ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 520-528

КУМУЛЯНТНОЕ t-РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ

СИЛЬНОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ НА РЕШЕТКЕ

A. K. Журавлев^*

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 17 марта 2020 г.,

после переработки 13 апреля 2020 г.

Принята к публикации 14 апреля 2020 г.

Систематическая непертурбативная схема вычисления энергии основного состояния адаптирована для

исследования систем сильнокоррелированных электронов на решетке. Она включает в себя метод вы-

числения кумулянтов гамильтониана и использующий t-разложение способ построения по ним после-

довательных приближений к энергии основного состояния. Схема применена к моделям бесспиновых

фермионов и Хаббарда, и предложен способ преодоления проблем, обнаруженных при предыдущих по-

пытках использовать ее для исследования модели Хаббарда.

DOI: 10.31857/S0044451020090114

На этом фоне сохраняется определенный инте-

рес к построению регулярных разложений [6], при-

тягательной особенностью которых является отно-

1. ВВЕДЕНИЕ

сительная простота вычисления их членов. К со-

жалению, разложение по степеням константы связи

Проблема изучения свойств квантовых систем с

обычно дает расходящийся ряд [7]. Но существуют

сильным взаимодействием между электронами яв-

и другие регулярные методы: хорошо известно, на-

ляется одной из самых сложных в теоретической

пример, высокотемпературное разложение в стати-

физике конденсированного состояния. Как прави-

стической физике [8]. Менее известно так называе-

ло, аналитических методов исследования здесь ока-

мое t-разложение [9], которое мы сейчас кратко из-

зывается недостаточно, и приходится прибегать к

ложим. Пусть даны гамильтониан

Ĥ и нормирован-

численным. Но и при этом возникают серьезные

ное на единицу затравочное состояние |φ₀〉. Введем

сложности. Прямая точная диагонализация натал-

вспомогательную функцию

кивается на проблему экспоненциального роста раз-

мерности гильбертова пространства с ростом раз-

〈φ₀|

Ĥe^-Ĥt|φ₀〉

E(t) =

(1)

мера системы и поэтому ограничена лишь малы-

〈φ₀|e^-Ĥt|φ₀〉

ми кластерами даже при использовании алгорит-

ма Ланцоша [1]. Квантовый метод Монте-Карло [2]

Тогда, если состояние |φ₀〉 имеет ненулевое перекры-

может быть применен для систем большего разме-

тие с основным состоянием |ψ₀〉, то для энергии ос-

новного состояния E₀ справедливо

ра, однако для фермионов при низких температу-

рах его точность невелика из-за так называемой

E₀ = lim E(t) .

(2)

проблемы знака [3]. Изощренная методика диагона-

t→∞

лизации с отбрасыванием высокоэнергетических со-

Определим моменты

стояний — ренормализационная группа с матрицей

плотности (DMRG) [4] — дает прекрасные резуль-

μ_m = 〈φ₀|

Ĥ^m|φ₀〉

(3)

таты для энергии основного состояния одномерных

фермиевских систем, но сталкивается с трудностя-

(m = 0, 1, 2, . . . ) и кумулянты [10]

ми при применении к двух- и трехмерным [5].

(

)

∑

Im+1 = μm+1 -

Ip+1μm-p

(4)

E-mail: zhuravlev@imp.uran.ru

p=0

520

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Кумулянтное t-разложение для сильнокоррелированных электронов. ..

(во избежание недоразумений отметим, что в рабо-

= -〈φ₀|

Ĥ²|φ₀〉 + 〈φ₀|

Ĥ|φ₀〉² < 0,

(8)

тах [6, 11, 12] величины I_m были названы связанны-

ми моментами (connected moments)). Тогда функ-

и то, что dE(t)/dt → 0 при t → ∞.

цию (1) можно записать [9] в виде степенного ряда

В работах [9,11,12] предложены несколько спосо-

по параметру t:

бов вычисления предела (2) с использованием дан-

ной информации. Очевидная идея применить диа-

∑

Im+1

E(t) =

(-t)^m .

