ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 832-839

МНОГОСПИНОВАЯ ЗАПУТАННОСТЬ В

МНОГОКВАНТОВОМ ЯМР С ДИПОЛЬНЫМ

УПОРЯДОЧЕННЫМ НАЧАЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ

И. Д. Лазаревa,b*, Э. Б. Фельдман^a

^a Институт проблем химической физики Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^b Факультет фундаментальной физико-химической инженерии

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 5 июня 2020 г.,

после переработки 5 июня 2020 г.

Принята к публикации 10 июля 2020 г.

Исследуется многоспиновая запутанность в газе спин-несущих молекул (атомов) в нанопоре в условиях

ЯМР с дипольным упорядоченным начальным состоянием. Для оценки количества запутанных спинов ис-

пользуется второй момент распределения интенсивностей многоквантовых когерентностей ЯМР, который

определяет нижнюю границу квантовой информации Фишера. Многоспиновая запутанность исследуется

при различных температурах для различного количества спинов.

DOI: 10.31857/S0044451020110073

рая ответственна за МК-когерентности в МК-спект-

роскопии ЯМР [3]. В МК-спектроскопии ЯМР эта

наблюдаемая определяется оператором полной про-

1. ВВЕДЕНИЕ

екции углового спинового момента на направление

сильного внешнего магнитного поля. С использо-

Запутанность [1] является важной концепцией

ванием квантовой информации Фишера [11] для

квантовой механики. В частности, она ответственна

анализа МК-спектра ЯМР можно получить важ-

за преимущество квантовых компьютеров перед их

ную информацию о многоспиновой запутанности,

классическими аналогами. Недавно продемонстри-

поскольку существует связь между вторым момен-

рованное квантовое превосходство [2] на програм-

том спектра [12] и квантовой информацией Фише-

мируемом сверхпроводящем процессоре также свя-

ра [8, 13]. Кроме того, второй момент МК-спектра

зано с понятием запутанности, которое отсутствует

ЯМР определяет нижнюю границу квантовой ин-

в классической физике. Среди многочисленных ме-

формации Фишера [8]. Это означает, что МК-спект-

тодов исследования запутанности мы сосредоточи-

роскопия ЯМР является эффективным методом ре-

лись на многоквантовом (МК) ЯМР в твердых те-

шения квантовых информационных задач.

лах [3], который широко используется для изучения

запутанности в бинарных системах [4-7].

Многоспиновая запутанность была исследована

Оказалось также, что МК-спектроскопия ЯМР

[13] для несферической нанопоры, заполненной га-

[3] позволяет извлекать информацию о многоспино-

зом спин-несущих молекул в сильном внешнем маг-

вой запутанности [8] с помощью квантовой инфор-

нитном поле [14, 15]. Термодинамическое равновес-

мации Фишера [9, 10], являющейся ключевой кон-

ное начальное состояние системы определялось од-

цепцией в квантовой теории информации. Кванто-

носпиновым зеемановским взаимодействием с внеш-

вая информация Фишера описывает скорость изме-

ним магнитным полем [16]. Однако многоспиновую

нения квантовых состояний, определяемых матри-

запутанность можно исследовать, когда та же самая

цей плотности, при изменении наблюдаемой, кото-

система первоначально подготовлена в дипольном

упорядоченном состоянии [17] с помощью либо ме-

^* E-mail: ilia.lazarev@icp.ac.ru

тода адиабатического размагничивания во вращаю-

832

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Многоспиновая запутанность в многоквантовом ЯМР.. .

щейся системе координат (ВСК) [17, 18], либо двух-

может быть использована в случае, когда зеемановс-

импульсной последовательности Брокаерта - Джи-

кая температура низкая, а дипольная — высокая.

нера [17,19]. МК-динамика ЯМР с таким начальным

состоянием моделировалась как для небольших спи-

2. ТЕОРИЯ МК-ДИНАМИКИ ЯМР В

новых систем [16,20], так и для системы, состоящей

НАНОПОРЕ ПРИ НИЗКОЙ

из 200-600 спин-несущих молекул (атомов), запол-

ЗЕЕМАНОВСКОЙ И ВЫСОКОЙ

няющих нанопору [21]. Однако подходы, разрабо-

ДИПОЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРАХ

танные для этих исследований, ограничены случа-

ем высоких температур и не могут применяться для

МК-динамика ЯМР в нанопоре определяется га-

изучения многоспиновой запутанности.

