ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 3 (9), стр. 561-572

ЗАМЕТКИ О КОЛЛАПСЕ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Е. А. Кузнецовa,b,c,d*, Е. А. Михайлов^e

^a Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^c Сколковский Институт науки и технологии

143026, Сколково, Московская обл., Россия

^d Институт космических исследований Российской академии наук

117997, Москва, Россия

^e Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 мая 2020 г.,

после переработки 14 мая 2020 г.

Принята к публикации 14 мая 2020 г.

Обсуждается вопрос о магнитном коллапсе — возможном процессе возникновения особенности магнитно-

го поля за конечное время в рамках идеальной магнитной гидродинамики для несжимаемых жидкостей,

важном процессе с точки зрения различных астрофизических приложений, в частности, как механиз-

ме формирования магнитных филаментов в конвективной зоне Солнца. Возможность коллапса связана

со сжимаемостью непрерывно распределенных магнитных силовых линий. Известный пример форми-

рования магнитных филаментов в приближении кинематического динамо с заданным полем скорости,

рассмотренный впервые Паркером в 1963 г., свидетельствует скорее о том, что нарастание магнитного по-

ля носит экспоненциальный во времени характер. В случае кинематического приближения для уравнения

индукции возникновение филаментов происходит в областях с гиперболическим профилем скорости.

DOI: 10.31857/S004445102009014X

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

561

6. Численное моделирование

568

2. Конвекция в астрофизике

563

7. Влияние вязкости на эволюцию магнит-

3. Сжатие силовых линий и аттрактор . . . 564

ного поля

569

4. Конвективная ячейка и граничные

8. Заключительные замечания

570

условия

565

5. Филаментация

566

Литература

571

1. ВВЕДЕНИЕ

Колмогорова - Обухова

[1, 2] развитой гидродина-

мической турбулентности при больших числах Рей-

Коллапс как процесс образования особенности

нольдса, Re ≫ 1, в инерционном интервале пред-

для гладких начальных условий является одним из

сказывает расходимость флуктуаций завихренности

ключевых вопросов для понимания природы как

〈δω〉 с масштабом ℓ при малых ℓ как ℓ-2/3, что ука-

гидродинамической турбулентности, так и магнито-

зывает на связь колмогоровской турбулентности с

гидродинамической (МГД) турбулентности. Теория

коллапсом. Выполненные в конце 90-х годов числен-

ные эксперименты, вроде бы свидетельствовавшие о

^* E-mail: kuznetso@itp.ac.ru

561

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

наблюдении коллапса, при более точном рассмотре-

за конвективными ячейкам показало, что магнит-

нии показали его отсутствие (обсуждение этих во-

ное поле в этой зоне сильно филаментировано. На

просов можно найти в работах [3, 4]). Эта проблема

это впервые обратил внимание Паркер в пионерской

до сих пор остается открытой, хотя есть численные

работе [21] (см. также его книгу [22] и ссылки там).

эксперименты, которые показывают формирование

В частности, в первой работе Паркер изучил пове-

особенности на твердой стенке в рамках трехмерных

дение магнитного поля в двумерном поле скорости

уравнений Эйлера [5]. В двумерной гидродинамике

для конвективного течения в случае периодической

Эйлера коллапс — появление особенности за конеч-

решетки ячеек в виде валов. Ниже мы обсудим эту

ное время — запрещен [6-8]. Но это, однако, не ис-

постановку задачи. Главное резюме, которое мож-

ключает появления особенности при экспоненциаль-

но сделать, состоит в том, что для стационарных

ном росте, о чем свидетельствуют численные экспе-

двумерных течений филаментация магнитного по-

рименты [9], в которых образование квазишоков за-

ля и его экспоненциальный рост обязаны наличию в

вихренности сопровождается экспоненциальным во

течениях гиперболических областей в духе Окубо -

времени сужением их ширин. В трехмерной гидро-

Вайса [23, 24]. В этих областях магнитное поле со-

динамике Эйлера численные эксперименты также

бирается, благодаря вмороженности магнитного по-

показывают экспоненциальный рост во времени за-

ля, в малую окрестность вблизи стационарной ги-

вихренности ω в вихревых структурах блинного ти-

перболической точки, в которой скорость обраща-

па, для которых сужение толщины блина ℓ происхо-

ется в нуль. Это процесс носит экспоненциальный

дит со временем также экспоненциальным образом

по времени характер и останавливается за счет раз-

[10-12]. Формирование такого рода структур обяза-

рушения вмороженности из-за конечной магнитной

но, как показано в работах [13-15], вмороженности

вязкости. В результате магнитное поле насыщает-

завихренности в трехмерном уравнениях Эйлера и

ся, усиливаясь по отношению к начальному полю

ротора завихренности B (по англ. divorticity) для

в Re1/2m раз, что было отмечено в ряде работ (см.

двумерных течений [9]. Благодаря этому свойству

[23, 25, 26]).

