ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 365-373

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ЛОКАЛИЗАЦИИ СВЕТА В

ХОЛЕСТЕРИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

А. А. Геворгянa*, С. С. Голикa,b**, Т. А. Геворгянa***

^a Дальневосточный федеральный университет

690922, Владивосток, Россия

^b Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

690041, Владивосток, Россия

Поступила в редакцию 1 августа 2019 г.,

после переработки 6 ноября 2019 г.

Принята к публикации 14 февраля 2020 г.

Исследованы особенности локализации света в слое холестерического жидкого кристалла (ХЖК) при

нормальном падении света. Показано сильное влияние диэлектрических границ на локализацию. При

минимальном влиянии диэлектрических границ, т. е. при ns =

√εm, суммарное поле для собственных

мод в слое ХЖК меняется плавно при смещении вдоль оси z, направленной вдоль оси среды (здесь εm —

средняя диэлектрическая проницаемость слоя ХЖК, а ns — коэффициент преломления внешней среды).

При отличии ns от

√εm или при отличии поляризации падающего света от поляризации собственных

мод появляются осцилляции в зависимости энергии суммарной волны в слое ХЖК от z. Показано, что

количество накопленной энергии в слое ХЖК зависит от величины ns и полная накопленная энергия в

слое ХЖК монотонно увеличивается с ростом ns.

DOI: 10.31857/S0044451020080143

магнитная волна не может распространяться через

кристалл. Это уникальное свойство ФК сделало их

1. ВВЕДЕНИЕ

кандидатами для изготовления многих фотонных

элементов/устройств.

Как известно, впервые Яблонович и Джон

Для изготовления ФК используются различные

показали, что структура, состоящая из периодичес-

химические/оптические методы и всевозможные ва-

кой матрицы из диэлектрических материалов (с

рианты осаждения [4]. Лазерная технология также

различными показателями преломления), может

была применена при создании ФК после ее боль-

управлять распространением электромагнитной

ших успехов в формировании структуры поверхнос-

волны

[1, 2]. Позднее аналогичная возможность

ти материала [4]. ФК могут быть также самоор-

наблюдалась и в других периодических структурах,

ганизующимися. Классическим примером самоорга-

состоящих из слоев металл/полупроводник, ме-

низующихся ФК является холестерический жидкий

талл/диэлектрик и т. д. Эти среды с периодическим

кристалл (ХЖК). ХЖК имеет двулучепреломляю-

изменением диэлектрических/магнитных свойств

щую структуру, которая равномерно вращается во-

в пространственном масштабе порядка оптической

круг определенного направления, называемого на-

длины волны называются фотонными кристаллами

правлением оптической оси среды [5]. ХЖК инте-

(ФК) из-за сходства их структурной периодичности

ресны также тем, что известно точное аналитичес-

с периодической потенциальной энергией в полупро-

кое решение задачи распространения света в ХЖК

водниковых кристаллах. Хорошо известно, что для

вдоль его оптической оси [6, 7].

каждого ФК существует определенный диапазон

Особенности локализации света в ФК — одно из

частот, который называется фотонной запрещенной

активно развивающихся направлений современной

зоной (ФЗЗ) [3]. В этом интервале частот электро-

оптики и фотоники. Это связано с фундаментальной

важностью и возможными применениями особенно-

^* E-mail: agevorgyan@ysu.am

^** E-mail: golik.ss@dvfu.ru

стей локализации света. Отметим, что если распро-

^*** E-mail: gevorgian.ta@students.dvfu.ru

странение волн легко понять из волнового уравне-

365

А. А. Геворгян, С. С. Голик, Т. А. Геворгян

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

ния, то локализация волн (создание связанных со-

в которой этот тензор диагонален, можно преобра-

стояний) более сложна. Существует много методов

зовать векторы электрических и магнитных полей и

улавливания света, и все они используют материалы

индукции по правилу E(z) =

R-1(az)E(z).

или системы, которые запрещают исходящие волны.

