана

но первой и второй подрешеток, а ветвь (22) описы-

системы в QFiM-фазе получим

вает «продольные» возбуждения магнитного момен-

∑[

та, связанные как с векторным параметром поряд-

(

)]

H(k) =

B(k)a+ka_k+C(k)

a_ka_-k+a+ka+-k

ка, так и компонентами квадрупольного момента,

]

(

)

причем ветви (21)-(23) при α → 0, т. е. при 〈S^z〉 =

∑[ ˜B(k)b+

b_k +

C(k)

b_kb_-k + b+kb+-k

= cos2α → 1 в точности совпадают со спектрами

∑ ˜B(k)c+

возбуждений в FiM-фазе. Кроме того, из обраще-

c_k,

(20)

ния в нуль энергетической щели в спектре Ω_b при

где

k → 0 и α → 0 получаем линию

(

)

|A(0)| = 4 (K(0) - J(0)) ,

B(k) =

2B⁰² - H_s cos2α + B²² sin2α

- J₂(k),

которая совпадает с полученной ранее линией фазо-

C(k) = -

(J₂(k) - K(k)) sin 2α,

вого перехода между FiM- и QFiM-фазами. Таким

341

А. В. Кривцова, Я. Ю. Матюнина, Ю. А. Фридман

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Мы получили уравнение линии компенсации в про-

3.5

странстве материальных параметров, а также ли-

3.0

нии фазового перехода «ферримагнитная-квадру-

польно-ферримагнитная фаза». Необходимо отме-

2.5

тить, что, как показал анализ плотности свобод-

2.0

ной энергии и спектров элементарных возбуждений,

данный фазовый переход является переходом вто-

1.5

рого рода, причем анализ спектров элементарных

1.0

возбуждений показал, что данный фазовый переход

идет по «продольной» ветви возбуждений, т. е. по

0.5

ветви, связанной с продольными колебаниями маг-

нитного момента первой подрешетки.

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Отметим также, что рассмотренная нами зада-

ча может служить достаточно адекватной моделью

Рис. 3. Спектр «продольной» ветви возбуждений Ω_b(k)

магнитной пленки, состоящей из двух неэквивалент-

негейзенберговского анизотропного (изинговского) ферри-

ных монослоев.

магнетика в QFiM-фазе при J1 = 1, J2 = 1.5, K = 1.625,

|A| = 0.2

ЛИТЕРАТУРА

образом, фазовый переход FiM-QFiM протекает по

J.-Y. Bigot, M. Vomir, and E. Beaurepaire, Nature

«продольной» ветви возбуждений и является пере-

Phys. 5, 515 (2009).

ходом второго рода. На рис. 3 приведен спектр «про-

A. Kirilyuk, A. V. Kimel, and Th. Rasing, Rev. Mod.

дольных» возбуждений в QFiM-фазе.

Phys. 82, 2731 (2010).

B. A. Ivanov, Low Temp. Phys. 40, 91 (2014).

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

P.-C. Huang, C. Hernandez-Garcia, and M.-C. Chen.

Nature Photon. 12, 349 (2018).

Проведенные исследования показали, что в ани-

зотропном негейзенберговском ферримагнетике с

I. Radu, K. Vahaplar, C. Stamm, T. Kachel,

подрешетками S = 1 и σ = 1/2 возможна реали-

N. Pontius, H. A. Dürr, T. A. Ostler, J. Barker,

зация как ферримагнитного состояния с интеграль-

R. F. L. Evans, R. W. Chantrell, A. Tsukamoto,

ным магнитным моментом 〈S^z +σ^z〉 = 1/2, так и фа-

A. Itoh, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A. V. Kimel,

Nature London 472, 205 (2011).