вмороженные векторные поля оказываются сжима-

План данного обзора следующий. Сначала мы

емыми. Более того, выяснено также, что формиро-

обсудим вопрос о параметрах области конвективных

вание этих структур можно рассматривать как про-

ячеек на Солнце, которые занимают верхнюю часть

цесс образования складки, при котором максималь-

конвективной зоны, а также нижнюю часть фото-

ные значения ω_max и B_max изменяются пропорци-

сферы. Параметры течений в конвективных ячейках

онально своим толщинам как ℓ-2/3 [10-12, 16]. В

позволяют рассматривать задачу о филаментации

МГД при больших значениях магнитного числа Рей-

магнитных полей в этой области Солнца в кинема-

нольдса, Re_m ≫ 1, магнитное поле можно считать

тическом приближении. В разд. 3 мы обращаемся

также вмороженным. И поэтому следует ожидать,

к представлению магнитных линий [14,17], которое

что там также должен наблюдаться экспоненциаль-

является аналогом представления вихревых линий,

ный во времени рост из-за сжимаемости магнитных

впервые введенного для уравнений Эйлера в рабо-

силовых линий. Вопрос сжимаемости магнитных си-

те [13] (см. также [15]). Это представление явно де-

ловых линий применительно к этой проблеме об-

монстрирует сжимаемость магнитных силовых ли-

суждался впервые в работах [14, 17]. В частности,

ний. Скорость движения силовых линий представ-

в работе [17] было высказано предположение, что

ляет собой компоненту скорости, нормальную к на-

вмороженность магнитного поля может быть при-

правлению магнитного поля. Дивергенция этой ком-

чиной формирования коллапса. В данном коротком

поненты скорости в ситуации общего положения не

обзоре мы обсудим такую возможность для МГД-

равна нулю, что в конечном счете приводит к сжи-

уравнений в так называемом кинематическом при-

маемости непрерывно распределенных магнитных

ближении, когда магнитное поле сравнительно мало

силовых линий. На основе этого на качественном

и обратным влиянием растущего магнитного поля

уровне показано, как в конвективной ячейке про-

на поле скорости можно пренебречь. Эта модель яв-

исходит филаментация магнитного поля. В следую-

ляется весьма популярной в теории турбулентного

щем разделе рассмотрено решение задачи о фила-

динамо (см. [18-20] и ссылки там), когда случайное

ментации магнитного поля. Этот процесс возника-

поле скорости является заданным. В этой работе мы

ет при наличии гиперболической области течения,

будем рассматривать в основном случай, когда поле

а сама фокусировка магнитных силовых линий про-

скорости является регулярным. Такая ситуация реа-

исходит в малой окрестности стационарной гипербо-

лизуется в конвективной зоне Солнца. Наблюдения

лической точки. В трехмерной геометрии в конвек-

562

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Заметки о коллапсе в магнитной гидродинамике

тивных ячейках этот процесс должен приводить к

рядка 1000 м/с, а плотность ρ в фотосфере поряд-

формированию филаментов, уплощенных по отно-

ка 10-7 г/см³. Отметим также, что между конвек-

шению к интерфейсам между конвективными ячей-

тивной зоной и фотосферой нет никакого резкого

ками. В последнем разделе обсуждаем вопрос о на-

градиента, плотность меняется плавно (см., напри-

сыщении магнитного поля за счет конечности маг-

мер, обзор [35] и ссылки там). Значение плотности

нитной вязкости.

в конвективной зоне, конечно, больше 10-7 г/см³.

В литературе значение плотности на границе кон-

вективной зоны и фотосферы считается порядка

2. КОНВЕКЦИЯ В АСТРОФИЗИКЕ

10-6-10-5 г/см³. Тем не менее, в области конвек-

тивной ячейки плотность можно считать практиче-

Многочисленные наблюдения распределения

ски неизменной и, соответственно, течение в самой

магнитного поля в зоне конвективных ячеек на

ячейке несжимаемым: div v = 0.

Солнце (см., например, данные миссии SOHO [27],

Главный вопрос, рассмотренный в данном обзо-

а также первые данные, полученные от самого

ре, состоит в качественном объяснении наблюдаемо-

мощного солнечного телескопа DKIST [28]) свиде-

го факта, а именно, почему в конвективных ячейках

тельствуют о сильно неравномерном распределении

происходит филаментация магнитных полей, возни-

магнитного поля уже в пределах одной конвектив-

кающая на границе между ячейками, т. е. на нис-

ной ячейки: магнитное поле сосредоточено в виде

ходящих потоках, и почему в центральной облас-

магнитных филаментов (часто называемых маг-

ти — области восходящего течения — магнитное по-

нитными трубками), поле в которых значительно

ле практически отсутствует. В этом смысле нисходя-

превышает среднее магнитное поле B₀ на Солнце.

щие конвективные потоки для магнитных силовых

Особенно это появляется в областях темных пятен

линий выступают в качестве своеобразных аттрак-

[29]. Согласно многочисленным данным, B₀ состав-

торов. Главная причина этого явления, как будет по-

ляет величину нескольких гаусс (см., например,

казано в данной работе, связана с вмороженностью

[30] и ссылки там). (В данной статье для оценок

магнитных силовых линий в плазму — свойством,

мы будем считать B₀ ∼ 10 Гс.) В каждой конвек-

которое имеет место при нулевой магнитной вязко-

тивной ячейке в ее центре — в области восходящего

сти. Согласно многочисленным данным (см., напри-

потока — магнитное поле практически отсутствует,

мер, [19,20] и ссылки там), в конвективных ячейках

оно сосредоточено в областях нисходящих потоков

магнитное число Рейнольдса Re_m порядка 10⁶, что

в виде филаментов с магнитным полем порядка

позволяет в главном порядке пренебречь магнитной

одного килогаусса или даже больше. Следует от-

вязкостью η_m = c²/4πσ, где σ — проводимость. Дру-

метить, что пересоединение магнитных трубок и

гим важным параметром солнечной конвекции Θ

разнообразные сопутствующие этому явления в

является отношение плотностей кинетической энер-

виде вспышек возникают выше — в верхних слоях

гии ρv²/2 и магнитной энергии B²/(8π). Например,

атмосферы Солнца, в основном, в хромосфере и

для фотосферы с плотностью 10-7 г/см³ это отно-

короне (см., например, книгу [31] и ссылки там).

шение оказывается порядка 10², где для оценки мы

С этой точки зрения, вопрос о возникновении

взяли B₀ = 10 Гс, а скорость 1000 м/с. При прибли-

магнитных филаментов представляется нам весьма

жении к конвективной зоне Θ становится порядка

важным и актуальным.

10³-10⁴. При таком отношении энергий магнитное

Что касается конвективных ячеек, то их гори-

поле слабо влияет на конвекцию и, соответственно,

зонтальный размер L согласно наблюдениям состав-

поле скорости можно считать заданным. В дальней-

ляет порядка 500-1000 км. В соответствии с теоре-

шем мы рассмотрим чисто стационарные течения,

тическими и экспериментальными данными по кон-

более того — двумерные течения, что, по нашему

векции в лабораторных условиях [32] (см. также

мнению, непринципиально для объяснения самого

[33]) вертикальный размер ячеек — порядка их го-

эффекта.

ризонтального размера, что мы будем считать вы-

Используя только два этих предположения, т.е.

