ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 459-468

ХАОТИЧЕСКОЕ БЛУЖДАНИЕ ХОЛОДНЫХ АТОМОВ

В ДВУМЕРНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

С. В. Пранц^*

Тихоокеанский океанологический институт

Дальневосточного отделения Российской академии наук

690041, Владивосток, Россия

Поступила в редакцию 5 марта 2020 г.,

после переработки 24 марта 2020 г.

Принята к публикации 26 марта 2020 г.

Исследуется когерентная динамика холодных атомов в двумерной оптической решетке с интерферирую-

щими лазерными пучками с учетом связи внутренних и внешних степеней свободы атома. В полукласси-

ческом приближении получена система дифференциальных уравнений для связанных степеней свободы,

которая в зависимости от величины атомно-полевой расстройки резонанса имеет регулярные и хаоти-

ческие решения. Гамильтонов хаос проявляется в виде хаотических осцилляций Раби и хаотического

блуждания холодных атомов в решетке при сравнительно малых значениях расстройки резонанса. Пока-

зано, что детерминированный хаос возникает в результате скачков величины электрического дипольного

момента атома при приближении к узлам двумерной стоячей волны. Это, в свою очередь, вызывает

псевдослучайное поведение импульса атомов и, как следствие, их хаотическое блуждание в абсолютно

жесткой двумерной оптической решетке без какой-либо внешней модуляции ее параметров. В численных

экспериментах для миллиона атомов показано, что их распределение по решетке существенно разли-

чается для разных значений расстройки резонанса. Этот факт можно использовать для обнаружения

эффекта хаотического блуждания холодных атомов в реальном эксперименте абсорбционным методом

изображения.

DOI: 10.31857/S0044451020090047

ваны ОР различной размерности и геометрии [6-9]

путем настройки таких параметров, как число ла-

зерных пучков, их относительные углы распростра-

1. ВВЕДЕНИЕ

нения и фазы, частоты и интенсивности. Плененные

Оптические решетки (ОР) создаются с помощью

в ОР атомы являются хорошо изолированными и

когерентных лазерных пучков, распространяющих-

контролируемыми квантовыми объектами, удобны-

ся навстречу друг другу. Их интерференция созда-

ми для изучения, среди прочего, квантового хаоса

ет оптический потенциал, который можно использо-

и квантово-классического соответствия (см., напри-

вать для манипуляции холодными атомами, загру-

мер, эксперименты

[10-12] и теоретические рабо-

жаемыми в решетку из магнитооптической ловуш-

ты [13,14]).

ки. Атомы в стоячей световой волне испытывают

действие светоиндуцированной силы и концентри-

Большинство экспериментальных и теоретичес-

руются вблизи узлов или пучностей световой волны

ких работ в этой области выполнено для ОР, далеко

в зависимости от знака разности частоты оптиче-

отстроенных от резонанса, что подавляет спонтан-

ского перехода ω_a и лазерной частоты ω_f [1-3]. При

ное излучение и упрощает расчеты и их интерпре-

«голубой» расстройке резонанса (ω_f -ω_a > 0) атомы

тацию. В то же время это исключает возможность

стремятся к узлам, а при «красной» (ω_f - ω_a < 0) —

ряда интересных динамических эффектов, возни-

к пучностям [4]). Достаточно хорошо охлажденные

кающих в результате взаимодействия внутренних

атомы можно аккумулировать в ямах ОР субмикро-

и внешних степеней свободы атома. В одномерных

метрового размера [5]. Экспериментально реализо-

ОР такая связь приводит к возникновению хаотиче-

ских осцилляций Раби [15, 16], хаотического рассея-

^* E-mail: prants@poi.dvo.ru

ния атомов, динамических фракталов, полетов Леви

459

С. В. Пранц

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Рис. 1. (В цвете онлайн) а) Контуры напряженности электрического поля E(x, y) в двумерной ОР с интерферирующими

лазерными пучками; E(x,y) = 0 в узловых точках и на черных замкнутых узловых кривых. б) Трехмерный вид E(x,y).

