ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 978-1004

«ГЛОБАЛЬНЫЙ» И «ЛОКАЛЬНЫЙ» ПОДХОДЫ В ТЕОРИИ

ОТКРЫТЫХ КВАНТОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А. М. Башаров^*

Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

Московский физико-технический институт (технический университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 1 июня 2020 г.,

после переработки 15 июня 2020 г.

Принята к публикации 16 июня 2020 г.

Проанализировано использование «точного» исходного гамильтониана открытой оптической системы

и ее окружения и «приближенного» эффективного гамильтониана в выводе кинетического уравнения

открытой оптической системы в условиях применения марковского приближения и представления окру-

жения открытой системы — термостата — как дельта-коррелированного шума. Показано, что иерархия

характерных времен оптической системы естественным образом служит обоснованием необходимости

перехода от указанного «точного» гамильтониана к приближенному эффективному гамильтониану для

дальнейшего использования марковского приближения и модели дельта-коррелированного окружения

открытой системы в локальном подходе. Тогда уравнение Шредингера для волнового вектора откры-

той системы и окружения представляет собой квантовое стохастическое дифференциальное уравнение,

из которого просто и стандартно выводится кинетическое уравнение, содержащее/описывающее как из-

вестные результаты, так и новые.

DOI: 10.31857/S004445102011019X

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

978

3.1. Уравнение Ланжевена и характерные вре-

мена броуновского движения

987

2. Унитарная симметрия квантовой тео-

3.2. Уравнение для волнового вектора оптиче-

рии

981

ской системы и характерные времена

987

2.1. Уравнение для волнового вектора и кине-

4. Алгебраическая теория возмущений . .

989

тическое уравнение

981

4.1. Медленно- и быстроменяющиеся слагаемые

990

2.2. Уравнения движения для гамильтонианов

982

4.2. Эффективный гамильтониан

991

2.3. Теории возмущений на основе преобразова-

5. Квантовое стохастическое дифферен-

ния гамильтониана

984

циальное уравнение

995

6. Кинетическое уравнение для открытой

3. Требования к эффективному гамильто-

системы

999

ниану в локальном подходе, определяе-

7. Заключение

1000

мые характерными временами оптиче-

ских систем

986

Литература

1001

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время многие фундаментальные по-

^* E-mail: basharov@gmail.com

нятия квантовой и нелинейной оптики, такие как

978

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

ортогональным разложением единицы:

∑

|E_j 〉〈E_i| = 1, 〈E_i|E_j 〉 = δ_ij .

Гамильтониан изолированного покоящегося атома

представляется через проекторы в виде

∑

H_a =

E_j|E_j〉〈E_j|.

Во многих типичных задачах нелинейной и кван-

товой оптики, в которых возникает приближение

Рис. 1. Условное изображение спектра открытой системы

и ее окружения

атомного спектра двумя уровнями, алгебра проек-

ционных операторов сводится к алгебре углового

момента SU(2) [12, 13].

поляризация, когерентность, перепутывание, стали

Фотонная подсистема открытой системы обычно

универсальными и используются в разных областях,

характеризуется операторами рождения c^†c и уни-

причем не только физики. Отчасти это связано с

чтожения c_c фотонов микрорезонаторной (cavity)

тем, что традиционные задачи квантовой оптики —

моды, подчиняющимися алгебре Гейзенберга - Вей-

когерентные процессы, спонтанное излучение атома

ля:

[

]

или ансамбля атомов, динамика микрорезонаторов

c_c, c^†

= 1.

с потерями на зеркалах, электромагнитные взаимо-

действия квантовых частиц и шумовых полей — да-

Гамильтониан такой фотонной системы берется в

ют яркие примеры динамики открытых квантовых

виде H_C = ℏΩ_cc^†cc_c.

систем [1-11]. При этом большая часть основных по-

Атомная и фотонная подсистемы в некоторых за-

нятий и тонких нюансов теории открытых систем

дачах могут выступать как единый объект [14] —

исчерпывающе иллюстрируется примерами из опти-

атомно-фотонный кластер, описываемый полиноми-

ки.

альными алгебрами Карасева [15, 16] и т. д.