полненным для солнечных конвективных ячеек, —

большое магнитное число Рейнольдса и слабое вли-

это наиболее принятое в этих исследованиях пред-

яние магнитного поля на конвекцию, удается пока-

положение. Следует также сказать о скоростях и

зать, что магнитное поле в ячейке только благодаря

плотностях в области конвективных ячеек. Соглас-

конвективному течению стремится к филаментиро-

но измерениям [27], а также многим другим данным

ванному состоянию в виде магнитных трубок, ко-

(см, например, книгу [34]) скорость v в ячейке по-

торые формируются в области нисходящего потока

563

10*

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

и параллельны ему. В области восходящего потока

потоков и при исследовании эволюции магнитных

магнитное поле стремится к нулю, оно выталкива-

полей в галактиках. Как правило, они направле-

ется на периферию конвективных ячеек. Основная

ны перпендикулярно к экваториальной плоскости.

модель конвективной ячейки, которую мы анали-

В ряде работ они изучались путем исследования по-

тически и численно исследовали, является двумер-

токов спиральности магнитного поля, которое явля-

ной с течением в виде валов [32, 33]. В этом случае

ется интегралом движения в идеальной магнитной

мы показываем, что магнитное поле конденсирует-

гидродинамике [45-47]. Также можно отметить ис-

ся в области нисходящего потока, т. е. филамента-

следования о влиянии конвекции на поток магнит-

ция имеет место на границе между ячейками. При

ного поля в ходе звездообразования [48].

этом магнитное поле B только благодаря вморожен-

Все перечисленные выше примеры говорят о

ности растет во времени экспоненциально при одно-

важности изучения конвективных потоков и их вли-

временном экспоненциальном сужении самого фи-

янии на магнитное поле с точки зрения астрофизи-

ламента. Рост магнитного поля и, соответственно,

ки, чему и посвящена настоящая работа.

сужение магнитного филамента, как показано в ра-

боте, останавливается из-за разрушения вморожен-

3. СЖАТИЕ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ И

ности магнитного поля за счет магнитной вязкости.

АТТРАКТОР

В результате происходит насыщение магнитного по-

ля в филаменте на уровне B₀ Re1/2m. При B₀ = 10 Гс

Как сформулировано во Введении, в случае

и Re_m = 10⁶ поле насыщения составляет 10⁴ Гс, что

большого значения плотности кинетической энергии

соответствует наблюдательным данным. Механизм,

по сравнению с плотностью магнитной энергии ди-

который приводит к формированию магнитных фи-

намика магнитного поля описывается уравнением

ламентов для двумерного конвективного течения,

индукции в МГД-приближении при заданном поле

качественно остается практически тем же для трех-

скорости:

мерных конвективных ячеек. Магнитные филамен-

∂B

ты в этом случае должны уплощаться при их росте

= rot[v × B] + η_mΔB, divv = 0.

(1)

в окрестности нисходящего потока. Численные экс-

∂t

перименты, выполненные в работе [36] для гексаго-

В данном случае все уравнения записаны в безраз-

нальных ячеек, а также недавние наблюдения [28]

мерных единицах: расстояния измеряются в своих

свидетельствуют в пользу рассмотренного здесь ме-

типичных значениях L, скорости — в характерных

ханизма филаментации.

значениях V . В случае больших магнитных чисел

Можно также отметить важность других маг-

Рейнольдса, Re_m ≫ 1, это уравнение превращается

нитогидродинамических процессов, возникающих в

в уравнение вмороженности

астрофизике, и их взаимосвязь с конвекцией. Так,

∂B

магнитные поля играют важную роль для аккреци-

= rot[v × B], div v = 0.

(2)

∂t

онных дисков, образующихся около массивных объ-

ектов, таких как черные дыры, нейтронные звезды,

Ввиду векторного произведения в правой части (2)

белые карлики и т. д. [37-39]. Влияние конвекции на

только компонента скорости v_n, нормальная к си-

эволюцию магнитного поля обсуждается достаточ-

ловой линии, может изменить магнитное поле. Тан-

но давно. В работах [40, 41] показана взаимосвязь

генциальная компонента v_τ в этом случае играет

между конвективными движениями и возникнове-

пассивную роль, обеспечивая выполнение условия

нием магниторотационной неустойчивости в аккре-

несжимаемости div (v_n + v_τ ) = 0. Напомним, что

ционных дисках. В литературе также обсуждается

вмороженность магнитного поля означает, что каж-

возможность подавления инверсий магнитного поля

дая лагранжева частица приклеена к своей силовой

в аккреционных дисках за счет аккреции [42]. Мож-

линии и не может ее покинуть. У частицы, таким об-

но отметить некоторые другие работы, посвящен-

разом, есть только одна свобода движения — вдоль

ные моделированию взаимосвязи между конвекцией

магнитного поля, и это движение, очевидно, не из-

и магнитным полем в аккреционных дисках [43,44].

меняет магнитного поля. Отсюда немедленно следу-

Также можно ожидать, что представления о конвек-

ет, что v_n есть скорость движения самой магнитной

тивных потоках позволят детально описать процесс

силовой линии. Этот факт имеет простое геометри-

взаимодействия между магнитным полем централь-

ческое объяснение. Если рассмотреть произвольную

ного объектом и аккреционного диска. Достаточно

кривую, то всякая деформация вдоль кривой, оче-

существенным может быть влияние конвективных

видно, не меняет ее положения; изменяют положе-

564

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Заметки о коллапсе в магнитной гидродинамике

ние кривой только деформации, нормальные к этой

линии.

С другой стороны, в ситуации общего положе-

ния div v_n = 0, из этого, согласно [17], следует, что

непрерывно распределенные линии магнитного поля

представляют собой сжимаемые объекты. Рассмот-

рим лагранжевы траектории, задаваемые скоростью

магнитных силовых линий v_n:

= v_n(r, t) r|t=0 = a.

Решение этих уравнений r = r(a, t) задает сжима-

Рис. 1. (В цвете онлайн) Линии магнитного поля в конвек-

емое отображение. Последнее следует из уравнения

тивной ячейке

для якобиана этого отображения J = det(∂x_i/∂a_k):

= div v_n · J.