Хотя оба метода эквивалентны и дают одинако-

Сильная локализация света имеет место в системах

вый результат, мы будем пользоваться вторым ме-

типа Фабри - Перо из-за многократного отражения

тодом, который при решении определенных задач

света как на границах, так и на дефектах ФК. Силь-

дает определенные преимущества. Решение уравне-

ная локализация света может происходить и из-за

ния Максвелла во вращающейся системе координат

невзаимного отражения [8, 9]. В последние годы ак-

при распространении света вдоль холестерической

тивными областями исследований являются локали-

оси имеет вид

зация света Андерсона в неупорядоченных системах

∑

и в биологических наноструктурах [10], локализа-

E(z, t) =

E0m exp(ik_mz)exp(-iωt),

(1)

ция света на наночастицах [11].

m=1

В настоящей работе исследованы некоторые осо-

бенности локализации света в ХЖК. Исследовано

где k_m — волновые числа во вращающейся системе

влияние диэлектрических границ на локализацию

координат. Они являются решением дисперсионного

света.

уравнения

)

⁽ω²

⁾⁽ω²

ε₁ - k2m - a²

ε₂ - k2m

-a²

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ

c²

СООТНОШЕНИЯ

- 4a²k2m = 0,

(2)

При исследовании оптических свойств ХЖК

где ω/c = 2π/λ, λ — длина волны света в вакууме.

обычно используют две системы координат: лабора-

Используя найденные из уравнения (2) собствен-

торную систему координат (x, y, z), ось z которой па-

ные значения волновых чисел, решим задачу от-

раллельна оси спирали ХЖК, и вращающуюся сис-

ражения, пропускания и локализации света в слу-

тему координат (x^′, y^′, z^′), причем ось z^′ совпадает с

чае слоя ХЖК. Будем считать, что оптическая

осью z, а оси x^′ и y^′ параллельны главным направле-

ось ХЖК перпендикулярна границам слоя. Слой

ниям тензора диэлектрической проницаемости при

ХЖК с обеих сторон граничит с изотропными по-

каждом значении z^′. При этом возможны два под-

лупространствами с одинаковыми коэффициента-

хода при решении уравнений Максвелла [12, 13].

ми преломления n_s. Граничные условия, состоя-

1) При неизменных векторах электрического и

щие в непрерывности тангенциальных составляю-

магнитного полей и индукции можно преобразовать

щих электрического и магнитного полей, имеют вид

тензор диэлектрической проницаемости по закону

∑

ε(z) =

^R(az)ε₀ R-1(az),

E_ix + E_rx =

(E_mx cos ϕ₀ - E_my sin ϕ₀),

m=1

где

⎛

⎞

∑

ε₁

H_iy + H_ry =

(H_my cos ϕ₀ + H_mx sin ϕ₀),

⎜

⎟

ε₀ =

⎝ 0

ε₂

⎠

m=1

ε₂

∑

E_iy + E_ry =

(E_my cos ϕ₀ + E_mx sin ϕ₀),

— локальный тензор диэлектрической проницаемо-

m=1

сти, а

^R(az) — матрица вращения:

∑

⎛

⎞

H_ix + H_rx = (H_mx cosϕ₀ - H_my sinϕ₀),

cosaz

- sinaz

m=1

⎟

^R(az) =^⎝ sin az cos az

⎠,

∑

[E_mx exp(ik_md) cos(ϕ₀ + ad) -

a = 2π/p, p — шаг спирали ХЖК.

m=1

2) При неизменном тензоре диэлектрической

- Emy exp(ik_md)sin(ϕ₀ + ad)] = E_tx,

проницаемости во вращающейся системе координат,

366

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Об особенностях локализации света. . .

I, отн. ед.

2.5

1.2

1.0

2.0

0.8

1.5

0.6

1.0

0.4

0.5

0.2

-5

z/p

I, отн. ед.

2.5

1.2

0.020

1.0

2.0

0.015

0.8

0.010

1.5

0.005

0.6

1.0

0.4

0.5

0.2

-5

z/p

I, отн. ед.

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

-5

z/p

Рис. 1. Распределения интенсивности I(z) = |E(z)|2 вне и внутри слоя ХЖК на длине волны λ = 625.5

нм (внутри

ФЗЗ вблизи ее центра) в случае минимального влияния диэлектрических границ, т. е. при ns =

√εm. Падающий на

слой свет имеет поляризацию, совпадающую с первой (дифрагирующей) (а) и второй (б) СП, с левой (в) и с правой

(г) круговыми поляризациями и, наконец, с линейными вдоль осей x (д) и y (е) поляризациями. Параметры ХЖК: шаг

спирали p = 420 нм, ε1 = 2.29, ε2 = 2.143, толщина слоя d = 50p. Вертикальные пунктирные линии при z/p = 50 на всех

рисунках соответствуют правой границе слоя ХЖК

∑

[H_my exp(ik_md) cos(ϕ₀ + ad) +

[E_my exp(ik_md) cos(ϕ₀ + ad) +

m=1

+ Emx exp(ik_md)sin(ϕ₀ + ad)] = E_ty

+ Hmx exp(ik_md)sin(ϕ₀ + ad)] = H_ty,

367

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Об особенностях локализации света. . .

