ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 4 (10), стр. 714-727

ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЯ

ЭЛЕКТРОННО-ДОПИРОВАННЫХ КУПРАТОВ

Н. А. Бабушкинаa*, А. А. Владимиров^b, К. И. Кугель^c,d, Н. М. Плакида^b

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Объединенный институт ядерных исследований

141980, Дубна, Московская обл., Россия

^c Институт теоретической и прикладной электродинамики Российской академии наук

125412, Москва, Россия

^d Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

101000, Москва, Россия

Поступила в редакцию 25 марта 2020 г.,

после переработки 25 марта 2020 г.

Принята к публикации 20 апреля 2020 г.

Проанализированы экспериментальные данные по температурной зависимости электросопротивления

электронно-допированных купратов Nd2-xCexCuO4-δ в широком интервале значений концентрации це-

рия 0.12 ≤ x ≤ 0.20. Показано, что в широкой области температур выше температуры сверхпроводящего

перехода в основном наблюдается квадратичная зависимость электросопротивления от температуры,

величина которого резко уменьшается при концентрациях x ≥ 0.17. Теоретический анализ на основе

микроскопической теории в рамках t-J-модели для сильнокоррелированных электронов показывает, что

квадратичная зависимость электросопротивления от температуры определяется рассеянием электронов

на спиновых возбуждениях. Для их описания предложена модель антиферромагнитных спиновых флук-

туаций в парамагнитной фазе, интенсивность которых зависит от антиферромагнитной корреляционной

длины. Полученная квадратичная зависимость электросопротивления от температуры хорошо согласу-

ется с экспериментальными данными.

DOI: 10.31857/S0044451020100144

купратов. Действительно, если взглянуть на фазо-

вую диаграмму сверхпроводящих купратов [3], то

1. ВВЕДЕНИЕ

в области электронного допирования сверхпроводи-

мость существует в гораздо более узком интервале

Со времени открытия Беднорцем и Мюллером

концентраций допирующего элемента, в то время

высокотемпературной сверхпроводимости в купра-

как область существования антиферромагнитного

тах прошло уже более 30 лет [1]. За это время были

(АФМ) состояния занимает существенно большую

найдены многие новые классы высокотемператур-

площадь. Более того, если в дырочных купратах

ных сверхпроводников, и не только купратных. Тем-

сверхпроводящая и АФМ-области сравнительно да-

пература сверхпроводящего перехода существенно

леко разнесены друг от друга, то в электронных они

выросла. Однако, несмотря на огромный прогресс

практически перекрываются. Наличие более обшир-

в этой области, многие важные вопросы даже в об-

ной АФМ-области указывает на существование бо-

ласти купратов еще довольно далеки от полного

лее сильных АФМ-корреляций в электронных сверх-

решения (см., например, [2]). Одной из таких про-

проводниках, что подтверждается детальным теоре-

блем является сильная асимметрия электронных ха-

тическим анализом различий между электронными

рактеристик дырочно- и электронно-допированных

и дырочными сверхпроводниками в рамках активно

используемых модельных подходов [4].

^* E-mail: babushkina1937@mail.ru

714

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

Вообще говоря, спиновые флуктуации играют

области оптимального допирования (x = 0.15), ни-

важную роль и в электронных, и в дырочных куп-

же оптимального (x = 0.12, 0.14) и выше оптималь-

ратах и, по всей видимости, лежат в основе меха-

ного (x = 0.17, 0.18, 0.20). На каждом из образов

низма сверхпроводимости в них [5, 6]. Естественно

измерялось электросопротивление ρ(T ) в широком

предположить, что такие флуктуации в значитель-

температурном интервале. Измерения на эпитакси-

ной мере определяют и транспортные характеристи-

альных пленках дают возможность получить досто-

ки купратов в нормальном состоянии. Большинство

верные данные о температурной зависимости элек-

работ в этом направлении посвящено соединениям

тросопротивления в плоскости ab.

с дырочным допированием, где в широких областях

Рост эпитаксиальных пленок проводился с по-

температур и допирования наблюдается близкий к

мощью лазерного напыления на оптически полиро-

линейному закон для электросопротивления (см.,

ванные подложки (100) SrTiO₃. Пленки затем от-

например, работу [7]). В электронно-допированных

жигались при температуре 780^◦C и давлении P ∼

купратах зарядовый транспорт имеет свои необыч-

∼ 10-2 Торр в течение 40 мин, что способствовало

ные особенности. Так, еще в ранней работе [8] по

формированию кислородного дефицита и образова-

электронно-допированным сверхпроводникам было

нию сверхпроводящей фазы. Проведенный рентге-

показано, что в пленках купрата Nd2-xCe_xCuO₄ при

нофазовый анализ показал, что для всех составов

достаточно высоком уровне допирования электросо-

кристаллографическая ось c направлена по норма-

противление в широком интервале температур ведет

ли к плоскости пленки и ориентирована вдоль (001).

себя как T². Такое поведение в обычных металлах

Особенности процесса роста и основные характери-

характерно для электрон-электронного рассеяния,

стики полученных пленок подробно описаны в ра-

однако анализ экспериментальных результатов, про-

боте [10].

веденный в работе [8], показал, что основной вклад

Измерения электросопротивления ρ(T) пленок

в квадратичную температурную зависимость элек-

проводились с использованием стандартной четы-

тросопротивления обусловлен рассеянием на спи-

рехконтактной методики на переменном токе с амп-

новых флуктуациях. В настоящей работе мы, ис-

литудой измеряемого тока около 200 мкА.

пользуя подход, развитый в работе [9], попытаем-

ся дать количественную интерпретацию квадратич-

2.2. Результаты измерений

ной температурной зависимости электросопротив-

Измерения электросопротивления ρ(T) пленок

ления в электронно-допированных купратах и срав-

нить теоретические результаты с полученными ра-

NCCO проводились в интервале температур от 4

до 300 К. При росте содержания церия менялся об-

нее экспериментальными данными.

щий характер поведения ρ(T ) (рис. 1), от несверх-

В следующем разд. 2 мы приводим получен-

проводящего (при x

= 0.12) к сверхпроводяще-

ные нами экспериментальные данные по темпера-

му (x = 0.14-0.18) и снова к несверхпроводящему

турной зависимости электросопротивления в образ-

(x = 0.20). Максимальная температура Tc сверх-

цах Nd2-xCe_xCuO4-δ при различных уровнях допи-

проводящего перехода оказывается равной 23 К при

рования x. В разд. 3 представлено сравнение наших

x = 0.15. Возникновение сверхпроводимости взаи-

результатов с данными других работ. В разд. 4 про-

мосвязано с переходом от полупроводникового по-

водится теоретический анализ температурной зави-

ведения ρ(T) к металлическому. Поведение ρ(T), ха-

симости в рамках t-J-модели с учетом рассеяния но-

рактерное для металлов, наблюдается и у несверх-

сителей тока на спиновых флуктуациях. В Заключе-

проводящих составов NCCO при x = 0.20. С ростом

нии дается обсуждение полученных результатов. В

x от 0.15 до 0.20 прослеживается также тенденция

Приложение вынесены детали расчета электронного

к падению электросопротивления в нормальном со-

спектра электронно-допированных купратов.

стоянии.

Во всех изучаемых образцах NCCO темпера-

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

турная зависимость электросопротивления близка к

квадратичной. Таким образом, для ρ(T ) с хорошей

2.1. Образцы

точностью выполняется соотношение

Образцы представляли собой эпитаксиальные

ρ(T ) = ρ₀ + AT².

