ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 962-967

РЕЛАКСАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ АНТИПРОТОНОВ

И ПОЗИТРОНОВ В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А. А. Бобров^*

Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 25 марта 2020 г.,

после переработки 9 июля 2020 г.

Принята к публикации 11 июля 2020 г.

Предложена физическая модель, позволяющая при заданных параметрах антипротон-позитронной плаз-

мы определять распределения по скоростям образующихся в результате трехчастичной рекомбинации

атомов антиводорода. Релаксация скоростей частиц учитывается в рамках подхода Дербенева и Скрин-

ского. Скорость рекомбинации калибруется по имеющимся результатам расчетов молекулярной дина-

мики. Получено хорошее согласие с экспериментальными результатами. Модель позволяет оценивать

эффективность захвата атомов в условиях экспериментов по получению антиводорода.

DOI: 10.31857/S0044451020110000

Дальнейшие исследования кинетики антипро-

тон-позитронной плазмы и сравнение с полученны-

ми экспериментальными результатами обсуждались

1. ВВЕДЕНИЕ

в ряде работ, см., например, [5, 6]. Особенностью

В экспериментах по получению антиводорода

этих работ является использование численных ме-

[1-3] антипротоны инжектируются в облако холод-

тодов моделирования, результаты которого трудно

ных позитронов с температурой ∼ 10 К и концен-

сопоставлять с экспериментом.

трацией ∼ 10⁸ см-3, удерживаемых в сильном маг-

В настоящей работе предложена аналитическая

нитном поле порядка 1-3 Тл. В образующейся за-

модель, позволяющая оценивать скоростные распре-

ряженной плазме (число позитронов на несколько

деления как антипротонов, так и атомов, а также

порядков превышает число антипротонов) в процес-

эффективность захвата атомов антиводорода в ло-

сах взаимодействия частиц происходит обмен энер-

вушку.

гиями между антипротонами и позитронами и ре-

Статья построена следующим образом. В разд. 2

комбинация с образованием атомов антиводорода.

с использованием подхода Дербенева и Скринско-

Образующиеся атомы захватываются в магнитные

го [7] и стохастических уравнений определена зави-

ловушки глубиной около 0.5 К.

симость от времени распределения антипротонов по

Начальные значения кинетической энергии ан-

скоростям. Показано, как, зная скорость рекомбина-

типротонов в этих экспериментах составляют от

ции, перейти к распределению атомов по скоростям.

40 К до ∼ 10 эВ, поэтому для увеличения доли

В разд. 3 найденные распределения сопоставлены с

захваченных атомов важно знать, как зависит ско-

экспериментальными результатами. И далее показа-

ростное распределение образующихся атомов от па-

но, как можно оценить эффективность захвата ато-

раметров эксперимента.

мов.

Экспериментам по получению антиводоро-

да предшествовали теоретические исследования

2. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

процессов релаксации и рекомбинации в антипро-

тон-позитронной плазме, в которых определялись

2.1. Скоростная релаксация

оптимальные экспериментальные условия (см.

обзор [4]).

Как уже отмечено выше, в рассматриваемых экс-

периментах число антипротонов много меньше чис-

^* E-mail: abobrov@inbox.ru

ла позитронов. В силу этого взаимодействием анти-

962

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Релаксация и рекомбинация антипротонов и позитронов. . .

протонов между собой можно пренебречь и задачу

где ω_p = (4πne²/m_e)1/2 — плазменная частота пози-

о релаксации скорости антипротонов можно свести

тронов.

к задаче об одиночном антипротоне.

Адиабатическая сила трения выводится в при-

Рассмотрим антипротон, появляющийся в на-

ближении бесконечного поля для случая, когда по-

чальный момент времени в бесконечной однородной

перечное к магнитному полю движение частиц фо-

плазме позитронов, находящейся в сильном одно-

на полностью заморожено. Влияние магнитного по-

родном постоянном магнитном поле. Будем искать

ля на движение тяжелой частицы не учитывается.

вероятность того, что антипротон будет иметь опре-

Сила выражается следующим образом:

деленную скорость через время t. Для этого сначала

2πe⁴n ∂

v2⊥

u2∥

нам необходимо знать диффузионные коэффициен-

F^A =

L^A + 2

(7)

m_e

∂v u3A

u³

ты для антипротона.

Диффузионные коэффициенты определим в

где усреднение проводится по одномерному распре-

рамках подхода Дербенева и Скринского [7]. Си-

делению позитронов.

