ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 529-543

ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗБУЖДЕНИЙ С ГРАНИЦЕЙ

РАЗДЕЛА НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ НА

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ

С. Е. Савотченко^*

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

308012, Белгород, Россия

Поступила в редакцию 7 августа 2019 г.,

после переработки 21 марта 2020 г.

Принята к публикации 26 марта 2020 г.

Рассмотрены модели контактирующих сред со ступенчатой нелинейностью при наличии взаимодействия

возбуждений с границей раздела сред как плоским дефектом. В таких средах происходит мгновенное

переключение от одного уровня к другому при достижении амплитуды поля определенного порогового

значения. Найдены новые типы локализованных состояний со специфической структурой и свойствами.

Структура таких состояний обуславливается формированием доменов в приграничных областях, внутри

которых значения определенных параметров среды отличаются от таких в остальных частях. Показано,

что при наличии взаимодействия возбуждений с границей раздела могут проявляться новые эффекты,

связанные с особенностями структуры поля локализованных состояний. Меняются условия существова-

ния локализованных состояний. Поле можно сделать максимальным не только внутри приграничного

домена, но и на самой границе раздела среды со ступенчатой нелинейностью и линейной средой. В

среде со ступенчатой нелинейностью, содержащей плоский дефект, взаимодействие с ним возбуждений

приводит к снижению амплитуды в плоскости дефекта. С ростом интенсивности взаимодействия с де-

фектом при фиксированной энергии локализации происходит увеличение ширины домена. Показано, что

пороговое значение полного потока энергии, начиная с которого будут существовать локализованные со-

стояния и формироваться домен, может контролироваться интенсивностью взаимодействия возбуждений

с границей раздела.

DOI: 10.31857/S0044451020090126

Отмечалось, что распространяющийся вдоль по-

верхности раздела поток может менять свойства

кристалла в прилегающих слоях [24, 25]. На при-

1. ВВЕДЕНИЕ

мере простой модели нелинейной среды с диэлек-

трической проницаемостью, скачкообразно завися-

Нелинейные кристаллы обладают рядом специ-

щей от напряженности электрического поля [26-29],

фическим свойств, в связи с чем находят широкое

было показано образование приповерхностного оп-

применение в различных технических приложени-

тического домена вследствие распространения лока-

ях [1-4]. Особенности локализации потоков энер-

лизованного светового потока, обладающего особой

гии вдоль границ раздела таких кристаллов и воз-

структурой [30]. В работах [30-33], посвященных

можности управления ими обусловливают неути-

изучению поверхностных волн в средах со скачко-

хающий интерес к исследованиям закономерностей

образной нелинейностью, не учитывалось взаимо-

распространения различных видов нелинейных по-

действие волны с границей раздела. Компоненты

верхностных волн [5-11]. Важное место в таких ра-

напряженности электрического поля и их нормаль-

ботах занимает изучение влияния взаимодействия

ные производные на поверхности кристалла удовле-

волн с границами раздела кристаллов, играющих

творяли условиям непрерывности, что означало от-

роль плоских дефектов [12-23].

сутствие взаимодействия волны с границей раздела

сред как с плоским дефектом.

^* E-mail: savotchenkose@mail.ru

529

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

С другой стороны, влияние взаимодействия не-

среды. В пределе бесконечно малой толщины тако-

линейных возбуждений с границами раздела в сре-

го слоя его можно рассматривать как плоскую гра-

дах с керровской нелинейностью (когда диэлект-

ницу раздела кристаллов. Пусть ось x направлена

рическая проницаемость зависит от квадрата амп-

перпендикулярно плоской границе раздела слоев, а

литуды напряженности электрического поля) изу-

плоскость yz параллельно ей.

чалось неоднократно в различных формах [14-23].

Показатель преломления n(x, |E|) будем счи-

Влияние на особенности локализации энергии воз-

тать меняющимся в перпендикулярном по отноше-

буждений различных внешних параметров, таких

нию к границам раздела направлении и завися-

как интенсивность взаимодействия возбуждений с

щим от модуля вектора напряженности электри-

границей раздела контактирующих сред с некерров-

ческого поля. Вдоль слоев показатель преломле-

ской нелинейностью, недостаточно изучено. В свя-

ния будем считать неменяющимся. Возмущение оп-

зи с этим в данной работе предлагается теоретичес-

тических параметров кристалла и плотность энер-

кое описание новых эффектов, обусловленных ис-

гии волны считаются малыми. Будем рассматри-

ключительно взаимодействием возбуждений с гра-

вать ТЕ-поляризованные монохроматические элек-

ницей раздела сред с некерровской нелинейностью

тромагнитные волны, распространяющиеся вдоль

на примере двух моделей. Будут рассмотрены кон-

границы раздела (плоскости yz). Также будем счи-

такт нелинейного кристалла, в котором диэлектри-

тать, что можно разделить переменные и предста-

ческая функция скачкообразно меняется при дости-

вить y-компоненту напряженности электрического

жении амплитуды поля определенного значения, с

поля поле в виде u(x, z)w(y). Тогда распределение

линейной средой, а также плоский дефект внутри

поля u(x, z) будет описываться уравнением

такого нелинейного кристалла.

∂u

∂²u

+ n(x, |u|)u = 0,

(2)

∂z

∂x²

2. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

где D — коэффициент дифракции (всюду постоян-

Обе модели основаны на использования ста-

ный). Для распределения u(x, z) = u(x) exp(-iEz),

ционарного нелинейного уравнения Шредингера

где величина E представляет собой константу рас-

(НУШ) с различающимися нелинейными членами.

пространения, из (2) можно поучить (1). Срав-

Физические модели, проводящие к такому урав-

нив (1) и (2), получаем, что «эффективная масса»

нению, для нелинейной среды с переключением

возбуждения обратно пропорциональна коэффици-

можно найти в работе [30], а для нелинейной среды

енту дифракции: m = 1/2D.

с плоским дефектом — в работе [17]. Поэтому будем

Будем считать, что значение показателя прелом-

использовать НУШ в форме

ления в широких слоях резко отличаются от его

значения в ультратонкой прослойке, разделяющей

Eu = -

u^′′xx + Ω(x, |u|)u + U(x)u,

(1)

широкие слои (полупространства). В силу того, что

толщина прослойки существенно меньше толщины

где m — «эффективная масса» возбуждения, U(x) =

широких слоев и характерной длины локализации

возмущений поля, модуляцию показателя преломле-

= U₀δ(x) — «точечный» потенциал, моделирую-

щий короткодействующее взаимодействие грани-

ния в ней можно аппроксимировать дельта-функци-

ей Дирака в пределе ее бесконечно малой толщины.