(3)

и показывают направление нормальной компонен-

. Из этого простого рисунка сразу

ты скорости v_n

Важно отметить, что уравнение (2) допускает ча-

следует, что в полосе -π/2 ≤ y ≤ 0 все магнитные

стичное интегрирование в терминах r = r(a, t) (см.

силовые линии правой ячейки двигаются, прибли-

[13, 15, 17]):

жаясь к линии x = 0 слева, а все магнитные сило-

(B₀(a)∇_a)r(a, t)

вые линии из левой ячейки — приближаясь к этой

B(r, t) =

(4)

линии справа. Таким образом, конвективное течение

собирает все силовые линии магнитного поля на ли-

Здесь B₀(a) — распределение магнитного поля при

нию x = 0. Подчеркнем, что такой процесс оказы-

t = 0. Оно играет ту же самую роль, что и инва-

вается возможным благодаря сжимаемости непре-

риант Коши [17] в идеальной гидродинамике (см.

рывно распределенных магнитных силовых линий.

также [15, 49, 50]).

Конвективное течение сгребает все магнитные сило-

Из уравнения (3) следует, что якобиан J в ситуа-

вые линии, формируя магнитный филамент. В этом

ции общего положения, div v_n, может принимать

случае, как легко видно на этой картинке, наиболь-

произвольные значения, в частности, нулевые, ко-

шее магнитное поле должно возникать в окрестнос-

гда согласно (4) магнитное поле становится беско-

ти точки x = y = 0. Это точка для конвективно-

нечно большим. Благодаря этому свойству, а также

го течения является гиперболической. Именно из-

тому, что скорость v_n представляет собой скорость

за гиперболичности, как будет показано в следую-

перемещения силовых линий, становится ясным, что

щем разделе, происходит формирование филамента.

перенос магнитного поля скоростью v_n будет осу-

Отметим, что сгребание магнитного поля возникает

ществляться до тех пор, пока нормальная компо-

благодаря вмороженности магнитного поля.

нента не обратится в нуль, т. е. когда B∥v. Облас-

ти, где B∥v, должны представляться для магнитно-

го поля своеобразными аттракторами. В трехмер-

ном пространстве, как будет рассмотрено ниже, эти

4. КОНВЕКТИВНАЯ ЯЧЕЙКА И

аттракторы должны быть двумерными. Если поле

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

скорости является стационарным, то на аттракторе

магнитное поле может достигать больших величин,

Обсудим, как устроено поле скорости в одной

возможно, даже бесконечных, если пренебречь маг-

конвективной ячейке. В центре ячейки имеется вос-

нитной вязкостью.

ходящий поток, а на ее границе — поток, движущий-

На рис. 1 схематически представлено движение

ся вниз. В простейшей двумерной геометрии ско-

магнитных силовых линий (помечены красным) в

рость в ячейке можно представить через функцию

поле скорости конвективной ячейки. Линии скорос-

тока ψ:

ти имеют синий цвет, а стрелки указывают направ-

ление течения. На пересечении красных и синих ли-

v_x = -∂_yψ, v_y = ∂_xψ.

ний нарисованы черные стрелки, показывающие на-

правление движения магнитных линий. Эти стрел-

Для периодической цепочки валов с циркуляцией,

ки перпендикулярны магнитным силовым линиям

меняющей свой знак при переходе от одной ячейки

565

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

к другой, ψ может быть записана в виде произведе-

когда магнитное поле лежит в плоскости конвектив-

ния двух синусов:

ного течения, введем магнитный потенциал, пред-

ставив его в виде

ψ = C sin(k₁x)sin(k₂y).

A = -B₀x + a,

(6)

В результате

v_x = -Ck₂ sin(k₁x) cos(k₂y),

где магнитное поле B₀ предполагается однородным,

v_y = Ck₁ cos(k₁x)sin(k₂y).

направленным вдоль оси y, а флуктуация a — пери-

одической функцией координат как по x, так и по

Для стационарной системы валов для конвекции Бе-

y. Последнее автоматически будет сохранять пол-

нара k₁ = k₂, но они одного порядка [32] (см. также

ный поток магнитного поля через границу y = 0.

[33]). Как будет видно ниже, для всего последующе-

Пусть флуктуации в начальный момент времени от-

го это непринципиально, поэтому далее для просто-

сутствуют, a(t = 0) = 0, т. е. мы стартуем с однород-

ты положим k₁ = k₂ = 1, а константу C = 1 (это со-

ного магнитного поля.

ответствует переходу к безразмерным переменным).

Как было пояснено выше (см. рис. 1), филамен-

В результате

тация магнитного поля должна появиться в правом

ψ = sinxsiny,

(5)

верхнем углу левой ячейки вблизи начала нисходя-

а компоненты скорости

щего течения при x = y = 0. Рост магнитного поля в

точке максимума должен наблюдаться вблизи имен-

v_x = - sinxcosy,

но этой точки.

v_y = cosxsiny.

Уравнение для магнитного потенциала A полу-

При этом линию y = 0 будем считать верхней грани-

чается путем интегрирования уравнения вморожен-

ности (2):

цей конвективных ячеек. Скорость вдоль границы в

∂A

этом случае параллельна поверхности, нормальная

+ (v · ∇)A = 0,

(7)

∂t

компонента соответственно равна нулю.

где магнитное поле выражается стандартным обра-

В численном эксперименте мы приводим резуль-

зом через производные от A:

таты для двух ячеек с одним общим интерфейсом

x = 0, вдоль которогоохлажденная жидкость двига-

∂A

ется вниз. Двум ячейкам соответствует прямоуголь-

B_x =

B_y = -

(8)

∂y

∂x

ная область [-π ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ -π]. Вдоль линий

x = ±π, 0 ≤ y ≤ -π жидкость всплывает (восхо-

Из этих соотношений следует, что линии постоянно-

дящие потоки), а вдоль центральной линии x = 0,

го значения A совпадают с магнитной силовой ли-

0 ≤ y ≤ -π — опускается вниз (нисходящий поток).

