ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 781-791

САМОЛОКАЛИЗАЦИЯ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ

В СРЕДЕ С МГНОВЕННЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ

КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

С. Е. Савотченко^*

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

308012, Белгород, Россия

Поступила в редакцию 16 апреля 2020 г.,

после переработки 19 мая 2020 г.

Принята к публикации 20 мая 2020 г.

Предложена модель нелинейного отклика среды, в которой зависящая от интенсивности поля диэлек-

трическая проницаемость мгновенно меняется при достижении амплитуды поля определенного значе-

ния. Рассмотрено распространение самоканализированного пучка света в среде, характеризуемой такой

нелинейностью с одинаковым типом керровского отклика (самофокусирующим или дефокусирующим).

Показано, что при превышении порогового значения поля переключения вдоль канала пучка происхо-

дит формирование симметричной области (домена) конечной ширины с различающимися оптическими

свойствами. Рассмотрены три случая сочетаний знаков нелинейности и значений эффективного показа-

теля преломления, для каждого из которых определен свой профиль локализации светового пучка. В

фокусирующей среде мощность распространяющегося вдоль границы раздела излучения больше, чем

в дефокусирующей. В дефокусирующей среде существует пороговое значение полного потока энергии

излучения, начиная с которого может происходить самолокализация, когда значения эффективного по-

казателя преломления лежат между невозмущенными диэлектрическими константами среды и домена.

DOI: 10.31857/S0044451020110024

никающим вследствие прохождения излучение че-

рез кристалл. Теоретическое описание нелинейного

отклика, зависящего от интенсивности распростра-

1. ВВЕДЕНИЕ

няющегося излучения, неоднократно проводилось

Во многих оптических устройствах используют-

с использованием различных моделей, таких как

«резкая» ступенчатая нелинейность [7-9], «глад-

ся свойства нелинейных кристаллов, связанные с

возможностью управления локализацией и фильт-

кая» ступенчатая нелинейность [10, 11] и насыща-

емая нелинейность в различных вариациях [12-16].

рацией потоков энергии, регулировкой интенсивнос-

Также следует отметить модели для описания фо-

ти входящих импульсов [1-3]. В связи с этим тео-

ретическое изучение особенностей распространения

торефрактивной нелинейности [17-19], в том числе

и диффузионного типа [20-32].

оптических импульсов в нелинейных средах оста-

ется востребованным направлением с точки зрения

В моделях насыщаемой нелинейности диэлект-

перспектив появления новых материалов с уникаль-

рическая проницаемость или показатель преломле-

ными свойствами и разработки на их основе новых

ния плавным образом меняются от одного значения

оптических устройств [4].

к другому с увеличением интенсивности пучка све-

Световой пучок высокой интенсивности может

та. При больших интенсивностях они достигают зна-

менять свойства среды в узких областях вдоль на-

чения насыщения, и дальнейший их рост не происхо-

правления своего распространения, формируя зону

дит [12-15]. При малых интенсивностях в некоторых

конечной ширины с отличающимися от всей сре-

моделях насыщаемой нелинейности зависимость по-

ды оптическими свойствами [5, 6]. Такого рода яв-

казателя преломления от интенсивности описывает-

ления связаны с нелинейным откликом среды, воз-

ся обычной керровской нелинейностью [33]. Как и

для фоторефрактивной нелинейности [18], в общем

^* E-mail: savotchenkose@mail.ru

случае решения уравнений Максвелла анализирова-

781

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

лись численными методами [23, 24, 31]. Для некото-

Поэтому в данной работе предлагается модель скач-

рых моделей насыщаемой нелинейности были полу-

кообразного изменения квадратичной (керровской)

чены и аналитические решения уравнений Максвел-

диэлектрической проницаемости в зависимости от

ла [33-35].

амплитуды поля. Такая модель описывает среду, ко-

В модели «резкой» ступенчатой нелинейности

торая первоначально характеризуется одними зна-

диэлектрическая проницаемость изменятся скачком

чениями диэлектрической константы и коэффици-

от одного постоянного значения к другому при до-

ента керровской нелинейности, а при превышении

стижении интенсивности распространяющегося из-

амплитуды поля порогового значения происходит

лучения определенного порогового значения. Дан-

смена на их другие значения. При этом фокусирую-

ная модель позволяет получить результаты в явном

щие или дефокусирующие свойства среды, опреде-

аналитическом виде, что делает ее привлекатель-

ляемые знаком коэффициента керровской нелиней-

ной для теоретического описания особенностей рас-

ности, остаются неизменными.

пространения самолокализованных оптических им-

Несмотря на то, что прямое сопоставление полу-

пульсов [10], оптических бистабильностей [11] и по-

ченных в рамках данной модели теоретических ре-

верхностных волн [7-9]. Модель «резкой» ступен-

зультатов с реальными экспериментальными данны-

чатой нелинейности можно интерпретировать как

ми затруднительно, следует отметить, что в некото-

предельный случай модели «гладкой» ступенчатой

рых средах при интенсивном освещении происходит

нелинейности, когда происходит резкий рост показа-

быстрое изменение показателя преломления. Такое

теля преломления при незначительном увеличении

резкое изменение их оптических свойств отмеча-

интенсивности светового пучка.