Все величины приведены в безразмерных единицах

и аномальной диффузии [17,18]. Детальные теории

ми волновыми векторами и поляризациями, распро-

гамильтонова и диссипативного хаотического транс-

страняющимися вдоль осей x и y. Запишем напря-

порта холодных атомов в одномерных ОР изложены

женность электрического поля в общем виде:

в работах [19, 20]. В работе [21] предложено исполь-

E (x, y) = E₀[cos(k_f x) + cos(k_f y) +

зовать эти эффекты для создания пространствен-

ных структур высокого разрешения в оптической

+ 2e₁ · e₂ cosφcos(k_f x)cos(k_f y)],

(1)

нанолитографии, а в работе [22] — для создания све-

где e1,2 — векторы поляризации. Расположение уз-

тоиндуцированного атомного лифта.

лов и пучностей двумерной стоячей волны зависит

Что касается двумерных ОР, то когерентная

от фазы пучков. Если φ = π/2, то интерференция

атомная динамика исследовалась теоретически и

отсутствует. Эксперименты с атомами рубидия [9]

численно в работах [23-26], однако только в режиме

показали, что фаза является важным условием для

больших расстроек резонанса, когда можно адиаба-

наблюдения каналирования и отклонения атомов в

тически исключить возбужденный атомный уровень

двумерной ОР.

и, стало быть, исключить из рассмотрения внутрен-

В этой работе мы рассмотрим модель с интерфе-

нюю динамику атомов. В настоящей работе мы тео-

рирующими лазерными пучками с фазой φ = 0. На

ретически и численно исследуем когерентную дина-

рис. 1 показаны контуры напряженности электриче-

мику холодных атомов в почти резонансной двумер-

ского поля E(x, y) ≡ -(cos x + cos y + 2 cos x cos y) и

ной ОР с интерферирующими лазерными пучками,

ее трехмерное представление. В каждой единичной

находим различные режимы трансляционного дви-

ячейке находятся 4 узловые точки и замкнутая уз-

жения атомов и их зависимость от внутренних сте-

ловая линия, где E(x, y) = 0. Минимальное значение

пеней свободы и предсказываем эффект хаотическо-

E(x, y) = -4 имеем в точке x = y = 0, а максималь-

го блуждания холодных атомов по решетке при пол-

ные значения E(x, y) = 2 — в точках (0, -1), (-1, 0),

ностью детерминированных условиях.

(0, 1) и (1, 0).

В полуклассическом приближении внутренняя

динамика атома трактуется квантовомеханически, а

2. МОДЕЛЬ

трансляционное движение рассматривается в рам-

Рассмотрим двумерную ОР, созданную двумя

ках классической механики. Полуклассический га-

ортогональными плоскими волнами с одинаковы- мильтониан двухуровневого атома в двумерной ОР

460

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Хаотическое блуждание холодных атомов. . .

запишем в системе координат, вращающейся с ла-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

зерной частотой ω_f :

3.1. Регулярный режим движения атома

Ĥ₌

Тип движения атома в решетке зависит от на-

(P2x+P2y)+

ℏ(ω_a-ω_f )σ_z -ℏΩ (σ_-+σ₊) ×

2m_a

чальных условий и от значений управляющих пара-

× [cos(k_f X) + cos(k_f Y ) + 2 cos(k_f X) cos(k_f Y )],

(2)

метров. Качественно его можно описать, анализи-

руя полную энергию атома (6). Интерферирующие

где σ_±,z — операторы Паули для внутренних степе-

лазерные пучки создают двумерный оптический по-

ней свободы, X, Y и P_x, P_y — классические коорди-

тенциал I(x, y, τ), в котором находится атом. Оче-

наты и импульсы атома, Ω = dE₀/ℏ — максимальная

видно, что атом пленен в потенциальной яме, ес-

частота Раби, d — индуцированный электрический

ли максимальное значение его кинетической энер-

дипольный момент атома.