∑

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

[H_mx exp(ik_md) cos(ϕ₀ + ad) -

m=1

Каждая оптическая система имеет характерные

- Hmy exp(ik_md)sin(ϕ₀ + ad)] = H_tx,

поляризации, называемые собственными поляриза-

циями (СП). СП — это две поляризации падающе-

где d — толщина слоя ХЖК, ϕ₀ — угол между ди-

го света, которые не изменяются при прохождении

ректором и осью x на входной поверхности слоя

света через систему. Они совпадают с поляризаци-

ХЖК, E_mx, E_my, H_mx, H_my — компоненты электри-

ей собственных мод. СП слоя ХЖК при нормальном

ческого и магнитного полей во вращающейся систе-

падении света практически совпадают с ортогональ-

ме координат (x^′, y^′, z^′). В работах [14,15] получены

ными круговыми поляризациями. Когда свет падает

точное аналитическое решение этой граничной зада-

по нормали на слой ХЖК, волна с одной из СП ди-

чи и точные аналитические выражения для коэффи-

фрагирует на периодической структуре среды, то-

циентов отражения и пропускания (по интенсивнос-

гда как волна с другой СП практически не чувству-

ти) для дифрагирующей собственной волны в слу-

ет периодической структуры среды. Таким образом,

чае минимального влияния диэлектрических границ

для ХЖК при нормальном падении света ФЗЗ су-

(т. е. когда n_s =

√ε_m =^√(ε₁ + ε₂)/2 ). Аналогичные

ществует только для света с одной из СП (ее мы бу-

результаты для падающей волны с произвольной по-

дем называть дифрагирующей СП), причем при ми-

ляризацией и для произвольного значения n_s были

нимальном влиянии диэлектрических границ коэф-

получены в работах [16, 17].

фициент отражения равен единице в ФЗЗ и умень-

Таким образом, решая эту граничную задачу, мы

шается, осциллируя вне ФЗЗ. Эти осцилляции обу-

можем определить значения для компонент отра-

словлены конечностью толщины слоя ХЖК, они яв-

женного и прошедшего полей, а также для поля в

ляются следствием дифракции света внутри конеч-

среде и, следовательно, исследовать особенности ло-

ного объема и не связаны с отражениями от диэлек-

кализации света в слое ХЖК.

трических границ. Наличие диэлектрических гра-

Суммарное электрическое поле, соответствую-

ниц (т. е. отличие n_s от

√ε_m ) приводит к дополни-

щее среде на левой стороне слоя ХЖК, в самом слое

тельной модуляции этих осцилляции вне ФЗЗ. Ми-

ХЖК и в среде на правой стороне слоя ХЖК (мы

нимумы отражения приблизительно определяются

предполагаем, что слой ХЖК расположен между

из условия

двумя изотропными полупространствами z = 0 и

z = d) может быть представлено следующим обра-

kd = mπ, m = 0, ±1, ±2, . . .,

(4)

зом:

⎧

⎨

E_i(z) + E_r(z),

z < 0,

где

R-1(az)E(z),

0 < z < d,

(3)

⎩

√ω² ε1+ε2

√(ω2 ε₁-ε₂ )²

ω²

E_t(z),

z > d,

+a² ±

+4a²

ε_m .

c²

где E_i, E_r и E_t — поля соответственно падающей, от-

раженной и прошедшей волн, а

R-1(az)E(z) — сум-

На частотах, определяемых этим условием (на-

марное поле в самом слое ХЖК.

зываемых частотами краевых мод), имеет место

сильная локализация света. По мере увеличения по-

рядка краевых мод локализация света уменьшается.

