ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 4 (10), стр. 672-683

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ВИХРЯ С

НЕОДНОРОДНОСТЬЮ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ

В. А. Орловa,b*, Г. С. Патрин^a,b, И. Н. Орлова^c

^a Сибирский федеральный университет

660041, Красноярск, Россия

^b Институт физики им. Л. В. Киренского ФИЦ КНЦ

Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^c Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева

660049, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 19 февраля 2020 г.,

после переработки 16 марта 2020 г.

Принята к публикации 18 марта 2020 г.

Теоретически решается задача о движении неоднородности намагниченности в виде магнитного вихря

вблизи дефекта, моделируемого кристаллитом с одноосной анизотропией. Кристаллит-дефект внедрен в

однородную двумерную ферромагнитную матрицу. Кроме энергии анизотропии в полную энергию вклю-

чено слагаемое, ответственное за существование центрально-симметричного потенциала. Для расчетов

используется метод коллективных переменных (уравнение Тиля). Рассмотрены варианты двунаправлен-

ной и однонаправленной анизотропии кристаллита. Анализ уравнений движения для случаев разного

направления оси анизотропии внедренного дефекта показал разнообразие поведения ядра вихря как

квазичастицы. Возможны варианты захвата ядра вихря дефектом с равновесным положением вихря в

покое непосредственно на кристаллите и в движении на некотором удалении от него. Обнаружено явление

резкой смены частоты вращения ядра вокруг кристаллита при изменении расстояния до дефекта. Пока-

зано, что при малом параметре затухания и в случае, когда ось анизотропии дефекта лежит в плоскости

магнетика, движение магнитного вихря таково, как будто ядро испытывает действие отталкивающего

потенциала с осевой симметрией.

DOI: 10.31857/S0044451020100107

ность имеют исследования магнитных вихрей в изу-

чении сверпроводников (см., например, работу [5]).

1. ВВЕДЕНИЕ

Динамика магнитных вихрей в постоянных и пе-

В последнее время не ослабевает интерес к экс-

ременных полях в наноразмерных магнетиках раз-

периментальному и теоретическому исследованию

личной геометрической формы и их массивов доста-

магнетиков, обладающих вихревой структурой на-

точно хорошо изучена [6-12]. Предсказаны и экспе-

магниченности. Пристальный интерес к таким ма-

риментально подтверждены многие свойства вихре-

териалам обусловлен перспективами их применения

вых образований. Для описания эволюции намагни-

в различных устройствах спинтроники [1-4]. Топо-

ченности в магнетиках с вихревой структурой очень

логические неоднородности намагниченности, такие

продуктивным оказался метод коллективных пере-

как магнитные вихри, скирмионы, доменные стенки

менных. Согласно этому методу, описание движе-

с вихревой структурой и прочее, обладают уникаль-

ния магнитного вихря сводится к решению уравне-

ными свойствами, позволяющими считать их хоро-

ния для квазичастицы, свойства которой определя-

шими кандидатами для объектов хранения инфор-

ются магнитными параметрами вихря. Коллектив-

мации в запоминающих устройствах. Особую важ-

ными переменными в этом случае удобно выбрать

координату центра вихря и его скорость. Уравнение

^* E-mail: vaorlov@sfu-kras.ru

движения имеет неньютоновый вид.

672

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

Магнитное состояние вихря (скирмиона) удобно

щих моделирование, обнаружено необычное поведе-

задавать двумя параметрами: полярностью p ядра

ние движущегося скирмиона, пересекающего линей-

и киральностью q. Ядро вихря — его центральная

ный дефект, — траектория искривляется, напоми-

область достаточно малых размеров (около 10 нм) с

ная преломление света. В работе [31] обсуждается

ярко выраженной неоднородностью намагниченно-

влияние неровностей поверхности на подвижность

сти. Вследствие конкуренции энергий обмена и энер-

скиримионов, а в работах [4,32] демонстрируется по-

гии размагничивания намагниченность в центре яд-

тенциальная возможность управлять потенциалом,

ра направлена перпендикулярно плоскости вихря и

создаваемым дефектом, с помощью полей.

может совпадать с направлением выделенной оси z

Необходимо сказать о важных эксперименталь-

(p > 0) или быть противоположной ей (p < 0). Ори-

ных результатах наблюдений вихрей и/или скирми-

ентация намагниченности в «юбке» («хвосте») вих-

онов, также представленных в литературе. В рабо-

ря может совпадать с правым винтом по отношению

тах [33-35] авторы демонстрируют сценарии закреп-

к оси z (киральность положительна, q > 0) или быть

ления вихрей (или скирмионов) на дефектах кри-

противоположной ему (q < 0).

сталлической структуры. В работе [36] исследуется

Большинство теоретических работ с аналитиче-

поведение вихревых структур в магнетике с неод-

скими расчетами и компьютерным моделировани-

нородностями поверхности, а в работе [37] демон-

ем посвящено изучению статических и динамиче-

стрируется полевой механизм управления степенью

ских свойств магнитных вихрей в материалах, ли-

влияния дефектов на движение скирмионов.

шенных магнитных неоднородностей обмена, анизо-

В настоящей работе мы проводим теоретический

тропии, шероховатостей поверхности и прочее, т.е.

анализ влияния дефекта в виде внедренного кри-

рассматриваются модели без дефектов. Вместе с

сталлита с отличной от основной матрицы магнит-

тем в реальных материалах с вихревой структурой

ной анизотропией на поведение магнитного вихря.