цы раздела и возбуждения с интенсивностью U₀,

δ(x) — дельта-функция Дирака, Ω(x, |u|) — функ-

Поэтому для показателя преломления будем исполь-

ция, описывающая свойства контактирующих сред.

зовать выражение

При U₀ > 0 возбуждения отталкиваются от границы

n(x, |u|) = -Ω(x, |u|) - U₀δ(x),

(отталкивающий дефект), а при U₀ < 0 — притяги-

ваются (притягивающий дефект). Физическую ин-

где первое слагаемое описывает модуляцию показа-

терпретацию данных параметров уравнения (1) для

теля преломления в широких слоях, а второе — в

случая поверхностных волн электромагнитной при-

ультратонкой прослойке. Параметр U₀ пропорцио-

роды можно найти в работах [34-37].

нален показателю преломления в границе раздела

Рассмотрим плоскопараллельные немагнитные

слоев n_b : U₀ ∝ hn_b, где h — толщина прослойки

широкие слои нелинейных оптических кристаллов,

(малая величина).

разделенные ультратонкой прослойкой, толщина ко-

Далее будем, следуя [30,31,33], предполагать, что

торой много меньше характерного масштаба лока-

показатель преломления может скачком меняться в

лизации создаваемых ею возмущений параметров

зависимости от амплитуды поля |u|: в первоначаль-

530

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

ный момент кристалл характеризуется одним зна-

В работе [38] было получено достаточно слож-

чением показателя преломления, а при достижении

ное выражение для восприимчивости полупровод-

порогового значения поля переключения u_s он мгно-

никового кристалла в экситонной области спектра,

венно принимает другое значение.

определяемое амплитудой прошедшего через пленку

импульса, и демонстрирующее эффект насыщения и

Практически скачкообразное изменение диэлек-

резкое изменение при определенных условиях. Ука-

трической проницаемости (показателя преломле-

зывалось, что физической причиной возникновения

ния) наблюдается во многих случаях. Диэлектриче-

особенностей поведения восприимчивости в зависи-

ская проницаемость имеет почти ступенчатую зави-

мости от амплитуды импульса излучения является

симость от амплитуды электрического поля в полу-

то, что уровень энергии, соответствующий половине

проводниках в экситонной области спектра на высо-

энергии образования биэкситона, и экситонный уро-

ких уровнях интенсивности с экситон-экситонными

вень совпадают в резонансных условиях для крис-

взаимодействиями (приводящими к образованию

таллов типа CdS, CdSe, Cu₂O, в которых энергия

биэкситонов при прохождении света). Модель сту-

связи биэкситонов пренебрежительно мала (порядка

пенчатой нелинейности может быть использована

0.5-3 мэВ). Под действием сильного поля этот два-

для кристаллов CuCl,CuBr, в которых энергия свя-

жды вырожденный по энергии уровень расщепляет-

зи биэкситонов велика [38].

ся на два уровня, которые симметрично расходятся

Оптически нелинейные эффекты в полупровод-

в длинноволновую и коротковолновую стороны от-

никовых кристаллах особенно интенсивно прояв-

носительно исходного экситонного уровня с ростом

ляются в экситонной области спектра, причем ха-

амплитуды поля в среде. В связи с этим дисперси-

рактерные времена релаксации экситонов и биэк-

онные и абсорбционные функции в области частот

ситонов очень малы (порядка 10-11-10-12 с). В

экситонного спектра изменяются в соответствии с

этих условиях особенно ярко проявляется нелиней-

индуцированными сильным полем изменениями по-

ное взаимодействие света с веществом при частотах

ложений квазиэнергетических уровней экситон-би-

в экситонной области спектра. Малость времен ре-

экситонной системы. Таким образом, мощный им-

лаксации позволяет говорить о практически мгно-

пульс излучения приводит к существенной перенор-

венном переключении значений определенных опти-

мировке энергетического спектра системы, обуслов-

ческих параметров среды, например, восприимчиво-

ливающей поведение восприимчивости полупровод-

сти, диэлектрической проницаемости или показате-

никового кристалла.

ля преломления, что является одним из важнейших

Следует отметить, что модель ступенчатой нели-

условий при проектировании оптоэлектронных пе-

нейности впервые использовалась Капланом и со-

реключателей на сверхбыстрых процессах.

авторами, чтобы теоретически продемонстрировать

В таких кристаллах, как CdS, CdSe, в которых

мультистабильность распространения света и соли-

энергия связи биэкситонов мала, можно использо-

тонных импульсов [26-29]. Кроме того, они про-

вать один импульс, фотоны которого возбуждают

анализировали случай «гладкой» ступенчатой нели-

экситоны из основного состояния и превращают их

нейности, также называемой насыщаемой нелиней-

в биэкситоны. Проходя через тонкую полупровод-

ностью [41]. При малых интенсивностях насыщае-

никовую пленку, когерентные фотоны возбуждают

мая нелинейность совпадает с нелинейностью ти-

когерентные экситоны с одинаковыми волновыми

па Керра. Такой тип нелинейности описывает плав-

векторами и фазами и взаимодействуют с ними,

ное изменение показателя преломления между дву-

превращая их в биэкситоны. Оптическая конверсия

мя его значениями в зависимости от напряженности

экситон-биэкситон характеризуется гигантской си-

электрического поля. Известно, что многие матери-

лой осциллятора, поэтому нелинейные оптические

алы обладают таким насыщением, обусловленным

эффекты могут возникать даже при сравнительно

изменением их дисперсионных свойств при интен-

низких уровнях интенсивности возбуждающего из-

сивном освещении [42]. В качестве примеров мож-

лучения. Таким образом, фотоны одного и того же

но указать легированные полупроводниками стекла

импульса генерируют ступенчатые переходы из ос-

CdSSe и Schott OG 550 [43, 44], легированные иона-

новного состояния кристалла в экситонное. Затем

ми кристаллы GdAlO₃:Cr³⁺ [45], биооптические сре-

индуцируются переходы из экситонного состояния

ды [46,47] и различные фоторефрактивные кристал-

в биэкситонное, проводящее к образованию поляри-

лы (LiNbO₃ и SBN) [48, 49]. К примеру, для тонких

зованности среды и плотности квазичастиц, опреде-

пленок из фотохромного белка бактериородопси-

ляющей оптические свойства пленки [38-40].