Рис. 2. Распределения интенсивности I(z) = |E(z)|² вне

и внутри слоя ХЖК: а,б — на длине волны λ = 625.5 нм

Локализация света в ХЖК теоретически была рас-

(внутри ФЗЗ вблизи ее центра); в,г,д,е — на длине волны

смотрена впервые в работах [18,19]. Аналитически и

вне ФЗЗ на первом коротковолновом минимуме коэффи-

численно эта задача для дифрагирующей СП ХЖК

циента отражения (или просто на краевой моде с m = -1);

и при условии минимального влияния диэлектриче-

ж,з,и,к — на длине волны вне ФЗЗ на первом коротко-

ских границ рассмотрена в работе [20]. Различные

волновом максимуме коэффициента отражения; л,м,н,о —

особенности локализации света в ХЖК исследованы

на длине волны вне ФЗЗ на втором коротковолновом ми-

также в работах [21-25]. Ниже мы продолжаем изу-

нимуме коэффициента отражения (или на краевой мо-

чать особенности локализации света в слое ХЖК.

де с m = -2) в следующих случаях: а,б,д,е,и,к,н,о —

На рис. 1 представлены распределения интенсив-

ns = 1 (слой ХЖК находится в вакууме); в,г,ж,з,л,м —

ности I(z) = |E(z)|² вне и внутри слоя ХЖК на

√εm. Падающий на слой свет имеет поляриза-

длине волны λ = 625.5 нм (внутри ФЗЗ вблизи ее

цию, совпадающую с первой (а,в,д,ж,и,л,н) и второй

(б,г,е,з,к,м,о) СП. Параметры те же, что и на рис. 1

центра) в случае минимального влияния диэлектри-

ческих границ, т. е. при n_s =

√ε_m. Падающий на

369

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

А. А. Геворгян, С. С. Голик, Т. А. Геворгян

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Рис. 3. Распределения I(z) = |E(z)|² интенсивности вне и внутри слоя ХЖК на длине волны λ = 625.5 нм (а), на длине

волны вне ФЗЗ на первом коротковолновом минимуме коэффициента отражения (б), на длине волны вне ФЗЗ на пер-

вом коротковолновом максимуме коэффициента отражения (в) и на длине волны вне ФЗЗ на втором коротковолновом

минимуме коэффициента отражения (г) в случае ns = 10. Параметры те же, что и на рис. 1

w, отн. ед.

600

610

620

630

640

650

600

610

620

630

640

650

, нм

Рис. 4. Спектры w при ns = 1 (1),

√εm (2), 2.5 (3), 0.2 (4), 1.5 (5), 10 (6). Остальные параметры те же, что и на рис. 1

слой свет имеет поляризации, совпадающие с пер-

На рис. 2 представлены распределения интен-

вой (дифрагирующей) и второй СП, с левой и пра-

сивности I(z) = |E(z)|² вне и внутри слоя ХЖК

вой круговыми поляризациями и, наконец, с линей-

на длине волны λ = 625.5 нм (внутри ФЗЗ вбли-

ными вдоль осей x и y поляризациями.

зи ее центра), на длине волны вне ФЗЗ на первом

370

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Об особенностях локализации света. . .

, нм

10⁵

Сначала будем исследовать спектры усреднен-

650

ной плотности энергии света в слое ХЖК при раз-

. Усредненную плотность энер-

личных значениях n_s

640

гии света в слое ХЖК можно рассчитать по следую-

щей формуле:

∫

630

|E|²dz.

(5)

620

На рис. 4 представлены спектры w при различ-

. На рис. 5 показана эволюция

ных значениях n_s

610

спектров w при изменении n_s. И, наконец, на рис. 6

представлены зависимости w и длины волны крае-

вых мод λ_m от n_s для первых трех коротковолновых

n_s

краевых мод с m = -1, -2, -3.

Из представленных рисунков следуют следую-

Рис. 5. (В цвете онлайн) Эволюция спектров w при изме-

щие выводы.

нении ns. Параметры те же, что и на рис. 1

1. При минимальном влиянии диэлектрических

границ, т. е. в случае n_s =

√ε_m, максимальная ло-

кализация наблюдается на краевых модах с m = ±1.

С увеличением m локализация световой энергии

коротковолновом минимуме коэффициента отраже-

уменьшается.

ния (или просто на краевой моде с m = -1), на

2. При увеличении разности |n_s -

√ε_m | мак-

длине волны вне ФЗЗ на первом коротковолновом

симальная локализация смещается в сторону кра-

максимуме коэффициента отражения и на длине

евых мод с большим индексом m. Изменение n_s

волны вне ФЗЗ на втором коротковолновом миниму-

приводит также к изменению длин волн краевых

ме коэффициента отражения (или на краевой моде

мод. При n_s

√ε_m длины волн коротковолно-

с m = -2) в случаях n_s = 1 (слой ХЖК находится в

вых/длинноволновых краевых мод принимают ми-

вакууме) и n_s =

√ε_m. Падающий на слой свет имеет

нимальное/максимальное значение. При увеличе-

поляризацию, совпадающую с первой и второй СП.