пространственные флуктуации магнитных парамет-

При этом неоднородность поля анизотропии обеспе-

ров присутствуют, и они влияют на движение маг-

чивается не изменением константы, как в упомяну-

нитных вихрей. К настоящему времени опублико-

тых выше работах, а направлением локальной оси. В

ван спектр теоретических работ, посвященных уче-

этом случае дефект может создавать потенциал, не

ту влияния на свойства вихрей магнитных различ-

обладающий осевой симметрией, и следует ожидать,

ных видов неоднородностей. Например, в работах

что возникнут интересные эффекты, связанные с ее

[13-16] точечный дефект моделируется неоднород-

отсутствием.

ностью константы магнитной анизотропии, и поэто-

му авторами используется модельный потенциал с

2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

осевой симметрией. В работах [17,18] точечная неод-

НАМАГНИЧЕННОСТИ ВБЛИЗИ ДЕФЕКТА

нородность атомного размера моделируется измене-

нием постоянной обмена. В литературе рассматри-

Рассмотрим следующую модель взаимодействия

ваются не только точечные дефекты, но и протя-

намагниченности вихря с неоднородностью. В одно-

женные [9, 13] и даже неоднородность в виде дыр

родной среде (тонкая пленка) имеется вкрапление

[19]. Особо следует упомянуть работы [17,20,21], где

в виде кристаллита малого объема V . Параметры

авторы учли как можно большее количество факто-

магнитной анизотропии кристаллита характеризу-

ров, моделирующих неоднородность магнитных па-

ются константой K и единичным вектором l локаль-

раметров. В целом результаты всех исследований го-

ной оси анизотропии (ЛОА). В выбранной системе

ворят о том, что последствия взаимодействия маг-

координат дефект располагается в ее начале, поло-

нитного вихря (как и скирмиона) с дефектом чрез-

жение ядра вихря определяется радиус-вектором ρ,

вычайно разнообразны. Ядро может быть и захва-

задаваемым координатами x, y в декартовой систе-

чено дефектом, и отразиться от него.

ме, или длиной радиус-вектора и азимутальным уг-

Траектория ядра вблизи дефекта может оказать-

лом ϕ в цилиндрической системе. Заметим, что из-за

ся сложной и часто не поддается аналитическо-

малой толщины магнетика движение вихря являет-

му описанию. Поэтому для получения практически

ся двумерным, поэтому координата z в направле-

значимых результатов прибегают к компьютерно-

нии, перпендикулярном поверхности магнетика, не

му моделированию [22-25]. Моделирование позволи-

задействована. Схема модели показана на рис. 1.

ло предсказать влияние поля дефектов на подвиж-

Динамику вихревых магнитных структур удобно

ность вихрей и скирмионов и на выраженность эф-

описывать к терминах коллективных переменных, в

фекта Холла [26-28]. В работах [29,30], использую-

роли которых выступают координаты ядра вихря и

673

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

В. А. Орлов, Г. С. Патрин, И. Н. Орлова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

⎛

⎞

dρ

⎛

⎞

⎜

^ρ dt

⎟

⎜

⎟

^Dv =^⎝

⎠⎜

dϕ

^⎟=

⎜

⎟

⎝ e

ϕρ

⎠

dρ

dϕ

=e_ρD

+e_ϕDρ

(4)

Core

С учетом выражений (3), (4) векторное уравнение

(1) можно переписать по компонентам:

dϕ

dρ

-Gρ

- f_ρ = 0,

(5)

dρ

dϕ

+ Dρ

- f_ϕ = 0.

Здесь введены обозначения

Cristallite

∂W

f_ρ = -(∇W)_ρ = -

∂ρ

(6)

∂W

f_ϕ = -(∇W)_ϕ = -

Рис. 1. Модель взаимодействия намагниченности вихря с

ρ ∂ϕ

неоднородностью магнитной анизотропии

Систему уравнений (5) можно преобразовать к виду

dρ

(Df_ρ + Gf_ϕ),

его скорость. При таком подходе эволюция намаг-

G² + D²

(7)

ниченности сводится к решению задачи о движении

dϕ

(-Gf_ρ + Df_ϕ).

квазичастицы, координата и скорость которой опре-

G² + D²

деляются положением и скоростью ядра магнитного

Решение этой системы позволяет описать траекто-

вихря. Уравнение для такой квазичастицы было по-

рию движения ядра вихря.

лучено Тилем [38]:

Для дальнейшего решения необходимо задать

конкретный функциональный вид для компонент

G×v+

^Dv + ∇W = 0.

(1)

силы f_ρ, f_ϕ. Для этого рассмотрим выражение для

Здесь G = e_z(2πpqM_sb/γ_g)(1 - ph) — гировектор

энергии W . Воспользуемся хорошо зарекомендовав-

[6, 39], M_s — намагниченность насыщения, b — тол-

шей себя моделью «жесткого» вихря [43-45]. В при-

щина магнитной пленки, γ_g — гиромагнитное отно-

ближении этой модели будем считать, что на дефек-

шение, h = H/μ₀M_s - перпендикулярная к поверх-

те и вблизи него вихревое распределение намагни-

ности пленки составляющая безразмерного магнит-

ченности практически не искажается, т. е. профиль

ного поля, e_z — орт оси z, v — скорость ядра, W —

анзаца, описывающего вихрь не меняется при его

потенциальная энергия магнитного вихря, которая

движении и не зависит от расстояния между дефек-

содержит в себе энергию магнитной анизотропии

том и ядром.

кристаллита,

D— тензор эффективных коэффици-

Пусть направление намагниченности описывает-

ентов силы трения, которую испытывает ядро как

ся единичным вектором m(ρ, ϕ), а перпендикуляр-

квазичастица при наличии затухания [40-42].

