ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 4 (10), стр. 613-625

ПРОВЕРКА ГИБРИДНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ-ПАЛАТИНИ

f (R)-ГРАВИТАЦИИ В ДВОЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПУЛЬСАРОМ

Н. А. Авдеевa,b*, П. И. Дядинаa**, С. П. Лабазоваc***

^a Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

^b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

^c Механико-математический факультет,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 24 марта 2020 г.,

после переработки 28 апреля 2020 г.

Принята к публикации 28 апреля 2020 г.

Рассматривается применение параметризованного посткеплеровского (ППК) формализма к гибридной

метрической-Палатини f(R)-гравитации. В общем случае орбит с ненулевым эксцентриситетом получе-

ны аналитические выражения для четырех ППК-параметров: ω,

b, r и s. С учетом данных систем PSR

J0737-3039 и PSR J1903+0327 накладываются ограничения на параметры гибридной f(R)-гравитации

и показано, что теория не противоречит наблюдательным данным, полученным от систем с сильным

гравитационным полем. Также получены предсказания для масс компонентов систем и показано, что

рассмотренные астрофизические объекты будут иметь большие массы относительно предсказаний об-

щей теории относительности.

DOI: 10.31857/S0044451020100041

даемое ускоренное расширение Вселенной в рам-

ках ОТО. Другой причиной является темная мате-

1. ВВЕДЕНИЕ

рия, одна из основных проблем современной физи-

ки [3, 4]. В научных кругах не все поддерживают

Общая теория относительности (ОТО) является

идею о необходимости поиска новых неизвестных

одной из самых успешных теорий, известных в на-

частиц для объяснения темной материи. Существу-

стоящий момент. Она позволяет описывать огром-

ют теории гравитации, которые позволяют дать чи-

ное количество явлений в широком диапазоне мас-

сто геометрическое описание явлений, приписывае-

штабов и гравитационных режимов. ОТО успешно

мых темной материи. Одной из таких теорий, ко-

прошла множество различных проверок [1]. Одним

торая предлагает единый подход к проблемам тем-

из последних и, пожалуй, основных ее достижений

ной энергии и темной материи, является гибридная

является предсказание гравитационных волн, суще-

метрическая-Палатини f(R)-гравитация [5, 6].

ствование которых было зарегистрировано детекто-

Гибридная f(R)-гравитация принадлежит

ром LIGO [2].

большому семейству f(R)-теорий

[7-9]. Модели

Однако, несмотря на такой успех, всевозрастаю-

f (R)-гравитации представляют собой один из

щее внимание уделяется теориям гравитации, рас-

самых простых способов расширения действия

ширяющим ОТО. Основной причиной растущего

Эйнштейна - Гильберта. Все f(R)-теории строятся

интереса к модифицированным теориям гравитации

путем обобщения гравитационной части действия

является невозможность полностью описать наблю-

за счет введения произвольной функции скалярной

кривизны R. Модели f(R)-гравитации успешно

^* E-mail: naavdeev1995@mail.ru

^** E-mail: guldur.anwo@gmail.com

применяются для описания инфляции в ранней

^*** E-mail: sp.labazova@physics.msu.ru

Вселенной [10]. Более того, f(R)-гравитация обес-

613

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

печивает красивое и естественное объяснение

ляется проблема с прохождением стандартных те-

современного ускоренного расширения Вселенной,

стов в Солнечной системе [27-29]. Тем не менее су-

которое является прямым следствием этой теории.

ществует в метрическом подходе класс жизнеспособ-

Кроме этого, f(R)-гравитация привлекательна в

ных моделей, который был подробно изучен в рабо-

качестве альтернативы модели ΛCDM, поскольку

тах [14,17,19]. Их жизнеспособность достигается пу-

она позволяет одновременно описывать инфляцию в

тем применения хамелеонного механизма [13,30-32].

ранней Вселенной и ускоренное расширение в позд-

С другой стороны, f(R)-гравитация Палатини

них этапах эволюции [11-18]. Также f(R)-модели

позволяет успешно описывать как современное уско-

хорошо согласуются с наблюдательными космоло-

ренное расширение Вселенной, так и Солнечную си-

гическими данными и практически неотличимы от

стему. Но, несмотря на это привлекательное свой-

ΛCDM [19].

ство, f(R)-модели Палатини приводят к неприем-

Все модели f(R)-гравитации можно разделить

лемым особенностям в эволюции космологических

на два основных класса: метрический и Палати-

возмущений [33,34].

ни. Они различаются методом получения уравне-

Недавно был предложен новый класс f(R)-тео-

ний поля. В метрических f(R)-теориях g_μν является

рий [6]. Он объединяет в себе преимущества мет-

единственной динамической переменной. В f(R)-мо-

рической и Палатини f(R)-моделей, но при этом

делях Палатини метрика и символы Кристоффеля

лишен их недостатков. Этот подход получил на-

являются независимыми величинами. Таким обра-

звание гибридной f(R)-гравитации. Модели в рам-

зом, метрический подход дает дифференциальные

ках данного подхода имеют как метрическую, так

уравнения поля четвертого порядка, тогда как в ме-

и Палатини часть. Существует только один реали-

тоде Палатини эти уравнения имеют второй поря-

стичный вариант гибридной f(R)-гравитации: в нем

док [20, 21].

метрическая часть представлена скалярной кривиз-

Вопрос об эквивалентности двух подходов был

ной R, тогда как часть Палатини является произ-

подробно изучен во многих работах. В [22, 23] бы-

вольной функцией кривизны Палатини R [5]. Да-

ло показано, что метрический формализм не экви-

лее, гибридная f(R)-гравитация может быть пред-

валентен формализму Палатини (в первом прибли-

ставлена как динамически эквивалентная скалярно-

жении). Более общее доказательство было дано в

тензорная модель. В этом случае скалярное поле

работе [24, 25]. Ясно, что общая нелинейная теория

проявляется на больших масштабах и играет актив-

гравитации может привести к неэквивалентной гра-

ную роль в космологии. Также оно обеспечивает ре-

витационной физике, в зависимости от выбора мет-

алистичное описание галактической динамики. Бо-

рического подхода или подхода Палатини. Однако в

лее того, существование такого скалярного поля со-

работе [26] авторы доказали, что формализм Пала-

гласуется с экспериментами в локальных системах,

тини приводит к ускоренному расширению Вселен-

даже если скалярное поле очень легкое.