нией. С другой стороны, из уравнения (7) в силу

Если в начальный момент времени магнитное поле

скалярного произведения (v · ∇A) следует, что в (7)

B₀ направлено вдоль оси y, то тогда можно видеть,

входит только нормальная компонента скорости к

что нормальная компонента скорости по отношению

эквипотенциальной поверхности A = const, т. е. к

к B₀ будет иметь положительные x-проекции в верх-

магнитной силовой линии.

нем правом углу левой ячейки, т. е. линии x = 0,

Уравнение для A просто интегрируется с помо-

0 ≤ y ≤ π/2, и отрицательные x-проекции — в верх-

щью метода характеристик. Уравнение для харак-

нем левом углу правой ячейки. Таким образом, маг-

теристики имеет вид

нитные силовые линии в этой области будут притя-

гиваться к нисходящему потоку, т. е. к центральной

= v(r)

линии, где должен формироваться филамент. Ана-

логичная картина должна возникать соответственно

с начальными условиями r|t=0 = a. Данные уравне-

в нижних левом и правом углах прямоугольника.

ния при записи покомпонентно представляют собой

уравнения Гамильтона

5. ФИЛАМЕНТАЦИЯ

∂ψ

(9)

∂y

∂x

Обратимся теперь к нахождению магнитного по-

ля в зависимости от времени и координаты. Эта за-

с начальными условиями x(t = 0) = a_x и y(t = 0) =

дача в общей постановке для уравнения (2) выгля-

= a_y. Координаты x и y в этих уравнениях яв-

дит следующим образом. В двумерной геометрии,

ляются канонически сопряженными величинами, а

566

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Заметки о коллапсе в магнитной гидродинамике

функция тока ψ(x, y) представляет собой гамильто-

Уравнения (9) просто интегрируются. Из урав-

ниан. Поскольку поле скорости не зависит от време-

нения ψ(x, y) = ψ(a_x, a_y) можно найти, например,

ни, ψ(x, y) есть сохраняющаяся величина. При этом

y = y(x,a_x,a_y) и затем подставить эту зависимость

магнитный потенциал на характеристике не меня-

в правую часть первого уравнения (9). В результате

ется в зависимости от времени. Таким образом, ди-

уравнение для x,

намика системы (9) определяется свойствами функ-

ции Гамильтона ψ(x, y). Для ограниченной области

= v_x(x, a_x, a_y),

функция ψ(x, y) как двумерный рельеф характери-

зуется своими экстремумами — минимумами, макси-

тривиально интегрируется. Таким образом, мы при-

мумами и седловыми точками. В точках экстремума

ходим к общему решению задачи Коши для уравне-

градиент от ψ(x, y) равен нулю, что соответствует

ния (7), которое записывается в неявном виде.

нулевой скорости. Экстремальная точка определя-

Нас будет интересовать поведение максималь-

ется из разложения ψ(x, y) в окрестности экстрему-

ного магнитного поля. Качественные соображения,

ма r = r₀:

приведенные выше, показывают, что максимум маг-

нитного поля должен находиться в малой окрест-

ψ(r) = ψ(r₀) +

D_ijΔx_iΔx_j + . . .,

(10)

ности точки x = y = 0, т. е. в начале нисходяще-

го потока, на границе между ячейками. Рассмотрим

где Δr = r - r₀,

малые отклонения от точки x = 0, y = 0, считая



x и y малыми. Для таких значений x и y функция

∂²ψ

D_ij =



тока в соответствии с (5) может быть приближенно

∂x_i∂x_j

r=r0

записано как

В максимуме или минимуме квадратичная форма

ψ = xy.

D_ijΔx_iΔx_j знакоопределена. В этой точке собствен-

Начальное условие для ψ, очевидно, имеет вид

ные значения матрицы D_ij являются знакоопреде-

ленными, если выполнено следующее неравенство:

ψ=a_xa_y.

ψ_xxψ_yy - ψ2xy > 0.

(11)

Для такой функции тока уравнение для x превра-

щается в линейное:

Согласно [23,24] такие точки называют эллиптичес-

кими, соответственно области, где выполнено нера-

= -x,

венство (11), — эллиптическими. При другом знаке

в неравенстве (11) стационарная точка становится

решение которого дает экспоненциальное сужение

гиперболической, а область с другим знаком в (11)

масштаба

называется соответственно гиперболической.

x=a_xe^-t.

(12)

Вдоль характеристики x(t), y(t) потенциал A по-

Для y имеет место экспоненциальный рост: y = a_ye^t.

стоянен и представляет собой пассивный скаляр. В

Из этих асимптотик можно найти поведение магнит-

зависимости от характера области (эллиптического

ного поля в этой области. Для этого нужно пере-

или гиперболического) потенциал A будет вести се-

считать производные по x и по y в уравнениях (8)

бя по-разному.

через производные по переменным a_x, a_y. Наиболее

Так, например, для функции тока (5) точка x =

простой способ такого пересчета основан на техни-

= y = 0 является гиперболической; к ней, согласно

ке якобианов. Отметим, что в силу гамильтоновости

рис. 1, магнитное поле должно притягиваться, что

уравнений (9) якобиан

ведет к филаментации магнитного поля. Точка x =

= y = -π/2, наоборот, представляет собой эллипти-

∂(x, y)

= 1.

ческую точку, вокруг которой векторный потенциал

∂(a_x, a_y)

будет вращаться.

В частности, для B_x мы имеем следующую цепочку

Рассмотрим теперь решение задачи для началь-

преобразований:

ного условия (6) для функции тока (5). В силу того,

что флуктуации магнитного потенциала a при t = 0

∂(A, x)

отсутствуют, магнитный потенциал на характерис-

B_x =

∂(y, x)

∂(a_y, a_x)

тике будет равен A = -B₀a_x, т. е. зависит только

∂A ∂x

от начального значения x-координаты жидких час-

(13)

тиц a_x.

∂a_y ∂a_x

∂a_x ∂a_y

567

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Аналогичные вычисления для B_y дают

∂(A, y)

B_y = -

∂(x, y)

∂(a_x, a_y)

∂A ∂y

(14)

∂a_x ∂a_y

∂a_y ∂a_x

Отсюда для найденной асимптотики x → 0 и y → 0

находим

B_x = 0, B_y = B₀e^t.