ная к поверхности пленки компонента намагничен-

Симметрия задачи близка к цилиндрической,

ности представлена в виде m_z(ρ, ϕ). Вследствие ма-

поэтому дальнейшее описание движения ядра бу-

лой толщины пленки вектор m не зависит от коор-

дем проводить в цилиндрической системе коорди-

динаты z. Компоненты вектора намагниченности и

нат. Для скорости ядра можно записать

вектора локальной оси анизотропии могут быт за-

dρ

dϕ

писаны так:

v=e_ρ

+e_ϕρ

(2)

√

m_x = q

1 - m2z(ρ,ϕ)sinϕ,

√

где e_ρ и e_ϕ — орты цилиндрической системы коор-

m_y = -q

1 - m2z(ρ,ϕ)cosϕ,

динат. Тогда для слагаемых в уравнении (1), содер-

(8)

l_z = cosα,

жащих скорость ядра, получим

l_x = sinα cosγ,

dϕ

dρ

G × v = -e_ρGρ

+e_ϕG

(3)

l_y = sinα sinγ.

674

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

Здесь α и γ — полярный и азимутальный углы на-

Решение системы уравнений (7) с учетом (10) в

правления оси анизотропии кристаллита (угол α от-

общем виде затруднено. Поэтому рассмотрим далее

считывается от оси z).

некоторые наиболее интересные частные случаи.

Магнитную энергию представим в виде

κρ

3. ДЕФЕКТ С ОСЬЮ АНИЗОТРОПИИ,

W =

- KV (m · l)².

(9)

НАПРАВЛЕННОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО

ПЛОСКОСТИ ПЛЕНКИ

Здесь второе слагаемое — энергия магнитной анизо-

тропии, первое слагаемое — квазиупругая энергия

В этом разделе рассмотрим случай, когда ось

с коэффициентом жесткости κ, обеспечивающая су-

анизотропии ориентирована перпендикулярно по-

ществование силы с осевой симметрией, действую-

верхности магнетика (α = 0). Система в этом случае

щей на ядро вихря в направлении к началу коорди-

имеет осевую симметрию, т. е. энергия (10) не зави-

нат. Существование этой энергии может быть связа-

сит от азимутального угла ϕ (f_ϕ = 0). Для силы в

но с формой магнетика (например, нанодиски круг-

данном случае можно записать

лой формы с вихревой структурой намагниченности

[46, 47]). Кроме того, внедренный кристаллит спо-

∂m2z

f_ρ = -κρ + KV

собен искажать структуру вокруг себя вследствие

∂ρ

возникающих механических напряжений. Это мо-

Тогда система уравнений (7) принимает вид

жет приводить к зависимости магнитной энергии от

расстояния до начала координат. С учетом приня-

(

)

dρ

-D

∂m2z

тых обозначений (8) энергия представляется в виде

κρ - KV

G² + D²

∂ρ

(

)

(14)

(

√

dϕ

∂m2z

κρ

W =

-KV q

1 - m2z sinαsin(ϕ - γ) +

κρ - KV

G² + D²

∂ρ

)₂

+ m_z cosα

(10)

Поделив верхнее уравнение на нижнее, получим

уравнение для траектории движения ядра:

Полезно протестировать систему уравнений на

простой частный случай изотропного магнетика (без

1 dρ

(15)

дефектов) в виде круглого тонкого диска. В этом

ρ dϕ

случае выражение для энергии (9) содержит только

Решением этого уравнения является функция

одно первое слагаемое. Тогда система уравнений (7)

(

)

принимает вид

ρ(ϕ) = ρ₀ exp

(ϕ₀ - ϕ)

(16)

dρ

Dκ

ρ,

G² + D²

Здесь ϕ₀ — начальный азимутальный угол положе-

(11)

ния ядра вихря.

dϕ

Gκ

Для дальнейших оценок необходимо выбрать

G² + D²

конкретный функциональный вид, описывающий

Решения этой системы хорошо известны (см., напри-

распределение намагниченности в вихре. В ранней

мер, работу [6]). Зависимость длины радиус-вектора

литературе предлагались различные варианты про-

от времени в этом случае имеет вид

филей [45, 46, 48-50]. В дальнейшем будем считать,

(

)

что профиль намагниченности описывается функ-

Dκ

ρ(t) = ρ₀ exp

(12)

цией вида [51]

G² + D²

где ρ₀ — начальное расстояние между ядром и цен-

m_z = p exp(-ρ²/r²⁰).

(17)

тром диска. Для угловой скорости движения ядра

вихря вокруг центра диска получим

Здесь r₀ — характерный линейный размер ядра. По-

лярность p показывает направление намагниченнос-

dϕ

Gκ

ω=

(13)

ти в центре ядра по отношению к оси z. Расчеты и

G² + D²

наблюдения показывают, что величина r₀ составля-

Траектория движения вихря в данном случае пред-

ет порядка нескольких десятков нанометров. С уче-

ставляет собой сходящуюся к началу координат спи-

том выражений (16) и (17) система (14) превраща-

раль.

ется в два независимых дифференциальных уравне-

675

В. А. Орлов, Г. С. Патрин, И. Н. Орлова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

/r₀

Рис. 2. Графическое представление решений (18) и (19) (соответственно а и б). Номера кривых соответствуют разным

значениями параметра Λ: Λ1 = 0, Λ2 = 5, Λ3 = 10, Λ4 = 20, Λ5 = 40. Все кривые построены при начальной безразмерной

длине радиус-вектора ρ0/r0 = 3 и для η = 0.1

ln( /r )0

ния с разделяющимися переменными, решение кото-

рой представляется в виде интегралов:

∫

dρ

= -δt,

(18)

ρ(1 + Λ exp(-2(ρ/r₀)²))

ρ0

∫

dϕ

= ωt.

