ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 515-519

ВЫПРЯМЛЕНИЕ ТОКА В КИРАЛЬНЫХ УГЛЕРОДНЫХ

НАНОТРУБКАХ ПРИ ИНЖЕКЦИИ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ

С. С. Абукариa*, Р. Муса^b, М. Амекпеву^b, С. И. Менса^a,

Н. Г. Менса^c, Р. Эдзиа^a, К. В. Аду^d,e

^a Department of Physics, Laser and Fibre Optics Centre, University of Cape Coast

00233, Cape Coast, Ghana

^b Department of Applied Physics, University for Development Studies

P.O.Box 24, Navrongo, Ghana

^c Department of Mathematics, University of Cape Coast

00233, Cape Coast, Ghana

^d Department of Physics, The Pennsylvania State University

16601, Altoona, USA

^e Materials Research Institute, The Pennsylvania State University

16802, University Park, USA

Поступила в редакцию 26 ноября 2019 г.,

после переработки 8 февраля 2020 г.

Принята к публикации 5 марта 2020 г.

(Перевод с английского)

RECTIFICATION IN CHIRAL CARBON NANOTUBES

WITH HOT ELECTRON INJECTION

S. S. Abukari, R. Musah, M. Amekpewu, S. Y. Mensah, N. G. Mensah, R. Edziah, K. W. Adu

Используя квазиклассическое кинетическое уравнение Больцмана с постоянным временем релаксации,

теоретически исследован новый эффект генерации постоянного тока в углеродных нанотрубках при ин-

жекции горячих электронов, возникающий вследствие облучения электромагнитными волнами соизмери-

мой частоты. Рассмотрено влияние нелинейности вольт-амперных характеристик и киральности. Отме-

тим, что выпрямление тока происходит вследствие сильной непараболичности энергетического спектра

углеродных нанотрубок в режиме блоховских осцилляций. Показано, что в полученном новом выраже-

нии для генерируемого выпрямленного тока имеется сильная зависимость от интенсивности инжекции

горячих электронов, что вызывает осциллирующее поведение и смещение областей с абсолютной отри-

цательной проводимостью в сторону больших значений безразмерной амплитуды β с ростом интенсив-

ности инжекции. Предсказано, что углеродные нанотрубки с инжекцией горячих электронов могут быть

использованы для генерации постоянного тока.

DOI: 10.31857/S0044451020090102

(УН) подробно изучались в работах [1-5]. Осцилли-

рующие электрические свойства УН в относительно

1. ВВЕДЕНИЕ

слабых полях обусловлены присущей им нелинейно-

Динамика электронов и нелинейные эффекты

стью, которая вызвана сильной непараболичностью

электронной проводимости углеродных нанотрубок

закона дисперсии [1-5], что приводит к наблюдению

нелинейных явлений [1-5]. К интересным динамиче-

^* E-mail: sulemana70@gmail.com

515

С. С. Абукари, Р. Муса, М. Амекпеву и др.

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

ским эффектам, которые наблюдались и детально

тегралы перекрытия, отвечающие прыжкам вдоль

изучались в электрически смещенных УН, относят-

соответствующих осей координат, p_ξ и p_γ — соот-

ся осцилляции Блоха, самопроизвольная прозрач-

ветственно тангенциальная и продольная по отно-

ность, отрицательная дифференциальная проводи-

шению к базовой спирали нанотрубки компоненты

мость, абсолютная отрицательная проводимость [1-

импульса, ℏ — постоянная Планка, d_ξ и d_γ — рассто-

5] и др. Кроме того, в фокусе теоретических ис-

яния соответственно вдоль спирали и оси.

следований находится сильная нелинейная динами-

С помощью разложения ε(p) в ряд Фурье, с уче-

ка, включая перенос электронов в нелинейной сре-

том периодичности этой функции в пространстве

де под воздействием электромагнитного излучения

квазиимпульсов получается следующее выражение

[5-10]. В объемных полупроводниках эффект гене-

для компоненты квазиклассической скорости элек-

рации на постоянном токе наблюдается при смеши-

трона v(p_μ) [1-4]:

вании волн микроволнового диапазона [8, 9]. Как

∑

∂ε(p)

следует из работ [5-10], предсказание эффекта гене-

v(p_μ) =

iκε(k, p)eiκϕμ ,

(2)

∂p

рации на постоянном токе основано на теории вол-

κ=-1

нового смешивания с решением уравнения Больц-

где ε(k, p) — коэффициент разложения Фурье, ϕ_μ =

мана в терагерцевом диапазоне длин волн. Недав-

= p_μd_μ/, κ — целое число, а индекс μ = ξ, γ применя-

но эффекты выпрямления были исследованы в УН,

ется для обозначения соответственно оси цилиндра

облучаемых электромагнитными волнами соизмери-

и базовой спирали.