ной тем же путем, который реализуется в метриче-

Гибридная f(R)-гравитация в различных аспек-

ском подходе в случае нелинейных гравитирующих

тах изучалась во многих работах. Например, ста-

систем, описываемых лагранжианом

тическая вселенная Эйнштейна была исследована в

работе [35]. Также изучались различные космологи-

√-g(R + f(R)L_d) + k²L_mat(Ψ),

ческие модели [36, 37]. Ускоренное расширение Все-

ленной описано в статье [38]. Кроме того, гибрид-

где R — кривизна, L_d — лагранжиан скалярного

ная f(R)-гравитация была исследована на различ-

поля, L_mat(Ψ) — лагранжиан материи, k² = 8πG.

ных масштабах: от звезд до скоплений галактик.

Тогда в случае эффективных фантомных моделей

Было показано, что различие вириальных и визу-

в вакуумной вселенной появляются сингулярности

альных масс скоплений галактик может быть объяс-

Большого разрыва, в то время как модели квинтэс-

нено через геометрические члены в обобщенной тео-

сенции содержат сингулярности, подобные Большо-

реме вириала [39]. Гибридная f(R)-гравитация так-

му взрыву. Также было показано, что в случае ради-

же позволяет объяснить скорости вращения проб-

ационных моделей, где дополнительно рассматрива-

ных частиц, движущихся в гравитационном поле га-

ется радиационная жидкость, появляются оба типа

лактик. При этом в рамках данной теории можно из-

сингулярностей.

бежать введения огромного количества темной ма-

Однако и метрический подход, и подход Пала-

терии [40]. Кроме того, в работе [41] были рассмот-

тини имеют ряд недостатков. Одним из фундамен-

рены физические свойства нейтронных и кварко-

тальных изъянов метрической f(R)-гравитации яв-

вых звезд. Помимо этого, были получены асимпто-

614

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

тически антидеситтеровские решения типа «крото-

Важно подчеркнуть, что режим сильного поля в

вая нора», которые удовлетворяют нулевому энерге-

двойных системах с пульсаром не является настоль-

тическому условию для всего пространства-времени

ко же сильным, как, например, в черных дырах. На

[42]. Также была рассмотрена устойчивость черных

самом деле, используя термин режим сильного по-

дыр Керра в обобщенной гибридной f(R)-гравита-

ля в данном контексте, мы, скорее, имеем в виду,

ции [43]. В недавней работе [44] был выполнен пол-

что в таких системах поле сильнее, чем в Солнеч-

ный постньютоновский анализ гибридной f(R)-гра-

ной системе [47]. Действительно, поскольку пульсар

витации. Были получены аналитические выраже-

является быстро вращающейся нейтронной звездой,

ния для параметров γ и β, а также было доказано,

на поверхности такого объекта гравитационное по-

(_GM )

что оставшиеся восемь постньютоновских парамет-

ле составляет

≈ 0.2, тогда как для Солн-

c²R PSR

(_GM )

ров тождественно равны нулю. Показано, что лег-

ца данная величина будет меньше:

∼ 10-6.

c²R

⊙

кое скалярное поле в гибридной f(R)-гравитации не

Кроме того, ось магнитного поля пульсара смещена

противоречит экспериментальным данным на осно-

относительно его оси вращения. Это вызывает мо-

вании всего набора постньютоновских параметров.

дуляцию периодических сигналов, поступающих на

Кроме того, гибридная f(R)-гравитация была про-

Землю. Более того, благодаря высокой стабильно-

верена на наблюдательных данных двойных систем

сти прихода импульсов становится возможным на-

с пульсаром в случае квазикруговой орбиты [45].

блюдать динамику орбитального движения с точ-

Было получено выражение для изменения орбиталь-

ностью, при которой проявляются такие тонкие эф-

ного периода за счет гравитационного излучения

фекты, как излучение гравитационных волн. Все это

и показано, что гибридная f(R)-гравитация пред-

делает двойные звездные системы, которые содер-

сказывает наличие только скалярного и тензорного

жат пульсар, незаменимой лабораторией для изу-

квадрупольных членов. Помимо этого, впервые бы-

чения поведения различных моделей гравитации в

ло найдено ограничение на массу скалярного поля в

сильном поле.

гибридной f(R)-гравитации [45].

Ранее основное внимание уделялось исследова-

Основной целью данной статьи является провер-

нию гибридной f(R)-гравитации в космологии и в

ка гибридной f(R)-гравитации с использованием па-

пределе слабого поля. Лишь небольшое количество

раметризованного посткеплеровского формализма.

статей [41,43,45] было посвящено исследованию мо-

В частности, мы собираемся получить аналитиче-

дели в режиме сильного поля. В этой работе мы ис-

ские выражения для четырех посткеплеровских па-

следуем проявления гибридной f(R)-теории в силь-

раметров: ω — изменение долготы периастра,

˙P

b —

ном поле двойных систем с пульсаром. Для этой

изменение орбитального периода, r и s — параметры

цели мы используем параметризованный посткепле-

задержки Шапиро. Затем, используя эти выраже-

ровский (ППК) формализм [46, 47].

ния и данные наблюдений систем PSR J0737-3039

Первоначально параметризованный посткепле-

и PSR J1903+0327, мы получим ограничения на па-

ровский формализм был разработан для получения

раметры гибридной f(R)-гравитации.

динамической информации из данных пульсарного

тайминга теоретически независимым путем. Эта ин-

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2

формация содержится в определенном наборе пост-

мы рассмотрим действие и уравнения поля гиб-

кеплеровских параметров. В соответствии с этим

ридной f(R)-гравитации в общем виде и в ска-

формализмом любая теория гравитации может быть

лярно-тензорном представлении. В разд. 3 обсудим

описана девятнадцатью ППК-параметрами, кото-

ППК-формализм и получим аналитические выра-

рые являются функциями кеплеровских параметров

жения для ППК-параметров. Далее, в разд. 4 мы

и инертных масс пульсара и его компаньона. Экс-

наложим ограничения на гибридную f(R)-грави-

периментальные значения восьми ППК-параметров

тацию, используя наблюдательные данные систем

могут быть получены из пульсарного тайминга, а

PSR J0737-3039 и PSR J1903+0327. В разд. 5 под-

одиннадцать — из формы поступающих импульсов,

ведем итоги и обсудим полученные результаты.