(1)

пленки Nd2-xCe_xCuO4-δ (NCCO) с различными

уровнями допирования церием x. Величина x изме-

Отметим, что для всех составов при температурах

нялась в достаточно широком интервале, включая

> 250 К имеют место отклонения от квадра-

715

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

3. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1. Температурная и концентрационная

зависимости электросопротивления

Одна из фундаментальных проблем в физике

высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) —

это выявление природы температурной зависимо-

сти электросопротивления ρ(T ) в нормальном

состоянии. Линейный температурный ход ρ(T),

обычно характерный для купратов с дырочным

допированием (ВТСП p-типа) вблизи оптимального

допирования

[7], не выполняется для электрон-

но-допированных купратных сверхпроводников

(ВТСП n-типа) Ln2-xCe_xCuO4-δ (LCCO), где

Рис. 1. Температурные зависимости электросопротивле-

Ln = Nd, Pr, Sm. В данных материалах в интервале

ния NCCO при различных значениях x: 1 — 0.12; 2 —

температур T = 50-200 К наблюдается квадратич-

0.14; 3 — 0.15; 4 — 0.17; 5 — 0.18; 6 — 0.20 [8]

ная зависимость (1). Прежде чем перейти к теоре-

тическому рассмотрению электронно-допированных

купратов, мы дадим более широкий обзор экспери-

ментов, касающихся данного класса материалов, и

проведем сравнение с соответствующими данными

для дырочно-допированных купратов.

В значительном числе экспериментальных ра-

бот, в которых описывалась квадратичная темпе-

ратурная зависимость ρ(T ), исследования проводи-

лись для системы NCCO с оптимальным содержани-

ем церия (x = 0.15), см., например, работы [11, 12].

В них обсуждался электрон-электронный механизм

рассеяния, который приводит к квадратичной за-

висимости электросопротивления в обычных метал-

лах. Однако такое поведение в обычных металлах

наблюдается лишь в области низких температур, в

Рис. 2. Зависимость коэффициента A при квадратичном

то время как в ВТСП n-типа квадратичная зависи-

члене в выражении (1) для ρ(T ) от концентрации x це-

мость сохраняется вплоть до 300 K. Как отмечается

рия [8]

в работах [13, 14], электрон-электронный механизм

оказывается не вполне адекватным в данном случае.

Действительно, стандартные теоретические оценки

тичного закона. На рис. 2 приведена концентраци-

коэффициента A дают величины существенно ниже

онная зависимость коэффициента A(x). Можно ви-

экспериментальных (A ∼ 10-12 мкОм·см/К²).

деть, что при x = 0.14 и x = 0.15 величина A факти-

В работе [11] был проведен также анализ ро-

чески одинакова, а при x = 0.17 этот коэффициент

ли электрон-фононного рассеяния носителей тока.

резко уменьшается, а затем практически не зависит

Оценки величины электросопротивления, выпол-

от содержания церия, несмотря на то что при x =

ненные с использованием данных о спектре элект-

= 0.17, 0.18 система переходит в сверхпроводящее

рон-фононного взаимодействия, полученных в тун-

состояние, а при x = 0.20 она является несверхпро-

нельных экспериментах, приводят к линейной за-

водящей.

висимости ρ(T) в области температур выше 50 K,

Такое сильное падение величины электросопро-

вклад которой составляет примерно лишь 1/3 от

тивления при больших концентрациях церия x >

полного сопротивления при 300 K. Таким образом,

> 0.17 объясняется далее, в разд. 4, уменьшением

эти механизмы рассеяния не могут быть основными

АФМ корреляционной длины ξ с допированием.

при анализе квадратичной зависимости ρ(T ).

716

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

Для понимания особенностей поведения электро-

= 0.15, 0.17). Как мы обсуждаем далее, в нашей тео-

сопротивления и других явлений переноса необходи-

рии спиновые флуктуации определяют квадратич-

мо исследовать зависимость ρ(T ) от допирования.

ную зависимость ρ(T ) по крайней мере в области

Такие исследования системы NCCO в широком ин-

температур выше T_c.

тервале значений x были проведены в нашей работе

Здесь следует обратить внимание на то,

и ряде других. В работе [15] были исследованы элек-

что большой квадратичный вклад в ρ(T ) (A

∼

тросопротивление и холловский коэффициент R_H в

∼ 10-3 мкОм·см/К²) характерен для переходных и

интервале значений 0.13 ≤ x ≤ 0.19. Низкотемпера-

редкоземельных металлов [19], в которых вклад в

турное поведение в области 0.35 K ≤ T ≤ 20 K опи-

электросопротивление, обусловленный рассеянием

сывалось формулой ρ(T ) = ρ₀+C T^β, где показатель

носителей тока на магнитных моментах

3d- и

степени β в области концентраций x = 0.16-0.17

4f-электронов, является преобладающим. Поэтому

приближается к значению β ≈ 1. Вне этой области

вполне правдоподобным является предположение

β ≈ 1.5. Такую смену зависимости авторы объясня-

о том, что и для NCCO квадратичный ход за-

ют квантовым фазовым переходом при x_c = 0.165,

висимости ρ(T) также определяется магнитным

возможно связанным с переходом в АФМ-фазу. Вы-

рассеянием носителей тока.

сокотемпературное поведение при T > 50 K характе-

ризуется квадратичной зависимостью (1). В после-

3.2. Спиновые флуктуации

дующей работе [16] были исследованы зависимости

ρ(T ) и R_H в области высоких температур. Во всей

Сравним магнитные характеристики сверхпро-

области концентраций температурная зависимость

водников n-типа NCCO с аналогичной системой

нормализованной величины электросопротивления

сверхпроводников p-типа La2-xSr_xCuO4-δ (LSCO).

[ρ(T )-ρ(100 K)]/ρ(300 K) была описана единой кри-

Отметим, что обе эти группы купратов имеют ряд

вой для всех концентраций церия, что привело ав-

общих черт. В частности, Nd₂CuO₄ и La₂CuO₄ —

торов к выводу, что носителями заряда являются

несверхпроводящие прототипы этих двух се-

электроны, поскольку в ВТСП p-типа подобная за-

мейств — антиферромагнетики с температурами

висимость не наблюдается.

Нееля соответственно T_N = 250 K и T_N = 280 K.

Детальное исследование электросопротивления

Однако допирование оказывает различное действие

в соединении LCCO в работе [17] привело авторов

на спиновые АФМ-корреляции в сверхпроводниках

к близким выводам: в области малых концентра-

n- и p-типов.

ций 0.11 ≤ x ≤ 0.17 и низких температур T

≲

В частности, сравнение результатов исследо-

≲ 20 K наблюдается линейная температурная за-

вания спектров комбинационного рассеяния для

висимость ρ(T) = ρ₀ + A₁T, а в области высоких

NCCO [20] и LSCO [21] показывает, что величина ло-

концентраций x ≥ 0.18 возникает квадратичная за-

кального магнитного момента на ионе Cu²⁺ в сверх-

висимость ρ(T) = ρ₀ + A₂T² от высоких температур

проводниках n-типа слабо зависит от допирования

до низких, вплоть до 20 мК, которую авторы объ-

церием, в то время как допирование в сверхпровод-

ясняют электрон-электронным рассеянием. Следу-

никах p-типа приводит к уменьшению магнитного

ет отметить, что коэффициент A₂ резко уменьша-

момента. В первом случае при малом допировании

ется с ростом x, как и коэффициент A для NCCO

наблюдается дальний магнитный порядок и эффек-

в нашей работе, представленный на рис. 2. Смена

тивный магнитный момент ионов остается доволь-

режима поведения при x_c

= 0.17 авторы объяс-

но большим. При этом в интервале 0 < x < 0.13,

няют квантовым фазовым АФМ-переходом. Линей-

несмотря на уменьшение температуры Нееля T_N ,

ную температурную зависимость ρ(T ) при концен-

обменное взаимодействие в плоскости СuO₂ ока-

трации x ≤ x_c, совпадающей с появлением сверхпро-

зывается слабо зависящим от концентрации церия.