на при низких интенсивностях света возмущенный

531

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

показатель преломления меняется от -1.25 · 10-3

рованной краевой задачи, которые удовлетворяют

до 1.25 · 10-3, а интенсивность насыщения, кото-

условию исчезновения на бесконечности |u(x)| → 0

рую можно принять в качестве значения переключе-

при |x| → ∞. Такие решения описывают простран-

ния, оценивается величиной порядка 8 · 10³ мВт/см²

ственные распределения полей в бегущих вдоль гра-

[46, 47].

ницы раздела сред волнах, и быстро убывающих при

Точные аналитические солитоны для одной мо-

удалении от нее.

дели насыщаемой нелинейности были получены в

Как известно (см. [54], с. 46), на границе раздела

работе [42]. Эти решения не связаны с приближе-

линейных сред с постоянной и одинаковой всюду ха-

нием медленноменяющейся огибающей и описывают

рактеристикой Ω = const локализованное состояние

оптическое распространение в обычных насыщае-

существует только для случая U₀ < 0 и описывается

мых материалах. Ранее точное аналитическое реше-

функцией

ние для «светлых» солитонов, характеризующихся

u(x) = u₀ exp(-q_L|x|),

бистабильностью, было получено в работе [50]. Па-

являющейся решением уравнения (3) и удовлетво-

ры световых импульсов имеют одинаковую полную

ряющего граничным условиям (4) и (5) при

ширину на половине максимума, но разные пиковые

интенсивности и, следовательно, разные суммарные

q_L = -mU₀.

(6)

мощности. Этот тип невырожденной бистабильно-

Энергия данного локального уровня

сти, полученный в работах [51, 52], отличается от

вырожденной бистабильности световых импульсов

E_L = Ω - mU²⁰/2.

(7)

с разными константами распространения, которые

В случае контакта линейной среды с нелиней-

могут иметь одинаковую мощность [26, 53].

ной средой, в которой характеристика Ω зависит от

В данной работе предлагается использовать мо-

поля переключения, условие локализации меняется.

дель резкой ступенчатой нелинейности, чтобы про-

В работе [30] рассматривалась нелинейная среда, в

демонстрировать существование простых точных

которой показатель преломления (диэлектрическая

решений, соответствующих поверхностным волнам

функция) меняется скачком от одного постоянно-

определенной формы, обусловленных резким изме-

го значения к другому при достижении амплитудой

нением диэлектрической проницаемости от одного

поля определенного порогового значения u_s. Было

значения к другому. С этой точки зрения, мы можем

показано, что при вблизи поверхности такой нели-

рассматривать модель резкой ступенчатой нелиней-

нейной среды формируется приповерхностный слой

ности как сильный предел «плавной» ступенчатой

(оптический домен) конечной ширины x_s, в которой

нелинейности, который обеспечивает аналитическое

значение диэлектрической константы отличается от

описание распределения поля по границе раздела

ее значения в остальной среде. При этом x = x_s

в средах, характеризующихся резким изменением

представляет собой координату, при которой поле

между двумя уровнями показателя преломления.

волны равно полю переключения: |u(x_s)| = u_s.

Приведенные выше примеры полупроводниковых

Тогда к граничным условиям в плоскости дефек-

кристаллов позволяют использовать данную модель

та (4) и (5) добавляются условия непрерывности по-

как феноменологическую для аналитического опи-

ля и его производной на границе домена:

сания эффектов, связанных с влиянием взаимодей-

ствия волн с границей раздела сред, на адекватном

u(x_s - 0) = u(x_s + 0) = u_s,

(8)

качественном уровне.

u^′(x_s + 0) = u^′(x_s - 0).

(9)

Нахождение решения НУШ (1) с «точечным»

потенциалом эквивалентно решению стационарного

В работе [30] рассматривался случай, когда вол-

УШ без потенциала:

на не взаимодействовала с границей раздела, что со-

u^′′(x) + 2m(E - Ω(x, |u|))u(x) = 0

(3)

ответствует отсутствию потенциала в уравнении (1),

т. е. значению U₀ = 0. Тогда условие (5) трактуется

с граничными условиями в плоскости дефекта x = 0:

как условие непрерывности нормальной производ-

u(-0) = u(+0) = u₀,

(4)

ной компоненты напряженности электрического по-

ля.

u^′(+0) - u^′(-0) = 2mU₀u₀,

(5)

Рассмотрим далее два случая: плоский контакт

где u₀ — амплитуда поля на границе раздела сред.

линейной среды с нелинейной средой с переключе-

В данной работе будут рассматриваться только

нием и плоский дефект в нелинейной среде с пере-

локализованные в пространстве решения сформули-

ключением. Формальное различие математических

532

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

формулировок данных моделей будет заключаться

также непрерывности поля (8) и его производной (9)

в виде функции Ω(x, |u|), входящей в НУШ (3).

на границе домена x = x_s:

q20,1 = 2m(Ω0,1 - E),

(13)

3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ВБЛИЗИ

p²² = 2m(E - Ω₂).

(14)

ПОВЕРХНОСТИ КРИСТАЛЛА СО

Фаза φ определяется из соотношения

СТУПЕНЧАТОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

tg φ = (q₀ + 2mU₀)/p₂

(15)

Сначала рассмотрим контакт линейной среды со

Ширина домена

средой с уровнем Ω₀, в которой происходит мгновен-

ное (ступенчатое) переключение от одного уровня

x_s = {φ + arctg(q₁/p₂)}/p₂.

(16)

Ω₁ к другому Ω₂ при достижении порогового значе-

Амплитуда поля на границе раздела сред

ния поля переключения u_s.

В этом случае:

u₀ =

{

(

)1/2

Ω₀, x < 0,

Ω₁ - Ω₂

Ω(x, |u|) =

=u_s

√

(17)

Ω_N , x > 0,

Ω₀-Ω₂+2U₀(mU₀+2

2m(Ω₀-E))

где

Амплитуда поля в домене

{

Ω₁,

|u| < u_x,

)1/2

Ω_N (|u|) =

⁽Ω₁ -Ω₂

u_m = u_s

(18)

Ω₂,

|u| > u_x,

E-Ω

причем для определенности положим Ω₀ > Ω₂ и

Поскольку все параметры (13)-(18) данного ло-

Ω₁ > Ω₂.