мильтонианом [13, 15]

В настоящей работе мы рассматриваем проме-

[

]

(

)₂

(

)₂

жуточный температурный случай с низкой зеема-

H_MQ = -

I⁺

I^-

(1)

новской и высокой дипольной температурами. Маг-

где

нитное упорядочение [22] выходит за рамки данной

∑

статьи. Заметим, что двухимпульсный эксперимент

I^± = I^±j,

(2)

Брокаерта - Джинера [19] был разработан для высо-

j=1

котемпературного случая. Мы теоретически пока-

N — число спинов в нанопоре, I^±j — повышающий

зываем, что эксперимент [19] также может выпол-

или понижающий операторы спина j, D — константа

няться и для промежуточного температурного слу-

диполь-дипольного взаимодействия (ДДВ), усред-

чая, рассматриваемого нами. Было показано [21],

ненная по быстрой молекулярной диффузии спин-

что в МК-эксперименте ЯМР с дипольным упорядо-

несущих атомов (молекул) в нанопоре. Подчеркнем,

ченным начальным состоянием МК-когерентности

что константа ДДВ D одинакова для всех пар вза-

ЯМР возникают быстрее, чем в МК-эксперименте

имодействующих спинов в нанопоре [13, 15]. Мат-

ЯМР с начальным термодинамическим равновес-

рица плотности ρ(τ) на подготовительном периоде

ным состоянием в сильном внешнем магнитном по-

МК-эксперимента ЯМР [3] может быть получена из

ле. Данное обстоятельство является важным для

эволюционного уравнения Лиувилля [17, 22]

изучения многоспиновой запутанности, поскольку

dρ(τ)

при этом используется второй момент распределе-

= [H_MQ, ρ(τ)]

(3)

dτ

ния МК-когерентностей ЯМР. Указанное обстоя-

с начальной термодинамической равновесной мат-

тельство также важно для исследования распро-

рицей плотности

странения многоспиновых корреляций [14, 23-25] и

)

локализации [26,27]. При этом важную роль играют

(ℏω₀

ℏ

ρ(0) = ρ_eq =

exp

α_ZI_z +

β_dH_dz

(4)

неупорядоченные по времени корреляции (out-of-ti-

k_B

me ordered correlations), которые связаны с распре-

где

делением МК-когерентностей ЯМР.

{

)}

(ℏω₀

ℏ

В данной статье исследуется многоспиновая за-

Z = Tr exp

α_ZI_z +

β_dH_dz

k_B

путанность с использованием МК-спектра ЯМР

спин-несущих атомов (молекул) в нанопоре, когда

— статистическая сумма, k_B — постоянная Больцма-

система приготовлена в дипольном упорядоченном

на, ω₀ — частота Лармора, I_z — оператор проекции

состоянии. В разд. 2 описана разработанная теория

полного углового спинового момента на ось z, ко-

МК-динамики ЯМР при низкой зеемановской тем-

торый направлен вдоль сильного внешнего магнит-

пературе и высокой дипольной температуре. Анали-

ного поля, H_dz — секулярная часть гамильтониана

тическое решение для МК-динамики ЯМР трехспи-

ДДВ в сильном внешнем магнитном поле, а α_Z и

новой системы, полученное при таких же темпера-

β_d — обратные зеемановская и дипольная темпера-

турах, описано в разд. 3. Второй момент МК-спект-

туры. Мы рассмотрим случай, когда зеемановская

ра ЯМР в качестве меры многоспиновой запутан-

температура является низкой (ℏω₀α_Z/k_B ≫ 1), а ди-

ности рассматривается в разд. 4. В разд. 5 иссле-

польная — высокой (ℏDβ_d/k_B ≪ 1). Мы предполага-

дуется зависимость многоспиновой запутанности от

ем, что ω₀ = 2π·500·10⁶ с-1 и D = 2π·10⁴ с-1. В При-

дипольной температуры и числа спинов в системе.

ложении мы доказываем, что двухимпульсная по-

Краткое изложение полученных результатов приве-

следовательность Брокаерта - Джинера [17, 19] поз-

дено в разд. 6. В Приложении показано, что двухим-

воляет получить дипольное упорядоченное состо-

пульсная последовательность Брокаерта - Джинера

яние даже при низкой зеемановской температуре.