(5)

гональную аппроксимацию Паде для E(t), т. е. за-

m=0

менить эту функцию отношением полиномов одина-

ковых степеней, оказывается малоудовлетворитель-

Для нахождения энергии основного состояния

ной: здесь функция хорошо приближается в некото-

многоэлектронной системы нужно, во-первых, вы-

рой области с началом в t = 0, размер которой рас-

числить несколько первых кумулянтов I_m и, во-вто-

тет с ростом порядка аппроксиманта, но за предела-

рых, оценить по ним значение предела (2). В данной

ми этой области (где и находится нужная там точ-

работе представлен вариант достижения обеих ука-

ка t = ∞) точность приближения низкая. Гораздо

занных целей для моделей бесспиновых фермионов

более точные результаты получаются, если делать

и Хаббарда как типичных примеров систем сильно-

аппроксимацию Паде не для самой функции E(t), а

коррелированных электронов на решетке.

для ее производной E^′(t) ≡ dE(t)/dt [9], поскольку

для этой функции мы знаем ее значение на беско-

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КУМУЛЯНТОВ

нечности, E^′(∞) = 0. При этом искомую энергию

основного состояния E₀ можно получить из выра-

Привлекательной особенностью применения дан-

жения

ной методики к изучению систем электронов являет-

∞

∫

ся возможность относительно дешевого вычисления

E^′(t)dt = E(∞) - E(0) = E₀ - I₁ .

(9)

кумулянтов (без экспоненциального роста требова-

ний к компьютерным ресурсам с ростом размера си-

стемы) для затравочных векторов специального ви-

Остается лишь найти удовлетворительный способ

да. Если затравочный вектор |φ₀〉 имеет вид

интерполяции функции E^′(t) между ее известными

∏

значениями E^′(0) = -I₂ и E^′(∞) = 0. Взяв E^′(t)

|φ₀〉 =

c^†i|vac〉

(6)

в виде паде-аппроксимации [L/M], т. е. отношения

полиномов степеней L и M, получаем окончатель-

(c^†i — оператор рождения электронов, |vac〉 — состо-

ную формулу метода D-Паде (термин взят из рабо-

ты [12]):

яние без электронов), то многооператорные средние,

∞

∫

входящие в выражение (3), можно вычислить, ис-

P_L(t)

пользуя известную технику спариваний, подробное

EDP[L/M]0 = I₁ +

dt.

(10)

Q_M(t)

описание которой можно увидеть, например, в при-

мечании переводчика к гл. 2 книги [13].

Для того чтобы интеграл в (10) не был бесконеч-

Кроме того, кумулянты в данном случае можно

ным, мы должны использовать для E^′(t) только ап-

вычислять не только по формуле (4), но и по более

проксиманты, в которых M ≥ L+2. Таким образом,

удобной:

последовательность приближений будет начинаться

I_n = 〈φ₀|

Ĥⁿ|φ₀〉_c ,

(7)

членом EDP[0/2]0, для которого можно вывести яв-

где индекс «c» означает, что при спаривании оста-

ную формулу:

ются только связанные слагаемые, т. е. те, в которых

нет групп операторов

^Ĥ, не соединенных между со-

2I²²

EDP[0/2]0 = I₁ -

√

бой спаривательными линиями [14].

3I²³ - 2I₂I₄

(

)

I₃

- arctg

√

(11)

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА E(t → ∞)

3I²³ - 2I₂I₄

В реальной ситуации о функции E(t) известно

Поскольку функция E^′(t) всегда отрицательна, сле-

следующее: первые несколько членов ее разложения

дует контролировать выполнение этого условия при

в ряд по t; то, что она является монотонно убываю-

построении для нее паде-аппроксиманта. Если он

щей, так как

имеет полюс, то интеграл (10) можно вычислить в

521

A. K. Журавлев

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

смысле главного значения, но к достоверности по-

от характера спектра собственных значений гамиль-

лученного результата следует относиться осторож-

тониана

^Ĥ. Рассмотрев два предельных случая, по-

но; если же он меняет знак, обращаясь в нуль при

лучаем, что

некотором t₀, то имеет смысл брать интеграл (10) в

1) E^′(t) ∝ -1/t² для непрерывного спектра с посто-

пределах [0;t₀].

янной плотностью состояний ρ(E);

Несколько позже [11,15] было предложено искать

2) E^′(t) ∝ -e-Δt для дискретного спектра, в кото-

E(t) в виде суммы затухающих экспонент:

ром Δ — щель между основным и первым возбуж-

∑

денным состояниями.