(15)

Рис. 2. (В цвете онлайн) Векторный потенциал магнитного

Если в начальный момент времени x-компонента

поля в идеальном случае при t = 1

магнитного поля не равна нулю, то B_x затухает со

временем экспоненциально (см. ниже). Таким обра-

зом, максимальное значение магнитного поля растет

во времени экспоненциально в окрестности гипер-

болической точки. Важно, что максимальное поле

направлено вдоль нисходящего потока.

6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

При численном интегрировании уравнений МГД

Рис. 3. (В цвете онлайн) Векторный потенциал магнитного

вначале находился магнитный потенциал (6) для

поля в идеальном случае при t = 2

флуктуаций a, определяемых из уравнений (7):

∂a

+ (v · ∇)a = v_xB₀.

(16)

∂t

Эта задача решалась в области -π < x < π, -π <

< y < π с периодическими граничными условиями

по обеим координатам с выделением в дальнейшем

нижней полосы (π < y < 0), соответствующей кон-

вективным ячейкам. Зная магнитный потенциал, по

формулам (8) можно вычислить магнитное поле. В

целях удобства среднее магнитное поле было выбра-

Рис. 4. (В цвете онлайн) Векторный потенциал магнитного

но B₀ = 1.

поля в идеальном случае при t = 5

Численно уравнение

(16) решалось на сетке

2000 × 2000 с помощью явной численной схемы c

малым шагом, обеспечивающим устойчивость алго-

ритма [51]. Шаг по времени выбирался соответству-

ющим пространственному шагу, в большинстве слу-

На рис. 5 представлена координатная зависи-

чаев он составлял величину Δt = 2.5 · 10-5.

мость вертикальной компоненты магнитного поля

На рис. 2-4 представлены результаты интегриро-

на оси x. Отметим, что линии уровня векторного

вания для векторного потенциала A(x, y) для трех

потенциала направлены вертикально, т. е. горизон-

моментов времени. Напомним, что линии уровня

тальная компонента магнитного поля обращается в

A(x, y) совпадают с силовыми линиями магнитного

нуль. На оси x происходит формирование пика маг-

поля, которым на рисунках соответствуют границы

нитного поля в точке x = 0, ширина которого умень-

между областями одного цвета. Можно видеть, что

шается по мере его роста.

со временем растет закрутка линий магнитного поля

внутри ячеек, что указывает на то, что эта область

Максимум магнитного поля в филаменте растет

является эллиптической. При этом на оси y линии со

со временем экспоненциально с инкрементом γ = 1

временем сгущаются, что соответствует росту маг-

(рис. 6 и 7, черные кривые) в полном соответствии

нитного поля в центре — на нисходящем потоке.

с аналитическим выражением (15).

568

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Заметки о коллапсе в магнитной гидродинамике

Рис. 5. (В цвете онлайн) Магнитное поле на оси x. Черная

Рис. 7. (В цвете онлайн) Инкремент γ = d(ln Bmax)/dt.

линия показывает случай t = 1, красная — t = 2

Черная кривая показывает идеальный случай, красная —

Rem = 10, синяя — Rem = 10², зеленая — Rem = 10³

Рис. 8. (В цвете онлайн) z-компонента векторного потен-

циала магнитного поля при t = 5, Rem = 10²

Рис. 6. (В цвете онлайн) Эволюция магнитного поля со

ной магнитной вязкости. В этом случае в уравнении

временем. Черная кривая показывает идеальный случай,

для a появляется член, ответственный за магнитную

красная — Rem = 10, синяя — Rem = 10², зеленая —

вязкость:

Rem = 10³

∂a

+ (v · ∇)a = B₀v_x +

Δa,

∂t

Re_m

Из сохранения потока магнитного поля через го-

где Re_m — магнитное число Рейнольдса (в этом

ризонтальную поверхность,

уравнении мы используем безразмерные перемен-

∫π

ные).

Φ = B_ydx,

Пространственное распределение векторного по-

-π

тенциала для случая Re_m = 10² показано на рис. 8.

По сравнению с бездиссипативным случаем никаких

следует оценка для ширины пика: Δ ≈ 2πe^-t, кото-

кардинальных изменений не происходит, за исклю-

рая согласуется с (12).

чением несколько меньшей закрученности.

Однако гораздо больший интерес представляет

изучение эволюции магнитного поля со временем

7. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА ЭВОЛЮЦИЮ

для разных магнитных чисел Рейнольдса и ее срав-

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

нение со случаем нулевой магнитной вязкости. На

Рост магнитного поля в филаменте связан с вмо-

раннем этапе, когда работает вмороженность, рост

роженностью, которая разрушается за счет конеч- магнитного поля происходит по экспоненциальному

569

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

закону, а потом с уменьшением толщины филамен-

та происходит насыщение — выход на стационарное

значение B_sat за счет разрушения вмороженности.

При этом, по мере уменьшения числа Рейнольдса

данное значение уменьшается (рис. 6).

Для оценки B_sat вернемся к исходному уравне-

нию для магнитного поля (1), записанному в безраз-

мерном виде:

∂B

= rot[v, B] +

ΔB.

(17)

∂t

Re_m

Как показывает численный эксперимент, а также

аналитические вычисления, на прямой y = 0 маг-

нитное поле максимально в точке x = 0. В окрест-

ности этой точки магнитное поле (имеющее только

Рис. 9. (В цвете онлайн) Магнитное поле на оси x при

одну вертикальную компоненту) подчиняется урав-

t = 5. Черная линия показывает идеальный случай, крас-

нению, которое следует из (17):

ная — Rem = 10²

∂B_y

∂

∂²B_y

(xB_y ) +

∂t

∂x

Re_m ∂x²

В размерных переменных время роста

Стационарное решение этого уравнения находится

из интегрирования

L²

1 L²

⁽LV).

t₀ = T

η_m

2 η_m

η_m

∂

∂²B_y

(B_yx) +

= 0,

∂x

Re_m

∂x²

8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

что дает

(

)

Таким образом, для двумерных течений фила-

(x - x₀)²

B(x) = B_max exp

(18)

ментация магнитного поля происходит в области

2 Re_m

нисходящего потока. Экспоненциальный рост маг-

Очевидно, что константа интегрирования x₀ долж-

нитного поля наблюдается в окрестности гипербо-

на быть положена нулю, а величину B_max следует

личности течения, что, по нашему мнению, являет-

определить из сохранения потока магнитного поля.