833

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

И. Д. Лазарев, Э. Б. Фельдман

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Другим методом создания дипольного упорядочен-

Для дальнейших расчетов необходимо ввести нор-

ного состояния системы является адиабатическое

мированные интенсивности J_n(τ) (n = 0, ±2, ±4, . . .)

размагничивание [17,18]. Используя эти методы, мы

МК-когерентностей ЯМР:

можем получить систему в состоянии термодинами-

Tr {ρ_n(τ)ρ_-n(τ)}

ческого равновесия с матрицей плотности

J_n(τ) =

(13)

Tr {ρ2i}

)

(

)

(ℏβ_dH_dz

ℏβ_d

Используя уравнения (9), (10), можно проверить,

ρ_i =

exp

≈

H_dz

(5)

Z_i

k_B

Z_i

k_B

что

}

где статистическая сумма

{∑

{

ρ_n(τ)ρ_-n(τ)

∑

Z_i = Tr exp

(ℏβ_dH_dz )}≈2N .

(6)

J_n(τ) =

k_B

Tr {ρ2i}

}

{∑

МК-динамика ЯМР в нанопоре будет исследована

ρ_n(τ)ρ_m(τ)

{

}

на основе уравнения (3) с начальным состоянием (5).

ρ²(τ)

Также важно отметить, что гамильтониан H_dz час-

= m,n

Tr {ρ2i}

Tr {ρ2i(τ)}

тично усредняется быстрой молекулярной диффу-

{

}

exp(-iH_MQτ)ρ2i exp(iH_MQτ)

зией в нанопоре, а усредненный гамильтониан мож-

= 1.

(14)

но записать как [21, 28]

Tr {ρ2i}

Из уравнения (14) можно сделать вывод, что сумма

H_dz =

(3I2z - I²),

(7)

МК-когерентностей ЯМР сохраняется на подготови-

тельном периоде МК-эксперимента ЯМР [3].

где I² — квадрат углового спинового момента.

Базис, состоящий из собственных состояний опе-

Пусть функция G(τ, φ) описывает усредненный

ратора I_z (называемый мультипликативным бази-

по равновесной матрице плотности сигнал после

сом), широко используется для численных расчетов

периодов подготовки, эволюции и смешивания в

МК-динамики ЯМР [30]. В связи с быстрым рас-

МК-эксперименте ЯМР [3]. Ее можно записать в ви-

ширением гильбертова пространства с ростом чис-

де [13]

ла спинов такие вычисления возможны только для

систем с небольшим числом спинов. Такой подход

не подходит для исследований многоспиновой запу-

G(τ, φ) = Tr {exp(iH_MQτ) exp(iφI_z ) ×

танности. Поскольку гамильтониан H_MQ уравнения

× exp(-iH_MQτ)ρ_i exp(iH_MQτ) ×

(1) коммутирует с квадратом полного углового мо-

× exp(-iφI_z)exp(-iH_MQτ)ρ_i} =

мента спинов

I², можно использовать базис, состо-

= Tr {exp(iφI_z )ρ(τ) exp(-iφI_z )ρ(τ)} ,

(8)

ящий из общих собственных состояний I² и I_z для

изучения МК-динамики ЯМР, как это было сдела-

где

но в работах [13,15,21]. В этом базисе гамильтониан

ρ(τ) = exp(-iH_MQτ)ρ_i exp(iH_MQτ)

(9)

H_MQ и исходная матрица плотности (5) (см. также

(7)) состоят из блоков, соответствующих различным

является решением уравнения (3) при начальном

значениям углового момента спинов [15]. Тогда ис-

условии (5). Матрица плотности ρ(τ) раскладыва-

следование МК-динамики ЯМР может быть сведено

ется в ряд:

∑

к решению ряда задач меньшей размерности.

ρ(τ) =

ρ_n(τ),

(10)

Поскольку гамильтониан H_MQ уравнения (1)

коммутирует с оператором exp(iπI_z ), 2^N × 2^N -мат-

где ρ_n(τ) — вклад в ρ(τ) от МК-когерентности n-го

рица гамильтониана сводится к двум блокам

порядка [29]. Тогда функцию G(τ, φ) в уравнении (8)

2N-1 ×2N-1 [15]. Для нечетных N оба блока вносят

можно переписать как

одинаковый вклад в МК-когерентности ЯМР, и

∑

можно решить задачу, используя только один блок

G(τ, φ) =

e^inφTr {ρ_n(τ)ρ_-n(τ)} ,

(11)

2N-1 × 2N-1, и удвоить полученные интенсивности.

