ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 419-429

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ ОДИНОЧНОГО КУБИТА:

ОБНАРУЖЕНИЕ НОВОГО W -КЛАССА СОСТОЯНИЙ

С. Адхикари^*

Технологический университет Дели

110042, Дели, Индия

Поступила в редакцию 28 августа 2019 г.,

после переработки 28 августа 2019 г.

Принята к публикации 15 октября 2019 г.

(Перевод с английского)

PROBABILISTIC TELEPORTATION OF A SINGLE QUBIT:

UNEARTHING NEW W -CLASS OF STATES

Satyabrata Adhikari

Предложен вероятностный протокол для телепортации одного кубита через трехкубитные W -состояния с

использованием двухкубитного измерительного базиса. Показано, что при правильном выборе параметра

исходного состояния можно добиться очень высокой вероятности успеха протокола. Получено условие

успешного выполнения протокола телепортации, что определяет новый класс трехкубитных W -состоя-

ний, используемых в качестве исходного состояния. Построены операторы, которые можно использовать

для экспериментальной проверки условия телепортации. Эта проверка необходима для определения при-

менимости данного трехкубитного состояния для протокола. Также численно определено количество

запутанности, содержащейся в найденном W -классе общих состояний. Кроме того, показано, что общие

состояния W -класса, используемые в протоколе телепортации, можно приготовить в ЯМР-эксперименте.

DOI: 10.31857/S0044451020090011

зашифрованная в одиночном кубите, может пере-

даваться удаленному получателю через двухкубит-

ное максимально запутанное состояние, совместно

1. ВВЕДЕНИЕ

используемое отправителем и получателем, с помо-

Запутанность является квантовомеханическим

щью двух классических битов информации. Прото-

свойством, не имеющим аналогов в классической

колы квантовой телепортации имеют решающее зна-

физике [1]. Она служит мощным средством кван-

чение не только для развития квантовой теории ин-

товой обработки информации, поскольку в рамках

формации, но и для совершенствования квантовых

законов квантовой механики без запутанности бы-

технологий. Протокол телепортации может быть де-

ло бы невозможно осуществить переход квантово-

терминированным [5] или вероятностным [6], т. е.

го состояния (квантовую телепортацию) [2]. Кван-

кубит может телепортироваться с единичной веро-

товая телепортация оказывается незаменимым ин-

ятностью или с некоторой ненулевой вероятностью

струментом для квантовых вычислений [3] и кван-

меньше единицы. Если кубит можно телепортиро-

товых коммуникаций [4]. В 1993 г. в работе [5] был

вать между двумя удаленными друг от друга ме-

предложен протокол телепортации, ставший рево-

стами с единичной точностью и единичной вероят-

люционной идеей в области квантовых коммуника-

ностью, то это называется идеальной телепортаци-

ций. В работе [5] было показано, что информация,

ей. В первоначальном протоколе идеальная телепор-

тация одного кубита была достигнута с помощью

^* E-mail: satyabrata@dtu.ac.in

419

С. Адхикари

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

общего чистого двухкубитного максимально запу-

Помимо ГХЦ-состояний существует еще один

танного состояния. Однако если общее состояние не

класс трехкубитных состояний, называемый

является максимально запутанным, то существуют

W-классом. Эти два класса трехкубитных за-

протоколы, с помощью которых можно телепорти-

путанных состояний неэквивалентны по отношению

ровать кубит с единичной точностью, но с некоторой

к стохастическим локальным операциям и клас-

вероятностью меньше единицы [7].

сическим коммуникациям (ЛОКК) [22]. Следует

Существуют некоторые другие протоколы, такие

отметить важное обстоятельство, что если от-

как протокол телепортации с использованием пор-

следить один кубит из трехкубитного состояния

тов [8], в котором неизвестное квантовое состояние

ГХЦ-класса, то редуцированное двухкубитное со-

должно быть телепортировано в один из несколь-

стояние окажется состоянием с нулевым дискордом

ких портов на удаленном сайте, симметричный про-

[23], в то время как для случая трехкубитного со-

токол многосторонне управляемой телепортации [9],

стояния W -класса ситуация иная. Отличие состоит

в котором изучалась телепортация произвольного

не только в том, что они могут использоваться в

двухкубитного запутанного состояния с использова-

качестве квантового канала при телепортации, но

нием двух состояний Гринбергера - Хорна - Цайлин-

также в том, что если отследить один кубит из

дера (ГХЦ) [10], и протокол идеальной управляе-

трехкубитного состояния W -класса, то редуциро-

мой телепортации [11], в котором в качестве общего

ванное двухкубитное смешанное состояние будет

исходного состояния использовалось трехкубитное

запутанным. В работе

[24] было показано, что

запутанное состояние. В работе [12] изучалась те-

трехкубитное W -состояние может служить удоб-

лепортация неизвестных кудитных состояний через

ным общим исходным состоянием при квантовой

чисто квантовые каналы с немаксимальным рангом

защищенной передаче информации. В работе [25]

Шмидта. Таким образом, общее запутанное состо-

разработан протокол квантовой телепортации с

яние играет важнейшую роль в архитектуре про-

использованием W -состояния в качестве общего

токолов телепортации. Экспериментальная реализа-

квантового канала, однако для восстановления

ция квантовой телепортации была успешно проде-

неизвестного состояния в этом протоколе требуется

монстрирована на примере фотонных [13] и атомных

нелокальное действие. Существует еще один про-

[14] кубитов.

токол телепортации, использующий W-состояние в

В протоколе телепортации кубита в качестве ис-

качестве исходного, однако он работает с точностью

ходного состояния можно также использовать двух-

телепортации меньше единицы [26].

