ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 840-852

ПЕРЕНОРМИРУЕМАЯ B-L-МОДЕЛЬ МАСС И СМЕШИВАНИЙ

ЛЕПТОНОВ С ДИСКРЕТНОЙ D₅-СИММЕТРИЕЙ

В. В. Виен^*

Theoretical Particle Physics and Cosmology Research Group,

Advanced Institute of Materials Science, Ton Duc Thang University,

Ho Chi Minh City, Vietnam,

Faculty of Applied Sciences,

Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Vietnam

Поступила в редакцию 22 февраля 2020 г.,

после переработки 8 апреля 2020 г.

Принята к публикации 20 апреля 2020 г.

(Перевод с английского)

THE RENORMALIZABLE B-L-MODEL WITH D5 DISCRETE SYMMETRY

FOR LEPTON MASSES AND MIXINGS

V. V. Vien

Предложена перенормируемая B-L-стандартная модель (СМ), расширенная D5-симметрией, в рамках

которой с использованием подхода c качелью типа I в главном порядке получены массы нейтрино и

массы самых легких нейтрино для различных иерархий. Полученные физические параметры хорошо

согласуются с результатами по осцилляциям нейтрино, приведенными в работе [1]. Модель предсказы-

вает значения эффективной массы нейтрино 〈mee〉 = 3.731 · 10-3 эВ для нормальной иерархии (НИ) и

〈mee〉 = 4.848 · 10-2 эВ для обратной иерархии (ОИ), что хорошо согласуется с недавно полученными

экспериментальными результатами для ограничений безнейтринного двойного бета-распада.

DOI: 10.31857/S0044451020110085

Значения параметров осцилляций для уровня до-

стоверности 1σ, соответствующие данным, получен-

ным на детекторе атмосферных нейтрино Супер-Ка-

1. ВВЕДЕНИЕ

миоканде (wSK-atm), приведены в работе [1]:

(

)

Среди всевозможных расширений СМ, расши-

Δm²²¹ =

7.39+0.21-0.2

10-5 эВ²,

(

)

рение с дополнительной калибровочной U(1)_B-L-

Δm²³¹ =

2.525+0.033-0.031

10-3 эВ²,

симметрией [2-21] является одним из наиболее мно-

(

)

Δm²³² = -

2.512+0.034-0.031

10-3 эВ²,

гообещающих. В рамках этой модели при наруше-

нии калибровочной B-L-симметрии возникают мас-

sin² θ₁₂ = 0.310+0.013-0.012,

сы нового бозона Z^′ и трех правосторонних нейтри-

sin² θ₂₃ = 0.582+0.015-0.019(8),

(1)

но [7, 8]. Несмотря на то, что данная модель объяс-

sin² θ₁₃ = 0.02240+0.00065-0.00066, (НИ)

няет и другие явления, а именно, темную материю

sin² θ₁₃ = 0.02263+0.00065-0.00066, (ОИ)

[9-14], аномальный магнитный момент мюона [15],

инфляцию [16], происхождение лептонов [17,18], из-

δ(^◦) = 217+40-28 (НИ),

лучение гравитационных волн [19] и т. д., в ее рамках

δ(^◦) = 280+25-28 (ОИ).

невозможно получить матрицы смешивания лепто-

нов.

Для уровня достоверности 3σ значения элементов

матрицы смешивания лептонов изменяются в сле-

^* E-mail: vovanvien@tdtu.edu.vn

дующих диапазонах [1]:

840

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .



^U3σwSK-atm

₌

SU(2)_L × U(1)_B-L × D₅-симметрии²⁾, приведены в

⎛

⎞

табл. 1.

0.797 → 0.842

0.518 → 0.585

0.143 → 0.156

⎜

⎟

Для приведенных в табл. 1 значений, припи-

⎝0.235 → 0.484

0.458 → 0.671

0.647 → 0.781⎠.

сываемых лептонам и скалярным полям, с уче-

0.304 → 0.531

0.497 → 0.699

0.607 → 0.747

том тензорного произведения группы D₅, мож-

(2)

но получить массы заряженных лептонов, рас-

сматривая взаимодействие

ψ(1,α)Ll(1,α)R со скаляр-

Это мотивировало нас обратиться к дискретным

ными полями, где в рамках SU(3)_c × SU(2)_L ×

симметриям, поскольку они успешно описывают на-

× U(1)_Y × U(1)_B-L × D₅-симметрии

ψ1Ll1R пре-

блюдаемые массы лептонов и их смешивания (см.,

образуется как (1, 2, -1/2, 0, 1₁), а

ψ_alLlαR — как

например, работы [22-27]). D₅-симметрия [28] при-

(1, 2, -1/2, 0, 1₁ + 1₂ + 2₁). Таким образом, чтобы по-

влекает внимание исследователей, поскольку с ее

лучить диагональную массовую матрицу заряжен-

помощью можно эффективно описывать и предска-

ных лептонов, мы вводим один D₅-синглет 1₁ и один

зывать наблюдаемые массы лептонов и углы сме-

D₅-дублет 2₁, см. табл. 1. Аналогично, массовую

шивания [29, 30], однако в работе [29] обсуждалось

матрицу нейтрино можно получить, рассматривая

только нормальное упорядочение масс нейтрино, а

взаимодействие

ψ_iLν_jR (i, j = 1, 2, 3) со скалярными

в работе [30] было предложено расширение U(1)_X

полями. Для известных скалярных полей (H, ϕ) до-

(

)

СМ D₅-симметрией с неминимальным скалярным

ступными являются взаимодействия

ψ_αLν_αR

1₁

(

)

сектором, куда входят четыре D₅-дублета, и леп-

ψ_αLν_αR

ϕ, однако они порождают только четы-

2₁

тонным сектором с двумя D₅-синглетами. Поэтому

ре элемента (22), (33), (23), (32) дираковского массо-

было бы полезно предложить более простую D₅-

вого члена. Вообще говоря, нейтрино могут иметь

модель с несколькими хиггсовскими полями и хигг-

как дираковские, так и майорановские массовые

совским потенциалом. В настоящей работе для по-

члены, поэтому мы введем один новый D₅-дублет

лучения масс лептонов и их смешиваний мы пред-

2₂ с B - L = 0, один D₅-синглет 1₁ с B - L = 2 и

лагаем использовать расширение B-L-стандартной

один D₅-дублет 2₁ с B - L = 2, см. табл. 1, взаи-

модели D₅-симметрией с тремя D₅-дублетами и дву-

модействующие с

ψ1Lν_αR,

ψ_αLν1R, νc1Rν1R, ν^cαRν_αR,

мя D₅-синглетами.