В качестве многомодового окружения открытых

Для открытых квантовых систем характерно,

квантовых оптических систем часто выступает ва-

что взаимодействие открытой системы с окружени-

куумное электромагнитное поле, определяемое опе-

ем является достаточно слабым, чтобы представле-

раторами рождения b†q,λ и уничтожения bq,λ фото-

ние об изолированной системе (в отсутствие взаимо-

нов с импульсом ℏq, поляризацией λ и энергией ℏω,

действия с окружением) было хорошим «нулевым»

законом дисперсии ωq,λ = qc (здесь c — скорость

приближением для открытой системы. Кроме того,

света) и коммутационными соотношениями Гейзен-

окружение представляется многомодовым (широко-

берга - Вейля

полосным) и в определенном смысле однородным,

[

]

так что влиянием открытой системы на состояния

bq,λ, b^†

= δq,q′ δ_λ,λ′ .

q′,λ^′

окружения можно пренебрегать.

Со спектральной точки зрения открытую кван-

Гамильтониан многомодового окружения пред-

товую систему удобно представлять как систему, со-

ставляется в виде

∑

стоящую, возможно, из нескольких подсистем, чис-

H_F = ℏωq,λb†q,λbq,λ.

ло степеней свободы которой мало, а спектр — дис-

q,λ

кретен. В то же время окружение открытой системы

представляется значительно большей системой или

При переходе от суммирования

∫

совокупностью систем (с большим, в пределе — бес-

∑

→ V (2π)-3

конечно большим, числом степеней свободы), спектр

которых непрерывен или квазинепрерывен (рис. 1).

Отличия в описании одной открытой квантовой си-

— объем квантования) к интегрированию по

стемы от другой кроются в алгебрах операторов,

непрерывному спектру следует иметь в виду, что та-

представляющих подсистемы открытой системы и

кая замена одновременно сопровождается заменами

ее окружения. Так, атомная подсистема представля-

bq,λ → b_λ(q) с коммутационным соотношением

ется проекционными операторами |E_j 〉〈E_i| для со-

[

]

стояния атома, характеризуемого энергиями E_j и

b_λ(q), b†λ′ (q^′)

= δ(q - q^′)δ_λ,λ′,

979

14*

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

так что операторы рождения b^†λ′ (q^′) и уничтожения

может выступать время корреляции окружающе-

b_λ(q) приобретают размерность, для устранения ко-

го оптическую систему дельта-коррелированного

торой необходим переход к уравнениям с безразмер-

термостата. Построение эффективной модели для

ными величинами. Часто на этом не делается ак-

квантовой теории неизбежно должно опираться на

цент, но учитывается в заключительных результа-

фундаментальное свойство квантовой теории — ее

тах.

унитарную симметрию.

В других примерах открытых квантовых систем

Эффективная квантовая модель характеризует-

в качестве многомодового окружения по отноше-

ся, прежде всего, своим эффективным гамильтони-

нию к данному атому могут рассматриваться дру-

аном. Известны разные способы построения эффек-

гие атомы того же или другого сорта. Также рас-

тивного гамильтониана из исходного, начиная с пер-

сматривается и фермионный термостат, см., напри-

вых работ по квантовой теории [26-49].

мер, [17-21]. В результате алгебра операторов, пред-

Следует отметить, что в указанных работах уни-

ставляющих многомодовое окружение, также может

тарное преобразование никак не обосновывало при-

быть весьма разнообразной.

ближение вращающейся волны, а зачастую приме-

Отметим важный аспект многомодовости и/или

нялось к задачам, в которых преобразовывался га-

широкополосности — при статистической независи-

мильтониан, уже взятый в приближении вращаю-

мости компонент или подсистем многомодового объ-

щейся волны.

екта, например, спектральных компонент электро-

Обоснование приближения вращающейся вол-

магнитного поля, и при определенной однородности

ны для взаимодействия классических полей с

спектральных компонент (постоянства спектраль-

квантовыми системами давалось в рамках метода

ной плотности в определенном спектральном диапа-

усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольс-

зоне — теорема Найквиста [22]) возникает представ-

кого

[50, 51]. Обстоятельно метод усреднения

ление о случайном дельта-коррелированном процес-

Крылова - Боголюбова - Митропольского приме-

се, моделирующем многомодовый объект [11, 22].