кубитное смешанное запутанное состояние [15]. В

работе [16] изучалась квантовая телепортация опти-

В 2006 г. Агравал и Пати в работе [27] доказали

ческих кубитов с использованием в качестве кван-

существование трехкубитных состояний W-класса,

тового канала гибридной запутанности с эффекта-

которые можно использовать в качестве общего ис-

ми декогерирования. Однако можно видеть, что до-

ходного состояния для достижения идеальной теле-

стижение отметки единичной точности невозмож-

портации однокубитного состояния. Этот протокол

но ни в одном протоколе телепортации, использую-

основан на трехкубитном проекционном измерении

щем в качестве общего исходного состояния смешан-

фон Неймана и двух классических битах передачи

ные двухкубитные запутанные состояния, поэтому

информации, однако такое измерение трудно осуще-

их нельзя рассматривать в качестве надежной осно-

ствить экспериментально. Это побуждает пересмот-

вы для идеальной телепортации.

реть данный протокол телепортации с точки зрения

Было обнаружено, что неизвестные трехкубит-

возможности использования двухкубитных проек-

ные запутанные ГХЦ-состояния можно использо-

ционных измерений фон неймановского типа вместо

вать в качестве квантовых каналов при некоторой

трехкубитных. В данной работе показана возмож-

схеме телепортации, которая была также осуществ-

ность разрешения проблемы, отмеченной в прото-

лена экспериментально [17, 18]. Реализация адиаба-

коле телепортации Агравала - Пати, за счет исполь-

тического протокола квантовой телепортации для

зования двухкубитного базиса проекционного изме-

идеальной телепортации с тремя кубитами была ис-

рения вместо трехкубитного. Для этого предложен

следована в работе [19]. Также было получено [20],

вероятностный протокол телепортации, в котором

что для идеальной телепортации одно- и двухкубит-

можно выбирать параметр исходного состояния та-

ного состояний можно использовать максимально

ким образом, чтобы повышать вероятность успеш-

запутанное пятикубитное состояние, предложенное

ной работы протокола. В этом смысле его можно

в работе [21].

считать протоколом почти идеальной телепортации.

420

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Вероятностная телепортация одиночного кубита. . .

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2

ленная из четырех кубитов, описывается тензорным

пересмотрен протокол телепортации одиночного ку-

произведением |ψ〉_x и |W 〉_ABC и выражается в виде

бита Агравала - Пати. В разд. 3 предложен прото-

|Φ〉_xABC = |ψ〉_x ⊗ |W 〉_ABC =

кол телепортации и получены условия телепорта-

ции одиночного кубита с единичной точностью и

= αλ₀|0100〉 + αλ₃|0010〉 + αλ₂|0001〉 +

вероятностью близкой к единице. В разд. 4 обсуж-

+ βλ₀|1100〉 + βλ₃|1010〉 + βλ₂|1001〉 =

дается реализация предложенного протокола почти

идеальной телепортации. В разд. 5 численно опре-

[|M⁺¹〉_xAB ⊗ (α|0〉_c + β|1〉_c) + |M-1〉_xAB ⊗

деляется количество запутанности используемого в

⊗ (α|0〉_c - β|1〉_c) + |M+2 〉_xAB ⊗ (β|0〉_c + α|1〉_c) +

протоколе телепортации общего трехкубитного со-

+ |M-2 〉_xAB ⊗ (β|0〉_c - α|1〉_c)],

(4)

стояния W -класса, а также его экспериментальное

осуществление. В разд. 6 обсуждается приготовле-

где векторы трехкубитных состояний

|M⁺¹〉_xAB,

ние общих трехкубитных W -состояний в ЯМР-экс-

|M-1〉_xAB, |M⁺²〉_xAB и |M-2〉_xAB записываются как

перименте. В разд. 7 приведены основные выводы.

|M⁺¹〉_xAB = λ₀|010〉 + λ₃|001〉 + λ₂|100〉,

|M-1〉_xAB = λ₀|010〉 + λ₃|001〉 - λ₂|100〉),

(5)

2. ПЕРЕСМОТР ПРОТОКОЛА

|M⁺²〉_xAB = λ₀|110〉 + λ₃|101〉 + λ₂|000〉),

АГРАВАЛА - ПАТИ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ

|M-2〉_xAB = λ₀|110〉 + λ₃|101〉 - λ₂|000〉).

ТЕЛЕПОРТАЦИИ ОДИНОЧНОГО КУБИТА

Для осуществления идеальной телепортации век-

Протокол идеальной телепортации одиночного

торы трехкубитных состояний |M⁺¹〉_xAB, |M-1〉_xAB,

кубита, изученный Агравалом и Пати, отличает-

|M⁺²〉_xAB и |M-2〉_xAB должны быть взаимно ортого-

ся от первоначального протокола тем, что в каче-

нальны, однако легко показать, что 〈M⁺¹|M-1〉 = 0

стве общего исходного состояния в нем используется

и 〈M⁺²|M-2〉 = 0. Поскольку векторы трехкубитно-

трехкубитное состояние W -класса. Более того, бы-

го состояния попарно неортогональны, необходимо

ло показано, что существует особый класс трехку-

наложить условие ортогональности.

битных W -состояний, который можно использовать

Трехкубитные векторы

|M⁺¹〉_xAB,

|M-1〉_xAB,

в качестве исходного состояния для идеальной те-

|M⁺²〉_xAB и |M-2〉_xAB взаимно ортогональны, если

лепортации одиночного кубита. В данном разделе

эта схема телепортации будет пересмотрена с уче-

|λ₀|² + |λ₃|² = |λ₂|².

(6)

том некоторых интересных фактов.

При выполнении условия (6) Алиса может осу-

ществить измерение состояния |Φ〉_xABC с помощью

2.1. Протокол телепортации Агравала - Пати

трехкубитного измерительного базиса

Рассмотрим телепортируемое однокубитное со-

B = {|M+1 〉_xAB,|M-1 〉_xAB,|M+2 〉_xAB|M-2 〉_xAB}.

стояние вида:

В зависимости от результатов измерения Алиса по-

сылает Бобу два классических бита информации,

|ψ〉_x = α|0〉 + β|1〉,

|α|² + |β|² = 1.

(1)

после чего Боб применяет соответствующую одноку-

битную унитарную операцию для завершения про-

Предположим, что чистое трехкубитное исходное

токола телепортации.