E(t) = E₀ + A_j exp(-b_jt) ,

(12)

Поскольку в СМХ-методе функции E(t) и E^′(t)

имеют вид суммы затухающих экспонент, естествен-

что приводит к следующей последовательности при-

но ожидать, что этот метод можно успешно приме-

ближений для энергии основного состояния, называ-

нять во втором случае. Поэтому и не было проблем

емой разложением по связным моментам (connected-

для молекулы водорода [11], поскольку ее спектр

moments expansion, CMX) [15]:

дискретен. Аналогичная ситуация должна иметь

место для решеточных моделей в диэлектрической

(

)

ECMX(n)

=I₁ - I₂ ... I_n

фазе с большой щелью Δ.

⎛

⎞

-1 ⎛

⎞

I₃

In+1

I₂

⎜

⎟

⎜

⎟

4. РАСЧЕТЫ ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ

⎜

⎟

⎜

⎟

(13)

⎝

⎠

⎝

⎠ .

МОДЕЛЕЙ

In+1

I2n-1

Для того чтобы прояснить сильные и слабые

Данная формула применима только при выполне-

стороны описанной методики, применим ее к двум

нии условия Re(b_j )>0 (изящный способ определе-

многоэлектронным моделям, для которых известны

ния коэффициентов b_j изложен в работе [16]). Ме-

точные решения.

тод СМХ был с успехом протестирован на задаче

вычисления энергии основного состояния молекулы

4.1. Модель бесспиновых фермионов

водорода [11]. Однако при попытках применить его

Одномерная модель бесспиновых фермионов,

к решеточным многоэлектронным моделям возник-

ли проблемы: при некоторых значениях парамет-

Ĥ= Ŵ₊

V ,

ров моделей выражение (13) становилось сингуляр-

∑

ным [17-19].

Ŵ = -w c^†ici+1 + c†i+1c_i,

(16)

Для лучшего понимания условий применимости

∑

СМХ-метода разложим затравочное состояние |φ₀〉

V =v n_ini+1

по собственным состояниям гамильтониана,

∑

(i — номер узла в цепочке), при половинном запол-

|φ₀〉 =

a_n|ψ_n〉,

(14)

нении эквивалентна точно решаемой XXZ-модели

n=0

со спином 1/2 [20]. При v = 2w здесь имеет место

переход металл-диэлектрик с образованием щели Δ

Ĥ |ψ_n〉 = E_n|ψ_n〉. Тогда функцию E(t) можно пе-

между основным и первым возбужденным состоя-

реписать в виде

ниями, растущей с ростом v.

∫

Возьмем в качестве затравочного вектор, в кото-

Ee^-Etρ(E)dE

ром фермионы и дырки чередуются:

E(t) =E0

(15)

|φ₀〉 = | • ◦ • ◦ • ◦ . . . • ◦〉.

∫

e^-Etρ(E)dE

Покажем, как с помощью техники спариваний мож-

но вычислить кумулянт I₂. Поскольку

V |φ₀〉 = 0,

входящие в 〈φ₀|

Ĥ²|φ₀〉 слагаемые, начинающиеся

где

∑

или оканчивающиеся оператором

V , будут автома-

ρ(E) =

|a_n|²δ(E - E_n).

тически равны нулю, следовательно,

Дифференцируя функцию (15), легко убедиться,

I₂ = 〈φ₀|

Ŵ Ŵ|φ0〉_c.

что асимптотика функции E^′(t) при t → ∞ зависит

522

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Кумулянтное t-разложение для сильнокоррелированных электронов. ..

Введя обозначение 〈. . .〉₀ ≡ 〈φ₀| . . . |φ₀〉, получаем

выполнена с помощью систем компьютерной алгеб-

ры) получены несколько первых кумулянтов:

∑

I₁ = 0, I₂ = w²N, I₃ = w²vN,

I₂ = w²

〈c^†ici+1c^†jcj+1〉₀ + 〈c†i+1c_ic^†jcj+1〉₀ +

I₄ = (-6w⁴ + w²v²)N,

ij=1

I₅ = (-28w⁴v + w²v³)N,

+ 〈c^†ici+1c†j+1c_j 〉₀ + 〈c†i+1c_ic†j+1c_j 〉₀ =

I₆ = (160w⁶ - 86w⁴v² + w²v⁴)N,

∑

(18)

=w²

〈c^†ic_i〉₀〈ci+1c†i-1〉₀ + 〈c†i+1ci+1〉₀〈c_ic^†i〉₀ +

I₇ = (1704w⁶v - 220w⁴v³ + w²v⁵)N,

i=1

I₈ = (-9520w⁸+10736w⁶v²-510w⁴v⁴+w²v⁶)N,

+ 〈c^†ic_i〉₀〈ci+1c†i+1〉₀ + 〈c†i+1ci+1〉₀〈c_ic†i+2〉₀ =

I₉ = (-181184w⁸v + 52464w⁶v³ - 1116w⁴v⁵ +

= w²(0 + N/2 + N/2 + 0) = w²N,

(17)

+ w²v⁷)N.