В наших расчетах мы берем только нечетные

где мы учитываем, что

числа спинов. Этим методом можно исследовать

МК-динамику ЯМР в системах, состоящих из сотен

[I_z, ρ_n(τ)] = nρ_n(τ).

(12)

спинов.

834

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Многоспиновая запутанность в многоквантовом ЯМР.. .

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ

МК-ДИНАМИКИ ЯМР ТРЕХСПИНОВОЙ

СИСТЕМЫ В НАНОПОРЕ В ДИПОЛЬНОМ

УПОРЯДОЧЕННОМ СОСТОЯНИИ

Задача получения точного решения МК-динами-

ки ЯМР трехспиновой системы в дипольном упо-

рядоченном состоянии в нанопоре аналогична за-

даче, рассмотренной в работе [13] для начального

термодинамического равновесия в сильном внешнем

магнитном поле. При решении задачи мы не бу-

дем использовать высокотемпературного приближе-

ния [17].

Гамильтониан H_MQ уравнения (1) состоит из

двух блоков для двух возможных значений углового

момента спина (I² = S(S + 1), S = 3/2, 1/2). Эти

блоки и соответствующие им собственные значения

и собственные состояния приведены в работе [13].

Рис.

1. Интенсивности МК-когерентностей ЯМР Jn

Матрица плотности системы также состоит из двух

(n = 0, ±2) в нанопоре с N = 3 при температуре T =

блоков, ρ3/2(τ), ρ1/2(τ), и

= 9.6 · 10-7

⎛

⎞

e3b/2

4. ВТОРОЙ МОМЕНТ МК-СПЕКТРА ЯМР

⎜

⎟

⎜

e-3b/2

⎟

КАК МЕРА МНОГОСПИНОВОЙ

ρ3/2(0) =

⎜

^⎟,

⎜

⎟

e-3b/2

ЗАПУТАННОСТИ

⎝ 0

⎠

(15)

e3b/2

(

)

Выражение (8) для МК-сигнала ЯМР G(τ, φ) мо-

ρ1/2(0) =

жет быть разложено в ряд по инкременту фазы им-

пульсов:

G(τ, φ) = Tr {ρ(τ) exp(iφI_z )ρ(τ) exp(-iφI_z)} =

где b = ℏD/kBT и T — температура. Простыми

{

}

{

}

= Tr

ρ²(τ)

- φ²Tr

ρ²(τ)I2z - (ρ(τ)I_z)²

вычислениями можно получить матрицы плотности

+ O(φ³).

(17)

ρ3/2(τ) и ρ1/2(τ), которые позволяют нам найти ин-

тенсивности МК-когерентностей ЯМР.

Можно доказать [31], что квантовая информация

В рассматриваемых системах появляются толь-

Фишера F_Q(ρ, I_z) [32] удовлетворяет неравенству

{

}

ко МК-когерентности ЯМР нулевого и плюс/минус

F_Q(ρ, I_z) ≥ 4Tr

ρ²I2z - (ρI_z)²

(18)

второго порядков. Интенсивности этих когерентно-

В т{ же время легко }роверить, что выражение

стей равны

2Tr ρ²(τ)I2z - (ρ(τ)I_z)2

равно второму моменту

)

(_√

)

M₂ распределения интенсивностей МК-когерентнос-

⁽3b

J₀(τ) = 1 -

th²

sin²

3Dτ

тей ЯМР [12],

∑

)

(16)

(_√

)

⁽3b

M₂ = n²J_n(τ),

(19)

J±2(τ) =

th²

sin²

3Dτ

где J_n(τ) (n = 0, ±2, ±4, . . .) определяется уравнени-

ем (13). Таким образом, второй момент распределе-

Сумма интенсивностей МК-когерентностей, соглас-

ния МК-интенсивностей ЯМР дает нижнюю грани-

но выражениям (16), равна единице в соответствии с

цу квантовой информации Фишера F_Q(ρ, I_z). Также

уравнением (14). Зависимости рассчитанных интен-

показано [9, 10], что если

сивностей J_n(τ) (n = 0, ±2) от времени эволюции

показаны на рис. 1.