состояние, принадлежащее к W -классу, задается

как

2.2. Геометрическая интерпретация условия

|W (λ₀, λ₂, λ₃)〉_ABC = λ₀|100〉+λ₂|001〉+λ₃|010〉.

(2)

идеальной телепортации

Используя условие ортогональности (6) в норми-

Условие

нормировки

для

состояния

ровке (3), получаем

|W (λ₀, λ₂, λ₃)〉_ABC имеет вид

|λ₂|² =

(7)

|λ₀|² + |λ₂|² + |λ₃|² = 1.

(3)

Из условий (6) и (7) имеем

Далее предполагается, что кубиты «x», «A» и «B»

принадлежат отправителю Алисе, а оставшийся ку-

|λ₀|² + |λ₃|² =

(8)

бит находится у получателя Боба. Система, состав-

421

С. Адхикари

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Выражение (8) задает необходимое условие идеаль-

ночного кубита вместо трехкубитного проекционно-

ной телепортации одиночного кубита по протоко-

го измерения необходимо двухкубитное измерение

лу Агравана - Пати с использованием состояния

состояния Белла. Кроме того, показано, что суще-

W-класса вида (2) в качестве исходного состояния.

ствуют отличные от предложенных в работе [27]

Поскольку λ₀ и λ₃ являются комплексными па-

состояния W-класса, которые можно использовать

раметрами, можно всегда принять λ₀ = u exp(iθ₁) и

для почти идеальной телепортации одиночного ку-

λ₃ = v exp(iθ₂), где u, v — действительные перемен-

бита.

ные, а θ₁, θ₂ — фазы. Тогда уравнение (8) принимает

Начнем протокол телепортации с предположе-

вид

ния, что отправитель Алиса хочет передать некото-

рую информацию, зашифрованную в однокубитном

u² + v² =

(9)

состоянии (1), путем телепортации этого кубита по-

лучателю Бобу. По-прежнему считается, что Алиса

Геометрически это представляет собой окружность

√

и Боб совместно используют исходное состояние (2).

с центром в точке (0,0) и радиусом 1/

2. В центре

Хотя используемое в протоколе исходное состояние

окружности параметры λ₀ и λ₃ равны нулю, поэто-

принадлежит к W -классу, будет показано, что этот

му состояние |001〉 лежит в центре окружности. Ин-

класс отличается от W -состояний, задаваемых вы-

тересно отметить, что для идеальной телепортации

ражением (10).

по протоколу Агравала - Пати применимы все состо-

яния, лежащие на окружности. Без потери общнос-

ти можно выбрать

3.1. Протокол почти идеальной

телепортации одиночного кубита

√n

√

^√2 + 2n,v=

2 + 2n

Рассмотрим составную систему из четырех ку-

битов, которую можно выразить в виде тензорного

где n — любое действительное число. Тогда трех-

произведения одиночного телепортируемого кубита

кубитные состояния W -класса, используемые в ка-

(1) и трехкубитного исходного состояния (2). Сле-

честве исходного состояния в протоколе Аграва-

довательно, четырехкубитное состояние можно вы-

ла - Пати, принимают вид

разить как



(

)



eiθ1

√ne^iθ2



√

^W

|Φ〉_xABC = |ψ〉_x ⊗ |W 〉_ABC =

^√2 + 2n,

2 + 2n_ABC

iθ1

√ne^iθ2

= αλ₀|0100〉 + αλ₃|0010〉 + αλ₂|0001〉 +

√

|001〉 +

√

|010〉.

(10)

^√2 + 2n|100〉+

2 + 2n

+ βλ₀|1100〉 + βλ₃|1010〉 + βλ₂|1001〉 =

Если выбрать параметр n так, чтобы выполнялось

[|N⁺¹〉_xAB ⊗ (α|0〉_c + β|1〉_c) + |N-1〉_xAB ⊗

одно из условий

⊗ (α|0〉_c - β|1〉_c) + |N+2 〉_xAB ⊗ (β|0〉_c + α|1〉_c) +

u² + v² <

(11)

+ |N-2 〉_xAB ⊗ (β|0〉_c - α|1〉_c)],

(13)

или

где трехкубитные векторы

|N⁺¹〉_xAB,

|N-1〉_xAB,

u² + v² >

(12)

|N⁺²〉_xAB и

|N-2〉_xAB записываются следующим

образом:

то трехкубитные состояния лежат внутри или сна-

ружи окружности и поэтому неприменимы в каче-

|N⁺¹〉_xAB = (λ₀|01〉+λ₂|10〉) ⊗ |0〉+λ₃|00〉 ⊗ |1〉,

стве исходного состояния для идеальной телепорта-

|N-1〉_xAB = (λ₀|01〉+λ₂|10〉) ⊗ |0〉+λ₃|00〉 ⊗ |1〉,

(14)

ции.

|N⁺²〉_xAB = (λ₀|11〉+λ₂|00〉) ⊗ |0〉+λ₃|10〉 ⊗ |1〉,

|N-2〉_xAB = (λ₀|11〉-λ₂|00〉) ⊗ |0〉+λ₃|10〉 ⊗ |1〉.

3. ПРОТОКОЛ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНОЙ

Для осуществления измерения на своих кубитах

ТЕЛЕПОРТАЦИИ ОДИНОЧНОГО КУБИТА С

Алиса должна построить проекторы F и I - F , где

ЧИСТЫМ ТРЕХКУБИТНЫМ ИСХОДНЫМ

СОСТОЯНИЕМ И ДВУХКУБИТНЫМ

I_xAB + I_xA ⊗ (σ_z)_B

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМ БАЗИСОМ

F =

В данном разделе предложен протокол, в кото-

Под действием проектора F четырехкубитное со-

ром для достижения идеальной телепортации оди-

стояние |Φ〉_xABC принимает вид

422

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Вероятностная телепортация одиночного кубита. . .

|Υ⁽¹⁾〉_xACB = (F ⊗ I_C )|Φ〉_xABC =

Теперь рассмотрим случай, когда Алиса действу-

ет проектором F. В этом сценарии двухкубитные

= |Ψ⁽¹⁾〉_xAC ⊗ |0〉_B,

(15)