ла и тензор диффузии импульса в этом подходе

При скорости антипротона, намного превышаю-

представляются в виде суммы вкладов быстрых

щей тепловой разброс скоростей позитронов v ≫

(незамагниченных) и адиабатических столкнове-

≫ Δ_e∥ = (T_e/m_e)1/2, где T_e — температура пози-

ний:

тронов, выражение (7) имеет следующий предел (в

компонентах поперек и вдоль магнитного поля):

F=F⁰+F^A, d_αβ =

〈Δp_αΔp_β 〉 = d0αβ + d^Aαβ . (1)

2πne

v2⊥ - 2v2∥ v_⊥

Для быстрых столкновений сила и тензор диффу-

F^A⊥ = -

L^A

(8)

m_e

v²

v³

зии записываются в обычном виде:

(

∫

2πne

v2⊥

⁾v_∥

4πne

F^A∥ = -

2L^A

(9)

F=-

L⁰(u)

f (v_e) d³v_e,

(2)

m_e

v²

v³

m_e

u³

В наиболее интересном случае Δ_e∥ ≫ v выражения

∫

u²δ_αβ - u_αu_β

для адиабатической силы трения и тензора диффу-

d0αβ = 4πne⁴ L⁰(u)

f (v_e)d³v_e,

(3)

u³

зии запишутся в виде

где n — концентрация позитронов, e — заряд элект-

√

ne⁴L^A

⁽Δ_e∥)

рона, u = v-v_e — относительная скорость антипро-

F^A⊥ = -2

2π

v_⊥ ln

(10)

тона и позитрона, f(v_e) — распределение Максвелла

m_eΔ3e∥

v_⊥

для позитронов.

√

ne⁴L^A

Кулоновский логарифм для быстрых столкнове-

F^A∥ = -2

2π

v_∥,

(11)

m_eΔ³

ний записывается в виде

e∥

√

u_A/Ω

2πne⁴

⁽Δ_e∥)

L⁰(u) = ln

(4)

〈(Δp_⊥)²〉 =

L^A,

(12)

e²/m_eu²

Δ_e∥

⊥

√

где u_A = v - v_e∥ — относительная скорость анти-

2πne⁴

〈(Δp_∥)²〉 =

L^A.

(13)

протона и ларморовского кружка, соответствующе-

Δ_e∥

го замагниченному позитрону, Ω — ларморовская

В кулоновском логарифме (6) при этом u и u_A следу-

частота для позитрона.

ет заменить на Δ_e∥. Ниже мы будем рассматривать

Тензор адиабатических столкновений определя-

выражения в пределе малых скоростей антипрото-

ется заменой u на u_A:

нов.

∫

u2Aδ_αβ - u_Aαu_Aβ

Выражения (10) и (12) содержат в себе логариф-

d^Aαβ = 4πne⁴ L^A

f_∥(v_e∥)dv_e∥,

(5)

u³

мическую расходимость при v_⊥ → 0, однако, как по-

казывают расчеты [8], v_⊥ в знаменателе под знаком

где f∥ — одномерная функция распределения по

логарифма можно заменить равновесной скоростью

компоненте скорости позитрона, параллельной на-

(2T_e/m_p)1/2, где m_p — масса протона.

правлению магнитного поля.

Направим одну из осей (z) вдоль магнитного по-

Кулоновский логарифм L^A выберем в виде

ля. В этом случае можно записать следующие сто-

√

(

)

хастические уравнения для скорости антипротона:

u_A/ω_p

L^A = ln

(6)

e²/m_eu2

dv_x = (-v_xβ_⊥ + v_yΩ_p) dt + σ_⊥δW1t,

(14)

963

13*

А. А. Бобров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

dv_y = (-v_yβ_⊥ - v_xΩ_p) dt + σ_⊥δW2t,

(15)

2.2. Рекомбинация

dv_z = -v_zβ_∥dt + σ_∥δW3t,

(16)

В этом разделе обсудим, как на основе получен-

ной в предыдущем разделе временной зависимости

где δW_it —винеровский шум, β_i и σ_i — коэффициен-

скоростного распределения антипротонов получить

ты сноса и диффузии, Ω_p — ларморовская частота

скоростное распределение для атомов антиводоро-

для антипротонов.

да. Для этого необходимо знать скорость рекомби-

В условиях рассматриваемых экспериментов по

нации ν_r.