мых частот [5]. Эффект выпрямления возникает, ко-

Движение квазичастиц в присутствии внешнего

гда когерентные электромагнитные волны соизме-

поля в УН с источником горячих электронов S(p)

римых частот поглощаются нелинейной средой, и в

можно описать в рамках квазиклассического урав-

результате имеется статическое (нулевой частоты)

нения Больцмана с постоянным временем релакса-

электрическое поле, зависящее от амплитуд, частот

ции τ, которому удовлетворяет зависящая от вре-

и фаз поглощаемых волн [6-10]. В частности, вызы-

мени функция распределения f(p, t), определяющая

вают интерес исследования инжекции горячих элек-

макроскопические усредненные состояния электро-

тронов в УН [12-14]. Динамика инжекции горячих

нов [11-14]:

электронов в УН активно исследовалась в работах

∂f(p)

f (p) - F (p)

[12-14]. Инжекция горячих электронов в электриче-

+ eE(t)

+ S(p),

(3)

∂t

∂p

ски смещенных УН приводит к множеству нелиней-

где

ных эффектов [12-14]. Однако, насколько нам из-

вестно, до сих пор не было работ, в которых наблю-

S(p) = Qδ(p - p^′) -

f (p) -

F (p).

(4)

далась бы генерация постоянного тока в УН с ин-

n₀

жекцией горячих электронов. Целью нашей работы

Здесь f(p, t) — функция распределения, F(p) —

является исследование влияния инжекции горячих

равновесная функция распределения, p — импульс

электронов в минизоны на генерацию постоянного

электрона, τ = ν-1 — время релаксации электронов,

тока в УН, облучаемых электромагнитными волна-

e — заряд электрона. Интеграл столкновений запи-

ми соизмеримых частот.

сывается в τ-приближении и в дальнейшем счита-

ется константой, Q/n₀ — частота накачки горячих

2. ТЕОРИЯ

электронов, Q — скорость инжектирования горячих

электронов, p^′ — инжектируемый импульс.

Для описания динамики носителей заряда в ки-

В присутствии источника горячих электронов

ральных УН мы придерживаемся подхода, принято-

уравнение (3) удовлетворяет следующему решению:

го в работах [1-11]. Мы рассматриваем электронный

транспорт в квазиклассическом приближении в рам-

∫

(

[

]

)

ках кинетического уравнения Больцмана с постоян-

f (p, t) = exp

- v+

t^′ dt^′ ×

n₀

ным временем релаксации. Электронный спектр в

{[

]

минизоне киральной УН в стандартном приближе-

(

)

нии сильной связи записывается в виде [1-4]

× v+

F p+

[A(t) - A(t - t^′)]

n₀

(

)

p_ξd_ξ

p_γd_γ

ε(p) = ε₀ - Δ_ξ cos

- Δ_γ cos

(1)

+ Qδ p +

[A(t) - A(t - t^′)] - p^′

ℏ

(

)}

где ε₀ — энергия электрона на внешней оболочке

−

F p+

[A(t) - A(t - t^′)]

(5)

в изолированном атоме углерода, Δ_ξ и Δ_γ — ин-

n₀

516

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Выпрямление тока в киральных углеродных нанотрубках. . .

Согласно работам [1-4], потоки электронов вдоль

Для нахождения изотропной проводимости, сле-

оси цилиндра и базовой спирали даются следующи-

дуя результатам работ [1-4], мы выбираем парамет-

ми выражениями соответственно:

ры ϕ_μ и Δ_μ для перехода от киральных УН к мо-

∫∫

нослойной пленке графита, в этом случае уравнение

Π_ξ =

v_ξ(p_ξ)f(p, t)dp_ξdp_γ,

(6a)

(8) имеет вид

(2πℏ)²

∫∫

j_ξ = Π_ξ(1 + sin² θ_h),

(9a)

Π_γ =

v_γ(p_γ)f(p, t)dp_ξdp_γ.