векторы |P⁺¹〉_xA, |P-1〉_xA, |P⁺²〉_xA и |P-2

〉_xA должны

где вектор трехкубитного состояния |Ψ⁽¹⁾〉_xAC зада-

быть взаимно ортогональны, однако оказывается,

ется как

что по-крайней мере для одной из пар векторов это

условие не выполняется. Поэтому необходимо нало-

|Ψ⁽¹⁾〉_xAC =

[|P⁺¹〉_xA ⊗ (α|0〉_c+β|1〉_c)+|P-1〉_xA ⊗

жить условие ортогональности. Трехкубитные век-

〉_xAB явля-

торы |P⁺¹〉_xAB, |P-1〉_xAB, |P⁺²〉_xAB и |P-2

⊗ (α|0〉_c - β|1〉_c) + |P+2 〉_xA ⊗ (β|0〉_c + α|1〉_c) +

ются взаимно ортогональными, если

+ |P-2 〉_xA ⊗ (β|0〉_c - α|1〉_c)].

(16)

|λ₀|² = |λ₂|².

(22)

Векторы |P⁺¹〉_xA, |P-1〉_xA, |P⁺²〉_xA, |P-2〉_xA определя-

ются следующим образом:

При выполнении условия (22) Алиса осуществля-

ет измерение состояния Белла на двух кубитах «x»

|P⁺¹〉_xA = λ₀|01〉 + λ₂|10〉,

и «A» и посылает результат Бобу, используя два

|P-1〉_xA = λ₀|01〉 - λ₂|10〉,

классических бита. На последнем шаге протокола

(17)

|P⁺²〉_xA = λ₀|11〉 + λ₂|00〉,

для восстановления исходного кубита (1) Боб, в за-

|P-2〉_xAB = λ₀|11〉 - λ₂|00〉.

висимости от результата измерения Алисы, действу-

ет соответствующим оператором Паули на свой ку-

Вероятность оказаться в состоянии |Ψ⁽¹⁾〉_xAC ⊗ |0〉_B

бит.

под действием измерения с проектором F равна

P⁽¹⁾ = |λ₀|² + |λ₂|².

(18)

3.2. Геометрическая интерпретация условия

почти идеального протокола телепортации

С другой стороны, если Алиса действует на свой ку-

бит проектором I-F , то четырехкубитное состояние

При помощи условия ортогональности (22) нор-

|Φ〉_xABC имеет вид

мировка (3) сводится к выражению:

|Υ⁽²⁾〉_xACB = ((I - F ) ⊗ I_C )|Φ〉_xABC =

2|λ₀|² + |λ₃|² = 1,

(23)

= |Ψ⁽²⁾〉_xAC ⊗ |1〉_B,

(19)

где величина |λ₃| очень мала.

Таким образом получается условие (23), которое

где вектор трехкубитного состояния |Ψ⁽²⁾〉_xAC вы-

является необходимым для почти идеальной теле-

ражается как

портации одиночного кубита в протоколе с исполь-

|Ψ⁽²⁾〉_xAC = λ₃(α|0〉 + β|1〉)_x ⊗ |0〉_A ⊗ |0〉_C .

(20)

зованием в качестве исходного состояния W -клас-

са (2).

Вероятность перехода в состояние |Ψ⁽²⁾〉_xAC ⊗ |1〉_B

Теперь условие почти идеальной телепортации

равна

(23) можно выразить в виде

P⁽²⁾ = |λ₃|².

(21)

|λ₀|²

|λ₃|²

(

√

)₂ +

= 1.

(24)

Из выражения (20) очевидно, что, если Алиса осу-

1²

ществляет проекционное измерение с проектором

I - F, то состояние нельзя телепортировать и, сле-

Выбирая λ₀ = u exp(iη₁) и λ₃ = v exp(iη₂), записы-

довательно, протокол нарушается.

ваем уравнение (24) следующим образом:

Чтобы сделать протокол телепортации почти

идеальным, можно выбрать малую величину пара-

u²

v²

(

√

)₂ +

= 1,

(25)

метра λ₃ в общем состоянии и пренебречь членом

1²

второго порядка λ²³. Таким образом, можно достичь

почти нулевой вероятности оказаться в состоянии

где u, v — действительные переменные, η₁, η₂ — фа-

|Ψ⁽²⁾〉_xAC ⊗ |1〉_B. Другими словами, вероятность P₁

зы, причем v очень мало.

может практически достигать единицы и, следова-

Геометрически уравнение (25) задает эллипс с

тельно, телепортация по протоколу становится по-

центром в точке (0,0), в котором лежит состояние

чти идеальной.

|001〉. Длины большой и малой осей эллипса равны

423

С. Адхикари

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

√

соответственно 1 и 1/

2. Можно видеть, что трех-

1. Протокол телепортации Агравала - Пати явля-

кубитные состояния W -класса, используемые в ка-

ется детерминированным, в то время как в данной

честве исходных для модифицированного протоко-

работе предлагается вероятностный протокол с вы-

ла идеальной телепортации, лежат на периметре эл-

сокой вероятностью успеха.

липса.

2. Для успешного выполнения протокола Агра-

Если выбрать значения действительных пере-

вала - Пати необходимо трехкубитное измерение, а

менных u и v так, чтобы выполнялось одно из усло-

для предлагаемого протокола требуется двухкубит-

вий

ное измерение состояния Белла, в котором Алиса

осуществляет проекционное измерение F. Как пра-

u²

v²

(

√

)₂ +

(26)

вило, двухкубитные измерения легче реализовать

1²

экспериментально, чем трехкубитные. Далее необ-

или

ходимо отметить важное обстоятельство, что для

u²

v²

выполнения данного протокола телепортации требу-

√

> 1,

(27)

(

)₂ +

ется разделить четыре запутанных состояний Бел-

1²

ла. В этом отношении удачно, что эта задача была

то трехкубитные состояния лежат внутри или сна-

решена экспериментально на основе линейных опти-

ружи эллипса и поэтому неприменимы в качестве

ческих элементов [28, 29].