лось во многих веществах [39], в частности, легиро-

Возможность скачкообразного изменения ди-

ванных полупроводниками стеклах CdSSe и Schott

электрической проницаемости полупроводника с

OG 550 [40, 41], легированных ионами кристаллах

экситон-экситонным взаимодействием в опреде-

GdAlO₃:Cr³⁺ [42], тонких пленках из фотохромного

ленном спектральном диапазоне была показана в

белка бактериородопсина [43,44]. При малых време-

работе [36]. Проходящие через кристалл когерент-

нах релаксации можно говорить о скачкообразном

ные фотоны возбуждают когерентные экситоны,

изменении показателя преломления от одного зна-

у которых такие же волновые векторы и фазы,

чения к другому, причем как невозмущенного, так

как и у фотонов. Такое оптическое взаимодействие

и его нелинейной добавки, зависящей от интенсив-

приводит к образованию биэкситонов, формиру-

ности светового потока.

ющих поляризацию среды и долю квазичастиц,

В данной работе будут описаны три типа рас-

определяющих оптические свойства среды, а оп-

пространяющихся самоканализированных световых

тические нелинейные эффекты могут проявляться

пучков, а также основные механизмы контроля их

даже при сравнительно небольших интенсивностях

локализации. В рамках разрабатываемой теории

падающего излучения.

описываются изменения оптических свойств кри-

В нелинейных оптических кристаллах локализа-

сталла вдоль направления распространения интен-

ция светового пучка происходит вследствие нели-

сивного светового пучка. Использование предложен-

нейного отклика среды. Теоретическое описание та-

ной модели нелинейности позволяет получить ос-

кого процесса в средах с керровской нелинейностью

новные результаты в явном аналитическом виде.

проводилось с использованием нелинейных диффе-

ренциальных уравнений, в том числе нелинейного

уравнения Шредингера [10, 34, 35]. При определен-

2. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

ных условиях локализация поля происходит не толь-

ко в среде с самофокусирующей нелинейностью, но

Рассмотрим кристалл с керровской нелинейнос-

и с дефокусирующей [37,38]. Недостаточно изучен-

тью, в котором происходит мгновенное переключе-

ние от одного значения нелинейной диэлектриче-

ной остается структура поля в самоканализирован-

ном световом пучке, когда, с одной стороны, необхо-

ской проницаемости к другому. Диэлектрическая

проницаемость ε(E) нелинейной среды с переклю-

димо учитывать зависимость диэлектрической про-

ницаемости от квадрата амплитуды напряженности

чением зависит от порогового значения поля пере-

ключения E_s (для определенности пусть E_s > 0):

электрического поля, а с другой стороны, долж-

но учитываться резкое изменение диэлектрической

{

проницаемости от одного значения к другому при

ε₁ + α₁|E|²,

|E| > E_s,

ε(|E|) =

(1)

достижении амплитуды поля порогового значения.

ε₂ + α₂|E|²,

|E| < E_s,

782

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Самолокализация световых пучков...

где ε1,2 — невозмущенные диэлектрические констан-

3. ПРОФИЛИ ЛОКАЛИЗАЦИИ СВЕТОВЫХ

ты (положительные), α1,2 — коэффициенты керров-

ПУЧКОВ

ской нелинейности, положительные значения кото-

3.1. Фокусирующая нелинейная среда

рых характеризуют фокусирующие среды, а отри-

цательные — дефокусирующие.

При n² > max(ε1,2) и α1,2 > 0 четное решение

Поместим начало координат в плоскость xy, сов-

уравнения (2) имеет вид

падающую с плоскостью симметрии светового пуч-

√

ка, вдоль которой он распространяется, ось z пер-

2(n² - ε_j)

E(z) =

(3)

пендикулярна ей. Рассмотрим только поляризован-

α_j

ch q_j (z ∓ z_j )

ную электромагнитную T E-волну с отличной от ну-

ля компонентой напряженности электрического по-

где

ля

q_j = (n² - ε_j)1/2ω/c, j = 1, 2.

(4)

E_y(x, y) = E(z)expi(kx - ωt),

В выражении (3) и далее верхний знак соответст-

распространяющуюся вдоль плоскости симметрии

вует области z > 0, а нижний — z < 0, значение

пучка (k — волновые число, ω — частота волны).

индекса j = 1 соответствует характеристикам поля

Тогда из уравнений Максвелла получается нелиней-

внутри домена при |z| < z_s, когда |E| > E_s, а значе-

ное уравнение

ние индекса j = 2 — в остальной среде при |z| > z_s,

когда |E| < E_s

E^′′(z) = (k² - ε(|E|)ω²/c²)E(z),

(2)

Определим амплитуду поля в центре симметрии

локализованного пучка света:

описывающее стационарное распределение поля в

√

поперечном к плоскости симметрии пучка направ-

2(n² - ε₁)

лении (c — скорость света). К уравнению (2) добав-

E₀ =

(5)

α₁

ch q₁z₁

ляются стандартные требования непрерывности по-

ля и его производной, том числе и в точках z = ±z_s,

Для существования локализованного пучка рас-

в которых поле совпадает с пороговым значением

сматриваемого типа амплитуда поля (5) должна

поля переключения E_s, т. е. |E(±z_s)| = E_s. Также

превышать пороговое значение поля переключения,

следует добавить требования ограниченности и ис-

т. е. E₀ > E_s.