нительно к таким задачам нелинейной оптики

Динамика открытой квантовой оптической

изложен в монографии [52].

системы отличается соотношением характер-

Другой подход к эффективному гамильтониану

ных времен, наименьшее из которых величина

в случае воздействия на квантовую систему класси-

10-14-10-15 с, порядка обратной частоты оп-

ческих электромагнитных полей предложен в рабо-

тического квантового перехода |Ei〉

→ |E_j 〉. В

тах [53-56] на основе унитарного преобразования ис-

теориях открытых систем, в том числе и оптичес-

ходного гамильтониана. В отличие от работ [26-49]

ких, многомодовое окружение открытой системы

и многих других, предложенный способ опирался

моделируется белым (дельта-коррелированным)

на требование отсутствия быстро меняющихся во

шумом. В этой математической абстракции время

времени слагаемых, что, по сути, является алгеб-

корреляции считается равном нулю, но физически

раической формулировкой метода усреднения Кры-

эта величина для типичных открытых оптических

лова - Боголюбова - Митропольского. В работе [57]

систем обычно существенно превышает указанный

рассмотрен случай широкополосных квантованных

масштаб времени. Исследователи обнаружили, что

полей, и унитарное преобразование гамильтониана

корректное кинетическое уравнение для квантовой

легло в основу метода построения эффективного га-

открытой оптической системы получается при

мильтониана открытой оптической квантовой систе-

применении стандартных методов не к исходному

мы, адекватного упомянутой иерархии характерных

гамильтониану открытой системы и ее окруже-

времен открытой оптической системы. Результаты

ния, а к приближенному (см., например,

[23]).

[53, 54, 57] привели к формулировке теории откры-

Использованное приближение в оптике известно

тых квантовых систем, в которой понятие эффек-

как приближение вращающейся волны [13, 24, 25].

тивного гамильтониана играет ключевую роль в вы-

Между тем, отмеченное соотношение характерных

воде кинетического уравнения открытой оптической

времен оптической системы, вообще говоря, всегда

квантовой системы, обеспечивая дальнейшее кор-

обязывает применять методы вывода кинетическо-

ректное применение приближения белого шума для

го уравнения открытой системы не к исходному

описания окружения открытой системы. При этом

гамильтониану, а к эффективному, полученному в

не только обосновано приближение вращающейся

приближении, учитывающем отмеченную иерархию

волны в случае квантованных широкополосных по-

характерных времен. Тогда в качестве наимень-

лей и получены лэмбовские сдвиги квантовых уров-

шего характерного времени эффективной модели

ней, но и широкополосное поле представлено как со-

980

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

вокупность шумовых источников и учтены поправ-

ствующих интегралов Ито. Далее уравнение Шре-

ки более высокого порядка по константе взаимодей-

дингера переформулируется как квантовое стоха-

ствия, которые при выводе кинетического уравне-

стическое дифференциальное уравнение.

ния обычно опускались [58]. Указанные поправки,

В разд. 6 выводятся кинетические уравнения и

несмотря на свою малость, определяют многообра-

операторы Линдблада для открытых оптических

зие новых и совсем «не малых» эффектов. В случае

квантовых систем. Основной тезис — каждой от-

воздействия на квантовую систему классических и

крытой квантовой системе ставится в соответствие

квантованных полей различной природы рассматри-

свое кинетическое уравнение. Даже если одна опти-

ваемый способ построения эффективного гамильто-

ческая система является предельным случаем дру-

ниана [53, 54, 57] служит также самосогласованной

гой, например, в дисперсионном пределе больших

формулировкой алгебраической теории возмущений

отстроек от резонанса, кинетическое уравнение, по-

и дает единый подход к теории открытых оптичес-

лучаемое из эффективного гамильтониана, отлича-

ких квантовых систем.

ется от кинетического уравнения, являющегося ре-

До сих пор среди многих специалистов-матема-

зультатом предельного перехода из кинетического

тиков по квантовой теории открытых систем бытует

уравнения исходной модели. Обсуждаются основ-

мнение, что разработанные ими новые методы по-

ные физические эффекты, обусловленные участием

лучения кинетических уравнений открытой систе-

широкополосных полей.