F_Q(ρ, I_z) > nk² + (N - nk)²,

(20)

835

И. Д. Лазарев, Э. Б. Фельдман

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис. 2. Зависимости нижней границы квантовой информации Фишера FQ = 2M2 от безразмерного времени Dτ при

N = 101: a — T = 6 · 10-4 K, неравенство (20) определяет область парной запутанности (k + 1 = 2), эта область

выше горизонтальной линии; б — T = 3.2 · 10-4 K, область многоспиновой запутанности представляет собой полосу,

ограниченную горизонтальными линиями k = 19 и k = 46; в — T = 1.6 · 10⁴ K, горизонтальные линии k = 18 и k = 86

ограничивают полосу с многоспиновой запутанностью; г — при T = 4.8 · 10-5 K возникают запутанные кластеры с 11-92

спинами

где n — целая часть N/k, то система с матрицей

5. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

плотности ρ(τ) содержит k + 1 запутанных спинов

МНОГОСПИНОВОЙ ЗАПУТАННОСТИ ПРИ

РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ И

[33-35]. Результаты численного анализа многоспи-

РАЗЛИЧНОМ ЧИСЛЕ СПИНОВ В СИСТЕМЕ

новой запутанности в системе спин-несущих моле-

кул (атомов), первоначально приготовленных в ди-

Рассматриваемая модель спин-несущих молекул

польном упорядоченном состоянии, представлены в

(атомов) в нанопоре в дипольном упорядоченном со-

следующем разделе.

стоянии расширяет возможности исследования мно-

836

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Многоспиновая запутанность в многоквантовом ЯМР.. .

Рис. 3. Зависимости максимального количества запутанных спинов, усредненного по времени эволюции (0 ≤ Dτ ≤ 3),

от температуры при N = 51 (а); N = 75 (б); N = 101 (в)

госпиновой запутанности по сравнению с родствен-

Зависимости максимального числа запутанных

ной моделью [13], в которой система изначально на-

спинов за время эволюции (0 ≤ Dτ ≤ 3) от темпе-

ходилась в термодинамическом равновесии в силь-

ратуры при разных числах спинов в нанопоре пред-

ном внешнем магнитном поле. Модель работы [13]

ставлены на рис. 3. Максимальное количество за-

неприменима для исследования эволюции системы

путанных спинов n_max уменьшается при повыше-

во времени, потому что распределение МК-коге-

нии температуры. Максимальное количество запу-

рентностей ЯМР быстро становится стационарным

танных спинов увеличивается, когда увеличивается

[15]. Многоспиновая запутанность изменяется с тем-

число спинов в нанопоре, потому что система в на-

пературой в очень узком температурном интервале

нопоре становится плотнее.

в модели [13]. Например, все спины запутаны в си-

стеме, состоящей из 201 спина уже при температуре

T = 6.856 · 10-3 K [13].

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Зависимости квантовой информации Фишера от

Мы исследовали многоспиновую запутанность в

времени в системе, состоящей из 101 спина, пред-

системе спин-несущих молекул (атомов), заполняю-

ставлены на рис. 2 при различных температурах. На

щих несферические нанопоры в условиях экспери-

рис. 2a видно, что при температуре T = 6 · 10-4 K

мента МК-спектроскопии ЯМР. Спины изначально

существует только парная запутанность. При тем-

находились в дипольном упорядоченном состоянии.

пературе T = 3.2 · 10-4 на рис. 2б появляется по-

Найдены зависимости многоспиновой запутанности

лоса, в которой неравенство (20) может быть вы-

от температуры и количества спинов в нанопоре.

полнено, когда 19 ≤ k ≤ 46. Таким образом, су-

Проведенные исследования позволяют заклю-

ществует многоспиновая запутанность в спиновых

чить, что МК-спектроскопия ЯМР является тонким

кластерах, состоящих из 20-47 спинов, при темпе-

и полезным методом для исследования различных

ратуре 3.2 · 10-4 K. Когда температура понижается,

проблем квантовой информатики. В частности, это

ширина полосы, в которой существует многоспино-

очень эффективный метод исследования квантовой

вая запутанность, увеличивается. При температуре

запутанности.