чезновения поля на бесконечности |E(z)| → 0 при

Из условий непрерывности поля (3) и его произ-

|z| → ∞.

водной на границе домена при z = z_s получаются

В силу симметрии системы можно рассматри-

соотношения

вать решения уравнения (1), которые обладают чет-

√

ностью. В данной работе будут изучаться решения

2(n² - ε_j )

четного типа, т. е. такие, для которых E(-z) = E(z),

= E_s, j = 1, 2,

(6)

α_j

ch q_j (z_s - z_j)

что соответствуют симметричному распределению

поля в светом пучке.

q₁ th q₁(z_s - z₁) = q₂ thq₂(z_s - z₂).

(7)

В областях вблизи плоскости симметрии пучка,

где интенсивность света наибольшая и |E| > E_s,

Из выражения (7) с учетом (6) получается, что

происходит образование зоны конечной ширины (оп-

пороговое значение поля переключения не является

тического домена) с диэлектрической проницаемос-

произвольным параметром, а полностью определя-

тью, отличающейся от остальной области нелиней-

ется свойствами среды:

ной среды. Формирование такого оптического доме-

ε₂ - ε₁

на обусловлено структурой поля в световом пучке,

E2s = 2

(8)

α₁ - α₂

самолокализация которого возможна при опреде-

ленных соотношениях между параметрами среды и

Если в качестве управляющего (независимого)

эффективным показателем преломления n = ck/ω.

параметра выбрать амплитуду поля в плоскости

Рассмотрим далее возможные типы профилей ло-

симметрии пучка, то из (5) и (6) получаются сле-

кализации световых пучков, которые определяются

дующие параметры поля (3):

знаками коэффициентов керровской нелинейности и

⎛

√

⎞

соотношениями между эффективным показателем

2(n² - ε₁)

преломления и невозмущенными диэлектрическими

z₁ =

√

Arch⎝1

⎠,

(9)

(n² - ε₁)

E₀

α₁

константами среды и домена.

783

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

√

Если в качестве управляющего (независимого)

α₂ - α₁ n² - ε₂

z₂ = z_s -

√

Arch

(10)

параметра выбрать амплитуду поля на границе, то

(n² - ε₂)

α₂

ε₂ - ε₁

из (13) и (14) получаются следующие параметры по-

где полуширина домена составляет

ля (12):

⎧

⎛

⎞

√

(

√

)

⎨

2(n² - ε₁)

z_s =

√

Arch⎝1

⎠₊

z₁ = -

√

Arsh

(17)

⎩

E₀

α₁

(n² - ε₁)

E₀

g₁

⎛√

⎞⎫

√

⎬

g₁ - g₂ n² - ε₂

+ Arch⎝α1 -α2 n² -ε1

⎠

(11)

z₂ = z_s -

√

Arsh

(18)

α₁

ε₂ - ε₁

⎭

(n² - ε₂)

g₂

ε₁ - ε

где полуширина домена

Самолокализованный пучок (3) в фокусирующей

{

√

среде существует, если либо ε₂ > ε₁ и α₂ < α₁, либо

g₂ - g₁ n² - ε₁

z_s =

√

Arsh

при противоположных условиях ε₂ < ε₁ и α₂ > α₁.

(n² - ε₁)

g₁

ε₂ - ε₁

Следовательно, если невозмущенная диэлектриче-

(

√

)}

2(n² - ε₁)

ская константа в среде больше, чем в домене, то для

- Arsh

(19)

локализации поля коэффициент керровской нели-

E₀

g₁

нейности в среде должен быть меньше, чем в домене,

Нелинейная самолокализованная волна (12) в де-

или наоборот.

фокусирующей среде существует, либо если ε₂ > ε

и g2 > g1, либо при противоположных условиях,

3.2. Дефокусирующая нелинейная среда:

ε2 < ε1 и g2 < g1. Следовательно, если невозму-

первый диапазон

щенная диэлектрическая константа в среде больше,

чем в домене, то для локализации поля коэффици-

При n² > max(ε1,2) и α1,2 < 0 четное решение

ент керровской нелинейности в среде тоже должен

уравнения (2) имеет вид

быть по модулю больше, чем в домене, или наоборот.

√

2(n² - ε_j)

E(z) = ±

(12)

g_j

shq_j(z ∓ z_j)

3.3. Дефокусирующая нелинейная среда:

второй диапазон

где q1,2 = -α1,2 > 0.

Амплитуда поля в центре локализации есть

При ε₂ < n² < ε₁ и α1,2 < 0 четное решение

√

уравнения (2) имеет вид

2(n² - ε₁)

⎧

√

E₀ = -

(13)

⎪

ε₁ - n²

g₁

shq₁z₁

⎪

∓

th q_t(z ∓ z₁),

|z| < z_s

⎪

g₁

Для локализации поля (12), помимо того что

E(z) =

(20)

√

⎪

E₀ > E_s, для удовлетворения условия ограниченнос-

⎪

n² - ε₂

⎩_±

|z| < z_s,

ти решения должны выполняться неравенства z₁ <

g₂

shq₂(z ∓ z₂)

< 0, z₂ < z_s.