гии K не достаточно для преодоления потенциаль-

Вся интересующая нас физика содержится в ди-

ного барьера. Атом движется баллистически, если

намике одиночного атома. Большое число невзаи-

его кинетическая энергия всегда больше величины

модействующих атомов просто увеличивает сигнал.

I + W. При других соотношениях слагаемых инте-

Пренебрегая релаксацией и рассматривая только ко-

грала движения (6) атом движется сложным обра-

герентную эволюцию, опишем атомную динамику с

зом, перемежая осцилляции в ямах оптического по-

квантованными внутренними степенями свободы и

тенциала с баллистическими полетами.

с классической трансляционной степенью свободы

Итак, атомы захватываются в ямы оптического

системой уравнений Гамильтона - Блоха:

потенциала при выполнении условия

x=ω_rp_x,

y=ω_rp_y,

K(x, y, τ) < |I(x, y, τ) + W (x, y, τ)|.

p_x = -u(sinx + 2 sinxcosy),

Иначе говоря, атомы осциллируют в потенциальных

p_y = -u(siny + 2 cosxsiny),

u = Δv,

(3)

ямах, если H < 0. При выполнении условия

v = -Δu + 2z(cosx + cosy + 2cosxcosy),

Ż = -2v(cosx + cosy + 2cosxcosy),

K(x, y, τ) > |I(x, y, τ) + W (x, y, τ)|

где x ≡ k_f X, y ≡ k_f Y , p_x ≡ P_y /ℏk_f , p_y ≡ P_y/ℏk_f ,

атомы совершают баллистический полет. Макси-

u и v — синхронизированная и квадратурная компо-

мальное значение потенциала I(x, y, τ) равно 4, по-

ненты электрического дипольного момента, z — ин-

скольку |u(x, y, τ)| ≤ 1 и E(x, y) ≤ 4. Когда величина

версия населенности. Точка означает дифференци-

u приближается к своему максимальному значению,

рование по безразмерному времени τ ≡ Ωt. Система

равному по модулю единице, инверсия населенно-

уравнений (3) имеет два управляющих параметра,

сти z стремится к нулю, что следует из закона со-

хранения длины вектора Блоха (5). Отсюда получа-

ω_r ≡ ℏk2f/m_aΩ, Δ ≡ (ω_f - ω_a)/Ω,

(4)

ем условие для баллистического движения атомов:

H > 4. Таким образом, движение атомов в решетке

нормированную частоту отдачи ω_r, характеризую-

нетривиально при условии 0 < H < 4.

щую энергию отдачи атома при стимулированном

Тип движения атома существенно зависит от

излучении или поглощении фотонов, и нормирован-

значения расстройки резонанса. Из пятого уравне-

ную расстройку резонанса Δ. У этой системы урав-

ния системы (3) следует, что u = u₀ = const при точ-

нений имеются два интеграла движения: длина век-

ном резонансе (Δ = 0), и, таким образом, движение

тора Блоха

атома не зависит от эволюции внутренних степеней

u² + v² + z² = 1

(5)

свободы. При начальном условии u₀ = 0, принятом

и полная энергия

в этой работе, и при точном резонансе оптический

потенциал I(x, y, τ) и внутренняя энергия W (x, y, τ)

ω_r

H ≡

(p2x+p2y)-u(cos x+ cos y+2 cos x cos y) -

равны нулю. Так что у атома имеется только посто-

янная кинетическая энергия, и он летит сквозь ОР

z = K + (I + W),

(6)

с постоянной скоростью. Поведение других компо-

нент вектора Блоха, v и z, зависит от положения

которая является суммой атомной кинетической

атома в потенциале. Несмотря на нулевой оптиче-

энергии K, оптического потенциала I ≡ u(τ)E(x, y)

ский потенциал при Δ = 0, пространственное изме-

и внутренней энергии W ≡ (Δ/2)z(τ).