водимости при T_c, авторы связывают с рассеянием

При дальнейшем росте концентрации церия, когда

электронов на спиновых флуктуациях и делают вы-

происходит переход к металлическому типу пове-

вод о спин-флуктуационном механизме спаривания.

дения электросопротивления и к сверхпроводимо-

Квадратичная температурная зависимость электро-

сти, магнитные возбуждения существенным обра-

сопротивления наблюдалась также в работе [18], где

зом подавляются, но по-прежнему сохраняется ло-

исследовался эффект Нернста в Pr2-xCe_xCuO₄. Как

кальный характер магнитных моментов ионов Cu.

и в нашей работе, наблюдалось значительное умень-

При этих уровнях допирования магнитная корреля-

шение электросопротивления при переходе от низ-

ционная длина медленно убывает с ростом концен-

ких концентраций (x = 0.13, 0.14) к высоким (x =

трации церия. Такой характер изменения магнит-

717

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

ных возбуждений соответствует концентрационной

концентраций. Это различие, как обсуждалось вы-

зависимости A(x) в NCCO, приведенной на рис. 2.

ше, обусловлено разными механизмами подавления

Различное магнитное поведение электронных и

магнитного порядка: разбавлением спиновой систе-

дырочных сверхпроводников обсуждается в рабо-

мы в первом случае и возникновением фрустраций

тах [22, 23]. Это различие обусловлено тем, что

во втором случае.

в Nd₂CuO₄ при допировании церием электроны

Упругое рассеяние нейтронов было использова-

локализуются главным образом на узлах, заня-

но в работе [29] для исследования зависимости тем-

тых медью, а дырки, возникающие при допирова-

пературы Нееля и АФМ корреляционной длины ξ

нии La₂CuO₄ стронцием, занимают преимуществен-

от допирования в монокристаллах Nd2-xCe_xCuO₄

но кислородные позиции. Замещение неодима це-

в области концентраций 0.10 ≤ x ≤ 0.17. Темпе-

рием в Nd₂CuO₄ (электронное допирование) меня-

ратура Нееля быстро уменьшается вблизи перехо-

ет эффективный заряд на атоме меди (Сu²⁺

→

да в сверхпроводящую фазу при x ≈ 0.12, а корре-

→ Сu¹⁺) [24], в результате чего происходит раз-

ляционная длина от достаточно больших значений,

бавление магнитной подсистемы Сu²⁺ за счет по-

≈ 200Å при низкой концентрации x = 0.10-0.13

явления немагнитных ионов Cu¹⁺. Подтверждение

быстро убывает до значений ξ

≈ 50Å при боль-

теории разбавления магнитной подсистемы при до-

шой концентрации x ≥ 0.15. Подробное исследова-

пировании было получено в работе [25], где были

ние температурной и концентрационной зависимос-

исследованы спиновые корреляции и АФМ-порядок

тей корреляционной длины в Nd2-xCe_xCuO4±δ в об-

в Nd2-xCe_xCuO4±δ методом рассеяния нейтронов.

ласти концентраций (0.038 ≤ x ≤ 0.154) было про-

Было показало, что экспериментальные результаты

ведено в работе [30] методом неупругого рассеяния

хорошо описываются численными расчетами мето-

нейтронов. АФМ-порядок наблюдался при концент-

дом Монте-Карло для АФМ-модели Гейзенберга для

рации x < 0.13, выше которой возникает сверх-

спинов 1/2 при их случайном исключении.

проводимость. Это позволило авторам этой рабо-

В то же время дырочное допирование La₂CuO₄

ты сделать вывод об отсутствии сосуществования

меняет валентное состояние иона кислорода (О2- →

АФМ- и сверхпроводящей фаз и о наличии кванто-

→ О1-) [26]. Наличие магнитного кислородного

вого фазового перехода между ними. Наблюдаемое

иона между двумя соседними ионами меди приво-

в некоторых работах сосуществование этих фаз мо-

дит к эффективному ферромагнитному взаимодей-

жет объясняться фазовой неоднородностью образ-

ствию ионов меди. Таким образом, в решетке СuO₂

цов. Корреляционная длина при низких температу-

возникают фрустрации АФМ-типа. Такие фрустра-

рах T ≈ 50 K достаточно быстро уменьшается вне

ции вызывают ослабление магнитных корреляций и,

АФМ-фазы от значений ξ/a ≈ 80 при x ≈ 0.13 до

в результате, исчезновение дальнего АФМ-порядка

ξ/a ≈ 40 при x = 0.145 и ξ/a ≈ 15 при x ≈ 0.15, как

при весьма низких уровнях допирования x = 0.027.

в работе [29].

Таким образом, характерная длина спиновых кор-

Таким образом, исследование спиновых флукту-

реляций в NCCO оказывается больше соответству-

аций показывает, что они сохраняются в сверхпро-

ющей корреляционной длины в LCCO [27]. Факти-

водниках n-типа в широкой области концентраций

чески, в NCCO возникают локальные магнитные

и характеризуются достаточно большой АФМ кор-

моменты, для которых длина корреляции сравни-

реляционной длиной при малой концентрации x ≈

ма с длиной свободного пробега носителей тока, что

≈ 0.13, быстро убывая при x ≥ 0.15.

должно существенным образом влиять на рассеяние

носителей тока в купратах n-типа.

3.3. Реконструкция поверхности Ферми

Детальное исследование магнитного порядка и

АФМ-корреляций в сверхпроводниках n-типа было

В ряде работ при сопоставлении данных по ρ(T )

проведено с помощью рассеяния нейтронов. В ра-

в купратах p- и n-типов отсутствие квадратичной

боте [28] в монокристаллах (Nd,Pr)2-xCe_xCuO₄ бы-

температурной зависимости в купратах p-типа свя-

ли измерены температурная зависимость трехмер-

зывали с характерными различиями в геометрии по-

ного дальнего АФМ-порядка и двумерной корреля-

верхности Ферми в этих ВТСП. Изменение поверх-

ционной длины ξ в несверхпроводящей области (0 ≤

ности Ферми с допированием исследуется с помо-

≤ x ≤ 0.125). Было показано, что магнитное пове-

щью измерения фотоэмисссионных спектров с уг-

дение для купратов n-типа и p-типа имеет анало-

ловым разрешением (angle resolved photoemission

гичный характер, но магнитный порядок в купратах

spectroscopy, ARPES). В купратах p-типа при допи-

n-типа сохраняется в существенно большей области

ровании наблюдается переход от поверхности Фер-

718

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

ми в виде четырех карманов (дуг) вблизи точек

Ферми вблизи точек (π, 0), (0, π) к дырочной вбли-

(±π/2, ±π/2) зоны Бриллюэна к большой дыроч-

зи точки (π/2, π/2) зоны Бриллюэна пересечением

ной поверхности Ферми с центром вблизи точки

исходного электронного спектра с теневой зоной.