кализованного состояния выражаются через его

В области вблизи границы раздела, где |u| > u_s,

энергию, спектр его существования является непре-

происходит образование зоны конечной ширины (до-

рывным в рассматриваемом диапазоне Ω₂ < E <

мена) с характеристикой Ω₂, отличной от остальной

<Ω1,0.

нелинейной среды Ω₁ [30].

3.2. Влияние взаимодействия с плоским

3.1. Структура локализованного состояния

дефектом на характеристики

локализованного состояния

Формирование домена обусловлено специфичес-

3.2.1. Модификация условий локализации

кой структурой поля локализованного состояния

при Ω₂ < E < Ω0,1, которое состоит из трех состав-

Основным требованием существования локали-

ляющих:

зованного состояния со структурой (10)-(12) и па-

1) в линейной среде при x < 0

раметрами (13)-(18) является условие u₀ > u_s. Дан-

ное условие можно трактовать двояко. С одной сто-

u(x) = u₀ exp(q₀x);

(10)

роны, при фиксированном значении интенсивности

взаимодействия с дефектом (причем U₀ = 0) оно

2) в нелинейной среде, когда |u| > u_s, вблизи гра-

означает сужение диапазона допустимых значений

ницы раздела формируется домен шириной x_s, поле

энергии (спектра локальных состояний) и, как сле-

описывается выражением

дует из (17), E < E_c, где

)₂

u(x) = u_m cos(p₂x - φ);

(11)

⁽Ω₁ - Ω₀ - 2mU

E_c = Ω₀ -

U₀

3) в нелинейной среде, характеризующейся вели-

С другой стороны, при фиксированной энергии

чиной Ω₁, и где |u| < u_s, поле описывается выраже-

нием

данное условие означает ограничения для значе-

ний интенсивности взаимодействия с дефектом: ес-

u(x) = u_s exp(-q₁(x - x_s)).

(12)

(+)

, а если Ω₀ > Ω₁,

ли Ω₀ < Ω₁, то U(-)0 < U₀ < U

Все параметры составляющих такого локализо-

то U₀ < U(-)0 и U₀ > U⁽⁺⁾⁰, где

ванного состояния определяются из уравнения (2),

(

)

)1/2

условий непрерывности поля (4) и скачка его произ-

q₀

⁽Ω₀ -Ω₁

U(±)0 =

-1 ± 2

водной (5) на границе раздела сред x = 0 [15,17,18], а

Ω₀ - E

533

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

u/u_s

Таким образом, наличие взаимодействия воз-

буждения с границей раздела приводит к сущест-

венной модификации условий существования лока-

лизованных состояний.

3.2.2. Регулировка амплитуды поля в плоскости

дефекта

При отсутствии взаимодействия возбуждения с

границей раздела, когда U₀ = 0, амплитуда поля на

границе раздела сред принимает вид [30]

x_s

)1/2

⁽Ω₁ -Ω₂

Рис. 1. Профили распределения поля u/us локализован-

u₀ = u_s

(19)

ного состояния (10)-(12) в зависимости от расстояния x

Ω₀ - Ω₂

от границы раздела сред при фиксированных параметрах:

Заметим, что амплитуда на границе в этом слу-

m = 1, Ω0 = 5, Ω1 = 6, Ω2 = 1 и различных значе-

чае не может быть максимальной, так как наруша-

ниях интенсивности взаимодействия и энергии: U0 = 0,

ется условие существования локализованного состо-

E = 3 — линия 1; U0 = -0.7, E = 3 — линия 2; U0 = -0.7,

яния в среде со ступенчатой нелинейностью, т. е.,

E = E0 — линия 3

как видно из (18) и (19), u₀ = u_m только при E = Ω₀,

причем должно быть Ω₀ < Ω₁.

Если же взаимодействие возбуждения с грани-

цей раздела присутствует, то амплитуда на границе

в этом случае уже может быть максимальной. Тог-

да следует, что такое возможно при q₀ = 2q_L для

фиксированного уровня

E = E₀ = Ω₀ - 2mU²⁰.

(20)

Дефект должен быть притягивающим. Глубина

локализации поля в линейной среде в этом случае

вдвое меньше, чем в линейной среде. Другими сло-

вами, существует такой локальный уровень E₀, при

котором амплитуда поля в плоскости дефекта мак-

симальна.

На рис.

показано распределение поля ло-

Рис. 2. Зависимости амплитуды поля u0/us (17) на грани-

кализованного состояния (10)-(12) с параметрами

це раздела сред от интенсивности взаимодействия U0 при

(13)-(18). Линия 3 соответствует распределению с

фиксированных параметрах, как и на рис. 1, и различных

энергией (20). Видно, что в этом случае максимум

значениях энергии E: 1.5 — линия 1, 3 — линия 2, 4.9 —

распределения приходится на границу раздела сред.

линия 3

При других значениях энергии из допустимого диа-

пазона максимум поля смещается. На границе раз-

дела сред при одинаковой энергии амплитуда для

конечных значений U₀ (линия 1) всегда ниже, чем

2), а для отталкивающего — возрастающая (рис. 3,

при U₀ = 0 (линия 2).

линии 3, 4).

Зависимость амплитуды на границе раздела сред

(17) от интенсивности взаимодействия с дефектом

Таким образом, наличие взаимодействия воз-

приведена на рис. 2, а от энергии — на рис. 3. За-

буждения с границей раздела приводит к тому, что

висимость u₀(U₀) не является монотонной и имеет

поле можно сделать максимальным не только внут-

максимум u₀ = u_m при U₀ = -q₀/2m. С увеличе-

ри приграничного домена, но и на самой границе

нием энергии высота максимума уменьшается, а его

раздела среды со ступенчатой нелинейностью и ли-

положение смещается вправо до нулевого значения.

нейной средой. Наличие такого взаимодействия поз-

Зависимость u₀(E) монотонная, причем для притя-

воляет управлять значением амплитуды в плоскости

гивающего дефекта она убывающая (рис. 3, линии 1,

дефекта.