ся главным критерием возможности филаментации

Из (18) имеем

магнитного поля.

√

В рассмотренном нами случае конвективных ва-

2π

Φ≈B_max

(19)

лов это происходит в окрестности гиперболической

Re_m

точки x = y = 0, где компоненты скорости v рав-

В начальный момент Φ = 2πB₀, откуда следует

ны соответственно v_x = -x, v_y = y. Перпендикуляр-

оценка для максимальной амплитуды:

ная оси y компонента скорости v_x, благодаря вморо-

√

женности, собирает магнитное поле, приводя к экс-

B_max = B₀

2π Re_m.

поненциальному росту. Возникает вопрос, насколь-

ко чувствительным является влияние третьей ком-

Следует отметить, что подобная оценка была полу-

поненты магнитного поля для реальной трехмер-

чена в ряде работ [23, 25, 26]. К сожалению, опре-

ной задачи. Как отмечалось, рост магнитного поля

делить, когда данная оценка была получена впер-

в двумерной ситуации определяется гиперболично-

вые, достаточно затруднительно. Отметим, что дан-

стью течения вблизи интерфейса двух конвектив-

ные оценки для магнитного поля близки к результа-

ных ячеек. В трехмерном случае эта гиперболич-

там численного моделирования (рис. 6, 9). Ширина

ность сохраняется: при приближении к интерфейсу

δ этого распределения определяется только вязкос-

течение можно считать плоским, т. е. оно имеет ту

тью. В размерных переменных δ ∼ L/√Rem. Время

же структуру, что и в двумерном случае:

выхода на стационарное значение может быть оце-

нено как

v_x = -x, v_y = y, v_z = 0.

(20)

T ∼

ln Re_m .

570

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

Заметки о коллапсе в магнитной гидродинамике

В этом случае поведение третьей компоненты маг-

скольку в центре ячейки за счет выталкивания маг-

нитного поля, параллельной интерфейсу, в его

нитного поля на периферию течение практически

окрестности согласно (2) будет определяться из

не зависит от магнитного поля, а в области нисхо-

уравнения

дящего течения, где формируется магнитный фила-

∂B_z

мент, магнитное поле параллельно течению и долж-

+ (v∇)B_z = 0.

(21)

∂t

но быть практически стационарным.

Таким образом, в окрестности плоскости интерфей-

Отметим также, что представленные в данной

са B_z представляет собой лагранжев инвариант, ко-

работе результаты в целом подтверждаются числен-

торый не изменяется при движении вместе с плаз-

ным моделированием [36, 52, 53] и данными наблю-

мой. При учете вязкого затухания B_z будет зату-

дений [54, 55], свидетельствующими о корреляции

хать. Что касается двух других компонент магнит-

усиливающихся магнитных полей с нисходящими

ного поля, то они находятся из уравнений вморо-

потоками. Кроме того, стоит упомянуть ряд чис-

женности

ленных результатов [36, 56], полученных для кон-

вективных ячеек шестиугольной формы, в которых

∂B_x

+ (v∇)B_x = -B_x,

наблюдается указанная корреляция.

∂t

∂B_y

+ (v∇)B_y = B_y,

Благодарности.

Авторы

благодарны

∂t

В. В. Красносельских, И. Н. Китиашвили, А. Г. Ко-

где скорость дается формулой (20). Из второго урав-

совичеву и И. В. Колоколову за полезные обсужде-

нения следует, что компонента B_y растет экспонен-

ния и ряд ценных замечаний.

циально (ср. с (15)), а B_x, наоборот, затухает экспо-

Финансирование. Работа Е. К. выполнена

ненциально, примерно по закону e^-t. Этот процесс

при поддержке Российского научного фонда (грант

продолжается до тех пор, пока не разрушится вмо-

№19-72-30028), работа Е. М. выполнялась в рам-

роженность и магнитное поле в филаменте не до-

ках проекта Министерства науки и высшего образо-

стигнет значение насыщения за счет магнитной вяз-

вания РФ «Экстремальные явления и когерентные

кости. Из этого следует, что филаменты магнитного

структуры в нелинейной физике» .

поля должны быть сплюснуты относительно плос-

кости интерфейса. Важно отметить также, что раз-

ница между горизонтальной и вертикальнрй компо-

ЛИТЕРАТУРА

нентами магнитного поля оказывается большой.

1. А. Н. Колмогоров, ДАН СССР 30, 299 (1941).

Обсудим теперь, как влияют изменчивость кон-

вективных ячеек на механизм формирования маг-

2. А. М. Обухов, ДАН СССР 32, 22 (1941).

нитных филаментов и магнитное поле филамента —

3. D. Chae, in Handbook of Differential Equations: Evo-

на конвективное течение.

lutionary Equation, ed. by C. M. Dafermos and

Характерное время изменчивости конвективных

M. Pokorny, Elsevier, Amsterdam (2008), Vol. 4, p. 1.

ячеек может быть оценено как отношение размера

4. J. D. Gibbon, Physica D 237, 1894 (2008).

ячейки L ∼ 10⁸ см к характерной скорости V

∼

∼ 10⁵ см/с, что согласуется с данными наблюдений.

5. T. Y. Hou and R. Li, J. Comp. Phys. 226, 379 (2007).

Это время порядка обратного инкремента γ-1, т. е.

6. W. Wolibner, Math. Z. 37, 698 (1933).

усиление магнитного поля в «спокойном» режиме

составляет грубо один порядок, но при этом кон-

7. T. Kato, Arch. Ration. Mech. Anal. 25, 189 (1967).

вективное движение не прекращается и поэтому вы-

8. В. И. Юдович, ЖВМиМФ 3, 1032 (1963).