нение светового поля модулирует осцилляции Раби.

461

С. В. Пранц

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

3.2. Хаотическое блуждание атома

Принимая во внимание два интеграла движе-

ния, мы можем свести систему уравнений (3) к

эффективной гамильтоновой автономной динамиче-

ской системе с тремя степенями свободы в шести-

мерном фазовом пространстве. Движение в много-

мерном фазовом пространстве характеризуется на-

бором показателей Ляпунова. Положительное зна-

чение максимального показателя Ляпунова λ (при

заданных значениях управляющих параметров и на-

чальных условий) означает хаотическое движение.

В теории максимальный показатель Ляпунова рас-

считывается как предел в бесконечном времени. На

практике его вычисление выполняется до момента

времени, когда λ достигает некоторого почти посто-

янного значения, которое называется показателем

Ляпунова для конечного времени.

Максимальный показатель Ляпунова характе-

ризует среднюю скорость расхождения изначально

близких траекторий в фазовом пространстве:

Рис. 2. Зависимость максимального показателя Ляпунова

от нормированной частоты расстройки Δ при фиксирован-

-3

δ(τ)

ном значении нормированной частоты отдачи ωr = 10

λ = lim

λ(τ), λ(τ) = lim

(7)

τ →∞

δ(0)→0 τ

δ(0)

альной чувствительности к малым вариациям на-

где δ(0) и δ(τ) — расстояния между двумя траек-

чальных условий и (или) управляющих параметров.

ториями в моменты времени τ = 0 и τ. Показа-

Осцилляции атома в ямах оптического потенциала

тель Ляпунова для конечного времени рассчиты-

чередуются с баллистическими полетами. Для срав-

вается согласно работе [27] в зависимости от зна-

нения на рис. 3б показаны регулярные осцилляции

чений расстройки Δ при фиксированном значении

атома в первой яме оптического потенциала при тех

частоты отдачи ω_r = 10-3. Результат приведен на

же условиях, что и на рис. 3a, но при Δ = -0.5, для

рис. 2. Положительные значения λ находятся в срав-

которого λ = 0 (см. рис. 2).

нительно узком диапазоне значений расстройки по

Светоиндуцированная сила (третье и четвертое

обе стороны от нуля. Следовательно, можно ожи-

уравнения системы (3)) меняет свое значение по ме-

дать хаотическое движение как при голубой рас-

стройке Δ > 0, так и при красной Δ < 0, но при

ре движения атома в ОР. Хаотические осцилляции√

импульса атома p = p2x + p2y для Δ = 0.191 на

их сравнительно малых значениях по абсолютной

величине.

рис. 4а свидетельствуют о блуждание атома по ре-

шетке. Наиболее значительные изменения импуль-

Из анализа полной энергии атома в предыдущем

разделе следует, что сложное движение атомов воз-

са происходят при приближении атома к узловым

можно при условии 0 < H < 4. Хаотическое дви-

линиям или узловым точкам стоячей волны (см.

жение возникает при таких значениях расстройки,

рис. 1), где величина напряженности электрическо-

при которых λ > 0 (см. рис. 2). Для численного

го поля E равна нулю. Поведение атомного им-

моделирования примем Δ = 0.191, для которого

пульса в регулярной моде движения при Δ = -0.5

λ = 0.0382, и зафиксируем следующие начальные

(λ = 0) кардинально отличается (рис. 4б).

условия: x(0) = y(0) = 0, p_x(0) = 8, p_y(0) = 10, u₀ =

Нерегулярные осцилляции атомного импульса в

= v₀ = 0, z₀ = -1, означающие, что атом помещен

хаотической моде движения вызваны скачкообраз-

в начало координат в основном состоянии с опре-

ным поведением компоненты вектора Блоха u, а сле-

деленным импульсом и H ≈ 0.18. Его траектория

довательно, и светоиндуцированной силы при при-

показана на рис. 3a. Такое движение можно назвать

ближении атома к узлам стоячей волны. На рис. 5

хаотическим блужданием, потому что при λ > 0 и

крестиками показаны моменты времени, когда атом

направление, и скорость движения атома меняют-

попадает в малую окрестность узла. Как правило,

ся псевдослучайным образом в смысле экспоненци-

в эти моменты времени происходят скачкообразные

462

С. В. Пранц

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Таблица. Моменты времени τj , когда атом находится вблизи узлов двумерной стоячей световой волны (см.