(π, π) [2].

Подобное же изменение поверхности Ферми при

В купратах n-типа поведение поверхности Ферми

допировании купратов n-типа прослеживается и

с допированием иное: при малом допировании воз-

при наблюдении осцилляций Шубникова-де Гааза,

никает электронная поверхность Ферми в виде кар-

которые позволяют определить объем поверхности

манов вблизи точек (±π, 0), (0, ±π) зоны Бриллю-

Ферми [37-39]. Так, в работе [38] изучается эволю-

эна, в дополнение к которым с допированием появ-

ция ферми-поверхности в Nd2-xCe_xCuO₄ при изме-

ляются дырочные поверхности Ферми вблизи точек

нении концентрации от x = 0.17 для передопиро-

(±π/2, ±π/2). Так, в работе [31] при исследовании

ванного образца к образцам с пониженной концент-

Nd2-xCe_xCuO4±δ показано, что при концентрации

рацией, x = 0.15, 0.14. При x = 0.17 авторы этой ра-

x = 0.04-0.10 видна электронная поверхность Фер-

боты наблюдают переход от большой поверхности

ми в виде упомянутых выше карманов, объем кото-

Ферми размером, составляющим 41 % от всей дву-

рых пропорционален x, а при допировании x ≥ 0.15

мерной зоны Бриллюэна, к малой электронной и

появляется большая дырочная поверхность Ферми с

двум дырочным поверхностям Ферми при x = 0.15,

центром вблизи точки (π, π), объем которой пропор-

0.14 за счет сворачивания большой зоны Бриллюэна

√

ционален 1+x. Подобные же результаты были полу-

в АФМ-зону Бриллюэна размером

2×

2. Эта ре-

чены в ARPES-исследованиях Nd2-xCe_xCuO₄ в ра-

конструкция объясняется появлением АФМ-поряд-

боте [32] в области АФМ-порядка при x = 0.13-0.17,

ка с большой корреляционной длиной, значительно

где авторы объясняют такую реконструкцию по-

превышающей наблюдаемую в рассеянии нейтронов

верхности Ферми АФМ-корреляциями. В работе [33]

в работе [30]. Возможно, что такое различие связа-

сопоставлялась поверхность Ферми для сверхпро-

но с влиянием сильного внешнего магнитного поля

водников n-типа Ln1.85Ce0.15CuO₄, Ln = Nd, Sm,

в эксперименте Шубникова - де Гааза, которое при-

Eu. При таком допировании (x = 0.15) поверхно-

водит к стабилизации АФМ-порядка.

сти Ферми этих сверхпроводников имели одинако-

В работе [39] было продолжено исследование

вую форму в виде описанных выше электронных

магнитосопротивления кристаллов Nd2-xCe_xCuO₄

карманов вблизи точек (±π, 0), (0, ±π) и дырочных

при изменении концентрации в интервале 0.13 ≤

поверхностей Ферми вблизи точек (±π/2, ±π/2), ко-

≤ x ≤ 0.17. Авторы приходят к выводу о суще-

торые объединялись одной дугой слабой интенсив-

ствовании двух критических точек: x_c = 0.175, ко-

ности в виде большой поверхности Ферми с цен-

гда появляется сверхпроводимость, и x_opt = 0.145

тром вблизи точки (π, π). Для описания полученной

(оптимальное допирование), когда T_c имеет макси-

большой поверхности Ферми использовалась модель

мальное значение. Ниже этой концентрации пред-

электронного спектра в приближении сильной связи

полагается возникновение дальнего АФМ-порядка.

при учете АФМ-упорядочения, приводящего к ще-

В целом, проблема сосуществования АФМ- и сверх-

ли в электронном спектре. Эта модель АФМ-спект-

проводящего состояний до конца не выяснена, по-

ра предлагается и в других работах, посвященных

скольку результаты рассеяния нейтронов в отсут-

ARPES-исследованиям (см., например, [34]). Одна-

ствие сильного внешнего магнитного поля приводят

ко в работе [35] эта простая модель спектра, обу-

к выводу об отсутствии такого сосуществования.

словленная дальним АФМ-порядком, подвергается

Итак, мы проанализировали экспериментальные

критике, так как две АФМ-ветви спектра имеют

данные по температурной зависимости элект-

разную интенсивность. Одна из них, так называе-

росопротивления ρ(T ) в нормальном состоянии

мая теневая ветвь, имеет малую интенсивность и

электронно-допированных купратов NCCO в ши-

поэтому может быть связана с ближним поряд-

роком интервале концентраций церия и связанные

ком или многочастичными эффектами, как это об-

с этой проблемой эксперименты по исследованию

суждается в теоретической работе [4]. Реконструк-

спиновых флуктуаций и поверхности Ферми. В

ция поверхности Ферми без привлечения предпо-

ряде работ характер изменения электросопротив-

ложения о дальнем АФМ-порядке также рассмат-

ления связывают с реконструкцией поверхности

ривается в работе [36], посвященной ARPES-иссле-

Ферми, рассмотренной выше. Однако, как показано

дованию Nd2-xCe_xCuO₄ в области концентраций

в следующем разделе, это изменение ρ(T ) можно

x = 0.15-0.17. Авторы объясняют появление щели в

качественно объяснить скорее наличием рассеяния

спектре при переходе от электронной поверхности

носителей тока на спиновых флуктуациях.

719

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Химический потенциал μ находится из уравне-

ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЯ

ния для среднего числа электронов с учетом запол-

ненной зоны Cu3d⁹:

Роль рассеяния на спиновых флуктуациях в

1^∑

формировании зависимости ρ(T) для ВТСП доста-

n = 1 + x, x =

〈c^†i,σc_i,σ〉,

(4)

точно широко обсуждалась в теоретических рабо-

тах, в которых использовались различные фено-

где x — концентрация допированных электронов в

менологические модели [40-42]. Ниже мы приво-

верхней зоне, 〈. . .〉 — статистическое среднее с га-

дим микроскопическую теорию для расчета элект-

мильтонианом (2).

росопротивления, обобщая результаты работы [9] на

Мы рассматриваем двумерную квадратную ре-

случай электронно-допированных ВТСП, характе-

шетку для плоскости CuO₂, где матричный эле-

ризуемых большой величиной АФМ корреляцион-

мент перескока t_ij между узлами i и j определя-

ной длины ξ.

ется параметрами t, t^′ и t^′′ для перескока между

ближайшими соседями, (±a_x, ±a_y), вторыми соседя-

4.1. t-J-модель

ми, ±(a_x ± a_y), и третьими соседями, (±2a_x, ±2a_y).

Фурье-компонента матричного элемента перескока

Учитывая, что купраты являются системами с

имеет вид

сильными электронными корреляциями, определя-

ющими диэлектрическое АФМ-состояние в недопи-

t(k) = 4t γ(k) + 4t^′ γ^′(k) + 4t^′′ γ^′′(k),

(5)

рованных соединениях [3], для теоретического рас-

где

смотрения мы используем t-J-модель [4]. При элект-

ронном допировании заполняется верхняя дыроч-

γ(k) =

[cos(ak_x) + cos(ak_y)],

ная зона Cu3d¹⁰ при полностью заполненной элект-

ронной зоне 3d⁹. В этом случае t-J-модель можно

γ^′(k) = cos(ak_x)cos(ak_y),

записать в виде

γ^′′(k) =

[cos(2ak_x) + cos(2ak_y)].