исходного состояния для идеальной телепортации в

3. Было получено, что в данном протоколе общие

модифицированном протоколе.

состояния W-класса, применимые для идеальной те-

лепортации одиночного кубита, лежат на периметре

эллипса с центром в точке (0,0) и длинами большой

3.3. Новый класс общих трехкубитных

√

и малой осей соответственно 1 и 1/

2, а в протоколе

W -состояний для телепортации одиночного

Агравала - Пати такие состояния лежат на окруж-

кубита

√

ности радиусом 1/

2 с центром в точке (0,0).

В данном разделе приведен настоящий вид клас-

4. Периметр эллипса, на котором лежат трехку-

са общих трехкубитных W-состояний для моди-

битные состояния W -класса для идеальной телепор-

√

фицированного протокола телепортации одиночно-

тации в данном протоколе, равен

3π, в то время

го кубита. Без потери общности можно выбрать

как длина окружности, на которой лежат такие со-

√

√m

стояния в протоколе Агравала - Пати, равна

2π.

√

Поэтому в данном случае можно сделать вывод, что,

^√2 + 2m,v=

2 + 2m

по сравнению с протоколом Агравала - Пати, в пред-

где m — любое большое действительное число. Тогда

лагаемом протоколе содержится больше трехкубит-

общие трехкубитные состояния W-класса в модифи-

ных состояний W -класса.

цированном протоколе можно представить в следу-

ющем виде:



(√

√

4. РЕАЛИЗАЦИЯ УСЛОВИЯ



Ws

eiη1 ,

ТЕЛЕПОРТАЦИИ



2 + 2m

√

)

В данном разделе получены условия идеальной

e^iη

√

телепортации для протокола Агравала - Пати и поч-

2 + 2m

ABC

ти идеальной телепортации данного протокола че-

]

^[√m(eiη1 |100〉 + |001〉) +^√2eiη2 |010〉

(28)

рез пересечения [30] двухкубитных редуцированных

состояний. Двухкубитные редуцированные состоя-

ния получаются за счет отслеживания одного ку-

3.4. Сравнение предлагаемого протокола

бита из трехкубитных состояний W -класса, зада-

телепортации с протоколом Агравала - Пати

ваемых выражениями (10) и (28), соответственно.

Теперь можно сравнить модифицированный про-

Таким путем будет показано, что условие идеаль-

токол телепортации с протоколом Агравала - Па-

ной/почти идеальной телепортации для обсуждае-

ти. Оба протокола предназначены для телепортации

мого выше протокола может осуществляться экспе-

одиночного кубита с использованием общего состо-

риментально.

яния W -класса, однако между ними имеются суще-

Рассмотрим трехкубитное состояние, заданное в

ственные различия по следующим пунктам.

каноническом виде:

424

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Вероятностная телепортация одиночного кубита. . .

√

|Ω〉 = λ₀|000〉 + λ₁e^iϕ|100〉 +

Для протокола Агравала - Пати λ₂ = 1/

2. Следо-

вательно, параметры λ₀ и λ₃, определяемые по фор-

+ λ₂|101〉 + λ₃|110〉 + λ₄|111〉,

(29)

мулам (33), можно переписать в виде

где коэффициенты λ_i — неотрицательные действи-

C_AB

тельные числа, удовлетворяющие условию λ²⁰ +λ²¹ +

λ₀ =

√

λ₃ =

√

(35)

+ λ²² + λ²³ + λ²⁴ = 1.

2C_BC

2C_AC

Для трехкубитного состояния |Ω〉 имеются сле-

В данном случае условие идеальной телепортации

дующие инварианты относительно локальных уни-

(8) можно выразить через пересечения C_AB, C_BC ,

тарных преобразований [31]:

C_AC следующим образом:

√τ_ABC

λ₀λ₄ =

(36)

C2AB

C2BC

C_AC

λ₀λ₂ =

(30)

Соотношение (36) можно записать как

C_AB

λ₀λ₃ =

C2AB =

H(C2BC , C2AC ),

(37)

C_BC

|λ₂λ₃ - e^iϕλ₁λ₄| =

где

Поскольку нас интересуют состояния W-класса

H(C2BC , C2AC ) =

и нужно, чтобы все пересечения двухкубитного со-

C2BC

C2AC

стояния были ненулевыми, λ₄ принимается равным

обозначает среднее гармоническое величин C2BC и

нулю. Далее без потери общности можно также счи-

C2AC.

тать λ₁ = 0. При таком выборе параметров λ₁ и λ₄

Соотношение между средним гармоническим и

канонический вид трехкубитного состояния сводит-

средним геометрическим определяется неравенст-

ся к состоянию W -класса, которое задается следую-

вом

щим образом:

H(C2BC , C2AC ) ≤ G(C2BC , C2AC ),

(38)

|W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉 = λ₀|000〉 + λ₂|101〉 + λ₃|110〉.

(31)

где G(C2BC , C2AC ) = C_BC C_AC обозначает среднее

Для состояния W -класса |W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉 инвариан-

геометрическое.

ты (30) также сводятся к уравнениям:

Из формул (37) и (38) получаем

2λ₀λ₂ = C_AC,

2λ₀λ₃ = C_AB,

(32)

C2AB ≤

G(C2BC , C2AC ) ⇒ C2AB ≤

C_BCC_AC.

(39)

2λ₂λ₃ = C_BC.

Условие равенства достигается при C_BC = C_AC , по-

Решив уравнения (32), можно выразить параметры

этому неравенство (39) сводится к следующему ра-

λ₀ и λ₃ через λ₂ следующим образом:

венству:

C_AB

λ₀ =

λ₂, λ₃ =

λ₂.

(33)

C_BC

C_AC

C2AB =

C2AC =

C2BC.