534

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

u /u0s

Ширина домена при отсутствии взаимодействия

возбуждения с границей раздела определяется вы-

ражением

(

)

q₀ + q₁

x⁰⁰ =

arctg p₂

p₂

p²² - q₀q

Наименьшее значение интенсивности взаимодей-

ствия с притягивающим дефектом, начиная с кото-

рого формируется домен конечной ширины, опреде-

ляется выражением

U_min = -(q₀ + q₁)/2m.

Условие формирования домена U₀ > U_min комбини-

руется с условиями локализации.

С увеличением энергии ширина домена уменьша-

ется. Ширина домена при энергии максимума амп-

литуды в плоскости дефекта (16) определяется вы-

Рис. 3. Зависимости амплитуды поля u0/us (17) на грани-

ражением

це раздела сред от энергии при фиксированных парамет-

xc₀ = arctg(q₁/p₂)/p₂.

рах, как и на рис. 1, и различных значениях интенсивности

взаимодействия U0: 0 — линия 0, -0.7 — линия 1, -0.4 —

Таким образом, наиболее широкие домены фор-

линия 2, 0.5 — линия 3, 1.5 — линия 4

мируются при малых энергиях локализации, а более

узкие — при больших энергиях из допустимого диа-

пазона при фиксированной интенсивности взаимо-

действия с дефектом. С ростом интенсивности взаи-

модействия с дефектом при фиксированной энергии

локализации происходит увеличение ширины доме-

на до порогового значения x(∞)0, что позволяет кон-

тролировать его формирование.

3.3. Поток энергии

Проанализируем сохраняющийся поток энергии,

который представляет собой первый интеграл

НУШ (3):

∫

Рис. 4. Зависимости ширины домена xs (16) с подстанов-

кой фазы из (15) от интенсивности взаимодействия U0 при

P =

|u(x)|²dx.

(21)

фиксированных параметрах, как и на рис. 1, и различных

−∞

значениях энергии E: 2.1 — линия 1, 3 — линия 2, 4.9 —

Поток (21) можно представить в виде суммы

линия 3

трех частей:

P =P₀ +P₁ +P₂,

(22)

3.2.3. Зависимость ширины домена

где его компоненты вычисляются с использованием

соответственно (10)-(12). Данные компоненты соот-

На рис. 4 показана зависимость ширины домена

ветствуют долям потока в рассматриваемых обла-

(16) от интенсивности взаимодействия с дефектом.

стях.

Данная зависимость является монотонной. Увеличе-

Поток в линейной среде P₀ при x < 0 (рис. 5, 6)

ние интенсивности взаимодействия с дефектом при-

равен

водит к увеличению толщины домена, достаточно

быстро достигающей порогового значения насыще-

P₀ = u²⁰/2q₀,

(23)

ния

где амплитуда на границе определяется выражени-

x(∞)0 = {π/2 + arctg(q₁/p₂)}/p₂.

ем (17).

535

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

P /P0s

U₀

Рис. 7. Зависимости компоненты потока P2/Ps в домене

Рис.

5. Зависимости компоненты потока P0/Ps (где

√

(25) от интенсивности взаимодействия U0 при фиксиро-

Ps = u^s/2

2m) в линейной среде (23) от интенсивности

ванных параметрах, как и на рис 1, и различных значениях

взаимодействия U0 при фиксированных параметрах, как и

энергии E: 2.1 — линия 1, 2.6 — линия 2, 3.3 — линия 3,

на рис. 1, и различных значениях энергии E: 2.1 — линия

4.9 — линия 4

1, 2.6 — линия 2, E = E0 — линия 3, 4.7 — линия 4, 4.9 —

линия 5

P /P2s

P /P0s

Рис. 8. Зависимости компоненты потока P2/Ps в домене

(25) от энергии при фиксированных параметрах, как и на

Рис. 6. Зависимости компоненты потока P0/Ps в линейной

рис. 1, и различных значениях интенсивности взаимодей-

среде (23) от энергии при фиксированных параметрах, как

ствия U0: -0.7 — линия 1, 5 — линия 2

и на рис. 1, и различных значениях интенсивности взаимо-

действия U0: -0.7 — линия 1, -0.5 — линия 2, 0 — линия

3, 1 — линия 4, 3 — линия 5

P₂ =

{

}

q₁

q₀ + 2mU₀

Поток в нелинейном кристалле за доменом P₁

× x_s +

(25)

q²¹ + p²²

p²²

+ (q₀ + 2mU₀)²

при x > x_s имеет вид

где амплитуда в домене определяется выражением

P₁ = u2s/2q₁.

(24)

(19) а ширина домена — (20).

На рис.

показана зависимость компоненты

Поток в домене P₂ при 0 < x < x_s (рис. 7, 8)

потока в линейной среде (23) от интенсивности

равен

взаимодействия с дефектом. Данная зависимость не

536

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

P/P_s

Рис. 9. Зависимости полного потока P/Ps (21) от интен-

сивности взаимодействия U0 при фиксированных парамет-

рах, как и на рис. 1, и различных значениях энергии E:

Рис. 10. Зависимости полного потока P/Ps (21) от энер-

2.1 — линия 1, 2.6 — линия 2, E = E0 — линия 3, 4.9 —

гии при фиксированных параметрах, как и на рис. 1, и

линия 4, 4.985 — линия 5

различных значениях интенсивности взаимодействия U0:

0 — линия 1, -0.7 — линия 2, 3 — линия 3

является монотонной и, как и зависимость ампли-

туды (17), имеет максимум при тех же условиях.

говорить, что локализация будет происходить при

Зависимость компоненты потока в линейной сре-

значениях потока, начиная с определенного мини-

де (23) от энергии также не является монотонной

мального значения P_min. Такая трактовка применя-

(рис. 6). Для притягивающего дефекта наблюдает-

ется обычно, когда поток (или полное число возбуж-

ся минимум, смещающийся с ростом интенсивнос-

дений) выбирается в качестве управляющего пара-

ти взаимодействия в сторону левой границы спект-

метра. Значение P_min существенно зависит от ин-

ра (рис. 6, линии 1, 2). Начиная с нулевой интен-

тенсивности взаимодействия с дефектом. При от-

сивности (рис. 6, линия 4) и с дальнейшим ее рос-

сутствии взаимодействия пороговое значение P_min

том, зависимость становится монотонно возрастаю-

наибольшее. При увеличении абсолютного значения

щей (рис. 6, линии 5, 6).

интенсивности взаимодействия с дефектом порого-

вое значение потока, необходимого для локализа-

Зависимость компоненты потока в домене (25) от

ции, снижается.