и все 19 параметров могут быть измерены независи-

мо. Таким образом, ППК-формализм является мощ-

В работе греческие индексы (μ, ν, . . .) пробе-

ным инструментом для проверки модифицирован-

гают значения 0, 1, 2, 3 и используется сигнатура

ных теорий гравитации в режиме сильного поля, ко-

(-, +, +, +). Все вычисления выполнены в системе

торый реализуется в двойных системах с пульсара-

единиц СГС. В работе используется представление

ми [46, 47].

Йордана.

615

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

2. ГИБРИДНАЯ f (R)-ГРАВИТАЦИЯ

стала первой открытой двойной системой, содер-

жащей пульсар. Для анализа данных пульсарного

Действие гибридной метрической-Палатини

тайминга, получаемых от таких систем, необходи-

f (R)-гравитации состоит из члена Эйнштей-

мо было разработать формализм, который позво-

на - Гильберта и произвольной функции кривизны

лил бы извлекать информацию о системе теорети-

Палатини [5,6]:

чески независимым способом. В 1986 г. Дамур и Де-

∫

рюэль создали такой формализм. Он позволял опи-

S =

d⁴x√-g [R + f(R)] + Sm,

(1)

2k²

сывать

все релятивистские эффекты вплоть до по-

(

)

рядка

v²/c²

независимо от выбора теории грави-

где c — скорость света, k² = 8πG, G — ньютоновс-

тации [46] и получил название параметризованный

кая гравитационная постоянная, R и R = g^μν R_μν —

посткеплеровский формализм. Позднее применение

метрическая кривизна и кривизна Палатини соот-

этого формализма для проверки модифицирован-

ветственно, g — определитель метрического тензо-

ных теорий гравитации было подробно описано в ра-

ра, S_m — действие материи. Здесь кривизна Пала-

боте [47]. ППК-формализм позволяет проверять тео-

тини R определяется как функция g_μν и независимо

рии гравитации в пределе сильного поля аналогич-

Γα

определяемых символов Кристоффеля

μν

но параметризованному постньютоновскому форма-

лизму в слабом поле [1, 49, 50]. Основная идея пост-

R=g^μνR_μν =

)

кеплеровского формализма заключается в описании

=g^μν

⁽Γα

-Γ^αμα,ν +

Γα

Γλ

-Γ^αμλΓ^λαν

(2)

μν,α

αλ

μν

орбитальных эффектов следующим образом [47]:

[

]

t_b - t₀ = F

T;{p^K};{p^PK};{q^PK}

(6)

Как и в случае чисто метрических и Палатини

f (R)-теорий, действие (1) может быть представлено

где t_b — барицентрическое время прихода импуль-

в терминах скалярного поля (более подробный вы-

сов, T — собственное время пульсара с поправками

вод представлен в работах [5, 6]):

на аберрацию. В выражении (6) присутствует три

∫

набора параметров [47]:

S =

d⁴x√-g ×

{p^K} = {P_b, T₀, e₀, ω₀, x₀}

(7)

2k²

[

]

— набор кеплеровских параметров, где P_b — орби-

× (1 + φ)R +

∂_μφ∂^μφ - V (φ) +Sm,

(3)

2φ

тальный период, e — эксцентриситет, ω — долгота

периастра, x — проекция большой полуоси орбиты

где φ — скалярное поле, V (φ) — скалярный потен-

пульсара;

циал. В действии (3) скалярное поле неминималь-

{p^PK} = { ω, γ,P

b, r, s, δθ, ė, x}

(8)

но связано с материей, а кинетический член явля-

— набор независимо измеряемых посткеплеровских

ется неканоническим. Уравнения поля, получаемые

параметров, где γ — параметр задержки Эйнштей-

из (3), имеют следующий вид [5, 6]:

на, δ_θ

— безразмерный параметр, определяющий

(

)

релятивистскую деформацию орбиты, ė — вековое

(1 + φ)R_μν =

T_μν -

g_μνT

∂_μφ∂_νφ+

c⁴

2φ

изменение эксцентриситета, x — вековое смещение

[

]

проекции большой полуоси;

g_μν V (φ) + ∇_α∇^αφ + ∇μ∇νφ,

(4)

{q^PK} = {δ_r, A, B, D}

(9)

— набор посткеплеровских параметров, который за-

φ[2V (φ) - (1 + φ)V_φ]

висит от значений величин (8), где δ_r — безразмер-

∇_μ∇^μφ -

∂_μφ∂^μφ -

2φ

ный параметр, определяющий релятивистскую де-

формацию орбиты, связанный с δ_θ; A, B — парамет-

φT,

(5)

3c⁴

ры аберрации; D — доплеровский фактор [47].

В этой работе мы будем рассматривать только

где T_μν и T — тензор энергии-импульса и его след

четыре посткеплеровских параметра ω,

b, r, s. Да-

соответственно.

лее обсудим каждый из них подробно.

3. ППК-ФОРМАЛИЗМ

3.1. Изменение долготы периастра ω

Открытие системы PSR B1913+16 в 1974 г. [48]

предоставило новые возможности для проверки мо-

Отправной точкой нашего рассмотрения явля-

дифицированных теорий гравитации. Эта система

ется получение лагранжиана, описывающего ор-

616

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

битальное движение. Для этой цели мы исполь-

∂L^rel

(13)

E=V·

-L^rel, J = R ×

зуем метод Эйнштейна, Инфельда и Хоффмана

∂V

(ЭИХ) [49, 51].