(6b)

(2πℏ)²

j_γ = Π_γ sinθ_h cosθ_h,

(9b)

В этих выражениях интегрирование выполняется в

где

пределах первой зоны Бриллюэна.

Зная оба потока, можно записать выражения для

Π_ξ = j0ξE2ξ cos(ϕ)χ_ξ,

(10a)

аксиальной и круговой компонент плотности тока в

Π_γ = j0γE2γ cos(ϕ)χ_γ.

(10b)

виде [1-4]

j_ξ = Π_ξ + Π_γ sinθ_h,

(7a)

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

j_γ = Π_γ cosθ_h,

(7b)

Обсудим генерацию постоянного тока в кираль-

ных УН, возникающую благодаря инжекции горя-

где θ_h — киральный угол.

чих электронов и смешиванию облучающих коге-

Используя соотношение

рентных электромагнитных волн соизмеримых час-

тот (ω₁

= Ω, ω₂

= 2Ω). Объяснение этого эф-

E(t) = E₁ cos(ω₁t) + E₂ cos(ω₂t + ϕ),

фекта основано на непараболичности энергетиче-

ских зон и электронных свойствах, которыми об-

где ω₁ = Ω и ω₂ = 2Ω, ω₂ = 2Ω, и подставляя урав-

нения (2) и (5) в уравнение (6), после выполнения

ладают киральные УН. Исследование нелинейнос-

ти выражений (9a) и (9b) выполнено с примене-

замены p → p - eEd_i мы получаем следующие вы-

ражения для плотности постоянного тока на основе

нием нормированной плотности постоянного тока

(j_μ/j₀) как функции безразмерной амплитуды β1μ =

уравнений (7a), (7b):

= eE1μd_μ/ℏω.

j_ξ = j0ξE2ξ cos(ϕ)χ_ξ + j0γE2γ cos(ϕ)χ_γ sin² θ_h, (8a)

Построены вольт-амперные характеристики, по-

лученные на основе уравнений (9a) и (9b), для осе-

j_γ = j0γE2γ cos(ϕ)χ_γ sinθ_h cosθ_h.

(8b)

вой (рис. 1а) и круговой (рис. 1б) частей нормиро-

Здесь

ванной плотности тока. Показано, что в случае силь-

ного рассеяния (ωτ ≪ 1) абсолютная отрицатель-

∑

ная дифференциальная проводимость (ОДП) возни-

κJ_κ(β_μ)Jκ-2(β_μ)

χ_μ =

кает при больших значениях безразмерной ампли-

1 + 2ητ + (ητ)² + (κΩτ)²

κ=-∞

⎡

⎛ (

)

⎞⎤

туды (β1μ). В случае слабого рассеяния (ωτ ≫ 1)

пики нормированного постоянного тока монотонно

⎢

⎜I0

⎟⎥

⎢

⎜

⎟⎥

уменьшаются и сдвигаются в сторону меньших зна-

+ ητ

)e-iκϕμ +1

⎣¹

⎝ (

⎠⎦

Δ_ξ

чений β1μ. Отметим, что плотность постоянного то-

I₁

ка демонстрирует хорошо выраженные осцилляции,

что согласуется с эффектом генерации.

)

⁽Δ

На рис. 2 показаны зависимости нормированной

I₁

p_μd_μ

n₀eΔ_μd_μ

плотности постоянного тока от β1μ при разных ско-

ϕ_μ =

j0μ =

ℏ

⁽Δ_μ)

ростях инжекции. В случае малых скоростей инжек-

I₀

ции плотность постоянного тока сначала уменьша-

ется, а потом растет, демонстрируя ОДП при малых

eE1μd_μ

η=

β_μ =

значениях β1μ. При достаточно большой скорости

n₀

ℏω

инжекции плотность постоянного тока, характери-

μ = ξ,γ обозначает соответственно ось цилиндра и

зующая эффект выпрямления, проявляет выражен-

базовую спираль, I₁ — модифицированная функция

ные осцилляции и ОДП смещается в сторону боль-

Бесселя первого порядка, I₀ — модифицированная

ших значений β1μ. Мы установили, что плотность

функция Бесселя нулевого порядка.