(19)

1 + Λexp(-2(ρ/r₀)2 exp(2η(ϕ₀ - ϕ)))

ϕ0

Здесь введены обозначения

0.1

4KV

Dκ

Gκ

Λ=

δ=

ω=

η=

κr²⁰

G²+D²

Характерные зависимости ρ(t) и ϕ(t) показаны

на рис. 2. Кривые на этом рисунке построены для

случая qp > 0. В случае qp < 0 зависимости ρ(t) и

ϕ(t) останутся прежними, изменится лишь направ-

ление вращения ядра вокруг начала координат. Из

Рис. 3. Графическое представление решения (18) в полу-

рисунков следует, что при ρ ≈ r₀ происходит смена

логарифмическом масштабе. Нумерация кривых и пара-

функциональной зависимости азимутального угла и

метры Λ, η, ρ0/r0 соответствуют нумерации и параметрам

длины радиус-вектора от времени. Особенно хорошо

на рис. 2

это видно на зависимости ρ(t) в полулогарифмиче-

ском масштабе (рис. 3). По-видимому, зависимость

ρ(t) с высокой точностью можно считать экспонен-

циальной. Смена зависимости ρ(t) на более быст-

вихря к дефекту. Фактически это означает измене-

рую связана с максимальным приближением центра

ние соотношения вкладов в результирующую силу,

676

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

x/r , y/r₀₀

расстоянии ρ, близком к нулю, расчет выражений

(18) и (19) дает следующие зависимости:

ρ(t) = ρ₀ exp(-Λδt), ϕ(t) = ϕ₀ + Λωt.

(20)

Таким образом, скорость приближения ядра к де-

фекту и угловая скорость вращения ядра увеличи-

ваются в Λ раз. Изменение характера движения маг-

нитного вихря хорошо видно на графиках зависимо-

сти координат ядра от времени в декартовой систе-

ме координат (рис. 4). Для получения этих зависи-

мостей численно решалось уравнение (1). На рис. 4б

виден момент, когда период обращения ядра рез-

-1

ко уменьшается и далее практически не меняется.

Огибающая этого графика качественно показывает

особенность, уже обсужденную нами в случае, пред-

ставленном на рис. 2.

x/r

, y/r

Оценить расстояние от ядра до дефекта, на ко-

тором происходит смена режимов движения вих-

ря, можно из простого соотношения, следующего из

знаменателя подынтегрального выражения (18):

√

(

)

(√ )

Λ exp

-2(ρ/r

0)²

≈ 1, ⇒ ρ_c ≈ r₀ ln

Λ .

(21)

Заметим, что зависимость ρ_c от параметра Λ чрез-

вычайно медленная.

Из предыдущих рассуждений следует, что явле-

ние смены скорости зависимостей ρ(t) и ϕ(t) при-

суще не только выбранному нами профилю анзаца

-2

(17). Этим свойством будет обладать вихрь, распре-

деление намагниченности в котором описывается

0.5

1.0

1.5

2.0

любой локализованной функцией на интервале r₀.

В случае отсутствия в энергии магнетика слага-

Рис. 4. Зависимости от времени декартовых координат яд-

емого, ответственного за центрально-симметричный

ра вихря. Сплошная линия — зависимость x(t), пунктир-

фактор (κ = 0), решение первого уравнения систе-

ная — y(t). Рисунок a построен для параметров Λ = 0,

мы (14) представляется в виде

η = 0.1, рис. б — Λ = 1, η = 0.1. Штриховой кривой

(

)

(

)

)₂

на рис. б показана огибающая амплитуды смещения ядра

⁽ρ

⁽ρ₀

-2

= Ei

-2

+ δ_Kt.

(22)

магнитного вихря вдоль оси x

r₀

Аналогично для азимутального угла:

действующую на ядро, со стороны энергии анизо-

(

)

⁽ρ)2

тропии и энергии ядра в центрально-симметричном

-2

exp(2η(φ - φ₀))

потенциале. Действительно, при большой удаленно-

r₀

(

)

сти ядра от начала координат (ρ ≫ r₀) в знаменате-

)₂

⁽ρ₀

лях подынтегральных выражений (18) и (19) экспо-

= Ei

-2

+ δ_Kt.

(23)

r₀

нентами можно пренебречь. Расчет этих выражений

даст уже упомянутый нами результат (12) и (13).

Здесь введено обозначение

Так и должно быть при большой удаленности ядра

8DKV

от дефекта, когда его влиянием можно пренебречь.

δ_K =

r²⁰(G² + D²)

В другом случае, когда ядро достаточно близ-

ко от дефекта, основной вклад в энергию системы

Графики зависимостей (22) и (23) показаны на

будет давать энергия взаимодействия вихря с кри-

рис. 5. Интересно отметить, что вращение ядра во-

сталлитом — энергия магнитной анизотропии. При

круг притягивающего центра с неизменной угловой

677

В. А. Орлов, Г. С. Патрин, И. Н. Орлова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

тациях оси однонаправленной анизотропии кристал-

лита и полярности ядра вихря. Естественно, это об-

стоятельство влияет на траекторию движения ядра.

Подобно выражениям (18) и (19), решение этой сис-

темы представляется в виде

∫

dρ

(

(26)

)₂)) = -δt,

⁽ρ

ρ0

pΛ exp

∫

dϕ

(

) =

)₂

⁽ρ

ϕ0

pΛ exp

exp(2η(ϕ₀ - ϕ))

= ωt.

(27)

При совпадении направлений оси анизотропии и на-

магниченности в центре ядра вихря поведение сис-

темы принципиально не отличается от случая с дву-

направленной анизотропией, и зависимости ρ(t) и

Рис.

5. Характерная зависимость от времени длины

радиус-вектора ядра (сплошная линия) и азимутального

ϕ(t) подобны графикам, показанным на рис. 2-5. В

угла (штрихпунктирная линия) для случая κ = 0

случае противоположного направления ЛОА крис-

таллита и полярности ядра (например α = 0, p = -1

или α = π, p = +1) движение вихря имеет отли-

скоростью устанавливается только при «захвате»

чительные особенности, связанные с расходимостью

вихря дефектом, т. е. при ρ/r₀ < 1.