зы, в которой одновременно присутствуют как век-

торные параметры порядка первой и второй подре-

T. A. Ostler, J. Barker, R. F. L. Evans, R. Chantrell,

шеток (〈S^z〉, 〈σ^z〉), так и тензорный параметр поряд-

U. Atxitia, O. Chubykalo-Fesenko, S. El Moussaoui,

ка для первой подрешетки, наличие которого обу-

L. Le Guyader, E. Mengotti, L. J. Heyderman,

словлено влиянием биквадратичного обменного вза-

F. Nolting, A. Tsukamoto, A. Itoh, D. V. Afanasiev,

имодействия первой подрешетки. Учет этого вза-

B. A. Ivanov, A. M. Kalashnikova, K. Vahaplar,

J. Mentink, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A. V. Kimel,

имодействия приводит к квантовому сокращению

Nature Commun. 3, 666 (2012).

спина первой подрешетки, но не влияет на вели-

чину магнитного момента второй подрешетки. При

J. H. Mentink, J. Hellsvik, D. V. Afanasiev,

этом вторая подрешетка играет роль «подмагничи-

B. A. Ivanov, A. Kirilyuk, A. V. Kimel, O. Eriksson,

вающего» поля и не позволяет ни при каких зна-

M. I. Katsnelson, and Th. Rasing, Phys. Rev. Lett.

чениях биквадратичного обменного взаимодействия

108, 057202 (2012).

перевести первую подрешетку в состояние спиново-

В. Г. Барьяхтар, В. И. Бутрим, Б. А. Иванов, Пись-

го нематика [49]. Эту фазу мы назвали квадруполь-

ма в ЖЭТФ 98, 327 (2013).

но-ферримагнитной. Поскольку в этой фазе сред-

H. V. Gomonay and V. M. Loktev, Low Temp.

нее значение магнитного момента первой подрешет-

Phys. 40, 17 (2014).

ки изменяется в зависимости от соотношения обмен-

ных интегралов первой подрешетки и межподреше-

10.

V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama,

точного взаимодействия, в этом состоянии возмож-

T. Ono, and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod. Phys. 90,

на компенсация магнитных моментов подрешеток.

015005 (2018).

342

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Негейзенберговский анизотропный ферримагнетик

11.

M. B. Jungfleisch, W. Zhang, and A. Hoffmann, Phys.

31.

Yu. N. Mitsay, Yu. A. Fridman, D. V. Spirin, and

Lett. A 382, 865 (2018).

M. S. Kochmanski, Acta Phys. Pol. 97, 355 (2000).

12.

H. V. Gomonay and V. M. Loktev, Phys. Rev. B 81,

32.

Yu. A. Fridman and O. A. Kosmachev, J. Magn.

144427 (2010).

Magn. Mater. 236, 272 (2001).

13.

O. A. Tretiakov, D. Clarke, G.-W. Chern, Y. B. Ba-

33.

E. G. Galkina, V. I. Butrim, Yu. A. Fridman,

zaliy, and O. Tchernyshyov, Phys. Rev. Lett. 100,

B. A. Ivanov, and Franco Nori, Phys. Rev. B 88,

127204 (2008).

144420 (2013).

14.

E. G. Galkina, B. A. Ivanov, S. Savel’ev, and F. Nori,

34.

E. G. Galkina, B. A. Ivanov, and V. I. Butrim, Low

Phys. Rev. B 77, 134425 (2008).

Temp. Phys. 40, 635 (2014).

15.

O. Gomonay, T. Jungwirth, and J. Sinova, Phys. Rev.

35.

А. Ф. Андреев, И. А. Грищук, ЖЭТФ 87, 467

Lett. 117, 017202 (2016).

(1984).

16.

E. G. Galkina and B. A. Ivanov, Low Temp. Phys. 44,

36.

С. Л. Гинзбург, ФТТ 12, 1805 (1970).

618 (2018).

37.

Y. Y. Hsieh and M. Blume, Phys. Rev. B 8, 2684

17.

R. Cheng, D. Xiao, and A. Brataas, Phys. Rev. Lett.

(1972).

116, 207603 (2016).

38.

В. М. Матвеев, ЖЭТФ 65, 1626 (1973).