∑

H = t_ijc^†iσc_jσ -μ

c†i,σ c_i,σ +

Для электронно-допированных соединений мы вы-

i=j,σ

iσ

берем параметры, предложенные в работе [4]:

(

)

∑

S_i · S_j -

n_in_j

(2)

t > 0, t^′ < 0, t^′′ > 0,

〈ij〉

(6)

t^′

t^′′

= -0.25,

= 0.12,

где введены операторы рождения и уничтожения

электронов в дырочной зоне:

которые определяют электронный спектр в виде

c†i,σ = c^†i,σn_i,σ, c_i,σ = c_i,σn_i,σ.

(3)

ε(k) = t(k)-μ = 4γ(k)-γ^′(k)+0.48γ^′′(k)-μ,

(7)

Здесь c^†i,σ и c_i,σ — фермиевские операторы рождения

где t

= 1 выбираем за единицу энергии (t

и уничтожения электрона со спином σ/2, σ = ±1

= 0.35 эВ

≈ 4000 K [4]). При этом минималь-

(σ = -σ) на узле решетки i, n_i = Σ_σn_i,σ — оператор

ная энергия электронов оказывается вблизи точки

числа частиц. Множитель n_i,σ = c†i,¯σc_i,σ в опреде-

(π, π) зоны Бриллюэна (в единицах обратной решет-

ки 2π/a, где постоянную решетки a_x = a_y = a = 1

лении (3) показывает, что операторы c^†i,σ, c_i,σ дей-

ствуют в двукратно заполненной зоне при условии

принимаем за единицу длины). Электронный спектр

(7) соответствует наблюдаемым в ARPES-экспери-

n_i,σ = 1, так что их спин фиксирован и противопо-

ментах [33, 36]. Фурье-компонента обменного взаи-

ложен электрону в нижней зоне. Операторы спина

модействия имеет вид J(q) = 4Jγ(q), где примем

1/2 имеют вид

J = 0.4t.

∑

Отметим, что составные операторы

c†i,σ,

ci,σ,

S^αi =

c†isσ^αs,s′ cis′ .

включающие произведения трех фермиевских опе-

s,s^′

раторов, имеют сложные коммутационные соотно-

Обменное АФМ-взаимодействие между спинами

шения:

для ближайших соседей 〈ij〉, i > j определяется

†

+ c^†j,σ c_i,σ = δ_ij(1 - n_iσ/2 + σSzi ).

(8)

параметром J.

ci,σ c

j,σ

720

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

На разных узлах, i = j, они антикоммутируют, как

векторы вблизи АФМ-вектора Q, и поэтому мы мо-

фермиевские операторы, а на одном узле, i = j, в

жем ввести эффективную частоту ω_s и эффективное

правой части уравнения (8) появляются оператор

затухание η_s спиновых возбуждений вблизи Q:

числа частиц n_iσ и оператор спина S^zi, которые опре-

χ_s(q, ω) ≈ χ_s(q ∼ Q, ω) = χ_s(ω).

деляют так называемое кинематическое взаимодей-

ствие. Оно приводит к взаимодействию электронов

В этом приближении спектральную плотность спи-

со спиновыми и зарядовыми возбуждениями с боль-

новых возбуждений (11) будем описывать моделью

шой константой связи, порядка кинетической энер-

ωη_s

χ^′′s(ω) = Im χs(ω) = ωs

(12)

гии t_ij , много большей, чем обменное АФМ-взаимо-

(ω² - ω2s)² + (ω η_s)²

действие J. Это взаимодействие определяет элек-

где частота возбуждений ω_Q за счет щели в спек-

тронный спектр и проводимость в купратах, как бу-

тре зависит от АФМ корреляционной длины ξ и

дет показано ниже.

увеличивается с уменьшением ξ: ω_s = β(ξ)J, где

β(ξ) — подгоночный параметр. При расчетах мы

4.2. Модель спиновых возбуждений

рассмотрим два характерных значения корреляци-

онной длины: ξ = 15 при низкой концентрации но-

Спектр спиновых возбуждений определяется ди-

сителей вблизи АФМ-состояния (x = 0.14, 0.15) и

намической спиновой восприимчивостью спиновых

ξ = 5.5 для высокой концентраций носителей (x =

операторов S±q = S^+q ± iS-q [43, 44]:

= 0.18, 0.20), учитывая экспериментальные данные,

приведенные в работах [17,22,28-30]. При этих зна-

χ(q, ω) = -〈〈S^+q|S--q〉〉_ω = χ_s(q) χ_s(q, ω),

(9)

чениях корреляционной длины мы принимаем зна-

где 〈〈S^+q|S--q〉〉_ω — запаздывающая функция Грина

чения β(ξ = 15) = 0.55 и β(ξ = 5.5) = 0.91. Для

для фурье-компонент спиновых операторов S±q [45].

затухания спиновых возбуждений примем величину

Учитывая, что АФМ-возбуждения имеют максимум

η_s = 0.4ω_s, которая определяет спектр возбуждений

на волновом векторе Q = (π, π), для статической

с сильным затуханием, обычно наблюдаемым в до-

восприимчивости χ_s(q) примем модель

пированной парамагнитной фазе [20, 43].

Максимальное значение статической спиновой

χ_Q

χ_s(q) =

(10)

восприимчивости (10) χ_Q/κ² при q = Q определяет

κ² + (Q - q)²

константу взаимодействия электронов со спиновы-

Здесь κ = 1/ξ, где ξ (в единицах a) — АФМ корре-

ми возбуждениями, которая находится из условий

ляционная длина.

нормировки для полной восприимчивости:

Для дальнейших вычислений нам потребует-

∞

∫

ся спектральная плотность спиновых возбуждений,

1^∑

dω

〈S2i〉 =

〈S_i · S_i〉 =

определяемая мнимой частью зависящей от часто-

exp(ω/T) - 1 N

-∞

ты восприимчивости χ_s(q, ω) в формуле (9), которая

[

]

∑

имеет вид [43]

Im 〈〈S_q | S-q〉〉 =

Im χ_s(q, ω) = χ^′′s(q, ω) =

∞

∫

ωη_q

dω

1^∑

=ω_q

(11)

χ^′′s(ω)

χ_s(q) ≡

(ω² - ω^2q)² + (ω η_q)²

exp(ω/T) - 1

-∞

где ω_q — частота спиновых возбуждений и η_q — их

≡ I(T) χ_QI(κ),

(13)

затухание. Частота спиновых возбуждений в пара-

Здесь введены нормировочные интегралы

магнитной фазе антиферромагнетика может быть

∞

∫

представлена в виде

′′

I(T ) =

dω cth

(ω),

(14)

√

ω_q = ω_Q + 2 J

1 - γ²(k),

⁰∑

где ω_Q ∝ J/ξ — щель в спектре на волновом векторе

I(κ) =

(15)

κ² + (q - Q)²

Q. При переходе в АФМ-состояние с дальним поряд-

ком корреляционная длина ξ → ∞ и щель в спек-

Следовательно, постоянная χ_Q определяется соот-

тре исчезает, ω_Q → 0. При проведении численных

ношением

расчетов мы учтем, что основной вклад в воспри-

3(1 - x)

χ_Q =

〈S2i〉 =

(16)

имчивость, согласно формуле (10), дают волновые

I(T )I(κ)

4I(T)I(κ)

721

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

где 〈S2i〉 = (3/4)(1 - x) и x — концентрация допиро-

Скорость релаксации Γ(0) определяется рассея-

ванных электронов. Нормировочные интегралы до-

нием электрона с возбуждением пары частица-дыр-

статочно слабо зависят от параметров в представля-

ка с сопутствующим спиновым возбуждением. В

ющей интерес областях температуры T и допирова-

приближении взаимодействующих мод она описы-

ния x.