мы в марковском приближении необходимо приме-

нять к исходным, как бы «точным», гамильтониа-

нам. Примером такого убеждения служат моногра-

2. УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ КВАНТОВОЙ

фии [59, 60].

ТЕОРИИ

Обзор основных различий разных построений

эффективного гамильтониана на основе унитарной

2.1. Уравнение для волнового вектора и

симметрии квантовой теории содержится в разд. 2.

кинетическое уравнение

Кроме того, обсуждается глобальный и локальный

подходы к открытым квантовым системам

Квантовая механика является символической

Необходимость перехода от «точного» исходно-

формой выражения закономерностей процесса

го гамильтониана к эффективному гамильтониану

микроскопического измерения [62, 63]. Расширен-

в локальном подходе к теории оптических откры-

ная алгебра измерений содержит инвариантные

тых систем рассмотрена в разд. 3. Возможной осно-

пространства, представимые комплексным гиль-

вой такого перехода служит алгебраическая теория

бертовым пространством и ему сопряженным.

возмущений, которую математики применительно

Элементы этих пространств принято называть

к системам классических уравнений с различными

векторами состояния |Ψ〉 и 〈Ψ|. Однако полное

масштабами изменения величин рассматривают как

описание системы дается матрицей плотности ρ, а

алгебраический вариант метода усреднения Крыло-

о состояниях, описываемых вектором |Ψ〉, говорят

ва - Боголюбова - Митропольского [61].

как о чистых состояниях. Тогда ρ = |Ψ〉〈Ψ|. Мат-

Раздел 4 посвящен формулировке алгебраичес-

рица плотности суть эрмитовый оператор ρ ≥ 0

кой теории возмущения для описания процессов

с единичным следом Trρ = 1, а чистое состояние

с участием широкополосных полей. В развивае-

характеризуется свойством ρ² = ρ.

мом подходе термостатные квантованные поля есте-

Физические характеристики системы даются ли-

ственно разбиваются на совокупность шумовых ис-

нейными самосопряженными операторами O = O^†,

точников, что показано на примере ансамбля атомов

которые, с одной стороны, являются элементами ал-

в микрорезонаторе с потерями на зеркалах.

гебры измерений, а с другой, — действуют в про-

В разд. 5 показано, что при применении марковс-

странствах с векторами |Ψ〉 и 〈Ψ|. Эти операторы

ких условий к эффективному гамильтониану и вол-

называются наблюдаемыми. Результаты действия

новому вектору уравнение Шредингера для опера-

оператора суть вектор O|Ψ〉 и сопряженный век-

тора эволюции открытой системы и ее окружения

тор 〈Ψ|O, а регистрируемые значения α наблюда-

оказывается математически неопределенным. Кор-

емой при идеальном селективном измерении дают-

ректный математический статус уравнение Шре-

ся собственными значениями α_i, O|α_j 〉 = αi|αj〉.

дингера получает при введении основных кванто-

Средняя величина наблюдаемой в чистом состоя-

вых случайных процессов — рождающего, уничто-

нии выражается билинейной комбинацией 〈Ψ|O|Ψ〉,

жающего и считывающего, и определении соответ-

а в общем случае — соотношением Tr(ρO). Величи-

981

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

на Tr(O|α_j 〉〈α_j |) задает распределение вероятностей

где L^S± — так называемые операторы Линдблада

на спектре оператора O.

LS+ = (L^S-)^†, а H^L-S — добавочное слагаемое к эф-

Саму наблюдаемую можно задать ее спектраль-

фективному гамильтониану системы, обусловленное

∑

ным разложением O

релаксационной динамикой. При этом слагаемые,

= j^αj^|αj^〉〈αj|,как,на-

пример, гамильтониан изолированной подсистемы.

содержащие операторы L^S±, описывают релаксаци-

Проекторы |α_j 〉〈α_j | дают ортогональное разложение

онные переходы и дефазировку в открытой кван-

∑

единицы 1 =_j |α_j 〉〈α_j |, 〈α_j |α_k〉 = δ_jk.