Используя выражение

(12), можно представить

Прежде чем приступить к получению орбиталь-

энергию и момент импульса в следующем виде:

(

)

ного лагранжиана, представим скалярное φ и тен-

φ₀

зорное g_μν поля гибридной f(R)-гравитации в сле-

E =

V² -

e-mϕR

1+φ₀

дующем виде:

V⁴

(1 - 3ν)

φ = φ₀ + ϕ, g_μν = η_μν + h_μν,

(10)

c²

2Rc²

[

(

)

где φ₀ — асимптотическое фоновое значение скаляр-

φ₀

3+ν+

e-mϕR (1 - ν) V² +

ного поля вдали от источника, η_μν — метрика Мин-

1+φ₀

ковского, h_μν и ϕ — малые возмущения тензорного

(

)

(N · V)²

φ₀

и скалярного полей соответственно. В общем слу-

e-mϕR ν +

1+φ₀

чае φ₀ не является константой, а представляет собой

]

(

)

функцию, зависящую от времени φ(t). Однако этой

GM 9e2mϕR - φ0

6emϕR + 1

(14)

зависимостью можно пренебречь, если характерная

(3emϕR - φ₀)2

шкала времени велика по сравнению с динамиче-

[

V²

ской шкалой времени, связанной с локальной систе-

J=R×V 1+

(1 - 3ν)

c²

Rc²

мой. Таким образом, φ₀ предполагается постоянной

величиной. Скалярный потенциал V (φ) представим

(

)]

φ₀

в виде разложения Тейлора относительно фонового

3+ν+

e-mϕR (1 - ν)

(15)

1+φ₀

значения скалярного поля φ₀ в следующем виде:

Существование первого интеграла (15) означает,

V′′ϕ

V′′′ϕ³

V (φ) = V₀ + V ^′ϕ +

+...,

(11)

что компоненты системы движутся в координатной

плоскости. Поэтому удобно будет перейти к поляр-

тогда его производная по ϕ примет вид V_φ = V^′ +

ным координатам {R, θ}: R_x = R cos θ, R_y = R sin θ

+ V^′′ϕ + V^′′′ϕ²/2; а масса скалярного поля мо-

и R_z = 0. Тогда, используя следующие обозначения:

жет быть выражена следующим образом: m2ϕ

= [2V₀ - V ^′ - (1 + φ₀)φ₀V ^′′]/3 [44].

⁽ dR)2

⁽ dθ)2

Таким образом, ЭИХ-лагранжиан принимает

V² =

+R²

следующий вид:

dθ

(16)

|R × V| = R²

L^rel (R, V) ≡ μ-1L^relO (R, V) =

V² +

(

)

(N · V) =

φ₀

V⁴

e-mϕR

(1 - 3ν)

1+φ₀

c²

и пренебрегая всеми членами до порядка (v/c)², мы

[

(

)

φ₀

можем представить уравнения относительного дви-

3+ν+

e-mϕR (1 - ν) V² +

жения в полярных координатах с помощью выраже-

2Rc²

1+φ₀

(

)

ний для первых интегралов (14), (15):

φ₀

e-mϕR ν (N · V)² -

⁽ dR)2

1+φ₀

=A+

(17)

]

R²

R³

(

)

GM 9e2mϕR - φ0

6emϕR + 1

dθ

(12)

(18)

(3emϕR - φ₀)²

R²

R³

где

[

]

где R ≡ r₁ - r₂, V = v₁ - v₂, m, m^′ — массы пуль-

сара и компаньона, M = m + m^′ — общая масса,

A = 2E 1 +

(3ν - 1)

(19)

c²

μ = mm^′/(m + m^′) — приведенная масса, ν = μ/M,

N — единичный вектор в направлении излучения в

{[

]

φ₀

системе отсчета, связанной с пульсаром.

B = GM

e-mϕR

Поскольку лагранжиан (12) инвариантен относи-

1+φ₀

}

тельно сдвигов во времени и пространственного вра-

[

]

φ₀

щения, существует четыре первых интеграла движе-

+ 7ν - 6 -

e-mϕR

(7ν - 2)

(20)

c²

ния: энергия системы E и момент импульса J:

617

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

[

]

⎤

⎫⎧

⎪⎪

⎡

φ₀

C = -J² 1 + 2(3ν - 1)

⎬⎨

[

]

]⎥

c²

φ₀

⎥E

φ₀

(2ν-1)

⎥

J²+^⎣

-7-

φ₀

⎦c²⎪⎪

(1+φ₀)2

^{1-

e-mϕR

[

]

⎭⎩

5ν - 9 -

e-mϕR (5ν - 1)

(1 + φ₀)

⎤

⎫

}

⎪

(

)

⎬

9e2mϕR - φ₀

6emϕR + 1

G²M²

⎥

9 - 7φ₀

⎥G²M²

(21)

(

)₂⎥

(3emϕR - φ₀)²

c²

⎦ c²

⎪

φ₀

⎭

2φ₀ (1 + φ₀) J

[

(

)

]

(

)₂ mϕ,

(28)

φ₀

GMJ²

φ₀

-3ν

e-mϕR

(22)

2GM

1+φ₀

c²

a^′′ — эффективная большая полуось,

[

]

}

[

]{

φ₀

H = J 1 + (3ν - 1)

(23)

a^′′

1 - [1-3ν]

c²

⁼-2E (1+φ₀)

2c²

(

)₂ [

]

φ₀

2φ₀

m_ϕ.

(29)

[

(

)

]

2E (1 + φ₀)

φ₀

GMJ

I =

2ν

e-mϕR

-4

(24)

Этот результат мы получили в случае легкого ска-

1+φ₀

c²

лярного поля m_φR ≪ 1. В гибридной f(R)-грави-

тации масса скалярного поля отвечает за описание

Следуя методу, описанному в работе [46], решим

эффекта ускоренного расширения Вселенной. Вли-

уравнения (17), (18) и получим выражение для из-

яние этого эффекта становится заметно на расстоя-

менения долготы периастра:

ниях, значительно превышающих расстояние между

компонентами двойных систем. Поэтому мы можем

ω = n(K - 1).

(25)

пренебречь членами вида m_ϕ/c² и использовать раз-

R).

ложение в ряд Тейлора функции exp(-m_ϕ

Здесь n является средним движением:

В результате мы получаем следующее выраже-

ние для изменения долготы периастра:

{

(-2E)3/2 (1 + φ₀)

(

)

(

)×

(GM)2/3 π (2π)2/3

(1 + φ₀)4/3

φ₀

ω=

GM 1 -

(

)4/3 ×

c²P5/3b (1 - e²)

φ₀

}

[

φ₀

^]E

GMφ₀

⎡

⎤

× ν - 15 -

(ν + 1)

m_ϕ ,

(26)

c²

2E (1 + φ₀)

φ₀

⎢

[

]

⎥

⎢

φ₀

9 - 7φ₀

⎥

⎢

(

)₂⎥

⎣(1+φ0)2

φ₀

⎦

K =

√

(27)

(

)1/3

n(a^′′)²

1-e²

(GM)1/3 4φ₀

4²π

−

(

)2/3 mϕ.