(40)

В частном случае (40) параметры λ₀, λ₂, λ₃ рав-

4.1. Протокол телепортации Агравала - Пати

ны

В работе [32] изучено необходимое и достаточ-

ное условие возможности применения детерминиро-

λ₀ =

λ₂ =

√

λ₃ =

(41)

ванного преобразования ЛОКК чистых трехкубит-

ных состояний. Операция ЛОКК σ_x ⊗ I ⊗ I преоб-

В результате получаются следующие общие трехку-

разует состояние |W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉 вида (31) к состо-

битные состояния W -класса, применимые для про-

янию |W (λ₀, λ₂, λ₃)〉_ABC , задаваемому выражением

токола телепортации Агравала - Пати:

(2). Это означает, что



(

)



|W (λ₀, λ₂, λ₃)〉_ABC =



√

^W

ABC

= (σ_x ⊗ I ⊗ I)|W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉_ABC =

|100〉 +

√

|001〉 +

|010〉.

(42)

= λ₀|100〉 + λ₂|001〉 + λ₃|010〉.

(34)

425

С. Адхикари

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

4.2. Предлагаемый протокол телепортации

идеальной телепортации (36) для протокола Агра-

вала - Пати и условие (43) для предлагаемого про-

Условие почти идеальной телепортации для

токола реализуются экспериментально. Для любого

предлагаемого в работе протокола

(22) можно

заданного общего состояния W-класса можно легко

выразить через пересечения редуцированных

проверить экспериментально его применимость для

двухкубитных состояний следующим образом:

идеальной/почти идеальной телепортации одиноч-

ного кубита по протоколу Агравала - Пати или по

C_AB = C_BC.

(43)

протоколу, предложенному в данной работе.

Трехкубитное общее состояние W -класса, приме-

нимое для идеальной телепортации одиночного

5. ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ТРЕХКУБИТНОЙ

кубита по предлагаемому протоколу, имеет вид

ЗАПУТАННОСТИ С ПОМОЩЬЮ ТРИ-π

|W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉, где параметры состояния выража-

МЕРЫ

ются через пересечения C_AB и C_AC следующим

образом:

В данном разделе проведена численная оценка

количества запутанности в трехкубитных состоя-

C2AC

λ²⁰ = λ²² =

ниях W -класса, применимых в предложенном про-

2C2AC + C²

токоле телепортации, на основе три-π меры. Ме-

(44)

C2AB

ра, используемая для численной оценки трехкубит-

λ²³ =

2C2AC

+C²

ной запутанности через отрицательность, называет-

ся три-π мерой [35]. Ее можно определить следую-

Необходимо отметить, что почти идеальная теле-

щим образом:

портация достигается при малой величине парамет-

ра λ₃, поэтому пересечение C_AB должно быть очень

π_A + π_B + π_C

π_ABC =

(47)

мало.

где π_A, π_B, π_C обозначают остаточную запутан-

4.3. Обсуждение

ность,

В работе [33] было показано, что существуют

π_A = N2A(BC) - N2AB - N2AC,

разлагаемые через матрицы Паули операторы O₁,

π_B = N2B(CA) - N2BC - N2BA,

(48)

O₂ и O₃, которые можно использовать для класси-

фикации трехкубитных чистых состояний. Экспери-

π_C = N2C(AB) - N2CA - N2CB.

ментальная классификация этих состояний была по-

Для любого чистого трехкубитного состояния было

лучена в работе [34]. Операторы O₁, O₂ и O₃ можно

показано [35], что

определить следующим образом [33]:

NA(BC) = CA(BC), NB(CA) = CB(CA),

O₁ = 2(σ_x ⊗ σ_x ⊗ σ_z),

(49)

NC(AB) = CC(AB).

O₂ = 2(σ_x ⊗ σ_z ⊗ σ_x),

(45)

O₂ = 2(σ_z ⊗ σ_x ⊗ σ_x).

Следовательно, выражения для остаточной запу-

танности (48) сводятся к формулам

Квадраты средних значений этих операторов по со-

стоянию |W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉 равны

π_A = C2A(BC) - N2AB - N2AC,

π_B = C2B(CA) - N2BC - N2BA,

(50)

〈O₁〉2W

C2AB =

π_C = C2C(AB) - N2CA - N2CB.

〈O₂〉2W

C2AC =

(46)

Теперь необходимо показать, что три-π мера, харак-

теризующая количество запутанности трехкубит-

〈O₃〉²

ных состояний W -класса, подходит для предлагае-

C2BC =

мого протокола телепортации, т. е. может быть опре-

Следовательно, пересечения C_AB, C_BC и C_CA реду-

делена экспериментально. Для этого будет предло-

цированных двухкубитных состояний, полученных

жен экспериментальный метод численного опреде-

из трехкубитных состояний W_s-класса, можно по-

ления величин C2A(BC), C2B(CA), C2C(AB), N2AB, N2AC

лучить экспериментально. Таким образом, условие

и N2CA.

426

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Вероятностная телепортация одиночного кубита. . .

5.1. Определение величин C2A(BC), C2B(CA) и

Класс трехкубитных состояний, применимых

C2C(AB)

для телепортации одиночного кубита по предла-

гаемому протоколу, задается выражением

(31),

Запутанность τ_ABC для трех кубитов A, B, C

параметры состояния в котором определяются по

можно определить соотношением

формулам (44). Подставляя (44) в выражение (56),

C2C(BA) = τ_ABC + C2CA + C2CB,

(51)

можно получить отрицательности двухкубитных

состояний в следующем виде:

где CC(AB) задает пересечение между кубитом C и

(√

)

парой кубитов B, A, взятых вместе, а C_AB, C_CA,

C_AC

C2AC + 4C2AB - C_AC

C_CB обозначают пересечения редуцированных двух-

N_AB = N_BC =

кубитных состояний ρ_AB, ρ_BC , ρ_AC . Для состояний

2C2AC + C²

(57)

W-класса τ_ABC = 0 и, таким образом, соотношение

√

C4AB + 4C4AC - C2AB

(51) сводится к выражению

N_CA =

2C2AC

+C²

C2C(BA) = C2AC + C2BC.