рис. 1a), и разности значений компоненты вектора Блоха Δuj , вычисленные в моменты времени τj - 5 и τj + 5

τ_j

142.8 232.0 379.4 473.1 638.5 671.1 689.0 730.4 780.1 798.7 865.6 970.2 994.6 1052.4 1237.1 1842.1

|δu_j |

0.54

0.41

0.95

0.69

0.1

1.1

1.76

1.42

1.47

0.37

0.67

0.04

0.44

1.07

0.37

0.1

τ_j -5 и τ_j +5. Этот временной интервал достаточно

мал и содержит только два цикла Раби. Максималь-

ный размах осцилляций u в течение цикла Раби от

-1 до 1 возможен только при точном резонансе. В

регулярной моде движения при значениях расстрой-

ки около Δ = 0.2 величина u изменяется в диапа-

зоне |δu| < 0.2. Следовательно, скачки величиной

|δu_j | > 0.2 происходят вблизи узловых линий и то-

чек. Отметим, что амплитуда скачка является псев-

дослучайной величиной и может быть малой (см.

таблицу).

Такое псевдослучайное поведение u в хаотиче-

ской моде движения можно объяснить следующим

образом. Так как u является синхронизированной

(с электрическим полем E) компонентой индуциро-

ванного электрического дипольного момента, ее ве-

личина стремится к нулю, когда атом приближается

к узлу, где E = 0. На рис. 5 видно, что амплитуда

скачков u варьируется от почти максимальных зна-

Рис. 5. Временная эволюция компоненты электрического

чений до сравнительно малых. Большинство скач-

дипольного момента атома u с траекторией на рис. 3а при

ков случается при пересечении узловых линий. В

Δ = 0.191 и ωr = 10-3. Крестики показывают моменты

этом случае график проходит через нули функции

времени, когда атом находится вблизи узлов двумерной

u. Иногда атом пролетает вблизи узла с E = 0, но не

стоячей световой волны

пересекает его. В этом случае u не обязательно до-

стигает нуля (см. скачки вблизи τ = 700 на рис. 5). В

изменения u на достаточно большие величины, до-

любом случае фундаментальной причиной хаотиче-

пускаемые законом сохранения длины вектора Бло-

ского блуждания атома в абсолютно детерминиро-

ха. Из закона сохранения энергии (6) следует, что

ванной двумерной ОР является скачкообразное по-

быстрые изменения величины u приводят к соответ-

ведение компоненты вектора Блоха u вблизи узлов

ствующим изменениям величины оптического по-

стоячей световой волны. Таким образом, взаимодей-

тенциала I ≡ u(τ)E(x, y), что, в свою очередь, при-

ствие внутренних и внешних степеней свободы ато-

водит к изменениям кинетической энергии атома K.

ма при определенных условиях порождает хаос как

Отметим, что последний член в интеграле движения

в трансляционном движении атомов, так и в осцил-

(6) — внутренняя энергия W ≡ (Δ/2)z(τ) — сравни-

ляциях Раби.

тельно мал при малых значениях расстройки.