(30)

φ₀

e_θ — эффективный эксцентриситет,

3P1/3b (1 + φ₀)1/3

2E (1 + φ₀)

3.2. ППК-параметры s и r

e2θ = 1 +

(

)₂ ×

φ₀

G²M²

Теперь перейдем к вычислению задержки Шапи-

⎧

⎡

ро. В первую очередь рассмотрим параметр s, кото-

⎪

рый равен синусу угла наклона орбиты sin i.

⎨

[

⎢

⎢17

Движение в двойной системе подчиняется тре-

⎢

ν-

2ν + 1 -

^×⎪⎪

⎣ 2

φ₀

тьему закону Кеплера:

⎩

a³(2π/P_b)² = G^eff m,

(31)

618

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

где a — большая полуось орбиты в системе центра

— эффективный постньютоновский параметр γ [44].

масс, G^eff — эффективная гравитационная постоян-

Если фотон излучался в точке x_e в направлении

ная [44],

n в момент времени t_e, то его траектория с уче-

(

)

том постньютоновских поправок x^iPN (t) описывает-

φ₀

G^eff =

e-mϕR

(32)

ся выражением

1+φ₀

Мы рассматриваем случай легкого скалярного по-

xⁱ(t) = x^ie + nⁱ (t - t_e) + x^iPN (t).

(40)

ля m_φR ≪ 1. Теперь на основании третьего зако-

Используя тождество

на Кеплера для гибридной f(R)-гравитации (32) мы

(

)

можем найти большую полуось орбиты a:

dx_PN (t)

(

)1/3 (

)1/3

|u|² = 1 + 2 n ·

GMP2b

φ₀

(33)

4π² (1 + φ₀)

dx^∥PN (t)

=1+2

+ O(c⁴),

(41)

Большая полуось орбиты пульсара относительно

центра масс системы выражается как

получим

m₂a

a₁ =

≡

dx^∥PN (t)

m₂

sini

G^eff (1 + γ_PPN )

(42)

c²

тогда, используя выражение (33), получим

Тогда время прохождения фотона от x_e до x и об-

cxM

ратно будет равно

s = sini =

m₂a

∫

⎛

⎞1/3

m₂

(

)1/3

eff

2/3

|x-x_e|-

PPN

(1+γ_PPN )

dt^′

(43)

4π²

⎜

1+φ₀

⎟

c³

⎝

⎠

(34)

φ₀

G1/3P2/3

m₂

и параметр r из задержки Шапиро, соответственно,

Теперь перейдем к вычислению следующего па-

имеет вид [47, 52]

раметра задержки Шапиро r. Чтобы выразить этот

Gm₂

параметр, необходимо использовать уравнение дви-

(44)

c³ (1 + φ₀)

жения фотона по геодезической:

(

)

-1 + h⁽²⁾⁰⁰ + δ_ij + h⁽²⁾

uⁱu^j = 0,

(35)

3.3. Изменение орбитального периода

где

В работе [45] мы получили выражение для пер-

вой производной орбитального периода в случае

h⁽²⁾⁰⁰ =

G^eff

(36)

c²

квазикруговой орбиты. Но в этой статье нашей

целью является получение выражения для потока

h(2)ij =

G^eff

δ_ij

(37)

c²

энергии от двойной системы с пульсаром для более

общего случая орбиты с эксцентриситетом:

— возмущения метрики до порядка O(2) [44], δ_ij —

символ Кронекера. Также необходимо учесть, что

Ė_grav

Ė_tensor

Ė_scalar

(45)

u^μ = dx^μa/dτ_a — четырехскорость a-й частицы, dτ =

√

-ds²/c, ds² = g_μν dx^μdx^ν — интервал.

где тензорная часть записывается как

Таким образом, уравнение (35) принимает вид

m₂

tensor

-1+

G^eff

5c⁵(1 + φ₀)

c²

(

)

⁷ ...

kl ...

m₂

(

^kk)²

(46)

Mkl -

+ 1+

G^effγPPN

|u|² = 0,

(38)

c²

где

∑

M_ij = m^a(φ)r^ai(t)r^aj(t)

(47)

φ₀

e-mϕR

γ_PPN =

(39)

φ₀

— квадрупольный момент, и скалярная часть имеет

e-mϕR

следующий вид:

619

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

∫

(

)2/3

2c⁵Gφ₀

Ė_scalar

dz₁dz₂J₁(z₁)J₂(z₂) ×

6(1 + φ₀)

(

)

⁷1

(1 + φ₀)5/3

M₀

2M¨k1 M¨k2+

+M˙₁M..kk

⎡

c⁶

6c⁸

(

)

⎢

(19φ₀ - 57)φ₀

60c¹⁰

⎢1+

(

)₃ (

) ×

(

⎣

φ₀

kll

15552

e² +

e⁴

+M¨k2M

(48)

30c¹⁰

(

(15e⁴ + 64e² - 12)(3 - φ₀)² -

Здесь J₁(z) — функция Бесселя первого порядка,

√

((

)

z=m_ϕ

c²(t - t^′)² - |r - r^′|² и

8973

5538φ₀

φ²⁰ +

+9 e⁴+

152

997

(

)

M^Ll = Mi1i²...ill(t,r,z)=

62200φ²⁰

117520φ₀

62200

∑( (

(

e² +

r⁾

8973

2991

997

M_a t-

r^L

- u-(l+1)(r, z)×

⎤

(

)

(

))

ru(r, z)

))⎥

×M_a t-

r^L

(49)

17440

34240φ₀

17440φ²⁰

⎥

(53)

997

2991

8973

⎦

где

Таким образом, изменение орбитального периода

⎡

в двойных системах с пульсаром происходит из-за

∑

v²a

Gm_b

M_a(t) = m_a ⎣1-

-3

потери энергии на скалярное и тензорное излуче-

2c²

rab(t)c²(1 + φ0)

b=a

ние. Выражение (53) содержит тензорную и скаляр-

⎤

ную части. В тензорном вкладе присутствует только

Gφ₀

∑

m_b

e-mϕR⎦,

(50)

квадрупольный член. Тензорная часть схожа с вы-

c²(1 + φ₀)

rab(t)

b=a

ражением, определяющим изменение орбитального

периода и предсказываемым ОТО, отличаясь лишь

√

присутствием эффективной гравитационной посто-

1 + (z/m_ϕr)²,

r^La(t) = ri1a (t)ra2 (t). . . ral (t), u(r, z) =

янной G^eff между компонентами системы. Скаляр-

m_a и v_a — соответственно масса и скорость объек-

ный вклад содержит постньютоновские поправки

та a. Точка над переменной обозначает производную

к монопольному члену, монопольно-квадрупольный

по времени.