антиводороду основной вклад в диффузию и тре-

Поскольку масса антипротона значительно пре-

ние вносят адиабатические столкновения в силу то-

вышает массу позитрона, после рекомбинации атом

го, что Δ_e∥/Ω ≪ e²/m_eu². Тогда коэффициенты в

начинает двигаться со скоростью, которую имел ан-

уравнениях (14)-(16) определяются только выраже-

типротон перед рекомбинацией. Тогда можно оце-

ниями (10)-(13) и записываются следующим обра-

нить плотности вероятностей для компонент скорос-

зом:

√

тей атомов через время T ≫ ν-1r после появления

2πne⁴L

√m_p

β_⊥ =

√

(17)

антипротонов, используя следующее выражение:

m_eΔ3e∥m_p

2m_e

√

∫

2πne⁴L

β_∥ =

(18)

P_AH(v_∥, v_⊥) = P_ap(v_∥, v_⊥, t)ν_r exp(-ν_rt)dt.

(24)

m_eΔ3e∥m_p

√

2πne⁴L

√m_p

σ2⊥ =

√

(19)

Следует отметить, что при T ≫ ν-1r правая часть в

m2pΔ_e∥

2m_e

формуле (24) не зависит от T.

√

2πne⁴L

В условиях рассматриваемых экспериментов

σ2∥ =

(20)

m2pΔ_e∥

доминирующим процессом рекомбинации является

трехчастичная рекомбинация. Несмотря на сильное

Система (14)-(16) является процессом Орнштей-

магнитное поле, работы [6,11] показывают, что ско-

на - Уленбека в магнитном поле. Этот процесс рас-

рость трехчастичной рекомбинации определяется

сматривался в работах [9,10], решение для продоль-

той же зависимостью, что и в обычной плазме без

ного направления можно записать в виде выраже-

магнитного поля:

ния для плотности условной вероятности продоль-

ной компоненты скорости антипротона:

n²e¹⁰

ν_r = C

(25)

(

)

√m_eT9/2 .

)²

1 (v∥ - v^∥v

P_∥(v_∥, t|v∥0) =

(21)

^√2πD_∥ exp

D_∥

При трехчастичной рекомбинации сначала обра-

зуются высоковозбужденные атомы с энергией свя-

где D_∥ = σ2∥/(2β_∥)(1 - e-2β∥t), v^av∥ = v∥0e-β∥t.

зи порядка T_e. Затем в результате неупругих соуда-

В поперечном к магнитному полю направлении

рений атома со свободными позитронами энергия

удобнее записать плотность вероятности для компо-

связи может увеличиваться и уменьшаться (атом

ненты скорости v_⊥ = (v2x + v2y)1/2, воспользовавшись

также может быть реионизован). Можно предпо-

χ-распределением:

ложить, что при этом диффузионном движении

связанного позитрона по оси энергии кинетическая

P_⊥(v_⊥, t|v⊥0) =

энергия атома не меняется.

(

)

v2⊥ + (v^av⊥)²

v_⊥

⁽v_⊥v^av⊥

В работе [11] рассматривался случай бесконеч-

= exp

I₀

(22)

2D_⊥

D_⊥

ного магнитного поля и было показано, что при

достижении определенного значения энергии свя-

где D_⊥ = σ2⊥/(2β_⊥)(1 - e-2β⊥t), v^av⊥ = v⊥0e-β⊥t, I₀—

зи (≈ 4T_e) атомы практически не могут быть ре-

модифицированная функция Бесселя первого рода.

ионизованы, скорость образования атомов с такой

Таким образом, если в начальный момент време-

энергией связи и определяла скорость рекомбина-

ни в позитронной плазме появились антипротоны со

ции. При этом было получено значение коэффици-

скоростями v₀ = (v2⊥0 + v2∥0)1/2, то в момент времени

ента C ≈ 0.1. Однако, так как нас интересует ки-

t их распределение по скоростям будет иметь вид

нетическая энергия атома, а при изменении энергии

кинетическая энергия атома не

связи от T_e до 4T_e

P_ap(v_∥, v_⊥, t) = P_∥(v_∥, t|v∥0)P_⊥(v_⊥, t|v⊥0).

(23)

меняется, то использование значения C ≈ 0.1 в (24)

964

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Релаксация и рекомбинация антипротонов и позитронов. . .

может привести к недооценке скорости рекомбина-

ции.