Детальный расчет показывает, что большинство

4. ОБ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ

скачков u происходит, когда атом приближается к

НАБЛЮДЕНИИ ЭФФЕКТА

узлам стоячей волны. В таблице указаны моменты

ХАОТИЧЕСКОГО БЛУЖДАНИЯ АТОМОВ

времени τ_j, когда атом попадает в малую окрест-

ность (радиусом ϵ = 0.01 в безразмерных едини-

Во всех численных экспериментах в настоящей

цах) узловой линии или узловой точки, показанных

работе использовалось безразмерное значение час-

на рис. 1а. В таблице также приведены абсолютные

тоты отдачи атома ω_r = 10-3. Частота отдачи ва-

значения |δu_j | этих скачков, вычисленные как раз-

рьируется для разных атомов в широком диапазоне

ности значений u в моменты безразмерного времени

частот νr = 1-300 кГц [28]. Принимая типичные

464

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Хаотическое блуждание холодных атомов. . .

экспериментальные значения частоты Раби в диапа-

туациями, добавится хаотическая дисперсия, обу-

зоне Ω/2π ≈ 10⁶-10⁸ Гц, получим диапазон возмож-

словленная скачкообразным поведением u на узлах

ных безразмерных значений частоты отдачи ω_r =

стоячей волны.

= 10-5-10-1.

Загрузим в двумерную ОР облако из N = 10⁶

Мы пренебрегли спонтанным излучением во всех

невзаимодействующих атомов с гауссовым распре-

расчетах. Хаотическое поведение атомов начинает

делением по координатам и импульсам:

проявляться на временах τ ∼ 10², что соответствует

[

]

|x|²

|p_x|²

t ∼ 10-6-10-4 с при Ω ∼ 10⁶-10⁸ рад·с-1. Атомы

ρ(x, p_x) =

exp -

с долгоживущими оптическими переходами [29], на-

2πσ(x)σ(p_x)

2σ2x

2σ(p_x)²

[

]

(8)

пример, атом Ca с T_sp = 4.6 · 10-3 с (интеркомбина-

|y|²

|p_y|²

ρ(y, p_y) =

exp -

ционный переход 4¹S₀-4³P₁, ν_r = 11.5 кГц, ω_r =

2πσ(y)σ(p_y)

2σ2y

2σ(p_y)2

= 10-3 при Ω/2π = 10⁸ Гц), атом Mg со време-

нем спонтанного излучения T_sp = 0.4 · 10-3 с (пе-

где σ(x, y) = σ(p_x, p_y) = 2, u₀ = v₀ = 0, z₀ = -1,

реход 2¹S₀-2³P₁), метастабильные атомы He и Ne

ω_r = 10-3.

[28, 29], представляются подходящими кандидатами

На рис. 6a показано распределение атомов по ре-

для наблюдения эффекта хаотического блуждания

шетке в регулярном режиме движения в момент вре-

в оптических решетках, не замаскированного слу-

мени τ = 10³ для значения расстройки резонанса

чайными флуктуациями из-за спонтанного излуче-

Δ = -0.5, для которой максимальный показатель

ния.

Ляпунова λ равен нулю (см. рис. 2). В этом случае к

Что касается атомов с обычными значениями

указанному моменту времени атомы заселяют в ос-

времени спонтанного излучения T_sp ∼ 10-8-10-7 с,

новном ближайшие к центру ячейки ОР. К тому же

то в режиме хаотического блуждания скачкообраз-

моменту времени в хаотическом режиме движения

ное поведение компоненты вектора Блоха u на уз-

для Δ = 0.191 (λ = 0.0382) атомы заселяют значи-

лах стоячей волны дополняется скачками этой ве-

тельно большее число удаленных ячеек ОР (рис. 6б).

личины до нулевого значения в случайные моменты

На рис. 7 для тех же условий показаны распределе-

времени из-за актов спонтанного излучения, т. е. ак-

ния атомов в случае точного оптического резонанса

ты спонтанного излучения прерывают когерентную

(Δ = 0) и для слабого хаоса (Δ = 1, λ = 0.09). Как

эволюцию атома в случайные моменты времени. По-

следует из системы уравнений (3), в случае точного

сле излучения спонтанного фотона атом переходит

резонанса при u₀ = 0 оптический потенциал исче-

в основное состояние с компонентами вектора Блоха

зает и каждый атом сохраняет свой начальный им-

u₀ = v₀ = 0, z₀ = -1, а его импульс скачкообразно

пульс. Из этих численных экспериментов следует,

меняется на величину в диапазоне -1 ≤ δp ≤ 1.