которые определяют реальные массы нейтрино и их

Работа построена следующим образом. В разд. 2

смешивания.

представлена B-L-стандартная модель, расширен-

Поскольку в потенциале Хиггса имеется мно-

ная D₅-симметрией, и введены необходимые хигг-

го юкавских взаимодействий, можно выбрать под-

совские поля. Раздел 4 представляет собой Заклю-

ходящий потенциал Хиггса (см., например, рабо-

чение.

ты [31, 32]). В рамках D₅-симметрии для каждого

D₅-дублета Φ = ϕ/φ/η может реализоваться четыре

следующих варианта:

2. МОДЕЛЬ

(1) 〈Φ₁〉 = 〈Φ₂〉 = 0, D₅ нарушается до {единицы};

В предложенной модели калибровочная группа

(2) 〈Φ₁〉 = 〈Φ₂〉 = 0, D₅ нарушается до {единицы};

СМ дополнена калибровочной симметрией U(1)_B-L

и дискретной D₅-симметрией. Кроме предписаний

(3) 0 = 〈Φ₁〉 = 〈Φ₂〉, D₅ нарушается до {единицы};

СМ, в лептонном секторе дополнительно вводят-

ся три правосторонних нейтрино (ν_iR), четыре¹⁾

(4) 〈Φ₁〉 = 〈Φ₂〉 = 0, D₅ нарушается до Z₂, состо-

SU(2)_L-дублета (ϕ,φ) с B - L = 0, соответствен-

ящей из двух элементов {a, b}, где a соответ-

но, в

2₁- и

2₂-представлениях D₅-симметрии и

ствует2π5 -вращению, а b — отражению.

три SU(2)_L-синглета (χ, η) с B - L

= 2, соот-

ветственно, в

1₁- и

2₁-представлениях D₅-сим-

Каждый вариант дает различную структуру

метрии. Соответствующие значения, приписы-

для массовых матриц лептонов и нейтрино

ваемые лептонам и скалярным полям в рамках

(M_l; M_D, M_R). Более того, как показано в Прило-

жении B, в нашей модели в скалярном потенциале

¹⁾ ϕ и φ находятся, соответственно, в 2₁- и 2₂-представле-

ниях D₅-симметрии, так что каждый из них содержит два

²⁾ Величины, приписываемые в рамках SU(3)c×

SU(2)_L-дублета; η находится в 2₁-представлении D₅-симмет-

×U(1)_Y -симметрии, соответствуют величинам из рабо-

рии и содержит два SU(2)_L-синглета.

ты [30].

841

В. В. Виен

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Таблица 1. Значения, приписываемые лептонам и скалярным полям, в рамках SU(2)L ×U(1)B-L ×D5-симметрии,

α = 2,3

ψ1L

ψ_αL

l1R

l_αR

ν1R

ν_αR

SU(2)_L

U(1)_B-L

-1

D₅

1₁

2₂

1₁

2₂

1₁

2₁

2₂

1₁

2₁

⎛

⎞

⎛

⎞

имеется много свободных параметров, что позволя-

h₁v

ет делать произвольный выбор для вакуума, при

⎜

⎟

⎜

⎟

M_l =

⎝ 0

h₃v₁

h₂v

⎠≡

⎝ 0

a₁

⎠. (6)

этом удовлетворяя условию минимизации потен-

h₂v h₃v₂

b a₂

циала Хиггса. Таким образом, в настоящей работе

мы считаем, что для вакуумного среднего (VEV) в

Для простоты рассмотрим случай, когда параметры

секторе заряженных лептонов реализуется первый

a и b вещественные, а a1,2 — комплексные, т.е.

вариант, причем это можно получить с помощью

a1,2 = |a1,2|eiα1,2 .

SU(2)_L-дублета ϕ с вакуумными средними как в

(3). Далее, в нейтринном секторе мы выбираем три

Сначала определим эрмитову матрицу m_l:

первых варианта. Первый можно реализовать с

⎛

⎞

помощью ϕ, а второй и третий — соответственно с

a²

⎟

помощью SU(2)_L-дублета φ и SU(2)_L-синглета η с

m_l = M+lM_l =^⎝ 0

|a₁|² + b²

m₂₃

⎠,

(7)

вакуумными средними как в (3).

m∗23

|a₂|² + b²

Чтобы из условия минимизации потенциала по-

m₂₃ = b(a∗1 + a₂).

лучить искомое смешивание лептонов (см. Прило-

жение B), выберем вакуумные средние скалярных

Матрицу m_l можно диагонализовать с помощью

полей следующим образом:

матрицы U_lL,R, которая удовлетворяет соотноше-

нию

〈H〉 = (0 v)^T ,

〈ϕ〉 = (〈ϕ₁〉, 〈ϕ₂〉),

U+lLm_lU_lR = diag(m2e, m2μ, m2τ

〈ϕ_i〉 = (0 v_i)^T , i = 1, 2,

(3)

где

〈φ〉 = (〈φ₁〉, 〈φ₁〉),

〈φ₁〉 = (0 v_φ)^T ,

〈χ〉 = v_χ,

⎛

⎞

〈η〉 = (0, 〈η₂〉),

〈η₂〉 = v_η.

⎜

⎟

U_lL = U_lR =

⎝ 0

cosθ

sinθ.e^-iα

⎠,

(8)

- sinθ.e^iα

cosθ

3. МАССЫ И СМЕШИВАНИЯ ЛЕПТОНОВ

)

Взаимодействие Юкавы для заряженных лепто-

⁽m∗23

α=-

log

нов имеет вид³⁾

m₂₃

(

)

(9)

A + B - |a2|2 - b2 

(

)



θ = arctan

-L_l =h₁ψ1LHl1R + h2

ψ_αLH l_αR +



2₂

m^∗

(

)

+h₃

ψ_αLϕ l_αR + H.c.

(4)

2₂

m2e = a², m2μ,τ = B₁ ∓ B₂,

(10)

С помощью уравнения (3) можно переписать массо-

|a₁|² + |a₂|² + 2b²

вый член в лагранжиане для заряженных лептонов

B₁ =

в виде

√

(11)

B₂ =

(|a₁|² - |a₂|²)² + 4|m₂₃|².