интенсивности взаимодействия с дефектом приведе-

на на рис. 7, а от энергии — на рис. 8. Зависимость

4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ВБЛИЗИ

P₂(U₀) является монотонно возрастающей. Данная

ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА КРИСТАЛЛОВ СО

компонента потока отлична от нуля, начиная с наи-

СТУПЕНЧАТОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

меньшего значения U_min, при котором будет про-

Теперь рассмотрим плоский дефект в нелиней-

исходить формирование домена. Увеличение интен-

ной среде, в которой симметрично по обе его сторо-

сивности взаимодействия с дефектом приводит к ро-

ны происходит мгновенное переключение от одного

сту доли потока в домене, который достигает поро-

уровня Ω₁ к другому Ω₂ при достижении порогово-

гового значения насыщения (рис. 7). С увеличением

го значения поля переключения u_s. В этом случае в

энергии доля потока в домене уменьшается (рис. 8).

(1) Ω не зависит от координаты x, а зависит только

Зависимость полного потока (21) от интенсивно-

от поля переключения:

сти взаимодействия с дефектом приведена на рис. 9,

Ω(x, |u|) = Ω_N (|u|),

а от энергии — на рис. 10. При малых энергиях зави-

симость P(U₀) является монотонно возрастающей, а

причем для определенности положим Ω₁ > Ω₂.

при более высоких значениях энергии из допустимо-

го диапазона наблюдается максимум потока (рис. 9).

4.1. Структура локализованного состояния

Форма зависимости потока от энергии является

типичной (рис. 10). Если рассматривать ее как об-

Вблизи границы раздела, когда |u| > u_s, проис-

ратную зависимость, т. е. функцию E(P ), то можно

ходит формирование симметричного домена с ха-

537

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

u/u_s

рактеристикой Ω₂, отличной от остальной нели-

нейной среды Ω₁. Из (3) в этом случае следует,

что структура поля локализованного состояния при

Ω₂ < E < Ω₁ определяется следующими составляю-

щими:

1) когда |u| > u_s, вблизи границы раздела фор-

мируется симметричный домен шириной 2x_s и поле

описывается выражением

u(x) = u_m cos(p₂x ± φ);

(26)

-x_s

-x_s-xs

x_s

2) когда |u| < u_s, среда характеризуется величи-

Рис. 11. Профили распределения поля u/us локализован-

ной Ω₁ и поле описывается выражением

ного состояния (26), (27) в зависимости от расстояния от

границы раздела сред x при фиксированных параметрах:

u(x) = u_s exp(±q₁(x ± x_s)).

(27)

m = 1, Ω1 = 6, Ω2 = 1, E = 3 и различных значениях ин-

тенсивности взаимодействия U0: 2.4 — линия 1, 0 — линия

Здесь знак «+» соответствует области x < 0, а

2, -1 — линия 3

«-» — x > 0.

Все параметры составляющих такого локализо-

ванного состояния (26), (27) определяются из урав-

нения (3), условий непрерывности поля (4), скачка

его производной (5) на границе раздела сред x = 0, а

также непрерывности поля (8) и его производной (9)

на границах домена x = ±x_s.

Амплитуда поля (26) в домене определяется

прежним выражением (18). Фаза поля (26) теперь

определяется из соотношения

tg φ = 2mU₀/p₂.

(28)

Полуширина ширина симметричного домена

определяется выражением

(16) с подстановкой

новой фазы из (28). Амплитуда поля на границе

Рис. 12. Зависимости амплитуды поля u0/us (29) на гра-

раздела сред имеет вид

нице раздела сред от интенсивности взаимодействия U

(

)1/2

при фиксированных параметрах, как и на рис. 11, и раз-

Ω₁ - Ω₂

u₀ = u_s

(29)

личных значениях энергии E: 1.5 — линия 1, 3 — линия 2,

E - E_L(Ω₂)

5.5 — линия 3

где E_L(Ω₂) — локальный уровень (7) при Ω = Ω₂.

фекта максимум распределения приходится на гра-

4.2. Влияние взаимодействия с плоским

ницу раздела (рис. 11, линия 3), а его высота ни-

дефектом на характеристики

же, чем в отсутствие взаимодействия с дефектом

локализованного состояния

(рис. 11, линия 3).

4.2.1. Регулировка амплитуды поля в плоскости

Из (29) видно, что при наличии взаимодействия

дефекта

возбуждения с границей раздела амплитуда поля на

На рис. 11 показано распределение поля лока-

границе меньше, чем в домене (18). Следует отме-

лизованного состояния (26), (27). Включение взаи-

тить, что такого эффекта снижения амплитуды на

модействия с дефектом приводит к снижению амп-

границе не наблюдается при отсутствии взаимодей-

литуды поля на границе. В случае отталкивающего

ствия, так как в этом случае, как следует из (19) и

дефекта поле локализованного состояния имеет два

(29), u₀ = u_m. Следовательно, наличие взаимодей-

максимума, расположенных в домене, высота кото-

ствия возбуждения с границей раздела приводит к

рых превышает амплитуду поля на границе (u₀ <

снижению амплитуды в плоскости дефекта в среде

< u_m, рис. 11, линия 1). Для притягивающего де-

со ступенчатой нелинейностью.

538

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

u /u0s

4.2.2. Зависимость ширины домена и условие

локализации

На рис. 14 показана зависимость половины ши-

рины домена (16) с подстановкой фазы из (28) от

интенсивности взаимодействия с дефектом. Данная

зависимость, так же как и в разд. 3.2.3, является мо-

нотонно возрастающей с ростом интенсивности вза-

имодействия с дефектом и достигает такого же по-

рогового значения насыщения x(∞)0. С увеличением

энергии ширина домена уменьшается.

Ширина симметричного домена при отсутствии

взаимодействия возбуждения с границей раздела

определяется выражением

x⁽⁰⁾⁰ =

arctg

q₁ .

p₂

Рис. 13. Зависимости амплитуды поля u0/us (29) на гра-

нице раздела сред от энергии при фиксированных пара-

Наименьшее значение интенсивности взаимодей-

метрах, как и на рис. 11, и различных значениях интен-

ствия с притягивающим дефектом, начиная с кото-

сивности взаимодействия U0: 0 — линия 1, 0.8 — линия 2,

рого формируется симметричный домен, определя-

1.5 — линия 3

ется выражением U_min = -q₁/m.