√

где q_t = (ε₁ - n²)1/2ω/

2c.

Из условий непрерывности поля (12) и его про-

Амплитуда поля в центре симметрии пучка рав-

изводной на границе домена при z = z_s получаются

соотношения

на

√

ε₁ - n²

E₀ =

th q_tz₁.

(21)

2(n² - ε_j )

= E_s, j = 1, 2,

(14)

g_j

shq_j(z_s - z_j)

Из условий непрерывности поля (20) и его про-

q₁ cthq₁(z_s - z₁) = q₂ cth q₂(z_s - z₂).

(15)

изводной на границе домена при z = z_s получаются

соотношения

Из выражения (15) с учетом (14) получается,

√

что, как и для случая фокусирующей среды, поро-

ε₁ - n²

th q_t(z_s - z₁) =

говое значение поля переключения не является про-

g₁

извольным параметром, а полностью определяется

√

свойствами среды:

2(n² - ε₂)

ε₁ - ε₂

=E_s,

(22)

E2s = 2

(16)

g₂

shq₂(z_s - z₂)

g₁ - g₂

784

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Самолокализация световых пучков...

q2t

z > z_s. Для поля (3) в фокусирующей нелинейной

= E_sq2 cth q₂(z_s - z₂).

(23)

√g₁ ch² q_t(z_s - z₁)

среде данные компоненты потока имеют вид

{√

Из (23) с учетом (22) получается зависимость эф-

α₁E²⁰

фективного показателя преломления от параметров

P₁ =

n² - ε₁ -

α₁ω

среды и поля переключения:

√

}

√

α₁

+ n² - ε₁ - (ε₂ - ε₁)

(30)

n² = ε₁ - E_s

q₁ {2(ε₁ - ε₂) - (g₁ - g₂)E2s},

(24)

α₁ - α₂

√

(

√

)

g₁

z₁ =

Arth E₀

(25)

{√

ω ε₁

−n²

ε₁ - n²

P₂ =

n² - ε₂

(

√

)

α₂ω

√

}

n² - ε₂

α₂

z₂ = z_s -

(26)

+ n² - ε₂ - (ε₂ - ε₁)

(31)

ω√n2 - ε2 Arsh

E_s

g₂

α₁ - α₂

где полуширина домена

Из (30) и (31) следует, что меняется область до-

√

{

(

√

)

пустимых значений эффективного показателя пре-

g₁

z_s =

Arth E₀

ломления: n > n_min, где n2min = max (ε_cj ), j = 1, 2, 3,

ω ε₁

−n²

ε₁ - n²

(

√

)}

g₁

α₁(ε₂ - ε₁)

α₂(ε₂ - ε₁)

− Arth E_s

(27)

εc1 = ε₁ +

εc2 = ε₂ +

ε₁ - n²

α₁ - α₂

α₁ - α

α₁E²⁰

Для существования самолокализованного пучка

εc3 = ε₁ +

(20) между коэффициентами нелинейности и ди-

электрическими константами должны быть спра-

Для поля (12) в дефокусирующей нелинейной среде

ведливыми такие же соотношения, как и для поля

компоненты потока (29) имеют вид

(12), кроме того, должно выполняться условие E2s <

(√

< 2(ε₁ - ε₂)/(g₁ - g₂).

g₁E

P₁ = -

n² - ε₁ +

g₁ω

√

)

g₁

4. ПОТОК ЭНЕРГИИ

+ n² - ε₁ - (ε₂ - ε₁)

(32)

g₂ - g₁

Определим поток энергии как сохраняющийся

первый интеграл уравнения (2):

(√

P₂ =

n² - ε₂ +

+^∞

g₂ω

√

)

P =

|E(z)|²dz.

(28)

g₂

+ n² - ε₂ - (ε₂ - ε₁)

(33)

−∞

g₂ - g₁

В силу симметрии системы полный поток (28)

Для поля (20) в дефокусирующей нелинейной

можно представить в виде суммы двух частей:

среде компоненты потока (29) имеют вид

P = 2(P₁ + P₂),

(29)

^{c

√

P₁ =

2(E_s - E₀) +

√g

где P₁ — компонента потока в домене при 0 < z < z_s

√

}

и P₂ — компонента потока в среде за доменом при

+ z_sE_s

2(ε₁ - ε₂) - (g₁ - g₂)E2s

(34)

P₂ =

g₂ω

{√

√

}

√

× ε₁-ε₂+E_s(E_sg₁/2-

g₁{2(ε₁-ε₂)-(g₁-g₂)E2s})- ε₁-ε₂-E_s

g₁{2(ε₁ - ε₂) - (g₁ - g₂)E2s}

(35)

785

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Для анализа соотношения распределения пото-

ков энергии между доменом и средой удобно исполь-

зовать относительные потоки

P_j

δP_j =

j = 1,2,

(36)

P₁ + P₂

характеризующие доли потоков энергии, приходя-

щиеся на соответствующие области.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

5.1. Особенности пространственной

локализации распределения световых полей

Типичные профили распределения поля трех ти-

пов самоканализированных пучков представлены на

рис. 1. Для профиля распределения поля в фокуси-

рующей среде в поперечном плоскости симметрии

пучка направлении характерно наличие двух сим-

метрично расположенных максимумов одинаковой

высоты:

E2m = 2(n² - ε₁)/α₁.