-Lmassl = (l1L l2L l3L)M_l(l1R l2R l3R)^T + H.c.,

(5)

Используя уравнение (10) и экспериментальные зна-

где

чения масс заряженных лептонов из работы [33],

m_e = 0.51099 МэВ, m_μ = 105.65837 МэВ, m_τ

³⁾ Два взаимодействия

ψ1Lϕl_αR и

ψ_αLϕl1R запрещены

D₅-симметрией.

= 1776.86 МэВ, получаем

842

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .

a = 0.511 · 10⁶ эВ, B₁ = 1.584 · 10¹⁸ эВ²,

Эффективную массовую матрицу нейтрино можно

(12)

получить, используя подход с качелью типа I:

B₂ = 1.573 · 10¹⁸ эВ².

⎛

⎞

Лагранжиан Юкавы в нейтринном секторе имеет

a_ν b_ν c_ν

⎟

вид

M_eff = M^TDM-1RM_D =^⎝ b_ν d_ν h_ν

⎠,

(17)

c_ν h_ν g_ν

x₁

(

)

x₂

(

)

-L_ν =

ψ_αLναR1

H₊

ψ_αLν_αR

ϕ+

2₁

где

x₃

(

)

(

)

ψ1Lν_αR

^φ+x4

ψ_αLν1R

^φ+y1

νc1Rν1Rχ +

b2D(2b_R + c_R)

2₂

a_ν = -

y₂

y₃

(ν^cαRν_αR)₁

χ+

(ν^cαRν_αR)2 η + H.c.

(13)

b_Db_Rd_D - b_Dc_D(b_R + c_R)

b_ν =

b2R

Комбинируя уравнения (3) и (13), получаем лагран-

жиан с массами нейтрино:

b_Db_Rc_D - b_D(b_R + c_R)d_D

c_ν =

x₁v

x₂v^∗ϕ

(18)

-L^massν =

ψ2Lν3R+

ψ3Lν2R+

ψ2Lν2R +

a2D

b_R(c2D + d2D) - c_Dc_Rd_D

h_ν =

a_R

x₂v^∗ϕ

x₃v^∗φ

ψ3Lν3R +

ν1Lν2R +

ν1Lν3R +

c_D(2b_Rd_D - c_Dc_R)

d_ν =

a_R

x₄v^∗φ

y₁v_χ

ν2Lν1R -

ν3Lν1R +

νc1Rν1R +

d_D(2b_Rc_D - c_Rd_D)

g_ν =

y₂v_χ

y₃v_η

a_R

b²

(νc2Rν3R+νc3Rν2R)+

νc3Rν3R+H.c.

(14)

Массовая матрица M_eff из (17) имеет три собствен-

Массовая матрица дираковского нейтрино и массо-

ных значения:

вая матрица майорановского правостороннего ней-

m₁ = 0, m2,3 = A ∓ B,

(19)

трино имеют вид

⎛

⎞

где

a_D a_D

⎜

⎟

M_D =

⎝ b_D c_D d_D

⎠,

a2D

a_R

-b_D d_D c_D

(15)

⎛

⎞

c2Dc_R + b2D(2b_R + c_R) - 4b_Rc_Dd_D + c_Rd2D

a_R

2b²

⎜

⎟

M_R =

⎝ 0

b_R

⎠,

√

Γ/(2a_Rb2R), Γ = 4a4Db4R +

(20)

b_R c_R

[

+ 4a2Da_Rb2R

b2D(2b_R + c_R) - 2c_Dc_Rd_D +

где

]

+ a2R(b2D + c2D + d2D)×

+ 2b_R(c2D + d2D)

[

a_D = x₃v^∗φ, b_D = x₄v^∗φ, c_D = x₂v^∗ϕ,

b2D(2b_R + c_R)² - 8b_Rc_Dc_Rd_D +

]

d_D = x₁v, a_R = y₁v_χ, b_R = y₂v_χ,

(16)

+ (4b2R + c2R)(c2D + d2D)

c_R = y₃v_η.

Соответствующая матрица смешивания имеет вид

⎛

⎞

K₁

K₂

√

⎜

⎟

K² + 2

K²¹ + N

K²² + N²² + 1

⎜

⎟

⎜

N₁

N₂

⎟

R_ν =

⎜

−√

√

⎟,

(21)

⎜

⎟

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

⎜

⎟

⎝

⎠

√

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

843

В. В. Виен

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

где введены новые параметры K, K1,2 и N1,2 (явные

[33]. В случае нормальной иерархии (НИ) имеем

выражения для них приведены в Приложении A),

m₁ ≪ m₂ ∼ m₃, поэтому масса самого легкого ней-

которые удовлетворяют следующим соотношениям:

трино равна m₁ = 0, в то время как при обратной

иерархии (ОИ) m₃ ≪ m₁ ∼ m₂, поэтому масса само-

KK₁ - N₁ + 1 = 0, KK₂ - N₂ + 1 = 0,

(22)

го легкого нейтрино равна m₃ = 0. Массовая матри-

K₁K₂ + N₁N₂ + 1 = 0.

ца нейтрино M_eff в уравнении (17) диагонализуется:

Имеет ли спектр масс нейтрино нормальную

или обратную иерархию, зависит от знака Δm²

⎧

⎛

⎞

⎪

K₁

K₂

⎪

√

⎛

⎞

⎜

⎟

⎪

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

⎜

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

N₁

N₂

⎜

⎟

⎜

⎟

⎪

−√

√

⎪⎝ 0

m₂

⎠, Uν =

⎜

⎟

для НИ,

⎪

⎜

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

⎟

⎜

⎟

⎪

m₃

⎪

⎝

⎠

⎨

√

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

U^Tν M_effU_ν =

⎛

⎞

(23)

⎪

K₂

K₁

⎪

√

⎪⎛

⎞

⎜

⎟

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

⎪

⎜

⎟

m₃

⎪

⎜

⎟

N₂

N₁

⎪⎜

⎟

⎜

⎟

⎪⎝ 0

m₂

⎠, Uν =

⎜

√

-√

⎟

для ОИ,

⎪

⎜

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

⎝

⎠

⎩

√

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

где m2,3, K, K1,2 и N1,2 определяются равенствами (19), (20) и (A.1), соответственно.