Условие локализации, также как и в разд. 3.2.1,

меняется. При наличии взаимодействия с дефек-

том происходит сужение диапазона существования

локальных состояний рассматриваемого типа: E <

< E_L(Ω₁), где E_L(Ω₁) — локальный уровень (7) при

Ω = (Ω₁). При E = E_L(Ω₁) не происходит формиро-

вания домена, так как x_s = 0.

4.3. Поток энергии

В силу симметрии системы полный поток (21)

можно представить в виде суммы двух частей:

P = 2(P₁ + P₂),

(30)

Рис. 14. Зависимости полуширины ширины домена xs (16)

где его компоненты вычисляются с использованием

с подстановкой фазы из (28) от интенсивности взаимодей-

соответственно (26) и (27).

ствия U0 при фиксированных параметрах, как и на рис. 11,

Поток за доменом P₁ в нелинейном кристалле

и различных значениях энергии E: 2.1 — линия 1, 3 — ли-

при x > x_s определяется прежним выражением (24).

ния 2, 5.9 — линия 3

Поток в домене P₂ при 0 < x < x_s имеет вид

{

}

u2m

q₁

mU₀

P₂ =

x_s +

(31)

q21

+p²²

p²² + (mU₀)²

Зависимость амплитуды на границе раздела

сред (29) от интенсивности взаимодействия с де-

Данную компоненту потока можно представить

в виде

фектом приведена на рис. 12, а от энергии — на

рис. 13. Зависимость u₀(U₀) не является монотонной

P₂ = P⁽⁰⁾² + P(U)2,

(32)

и имеет максимум u₀ = u_m при U₀ = 0. С увели-

где не зависящая от интенсивности взаимодействия

чением энергии высота максимума уменьшается,

с дефектом часть равна

а его положение не меняется. С ростом энергии

{

}

локализации амплитуда поля на границе монотонно

u2s

q²¹ + p²²

q₁

(0)

P₂

q₁ +

arctg

(33)

уменьшается (рис. 13).

2p²²

p₂

539

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

P /P0s

Рис. 15. Зависимости компоненты потока P1/Ps в нели-

нейном кристалле за доменом (31) от интенсивности вза-

Рис. 16. Зависимости компоненты потока P1/Ps в нели-

имодействия U0 при фиксированных параметрах, как и на

нейном кристалле за доменом (31) от энергии при фикси-

рис. 11, и различных значениях энергии E: 2.1 — линия 1,

рованных параметрах, как и на рис. 11, и различных зна-

2.6 — линия 2, 3 — линия 3, 5.9 — линия 4

чениях интенсивности взаимодействия U0: 3 — линия 1,

0.5 — линия 2, 0 — линия 3, -0.5 — линия 4

а зависящая от интенсивности взаимодействия с де-

P/P_s

фектом часть записывается как

}

u2m

^{ 1

mU₀

P(U)2 =

arctg

(34)

p₂

p²² + (mU₀)²

При отсутствии взаимодействия компонента по-

тока (34) пропадает: P(U)2 = 0 и P₂ = P⁽⁰⁾².

Поскольку поток в нелинейном кристалле за до-

меном P₁ не зависит от интенсивности взаимодейст-

вия с дефектом, полный поток представим виде

P = P⁽⁰⁾ + 2P(U)2, P⁽⁰⁾ = 2(P₁ + P⁽⁰⁾²).

U₀

При малой по модулю интенсивности взаимодей-

ствия с дефектом (когда |U₀| ≪ p₂/m) полный поток

Рис. 17. Зависимости полного потока P/Ps (30) от интен-

линейно возрастает с увеличением U₀ по закону

сивности взаимодействия U0 при фиксированных парамет-

рах, как и на рис. 11, и различных значениях энергии E:

P = P⁽⁰⁾ + 2mU₀u2m/p²².

(35)

2.1 — линия 1, 2.6 — линия 2, 3 — линия 3, 5.9 — линия 4

При сильной интенсивности взаимодействия с

дефектом (когда U₀ ≫ p₂/m) полный поток с уве-

Зависимость полного потока (30) от интенсив-

личением U₀ достигает порога насыщения:

ности взаимодействия с дефектом приведена на

рис. 17, а от энергии — на рис. 18. Зависимость

P = P⁽⁰⁾ + πu2m/2p₂.

(36)

P (U₀) является монотонно возрастающей с ростом

Зависимость компоненты потока в домене (31)

интенсивности взаимодействия (рис. 17).

от интенсивности взаимодействия с дефектом при-

Зависимости полного потока от энергии, как и

ведена на рис. 15, а от энергии — на рис. 16. Данная

в разд. 3.3, характеризуется наличием минимума

компонента потока монотонно возрастает (рис. 15),

(рис. 18). Значение минимума существенно зави-

начиная с наименьшего значения U_min, и затем дос-

сит от интенсивности взаимодействия с дефектом.

тигает порогового значения насыщения (36). Рост

Энергия минимизации полного потока E_min моно-

энергии локализации приводит к снижению доли по-

тонно возрастает от U_min в допустимом диапазоне

тока в домене (рис. 16).

(рис. 19). Минимальное значение полного потока

540

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Влияние взаимодействия возбуждений с границей раздела. . .

P/P_s

Рис. 18. Зависимости полного потока P/Ps (30) от энер-

Рис. 20. Зависимость порогового (минимального) значе-

гии при фиксированных параметрах, как и на рис. 11, и

ния полного потока Pmin от интенсивности взаимодейст-

различных значениях интенсивности взаимодействия U0:

вия U0 при фиксированных параметрах, как и на рис. 11

3 — линия 1, 0.5 — линия 2, 0 — линия 3, -0.5 — линия 4

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На примере простой модели среды со ступен-

чатой нелинейностью показано, что взаимодействие

возбуждений с плоским дефектом приводит к прин-

ципиально новым возможностям управления зна-

чением амплитуды поля локализованного состоя-

ния на границе. В модели контакта линейной среды

с нелинейной средой, характеризующейся мгновен-

ным переключением в зависимости от амплитуды

поля, наличие взаимодействия возбуждения с гра-

ницей приводит к тому, что амплитуда поля в плос-

кости дефекта может быть максимальной. Она мо-

жет превышать амплитуду поля в приповерхност-

ном домене, чего не наблюдалось в случае отсутст-

вия такого взаимодействия.