(37)

Данные максимумы расположены в точках z₁,

определяемых выражением (9), которые расположе-

ны внутри домена. При этом величина максимума

поля всегда выше значения поля на границе разде-

ла: E_m > E₀ (рис. 1а).

Для пучков в дефокусирующих средах в обоих

рассмотренных выше диапазонах максимумы интен-

сивности всегда располагаются в центре их симмет-

рии. В дефокусирующей среде поле (12) в первом

диапазоне при n² > max (ε1,2) имеет профиль, более

Рис. 1. Характерные профили распределения напряженно-

узко локализованный вблизи центра симметрии све-

сти эклектического поля в зависимости от расстояния от

тового пучка (рис. 1б), в отличие от профиля поля

границы раздела кристаллов z при фиксированных пара-

метрах c = 1, ω = 1: a — для поля (3) E0 = 1, n = 3.5,

(20) во втором диапазоне при ε₂ < n² < ε₁ (рис. 1в).

ϵ1 = 1.5, ϵ2 = 1.8, α1 = 3.5, α2 = 0.5; б — для поля (12)

Распределение поля (20) принципиально отлича-

E0 = 1, n = 3, ϵ1 = 1.5, ϵ2 = 1.8, g1 = 0.5, g2 = 3.5; в —

ется от (3) и (12) не только диапазоном существо-

для поля (20) E0 = 0.7, Es = 0.43, ϵ1 = 1.8, ϵ2 = 1.1,

вания, но и тем, что для (20) пороговое значение

g1 = 1.0, g2 = 0.5

поля переключения являлось произвольным пара-

метром, в отличие от (3) и (12), для которых оно

при значении управляющего поля переключения

полностью определялось свойствами среды. Кроме

E2smin = (ε₁ - ε₂)/(g₁ - g₂), т. е. в два раза меньше

того, самолокализация пучков (3) и (12) происхо-

чем (16).

дит при произвольных значениях эффективного по-

Распределения полей первого диапазона в фо-

казателя преломления, превышающих невозмущен-

кусирующей и дефокусирующей средах отличают-

ные диэлектрические константы, а пучок (20) мо-

ся также еще и тем, что в дефокусирующей сре-

жет самоканализироваться только при таких значе-

де невозмущенная диэлектрическая константа и мо-

ниях эффективного показателя преломления, кото-

дуль коэффициента керровской нелинейности боль-

рые связаны с характеристиками среды определен-

ше либо в домене, либо в остальной среде, а в

ной зависимостью (24), приведенной на рис. 2. Дан-

фокусирующей среде соотношение другое: невозму-

ная зависимость не является монотонной, а харак-

щенная диэлектрическая константа в среде больше

теризуется наличием минимума

(меньше), чем в домене, а коэффициент керровской

n2min = ε₁ - (ε₁ - ε₂)3/2/√g1/(g1 - g2)

(38)

нелинейности в среде меньше (больше), чем в до-

786

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Самолокализация световых пучков...

Рис. 2. Зависимость показателя преломления (24) от поля

переключения при тех же значениях параметров, что и на

рис. 1в

Рис. 3. Зависимости полуширины домена от показателя

преломления: линия 1 — в фокусирующей среде по форму-

ле (11) при значениях параметров тех же (кроме n), что и

мене. Данное обстоятельство необходимо учитывать

на рис. 1а; линия 2 — в дефокусирующей среде по формуле

при проектировании оптических переключателей на

(19) при тех же значениях параметров, что и на рис. 1б

основе керровских сред со скачкообразно меняю-

щейся нелинейностью.

Таким образом, самолокализация пучков (3) и

(12) может контролироваться амплитудой поля в

центре локализации E₀ и эффективным показате-

лем преломления, а локализация пучка (20) может

контролироваться амплитудой поля в центре лока-

лизации E₀ и пороговым значением поля переклю-

чения E_s.

5.2. Ширина симметричного домена

Для характеристики ширины домена можно ис-

пользовать величину z_s в силу симметрии рассмат-

риваемой системы. В фокусирующей и дефокусиру-

ющей средах в первом диапазоне при n² > max (ε1,2)

ширина домена определяется эффективным показа-

телем преломления n и амплитудой поля в центре

симметрии светового пучка (рис. 3). При фиксиро-

ванном n ширина домена убывает с увеличением ам-

Рис. 4. Зависимости положения и высоты максимума по-

плитуды E₀. В фокусирующей среде при фиксиро-

луширины домена (11) от амплитуды поля в центре сим-

ванном n формируется более широкий домен, чем в

метрии светового пучка в фокусирующей среде при тех же

дефокусирующей среде.