18.

R. Khymyn, I. Lisenkov, V. Tyberkevych, B. A. Iva-

39.

V. M. Loktev and V. S. Ostrovskii, Low Temp. Phys.

nov, and A. Slavin, Sci. Rep. 7, 43705 (2017).

20, 775 (1994).

19.

O. R. Sulymenko, O. V. Prokopenko, V. S. Tiberke-

40.

Ф. П. Онуфриева, ЖЭТФ 80, 2372 (1981).

vich, A. N. Slavin, B. A. Ivanov, and R. Khymyn,

Phys. Rev. Appl. 8, 064007 (2017).

41.

Ф. П. Онуфриева, ЖЭТФ 89, 2270 (1985).

20.

Б. А. Иванов„ А. Л. Сукстанский, ЖЭТФ 84, 370

42.

A. V. Chubukov, K. I. Ivanova, P. Ch. Ivanov, and

(1983).

E. R. Korutcheva, J. Phys.: Condens. Matter 3, 2665

(1991).

21.

K.-J. Kim, S. K. Kim, Y. Hirata, Se-Hyeok Oh,

T. Tono, D.-H. Kim, T. Okuno, W. S. Ham, S. Kim,

43.

R. Barnett, A. Turner, and E. Demler, Phys. Rev.

G. Go, Y. Tserkovnyak, A. Tsukamoto, T. Moriyama,

A 76, 013605 (2007).

K.-J. Lee, and T. Ono, Nature Mater. 16,

1187

(2017).

44.

Е. Л. Нагаев, Магнетики со сложными обменны-

ми взаимодействиями, Наука, Москва (1988).

22.

Е. Г. Галкина, К. Э. Заспел, Б. А. Иванов, Н. Е. Ку-

лагин, Л. М. Лерман, Письма ЖЭТФ 110, 474

45.

B. A. Ivanov and A. K. Kolezhuk, Phys. Rev. B 68,

(2019).

052401 (2003).

23.

S. K. Kim and Y. Tserkovnyak, Appl. Phys. Lett.

46.

V. G. Bar’yakhtar, V. I. Butrim, A. K. Kolezhuk, and

111, 032401 (2017).

B. A. Ivanov, Phys. Rev. B 87, 224407 (2013).

24.

C. E. Zaspel , E. G. Galkina, and B. A. Ivanov, Phys.

47.

R. Barnett, A. Turner, and E. Demler, Phys. Rev.

Rev. Appl. 12, 044019 (2019).

Lett. 97, 180412 (2006).

25.

I. Lisenkov, R. Khymyn, J.Åkerman, N. X. Sun, and

48.

K. Buchta, G. Fáth,

Ö.Legeza, and J. Sólyom, Phys.

B. A. Ivanov, Phys. Rev. B 100, 100409(R) (2019).

Rev. B 72, 054433 (2005).

26.

B. A. Ivanov, Low Temp. Phys. 45, 935 (2019).

49.

Yu. A. Fridman, O. A. Kosmachev, and Ph. N. Kle-

vets, J. Magn. Magn. Mater. 325, 125 (2013).

27.

Yu. A. Fridman and O. A. Kosmachev, Phys. Sol. St.

51(6), 1167 (2009).

50.

A. Läuchli, G. Schmid, and S. Trebst, Phys. Rev.

B 74, 144426 (2006).

28.

Е. Л. Нагаев, УФН 136, 61 (1982).

51.

A. K. Kolezhuk, H.-J. Mikeska, and S. Yamamoto,

29.

V. M. Loktev and V. S. Ostrovskii, Low Temp. Phys.

Phys. Rev. B 55, R3336 (1997).

20, 775 (1994).

52.

A. K. Kolezhuk, H.-J. Mikeska, K. Maisinger, and

30.

T. Moriya, Phys. Rev. 117, 635 (1960).

U. Schollwöck, Phys. Rev. B 59, 13565 (1999).

343