При наличии взаимодействия возбуждений с

Рис. 19. Зависимость энергии минимизации полного пото-

плоским дефектом в нелинейной среде с переклю-

ка Emin от интенсивности взаимодействия U0 при фикси-

чением появляется возможность снижения ампли-

рованных параметрах, как и на рис. 11

туды на границе по сравнению с амплитудой в до-

мене. Показано, что для отталкивающего дефекта

поле локализованного состояния имеет два макси-

P_min убывает с ростом интенсивности взаимодей-

мума, симметрично расположенных в домене, высо-

ствия с дефектом и для отталкивающего дефекта

та которых превышает амплитуду поля на границе.

практически совпадает со случаем отсутствия взаи-

Проанализировано влияние интенсивности взаи-

модействия (рис. 20).

модействия с дефектом на поток энергии и его рас-

Таким образом, пороговое значение полного по-

пределение между структурными зонами контакти-

тока, начиная с которого будет существовать лока-

рующих сред. При увеличении абсолютного значе-

лизованное состояние рассматриваемого типа и про-

ния интенсивности взаимодействия с дефектом на-

исходить формирование симметричного домена, мо-

блюдается снижение порогового значения потока,

жет контролироваться интенсивности взаимодейст-

начиная с которого происходит локализация поля

вия с дефектом.

вблизи плоского дефекта и формирование домена.

541

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Регулировка уровня интенсивности поля на гра-

16.

U. S. Kivshar, A. M. Kosevich, and O. A. Chubykalo,

нице раздела сред и потока энергии может осу-

Phys. Rev. A 41, 1677 (1990).

ществляться путем изменения интенсивности взаи-

17.

И. В. Герасимчук, А. С. Ковалев, ФНТ 26, 799

модействия волны с границей раздела. Поэтому по-

(2000).

лученные в работе результаты могут иметь значение

при проектировании электрооптических элементов

18.

С. Е. Савотченко, Изв. ВУЗов. Физика 47, 79

устройств, основанных на использовании волновод-

(2004).

ных свойств и локализации световых пучков вдоль

19.

H. Sakaguchi and B. A. Malomed, New J. Phys. 18,

поверхностей раздела контактирующих сред [55-58].

025020 (2016).

20.

С. Е. Савотченко, Изв. ВУЗов. Физика 62,

(2019).

ЛИТЕРАТУРА

21.

С. Е. Савотченко, ЖТФ 89, 163 (2019).

Г. Г. Гурзадян, В. Г. Дмитриев, Д. Н. Никого-

сян, Нелинейно-оптические кристаллы: Свойства

22.

С. Е. Савотченко, ФТТ 61, 626 (2019).

и применение в квантовой электронике, Радио и

связь, Москва (1991).

23.

С. Е. Савотченко, Опт. и спектр. 126, 556 (2019).

S. Leble, Waveguide Propagation of Nonlinear Waves,

24.

E. C. Jarque and V. A. Malyshev, Opt. Commun.

Springer (2019).

142, 66 (1997).

O. Takayama, A. A. Bogdanov, and A. V. Lavrinenko,

25.

A. Schuzgen, N. Peyghambarian, and S. Hughes,

J. Phys.: Cond. Matt. 29, 463001 (2017).

Phys. Stat. Sol. (b) 206, 125 (1999).

Z. A. Munazza, Phys. Lett. A, 381, 2643 (2017).

26.

A. E. Kaplan, IEEE J. Quant. Electr. 21,

1538

(1985).

Д. Михалаке, Р. Г. Назмитдинов, В. К. Федянин,

Физика элементарных частиц и атомного ядра 20,

27.

R. H. Enns, S. S. Rangnekar, and A. E. Kaplan, Phys.

198 (1989).

Rev. A 35, 466 (1987).

И. Е. Дикштейн, С. А. Никитов, И. Е. Никитов,

28.

R. H. Enns, S. S. Rangnekar, and A. E. Kaplan, Phys.

ФТТ 40, 1885 (1998).

Rev. A 36, 1270 (1987).

I. V. Shadrivov, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar,

29.

R. H. Enns and S. S. Rangnekar, Opt. Lett. 12, 108

A. A. Zharov, A. D. Boardman, and P. Egan, Phys.

(1987).

Rev. E 69, 016617 (2004).

30.

П. И. Хаджи, Л. В. Федоров, ЖТФ 61, 110 (1991).

M. S. Hamada, A. I. Assa’d, H. S. Ashour, and

31.

Н. Н. Белецкий, Е. А. Гасан, ФТТ 36, 647 (1994).

M. M. Shabat, J. Micr. Opt. 5, 45 (2006).

32.

К. Д. Ляхомская, П. И. Хаджи, ЖТФ 70, 86

О. В. Коровай, П. И. Хаджи, ФТТ 50, 1116 (2008).

(2000).

10.

Y. V. Bludov, D. A. Smirnova, Y. S. Kivshar,

33.

S. E. Savotchenko, Romanian J. Phys. 65, 202 (2020).

N. M. R. Peres, and M. I. Vasilevsky, Phys. Rev. B 89,

035406 (2014).

34.

С. Е. Савотченко, Письма в ЖЭТФ 107, 481

(2018).

11.

D. Valovik, J. Nonlin. Opt. Phys. Mater. 25, 1650051

(2016).

35.

С. Е. Савотченко, Опт. и спектр. 126, 556 (2019).

12.

I. S. Panyaev and D. G. Sannikov, J. Opt. Soc. Amer.

36.

С. Е. Савотченко, Опт. и спектр. 127, 159 (2019).

B 33, 220 (2016).

37.

S. E. Savotchenko, Mod. Phys. Lett. B 33, 1950385

13.

K. A. Gorshkov, L. A. Ostrovskiy, and V. V. Papko,

(2019).

JETP 44, 306 (1976).

38.

П. И. Хаджи, A. M. Русанов, С. Л. Гайван, КЭ 27,

14.

U. S. Kivshar, A. M. Kosevich, and O. A. Chubykalo,

262 (1999).

Phys. Lett. A 125, 35 (1987).

39.

А. В. Коровай, П. И. Хаджи, КЭ 31, 937 (2001).

15.

М. М. Богдан, И. В. Герасимчук, А. С. Ковалев,

ФНТ 23, 197 (1997).

40.

П. И. Хаджи, А. В. Коровай, КЭ 32, 711 (2002).

542