товой системе, а оператор H^L-S определяет сдви-

Полный набор одновременно возможных селек-

ги энергии уровней, обусловленные релаксационны-

тивных измерений представляется набором комму-

ми переходами. Иногда рассматриваются операторы

тирующих между собой наблюдаемых, собственные

Линдблада с другой нормировкой, например, L^′S- =

√

векторы которых образуют базисные векторы упо-

=L^S-

мянутого гильбертова пространства. При этом гово-

Естественной интерпретацией релаксационного

рят о представлении системы.

оператора

^Γρ в (2) является его представление, свя-

Различные представления обусловлены суще-

занное с постулатом фон Неймана:

ствованием взаимно дополнительных величин, ко-

(

)

∑

торые одновременно не могут иметь определенных

^Γρ^S

= λ_i ρ - U_iρU^†

λ_i > 0,

значений. При последовательном измерении таких

величин результат зависит от порядка измерений,

где U^†i = U-1i — унитарные операторы, возникаю-

что приводит к некоммутативной алгебре операто-

щие в случае усреднения по классическим пуассо-

ров.

новским процессам с интенсивностями λ_i, приводя-

Результат ρ_j изменения системы при ее измере-

щим к унитарным скачкам U_i вследствие унитар-

нии в произвольном состоянии ρ дается проекцион-

ной эволюции между, например, актами измерения

ным постулатом фон Неймана

[66-69], или актами столкновений.

|α_j 〉〈α_j |ρ|α_j 〉〈α_j |

Эволюция системы под действием релаксацион-

ρ→ρ_j =

Tr(ρ|α_j 〉〈α_j |)

ного оператора в случае квадратичных операторов

Взаимодействие с измерительным прибором дает

поддается общему исследованию [70].

пример необратимой динамики квантовой системы,

Важным подходом к необратимой динамике, ко-

превращая большую часть квантовых систем в от-

торый вполне естествен в квантовой оптике, явля-

крытые системы.

ется расширение открытой системы до более общей

Обратимая динамика квантовой системы опре-

системы, включающей открытую систему и ее окру-

деляется гамильтонианом и описывается уравнени-

жение, динамика которой уже рассматривается как

ем Шредингера для волнового вектора, или эквива-

обратимая, подчиняющаяся уравнению Шрединге-

лентным ему уравнением для матрицы плотности

ра. Поэтому общие рассуждения можно проводить в

[

]

терминах векторов состояний, обращаясь к матрице

iℏ

|Ψ〉 = H|Ψ〉,

ρ=

ρ, H .

(1)

плотности для пояснения таких понятий, как коге-

ℏ

рентность и населенность (недиагональные и диаго-

Необратимая динамика открытой системы опи-

нальные элементы матрицы плотности).

сывается уравнением для матрицы плотности от-

крытой системы ρ^S с некоторым эффективным га-

мильтонианом H^Eff-S и релаксационным операто-

2.2. Уравнения движения для

ром

Γ:

гамильтонианов

]

dρ^S

i^[

Свобода в физическом описании соответствует

ρ^S, H^Eff-S

- Γρ^S .

(2)

ℏ

произволу в выборе математического представле-

В работах [64,65] показано, что при весьма общих

ния — переход от одного представления к друго-

му осуществляется унитарным оператором

T^† =

предположениях релаксационный оператор

Γ имеет

форму, которую принято называть формой Линдб-

T-1. Если унитарно преобразовать состояния сис-

темы:

лада:

[

]

|^Ψ〉 =

T |Ψ〉,

(4)

^Γρ^S = -

ρ^S, HL-S +

LS+L^S-ρ^S +

ℏ

то физически наблюдаемые величины, характеризу-

ρ^SLS+L^S- - L^S-ρ^SLS+,

(3)

емые скалярными произведениями 〈Ψ|O|Ψ〉, не из-

982

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

менятся, если одновременно с векторами преобразо-

Совершив одно унитарное преобразование, мож-

вать и все операторы

но также совершить несколько однотипных унитар-

ных преобразований подряд:

Õ₌

T^†.