Соответствующая матрица смешивания лептонов имеет вид

⎧

⎛

⎞

K₁

K₂

⎪

√

⎪

⎜

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

⎜

cosθ + sinθ.e^-iα

N₁ cosθ - sinθe^-iα

N₂ cosθ - sinθe^-iα

⎟

⎪

⎜

−

√

⎟

для НИ,

⎜

⎟

⎪

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

⎪

⎜

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

⎝ cosθ - sinθe^iα

cosθ + N₁ sinθe^iα

cosθ + N₂ sinθe^iα

⎠

⎨

√

K² + 2

K²¹ + N²¹ + 1

K²² + N²² + 1

U_lep = U^†LU_ν =

(24)

⎛

⎞

⎪

K₂

K₁

⎪

√

⎪

⎜

⎟

⎪

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

⎜

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

N₂ cosθ - sinθe^-iα

N₁ cosθ - sinθe^-iα

cosθ + sinθe^-iα

⎜

⎟

⎪

⎜

√

⎟

для ОИ.

⎪

⎜

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

⎟

⎪

⎜

⎟

⎪

⎠

⎪

⎝ cosθ + N₂ sinθe^iα

cosθ + N₁ sinθe^iα

cosθ - sinθe^iα

⎩

√

K²² + N²² + 1

K²¹ + N²¹ + 1

K² + 2

Инвариант Ярлскога J_CP определяется из (24) [34-36]:

⎧

(N₂ - N₁)K₁K₂ cos θ sin θ sin α

⎪

для НИ,

⎨

(K²¹ + N²¹ + 1)(K²² + N²² + 1)

J_CP = Im(U₂₃U∗13U₁₂U∗22) =

(25)

⎪(N1 + 1)KK1 cos θ sin θ sin α

⎩

для ОИ.

(K² + 2)(K²¹ + N²¹

+ 1)

3.1. Спектр для случая нормальной иерархии

В стандартной параметризации матрицы смешивания лептонов [37-40] инвариант Ярлскога имеет вид

J_CP = Im(U₂₃U∗13U₁₂U∗22) = s₁₃c²¹³s₁₂c₁₂s₂₃c₂₃ sinδ.

(26)

844

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .

Из (22) и (24) получаем



K²²



s²¹³ = |U₁₃|² =



,

K²² +N²² +1



U122



K²²(N₂ + 1)²



t²¹² =

(27)



,

U₁₁

^ (N₂ - 1)²(K²² + N²² + 1)



U232

N2

cos² θ + sin² θ + N₂ sin2θ cosα



t²²³ =



.

U₃₃

N22 sin2 θ + cos2 θ - N2 sin2θ cosα

Решая систему уравнений (27), получаем

√

2s₁₃

s²¹³ + t²¹²

2s₁₃

K₂ = -

√

N₂ = 1 -

(t₁₂ + s₁₃)

1-s²¹³

t₁₂ - s₁₃

(

)

(28)

(s²¹³ - t²¹²)(1 + t²

)sin2θ

α = -arcsec

sin² θ [(s₁₃ - t₁₂)²t²²³ - (s₁₃ + t₁₂)²] + cos² θ [(s₁₃ + t₁₂)²t²²³ - (s₁₃ - t₁₂)²]

Затем, комбинируя уравнения (22), (25), (26) и (28), получаем

t₁₂ sinθ cosθ sinα

sinδ =

(29)

s₁₂c₁₂s₂₃c₂₃(1 + t²¹²)

(s²¹³ + t²¹²)(1 - t²²³) - 2(1 - 2 sin² θ)(1 + t²²³)s₁₃t₁₂

cosα =

(30)

(t²¹² - s²¹³)(1 + t²²³) sin 2θ

В случае НИ для уровня 1σ имеем следующие значения параметров осцилляций (данные wSK-atm) [1]:

0.298 ≤ sin² θ₁₂ ≤ 0.322,

0.02174 ≤ sin² θ₁₃ ≤ 0.02305,

(31)

0.563 ≤ sin² θ₂₃ ≤ 0.597,

189^◦ ≤ δ ≤ 257^◦.

Используя оптимальные значения параметров θ₁₂ и θ₁₃ [1] (см. (31)), а именно, sin² θ₁₂ = s²¹² = 0.310,

sin² θ₁₃ = s²¹³ = 0.02240, получаем

U₁₁ = 0.8213, U₁₂ = -0.5505, U₁₃ = -0.1497,

а также

√

sinθ = -0.5

1.149+(1.701+1.835 · 10-16s²²³)s²²³-2s₂₃

β_N ,

(32)

β_N = 3.276 c²²³ cos² δ + (1.561 + 8.418 · 10-17)10-16s⁴²³.

(33)

На рис. 1 приведены зависимости sinθ, cosα от sinδ и s₂₃ при δ ∈ (189^◦, 257^◦) и sin² θ₂₃ ∈ (0.563, 0.597).

В случае оптимального значения параметра sin² θ₂₃ = 0.582 [1] другие элементы матрицы смешивания леп-

тонов U^Nij (i = 2, 3; j = 1, 2, 3), а именно, sinθ и cosα, зависят только от δ, что, соответственно, показано

на рис. 2 и 3 при δ ∈ (189^◦, 257^◦). При δ = 217^◦ [1] получаем sin θ = -0.436 (θ = 335.02^◦), sin α = -0.7754

(α = 309.2^◦), другие параметры модели приведены в табл. 2. Тогда матрица смешивания лептонов из урав-

нения (24) принимает вид

⎛

⎞

0.8213

-0.5505

-0.1497

⎟

U^N =^⎝ -0.2581 + 0.1321i -0.5761 + 0.1228i

0.703 + 0.2733i

⎠.