По этим данным можно явно выписать несколь-

где N — число узлов в цепочке. Аналогичным об-

ко первых членов СМХ-последовательности прибли-

разом (часть громоздких аналитических выкладок

жений:

ECMX(2)0 = -w

N ,

4w²v

ECMX(3)0 = -

N ,

9w² + 4v²

(19)

ECMX(4)0 = -(961w4 +598w2v² +5v4)^w

N ,

(2074w⁴ + 603w²v² + 5v⁴)v

(3513324w⁶ + 1493413w⁴v² + 31982w²v⁴ - 1195v⁶)w²v

ECMX(5)0 = -

N ,

3880900w⁸ + 6189496w⁶v² + 1523990w⁴v⁴ + 30787w²v⁶ - 1195v⁸

∑(

)

причем формула для ECMX(5)0 недействительна при

Ĥ₌ -w

c^†iσci+1σ + c^†

c_iσ

i+1σ

3.92w < v < 7.23w, так как на этом интервале для

iσ

∑

некоторых b_j из (12) Re(b_j ) < 0. Результаты вы-

+U n_i↑n_i↓.

(20)

числений по методу D-Паде представлены в табл. 1

(здесь и далее в таблицах индекс «p» означает, что

В случае половинного заполнения точный результат

аппроксимация Паде для E^′(t) имеет полюс, поэто-

тоже известен [21].

му интеграл (10) был вычислен в смысле главно-

Если в качестве затравочного взять неелевское

го значения), куда для наглядности добавлены и

состояние

СМХ-результаты. При v ≫ w мы видим прекрас-

ную сходимость СМХ-последовательности к точно-

|φ₀〉 = | ↑↓↑↓↑↓ . . . ↑↓〉,

му значению энергии основного состояния (это пол-

то первые кумулянты таковы:

ностью согласуется с высказанным в конце преды-

дущего раздела предположением, что СМХ дает хо-

I₁ = 0, I₂ = 2w²N, I₃ = 2w²UN,

рошие результаты там, где щель Δ велика). После-

I₄ = (-12w⁴ + 2w²U²)N,

довательности EDP[0/M]0, EDP[1/M]0 и EDP[2/M]0 так-

I₅ = (-64w⁴U + 2w²U³)N,

же выглядят сходящимися, хотя и несколько мед-

I₆ = (320w⁶ - 204w⁴U² + 2w²U⁴)N,

леннее, чем СМХ-последовательность. При v ≲ w

ситуация обратная: в то время как D-Паде-аппрок-

I₇ = (4352w⁶U - 528w⁴U³ + 2w²U⁵)N,

(21)

симация дает оценки, близкие к точному решению,

I₈ = (-19040w⁸ + 29760w⁶U² -

CMX-метод имеет низкую точность при v ∼ w, а

- 1228w⁴U⁴ + 2w²U⁶)N,

члены ECMX(2)0 и ECMX(4)0 даже становятся сингу-

I₉ = (-507904w⁸U + 150144w⁶U³ -

лярными при v = 0.

- 2688w⁴U⁵ + 2w²U⁷)N.

4.2. Модель Хаббарда с неелевским

затравочным состоянием

Этих данных достаточно, чтобы построить следую-

Для одномерной модели Хаббарда имеем

щие СМХ-приближения:

523

A. K. Журавлев

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Таблица 1. D-Паде- и СМХ-приближения для плотности энергии основного состояния, E0/Nw, одномерной по-

лузаполненной модели бесспиновых фермионов

v/w

DP[0/2]

-0.721247

-0.553574

-0.290259

-0.153778

-0.078116

DP[0/3]

-0.579406

-0.422301

-0.215831

-0.113986

-0.057867

DP[0/4]

-0.493703

-0.379567

-0.198060

-0.104281

-0.052850

DP[0/5]