В работе [6] была определена скорость образова-

ния атомов с энергией связи T_e, результаты расчетов

хорошо аппроксимируются (25) при значении C = 3

(cм. табл. 2 в [6]). Поскольку атом с такой энергией

связи может быть реионизован и антипротон может

снова участвовать в обмене энергией с позитрона-

ми, использование значения C = 3 может привести

к переоценке скорости рекомбинации. Однако, как

показано в следующем разделе, использование зна-

чения C = 3 дает лучшее согласие при сравнении с

экспериментом.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Рис. 1. Распределение актов аннигиляции по оси z: точ-

3.1. Пространственное распределение актов

ки — эксперимент [1]; сплошная кривая — формула (26)

аннигиляции

для n = 1.7 · 10⁸ см-3 и C = 3; штрихпунктирная кри-

вая — формула (26) для n = 1.7 · 10⁸ см-3 и C = 0.1;

В работе [1] было исследовано распределение ак-

штриховая кривая — формула (26) для n = 5 · 10⁸ см-3 и

тов аннигиляции образующихся атомов антиводоро-

C =3

да по осевой координате. Установка представляла

собой цилиндрическую камеру. В центре установки

происходило смешивание антипротонов и позитро-

Кроме того, необходимо учесть, что облако пози-

нов, удерживаемых в поперечном направлении по-

тронов вытянуто вдоль оси установки и имеет раз-

лем 3 Тл, направленным вдоль оси установки. Дви-

мер порядка L = 3 см в продольном направлении

жение в продольном направлении ограничивалось

и 2 мм в поперечном (поперечным размером прене-

соответствующими градиентами потенциала, созда-

брежем).

ваемого цилиндрическими электродами, на поверх-

В итоге распределение по осевой координате (z)

ности которых и происходила аннигиляция.

найдем по следующей формуле:

В экспериментах [1] антипротоны инжектирова-

лись с энергией 15 эВ, их скорость при этом превы-

шала тепловую скорость позитронов, удерживаемых

∞

∫

v_⊥

при температуре 15 К и концентрации 1.7 · 10⁸ см-3.

P_z(z) =

P_⊥(v_⊥, t|v⊥0)

Из (8) и (9) видно, что при большой скорости ан-

0 -L/2 0

типротона поперечная компонента скорости стре-

(26)

× P^′∥((z + x)v_⊥/r, t)ν_r exp(-ν_rt)dt dxdv_⊥,

мится к значению v2⊥ = 2v2∥. Тогда для описания

этих экспериментов предположим, что процесс ре-

комбинации начинается, когда скорость антипрото-

где r — расстояние от оси до поверхности, на ко-

на снизится до тепловой скорости позитронов, при-

торой происходит аннигиляция атомов. Из [2] это

чем компоненты начальной скорости будут нахо-

расстояние можно оценить как r = 1.25 см.

диться в указанном соотношении, т.е. v2⊥0 = 2T_e/m_e,

На рис. 1 представлены распределения, получен-

v2∥0 = T_e/m_e.

ные по формуле (26) с разными значениями коэф-

Еще одной особенностью этого эксперимента яв-

фициента C. Для концентрации позитронов, соот-

ляется множественность проходов антипротонов че-

ветствующей экспериментальной, имеется хорошее

рез облако позитронов. Предполагая, что направле-

согласие с экспериментальным результатом при C =

ния входа, при которых скорость антипротона сни-

= 3. Для большей плотности распределение ушире-

жается до скорости позитронов, равновероятны, за-

но вследствие того, что характерное время рекомби-

меним распределение (21) на полусумму

нации становится сравнимо или меньше характерно-

(

)

го времени торможения антипротонов за счет столк-

P^′∥(v_∥, t) =

P_∥(v_∥, t|v∥0) + P_∥(v_∥, t| - v∥0)

новения с позитронами.