нии разности |n_s -

√ε_m | длины волн коротковол-

На рис. 3 представлены распределения интен-

новых/длинноволновых краевых мод увеличивают-

сивности I(z) = |E(z)|² вне и внутри слоя ХЖК

ся/уменьшаются.

на длине волны λ = 625.5 нм, на длине волны вне

3. При росте n_s увеличение w на различных кра-

ФЗЗ на первом коротковолновом минимуме коэф-

евых модах происходит по-разному.

фициента отражения, на длине волны вне ФЗЗ на

Мы также исследовали влияние изменения n_s на

первом коротковолновом максимуме коэффициента

полную, локализованную в слое ХЖК в конечном

отражения и на длине волны вне ФЗЗ на втором

спектральном диапазоне, световую энергию W . Эту

коротковолновом минимуме коэффициента отраже-

полную энергию рассчитали по следующей форму-

ния в случае n_s = 10.

ле:

Из представленных рисунков следует, что

λ2

∫

1) в случае минимального влияния диэлектриче-

W = w dλ.

(6)

ских границ величина |E(z)|² для собственных мод

в слое ХЖК меняется плавно;

λ1

2) при отличии n_s от

√ε_m или при отличии по-

На рис. 7 представлена зависимость W(n_s). С уве-

ляризации падающего света от поляризации СП по-

личением n_s величина W растет монотонно, но не

являются осцилляции в зависимостях энергии сум-

по линейному закону.

марной волны в слое ХЖК от z;

3) количество накопленной энергии в слое ХЖК

4. ВЫВОДЫ

зависит от величины n_s.

Переходим к исследованию влияния диэлектри-

ческих границ на аккумулированную слоем ХЖК

В заключение отметим, что в работе исследова-

световую энергию.

ны особенности локализации света в слое ХЖК при

371

10*

А. А. Геворгян, С. С. Голик, Т. А. Геворгян

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

w, отн. ед.

, нм

614

612

610

608

606

604

n_s

Рис. 6. Зависимости w (а) и длины волны краевых мод λm (б) от ns для первых трех коротковолновых краевых мод с

m = -1 (1), -2 (2), -3 (3). Параметры те же, что и на рис. 1

W, отн. ед.

m = ±1. При увеличении разности |n_s-√εm | макси-

30000

мальная локализация смещается в сторону краевых

мод с большим индексом m. Изменение n_s приводит

25000

также к изменению длин волн краевых мод.

20000

Отметим важность этих исследований в том

аспекте, что при наличии определенных границ

15000

кроме краевых мод могут возникать моды ново-

го типа, на которых также может наблюдаться

10000

сильная локализация. В последние годы начаты

и продолжаются систематические исследования

5000

оптических таммовских мод для различных оптиче-

ских структур, в частности, в связи с их широким

возможным применением (см., например, работы

n_s

[26-33], а также литературу, цитированную в них).

Как хорошо известно, сильная локализация наблю-

Рис. 7. Зависимости W от ns; λ1 = 600 нм, λ2 = 650 нм.

дается также на дефектных модах [33-39].

Остальные параметры те же, что и на рис. 1

Финансирование. Исследование поддержано

проектом Министерства науки и высшего образова-

его нормальном падении. Исследовано влияние ди-

ния России FZNS-2020-003 № 0657-2020-0003.

электрических границ на локализацию света, пока-

зано сильное влияние коэффициента преломления

n_s на локализацию. Важность полученных резуль-

ЛИТЕРАТУРА

татов заключается, в частности, в том, что при рас-

1. E. Yablonovitch, Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987).

пространении света вдоль оси ХЖК известно точ-

ное аналитическое решение уравнении Максвелла и,

2. S. John, Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987).

следовательно, полученные результаты точные. Они

3. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, and J. N. Winn,

могут служить ориентиром для систем, для которых

Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Prin-

точное решение неизвестно. Отметим также, что на-

ceton Univ. Press, Princeton (1995).

ши исследования показывают, что при минималь-

ном влиянии диэлектрических границ максималь-

4. Nanoelectronics and Photonics, ed. by A. Korkin and

ная локализация наблюдается на краевых модах с

F. Rosei, Springer, Berlin (2008).

372

ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020

Об особенностях локализации света. . .