-0.496992^p

-0.379567

-0.193261

-0.101028

-0.051103

DP[0/6]

-0.490726

-0.382435^p

-0.191984

-0.099799

-0.050408

DP[0/7]

-0.496432^p

-0.382357^p

-0.192132^p

-0.099320

-0.050113

DP[1/3]

-0.839345^p

-0.490529^p

-0.113804

-0.053285

-0.024481

DP[1/4]

-0.496571

-0.379567

-0.188806

-0.097122

-0.048794

DP[1/5]

-0.494721

-0.379567

-0.191016

-0.098246

-0.049430

DP[1/6]

-0.493989

-0.378494

-0.192107

-0.098737

-0.049697

DP[2/4]

-0.490204

-0.383881

-0.203710

-0.127742

-0.072776

DP[2/5]

-0.493912

-0.378564

-0.193253^p

-0.104122

-0.052880

CMX(2)

-1

-0.5

-0.2

-0.1

-0.05

CMX(3)

-0.307692

-0.32

-0.183486

-0.097800

-0.049720

CMX(4)

-0.583147

-0.375931

-0.187787

-0.098565

-0.0498508

CMX(5)

-0.433373

-0.362871

Re(b_j ) < 0

-0.099152

-0.0498757

Exact

-0.499953

-0.386294

-0.192014

-0.099000

-0.0498750

Таблица 2. D-Паде- и СМХ-приближения (неелевское затравочное состояние) для плотности энергии ос-

новного состояния, E0/Nw, одномерной полузаполненной модели Хаббарда

U/w

DP[0/2]

-1.442494

-1.107149

-0.580517

-0.307555

-0.156231

DP[0/3]

-1.233816

-0.889106

-0.439415

-0.229179

-0.115893

DP[0/4]

-1.039051

-0.831551

-0.413725

-0.211122

-0.106031

DP[0/5]

-1.089224^p

-0.845739^p

-0.428828^p

-0.206429

-0.102733

DP[0/6]

-1.008235

-0.866152^p

-0.414765^p

-0.206988

-0.101566

DP[0/7]

-0.978359

-0.770341

-0.407829^p

-0.208846^p

-0.101240

DP[1/3]

-1.538446^p

-0.342684

-0.358095

-0.135706

-0.053589

DP[1/4]

-1.073167

-0.873628

-0.424940

-0.199730

-0.093515

DP[1/5]

-1.051557

-0.862319^p

-0.403324^p

-0.206875

-0.100229

DP[1/6]

-0.905973

-0.844844^p

-0.403334^p

-0.206368

-0.101007

DP[2/4]

-0.938415

-0.957755

-0.547872

-0.303967

-0.154341

DP[2/5]

-1.098874^p

-0.906032

-0.493409^p

-0.254153

-0.111685

CMX(2)

-2

-1

-0.4

-0.2

-0.1

CMX(3)

-0.714286

-0.689655

-0.373134

-0.196464

-0.099552

CMX(4)

-1.1566

-0.805196

-0.394462

-0.20321

-0.101171

CMX(5)

-0.934409

-0.783366

Re(b_j ) < 0

-0.237146

-0.103506

Exact

-1.040368

-0.844373

-0.486479

-0.267154

-0.137300

524

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Кумулянтное t-разложение для сильнокоррелированных электронов. ..

ECMX(2)0 = -2w

10w²U

ECMX(3)0 = -

9w² + 5U²

(22)

ECMX(4)0 = -(961w4 +1293w2U² +6U4)^w

(1328w⁴ + 623w²U² + 3U⁴)U

(5236932w⁶ + 6581472w⁴U² + 8417w²U⁴ - 2088U⁶)w²U

ECMX(5)0 = -

1940450w⁸ + 7781746w⁶U²

+ 2915976w⁴U⁴ + 17636w²U⁶ - 1041U⁸

причем формула для ECMX(5)0 недействительна при

n_i↑n_i↓ → 〈n_i↑〉n_i↓ + 〈n_i↓〉n_i↑ ,

(23)

3.07w < U < 7.95w, так как в этой области для

некоторых b_j из (12) Re(b_j ) < 0. Результаты вы-

получив после замены гамильтониан в хартри-фо-

числений энергии основного состояния приведены в

ковском приближении. Решение уравнений Харт-

табл. 2. В отличие от модели бесспиновых ферми-

ри - Фока дает набор орбиталей с энергиями ε_jσ.