H(1) = T (H),

|Ψ(1)〉 =

T (1)|Ψ〉,

Поскольку динамика квантовой системы описыва-

d|Ψ(1)〉

ется уравнением Шредингера с гамильтонианом H

iℏ

= H(1)|Ψ(1)〉,

(представление Шредингера), переход от вектора

|Ψ〉 к новому вектору (4) сопровождается измене-

H(2) = T (H(1)),

|Ψ(2)〉 =

T (2)|Ψ(1)〉,

нием гамильтониана

d|Ψ(2)〉

iℏ

= H(2)|Ψ(2)〉,...

H₌ T (H) =

THT† - i

T^†,

(5)

В скобках отмечаем количество унитарных преоб-

так что эволюция нового состояния описывается

разований, приведших к данным преобразованным

уравнением того же вида, что и (1), но с преобра-

гамильтониану и волной функции. При этом

зованным гамильтонианом (5):

|Ψ(n + 1)〉 =

T (n + 1)|Ψ(n)〉 =

iℏ

|^Ψ〉 =

H|^Ψ〉.

(6)

T (n + 1

T (n)|Ψ(n - 1)〉 = . . . =

T (n + 1

T (n) . . .T (1)|Ψ〉.

Общие вопросы, связанные с унитарным преоб-

разованием (4)-(6), определяют представление эф-

Естествен вопрос, чем должны закончиться такие

фективного гамильтониана, глобальный и локаль-

унитарные преобразования? Один из вариантов от-

ный подходы к теории открытых квантовых систем.

вета на этот вопрос — считать, что применяемые

Унитарные преобразования волнового вектора

преобразования зависят от непрерывного парамет-

(4) и гамильтониана (5) лежат в основе таких фун-

ра ℓ:

даментальных понятий квантовой теории, как пре-

T (ℓ) =

T (n + 1

T (n) . . .T (1),

образование или представление Гейзенберга, кото-

T^†(ℓ

T (ℓ) = 1 =

T (ℓ

T^†(ℓ),

T (0) = 1,

рое следует из (5) и (6) при

)

|Ψ(0)〉 = |Ψ〉, H(0) = H,

⁽iHt

T = exp

H= 0,

|^Ψ〉 = |Ψ₀〉,

ℏ

|Ψ(ℓ)〉 =

T (ℓ)|Ψ〉, iℏ

|Ψ(ℓ)〉 = H(ℓ)|Ψ(ℓ)〉,

(7)

и преобразование или представление Дирака (пред-

ставление взаимодействия) с операторами

∂

)

H(ℓ) =

T (ℓ)HT†(ℓ) - i

T (ℓ)

T^†(ℓ).

(8)

⁽iH₀t

∂t

T = exp

ℏ

Если продифференцировать уравнения (7) и (8)

(

)

(

)

iH₀t

по параметру ℓ, то нетрудно получить «уравнения

H= exp

V exp

≡ V (t),

движения» для гамильтонианов и преобразованных

ℏ

волновых функций:

|^Ψ〉 =

T |Ψ₀〉 ≡ |Ψ(t)〉,

∂H(ℓ)

∂A(ℓ)

= A(ℓ)H(ℓ) - H(ℓ)A(ℓ) + iℏ

(9)

∂t

iℏ

|Ψ(t)〉 = V (t)|Ψ(t)〉,

|Ψ(0)〉 = |Ψ₀〉.

∂|Ψ(ℓ)〉

Гамильтониан системы H = H₀ + V выражен через

= A(ℓ)|Ψ(ℓ)〉,

∂ℓ

(10)

гамильтониан H₀ «изолированных» подсистем (при-

∂

меры H_A, H_C , H_F , их суммы) и оператор их взаимо-

iℏ

|Ψ(ℓ)〉 = H(ℓ)|Ψ(ℓ)〉,

∂t

действия V , а |Ψ₀〉 — начальный вектор состояния

T^†(ℓ)

T (ℓ)

системы. В принципе, это не удивительно, посколь-

A(ℓ) =

T (ℓ)

T^†(ℓ).

ку гамильтониан является генератором унитарного

∂ℓ

преобразования сдвига во времени, а в отсутствие

Подчеркнем, что на генератор A(ℓ) уравнения дви-

измерений время считаем однородным.