подынтегральных выражений в (26) и (27).

Выше мы рассмотрели случай внедренного

Несколько характерных зависимостей ρ(t) и ϕ(t)

дефекта-кристаллита с двунаправленой магнитной

по результатам расчетов (26) и (27) для случая p =

анизотропией. Представляет интерес изучение

= -1 показаны на рис. 6. Из рисунков следует, что

характера движения магнитного вихря при нали-

при определенных Λ существует некоторое равно-

чии дефекта с однонаправленной анизотропией. В

весное расстояние ρ_S, по мере достижения которого

частности, такой вариант возможен при внедрении

движение вихря постепенно затухает. Ядро стремит-

в ферромагнитную матрицу антиферромагнитного

ся расположиться на расстоянии ρ_S вне зависимости

включения. В этом случае для энергии магнитного

от начального своего положения ρ₀. Выражение для

вихря запишем

расчета параметра ρ_S легко получить, приравняв к

нулю знаменатель в выражении (26). В результате

κρ

получим

W =

- KV m · l.

(24)

√

ρ_S = r₀

(28)

Тогда система уравнений (7) с учетом выражений

Следует отметить, что при Λ ≤ 2 равновесное поло-

(17) и (24) принимает вид

жение ядра находится в начале координат, т. е. непо-

[

(

dρ

-Dρ

2pKV

⁽ρ))],

средственно на самом дефекте (ρ_S = 0).

κ+

exp

G² + D²

r²⁰

r₀

На рис. 7 показаны зависимости координат от

[

(

(25)

времени в декартовой системе и соответствующие

dϕ

2pKV

⁽ρ^))]

κ+

exp

траектории ядра в рассматриваемом случае по ре-

G² + D²

r²⁰

r₀

зультатам численного решения системы уравнений

Уравнение для траектории ρ(ϕ) совпадает с выра-

(7). Таким образом, при наличии дефекта с осью

жением (16).

однонаправленной анизотропии, перпендикулярной

Здесь важно заметить, что, в отличие от дефекта

поверхности пленки, «захват» ядра дефектом мо-

с двунаправленной анизотропией, в настоящем слу-

жет реализоваться так, что центр ядра оказывает-

чае правые части в уравнениях системы (25) име-

ся на некотором расстоянии от кристаллита, но не

ют возможность обратиться в нуль и даже сменить

на самом дефекте, как в случае с двунаправленной

знак. Такое возможно при противоположных ориен-

анизотропией.

678

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

Рис. 6. Графическое представление решений (26) и (27) (соответственно а и б). Номера кривых соответствуют разным

значениями параметра Λ: Λ1 = 0, Λ2 = 1, Λ3 = 5, Λ4 = 20, Λ5 = 40. Все кривые построены для начальной безразмерной

длины радиус-вектора ρ0/r0 = 1.5 и для η = 0.1

пии которого лежит в плоскости магнетика (α =

= π/2, γ = 0). В этом случае потенциал не явля-

ется центрально-симметричным и зависит от азиму-

тального угла ядра вихря 1. В первую очередь ис-

следуем простой случай отсутствия в полной энер-

гии центрально-симметричного слагаемого, т. е. по-

ложим κ = 0. Тогда для энергии и сил получим со-

ответственно

W = -KV (1 - m2z)sin2 ϕ.

(29)

dm2z

f_ρ = KV

sin² ϕ,

dρ

(30)

f_ϕ =

KV (1 - m2z)sin2ϕ.

Система уравнений (7) принимает вид

dρ

⁽1

Рис. 7. Зависимости от времени декартовых координат

G(1 - m2z) sin 2ϕ +

G² + D²

ядра вихря в модели однонаправленной анизотропии кри-

)

сталлита. Сплошные линии — зависимость x(t), пунктир-

d(1 - m²)

+ D

sin² ϕ

ные — y(t). Графики построены для Λ = 1, p = -1,

dρ

(31)

η = 0.01, ρ0/r0 = 1.1 (a), ρ0/r0 = 2 (б)

dϕ

⁽1

D(1 - m2z)sin2ϕ -

4. ДЕФЕКТ С ОСЬЮ АНИЗОТРОПИИ,

G² + D²

ЛЕЖАЩЕЙ В ПЛОСКОСТИ ПЛЕНКИ

)

d(1 - m²)

- G

sin² ϕ

В этом разделе рассмотрим сценарий движения

dρ

магнитного вихря в поле дефекта, ось анизотро-

679

В. А. Орлов, Г. С. Патрин, И. Н. Орлова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Дифференциальное уравнение для траектории ядра

получим, поделив в системе (31) верхнее уравнение

на нижнее:

dϱ

2 ctg ϕ + ηξ(ϱ)

(32)

dϕ

2η ctg ϕ - ξ(ϱ)

Здесь используются обозначения

d ln(1 - m2z)

ϱ = ln

ξ(ϱ) =

r₀

dϱ

В отсутствие затухания (η = 0) уравнению удов-

летворяет функция

)₂

⁽sinϕ₀

m_z(ρ) = 1 - (1 - m2z(ρ₀))

(33)

sinϕ

Здесь, как и ранее, параметрами ρ₀ и ϕ₀ задает-

ся начальное положение ядра, m_z(ρ) — произволь-

ные функции, описывающие профиль намагничен-

ности вихря (не обязательно задаваемые выражени-

ем (17)), вычисленные в соответствующих коорди-

натах.