что распределение атомов по решетке существенно

Такое стохастическое поведение атома накладыва-

зависит от величины расстройки резонанса. И этот

ется на его хаотическое блуждание, рассмотренное

факт можно использовать при проведении реальных

в данной работе. Проблема заключается в том, как

экспериментов.

обнаружить этот эффект на фоне неизбежных кван-

В реальном эксперименте расплывание атомно-

товых флуктуаций.

го облака с когерентной эволюцией сопровождается

Для обнаружения проявлений детерминирован-

расплыванием, обусловленным квантовыми флук-

ного хаоса в реальном эксперименте предлагает-

туациями. Однако вклад квантовых флуктуаций

ся провести две серии экспериментов с достаточно

примерно одинаков в экспериментах для незначи-

большим числом атомов порядка N = 10⁶ для двух

тельно различающихся значений расстройки резо-

значений расстройки резонанса — для такого значе-

нанса. Следовательно, обнаруженные различия в

ния Δ, при котором максимальный показатель Ля-

распределениях атомов по решетке в режимах ре-

пунова λ (см. рис. 2) равен нулю и теория предска-

гулярного и хаотического движений можно считать

зывает отсутствие хаотического блуждания атомов,

проявлением детерминированного хаоса в реальном

и для немного отличающегося значения Δ, при ко-

эксперименте.

тором λ > 0 и, следовательно, этот эффект должен

Для регистрации распределения атомов по ре-

быть. Фиксируя распределение атомов по решетке,

шетке можно использовать различные методы, в

можно ожидать, что во втором случае атомы рас-

частности абсорбционный метод изображения ато-

пределятся по значительно большей площади, чем

мов (absorption imaging [30, 31]), дающий информа-

в первом, так как к стохастической дисперсии ато-

цию о числе и пространственных параметрах атом-

мов, обусловленной случайными квантовыми флук-

ного облака. В этом методе после выключения ОР

465

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

С. В. Пранц

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Рис. 6. Распределения N = 10⁶ атомов на плоскости xy в момент времени τ = 10³: а — в режиме регулярного движения

(Δ = -0.5) и б — в режиме хаотического блуждания (Δ = 0.191). В обоих случаях ωr = 10-3. Координаты и импульсы

атомов в начальный момент времени распределены по Гауссу

Рис. 7. То же, что на рис. 6: а — в режиме регулярного баллистического движения (Δ = 0, λ = 0) и б — в режиме

слабого хаоса (Δ = 1, λ = 0.09). В обоих случаях ωr = 10-3. Координаты и импульсы атомов в начальный момент

времени распределены по Гауссу

атомное облако в ловушке облучается колимирован-

атомами, фиксируется CCD-камерой. Сканируя об-

ным лазерным пучком с частотой, близкой к частоте

лако через оптический резонанс, из серии изображе-

рабочего атомного перехода. «Тень», отбрасываемая

ний можно рассчитать оптическую плотность для

облаком в результате поглощения лазерного света

каждого пикселя и число атомов [30, 31].

466

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Хаотическое блуждание холодных атомов. . .

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

V. Letokhov, Laser Control of Atoms and Molecules,

Oxford Univ. Press, New York (2007).

Теоретически и численно изучалась простая мо-

A. P. Kazantsev, G. I. Surdutovich, and V. P. Yakov-

дель с двухуровневыми холодными атомами в дву-

lev, Mechanical Action of Light on Atoms, World Sci.,

мерной оптической решетке, созданной интерфери-

Singapore (1990).

рующими лазерными пучками. Существенным мо-

ментом является учет взаимодействия электрон-

Г. А. Аскарян, ЖЭТФ 42, 1567 (1962).

ных и трансляционных степеней свободы атома. В

В. С. Летохов, Письма в ЖЭТФ 7, 348 (1968).