значениях параметров, что и на рис. 3

В данном диапазоне в дефокусирующей среде за-

висимость ширины домена (19) от эффективного по-

казателя преломления является монотонно убываю-

во, а его высота уменьшается (рис. 4). Следователь-

щей, в отличие от случая фокусирующей среды, где

но, наиболее широкие домены в фокусирующей сре-

при определенном значении n_max наблюдается мак-

де формируются при значениях эффективного по-

симум зависимости (11) z_smax. Положение и вели-

казателя преломления, близких к наибольшему зна-

чина такого максимума могут контролироваться ам-

чению невозмущенных диэлектрических констант с

плитудой поля в центре симметрии светового пучка.

относительно низким уровнем интенсивности поля

С ростом E₀ положение максимума смещается впра-

в центре симметрии локализованного пучка света.

787

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис. 5. Зависимости полуширины домена в дефокусирую-

щей среде по формуле (27) поля переключения при раз-

личных значениях E0, а остальные значения параметров

Рис. 6. Зависимости полного потока от показателя прелом-

те же, что и на рис. 1в: линия 1 — E0 = 0.75, линия 2 —

ления при значениях тех же параметров, что и на рис. 3:

E0 = 0.7, линия 3 — E0 = 0.65

линия 1 — в фокусирующей среде по формуле (29) с уче-

том (30) и (31); линия 2 — в дефокусирующей среде по

формуле (29) с учетом (32) и (33)

В дефокусирующей среде во втором диапазоне

при ε₂ < n² < ε₁ ширина домена (27) не зависит

ний n в фокусирующей среде поток принимает наи-

от n, а определяется как амплитудой поля в центре

меньшее значение, а в дефокусирующей — наиболь-

симметрии светового пучка E₀, так и амплитудой

шее. Поскольку поток в фокусирующей среде всегда

поля переключения E_s. В отличие от волн первого

больше, чем в дефокусирующей, то можно говорить,

диапазона, ширина домена (27) монотонно возраста-

что в фокусирующей среде мощность распространя-

ет с увеличением E₀ при фиксированном значении

ющегося вдоль границы раздела излучения больше,

E_s. Ее зависимость от E_s при фиксированном зна-

чем в дефокусирующей.

чении E₀ является монотонно убывающей (рис. 5)

до нулевого значения при E_s = E₀. Поскольку, как

Аналогичным образом зависят от n компоненты

следует из (24), при малых значениях E_s эффектив-

потов P₁ в домене соответственно в фокусирующей

ный показатель преломления принимает наиболь-

(30) и дефокусирующей (32) средах. Компоненты

шие значения, можно утверждать, что при его зна-

потов P₂ (31) и (33) в обеих средах за доменом мо-

чениях, близких к диэлектрической константе до-

нотонно убывают с увеличением эффективного по-

мена, происходит формирование наиболее широкого

казателя преломления. При этом, так же как и в

домена.

описанных выше случаях, компонента потока в фо-

Таким образом, управление интенсивностью по-

кусирующей среде (31) превышает компоненту пото-

ля в центре симметрии самоканализированного све-

ка в дефокусирующей среде (33) при значениях n,

тового пучка позволяет контролировать во всех рас-

близких к границе допустимого диапазона, однако с

смотренных диапазонах ширину формируемого до-

дальнейшим увеличением n они становятся практи-

мена, которая также может контролироваться эф-

чески неразличимыми.

фективным показателем преломления только в пер-

Анализ соотношения распределения потоков

вом диапазоне.

энергии между доменом и средой показал, что в

фокусирующей среде наибольшая доля энергии

сосредотачивается в домене, а в дефокусирующей —

5.3. Распределения потоков энергии

вне домена. Относительные потоки в домене δP

Сначала рассмотрим зависимости потоков энер-

в фокусирующей и дефокусирующей средах с

гии от эффективного показателя преломления в

увеличением n монотонно возрастают до своих

первом диапазоне при n² > max (ε1,2). Полный по-

пороговых значений насыщения (рис. 8а). Доля

ток P в фокусирующей среде возрастает монотонно

энергии δP₁ в фокусирующей среде больше, чем в

с увеличением эффективного показателя преломле-

дефокусирующей.

ния (рис. 6, линия 1), а в дефокусирующей — убыва-

Относительные потоки вне домена δP₂ в фокуси-

ет (рис. 6, линия 2). На границе допустимых значе-

рующей и дефокусирующей средах с увеличением n

788

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Самолокализация световых пучков...

Рис. 9. Зависимость полного потока в дефокусирующей

среде по формуле (29) с учетом (34) и (35) от поля пе-

реключения при тех же значениях параметров, что и на

рис. 5

монотонно убывают до своих пороговых значений

насыщения (рис. 8б). Доля энергии δP₂ в фокусиру-

ющей среде меньше, чем в дефокусирующей.

В дефокусирующей среде во втором диапазоне

при ε₂ < n² < ε₁ поток, как и ширина домена, не

зависит от n, а определяется амплитудами полей в

центре симметрии светового пучка E₀ и переключе-

ния E_s. При фиксированной амплитуде поля пере-

ключения полный поток и его компонента в домене

(34) монотонно возрастают с увеличением E₀, а ком-

Рис. 7. Зависимости относительных потоков δP1 (а) и δP2

(б) от показателя преломления при тех же значениях пара-

понента потока вне домена (35) не зависит от E₀.