T = 1.6 · 10-4 K (рис. 2в) появляются кластеры из

19-87 запутанных спинов, а при температуре T =

Благодарности.

Авторы

благодарны

= 4.8·10-5 K (рис. 2г), наблюдаются 11-92 запутан-

В. А. Ацаркину за полезное обсуждение.

ных спинов.

837

И. Д. Лазарев, Э. Б. Фельдман

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Финансирование. Работа выполнена в рам-

exp(β_Lω₀I_z)

σ_i =

Z_i = Tr{exp(β_Lω₀I_z)} ,

(21)

ках Государственного задания (госрегистрация

Z_i

AAAA-A19-119071190017-7). Работа частично под-

держана Российским фондом фундаментальных ис-

где величина β_L пропорциональна обратной тем-

следований (гранты №№ 20-03-00147, 19-32-80004).

пературе решетки. После первого резонансного x-

Один из авторов (И. Д. Л.) благодарит Фонд

импульса получаем

развития теоретической физики «БАЗИС» (грант

(

)

(

)

№19-1-5-130-1).

σ^′(0) = exp i

I_x σ_i exp

-i

I_x

ПРИЛОЖЕНИЕ

exp(β_Lω₀I_y)

(22)

Z_i

Двухимпульсный эксперимент

Брокаерта - Джинера при низкой

где I_α — оператор проекции полного спинового мо-

зеемановской температуре и высокой

мента на ось α = x, y, z. Затем система свободно эво-

дипольной температуре

люционирует в течение времени τ, и после этого по-

Изначально система находится в состоянии тер-

дается второй резонансный y-импульс, который по-

модинамического равновесия в сильном внешнем

ворачивает спины на угол θ вокруг оси y ВСК. В

магнитном поле с матрицей плотности

результате получаем, что

exp(-iθI_y) exp(-iH_dzτ) exp(β_Lω₀I_y) exp(iH_dzτ) exp(iθI_y)

σ^′(τ) =

(23)

Z_i

По истечении времени T₂ (T₂ — время спиновой ре-

В выражении (27) было учтено, что [exp(-iπI_y), H_dz] =

лаксации [17]) система достигает состояния термо-

= 0. Поскольку мы рассматриваем случай высокой

динамического равновесия,

дипольной температуры, можно переписать уравне-

ние (25) как

exp(α_Z ω₀I_z + β_dH_dz)

σf =

(24)

Z_f

Tr {I_z exp(α_Z ω₀I_z )} +

Z_f

где α_Z и β_d — обратные зеемановская и дипольная

температуры. Очевидно, что система имеет един-

Tr {I_z exp(α_Z ω₀I_z )H_dz} .

(28)

ственное равновесное состояние, а температуры α_Z

Z_f

и β_d в равновесном состоянии находятся из законов

Заметим, что Tr{I_z} = Tr {I_zH_dz} = 0. В таком

сохранения:

случае α_Z = 0 удовлетворяет уравнению (25). Та-

ким образом, в рассматриваемом случае получаем

Tr {I_z σ^′(τ)} = Tr {I_z σ_f (τ)} ,

(25)

дипольное упорядоченное состояние.

Tr {H_dzσ^′(τ)} = Tr {H_dzσ_f (τ)} .

(26)

Можно переписать Tr {I_z σ^′(τ)} как

ЛИТЕРАТУРА

Tr {I_z σ^′(τ)} =

Tr{exp(iθI_y )I_z exp(-iθI_y ) ×

Z_i

1. М. А. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Compu-

tation and Quantum Information, Cambridge Univ.

× exp(-iH_dzτ) exp(β_Lω₀I_y ) exp(iH_dzτ)} =

Press (2009).

Tr{(I_z cos θ - I_x sin θ) exp(-iH_dzτ) ×

2. F. Arute, R. Babbush, J. C. Bardin et al., Nature

Z_i

574, 505 (2019).

× exp(β_Lω₀I_y ) exp(iH_dzτ)} =

3. J. Baum, M. Munowitz, A. N. Garroway, and A. Pi-

Tr{exp(-iπI_y) (I_z cos θ - I_x sin θ) ×

nes, J. Chem. Phys. 83, 2015 (1985).