(34)

0.4732 - 0.1321i

0.5388 - 0.2443i

0.6152 + 0.1736i

845

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .

t₁₂ sinθ cosθ sinα

Она является унитарной, что не противоречит при-

sinδ = -

веденным в работе [1] ограничениям, которые на-

s₁₂c₁₂s₂₃c₂₃(1 + t²¹²)

кладываются на абсолютные значения элементов

(36)

t²²³ - 1

матрицы смешивания лептонов.

cosα =

(t²²³

+ 1)sin2θ

Далее, используя данные для случая НИ [1],

В случае ОИ для уровня 1σ имеем следующие значе-

Δm²²¹ = 7.37 · 10-5 эВ², Δm²³¹ = 2.525 · 10-3 эВ²,

ния параметров осцилляций (данные wSK-atm) [1]:

получаем

0.298 ≤ sin² θ₁₂ ≤ 0.322,

A = 2.942 · 10-2 эВ, B = 2.083 · 10-2 эВ,

0.02197 ≤ sin² θ₁₃ ≤ 0.02328,

(37)

а также явные значения для двух других масс нейт-

0.564 ≤ sin² θ₂₃ ≤ 0.597,

252^◦ ≤ δ ≤ 305^◦.

рино:

Используя оптимальные значения параметров θ₁₂ и

m₂ = 8.597 · 10-3 эВ, m₃ = 5.025 · 10-2 эВ.

θ₁₃ [1], а именно, s²¹² = 0.310, s²¹³ = 0.02263, полу-

чаем U₁₁ = 0.8212, U₁₂ = -0.5504, U₁₃ = -0.1504, а

3.2. Спектр для случая обратной иерархии

также

√

В случае обратной иерархии из соотношений

sinθ = 0.5

2(1 - cos δ sin 2θ₂₃).

(38)



U122

U232



На рис. 4 приведены зависимости sinθ и cosα от δ и

t²¹² =

s²¹³ = |U₁₃|², t²²³ =



^U₁₁

^U₃₃

sinθ₂₃ при δ ∈ (252^◦, 305^◦) и sin² θ₂₃ ∈ (0.564, 0.597).

В случае оптимального значения параметра

получаем решение

sin² θ₂₃ = 0.582 [1] другие элементы матрицы смеши-

√

2c₁₃

2s₁₃

вания лептонов U^Nij

(i = 2, 3; j = 1, 2, 3), а именно,

K₂ =

N₂ = 1 +

t₁₂ - s₁₃

sinθ и cosα, зависят только от δ, что показано на

(35)

⁽ (t²²³ + 1) sin 2θ⁾

рис. 5 и 6 при δ ∈ (252^◦, 305^◦). При δ = 280^◦ [1]

α = arcsec

получаем sin θ = 0.6437 (θ = 40.07◦), α = 1.404

t²²³

-1

(α = 80.42^◦), другие параметры модели приведены

Комбинируя соотношения (26), (22), (25) и (35), по-

в табл. 3. Тогда матрица смешивания лептонов в

лучаем

уравнении (24) принимает вид

⎛

⎞

0.8212

-0.5504

-0.1504

⎟

U^I =^⎝ 0.3362 + 0.1938i 0.3349 + 0.4104i

-0.6099 + 0.4437i

⎠.

(39)

0.2853 + 0.306i

0.5514 + 0.3352i

0.4601 - 0.4437i

Эта матрица является унитарной, что не противоре-

3.3. Эффективные массовые параметры

чит приведенным в работе [1] ограничениям.

нейтрино

Далее, используя данные для случая ОИ [1],

Эффективные массовые параметры нейтрино

имеют вид [41-45]

Δm²²¹ = 7.39 · 10-5 эВ², Δm²³² = -2.512 · 10-3 эВ²,



(

)1/2

∑



∑



〈m_ee〉 =



U2eim_i

 ,mβ =

|U_ei|² m²

(40)

получаем



i=1

где U_ei (i

= 1, 2, 3) — элементы ПМНС-матрицы

A = 4975 · 10-2 эВ, B = -3.714 · 10-4 эВ,

(матрицы Понтекорво - Маки - Накагавы - Сакаты)

смешивания лептонов, а m_i — массы трех легких

а также явные значения для двух других масс ней-

нейтрино. Используя параметры модели из разд. 3.1

трино:

и 3.2, получаем следующие значения эффективной

массы нейтрино 〈m_ee〉 и m_β для случаев нормальной

mI1 = 4.938 · 10-2 эВ, mI2 = 5.012 · 10-2 эВ.

и обратной иерархии:

847

В. В. Виен

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Таблица 2. Параметры модели при δ = 217^◦ для

• в DDE-модели с TTTEEE + BAO + PAN +

случая НИ

R16 + τ0p055 имеем

^∑mν < 0.247 эВ,

Параметры Полученные значения

• в NPDDE-модели с TTTEEE + BAO + PAN +

τ0p055 имеем

^∑mν < 0.101 эВ.

2.036

K₁

-1.468

Более того, значения эффективной массы нейтрино,

K₂

-0.1793

полученные в уравнении (41), как для нормальной,

N₁

-1.99

так и для обратной иерархии лежат ниже всех верх-

N₂

0.6349

них пределов соответствующих значений, получен-

ных в экпериментах по 0νββ-распаду:

Таблица 3. Параметры модели при δ = 280^◦ для

• KamLAND-Zen [47] имеем 〈m_ee〉 < 0.05÷0.16 эВ,

случая ОИ

• GERDA [48] имеем 〈m_ee〉 < 0.12 ÷ 0.26 эВ,

Параметры Полученные значения

0.2152

• MAJORANA [49] имеем 〈m_ee〉 < 0.24 ÷ 0.53 эВ,

K₁

-0.8513

• EXO [50-52] имеем 〈m_ee〉 < 0.17 ÷ 0.49 эВ,

K₂

2.689

N₁

0.8168

• CUORE [53] имеем 〈m_ee〉 < 0.11 ÷ 0.55 эВ.

N₂

1.579

Кроме того, полученные результаты очень хорошо

{

согласуются с возможными пределами (МэВ) зна-

3.731 · 10-3 эВ

для НИ,

чений эффективных масс нейтрино, которые могут

〈m_ee〉 =

(41)

4.848 · 10-2 эВ

для ОИ,

быть достигнуты в запланированных на будущее

экспериментах [54, 55].

{

8.886 · 10-3 эВ

для НИ,

m_β =

(42)

4.904 · 10-2 эВ

для ОИ.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тогда сумма масс трех активных нейтрино равна

Таким образом, в работе предложена перенор-

{

мируемая B-L-стандартная модель, расширенная

∑

5.885 · 10-2 эВ

для НИ,

D₅-симметрией, в которой иерархия масс нейтри-

(43)

9.950 · 10-2 эВ

для ОИ.