вается формулой [9]

Таким образом, для определения спектра спино-

вых возбуждений (9) мы используем два параметра

πt t²Q² ∑

Γ(0) =

g2x(k, k - q)×

в формуле (12) — частоту спиновых возбуждений ω_s

T K(x) N²

k,q

(параметр β) и их затухание η_s, зависящие от АФМ

∞

∫∫∫

корреляционной длины ξ в формуле (10).

dω₁dω₂dω^′n(ω₁)[1-n(ω₂)]N(ω^′)χ^′′s(q, ω^′) ×

-∞

4.3. Функция релаксации и

× A(k, ω₁)A(k - q, ω₂) δ(ω₂ - ω₁ - ω^′),

(20)

электросопротивление

где

В работе [9] нами была вычислена оптическая

(

)-1

(

)-1

проводимость, которая для нулевой частоты опре-

n(ω) = e^ω/T + 1

N (ω) = e^ω/T - 1

деляет статическую проводимость σ(0) и электросо-

противление ρ:

и A(k, ω) — спектральная плотность электронных

возбуждений (см. (25)). Здесь введена безразмерная

BtN_eff

σ(0) =

транспортная вершина

Γ(0)

(17)

Γ(0)/t

ρ=

gx(k, k - q) =

g_x(k, k - q),

BN_eff

at²

где

где ρ — безразмерное электросопротивление и пара-

метр B = ω20pl/4πt = e²n₀/mt. Здесь ω0pl — плазмен-

g_x(k, k - q) = v_x(k)t(k - q) - v_x(k - q)t(k)-

ная частота при плотности электронов n₀ = 1/v₀,

- J(q)/2[v_x(k) - v_x(k - q)],

(21)

v₀

— объем элементарной ячейки. Для соедине-

ния Nd₂CuO₄ с параметрами ячейки в плоскости

v_x(k) = -∂t(k)/∂k_x — скорость электрона.

a = 3.95

Å и расстоянием между плоскостями d =

Интегрирование по ω^′ для спиновой восприимчи-

= 12.5 Å объем v₀ = (1/2)a² d = 94.8 Å3 и параметр

вости (12) приводит к уравнению

B = 4.9 · 10³ (Ом·см)-1. Для измеряемого электро-

сопротивления получаем ρ = ρ/B = 2·10-4 ρ Ом·см.

πt t²Q² ∑

Γ(0) =

g2x(k, k - q)χ_s(q)×

Безразмерное электросопротивление ρ в форму-

T K(x) N²

k,q

ле (17) зависит от эффективной плотности носите-

∫

лей заряда в плоскости, N_eff (x), и статической ско-

× dω₁ dω₂ χ^′′s(ω₂ - ω₁)n(ω₁) ×

рости релаксации Γ(0) (обратного времени свобод-

-∞

ного пробега, 1/τ). Согласно работе [9], эти величи-

ны определяются формулами

× [1 - n(ω₂)] N(ω₂ - ω₁)A(k, ω₁)A(k - q, ω₂).

(22)

∑

При вычислении электросопротивления ρ (17)

∂²t(k)

N_eff (x) = ηK(x) =

〈c†k,σck,σ〉,

(18)

мы используем формулу для скорости релаксации

∂k²

k,σ

(22). Рассматриваются случаи низкой (x = 0.14,

0.15) и повышенной (x = 0.18, 0.20) концентра-

[

ций электронов. С ростом концентрации электронов

∑

K(x) = -

〈c†k,σck,σ〉 cos(ak_x) +

АФМ корреляционная длина уменьшается: в первом

k,σ

случае она была принята равной ξ = 15, а во вто-

]

t′

t^′′

ром случае, равной ξ = 5.5. Используя эти данные,

+ 2

cos(ak_x)cos(ak_y) + 4

cos(2ak_x)

(19)

на рис. 3 мы приводим температурные зависимос-

ти электросопротивления для этих значений кон-

Здесь безразмерный коэффициент η = 2ma²t для

центрации носителей в логарифмическом масшта-

решетки с параметром a = 3.95

Å равен η = 1.39

бе. Экспериментальные данные работы [8] представ-

для t = 0.35 эВ.

лены символами. Теоретические кривые ρ(T ) ∝ T²

722

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложена теоретическая

интерпретация квадратичной температурной зави-

симости электросопротивления в электронно-допи-

рованных купратах. Как видно из графиков, пред-

ставленных на рис. 3, электросопротивление име-

ет явно выраженную квадратичную зависимость от

температуры и по величине согласуется с экспе-

риментальными данными. Резкий рост сопротивле-

ния — увеличение наклона кривых на рис. 3 при

переходе от высокой концентрации электронов x =

= 0.18, 0.20 к пониженной концентрации x = 0.14,

0.15, обусловлен прежде всего увеличением АФМ

корреляционной длины ξ, как это обсуждалось в

конце предыдущего раздела. Незначительная вариа-

ция электросопротивления при фиксированном зна-

чении ξ объясняется изменением плотности носите-

лей N_eff (x) (19). Хорошее согласие теоретических

расчетов с экспериментом однозначно указывают на

Рис. 3. Температурные зависимости электросопротивле-

спин-флуктуационный механизм рассеяния элект-

ния в логарифмическом масштабе. Символы — экспери-

ронов в электросопротивлении.

мент (обозначения те же, что и на рис. 1), сплошная,

штрихпунктирная и штриховые линии — теория

Кулоновское рассеяние электронов также дает

квадратичную зависимость электросопротивления

от температуры. Однако при кулоновском рассея-

нии основной вклад вносит рассеяние с малыми

смещены вверх на величину остаточного электросо-

волновыми векторами, которые не дают большого

противления ρ₀, приведенного в эксперименте.

вклада в транспортную вершину взаимодействия,

Отметим, что скорость релаксации существен-

в отличие от спин-флуктуационного рассеяния с

ным образом зависит от АФМ корреляционной дли-

большой передачей импульса q ∼ Q в вершине

ны ξ, которая определяет величину статической спи-

(21). Отметим также, что спин-флуктуационное

новой восприимчивости χ_s(q) в уравнении (10). Она

рассеяние позволяет объяснить и отклонения от

имеет максимум при q = Q, и поэтому основной

квадратичной температурой зависимости элект-

вклад в скорость релаксации (22) дает произведе-

росопротивления, поэтому дополнительный учет

ние спектральных плотностей для основной зоны,

вклада электрон-электронного рассеяния для

A(k, ω₁), и теневой зоны, A(k - Q, ω₂). При больших

интерпретации экспериментальных данных, пред-

значениях АФМ корреляционной длины ξ теневая

принятый в работе [12], представляется излишним.

зона имеет высокую интенсивность, и поэтому это

произведение дает большой вклад в скорость релак-

Финансирование. Работа выполнена при под-

сации. С уменьшением ξ интенсивность теневой зо-

держке Российского фонда фундаментальных ис-

ны падает и скорость релаксации уменьшается. Кро-

следований (проекты №№ 19-02-00421, 19-02-00509,

ме того, увеличение ξ приводит к росту статической

20-02-00015).