(52)

Из уравнения (46) следует, что отрицательности

Аналогичные соотношения можно записать для

N_AB, N_BC, N_CA из формул (57) также можно по-

C2B(CA), C2A(BC):

лучить экспериментально.

C2B(CA) = C2BC + C2BA,

(53)

C2A(BC) = C2AB + C2AC.

(54)

5.3. Определение три-π меры запутанности

Для трехкубитных

состояний

W-класса

Теперь при помощи три-π меры запутанности

|W_s(λ₀, λ₂, λ₃)〉 соотношения (52), (53) и (54) можно

можно определить количество запутанности в со-

выразить через средние значения операторов O₁,

стояниях W_s-классов, применимых для телепорта-

O₂, O₃ в следующем виде:

ции одиночного кубита по модифицированному про-

токолу. Три-π мера для численной характеризации

C2A(BC) =

(〈O₁〉2W

+ 〈O₂〉²

таких состояний равна

C2B(CA) =

(〈O₁〉2W

+ 〈O₃〉²

(55)

π_ABC = 4(C2AB - N2AB) + 2(C2AC - N2AC),

(58)

C2C(AB) =

(〈O₂〉2W

+ 〈O₃〉²

где N_AB и N_AC определяются из выражения (57).

Поскольку меры двухкубитной запутанности

Таким образом, пересечения C2A(BC), C2B(CA),

N_AB и N_AC можно выразить через пересечения

C2C(AB) можно получить экспериментально.

C_AB и C_AC, а из выражений (46) следует, что

эти меры определяются экспериментально, три-π

5.2. Определение отрицательности для

мера запутанности также может быть получена

двухкубитных редуцированных состояний

экспериментально.

Для определения отрицательности двухкубит-

ных редуцированных состояний снова рассмотрим

трехкубитное состояние |W_s〉_ABC , определяемое вы-

6. РЕАЛИЗАЦИИ УСЛОВИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ражением (31). Они описываются матрицами плот-

ТЕЛЕПОРТАЦИИ В ЯМР-ЭКСПЕРИМЕНТЕ

ности

Общий вид чистого трехкубитного состояния за-

ρ_AB = Tr_C(|W_s〉_ABC〈W_s|,

дается следующим образом:

ρ_BC = Tr_A(|W_s〉_ABC〈W_s|, ρ_CA = Tr_B(|W_s〉_ABC〈W_s|

и, следовательно, равны

|Θ〉_ABC = cos α|000〉 + sin α cos β sin γ|001〉 +

√

+ sinαsinβ|010〉 + sinα cosβ cosγ cosδ|100〉+

N_AB = λ⁴² + 4λ²⁰λ²³ - λ²²,

+ eiφ sinαcosβ cosγ sinδ|111〉,

(59)

√

N_BC = λ⁴⁰ + 4λ²²λ²³ - λ²⁰,

(56)

где четыре параметра α ∈ [0, π/2], β ∈ [0, π/2], γ ∈

√

∈ [0, π/2], δ ∈ [0, π/2], а значение относительной фа-

N_CA = λ⁴³ + 4λ²²λ²⁰ - λ²³.

зы лежит в пределах 0 ≤ δ ≤ 2π.

427

С. Адхикари

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Данное трехкубитное состояние можно постро-

Следовательно, эти состояния можно приготовить в

ить в ЯМР-эксперименте с использованием одноку-

ЯМР-эксперименте, выбрав значение параметра γ =

битного вентиля вращения, нескольких контролиру-

= π/4. Таким образом, данный W-класс можно вы-

ющих двухкубитных вентилей вращения и венти-

разить в виде

лей CNOT, трехкубитного вентиля Тоффоли и конт-

роль-контролирующего вентиля фазы [36].

cosβ

При выборе значений α = π/2 и δ = φ = 0 кано-

|W^M 〉_ABC =

√

|100〉 +

√ |001〉 +

нический вид общего трехкубитного состояния (59)

(

π⁾

сводится к состоянию W -класса вида

+ sinβ|010〉, β ∈

(64)

|W 〉_ABC = cos β sin γ|001〉 + sin β|010〉 +

Для почти идеальной телепортации величину β

+ cosβ cosγ|100〉.

(60)

можно выбрать вблизи нуля. Сравнивая диапазон

параметра β в уравнениях (62) и (64), можно снова

сделать вывод, что набор трехкубитных состояний

6.1. Приготовление общего запутанного

W-класса, используемых в данном протоколе теле-

состояния для протокола Агравала - Пати в

портации, больше, чем в протоколе Агравала - Пати.

ЯМР-эксперименте

Приготовление общего запутанного состояния

является необходимой задачей для осуществления

любого протокола телепортации. В протоколе Агра-

7. ВЫВОДЫ

вала - Пати использовалось трехкубитное состояние

W-класса, которое можно приготовить в ЯМР-экс-

В заключение отметим, что обсуждена схема

перименте, выбирая соответствующие значения па-

протокола для почти идеальной телепортации оди-

раметров β и γ. Трехкубитное состояние W -класса

ночного кубита, в которой в качестве общего кванто-

вида (60) можно использовать в качестве исходного

вого состояния используются трехкубитные состо-

состояния в протоколе Агравала - Пати при условии

яния W -класса, отличающегося от предложенного

Агравалом и Пати. Показано, что обнаруженный

cosβ sinγ =

√ .

