ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 853-857

НОВЫЕ ВРЕМЕННЫЕ АСИМПТОТИКИ ВЕРОЯТНОСТИ

ВЫЖИВАНИЯ ПРИ ЗАХВАТЕ ЧАСТИЦ НА ЛОВУШКИ

В СРЕДАХ С АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИЕЙ

В. Е. Архинчеев^*

Laboratory of Applied Physics, Advanced Institute of Materials Science,

Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Faculty of Applied Sciences, Ton Duc Thang University

700000, Ho Chi Minh City, Vietnam

Поступила в редакцию 10 апреля 2020 г.,

после переработки 10 апреля 2020 г.

Принята к публикации 12 апреля 2020 г.

Исследована проблема захвата частиц, диффундирующих как обычным способом, так и аномальным

субдиффузионным способом, на поглощающие ловушки. Показано, что в такой задаче возникают два

характерных диффузионных времени, соответственно возникают три временных интервала. Установлены

новые временные — степенные и дробно-экспоненциальные асимптотики вероятности выживания частиц

на этих интервалах, которые обусловлены характером диффузии частиц в сильно анизотропных средах.

DOI: 10.31857/S0044451020110097

ших времен, t ≫ t_c, вероятность выживания частиц

определяется появлением редких флуктуационных

областей, свободных от ловушек:

1. ВВЕДЕНИЕ

(

√π(Dtc²)d/(d+2) )

Проблема диффузии частиц в средах с погло-

W (t, c) = W₀ exp

(2)

щающими ловушками изучалась во многих рабо-

тах [1-3]. Исходно она формулировалась для описа-

Необходимо подчеркнуть, что оба результата (1) и

ния переходных токов как задача Сontinuous Time

(2) относятся к случаю обычных случайных блуж-

Random Walk (CTRW) [4, 5], когда захват сводился

даний, при которых среднеквадратичное смещение

просто к временной задержке на ловушках. Для слу-

линейно по времени:

чая полностью поглощающих ловушек в приближе-

〈X²(t)〉 = 2Dt.

(3)

нии эффективной среды, когда предполагается рав-

номерное распределение поглощающих ловушек по

Однако в настоящее время известны много стохасти-

пространству при малых временах, было показано,

ческих процессов, носящих аномальный субдиффу-

что вероятность выживания частиц, диффундирую-

зионный характер, т. е. со степенной зависимостью

щих обычным образом, равна [3]

среднеквадратичного смещения от времени [6, 7]:

W (t, c) = W₀ exp(-Dtc²).

(1)

〈X²(t)〉 ∝ t2/dw .

(4)

Здесь d_w — критический индекс аномальной диф-

Здесь D — коэффициент диффузии, c — концентра-

фузии. Соответственно, возникает вопрос об изме-

ция ловушек в одномерном случае. Соответственно,

нении временных зависимостей (1) и (2) в случае

возникает характерное время диффузии на расстоя-

аномальных диффузионных процессов, который и

нии порядка среднего расстоянии между ловушка-

будет исследован в настоящей статье. В разд. 2 вве-

ми t_c = 1/Dc². Асимптотика малых времен соответ-

дено обобщенное диффузионное уравнение дробного

ствует t ≪ t_c. В другом предельном случае боль-

порядка. В разд. 3 исследована вероятность выжи-

^* E-mail: valeriy.arkhincheev@tdtu.edu.vn

вания частиц в средах с поглощающими ловушками

853

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

на малых временах. В разд. 4 исследованы асимпто-

ничными условиями, указанными в Приложении,

тики на промежуточных и больших временах, уста-

см. формулу (22). Будем искать решение в виде раз-

новлены новые временные зависимости. В разд. 5

ложения по собственным функциям и с использова-

обсуждены полученные результаты. В Приложении

нием полученного выше выражения (6):

изложено краткое введение в проблему захвата на

∫

(

)

ловушки.

∑

D₂τ²

G(t, k, 0) =

a_nφ_n

τ exp

-D₁k2nτ-

n=0

√

2. ФУНКЦИЯ ГРИНА УРАВНЕНИЯ

D³²

ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА,

√

∂τ.

(9)

ОПИСЫВАЮЩЕГО АНОМАЛЬНЫЕ

π D₁t³

СУБДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

Здесь собственные функции равны

Как известно, для описания аномальных субдиф-

sin(k_n(x_i))

фузионных процессов [7] предложен аппарат дроб-

φn =

(10)

k_nl_i

ного дифференцирования [8,9]. В частности, в моде-

ли гребешковой структуры [10] было выведено обоб-

где k_n = 2πn/l_i, l_i = |xi+1 - x_i| и a_n — коэффици-

щенное уравнение дробного порядка [11-13]:

енты разложения по собственным функциям. Соот-

)

ветственно, искомая функция вероятности W диф-

⁽∂1/2

∂²

+D_eff

g(t, x) = 0.