полуклассическом приближении получена система

уравнений движения для компонент вектора Блоха,

G. Grynberg and C. Robilliard, Phys. Rep. 355, 335

координат и импульса одиночного атома, имеющая

(2001).

три степени свободы, два интеграла движения и два

G. Raithel and N. Morrow, Adv. At. Mol. Opt. Phys.

управляющих параметра — расстройку резонанса Δ

53, 187 (2006).

и частоту отдачи ω_r. С помощью максимального по-

казателя Ляпунова был найден диапазон значений

M. Greiner and S. Folling, Nature 435, 736 (2008).

Δ, для которого поведение атома является хаотиче-

A. Hemmerich, D. Schropp, Jr., and T. W. Hansch,

ским. Детерминированный гамильтонов хаос возни-

Phys. Rev. A 44, 1910 (1991).

кает при сравнительно малых значениях расстройки

Δ и проявляется как во внутренних, так и во внеш-

10.

M.G. Raizen, Adv. At. Mol. Opt. Phys. 41, 43 (1999).

них степенях свободы атома в виде хаотических ос-

11.

W. K. Hensinger, N. R. Heckenberg, G. J. Milburn,

цилляций Раби и хаотического блуждания атома по

and H. Rubinsztein-Dunlop, J. Opt. B 5, 83 (2003).

решетке.

Первопричиной возникновения хаоса является

12.

M. Sadgrove, S. Wimberger, S. Parkins, and R. Le-

скачкообразное поведение синхронизированной ком-

onhardt, Phys. Rev. Lett. 94, 174103 (2005).

поненты электрического дипольного момента атома

13.

R. Graham, M. Schlautmann, and P. Zoller, Phys.

при приближении его к узлам стоячей световой вол-

Rev. A 45, R19 (1992).

ны. Такое поведение приводит к псевдослучайным

изменениям атомного импульса и, в конечном сче-

14.

S. V. Prants, Phys. Scr. 92, 044002 (2017).

те, к хаотическому блужданию атомов в абсолютно

15.

Л. Е. Коньков, С. В. Пранц, Письма в ЖЭТФ 65,

жесткой ОР. Регулируя расстройку резонанса, мож-

801 (1997).

но изменять режим движения атома от регулярного

к хаотическому и наоборот, обеспечивая таким обра-

16.

С. В. Пранц, Л. Е. Коньков, Письма в ЖЭТФ 73,

зом возможность наблюдать некоторые проявления

200 (2001).

хаоса с холодными атомами в реальном эксперимен-

17.

В. Ю. Аргонов, Л. Е. Коньков, ЖЭТФ 123, 946

те.

(2003).

Благодарности. Автор благодарен Л. Е. Конь-

18.

S. V. Prants, M. Yu. Uleysky, and V. Yu. Argonov,

Phys. Rev. A 73, 023807 (2006).

кову и А. А. Дидову за помощью в подготовке неко-

торых рисунков.

19.

V. Yu. Argonov and S. V. Prants, Phys. Rev. A 75,

Финансирование. Работа выполнена в рам-

063428 (2007).

ках государственного задания Тихоокеанского

20.

V. Yu. Argonov and S. V. Prants, Phys. Rev. A 78,

океанологического института Дальневосточного

043413 (2008).

отделения Российской академии наук (проект

№0271-2019-0001).

21.

В. О. Витковский, С. В. Пранц, Опт. и спектр.

114(1), 57 (2013).

22.

С. В. Пранц, Письма в ЖЭТФ 104, 769 (2016).

ЛИТЕРАТУРА

23.

D. Hennequin and D. Verkerk, Eur. Phys. J. D 57,

95 (2010).

1. V. G. Minogin and V. S. Letokhov, Laser Light Pres-

sure on Atoms, Gordon and Breach Sci. Publ., New

24.

E. Horsley, S. Koppell, and L. Reichl, Phys. Rev.

York (1987).

E 89, 012917 (2014).

467