восприимчивости

χ_Q

χ_s(Q) =

∝

ПРИЛОЖЕНИЕ

κ²

ln[1 + 4πξ²]

Спектр электронных возбуждений

которая играет роль константы взаимодействия в

выражении (22). Эта зависимость скорости релак-

Спектр электронных возбуждений определяет-

сации от АФМ корреляционной длины ξ объясня-

ся одноэлектронной функцией Грина для операто-

ет значительное уменьшение электросопротивления

ров (3). Пользуясь методом уравнений движения

при увеличении допирования.

для двухвременной запаздывающей функции Грина

723

10*

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

[5], для фурье-компоненты функции Грина получа-

ем уравнение

^G(k, ω) = 〈〈ck,σ|c†k,σ〉〉_ω =

≡

ω-ε(k)-Σ(k, ω)

≡ QG(k,ω),

(23)

где Q = n/2 = (1 + x)/2 определяет вес двукратно

заполненной электронной зоны, ε(k) — электронный

спектр (7) и Σ(k, ω) — массовый оператор. Для мас-

сового оператора в приближении непересекающихся

диаграмм получаем следующее уравнение [5]:

∞

∫

∑

Σ(k, ω) =

dz K(ω, z|q, k - q)A(q, z), (24)

q -∞

где спектральная плотность электронных возбужде-

ний

A(q, z) = -

Im G(q, z).

(25)

Ядро интегрального уравнения (24) имеет вид

Рис. 4. Спектральная плотность электронных возбужде-

ний (28)

∫

∞

dΩ

K(ω, z|q, k - q) = |t(q)|²

ω-z-Ω

-∞

находим выражение для спектральной плотности

(

)

электронных возбуждений (25):

+ cth

χ^′′(k - q, Ω),

(26)

Σ^′′(q, ω)/π

A(q, ω) =

(28)

где для спектральной плотности спиновых возбуж-

[ω - ε(q) - Σ^′(q, ω)]² + [Σ^′′(q, ω)]²

дений используется модель (9):

Полагая A(q, z) = δ[z-ε(q)], в первом приближении

χ^′′(k - q, Ω) = χ_s(k - q)χ^′′s(Ω).

для массового оператора (27) находим

Учитывая, что энергия спиновых возбуждений в

1^∑

(26) определяется частотой Ω ≈ ω_s, много меньшей,

Σ(k, ω) =

|t(q)|² χ_s(k - q) I(T )

ω - ε(q)

чем характерная энергия электронных возбуждений

z ∼ 4t, мы можем пренебречь эффектами запазды-

3(1-x) 1^∑

|t(q)|²

(29)

вания и положить Ω = 0 в знаменателе формулы

4I(κ) N

κ²+(Q-q)² ω - ε(q)

(26). При этом интеграл по частоте Ω от нечетной

функции χ^′′s(Ω) не дает вклада в член th(z/2T), и

где были использованы формулы (10) и (16).

для массового оператора получаем уравнение

Спектральная плотность электронных возбуж-

∑

дений (28) представлена на рис. 4 для симметрич-

Σ(k, ω) =

|t(q)|² χ_s(k - q)

ных направлений Γ(0, 0) → X(π, 0) → M(π, π) →

2π

→ Γ(0, 0) для концентрации электронов x = 0.18

∫

dz dΩ

при значении химического потенциала μ = -1 и для

A(q, z) cth

χ^′′s(Ω) =

ω-z

АФМ корреляционной длины ξ = 5.5. Хорошо видна

−∞

дисперсия основной дырочной зоны, представлен-

∫

∞

∑

ной кривой с большой интенсивностью с минимумом

|t(q)|²χ_s(k-q)I(T )

A(q, z).

(27)

в точке Q и максимумом в точке Γ(0, 0) зоны Брил-

ω-z

-∞

люэна. Теневая дырочная дисперсия (shadow band),

смещенная на АФМ-вектор Q относительно основ-

Вводя действительную Σ^′(k, ω) и мнимую Σ^′′(k, ω)

ной дырочной зоны представлена кривой с мень-

части массового оператора

шей интенсивностью. Она обусловлена АФМ-корре-

Σ(k, ω + iϵ) = Σ^′(k, ω) - iΣ^′′(k, ω),

ляциями ближнего порядка и определяется массо-

724

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Температурная зависимость электросопротивления. . .

Рассмотрим массовый оператор (29) при боль-

шой корреляционной длине ξ, когда статическая

спиновая восприимчивость χ_s(k - q) имеет острый

максимум при (k - q) = Q = (π, π). В этом случае,

полагая ε(q) = ε(k - Q) в выражении (29), мы мо-

жем аппроксимировать массовый оператор функци-

ей

Σ(k, ω) ≈

ω - ε(k - Q)

∑

|t(q)|² χ_s(k - q) I(T ) =

Δ(k).

(31)

ω - ε(k - Q)

Подставляя это выражение в функцию Грина (23),

находим спектр электронных возбуждений, опреде-

ляемый полюсами этой функции:

Рис. 5. Химический потенциал μ в зависимости от допи-

E1,2 =

(ε(k) + ε(k - Q)) ±

рования x

1√

[ε(k) - ε(k - Q)]² + 4Δ²(k) =

√

вым оператором (29). На рис. 5 приведена зависи-

= 4t^′γ^′(k)+4t^′′γ^′′(k)-μ ±

[4tγ(k)]²+Δ²(k),

(32)

мость химического потенциала μ от концентрации

где использована формула

(7) для ε(k). Такой

допированных электронов x, вычисленной из урав-

спектр наблюдается в ARPES-экспериментах [35]. В

нения (4) для спектральной плотности (28):

нашем подходе щель Δ(k) в спектре возникает при

пересечении основной зоны и теневой. Величина ще-

∑

〈c†k,σck,σ〉 =

ли зависит от допирования, в нашей модели — от

корреляционной длины ξ. При малой величине ξ те-

∫

∞

∑

невая зона имеет малую интенсивность и щель в

1+x

dω A(q, ω)

(30)

спектре не наблюдается, что приводит к большой

exp(ω/T ) + 1

q -∞

поверхности Ферми, определяемой основной зоной.

Как следует из этой формулы, концентрация допи-

рованных электронов не превышает x ≤ 1.

ЛИТЕРАТУРА

Как обсуждается в разд. 3.3, в ARPES-экспери-

1. J. G. Bednorz and K. A. Müller, Z. Phys. B 64, 189

ментах и в экспериментах по изучению квантовых

(1986).

осцилляций c уменьшением допирования наблюда-

ется реконструкция большой дырочной поверхности

2. N. Plakida, High-Temperature Cuprate Superconduc-

tors. Experiment, Theory, and Applications, Springer,

Ферми, которая преобразуется в малые электрон-

Heidelberg (2010).

ную и две дырочные поверхности Ферми за счет по-

явления щели в электронном спектре. Это преобра-

3. N. P. Armitage, P. Fournier, and R. L. Greene, Rev.

зование обычно связывают с появлением дальнего

Mod. Phys. 82, 2421 (2010).