онов, здесь при U ≫ w мы не видим быстрой схо-

Введем новые операторы рождения d^†jσ и уничто-

димости к точному значению ни для СМХ-, ни для

жения d_jσ электронов на этих орбиталях:

D-Паде-последовательностей. Объясняется эта раз-

∑

ница, по-видимому, следующим. Вспомним, что для

d^†jσ =

α^∗jiσc^†iσ , d_jσ =

α_jiσc_iσ,

(24)

t-разложения важно, чтобы затравочное состояние

|φ₀〉 не было ортогонально искомому основному со-

стоянию |ψ₀〉: при 〈φ₀|ψ₀〉 = 0 формулы (1) и (2) да-

где α_jiσ — коэффициенты разложения j-й орбитали

ют минимальное значение энергии лишь на подпро-

по исходным узельным одноэлектронным состояни-

странстве векторов, не ортогональных вектору |φ₀〉,

ям. Переписав гамильтониан (20) через d-операто-

которое, очевидно, будет больше истинной энергии

ры, получаем (аналогично гл. 3 книги [13])

основного состояния, определяемой минимизацией

по всему пространству векторов. В модели бесспи-

∑

Ĥ₌ ε_jσd^†jσd_jσ -

новых фермионов при v ≫ w основной вклад в |ψ₀〉

jσ

внесут два вектора:

∑∑(

)

|φ₀〉 = | • ◦ • ◦ • ◦ . . . • ◦〉,

|φ₁〉 = | ◦ • ◦ • ◦ • . . . ◦ •〉,

U_ijγγd^†i↑d_j↑ + U_γγijd^†

d_j↓

i↓

√

γ ij

поэтому 〈φ₀|ψ₀〉 ∼ 1/

2 и проблем с ортогональнос-

тью искомого собственного вектора затравочному не

∑

+ U_jkqrd^†j↑d_k↑d^†q↓d_r↓ ,

(25)

будет. В модели же Хаббарда при w = 0 существует

jkqr

бесконечно много состояний с той же энергией, что

и затравочное неелевское состояние |φ₀〉. Вероятно,

где

при w = 0 каждое из них даст сопоставимый вклад в

∑

|ψ₀〉, в результате чего 〈φ₀|ψ₀〉 будет близко к нулю.

U_jkqr = U

α^∗↑jiα_↑kiα^∗↓qiα_↓ri

Таким образом, поскольку затравочное состоя-

ние | ↑↓↑↓↑↓ . . . ↑↓〉 не подходит для поиска энергии

и суммирование по γ ведется лишь по занятым элек-

основного состояния модели Хаббарда, то попробу-

тронами состояниям. Используя в качестве затра-

ем заменить его на хартри-фоковское.

вочного многоэлектронное хартри-фоковское основ-

ное состояние

∏

4.3. Модель Хаббарда с хартри-фоковским

|φ₀〉 =

d^†γσ|vac〉,

затравочным состоянием

γσ

Перепишем в выражении (20) член с взаимодей-

с помощью техники спариваний получаем следую-

ствием:

щие выражения для кумулянтов:

525

A. K. Журавлев

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

∑

I₁ =

ε_a↑ +

ε_b↓ -

U_aabb ,

∑

I₂ =

U_aqbrU_qarb ,

(26)

abq^∗ r^∗

∑

I₃ =

U_aqbrU_qarb(ε_q↑ + ε_r↓ - ε_a↑ - ε_b↓)-

abq^∗ r^∗

∑

U_aqbrU_cartU_qctb -

abcq^∗r^∗t^∗

∑

U_aqbrU_qsdbU_sard +

abdq^∗r^∗s^∗

∑

U_aqbrU_qsrtU_satb +

abq^∗r^∗s^∗t^∗

∑

U_aqbrU_cadbU_qcrd ,

(В цвете онлайн) Плотность энергии основного состояния

abcdq^∗r^∗

одномерной полузаполненной модели Хаббарда с хартри-

где наличие звездочки около индекса означает, что

фоковским затравочным состоянием: хартри-фоковское

суммирование по этому индексу проводится по пу-

решение (HF), приближения D-Паде (DP) и СМХ, а также

стым орбиталям, а ее отсутствие — по заполнен-

точное решение [21]

ным. Заметим, что кумулянт I₁

= 〈φ₀|

Ĥ|φ₀〉 —

это хартри-фоковская энергия основного состояния.