аксиального постоянного тока в областях ОДП в

517

С. С. Абукари, Р. Муса, М. Амекпеву и др.

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Рис. 1. Зависимости нормированной плотности постоянного тока (jμ/j0) от нормированной амплитуды переменного

сигнала (β) для аксиальной (а) и кольцевой (б) компонент при η = 0.072, ϕ = 0.9π, Ωτ = 0.3 и различных значениях ωτ

Рис. 2. Зависимости нормированной плотности постоянного тока (jμ/j0) от нормированной амплитуды переменного

сигнала (β) для аксиальной (а) и кольцевой (б) компонент при ϕ = 0.9π, ωτ = 2.0 и различных значениях η

углеродных нанотрубках существенно превосходит

ное новое выражение для генерации постоянного то-

аналогичную величину кольцевого тока.

ка зависит от скорости инжекции горячих электро-

Итак, мы получили выражение, описывающее ге-

нов, что приводит к сильно выраженным осцилля-

нерацию постоянного тока, в рамках упрощенной

циям тока, а также к сдвигу областей абсолютной

модели сильной связи и квазиклассического кине-

отрицательной проводимости от малых к большим

тического уравнения переноса Больцмана в прибли-

значениям β с ростом скорости инжекции. Для того

жении постоянного времени релаксации. Получен-

чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы сравни-

518

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Выпрямление тока в киральных углеродных нанотрубках. . .

ли поведение постоянного тока при разных скорос-

5. S. S. Abukari, K. W. Adu, S. Y. Mensah, N. G. Men-

тях инжекции и обнаружили изменение характера

sah, M. Rabiu, A. Twum, M. Amekpewu, and

блоховских осцилляций, а также сдвиг областей аб-

K. A. Dompreh, Eur. Phys. J. B 86, 106 (2013).

солютной отрицательной проводимости от малых к

6. Yu. K. Pozhela and H. J. Karlin, Proc. IEEE 53, 1788

большим значениям β с ростом скорости инжекции.

(1965).

Наш анализ показывает, что углеродные нанотруб-

ки с инжекцией горячих электронов могут служить

7. W. Schneider and K. Seeger, Appl. Phys. Lett. 8, 133

(1966).

для генерации постоянного тока.

8. K. N. Alekseev and F. V. Kusmartsev, Phys. Lett.

A 305, 281 (2002).

ЛИТЕРАТУРА

9. K. N. Alekseev, M. V. Erementchouk, and F. V. Kus-

marttsev, Europhys. Lett. 47, 595 (1999).

1. G. Ya. Slepyan, S. A. Maksimenko, V. P. Kalosha,

10. S. Y. Mensah, G. M. Shmelev, and E. M. Epshtein,

A. V. Gusakov, and J. Herrmann, Phys. Rev. A 63,

Izv. Vuzov, Fizika 6, 112 (1988).

053808 (2001).

11. D. A. Ryndyk, N. V. Demarina, J. Keller, and

E. Schomburg, Phys. Rev. B 67, 033305 (2003).

2. G. Ya. Slepyan, S. A. Maksimenko, A. Lakhtakia,

O. M. Yevtushenko, and A. V. Gusakov, Phys. Rev.

12. M. Amekpewu, S. Y. Mensah, M. Rabiu, N. G. Men-

B 57, 9485 (1998).

sah, S. S. Abukari, and K. A. Dompreh, Physica

B 488, 83 (2016).

3. G. Ya. Slepyan, S. A. Maksimenko, A. Lakhtakia,

13. M. Amekpewu, S. Y. Mensah, M. Rabiu, N. G. Men-

O. M. Yevtushenko, and A. V. Gusakov, Phys. Rev.

sah, S. S. Abukari, and K. A. Dompreh, Physica E 81,

B 60, 17136 (1999).

145 (2016).

14. M. Amekpewu, S. S. Abukari, K. W. Adu, S. Y. Men-

4. O. M. Yevtushenko, Phys. Rev. Lett. 79, 1102 (1997).

sah, and N. G. Mensah, Eur. Phys. J. B 88, 43 (2016).

519