АФМ-порядка. Однако подобное изменение поверх-

4. T. Tohyama, Phys. Rev. B 70, 174517 (2004).

ности Ферми, может возникать и за счет АФМ-кор-

реляций ближнего порядка, как это обсуждается в

5. N. M. Plakida and V. S. Oudovenko, Phys. Rev. B 59,

теоретической работе [4]. Появление щели в элек-

11949 (1999).

тронном спектре при достаточно большой корреля-

6. N. M. Plakida, Physica C 531, 39 (2016).

ционной длине ξ при малом допировании в рамках

нашего подхода можно описать следующим обра-

7. Y. Ando, S. Komiya, K. Segawa, S. Ono, and Y. Ku-

зом.

rita, Phys. Rev. Lett. 93, 267001 (2004).

725

Н. А. Бабушкина, А. А. Владимиров, К. И. Кугель, Н. М. Плакида

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Н. А. Бабушкина, Л. М. Белова, А. П. Жернов,

25.

P. K. Mang, O. P. Vajk, A. Arvanitaki, J. W. Lynn,

В. И. Трубицын, А. А. Иванов, О. А. Чуркин, ФНТ

and M. Greven, Phys. Rev. Lett. 93, 027002 (2004).

22, 1260 (1996).

26.

T. Takahashi, S. Maeda, H. Katayama-Yoshida,

A. A. Vladimirov, D. Ihle, and N. M. Plakida, Phys.

Y. Okade, T. Suzuki, A. Fujimori, S. Hosoya, S. Sha-

Rev. B 85, 224536 (2012).

moto, and M. Sato, Phys. Rev. B 37, 9788 (1988).

10.

A. A. Ivanov, S. G. Galkin, A. V. Kuznetsov, and

27.

R. J. Birganeau, D. R. Gable, H. P. Jensen,

A. P. Menushenkov, Physica C 180, 69 (1991).

M. A. Kastner, P. G. Picone, T. R. Thurston, G. Shi-

rane, Y. Endoh, M. Sato, K. Yamatto, Y. Hidaka,

11.

N. Tralshawala, J. F. Zasadzinski, L. Coffey, and

M. Oda, Y. Enomoto, M. Suzuki, and T. Murakami,

Quang Huang, Phys. Rev. B 44, 12102 (1991).

Phys. Rev. B 38, 6614 (1988).

12.

A. S. Klepikova, T. B. Charikova, N. G. Shelushinina,

28.

T. R. Thurston, M. Matsuda, K. Kakurai, K. Yama-

M. R. Popov, and A. A. Ivanov, ФНТ 45, 217 (2019).

da, Y. Endoh, R. J. Birgeneau, P. M. Gehring, Y. Hi-

13.

С. C. Tsuei, A. Gupta, and G. Koren, Physica C 161,

daka, M. A. Kastner, T. Murakami, and G. Shirane,

415 (1989); С. C. Tsuei, Physica A 168, 238 (1990).

Phys. Rev. Lett. 65, 263 (1990).

14.

M. A. Crusellas, J. Fontcuberta, S. Pinol, T. Grenet,

29.

T. Uefuji, K. Kurahashi, M. Fujita, M. Matsuda, and

and J. Beille, Physica C 180, 313 (1991).

K. Yamada, Physica C 378-381, 273 (2002).

15.

Y. Dagan, M. M. Qazilbash, C. P. Hill, V. N. Kul-

30.

E. M. Motoyama, G. Yu, I. M. Vishik, O. P. Vajk,

karni, and R. L. Greene, Phys. Rev. Lett. 92, 167001

P. K. Mang, and M. Greven, Nature (London) 445,

(2004).

186 (2007).

16.

Y. Dagan and R. L. Greene, Phys. Rev. B 76, 024506

31.

N. P. Armitage, F. Ronning, D. H. Lu, C. Kim, A. Da-

(2007).

mascelli, K. M. Shen, D. L. Feng, H. Eisaki, and

Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 88, 257001 (2002).

17.

K. Jin, N. P. Butch, K. Kirshenbaum, J. Paglione,

and R. L. Greene, Nature (London) 476, 73 (2011).

32.

H. Matsui, T. Takahashi, T. Sato, K. Terashima,

H. Ding, T. Uefuji, and K. Yamada, Phys. Rev. B 75,

18.

F. F. Tafti, F. Laliberte, M. Dion, J. Gaudet, P. Four-

224514 (2007).

nier, and Louis Taillefer, Phys. Rev. B 90, 024519

(2014).

33.

M. Ikeda, T. Yoshida, A. Fujimori, M. Kubota,

K. Ono, Hena Das, T. Saha-Dasgupta, K. Unozawa,

19.

E. P. Wohlfarth, in Ferromagnetic Materials, Vol. 1,

Y. Kaga, T. Sasagawa, and H. Takagi, Phys. Rev.

ed. by E. P. Wohlfarth, North-Holland, Amsterdam

B 80, 014510 (2009).

(1980), p. 121.

34.

A. F. Santander-Syro, M. Ikeda, T. Yoshida, A. Fu-

20.

I. Tomeno, M. Yoshida, K. Ikeda, K. Tai, K. Takamu-

jimori, K. Ishizaka, M. Okawa, S. Shin, R. L. Greene,

ku, N. Коshizuka, and S. Tanaka, Phys. Rev. B 43,

and N. Bontemps, Phys. Rev. Lett. 106, 197002

3009 (1991).

(2011); Erratum Phys. Rev. Lett. 107, 079901 (2011).

21.

S. Sugai, T. Ido, H. Takagi, S. Uchida, M. Sato, and

S. Shamoto, Sol. St. Comm. 16, 365 (1990).

35.

S. R. Park, Y. S. Roh, Y. K. Yoon, C. S. Leem,

J. H. Kim, B. J. Kim, H. Koh, H. Eisaki, N. P. Ar-

22.

M. Matsuda, Y. Endoch, K. Yamada, H. Kojima,

mitage, and C. Kim, Phys. Rev. B 75, 060501(R)

R. J. Birgeneau, M. A. Kastner, and G. Shirane,

(2007).

Phys. Rev. B 45, 12548 (1992).

36.

J. He, C. R. Rotundu, M. S. Scheurer, Yu He,

23.

G. M. Luke, L. P. Le, B. J. Sternlieb, Y. J. Uemura,

M. Hashimoto, Ke-Jun Xu, Yao Wang, E. W. Huang,

J. H. Brewer, R. Kadono, R. F. Kiefl, S. R. Krei-

Tao Jia, Sudi Chen, B. Moritz, Donghui Lu,

tzman, T. M. Riseman, C. E. Stronach, M. R. Davis,

Young S. Lee, T. P. Devereaux, and Zhi-Xun Shen,

S. Uchida, H. Takagi, Y. Tokura, Y. Hidaka, T. Mu-

PNAS 116, 3449 (2019).

rakami, J. Gopalakrishnan, A. W. Sleight, M. A. Sub-

ramanian, E. A. Early, J. T. Markert, M. B. Maple,

37.

W. Yu, J. S. Higgins, P. Bach, and R. L. Greene,

and C. L. Seaman, Phys. Rev. B 42, 7981 (1990).

Phys. Rev. B 76, 020503(R) (2007).

24.

M. Tranquada, S. M. Heald, A. R. Moodenbaugh,

38.

T. Healm, M. V. Kartsovnik, M. Bartkowiak, N. Bitt-

G. Liang, and M. Croft, Nature (London) 337, 720

ner, M. Lambacher, A. Erb, J. Wosnitza, and

(1989).

R. Gross, Phys. Rev. Lett. 103, 157002 (2009).

726