метров, что и на рис. 3: линия 1 — в фокусирующей среде,

В зависимости от поля переключения энергия

линия 2 — в дефокусирующей среде

может перераспределяться между зонами кристал-

ла. При фиксированной амплитуде поля в центре

симметрии светового пучка с увеличением E_s по-

ток в домене (34) убывает, а вне домена (35) — воз-

растает (рис. 7). При малых значениях поля пере-

ключения большая доля энергии сосредотачивается

в домене, а при дальнейшем увеличении E_s, начи-

ная с его критического значения Esс, при котором

P₁(Esс) = P₂(Esс), происходит перераспределение

потока энергии в среду за доменом.

Полный поток из компонент (34) и (35) при

определенном значении поля переключения E_smin

характеризуется наличием минимального значения

P_min, начиная с которого может происходить само-

локализация пучка в дефокусирующей среде во вто-

ром диапазоне (рис. 9). С увеличением амплитуды

Рис. 8. Зависимости компонент потоков P1 и P2 от поля

в центре симметрии светового пучка E₀ величина

переключения в дефокусирующей среде по формулам (34)

минимального потока P_min повышается, а его поло-

и (35) при тех же значениях параметров, что и на рис. 1в,

жение смещается в сторону больших значений поля

E0 = 0.7

переключения E_s.

789

С. Е. Савотченко

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Поскольку эффективный показатель преломле-

вое значение полного потока энергии излучения, на-

ния связан с углом падения света, путем его под-

чиная с которого может самоканализироваться пу-

бора и амплитуды поля на границе раздела можно

чок с эффективным показателем преломления, ле-

будет добиться требуемого распределения потоков

жащим между невозмущенными диэлектрическими

энергии в первом диапазоне. Для случая дефокуси-

константами среды и домена.

рующей среды во втором диапазоне контроль рас-

Полученные в работе результаты могут иметь

пределения потоков энергии может осуществляться

значение при проектировании элементов оптических

варьированием амплитуды поля в центре симметрии

устройств, основанных на использовании возмож-

пучка и поля переключения.

ностей управления локализацией световых пучков

в нелинейных средах в зависимости от интенсивно-

сти входного излучения [45-47]. Кроме того, пред-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ложенная теория может быть полезной для поиска

механизмов подавления нежелательных изменений

Предложена модель нелинейной среды со ступен-

оптических свойств кристаллов в зонах вдоль рас-

чатым изменением квадратично зависящей от ам-

пространения интенсивных световых пучков.

плитуды поля диэлектрической проницаемости. Ис-

пользование такой модели позволило теоретически

описать с помощью точных решений нелинейных

ЛИТЕРАТУРА

уравнений особенности формирования самоканали-

H. N. Kishikawa and N. Goto, Opt. Eng. 46(4),

зированных световых пучков, распространение ко-

044602 (2007).

торые обусловливает изменения оптических свойств

кристалла вдоль оси его распространения. Показа-

C. Ironside, Semiconductor Integrated Optics for

но, что при превышении поля переключения поро-

Switching Light, Morgan & Claypool Publishers, Bris-

гового значения происходит формирование области

tol, UK (2017).

кристалла, в которой оптические свойства измени-

лись. Рассмотрены три случая знака нелинейности

A. Goodarzi, M. Ghanaatshoar, and M. Mozafari, Sci.

Rep. 8, 15340 (2018).

и значений эффективного показателя преломления,

для каждого из которых определен свой тип распре-

Surface Waves: New Trends and Developments, ed.

деления поля в самолокализованом пучке.

by F. Ebrahimi, IntechOpen (2018).

В фокусирующей среде, когда эффективный по-

казатель преломления превышает невозмущенные

E. C. Jarque and V. A. Malyshev, Opt. Comm. 142,

диэлектрические константы, профиль распределе-

66 (1997).

ния поля в поперечном плоскости симметрии пучка

A. Schuzgen, N. Peyghambarian, and S. Hughes,

направлении характеризуется наличием двух сим-

Phys. Stat. Sol. (b) 206, 125 (1999).

метрично расположенных максимумов со значения-

ми выше, чем в центре симметрии. В дефокусирую-

П. И. Хаджи, Л. В. Федоров, ЖТФ 61, 110 (1991).

щей среде существуют два типа распределения по-

Н. Н. Белецкий, Е. А. Гасан, ФТТ 36, 647 (1994).

лей, различающихся диапазоном существования. В

таких распределениях максимум интенсивности все-

К. Д. Ляхомская, П. И. Хаджи, ЖТФ 70, 86

гда располагается в центре симметрии локализован-

(2000).

ного пучка.

10.

A. E. Kaplan, IEEE J. Quant. Electr. 21,

1538

Проанализированы зависимости ширины домена

(1985).

и потоков энергии излучения от таких управляющих

параметров, как эффективный показатель прелом-

11.