член и квадрупольный члены. Монопольный член

В отличие от вывода выражения для первой про-

исчезает в квазикруговом приближении [45], но в

изводной орбитального периода, показанного в [45],

случае эллиптической орбиты он сохраняется, так

здесь мы рассматриваем случай орбиты с эксцен-

же как и монопольно-квадрупольный вклад. Важ-

триситетом:

но подчеркнуть, что гибридная f(R)-гравитация не

предсказывает наличие скалярного дипольного из-

a(1 - e²)

лучения ни в квазикруговом случае, ни в более об-

(51)

1 + ecosθ

щем случае орбиты с эксцентриситетом.

Получая это уравнение, мы также предполагали,

что скалярное поле является легким. Теперь вычис-

4. ОГРАНИЧЕНИЯ ИЗ НАБЛЮДАТЕЛЬНЫХ

ДАННЫХ

лим поток энергии за счет гравитационного излуче-

ния, используя выражение [45]:

Для проверки гибридной f(R)-гравитации с по-

мощью ППК-формализма мы использовали данные

2P˙_b

двух двойных систем с пульсаром: PSR J0737-3039

(52)

3P_b

[53] и PSR J1903+0327 [54]. Первая из них представ-

ляет собой систему, которая состоит из двух пульса-

Тогда находим, что

ров. Вторая же является смешанной двойной систе-

620

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

Таблица 1. Параметры PSR J0737-3039 [53]

мой, включающей в себя пульсар и звезду главной

последовательности.

Физический

Экспериментальное

Система PSR J0737-3039 — единственный из-

Параметр

вестный двойной пульсар. Необычайная близость

смысл

значение

компонентов системы и малый орбитальный пери-

орбитальный

P_b, сут

0.10225156248(5)

од, а также тот факт, что мы видим систему прак-

период

тически с ребра, — все это позволяет исследовать

проявления релятивистских эффектов с высочай-

эксцентриситет

0.0877775(9)

шей точностью. Поскольку оба компонента систе-

проекция

мы PSR J0737-3039 являются пульсарами, стано-

большой

вится возможным измерить большую полуось орби-

x, св. с

полуоси

1.415032(1)

ты каждого компонента. Это дает возможность по-

орбиты

лучить следующее соотношение:

пульсара

a₂

m₁

= R,

(54)

вековое

a₁

m₂

изменение

ω, град./год

16.89947(68)

т. е. отношение масс может быть измерено на-

долготы

прямую. Все упомянутые обстоятельства делают

периастра

PSR J0737-3039 незаменимой лабораторией для

изменение

проверки теорий гравитации [53]. Важно заметить,

-1.252(17) · 10-12

что мы использовали эту систему для проверки

орбитального

гибридной f(R)-гравитации в случае квазикруговой

периода

орбиты. Действительно, эксцентриситет орбиты

параметр

мал в этой системе, однако, учтя его ненулевое

задержки

0.99974+16-39

значение, мы улучшили точность ограничений,

Шапиро

накладываемых на рассматриваемую модель.

Необходимо подчеркнуть, что наблюдаемое зна-

параметр

чение изменения орбитального периода

b может

r, мкс

задержки

6.21(33)

включать различные вклады, имеющую разную

Шапиро

природу: внутренние и кинематические эффекты

m₁

отношение

[47, 55]. Мы заинтересованы только в таких систе-

1.0714(11)

мах, где доминирующий вклад в наблюдаемую ве-

m₂

масс

личину

b дает изменение орбитального периода за

счет излучения гравитационных волн. Поэтому мы

не рассматриваем двойные системы с пульсаром, где

В этой работе мы получили аналитические выра-

эффекты потери массы и приливные эффекты будут

жения для четырех ППК-параметров: ω,P

b, r, s. Да-

значительны относительно гравитационного излуче-

лее мы использовали наблюдательные данные систе-

ния.

мы PSR J0737-3039 (см. табл. 1). Полученный ре-

Мы использовали метод проверки теорий грави-

зультат отобразили на рис. 1. Затем, изменяя пара-

тации, первоначально изложенный в работе [47]. На

метры гибридной f(R)-гравитации φ₀ и m_φ, мы на-

двумерной плоскости, где по оси ординат отклады-

шли значения параметров, при которых кривые пе-

ваются возможные значения масс компаньона m₂, а

ресекаются в пределах погрешностей измерений. Та-

по оси абсцисс — возможные значения масс пульсара

ким образом, мы ограничили гибридную f(R)-гра-

m₁, строятся кривые, которые задаются выражени-

витацию. Полученные ограничения следующие:

ями для посткеплеровских параметров. Каждый па-

φ₀m_φ

раметр задает свою кривую. Точка пересечения всех

φ₀ < 0.001,

(

)2/3

< 1.3 · 10-17.

φ₀

кривых на данной плоскости в пределах погрешно-

(1+φ)1/3

стей и будет показывать значения масс пульсара и

компаньона. Однако, если при каких-то значениях

К сожалению, нам не удалось наложить ограниче-

параметров модели кривые расходятся, это означа-

ния на массу скалярного поля отдельно, только на

ет, что модель неприменима при этих значениях па-

комбинацию параметров, указанную выше. Одна-

раметров.