При расчетах нужно хранить четырехмерный мас-

сив U_aqbr , поэтому требования к памяти растут с

= 20w и 87 % при U = 10w. Вместе с тем появляется

размером системы как O(N⁴), что намного мед-

область параметров 1.43w < U < 3.25w, в которой

леннее, чем при точной диагонализации, и поэтому

экспоненты разложения (12) не являются затухаю-

можно провести расчеты для достаточно большого

щими, и приближение CMX(3) применять нельзя.

кластера. Так как результаты быстро стабилизиро-

Но в этой области существуют и оказываются близ-

вались с ростом N, расчеты проводились при N =

кими к точному решению D-Паде-аппроксимации:

= 30, что намного больше размера кластера, доступ-

например, в EDP[0/3]0 учтено 97 % корреляционной

ного для метода Ланцоша.

энергии при U = 2w.

Формул (26) достаточно для построения прибли-

жения CMX(2), и видно (табл. 3 и рисунок), что за-

С другой стороны, D-Паде-приближение при

мена неелевского затравочного состояния на харт-

больших U/w оказалось малоудовлетворительным:

ри-фоковское существенно улучшает результаты: в

для DP[0/2] паде-аппроксимация функции E^′(t)

частности, исчезла сингулярность, имевшаяся в (22)

имеет полюс, если U > 7.15w, для DP[0/3] — если

при U = 0. Однако поправки к хартри-фоковским

U > 3.66w. Ввиду соотношения (8) полюсов у этой

результатам при U ≫ w невелики: 5 % корреляцион-

функции быть не должно, поэтому в данных облас-

ной энергии (т. е. разницы между хартри-фоковской

тях параметров результаты метода D-Паде нельзя

и истинной энергиями основного состояния) при

считать достоверными, и они не приведены на ри-

U = 20w и 16% при U = 10w. Поэтому необхо-

сунке. Но, аналогично предыдущему, при этих па-

димо вычислить следующий член СМХ-последова-

раметрах модели СМХ-приближение дает хорошие

тельности. Выведение формул для следующих ку-

результаты.

мулянтов весьма трудоемко (даже при выполнении

части работы программой для манипуляции с сим-

Таким образом, методы СМХ- и D-Паде явля-

волами), поэтому пока были получены лишь выра-

ются взаимодополняющими. Комбинируя их резуль-

жения для I₄ и I₅, которые не приведены здесь вви-

таты (например, гладко сшивая графики DP[0/2]

ду их громоздкости (в частности, выражение для I₄

и СМХ(3) на отрезке [4;5], см. рисунок), получаем

занимает более ста строк).

близкие к точным результаты во всей области па-

Приближение CMX(3) дает результаты уже на-

раметров U > 0. Достигнутая точность в области

много более близкие к точному значению при боль-

U ≲ w сравнима, а при U ≫ w выше, чем у ряда

ших U/w: 72 % корреляционной энергии при U =

других приближенных методов [22, 23].

526

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Кумулянтное t-разложение для сильнокоррелированных электронов. ..

Таблица 3. Первые кумулянты и плотность энергии основного состояния, E0/Nw, одномерной полузаполненной

модели Хаббарда: D-Паде- и СМХ-приближения (при хартри-фоковском затравочном состоянии) и точное значе-

ние [21]

U/w

I₁/Nw

-1.025570

-0.782641

-0.384076

-0.198001

-0.099750

I₂/Nw

0.083519

0.267239

0.181840

0.056088

0.014751

I₃/Nw

0.448608

1.442834

0.852820

0.279077

0.110712

I₄/Nw

2.532412

8.168248

6.319842

3.289008

2.335562

I₅/Nw

14.660127

45.337977

50.541827

41.746319

50.842882

DP[0/2]

-1.050461

-0.861807

-0.466211

-0.214990^p

-0.101501^p

DP[0/3]

-1.044301

-0.842646

-0.437996^p

-0.207816^p

-0.101206^p

CMX(2)

-1.041118

-0.832139

-0.422848

-0.209273

-0.101715

CMX(3)

-1.042552

Re(b_j ) < 0

-0.488842

-0.258153

-0.127276

Exact

-1.040368

-0.844373

-0.486479

-0.267154

-0.137300

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод может рассматриваться как способ после-

довательного улучшения результатов приближения

Хартри - Фока. При этом наиболее сложной техни-

Таким образом, кумулянтное t-разложение

ческой проблемой является вывод формул для куму-

вполне можно применять для сильнокоррелирован-

лянтов высокого порядка. При полной его автомати-

ных многоэлектронных задач, по меньшей мере,

зации, в принципе возможной, точность результатов

для вычисления энергии основного состояния.