но и масса самого легкого нейтрино получены

в главном порядке с использованием подхода c

Этот результат хорошо согласуется с результата-

качелью типа I. Полученные физические пара-

ми для пределов значений сумм масс нейтрино,

метры хорошо согласуются с результатами для

полученными в различных космологических моде-

осцилляций нейтрино, приведенными в работе

лях [46]:

[1]. Модель предсказывает следующие значения

эффективных масс нейтрино: 〈m_ee〉 = 3.731 · 10-3 эВ

• в минимальной ΛCDM +

^∑m_ν-модели имеем

для нормальной иерархии и 〈m_ee〉 = 4.848 · 10-2 эВ

^∑mν < 0.152 эВ,

для обратной иерархии, что хорошо согласуется с

• в минимальной ΛCDM +

^∑m_ν-модели с уче-

недавно полученными экспериментальными резуль-

том данных высокого разрешения (high-l) име-

татами для ограничений безнейтринного двойного

ем

^∑mν < 0.118 эВ,

бета-распада.

• в DDE-модели с TT + BAO + PAN + τ0p055

Финансирование.

Работа

выполнена

имеем

^∑mν < 0.305 эВ,

при финансовой поддержке Vietnam National

• в DDE-модели с TT + BAO + PAN + τ0p055

Foundation for Science and Technology Development

∑

имеем

m_ν < 0.305 эВ,

(NAFOSTED), грант № 103.01-2017.341.

848

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .

Рис. 4. Зависимости sin θ и cos α от sin δ и sin² θ23 при δ ∈ (252^◦, 305^◦) и sin² θ23 ∈ (0.564, 0.597) для случая ОИ

5. ПРИЛОЖЕНИЕ B

Потенциал Хиггса

Перенормируемый инвариантный потенциал с

учетом всех симметрий SU(3)_C ⊗ SU(2)_L ⊗ U(1)_Y ⊗

⊗ U(1)_B-L ⊗ D₅ имеет вид⁴⁾

V_total = V (H)+V (ϕ)+V (φ)+V (χ)+V (η)+V (H, ϕ)+

+V (H,φ) +V (H,χ) +V (H,η) +V (ϕ,φ) +V (ϕ,χ)+

+ V (ϕ,η) + V (φ,χ) + V (φ,η) + V (χ,η), (B.1)

Рис. 5. Зависимости U^Iij (i = 2, 3; j = 1, 2, 3) от sin δ при

где

δ ∈ (252^◦,305^◦) для случая ОИ

V (H) = μ2H H^†H + λ^H (H^†H)²,

(B.2)

ПРИЛОЖЕНИЕ A

Явные выражения для K, K1,2, N1,2

1₁

V (ϕ) = μ2ϕϕ^†ϕ + λϕ1 (ϕ^†ϕ)₁

(ϕ^†ϕ)

c_D - d_D

K1,2

-α₁ ∓

+λ

(ϕ^†ϕ)₁

+ λϕ3(ϕ^†ϕ)₂

(ϕ^†ϕ)

2₂

(B.3)

√α₂ ,

b_D

2α₀

√

(A.1)

-α₃ ∓ (c_D - d_D)

N1,2 =

α₂ ,

V (φ) = μ2φφ^†φ + λφ1(φ^†φ)₁

(φ^†φ)

1₁

2α₀

где

+ λφ2(φ^†φ)₁

(φ^†φ)₁

+ λφ3(φ^†φ)₂

(φ^†φ)

(B.4)

{

α₀ = a2Db2R(c_D - d_D) + a_R

b2D [b_Rc_D -

V (χ) = V (H → χ), V (η) = V (ϕ → η), (B.5)

- (b_R + c_R)d_D] + (c_D - d_D) ×

[

]}

b_R(c2D + d2D) - c_Dc_Rd_D

[

Hϕ

V (H, ϕ) = λ

(H^†H)₁

(ϕ^†ϕ)

α₁ = 2a2Db2R + a_R

(b2D + c2D)(2b_R + c_R) -

1₁

]

-2c_Dc_Rd_D + (2b_R - c_R)d2D

+ λHϕ2(H^†ϕ)₂

(ϕ^†H)

2₁

(B.6)

[

(A.2)

α₂ = 4a4Db4R + 4a2Da_Rb2R

b2D(2b_R + cR) -

]

- 2c_Dc_Rd_D + 2b_R(c2D + d2D)

V (H, φ) = λHφ1(H^†H)₁

(φ^†φ)

[

+ a2R(b2D + c2D + d2D)

b2D(2b_R + c_R)² -

+ λHφ2(H^†φ)₂

(φ^†H)

(B.7)

]

- 8b_Rc_Dc_Rd_D+4b2R(c2D+d2D)+c2R(c2D+d2D)

[

]

⁴⁾ Здесь обозначено V (X

→ X₁, Y

→ Y₁, . . .)

≡

α₃ = a_Rc_R

b2D + (c_D - d_D)²

(c_D + d_D).

≡ V (X,Y,...)|{X=X1,Y=Y1,...}

849

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

В. В. Виен

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис. 6. Зависимости sin θ и cos α от sin δ при δ ∈ (252^◦, 305^◦) для случая ОИ

V (H, χ) = λHχ1(H^†H)₁

(χ^†χ)

1₁

v^∗ = v, v^∗φ = v_φ, v^∗χ = v_χ, v^∗η = v_η.

+ λHχ2(H^†χ)₁

(χ^†H)

1₁

(B.8)

Отсюда следует

V (H, η) = V (H, ϕ → η),

(B.9)

μ2H+(λHϕ1+λHϕ2)(v∗1v₂+v∗2v₁)+(λHχ1+λHχ2)v2χ

Hη

+ 2[(λ

+ λHη2)v2η + λ^Hv2 +

V (ϕ, φ) = λϕφ1(ϕ^†ϕ)₁

(φ^†φ)₁

+λϕφ2(ϕ^†ϕ)₁

(φ^†φ)

1₂

+ (λHφ1 + λHφ2)v2φ] = 0, (B.15)

+ λϕφ3(ϕ^†φ)₂

(φ^†ϕ)₂

+ λϕφ4(ϕ^†φ)₂

(φ^†ϕ)

2₂

(B.10)

μ2ϕv∗2 + 2λ

v∗1v₂v∗2 + 2λϕ2v∗2(v₁v∗2 - v∗1v₂)+

V (ϕ, χ) = λϕχ1(ϕ^†ϕ)₁

(χ^†χ)