965

А. А. Бобров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис. 2. Доля атомов с энергией меньше 0.5 К в зависимос-

Рис. 3. То же, что на рис. 2, для n = 0.65 · 10⁸ см-3

ти от начальной энергии антипротона для концентрации

позитронов n = 1.3 · 10⁸ см-3 и разных температур пози-

тронов: квадраты — Te/kB = 7.5 K, кружки — Te/kB =

= 15 K, треугольники — Te/kB

= 30 K, звезды —

Te/kB = 50 K

3.2. Эффективность захвата атомов

В экспериментах [3] образующиеся атомы ан-

тиводорода накапливаются в магнитных ловушках

глубиной около 0.5 К. Полученные в настоящей ра-

боте скоростные распределения позволяют оценить

эффективность захвата атомов в зависимости от па-

раметров эксперимента. Долю атомов с энергией

ниже 0.5 К можно оценить, проинтегрировав (24)

(предполагая, что время эксперимента намного пре-

вышает характерное время рекомбинации):

∫∫

f_t =

P_AH(v_∥, v_⊥)dv_⊥ dv_∥.

(27)

Рис. 4. То же, что на рис. 2, для n = 2.6 · 10⁸ см-3

v²+v2⊥ <2kB ·0.5/mp

∥

На рис. 2 и 3 показаны зависимости f_t от на-

практически не меняется с изменением плотности,

чальной энергии антипротонов для значений кон-

а для T_e/k_B = 7.5 К эффективность захвата рез-

центраций позитронов, использованных в экспери-

ко уменьшается с ростом плотности. Это связано с

ментах (везде в ν_r подставлялось значение C = 3).

тем, что скорость рекомбинации растет и антипро-

тоны не успевают термализоваться в столкновениях

Энергия антипротонов задавалась так же, как и в

предыдущем разделе: v∥0 = (Ep0k_B/m_p)1/2 и v⊥0 =

с позитронами.

= (2Ep0k_B/m_p)1/2. Результаты качественно согласу-

Следует отметить, что на образование атомов

ются с ростом эффективности захвата в эксперимен-

могут влиять также факторы, не связанные с ан-

те при уменьшении температуры позитронов от 50 К

типротон-позитронной кинетикой, поэтому имеет

до 15 К.

смысл анализировать относительные изменения, а

На рис. 4 представлен график f_t для большей

не абсолютные значения f_t. Также отметим, что

плотности позитронов n = 2.6 · 10⁸ см-3. Из рисун-

оценка скорости рекомбинации в работе [6] была сде-

ков видно, что для T_e/k_B > 30 К эффективность

лана для T_e/k_B > 15 K. Точки для T_e/k_B = 7.5 К на

966

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Релаксация и рекомбинация антипротонов и позитронов. . .

рисунках были получены с использованием экстра-

ЛИТЕРАТУРА

поляции скорости рекомбинации (25) с C = 3. При

1. N. Madsen et al., Phys. Rev. Lett. 94, 033403 (2005).

низких температурах замагниченность позитронов

может оказывать существенное влияние на реком-

2. M. Amoretti et al., Nature (London) 419, 456 (2002).

бинацию и этот вопрос требует дополнительных ис-

3. M. Ahmadi et al., Nat. Commun. 8, 681 (2017).

следований (см. также [4]).

4. Л. И. Меньшиков, Р. Ландуа, УФН 173, 233 (2003).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

5. S. Jonsell et al., J. Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys.

42, 215002 (2009).

Предложенная модель кинетики замагниченной

плазмы позитронов и антипротонов хорошо согла-

6. S. Jonsell, M. Charlton, and D. P. van der Werf, J.

суется с результатами экспериментов по получению

Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys. 49, 134004 (2016).

антиводорода. С помощью модели проведен ана-

7. Я. С. Дербенев, А. Н. Скринский, Физика плазмы

лиз влияния кинетики антипротон-позитронных

4, 492 (1978).

столкновений на эффективность захвата атомов.

Показано, что эффективность можно увеличить,

8. A. A. Bobrov, S. Ya. Bronin, B. B. Zelener, and

уменьшая концентрацию и температуру пози-

B. V. Zelener, J. Phys. Conf. Ser. 946, 012129 (2018).

тронов. Увеличение концентрации позитронов,

9. D. S. Lemons and D. L. Kaufman, IEEE Trans.

напротив, снижает эффективность захвата. Адап-

Plasma Sci. 27, 1288 (1999).

тация модели может быть полезна в моделировании

кинетики эксперимента GBAR [12].

10. R. Czopnik and P. Garbaczewski, Phys. Rev. E 63,

021105 (2001).

Финансирование. Исследование выпол-

11. M. Glinsky and T. M. O’Neil, Phys. Fluids B 3, 1279

нено при финансовой поддержке Российского

(1991).

фонда фундаментальных исследований (грант

№18-32-00421).

12. B. Latacz, arXiv:1905.06404v1.

967