ко мы получили предсказания для масс компонен-

621

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Таблица

2. Параметры PSR J1903+0327

Физический

Экспериментальное

Параметр

смысл

значение

орбитальный

P_b, сут

95.174118753(14)

период

эксцентриситет

0.436678409(3)

проекция

большой

x, св. с

полуоси

105.5934643(5)

орбиты

пульсара

вековое

изменение

ω, град./год

0.0002400(2)

долготы

периастра

параметр

задержки

0.9760(15)

Шапиро

параметр

r, мкс

задержки

1.03(3)

Шапиро

m_p

отношение

1.55(20)

mss

масс

го поля увеличивает возможные наблюдаемые мас-

сы компонентов системы.

В качестве другой системы мы выбрали

PSR J1903+0327, так как в этой системе три

ППК-параметра получены с высокой точностью и

система имеет большой эксцентриситет. К сожале-

нию, в этой системе невозможно выделить ту часть

изменения орбитального периода, которая связана

с гравитационным излучением. Поэтому наш тест

Рис. 1. Зависимости массы компаньона от массы пульсара

основан на параметрах ω, r, s, а также на отношении

в системе PSR J0737-3039. Каждая кривая указана с уче-

масс, которое было получено теоретически неза-

том погрешности ±1σ (ширина кривой): а) случай ОТО,

висимым путем [54]. Используя наблюдательные

б) случай гибридной f(R)-гравитации на граничных зна-

данные системы PSR J1903+0327 (см. табл. 2), мы

чениях параметров модели

получили следующие ограничения:

φ₀m_φ

φ₀ < 0.02,

(

)2/3

< 2 · 10-20.

тов системы в рамках гибридной f(R)-гравитации:

φ₀

1.3374M_⊙ < m₁ < 1.3440M_⊙ и 1.2482M_⊙ < m₂ <

(1+φ)1/3

< 1.2537M_⊙. В то же время ОТО предсказыва-

ет следующие значения масс для этой системы:

Графический результат наших исследований отоб-

1.3374M_⊙ < m₁ < 1.3388M_⊙ и 1.2482M_⊙ < m₂ <

ражен на рис. 2. Как мы видим, ограничения на

< 1.2496M_⊙ [53]. Как мы видим, наличие скалярно-

φ₀ из данных системы PSR J0737-3039 строже, чем

622

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе мы применили параметри-

зованный посткеплеровский формализм к гибрид-

ной метрической-Палатини f(R)-гравитации. Мы

получили аналитические выражения для четырех

ППК-параметров:

ω, P

b, r, s. В отличие от преды-

дущей работы [45], мы рассматривали двойные си-

стемы с пульсаром с эллиптической орбитой. Что-

бы наложить ограничения на параметры гибридной

f (R)-гравитации, мы использовали наблюдательные

данные систем PSR J0737-3039 и PSR J1903+0327.

Мы ограничили фоновое значение скалярного поля

и комбинацию параметров, содержащую массу ска-

лярного поля.

Кроме того, мы получили выражение для из-

менения орбитального периода двойной системы

с пульсаром в случае орбиты с эксцентрисите-

том. Данное выражение содержит тензорный квад-

рупольный и скалярный монопольный, монополь-

но-квадрупольный и квадрупольный вклады. Мы

показали, что гибридная f(R)-гравитация не пред-

сказывает существование скалярного дипольного

излучения.

Также нами получены массы компонентов сис-

тем PSR J0737-3039 и PSR J1903+0327 в рамках

гибридной f(R)-гравитации. Мы показали, что ги-

бридная f(R)-гравитация предсказывает большие

массы, чем ОТО. Этот результат ожидаем, так

как в [41] было показано, что в рамках гибридной

f (R)-гравитации нейтронные звезды тяжелее, чем в

ОТО.

Основной целью данной статьи является провер-

ка гибридной f(R)-гравитации с легким скалярным

полем, используя данные наблюдений, полученные

от астрофизических объектов с сильным гравитаци-

онным полем, таких как двойные системы с пульса-

Рис. 2. Зависимости массы компаньона от массы пульсара

ром. Ранее мы показали реалистичность этой моде-

в системе PSR J1903+0327. Каждая кривая указана с уче-

ли, проверив ее на основании одного ППК-парамет-

том погрешности ±1σ (ширина кривой): а) случай ОТО,

ра — изменения орбитального периода — в случае

б) случай гибридной f(R)-гравитации на граничных зна-

квазикруговых орбит [45]. В настоящей статье мы

чениях параметров модели

провели более полный ППК-тест в общем случае си-

стем с эллиптической орбитой. Таким образом, эта

ограничения из данных PSR J1903+0327. В послед-

статья продолжает цикл наших работ [44,45], где мы

ней системе мы также получили предсказания для

доказали, что существование легкого скалярного по-

масс компонентов системы: 1.021M_⊙

< m_mss <

ля в гибридной метрической-Палатини f(R)-грави-

< 1.08M_⊙ и 1.646M_⊙ < m_p < 1.785M_⊙ (m_p — масса

тации, ответственного за генерацию дальнодейству-

пульсара, m_mss — масса компаньона). Верхний пре-

ющих сил, не противоречит наблюдательным дан-

дел также будет превышать верхний предел, пред-

ным, полученным из локальных систем со слабым

сказываемый ОТО: 1.021M_⊙ < m_mss < 1.037M_⊙ и

(Солнечная система) и сильным (двойные системы

1.646M_⊙ < m_p < 1.688M_⊙ [54].

с пульсаром) гравитационным полем.

623

Н. А. Авдеев, П. И. Дядина, С. П. Лабазова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

В качестве следующего шага мы планируем по-

13.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Lett. B 657, 238

лучить теоретический вид зависимости масса-ради-

(2007).

ус-светимость в рамках гибридной f(R)-гравитации

14.

S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 77, 026007

и наложить ограничения на свободные параметры

(2008).

этой теории из наблюдательных фотометрических

15.

S. Nojiri, S. D. Odintsov, and D. Saez-Gomez, Phys.

данных. Такое исследование также позволит по-

Lett. B 681, 74 (2009).

лучить предсказания гибридной f(R)-теории для

масс звезд главной последовательности. Поскольку

16.

G. Cognola, E. Elizalde, S. D. Odintsov, P. Tretyakov,

спутник пульсара в системе PSR J1903+0327 яв-

and S. Zerbini, Phys. Rev. D 79, 044001 (2009).

ляется звездой главной последовательности, станет

17.