P. G. De Gennes and J. A. Prost, The Physics of

23.

A. H. Gevorgyan, K. B. Oganesyan, G. A. Vardanyan,

Liquid Crystals, Clarendon Press, Oxford (1993).

and G. K. Matinyan, Laser Phys. 24, 115801 (2014).

H. L. De Vries, Acta Crystallogr. 4, 219 (1951).

24.

M. S. Rafayelyan, H. Gharagulyan, T. M. Sarukha-

nyan et al., Liquid Crystals 46, 1079 (2019).

Е. И. Кац, ЖЭТФ 59, 1854 (1970).

25.

A. H. Gevorgyan, Liquid Crystals doi.org/10.1080/

A. H. Gevorgyan, A. Kocharian, and G. A. Varda-

02678292.2019.1706108.

nyan, Opt. Comm. 259, 455 (2006).

26.

V. Kavokin, I. A. Shelykh, and G. Malpuech, Phys.

А. А. Геворгян, ЖТФ 76, 960 (2006).

Rev. B 72, 233102 (2005).

10.

S. H. Choi, S. W. Kim, Z. Ku et al., Nature Comm.

27.

M. Kaliteevski, I. Iorsh, S. Brand et al., Phys. Rev.

9, 452 (2018).

B 76, 165415 (2007).

11.

Y. Kivshar and A. Miroshnichenko, Opt. and Photo-

28.

T. Goto, A. V. Dorofeenko, A. M. Merzlikin et al.,

nics News 28, 24 (2017).

Phys. Rev. Lett. 101, 113902 (2008).

12.

J. W. Shelton and Y. R. Shen, Phys. Rev. A 5, 1867

29.

S. Núñez-Sánchez, M. Lopez-Garcia, M. M. Murshidi

(1972).

et al., ACS Photon. 3, 743 (2016).

13.

A. H. Gevorgyan, G. K. Matinyan, ЖЭТФ 145, 877

30.

S. Ya. Vetrov, M. V. Pyatnov, and I. V. Timofeev,

(2014).

Opt. Lett. 39, 2743 (2014).

31.

S. Ya. Vetrov, M. V. Pyatnov, and I. V. Timofeev, J.

14.

В. А. Беляков, В. Е. Дмитриенко, В. П. Орлов,

Opt. 18, 015103 (2016).

УФН 127, 221 (1979).

32.

N. V. Rudakova, I. V. Timofeev, R. G. Bikbaev et

15.

В. А. Беляков, А. А. Геворгян, О. С. Ерицян,

al., Crystals 9, 502 (2019).

Н. В. Шипов, ЖТФ 57, 1418 (1987).

33.

С. Я. Ветров, И. В. Тимофеев, В. Ф. Шабанов,

16.

Г. А. Варданян, А. А. Геворгян, Крисаллография

УФН 190, 37 (2020).

42, 316 (1997).

34.

V. Belyakov, Diffraction Optics of Complex-Structu-

17.

А. А. Геворгян, Опт. и спектр. 89, 685 (2000).

red Periodic Media, Springer, Berlin (2019).

18.

A. H. Gevorgyan, Mol. Cryst. Liquid Cryst. 378, 129

35.

A. H. Gevorgyan and M. Z. Haratyunyan, Phys. Rev.

(2002).

E 76, 031701 (2007).

19.

V. I. Kopp, Z.-Q. Zhang, and A. Z. Genacka, Progr.

36.

Y.-C. Hsiao, H.-T. Wang, and W. Lee, Opt. Exp. 22,

Quant. Electron. 27, 369 (2003).

3593 (2014).

20.

V. A. Belyakov, S. V. Semenov, ЖЭТФ 136, 797

37.

V. A. Belyakov, S. V. Semenov, ЖЭТФ 139, 798

(2009).

(2011).

21.

А. А. Геворгян, Опт. и спектр. 96, 953 (2004).

38.

J. Schmidtke and W. Stille, Eur. Phys. J. E 12, 553

(2003).

22.

A. H. Gevorgyan, K. B. Oganesyan, R. V. Karape-

tyan, and M. S. Rafayelyan, Laser Phys. Lett. 10,

39.

S. Ya. Vetrov, M. V. Pyatnov, and I. V. Timofeev,

125802 (2013).

Phys. Rev. E 90, 032505 (2014).

373