При κ = 0 минимальное значение энергии систе-

мы реализуется при условии коллинеарности векто-

ра намагниченности m и вектора оси анизотропии

Рис. 8. Траектории движения ядра магнитного вихря без

дефекта l. Очевидно, что этому состоянию соответ-

затухания для случаев pq < 0 (а) и pq > 0 (б). Обе кривые

ствует максимальное удаление ядра от кристаллита

построены для начальных условий ρ0/r0 = 0.4, ϕ0 = π/4

(ρ → ∞), т. е. вихрь отталкивается от дефекта. Так

как функции m_z(ρ) локализованы в малой области

r₀, величина m_z → 0 при ρ → ∞. Отсюда, используя

Для поиска зависимости положения ядра вихря

(33), можно определить направление движения яд-

вернемся к системе уравнений (31). В случае ρ₀/r₀ ≥

ра вихря — азимутальный угол ϕ_∞. Для этого поло-

≥ 1 верхнее уравнение можно приближенно предста-

жим нулю левую часть уравнения (33). В результате

вить в виде

dρ

имеем

sin2ϕ,

(35)

√

ρG

sinϕ_∞ = ±

1 - m2z(ρ₀)sinϕ₀.

(34)

где угол ϕ определяется выражением (34). Решени-

Интересно, что сколько-нибудь заметное криволи-

ем является функция

нейное движение ядра наблюдалось бы только вбли-

√

зи дефекта. При достаточном удалении от кристал-

ρ(t) = ρ²⁰ +

KV sin(2ϕ_∞)t.

(36)

лита, m_z(ρ) ≪ 1, азимутальный угол не меняется

и движение вихря происходит поступательно в на-

Зависимость расстояния от центра вихря до оттал-

правлении от кристаллита подобно частице, оттал-

кивающего центра по закону ρ² ∝ t означает, что на

кивающейся от дефекта. Несмотря на отсутствие

достаточно большом расстоянии ядро как квазичас-

осевой симметрии у поля, создаваемого дефектом,

тица находится в эффективном потенциале дефек-

движение ядра происходит вдоль радиус-вектора.

та, меняющемся по закону W_eff ∝ 1/ρ². Действи-

Очевидно, что это явление есть следствие комплекс-

тельно, решение простой задачи механики с учетом

ного влияния несимметричного потенциала и гиро-

выражения (36) дает

тропного эффекта, связанного с прецессией намаг-

ниченности при движении вихря. На рис. 8 пока-

⁽KV sinϕ_∞)²

заны траектории движения ядра магнитного вихря

W_eff =

(37)

ρG

при нулевом тензоре затухания

^D, полученные в ре-

зультате численного решения уравнения движения

Здесь μ — эффективная масса вихря, как квазичас-

(1) в декартовых координатах.

тицы.

680

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

С учетом уравнения траектории (33) для ниж-

него уравнения системы (31) получим дифференци-

альное уравнение с разделяющимися переменными:

dϕ

(sin² ϕ - sin² ϕ_∞).

(38)

Gr²

Решением этого уравнения является функция

(

⁽ tg ϕ₀ )

tg ϕ = tg(ϕ_∞) th arth

tg ϕ_∞

)

4KV sin2ϕ_∞

(39)

Gr²

В присутствии затухания получить общее реше-

ние уравнения (32) затруднительно. Поэтому огра-

ничимся случаем ρ₀/r₀ ≥ 1. В этом приближении

ξ(ϱ) ≪ 1 и уравнение (32) принимает простой вид:

dϱ

(40)

dϕ

Решением этого уравнения является зависимость

(

)

Рис. 9. Характерный вид траекторий для случая α = π/2,

ρ(ϕ) = ρ₀ exp

(ϕ - ϕ₀)

(41)

η = 0.4, ρ0/r0 = 2, ϕ0 = π/4, κ = 0 по результатам чис-

ленного решения системы уравнений (31) для qp < 0 (a)

и qp > 0 (б). Сплошными линиями показаны зависимости

С учетом (41) нижнее уравнение (31) имеет решение

x(t), пунктирными — y(t)

(

)

∫

exp

(ϕ - ϕ₀)

)₂

⁽r

dϕ =

δ_Kt.

(42)

sin2ϕ

ρ₀

случае, когда ось магнитной анизотропии дефек-

ϕ0

та-кристаллита не лежит в плоскости магнетика,

Аналогично для временной зависимости расстояния

происходит «захват» вихря полем дефекта. Если де-

от ядра до кристаллита получаем

фект обладает двунаправленной анизотропией, яд-

ро вихря как квазичастица стремится расположить-

∫ρ

ρ dρ

ся непосредственно на дефекте. Причем, если потен-

= r²⁰ω_Kt.

(43)

sin(2ϕ₀ + 2η ln(ρ/ρ₀))

циал, в котором движется ядро, создается не толь-

ρ0

ко полем дефекта, но и полем с осевой симметрией

иной природы, наблюдается интересный четко вы-

Здесь ω_K = GKV/(G² + D²). Траектории движе-

раженный эффект смены режимов движения вих-

ния ядер вихрей показаны на рис. 9. Заметим, что

ря с различиями в частоте обращения ядра вокруг

наличие затухания приводит к быстрой ориента-

кристаллита и в законах изменения расстояния до

ции радиус-вектора ядра в направлении, перпенди-

дефекта со временем. Дополнительный потенциал с

кулярном направлению локальной оси анизотропии

осевой симметрией может существовать, например,

кристаллита. Это направление соответствует умень-

из-за ограниченных размеров магнетика (магнито-

шению энергии анизотропии (см. рис. 1).