R. H. Enns, S. S. Rangnekar, and A. E. Kaplan, Phys.

ления и для амплитуды поля переключения, и в цен-

Rev. A 35, 466 (1987).

тре симметрии пучка. Показано, что более широкие

домены в фокусирующей среде формируются при

12.

V. E. Wood, E. D. Evans, and R. P. Kenan, Opt.

значениях эффективного показателя преломления,

Comm. 69, 156 (1988).

близких к наибольшему значению невозмущенных

13.

S. Gatz and J. Herrmann, J. Opt. Soc. Amer. B 8,

диэлектрических констант. В фокусирующей среде

2296 (1991).

мощность излучения больше, чем в дефокусирую-

щей. В дефокусирующей среде существует порого-

14.

J. Herrmann, J. Opt. Soc. Amer. B 8, 1507 (1991).

790

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Самолокализация световых пучков...

15.

Л. В. Федоров, К. Д. Ляхомская, Письма в ЖТФ

32.

С. Е. Савотченко, ФТТ 62, 902 (2020).

23, 36 (1997).

33.

J. M. Christian, G. S. McDonald, and P. Chamor-

16.

K. Zhan, H. Tian, X. Li, X.Xu, Z. Jiao, and Y. Jia,

ro-Posada, J. Opt. Soc. Amer. B 26, 2323 (2009).

Sci. Rep. 6, 32990 (2016).

34.

R. H. Enns, S. S. Rangnekar, and A. E. Kaplan, Phys.

17.

М. П. Петров, С. И. Степанов, А. В. Хоменко, Фо-

Rev. A 36, 1270 (1987).

торефрактивные кристаллы в когерентной опти-

35.

R. H. Enns and S. S. Rangnekar, Opt. Lett. 12, 108

ке, Наука, Санкт-Петербург (1992).

(1987).

18.

S. Bian, J. Frejlich, and K. H. Ringhofer, Phys. Rev.

36.

П. И. Хаджи, Г. Д. Шибаршина, А. Х. Ротару, Оп-

Lett. 78, 4035 (1997).

тическая бистабильность в системе когерент-

19.

В. Н. Белый, Н. А. Хило, Письма в ЖТФ 23, 31

ных экситонов и биэкситонов в полупроводниках,

(1997).

Штиинца, Кишинев (1988).

20.

С. М. Шандаров, Е. С. Шандаров, Письма в ЖТФ

37.

S. E. Savotchenko, Pramana — J. Phys. 93, 77 (2019).

23, 30 (1997).

38.

С. Е. Савотченко, Поверхность. Рентгеновские,

21.

Д. Х. Усиевич, Б. А. Нурлигареев , В. А. Сычугов,

синхротронные и нейтронные исследования 5, 1

Л. И. Ивлева, П. А. Лыков, Н. В. Богодаев, КЭ 40,

(2020).

437 (2010).

39.

J. M. Takayama, G. S. McDonald, and P. J. Chamor-

22.

Д. Х. Усиевич, Б. А. Нурлигареев , В. А. Сычугов,

ro-Posada, Opt. Soc. Amer. B 26, 2323 (2009).

Л. И. Ивлева, КЭ 41, 924 (2011).

40.

P. Roussignol, D. Ricard, J. Lukasik, and C. Flytza-

23.

С. А. Четкин, И. М. Ахмеджанов, КЭ 41, 980

nis, J. Opt. Soc. Amer. B 4, 5 (1987).

(2011).

41.

J.-L. Coutaz and M. KullJ, Opt. Soc. Amer. B 8, 95

24.

Д. Х. Усиевич, Б. А. Нурлигареев, В. А. Сычугов,

(1991).

Л. И. Ивлева, КЭ 43, 14 (2013).

42.

T. Catunda and L. A. Cury, J. Opt. Soc. Amer. B 7,

25.

S. E. Savotchenko, Sol. St. Comm. 296, 32 (2019).

1445 (1990).

26.

С. Е. Савотченко, Письма в ЖЭТФ 109, 778

43.

Q. Wang Song, C. Zhang , R. B. Gross, and R. R. Bir-

(2019).

de, Opt. Comm. 112, 296 (1994).

27.

С. Е. Савотченко, ЖЭТФ 156, 196 (2019).

44.

Q. Wang Song, X. Wang, R. R. Birge, J. D. Downie,

D. Timucin, and C. Gary, J. Opt. Soc. Amer. B 15,

28.

С. Е. Савотченко, КЭ 49, 850 (2019).

1602 (1998).

29.

С. Е. Савотченко, Конденсированные среды и

45.

B. A. Naim, Chinese J. Phys. 55, 2384 (2017).

межфазные границы 21, 441 (2019).

46.

M. Liu, D. A. Powell, Y. Zarate, and I. V. Shadrivov,

30.

С. Е. Савотченко, Изв. ВУЗов. Физика 63, 144

Phys. Rev X 8, 031077 (2018).

(2020).

47.

Y. Jia, Y. Liao, L. Wu, Y. Shan, X. Dai, H. Cai,

31.

С. Е. Савотченко, Опт. и спектр. 128, 358 (2020).

Y. Xiang, and D. Fan, Nanoscale 7, 4515 (2019).

791