(61)

класс содержит больше состояний, лежащих на пе-

риметре эллипса с центром в точке (0,0). В отли-

Используя условие (61), для общего исходного

чие от протокола Агравала - Пати, в котором ис-

состояния протокола телепортации Агравала - Пати

пользуется трехкубитный измерительный базис, в

в ЯМР-эксперименте можно построить следующее

предложенном протоколе необходим двухкубитный

состояние W-класса:

базис. Условия данной схемы телепортации и про-

токола Агравала - Пати выражены через пересече-

√

2 cos² β - 1

ния редуцированного двухкубитного состояния, по-

|W^AP 〉_ABC =

√

|100〉 +

√ |001〉 +

лученного отслеживанием одного кубита из исход-

(

π^]

ного трехкубитного состояния W -класса. Показано,

+ sinβ|010〉, β ∈

(62)

что, поскольку величины пересечений редуцирован-

ного двухкубитного состояния можно получить экс-

периментально, условия телепортации также мож-

6.2. Приготовление общего запутанного

но проверить в эксперименте. Эта проверка поз-

состояния для предлагаемого протокола в

воляет определить, можно ли использовать данное

ЯМР-эксперименте

трехкубитное состояние для обоих протоколов. Кро-

В предлагаемом протоколе используются трех-

ме того, показано, что для численной оценки ко-

кубитные W -состояний другого класса, которые

личества запутанности общих трехкубитных состо-

также можно приготовить в ЯМР-эксперименте.

яний W -класса в предложенном протоколе можно

W-класс трехкубитных состояний вида (28) мож-

использовать три-π меру запутанности, а также об-

но использовать в качестве исходного состояния в

суждается ее экспериментальная реализация. Нако-

предлагаемом протоколе при условии

нец, обсуждается способ приготовления общих трех-

кубитных состояний W -класса для обоих протоко-

tg γ = 1, т. е. γ =

(63)

лов в ЯМР-эксперименте.

428

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Вероятностная телепортация одиночного кубита. . .

ЛИТЕРАТУРА

18.

D. Bouwmeester, J. W. Pan, M. Daniell, H. Wein-

furter, and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 82, 1345

R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and

(1999).

K. Horodecki, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009).

19.

S. Oh, Y.-P. Shim, J. Fei, M. Friesen, and X. Hu,

S. Pirandola, J. Eisert, C. Weedbrook, A. Furusawa,

Phys. Rev. A 87, 022332 (2013).

and S. L. Braunstein, Nat. Photon. 9, 641 (2015).

20.

S. Muralidharan and P. K. Panigrahi, Phys. Rev.

M. Baur, A. Fedorov, L. Steffen, S. Filipp,

A 77, 032321 (2008).

M. P. da Silva, and A. Wallraff, Phys. Rev. Lett. 108,

040502 (2012).

21.

I. D. K. Brown, S. Stepney, A. Sudbery, and S. L. Bra-

unstein, J. Phys. A 38, 1119 (2005).

N. Gisin and R. Thew, Nat. Photon. 1, 165 (2007).

C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa,

22.

W. Dur, G. Vidal, and J. I. Cirac, Phys. Rev. A 62,

A. Peres, and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70,

062314 (2000).

1895 (1993).

23.

A. Datta, A. Shaji, and C. M. Caves, Phys. Rev. Lett.

W. L. Li, C. F. Li, and G. C. Guo, Phys. Rev. A 61,

100, 050502 (2008).

034301 (2000).

24.

J. Joo, J. Lee, J. Jang, and Y.-J. Park, arXiv:

P. Agrawal and A. K. Pati, Phys. Lett. A 305, 12

quant-ph/0204003.

(2002).

25.

V. N. Gorbachev, A. A. Rodichkina, and A. I. Tru-

S. Ishizaka and T. Hiroshima, Phys. Rev. Lett. 101,

bilko, Phys. Lett. A 310, 339 (2003).

240501

(2008); D. P. Garcia, Phys. Rev. A 87,

040303(R) (2013).

26.

J. Joo, Y.-J. Park, S. Oh, and J. Kim, New J. Phys.

5, 136 (2003).

F.-G. Deng, C.-Y. Li, Y.-S. Li, H.-Y. Zhou, and

Y. Wang, Phys. Rev. A 72, 022338 (2005).

27.

P. Agrawal and A. Pati, Phys. Rev. A 74, 062320

(2006).

10.

M. Greenberger, M. A. Horne, A. Shimony, and

A. Zeilinger, Amer. J. Phys. 58, 1131 (1990).

28.

M. Pavicic, Phys. Rev. Lett. 107, 080403 (2011).

11.

X.-H. Li and S. Ghose, Phys. Rev. A 90, 052305

29.

J. A. W. van Houwelingen, N. Brunner, A. Beveratos,

(2014).

H. Zbinden, and N. Gisin, Phys. Rev. Lett. 96,

12.

L. Neves, M. A. Solis-Prosser, A. Delgado, and

130502 (2006); J. A. W. van Houwelingen, A. Beve-

ratos, N. Brunner, N. Gisin, and H. Zbinden, Phys.

O. Jimenez, Phys. Rev. A 85, 062322 (2012).

Rev. A 74, 022303 (2006).

13.

D. Bouwmeester, J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl,

H. Weinfurter, and A. Zeilinger, Nature 390, 575

30.

W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).

(1997).

31.

G. Torun and A. Yildiz, Phys. Rev. A 89, 032320

14.

M. D. Barrett, J. Chiaverini, T. Schaetz, J. Britton,

(2014).

W. M. Itano, J. D. Jost, E. Knill, C. Langer, D. Lei-

32.

H. Tajima, Ann. Phys. 329, 1 (2013).

bfried, R. Ozeri, and D. J. Wineland, Nature 429,

737 (2004).

33.

C. Datta, S. Adhikari, A. Das, and P. Agrawal, Eur.

15.

F. Verstraete and H. Verschelde, Phys. Rev. Lett. 90

Phys. J. D 72, 157 (2018).

097901 (2003); M. L. Hu, Eur. Phys. J. D 64, 531

34.

A. Singh, H. Singh, K. Dorai, and Arvind, Phys. Rev.

(2011).

A 98, 032301 (2018).

16.

H. Jeong, S. Bae, and S. Choi, Quant. Inf. Proc. 15,

913 (2016).

35.

Y. C. Ou and H. Fan, Phys. Rev. A 75, 062308 (2007).

17.

B. S. Shi, Y. K. Jiang, and G. C. Guo, Phys. Lett.

36.

S. Dogra, K. Dorai, and Arvind, Phys. Rev. A 91,

A 268, 161 (2000).

022312 (2015).

429