статической природы), из-за механических напря-

жений вблизи кристаллита (магнитоупругой при-

роды). Это обстоятельство может оказаться чрез-

5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

вычайно важным при проектировании устройств

Рассмотрение взаимодействия магнитного вихря

управления движением магнитных вихрей и скир-

с дефектом (кристаллитом), моделируемым неодно-

мионов, например, при необходимости приведения

родностью магнитной анизотропии, выявило разно-

вихря в резонансное состояние. Важно заметить, что

образие сценариев поведения намагниченности. В

явление смены угловой скорости вращения вихря

681

В. А. Орлов, Г. С. Патрин, И. Н. Орлова

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

вокруг дефекта будет наблюдаться при любом про-

зие своего поведения: «захват» вихря дефектом

филе, описывающем распределение намагниченнос-

с явно выраженной сменой частоты вращения,

ти в ядре. Необходимо лишь, чтобы функция m_z,

отражение от дефекта с различными траектори-

описывающая это распределение, была локализова-

ями движения и пр. Это диктует необходимость

на в малой области r₀. Похожий эффект наблюдался

учета особенностей взаимодействия ядра вихрей

в эксперименте [35].

с дефектами, присутствующими в магнетиках.

При наличии у кристаллита-дефекта однона-

Особенно это важно при проектировании устройств

правленной магнитной анизотропии ядро вихря мо-

спинтроники различного назначения.

жет испытывать как притяжение, так и отталкива-

ние в зависимости от взаимного направления осей

Финансирование. Исследование выполнено

анизотропии кристаллита и полярности вихря. Кон-

при финансовой поддержке Российского фонда

куренция центрально-симметричного притягиваю-

фундаментальных исследований в рамках научного

щего параболического потенциала и отталкивающе-

проекта № 18-02-00161.

го потенциала со стороны анизотропии приводит к

существованию равновесного расстояния между яд-

ЛИТЕРАТУРА

ром и дефектом (см. выражение (28)). Существо-

вание не единственного локального минимума энер-

D. A. Allwood, G. Xiong, C. C. Faulkner, D. Atkin-

son, D. Petit, and R. P. Cowburn, Science 309, 1688

гии скирмиона (вихря) вблизи дефекта обнаружено

(2005).

в эксперименте [34].

Не менее интересным является поведение маг-

M. Hayashi, L. Thomas, R. Moriya, Ch. Rettner, and

нитного вихря в поле дефекта, ось анизотропии ко-

S. S. P. Parkin, Science 320, 209 (2008).

торого лежит в плоскости магнетика. В этом слу-

S. S. P. Parkin, M. Hayashi, and L. Thomas, Science

чае энергия анизотропии обеспечивает отталкива-

320, 190 (2008).

ние ядра вихря от дефекта, причем при ничтожно

малом затухании движение ядра происходит прак-

W. Kang, Y. Huang, Ch. Zheng, W. Lv, N. Lei,

тически по прямой от кристаллита и по закону, со-

Y. Zhang, X. Zhang, Y. Zhou, and W. Zhao, Sci. Rep.

6, 23164 (2016).

ответствующему эффективной потенциальной энер-

гии W_eff

∝ ρ-2. Это справедливо именно для

A. S. Mel’nikov, A. V. Samokhvalov, and V. L. Vadi-

неоднородности намагниченности в виде магнитного

mov, Письма в ЖЭТФ 102, 886 (2015).

вихря, т. е. объекта-квазичастицы, которая во вре-

J. Kim and S.-B. Choe, J. Magn. 12(3), 113 (2007).

мя движения испытывает действие гироскопической

силы. Мы объясняем радиальное движения ядра в

A. Puzic, B. Van Waeyenberge, K. W. Chou, P. Fi-

направлении от дефекта (отражение вихря от де-

scher, H. Stoll, G. Schutz, T. Tyliszczak, K. Rott,

фекта) конкуренцией двух факторов: гироскопичес-

H. Bruckl, G. Reiss, I. Neudecker, Th. Haug,

кого эффекта и момента сил, создаваемого анизот-

M. Buess, and C. H. Back, J. Appl. Phys. 97, 10E704

(2005).

ропией кристаллита.

Гироскопический эффект выражен тем ярче, чем

B. Pigeau, G. de Loubens, O. Klein, A. Riegler,

больше скорость движения ядра. Поэтому в при-

F. Lochner, G. Schmidt, L. W. Molenkamp, V. S. Ti-

сутствии заметного затухания момент сил, обуслов-

berkevich, and A. N. Slavin, Appl. Phys. Lett. 96,

ленный анизотропией дефекта, начинает преобла-

132506 (2010).

дать по мере уменьшения скорости вихря. Траекто-

K. Yu. Guslienko, V. Novosad, Y. Otani, H. Shima,

рия ядра в этом случае криволинейная, а равновес-

and K. Fukamichi, Phys. Rev. B 65, 024414 (2001).

ное положение соответствует направлению радиус-

вектора, перпендикулярному направлению оси ани-

10.

А. К. Звездин, К. А. Звездин, ФНТ 36, 1034 (2010).

зотропии кристаллита (что соответствует минимуму

11.

С. В. Степанов, А. Е. Екомасов, А. К. Звездин,

энергии анизотропии).

Е. Г. Екомасов, ФТТ 60, 1045 (2018).

12.

В. А. Орлов, Р. Ю. Руденко, А. В. Кобяков,

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

А. В. Лукьяненко, П. Д. Ким, В. С. Прокопенко,

И. Н. Орлова, ЖЭТФ 153, 635 (2018).

В итоге можно констатировать, что такие объек-

ты, как магнитные вихри вблизи неоднородностей

13.

J. C. Martinez and M. B. A. Jalil, New J. Phys. 18,

магнитной структуры, демонстрируют разнообра-

033008 (2016).

682

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Взаимодействие магнитного вихря с неоднородностью. . .

14.

L. Gonzalez-Gomez, J. Castell-Queralt, N. Del-Valle,

31.