G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov,

возможным сравнить массу этого объекта, получен-

L. Sebastiani, and S. Zerbini, Phys. Rev. D 77,

ную из пульсарного тайминга, с массой, полученной

046009 (2008).

из фотометрических данных в рамках гибридной

18.

D. Saez-Gomez, Gen. Rel. Grav. 41, 1527 (2009).

f (R)-гравитации, что будет дополнительным на-

дежным тестом этой теории.

19.

S. D. Odintsov, D. Saez-Gomez, and G. S. Sharov,

Eur. Phys. J. C 77, 862 (2017).

Финансирование. Основные результаты ра-

20.

S. Capozziello and M. Francaviglia, Gen. Rel. Grav.

боты получены при поддержке Российского

40, 357 (2008).

фонда фундаментальных исследований (грант

№18-32-00785). Н. А. Авдеев благодарит Фонд

21.

T. P. Sotiriou and V. Faraoni, Rev. Mod. Phys. 82,

развития теоретической физики и математики

451 (2010).

«БАЗИС», стипендиатом которого он является.

22.

S. Capozziello, Int. J. Mod. Phys. D11, 483 (2002).

23.

S. Capozziello, V. F. Cardone, S. Carloni, and

A. Troisi, Int. J. Mod. Phys. D 12, 1969 (2003).

ЛИТЕРАТУРА

24.

M. Ferraris, M. Francaviglia, and I. Volovich, Nouvo

1. C. M. Will, Living Rev. Rel. 17, 4 (2014).

Cim. B 108, 1313 (1993).

2. B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration

25.

M. Ferraris, M. Francaviglia, and I. Volovich, Class.

and Virgo Collaboration), Phys. Rev. Lett. 116,

Quant. Grav. 11, 1505 (1994).

061102 (2016).

26.

G. Allemandi, A. Borowiec, M. Francaviglia, and

3. F. Zwicky, Helv. Phys. Acta 6, 110 (1933).

S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 72, 063505 (2005).

4. J. H. Oort, Bull. Astron. Inst. Netherlands 6, 249

27.

T. Chiba, Phys. Lett. B 575, 1 (2003).

(1932).

28.

G. J. Olmo, Phys. Rev. Lett. 95, 261102 (2005).

5. S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lo-

bo, and G. J. Olmo, Universe 1, 199 (2015).

29.

G. J. Olmo, Phys. Rev. D 75, 023511 (2007).

30.

J. Khoury and A. Weltman, Phys. Rev. Lett. 93,

6. T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lobo, and G. J. Ol-

171104 (2004).

mo, Phys. Rev. D 85, 084016 (2012).

31.

J. Khoury and A. Weltman, Phys. Rev. D 69, 044026

7. P. G. Bergmann, Int. J. Theor. Phys. 1, 25 (1968).

(2004).

8. A. De Felice and S. Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13,

32.

W. Hu and I. Sawicki, Phys. Rev. D 76, 064004

3 (2010).

(2007).

9. S. Nojiri, S. D. Odintsov, and V. K. Oikonomou,

33.

T. Koivisto and H. Kurki-Suonio, Class. Quant. Grav.

Phys. Rep. 692, 1 (2017).

23, 2355 (2006).

10. A. A. Starobinsky, Phys. Lett. B 91, 99 (1980).

34.

T. Koivisto, Phys. Rev. D 73, 083517 (2006).

11. S. Nojiri and S. D. Odintsov, Phys. Rev. D 68, 123512

35.

C. G. Böhmer, F. S. N. Lobo, and N. Tamanini, Phys.

(2003).

Rev. D 88, 104019 (2013).

12. F. Briscese, E. Elizalde, S. Nojiri, and S. D. Odintsov,

36.

N. A. Lima and V. Smer-Barreto, Astrophys. J. 818,

Phys. Lett. B 646, 105 (2007).

186 (2016).

624

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Проверка гибридной метрической-Палатини f(R)-гравитации. ..

37. I. Leanizbarrutia, F. S. N. Lobo, and D. Sáez-Gómez,

47. T. Damour and J. H. Taylor, Phys. Rev. D 45, 1840

Phys. Rev. D 95, 084046 (2017).

(1992).

38. S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lo-

48. R. A. Hulse and J. H. Taylor, Astrophys. J. Lett. 195,

bo, and G. J. Olmo, JCAP 04, 011 (2013).

L51 (1975).

39. S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lo-

bo, and G. J. Olmo, JCAP 07, 024 (2013).

49. C. M. Will, Theory and Experiment in Gravitational

Physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK

40. S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lo-

(1993).

bo, and G. J. Olmo, Astropart. Phys. 50-52C, 65

(2013).

50. E. Poisson and C. M. Will, Gravity: Newtonian,

41. B. Danila, T. Harko, F. S. N. Lobo, and M. K. Mak,

Post-Newtonian, Relativistic, Cambridge Univ. Press,

Cambridge, UK (2014).

Phys. Rev. D 95, 044031 (2017).

42. S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lo-

51. A. Einstein, L. Infeld, and B. Hoffmann, Ann. Math.

bo, and G. J. Olmo, Phys. Rev. D 86, 127504 (2012).

20, 39, 65 (1938).

43. J. L. Rosa, J. P. S. Lemos, and F. S. N. Lobo, Phys.

52. J. Alsing, E. Berti, C. M. Will, and H. Zaglauer, Phys.

Rev. D 101, 044055 (2020).

Rev. D 85, 064041 (2012).

44. P. I. Dyadina, S. P. Labazova, and S. O. Alexeyev,

JETP 156, 905 (2019).

53. M. Kramer et al., Science 341, 97 (2006).

45. P. I. Dyadina, N. A. Avdeev, and S. O. Alexeyev,

54. P. C. C. Freire et al., Month. Not. Roy. Astron. Soc.

Month. Not. Roy. Astron. Soc. 483, 947 (2019).

412, 4, 2763 (2011).

46. T. Damour and N. Deruelle, Ann. Inst. Henri Poin-

care A 43, 107 (1985); T. Damour and N. Deruelle,

55. K. Lazaridis et al., Month. Not. Roy. Astron. Soc.

Ann. Inst. Henri Poincare A 44, 263 (1986).

400, 2, 805 (2009).

625

ЖЭТФ, вып. 4 (10)