(5)

фундирующих частиц равна

∂t1/2

∂x²

∫

Здесь D_eff = D₁/2√D2 — эффективный коэффици-

∑

ент диффузии вдоль оси гребешковой структуры,

W (t) = W_i =

W (x, t) ∂x.

(11)

D₁ — коэффициент диффузии вдоль оси x в исход-

ной модели, D₂ — коэффициент диффузии вдоль

Рассмотрим приближение эффективной среды

оси y в модели (подробнее см. [11-13]). Функция

с равномерным распределением ловушек по про-

Грина этого уравнения в (k, t)-представлении име-

странству, т. е. в качестве функции распределения

ет вид функции Миттаг - Лефлера [8]:

возьмем распределение в виде

∫∞

(

)

D₂τ²

f = δ(l - c-1).

(12)

G(t, k, 0) = τ exp

-D₁k²τ -

√

Тогда выражение для вероятности выживания

D³²

частиц примет вид

√

∂τ.

(6)

π D₁t³

∫

(

)

Легко проверить, что среднеквадратичное смещение

∑

D₂τ²

G(t, k, 0) =

a_nφ_n

τ exp

-D₁k²τ-

вдоль оси гребешковой структуры зависит от време-

n=0

ни субдиффузионным способом:

√

∫

∞

(

)

D³²

D₁τ

D₂τ²

〈X²(t)〉 ∝ D1

(7)

×f(l-c-1)√

dτ =

τ exp

D₂

π D₁t³

c²

Выражение для среднеквадратичного смещения

√

D³²

необходимо нормировать, поскольку число частиц

√

dτ.

(13)

π D₁t³

на оси не сохраняется:

2D₂

После соответствующих вычислений получим [14]

G(t, k, 0) =

(8)

√πD₁t.

(

√

D₂

⁽t)).

G(t, k, 0) =

erf

(14)

√πD

t_c

3. ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫЖИВАНИЯ ЧАСТИЦ

В СРЕДАХ С ПОГЛОЩАЮЩИМИ

Здесь erf(x) — известная функция ошибок [15]. Со-

ЛОВУШКАМИ ПРИ АНОМАЛЬНЫХ

ответственно, на малых временах t ≪ t_c получим

СУБДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССАХ

степенное убывание:

В настоящем разделе построено решение для

2D₂

G(t, k, 0) =

√

(15)

уравнения дробного порядка с начальными и гра-

πD₁t

854

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Новые временные асимптотики вероятности выживания...

Таким образом, убывание частиц со временем соот-

ность выживания на промежуточных временах t_c <

ветствует выражению (8) и отражает несохранение

<t≪t1c:

числа частиц при аномальных блужданиях в модели

(

)

гребешковой структуры. Подчеркнем, что на малых

⁽t)1/6

W (t) =

√

exp

-C

(19)

временах захват на ловушки фактически не влияет

t_c

на временную асимптотику.

Здесь A — численный коэффициент, C = (2π²)1/3.

Характерный размер флуктуационной области при

4. ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫЖИВАНИЯ

обычной диффузии зависит от времени как l(t) =

ДИФФУНДИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ НА

= t1/(d+2), в случае аномальной диффузии он меня-

ПРОМЕЖУТОЧНЫХ И НА БОЛЬШИХ

ется со временем как l(t) = tdw/2(d+2), что соответ-

ВРЕМЕНАХ

ствует результату (19) (в показателе вместо 2 по-

Продолжим исследовать временную асимптоти-

является индекс аномальной диффузии). Наконец,

ку вероятности выживания частиц в средах с ано-

при больших значениях параметра получим асимп-

мальной диффузией. Отметим, что в этих задачах

тотическое выражение, описывающее поведение ве-

возникает два характерных времени: помимо диф-

роятности выживания диффундирующих частиц на

фузионного времени возникает еще одно время, свя-

больших временах t ≫ t_c:

занное с аномальной диффузией, t1c = D₂/D²¹c⁴ —

см. также формулу (7). Соответственно возникает

W (t) = B

⁽t)3/2.

(20)

интервал малых времен t ≪ t_c, изученный выше,

t_c

далее интервал промежуточных времен t_c ≪ t ≪ t1c

и, наконец, интервал асимптотически больших вре-

Здесь B — численный коэффициент.

мен t ≫ t1c.

В настоящем разделе мы исследуем асимптоти-

ку на временах вне пределов приближения эффек-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

тивной среды, т.е. на временах t ≫ t_c. Для пуас-

Как отмечалось выше, в задачах с аномальной

соновского распределения ловушек f(l) = exp(-cl)

диффузией возникают два диффузионных време-

получим

ни: первое из них обусловлено обычной диффузией

∫∞

(

)

на расстояние порядка между примесями, второе —

D₂τ²

W (t) =

τ exp

-D₁k²τ -

- cl

аномальной диффузией на это же расстояние. Впер-

вые установлен интервал промежуточных времен —

√

между этими временами. На малых временах изме-

D³²

√

dτ dl.