J. Iwasaki, M. Mochizuki, and N. Nagaosa, Nature

A. Sanchez, and C. Navau, Phys. Rev. B 100, 054440

Nanotechn. 8, 742 (2013).

(2019).

32.

H. T. Fook, W. L. Gan, and W. S. Lew, Sci. Rep. 6,

15.

X. Liang, G. Zhao, L. Shen, J. Xia, Li Zhao, X. Zhang,

21099 (2016).

and Y. Zhou, Phys. Rev. B 100, 144439 (2019).

33.

M. Rahm, J. Biberger, V. Umansky, and D. Weiss, J.

16.

X. Gong, H. Y. Yuan, and X. R. Wang, arXiv:1911.

Appl. Phys. 93, 7429 (2003).

01245v1 [cond-mat.mes-hall], 2019.

34.

I. L. Fernandes, J. Bouaziz, S. Blugel, and S. Lounis,

17.

C. Navau, N. Del-Valle, and A. Sanchez, J. Magn.

Sci. Rep. 9, 4395 (2018).

Magn. Mater. 465, 709 (2018).

35.

R. L. Compton and P. A. Crowell, Phys. Rev. Lett.

18.

H. C. Choi, S.-Z. Lin, and J.-X. Zhu, Phys. Rev. B 93,

97, 137202 (2006).

115112 (2016).

36.

T. Y. Chen, M. J. Erickson, and P. A. Crowell, Phys.

19.

J. Muller and A. Rosch, Phys. Rev. B 91, 054410

Rev. Lett. 109, 097202 (2012).

(2015).

37.

C. Hanneken, New J. Phys. 18, 055009 (2016).

20.

J. A. J. Burgess, J. E. Losby, and M. R. Freeman, J.

38.

A. Thiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973).

Magn. Magn. Mater. 361, 140 (2014).

39.

K. Yu. Guslienko, B. A. Ivanov, V. Novosad, Y. Ota-

21.

D. Stosic, T. B. Ludermir, and M. V. Milosevic, Phys.

ni, H. Shima, and K. Fukamichi, J. Appl. Phys. 91,

Rev. B 96, 214403 (2017).

8037 (2002).

22.

D. Stosic, Numerical Simulations of Magnetic Skyr-

40.

П. Д. Ким, В. А. Орлов, В. С. Прокопенко,

mions in Atomically-thin Ferromagnetic Films, Uni-

С. С. Замай, В. Я. Принц, Р. Ю. Руденко, Т. В. Ру-

versidade Federal de Pernambuco, Recife (2018).

денко, ФТТ 57, 29 (2015).

23.

J. Iwasaki, M. Mochizuki, and N. Nagaosa, Nature

41.

D. Reitz, A. Ghosh, and O. Tchernyshyov, Phys. Rev.

Comm. 4, 1463 (2012).

B 97, 054424 (2018).

24.

R. Brearton, M. W. Olszewski, S. Zhang, M. R. Es-

42.

X. Zhang, J. Müller, J. Xia, M. Garst, X. Liu, and

kildsen, C. Reichhardt, C. J. O. Reichhardt,

Y. Zhou, New J. Phys. 10, 065001 (2017).

G. van der Laan, and T. Hesjedal, MRS Advances,

University of Cambridge, DOI: 10.1557/adv.2019.43

43.

K. Yu. Guslienko, X. F. Han, D. J. Keavney, R. Di-

(2019).

van, and S. D. Bader, Phys. Rev. Lett. 96, 067205

(2006).

25.

W. Legrand, D. Maccariello, N. Reyren, K. Garcia,

C. Moutafis, C. Moreau-Luchaire, S. Collin, K. Bou-

44.

M. Wolf, U. K. Robler, and R. Schafer, J. Magn.

zehouane, V. Cros, and A. Fert, Nano Lett. 17, 2703

Magn. Mater. 314, 105 (2007).

(2017).

45.

W. Scholz, K. Yu. Guslienko, V. Novosad, D. Suess,

26.

J.-V. Kim and M.-W. Yoo, Appl. Phys. Lett. 110,

T. Schrefl, R. W. Chantrell, and J. Fidler, J. Magn.

132404 (2017).

Magn. Mater. 266, 155 (2003).

27.

C. Reichhardt, D. Ray, and C. J. Olson Reichhardt,

46.

V. A. Orlov and P. D. Kim, J. Sib. Fed. Univ. Math.

Phys. Rev. Lett. 114, 217202 (2015).

Phys. 6(1), 86 (2013).

28.

K. Zeissler, S. Finizio, C. Barton, A. J. Huxtable,

47.

В. П. Кравчук, Д. Д. Шека, ФТТ 49, 1834 (2007).

J. Massey, J. Raabe, A. V. Sadovnikov, S. A. Nikitov,

48.

N. A. Usov and S. E. Peschany, J. Magn. Magn.

R. Brearton, T. Hesjedal, G. van der Laan, M. C. Ro-

Mater. 118, L290 (1993).

samond, E. H. Linfield, G. Burnell, and C. H. Mar-

rows, Nature Comm. 11, 428 (2020).

49.

A. Aharoni, J. Appl. Phys. 68, 2892 (1990).

29.

J. Castell-Queralt, L. Gonzalez-Gomez, N. Del-Valle,

50.

A. Wachowiak, J. Wiebe, M. Bode, O. Pietzsch,

A. Sanchez, and C. Navau, Nanoscale 11,

12589

M. Morgenstern, and R. Wiesendanger, Science 298,

(2019).

577 (2002).

30.

A. Salimath, A. Abbout, A. Brataas, A. Manchon,

51.

E. Feldtkeller and H. Thomas. Phys. Kond. Mater. 4,

Phys. Rev. B 99, 104416 (2019).

8 (1965).

683