1₁

+ 2λϕ1 v∗2(v₁v∗2 + v∗1v₂)+

+ λϕχ2(ϕ^†χ)₂

(χ^†ϕ)

2₁

(B.11)

+ [(λϕη3 + λϕη4 - λϕη5)v∗1 + (2λϕη1 + λϕη4 +

ϕη

+λ

+ λϕη6)v∗2]v2η+(λϕ1 +λϕ2)v∗2v2χ+(λHη1+λHη2)v∗2v2 +

V (ϕ, η) = λϕη1(ϕ^†ϕ)₁

(η^†η)

1₁

+ [λϕφ3v∗1 + (2λϕφ1 + λϕφ4)v∗2]v2φ = 0, (B.16)

+ λϕη2(ϕ^†ϕ)₁

(η^†η)₁

+ λϕη3(ϕ^†ϕ)₂

(η^†η)

2₂

+ λϕη4(ϕ^†η)₁

(η^†ϕ)₁

+ λϕη5(ϕ^†η)₁

(η^†ϕ)

1₂

μ2ϕv∗1 + 2λϕ3v₁v∗1v∗2 + 2λϕ2v∗1(v∗1v₂ - v₁v∗2)+

+ λϕη6(ϕ^†η)₂

(η^†ϕ)

2₂

(B.12)

+ 2λϕ1 v∗1(v∗1v₂ + v₁v∗2) + [(λϕη3 + λϕη4 - λϕη5)v∗2 +

ϕη

+ +(2λ

+ λϕη4 + λϕη5 + λϕη6)v∗1]v2η +

V (φ, χ) = λφχ1(φ^†φ)₁

(χ^†χ)

1₁

+ (λϕ1 + λϕ2 )v∗1v2χ + (λHη1 + λHη2)v∗1v² +

+ λφχ2(φ^†χ)₂

(χ^†φ)

2₂

(B.13)

+ [λϕφ3v∗2 + (2λϕφ1 + λϕφ4)v∗1]v2φ = 0, (B.17)

V (φ, η) = λφη1(φ^†φ)₁

(η^†η)

1₁

+ λφη2(φ^†φ)₁

(η^†η)₁

+ λφη3(φ^†η)₂

(η^†φ)

2₁

2[(λφχ1 + λφχ2)v2χ + (2λφη3 + λφη3 + λφη4)v2η +

(B.14)

+ λφη4(φ^†η)₂

(η^†φ)

2₂

+ (λHφ1 + λHφ2)v² + (4λφ1 + 2λφ3)v2φ] + 2μ2φ +

V (χ, η) = V (H → χ, ϕ → η).

+ (2λϕ1 + λϕ4)(v∗1v₂ + v∗2v₁) +

Из условия минимизации потенциала V_total следует,

+ λϕ3 (|v₁|² + |v₂|²) = 0, (B.18)

что скалярные поля H, ϕ, φ, χ и η с соответствующи-

ми вакуумными средними (уравнение (3)) являются

μ2χ + (λϕχ1 + λϕχ2)(v∗1v₂ + v∗2v₁)+

решениями. Чтобы это показать, в системе уравне-

ний минимизации положим

+ 2λ^χv2χ + 2(λχη1 + λχη2)v2η +

Hχ

+ (λ

+ λHχ2)v² + 2(λφχ1 + λφχ2)v2φ = 0, (B.19)

vφ1 = vφ2 = v_φ, vη1 = 0, vη1 = v_η

850

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Перенормируемая B-L-модель масс.. .

2μ2η + (λϕη3 + λϕη4 - λϕη5)|v₁|² + (2λϕη1 + λϕη4 +

11.

T. Basak and T. Mondal, Phys. Rev. D 89, 063527

(2014), arXiv:1308.0023 [hep-ph].

+λϕη5 +λϕη6)v∗1v2 +2[(λχη1 +λχη2)v2χ +2(2λη1 +λη3)v2η +

+ (λHη1 + λHη2)v² + (2λφη1 + λφη3 + λφη4)v2φ] +

12.

W. Rodejohann and C. E. Yaguna, JCAP 1512, 032

(2015), arXiv:1509.04036 [hep-ph].

+ (2λϕη1 + λϕη4 + λϕη5 + λϕη6)v∗2v₁ + (λϕη3 +

13.

J. Guo, Z. Kang, P. Ko, and Y. Orikasa, Phys. Rev.

+ λϕη4 - λϕη5)|v₂|² = 0. (B.20)

D 91, 115017 (2015), arXiv:1502.0050 [hep-ph].

Поскольку число уравнений в системе минимизации

14.

A. El-Zant, S. Khalil, and A. Sil, Phys. Rev. D 91,

потенциала Хиггса (B.15)-(B.20) меньше, чем число

035030 (2015), arXiv:1308.0836 [hep-ph].

параметров, данная система всегда имеет решение

(v, v₁, v₂, v_φ, v_χ, v_η), см. соотношения (3). Заметим,

15.

S. Khalil, J. Phys. G 35, 055001 (2008), arXiv:

что в соответствии с выбором, сделанным в (3), име-

hep-ph/0611205.

ется только одно решение, которое дает требуемый

16.

T. Higaki, R. Kitano, and R. Sato, J. High Energy

результат. Есть и другие решения, но они соответ-

Phys. 07, 044 (2014), arXiv:1405.001 3 [hep-ph].

ствуют другим физическим результатам. Например,

решение, для которого 〈η〉 = (〈η1〉, 〈η2〉) (а ваку-

17.

F. F. Deppisch, W. Liu, and M. Mitra, J. High Energy

умные средние для других скаляров определяются

Phys. 1808, 181 (2018), arXiv:1804.04075 [hep-ph].

соотношениями (3)) дает дополнительный вклад в

18.

P. S. B. Dev, R. N. Mohapatra, and Y. Zhang, J.

матричный элемент (22) матрицы M_R в (15), поэто-

High Energy Phys. 03, 122 (2018), arXiv:1711.07634

му модель содержит еще один параметр; решение,

[hep-ph].

для которого 〈η₁〉 = 〈η₂〉 = 0, дает аналитические

выражения для масс нейтрино более простого вида,

19.