талкивание магнитного поля из центра ячейки на

периферию не останавливается. Второй вопрос —

9. E. A. Kuznetsov, V. Naulin, A. H. Nielsen et al.,

учет обратного влияния магнитного поля на харак-

Theor. Comput. Fluid Dyn. 19, 105110 (2007).

теристики течений. Для типичной скорости порядка

10. D. S. Agafontsev, E. A. Kuznetsov, and A. A. Maily-

10⁵ см/с и характерной плотности около 10-5 г/см³

baev, Phys. Fluids 27, 085102 (2015).

можно получить, что вплоть до напряженности маг-

11. Д. С. Агафонцев, Е. А. Кузнецов, А. А. Майлыба-

нитного поля порядка 1 кГс имеет смысл говорить о

ев, Письма в ЖЭТФ 104, 695 (2016).

слабом влиянии магнитных полей на характеристи-

ки течений. Для больших полей, по нашему мнению,

12. D. S. Agafontsev, E. A. Kuznetsov, and A. A. Maily-

этот механизм должен, тем не менее, работать, по-

baev, J. Fluid Mech. 813, R1 (2017).

571

Е. А. Кузнецов, Е. А. Михайлов

ЖЭТФ, том 158, вып. 3 (9), 2020

13.

Е. А. Кузнецов, В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 67,

35.

A. G. Kosovichev, Space Sci. Rev. 144, 175 (2009).

1015 (1998).

36.

A. V. Getling, O. S. Mazhorova, and O. V. Shcherli-

14.

E. A. Kuznetsov and V. P. Ruban, Phys. Rev. E 61,

tsa, in Proceedings of the International Astronomical

831 (2000).

Union, IAU Symposium (2013), Vol. 294, p. 137.

15.

Е. А. Кузнецов, Письма в ЖЭТФ 76, 406 (2002).

37.

N. I. Shakura and R. A. Sunyaev, Astron. Astrophys.

24, 337 (1973).

16.

Е. А. Кузнецов, Е. В. Серещенко, Письма в ЖЭТФ

109, 231 (2019).

38.

G. Rüdiger, D. Elstner, and T. F. Stepinsky, Astron.

Astrophys. 298, 334 (1995).

17.

E. A. Kuznetsov, T. Passot, and P. L. Sulem, Phys.

Plasm. 11, 1410 (2004).

39.

D. Moss, D. Sokoloff, and V. Suleimanov, Astron.

Astrophys. 588, A18 (2016).

18.

M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, and M. Ver-

gassola, Phys. Rev. Lett. 83, 4065 (1999).

40.

J. F. Hawley, S. A. Balbus, and J. M. Stone, Astro-

phys. J. 554, L49 (2001).

19.

A. A. Schekochihin, S. C. Cowley, S. F. Taylor,

J. L. Maron, and J. McWilliams, Astrophys. J. 612,

41.

R. Narayan, E. Quataert, I. V. Igumenshchev et al.,

276 (2004).

Astrophys. J. 577, 295 (2002).

20.

Д. Д. Соколов, УФН 185, 643 (2015).

42.

M. S. B. Coleman, E. Yerger, O. Blaes et al, Mon.

Not. R. Astron. Soc. 467, 2625 (2017).

21.

E. N. Parker, Astrophys. J. 138, 552 (1963).

43.

M. Ghasemnezhad, M. Not. R.Astron.Soc. 469, 3322

22.

Е. Паркер, Космические магнитные поля, их об-

(2017).

разование и проявления, Мир, Москва (1982).

44.

W. Bethune and L. Henrik, arXiv:2003.13263.

23.

J. Weiss, Physica D: Nonlinear Phen. 48, 273 (1991).

45.

A. Shukurov, D. Sokoloff, K. Subramanian et al.,

24.

A. Okubo, Deep Sea Research and Oceanographic

Astron. Astrophys. 448, L33 (2006).

Abstracts 17, 445 (1970).

46.

S. Sur, A. Shukurov, and K. Subramanian, Mon. Not.

25.

D. J. Galloway and N. O. Weiss, Astrophys. J. 243,

R. Astron. Soc. 377, 874 (2007).

945 (1981).

47.

Е. А. Михайлов, Письма в Астрон. журн. 39, 474

26.

M. Stix, The Sun: an Introduction, Springer, Berlin

(2013).

(2002).

48.

J. Braithwaite, Mon. Not. R. Astron. Soc. 422, 619

27.

URL: https://sohowww.nascom.nasa.gov/gallery/

(2012).

images/304time.html.

49.

E. I. Yakubovich and D. A. Zenkovich, J. Fluid Mech.

28.

URL:

https://www.nso.edu/telescopes/dkist/

443, 167 (2001).

first-light-full-image/.

50.

В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, УФН 167, 1137

29.

S. K. Solanki, Astron. Astrophys. Rev. 11,

153

(1997).

(2003).

51.

А. А. Самарский, Ю. П. Попов, Разностные мето-

30.

S.Bose and K. Nagaraju, Astrophys. J. 862,

ды решения задач газовой динамики, Наука, Моск-

(2018).

ва (1982).

31.

M. Ryutova, Physics of Magnetic Flux Tubes, Sprin-

52.

А. В. Гетлинг, Астрон. журн. 78, 661 (2001).

ger, Berlin (2015).

53.

I. N. Kitiashvili, A. G. Kosovichev, A. A. Wray et al.,

32.

Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Конвективная

Astrophys. J. 719, 307 (2010).

неустойчивость несжимаемой жидкости, Нау-

ка, Москва (1972).

54.

S. K. Tiwarui, M. van Noort, A. Lagg et al., Astron.

Astrophys. 557, A25 (2013).

33.

Е. А. Кузнецов, М. Д. Спектор, ПМТФ 2, 76

(1980).

55.

V. Zakharov, J. Hirzberger, T. L. Riethmüller et al.,

Astron. Astrophys. 488, L17 (2008).

34.

J. A. Eddy,A New Sun: the Solar Results from Skylab,

402

Scientific and Technical Information Office,

56.

A. V. Getling and X. M. Bao, in Proceed. of IAU Sym-

National Aeronautics and Space Agency, Washington

posium, ed. by F. Kupka, I. Roxburg, and K. Chan,

(1979).

Prague (2006), Vol. 239, p. 496.

572