должна стать еще более высокой.

Привлекательной особенностью описанного метода

Данный метод применим к реальным много-

является то, что, будучи сопоставим по сложности

электронным задачам физики конденсированного

вычислений с разложением по константе связи, он

состояния. Хотелось бы привлечь к нему внимание

дает разумные оценки там, где последнее приводит

исследователей, так как он дает систематический

к расходящемуся ряду.

подход к решению физических проблем с сильным

Обнаруженные ранее [19] проблемы при приме-

взаимодействием, не требуя при этом малости

нении этого метода к модели Хаббарда преодоле-

взаимодействия.

ны путем замены неелевского затравочного состо-

яния на хартри-фоковское и комбинированным ис-

Финансирование. Работа выполнена в рамках

пользованием двух методов (СМХ и D-Паде) опре-

государственного задания Министерства науки и

деления E₀ при различных значениях параметров

высшего образования Российской Федерации (тема

модели. При этом существуют критерии допустимо-

«Квант», № АААА-А18-118020190095-4).

сти применения каждого из этих двух методов: если

Re(b_j ) ≤ 0 в (12), то нельзя пользоваться СМХ; если

присутствуют полюса в подынтегральном выраже-

ЛИТЕРАТУРА

нии в (10), то сомнителен результат D-Паде-метода.

1. E. Dagotto, Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994).

Метод протестирован на одномерных моделях,

так как для них известны точные решения. Но по-

2. J. E. Hirsch, R. L. Sugar, D. J. Scalapino, and

R. Blankenbecler, Phys. Rev. B 26, 5033 (1982).

скольку способ вычисления кумулянтов нигде не ис-

пользует специфики одномерности модели, предло-

3. E. Y. Loh, J. E. Gubernatis, R. T. Scalettar,

женный метод равно применим к задачам любой

S. R. White, D. J. Scalapino, and R. L. Sugar, Phys.

мерности. В частности, D-Паде-приближение для

Rev. B 41, 9301 (1990).

двух- и трехмерной моделей бесспиновых фермио-

нов строилось в работе [14].

4. S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992).

527

A. K. Журавлев

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

5. S. Liang and H. Pang, Phys. Rev. B 49, 9214 (1994).

15. P. J. Knowles, Chem. Phys. Lett. 134, 512 (1987).

6. J. Oitmaa, C. Hamer, and W. Zheng, Series Expan-

16. P. Amore and F. M. Fernandez, Phys. Scripta 80,

sion Methods for Strongly Interacting Lattice Models,

055002 (2009).

Cambridge Univ. Press, Cambridge (2006).

17. W. J. Massano, S. P. Bowen, and J. D. Mancini, Phys.

7. И. M. Суслов, ЖЭТФ 127, 1350 (2005).

Rev. A 39, 4301 (1989).

8. Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 3,

18. J. D. Mancini, J. D. Prie, and W. J. Massano, Phys.

ed. by C. Domb and M. S. Green, Acad. Press, Lon-

Rev. A 43, 1777 (1991).

don (1974).

19. K. C. Lee and C. F. Lo, Nuovo Cim. 15, 1483 (1993).

9. D. Horn and M. Weinstein, Phys. Rev. D 30, 1256

(1984).

20. J. Des Cloizeaux and M. Gaudin, J. Math. Phys. 7,

1384 (1966).

10. P. J. Smith, Amer. Statist. 49, 217 (1995).

11. J. Cioslowski, Phys. Rev. Lett. 58, 83 (1987).

21. E. H. Lieb and F. Y. Wu, Phys. Rev. Lett. 20, 1445

(1968).

12. C. Stubbins, Phys. Rev. D 38, 1942 (1988).

22. R. Strack and D. Vollhardt, J. Low Temp. Phys. 84,

13. C. Реймс, Теория многоэлектронных систем,

357 (1991).

Мир, Москва (1976).

23. Ю. Б. Кудасов, УФН 173, 121 (2003).

14. A. K. Zhuravlev, Phys. Lett. A 380, 1995 (2016).

528