(16)

нение числа частиц обусловлено не захватом частиц

π D₁t³

на ловушки, а несохранением числа частиц на оси

гребешковой модели, т. е. уходом с оси. Этот эффект

Введем две безразмерные переменные: x²

описывается выражением (15). В интервале проме-

= D₂τ²/4t и y = cl. Следовательно, получим сле-

жуточных времен асимптотика вероятности выжи-

дующую формулу, описывающую временную зави-

вания частиц носит дробно-экспоненциальный ха-

симость вероятности выживания частиц:

рактер (19). Численный показатель выражения (19)

∫∞

(

)

обусловлен зависимостью среднеквадратичного сме-

αx

W (t) =

exp

- x² - y dxdy.

(17)

щения (7) в исследуемой модели. Наконец, на боль-

y²

ших временах долговременная асимптотика перехо-

дит в степенную — формула (20). Необходимо отме-

Здесь параметр α = 2π²c²

√D₁/√D₂. Выполнив ин-

тить, что все полученные временные зависимости,

тегрирование по переменной α, получим

описываемые формулами (15), (19) и (20) являются

∞

следствием субдиффузионного характера частиц в

∫

(

)

W (t, 0)

z²

средах с ловушками. Они представлены на рисунке

W (t) =

exp

-z1/3 -

z dz.

(18)

√D₂c2

α²

и, по-видимому, являются общими свойствами вре-

менных процессов в средах с ловушками.

При малых значениях параметра α методом пе-

Из-за медленного субдиффузионного смещения

ревала получим выражение, описывающее вероят-

диффундирующих частиц вероятность попадания

855

В. Е. Архинчеев

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Здесь L — длина одномерной цепочки, x_i, xi+1 — ко-

ординаты поглощающих ловушек вдоль одномерной

линии. Полученное решение имеет вид

(

∑

Dk2nt

⁾ sin(k_n(x-x_i))

W (x, t) =

exp

(23)

k_nl_i

n=0

Далее, полученное решение усредняется по слу-

чайному расположению поглощающих ловушек:

∫

∑

Временные асимптотики вероятности выживания W (t) на

W (t) = W_i =

W (x, t) ∂x.

(24)

малых, промежуточных и больших временах в логарифми-

ческом масштабе

Полученное таким образом соответствующее усред-

ненное решение и описывает вероятность выжива-

на ловушки уменьшается, поэтому должна быть бо-

ния частиц после захвата на поглощающие ловуш-

лее слабая функциональная зависимость вероятнос-

ки.

ти выживания от времени по сравнению с экспонен-

циальной зависимостью (1), как в случае обычной

диффузии. Такому поведению соответствует или

ЛИТЕРАТУРА

дробно-экспонециальная асимптотика, или степен-

ная асимптотика. Поэтому качественно можно ожи-

дать установленные выше временные зависимости.

A. A. Овчинников, А. А. Белый, Теор. эксп. химия

Однако заранее конкретный вид временной асимп-

2, 405 (1966).

тотики вероятности выживания предсказать невоз-

Г. В. Рязанов, ТМФ 10, 271 (1972).

можно.

Полученные результаты могут быть использо-

И. М. Лифшиц, УФН 83, 617 (1964).

ваны при описании диффузно-контролируемых ре-

E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math. Phys. 6,

акций [16-19]. В частности, медленное степенное

167 (1965).

убывание вероятности выживания частиц со вре-

менем приведет к более интенсивному взаимодей-

J. Klafter and I. M. Sokolov, First Steps in Random

ствию частиц и увеличению скорости течения ре-

Walks, Oxford Press Univ., Oxford (2011).

акции. Другая область применимости полученных

результатов связана с диффузией лекарств в биоло-

В. В. Учайкин, ЖЭТФ 124, 903 (2003).

гических системах замкнутого типа [20], переносом

R. Metzler and J. Klafter, Adv. Chem. Phys. 116,

энергии в полимерных системах [21].

223 (2001).

J. Klafter and R. Metzler, Phys. Rep. 339, 1 (2000).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Applications of Fractional Calculus in Physics, ed. by

Проблема захвата диффундирующих частиц

R. Hilfer, World Sci., Singapoure (2000).

в средах с ловушками

10.

G. Weiss and S. Havlin, Physica A 134, 810 (1986).

Напомним коротко известные результаты. Со-

гласно общему подходу [1-3] строится решение стан-

11.

В. Е. Архинчеев, Э. М. Баскин, ЖЭТФ 97, 810

(1991).

дартного уравнения диффузии

12.

V. E. Arkhincheev, Physica A 307, 131 (2002).

∂W(t)

∂²W(t)²

(21)

∂t

13.

V. E. Arkhincheev, Chaos 17, 043102 (2007).

со следующими начальными и граничными услови-

14.

В. Е. Архинчеев, ЖЭТФ 158, 309 (2020).

ями:

15.

Я. Б. Зельдович, A. Д. Мышкис, Элементы ма-

1-c

W (x, 0) =

W (x_i, t) = W (xi+1, t) = 0.

(22)

тематической физики, Наука, Москва (1973).

856