T. Hasegawa, N. Okada, and O. Seto, Phys. Rev.

однако не описывает смешивания нейтрино, задава-

D 99, 095039 (2019), arXiv:1904.03020 [hep-ph].

емые уравнением (1), и т. д. Поэтому в настоящей

20.

M . Abbas and S. Khalil, J. High Energy Phys. 04,

работе мы выбрали решение уравнения (3).

056 (2008), arXiv:0707.0841 [hep-ph].

21.

S. Khalil and H. Okada, Phys. Rev. D 79, 083510

ЛИТЕРАТУРА

(2009), arXiv:0810.4573 [hep-ph].

1. I. Esteban et al., J. High Energy Phys. 01, 106 (2019),

22.

G. Altarelli and F. Feruglio, Rev. Mod. Phys. 82,

arXiv:1811.05487 [hep-ph].

2701 (2010), arXiv:1002.0211 [hep-ph].

2. R. N. Mohapatra and R. E. Marshak, Phys. Rev.

23.

S. F. King and C. Luhn, Rep. Prog. Phys. 76, 056201

Lett. 44, 1316 (1980).

(2013), arXiv:1301.1340 [hep-ph].

3. R. E. Marshak and R. N. Mohapatra, Phys. Lett.

24.

S. F. King, A. Merle, S. Morisi, Y. Shimizu, and

B 91, 222 (1980).

M. Tanimoto, New J. Phys. 16, 045018 (2014), arXiv:

1402.4271 [hep-ph].

4. C. Wetterich, Nucl. Phys. B 187, 343 (1981).

25.

S. T. Petcov, Eur. Phys. J. C 78, 709 (2018), arXiv:

5. A. Masiero, J. F. Nieves, and T. Yanagida, Phys.

1711.10806 [hep-ph].

Lett. B 116, 11 (1982).

26.

V. V. Vien and H. N. Long, J. Korean Phys. Soc. 66,

6. W. Buchmuller, C. Greub, and P. Minkowski, Phys.

1809 (2015), arXiv:1408.4333 [hep-ph].

Lett. B 267, 395 (1991).

7. S. Iso, N. Okada, and Y. Orikasa, Phys. Lett. B 676,

27.

V. V. Vien and H. N. Long, Adv. High Energy Phys.

81 (2009), arXiv:0902.4050 [hep-ph].

2014, 192536 (2014).

8. S. Iso, N. Okada, and Y. Orikasa, Phys. Rev. D 80,

28.

H. Ishimori et. al., Prog. Theor. Phys. Suppl. 183, 1

115007 (2009), arXiv:0909.0128 [hep-ph].

(2010), arXiv:1003.3552 [hep-th].

9. N. Sahu and U. A. Yajnik, Phys. Lett. B 635, 1116

29.

C. Hagedorn, M. Lindner, and F. Plentinger, Phys.

(2006), arXiv:hep-ph/0509285.

Rev. D 74, 025007 (2006), arXiv: hep-ph/0604265.

10. W. Emam and S. Khalil, Eur. Phys. J. C 55, 625

30.

V. V. Vien and N. V. Soi, Mod. Phys. Lett. A 35,

(2007), arXiv:0704.1395 [hep-ph].

2050003 (2020).

851

В. В. Виен

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

31.

V. V. Vien and H. N. Long, Int. J. Mod. Phys. A 28,

45.

J. D. Vergados, H. Ejiri, and F. Simkovic, Rep. Prog.

1350159 (2013), arXiv: 1312.5034 [hep-ph].

Phys. 75, 106301 (2012), arXiv:1205.0649 [hep-ph].

32.

P. V. Dong, H. N. Long, C. H. Nam, and V. V. Vien,

46.

S. Roy Choudhury and S. Choubey, JCAP 1809, 017

Phys. Rev. D 85, 053001 (2012), arXiv:1111.6360

(2018), arXiv:1806.10832 [astro-ph.CO].

[hep-ph].

47.

KamLAND-Zen Collaboration, Phys. Rev. Lett. 117,

33.

M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys.

082503 (2016), arXiv:1605.02889[hep-ph].

Rev. D 98, 030001 (2018) and (2019) update.

48.

M. Agostini et al. (GERDA Collaboration), Phys.

34.

C. Jarlskog, Phys. Rev. Lett. 55, 1039 (1985).

Rev. Lett. 120,

132503

(2018), arXiv:1803.11100

[nucl-ex].

35.

D.-D. Wu, Phys. Rev. D 33, 860 (1986).

49.

C. E. Aalseth et al. (Majorana Collaboration), Phys.

36.

O. W. Greenberg, Phys. Rev. D 32, 1841 (1985).

Rev. Lett. 120, 132502 (2018), arXiv: 1710.11608

[nucl-ex].

37.

B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 549 (1957).

50.

M. Auger et al. (EXO-200 Collaboration), JINST 7,

38.

B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34, 247 (1958).

P05010 (2012).

39.

Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor.

51.

J. B. Albert et al. (EXO-200 Collaboration), Nature

Phys. 28, 870 (1962).

510, 229 (2014).

40.

W. Rodejohann, Phys. Rev. D 69, 033005, (2004),

52.

J. B. Albert et al. (EXO-200 Collaboration), Phys.

arXiv:hep-ph/0309249.

Rev. Lett. 120, 072701 (2018), arXiv:1707.08707

41.

W. Rodejohann, Int. J. Mod. Phys. E 20, 1833

[hep-ex].

(2011), arXiv:1106.1334 [hep-ph].

53.

C. Alduino et al. (CUORE Collaboration), Phys. Rev.

42.

M. Mitra, G. Senjanovic, and F. Vissani, Nucl. Phys.

Lett. 120, 132501 (2018), arXiv:1710.07988 [nucl-ex].

B 856, 26 (2012), arXiv: 1108.0004 [hep-ph].

54.

Guo-yuan Huang, Werner Rodejohann, and Shun

43.

S. M. Bilenky and C. Giunti, Mod. Phys. Lett. A 27,

Zhou, Phys. Rev. D 101, 016003 (2020), arXiv:1910.

1230015 (2012), arXiv:1203.5250 [hep-ph].

08332 [hep-ph].

44.

W. Rodejohann, J. Phys. G 39,

124008

(2012),

55.

J. Penedo and S. Petcov, Phys. Lett. B 786, 410

arXiv:1206.2560 [hep-ph].

(2018), arXiv:1806.03203 [hep-ph].

852