Z_i

× exp(-iH_dzτ) exp(β_Lω₀I_y) exp(iH_dzτ) exp(iπI_y)} =

4. G. B. Furman, V. M. Meerovich, and V. L. Sokolov-

sky, Phys. Rev. A 78, (2008).

Tr{(I_z cos θ - I_x sin θ) exp(-iH_dzτ) ×

Z_i

5. G. B. Furman, V. M. Meerovich, and V. L. Sokolov-

× exp(β_Lω₀I_y) exp(iH_dzτ)} = 0.

(27)

sky, Quant. Inform. Proc. 8, 283 (2009).

838

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Многоспиновая запутанность в многоквантовом ЯМР.. .

E. B. Fel’dman and A. N. Pyrkov, Письма в ЖЭТФ

21.

S. I. Doronin, E. B. Fel’dman, and A. I. Zenchuk,

88, 454 (2008).

ЖЭТФ 140, 567 (2011).

E. B. Fel’dman, A. N. Pyrkov, and A. I. Zenchuk,

22.

A. Abragam and M. Goldman, Nuclear Magnetism:

Phil. Trans. Roy. Soc. London A 370, 4690 (2012).

Order and Disorder, Clarendon Press, London (1982).

M. Gärttner, P. Hauke, and A. M. Rey, Phys. Rev.

23.

J. Baum and A. Pines, J. Amer. Chem. Soc. 108,

Lett. 120, 040402 (2018).

7447 (1986).

G. Tóth and I. Apellaniz, J. Phys. A 47, 424006

24.

C. M. Sánchez, R. H. Acosta, P. R. Levstein et al.,

(2014).

Phys. Rev. A 90, 042122 (2014).

10.

L. Pezzé, A. Smerzi, M. K. Oberthaler et al., Rev.

25.

M. Munowitz, A. Pines, and M. Mehring, J. Chem.

Mod. Phys. 90, 035005 (2018).

Phys. 86, 3172 (1987).

11.

J. Liu, H.-N. Xiong, F. Song, and X. Wang, Physica

26.

G. A. Alvarez, D. Suter, and R. Kaiser, Science 349,

A 410, 167 (2014).

846 (2015).

12.

A. Khitrin, Chem. Phys. Lett. 274, 217 (1997).

27.

K. X. Wei, C. Ramanathan, and P. Cappellaro, Phys.

13.

S. I. Doronin, E. B. Fel’dman, and I. D. Lazarev,

Rev. Lett. 120, 070501 (2018).

Phys. Rev. A 100, 022330 (2019).

28.

E. B. Fel’dman and M. G. Rudavets, ЖЭТФ 125,

14.

J. Baugh, A. Kleinhammes, D. Han, and Q. Wang,

233 (2004).

Science 294, 1505 (2001).

29.

E. B. Fel’dman and S. Lacelle, Chem. Phys. Lett.

15.

S. I. Doronin, A. V. Fedorova, E. B. Fel’dman, and

253, 27 (1996).

A. I. Zenchuk, J. Chem. Phys. 131, 104109 (2009).

30.

W. Zhang, P. Cappellaro, N. Antler et al., Phys. Rev.

16.

S. I. Doronin, E. B. Fel’dman, E. I. Kuznetsova et al.,

A 80, 052323 (2009).

Phys. Rev. B 76, 144405 (2007).

31.

D. Girolami and B. Yadin, Entropy 19, 124 (2017).

17.

M. Goldman, Spin Temperature and Nuclear Mag-

netic Resonance in Solids, Clarendon Press, London

32.

C. W. Helstrom, Quantum Detection and Estimation

(1970).

Theory, Acad. Press, New York (1976).

18.

C. P. Slichter and W. C. Holton, Phys. Rev. 122,

33.

L. Pezzé and A. Smerzi, Phys. Rev. Lett. 102, 100401

1701 (1961).

(2009).

19.

J. Jeener and P. Broekaert, Phys. Rev. 157, 232

(1967).

34.

P. Hyllus, W. Laskowski, R. Krischek et al., Phys.

Rev. A 85, 022321 (2012).

20.

S. I. Doronin, E. B. Fel’dman, E. I. Kuznetsova et al.,

Письма в ЖЭТФ 86, 26 (2007).

35.

G. Tóth, Phys. Rev. A 85, 022322 (2012).

839