жения для гамильтонианов (10), вообще говоря, нет

983

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

никаких ограничений, за исключением требования

Через O_km обозначены матричные элементы

его антиэрмитовости

некоторого оператора O в базисе, в котором H_D(ℓ)

является диагональным оператором. Видно, что при

A(ℓ) = -A^†(ℓ).

ℓ → ∞ недиагональные матричные элементы пре-

образованного гамильтониана стремятся к нулю,

Уравнение движения для гамильтонианов (9) яв-

так что H(ℓ) → H_D(ℓ), и в конечном итоге пре-

ляется условием согласованности двух линейных

образованный гамильтониан становится диагональ-

уравнений (8) — чтобы решения уравнений системы

ным. Такое представление назовем диагональным

(8) была совместны, необходимо равенство смешан-

представлением исходного гамильтониана. Оно есте-

ных производных:

ственно для эрмитовых операторов и впервые такой

∂²|Ψ(ℓ)〉

подход продемонстрирован в работах [71-73]. Ли-

∂ℓ∂t

∂t∂ℓ

нейное уравнение движения для гамильтонианов ис-

следовано в монографии [32], где также продемон-

откуда также следует (9).

стрированы его применения.

Если в качестве оператора A(ℓ) взять оператор,

Таким образом, одним из ответов на вопрос,

не зависящий ни от гамильтониана H(ℓ), ни от па-

чем должны закончиться унитарные преобразова-

раметра ℓ, ни от времени t, и выразить его через

ния, для преобразований (9), (12) очевиден — полу-

эрмитовый оператор G = G^†,

чение диагонального гамильтониана. Дальнейший

A(ℓ) = iG,

учет этого факта — диагонализации исходного пол-

ного гамильтониана — является содержанием гло-

то уравнение движения для гамильтонианов линей-

бального подхода к теории открытых квантовых си-

но и имеет простой вид:

стем. Заметим, что диагонализацию гамильтониана

∂H(ℓ)

можно также проводить на основе преобразования

= iGH(ℓ) - iH(ℓ)G.

Боголюбова [74,75] и иных подходов. В работе [76]

∂t

преобразования Боголюбова проделаны совместно с

Его решение можно получить как по теории возму-

унитарным преобразованием, а в [77] обсуждается

щений, так и непосредственным интегрированием:

смысл преобразования Боголюбова в контексте уни-

[

]

тарных преобразований.

H (ℓ) = e^iGℓH(0)e^-iGℓ = H(0) + i G, H(0) ℓ +

[

]]

(i)

G, G, H(0) ℓ² +

2.3. Теории возмущений на основе

преобразования гамильтониана

[

]]]

(i)

G, G, G, H(0) ℓ³ + . . . ,

Открытая система с исходным гамильтонианом

H = H₀+V изначально определяется малостью опе-

откуда при ℓ = 1 следует формула Кемпбелла - Бей-

ратора взаимодействия V . Это позволяет построить

кера - Хаусдорфа для произвольного оператора O и

теорию возмущений по константе взаимодействия

эрмитового оператора G:

на основе унитарного преобразования:

[

]

[

]]

(i)² [

e^iGOe^-iG = O + i G, O +

G, G, O

T =e^-iS, S =S^†,

(13)

[

]]]

(i)

H₌ e^-iSHe^iS - iℏe^-iS d

e^iS.

G, G, G, O

+...

(11)

Представим преобразованный гамильтониан в

Если считать оператор A(ℓ) зависящим от га-

виде ряда по взаимодействию, используя формулу

мильтониана H(ℓ) и взять его в виде

Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа:

[

]

A(ℓ) = H_D(ℓ), H(ℓ) ,

(12)

[

]

[

]]

1^[

H₌ H₀ - i S, H0 -

S, S, H₀

-...

где H_D(ℓ) — диагональная часть гамильтониана

(14)

H (ℓ), то в стационарном случае не зависящего от

[

]

[

]]

1^[

+V -i S, V -

S, S, V

-...-iℏe^-iS

e^iS.

времени гамильтониана H

∂^∑

∑

Часто требуется, чтобы эффективный гамильто-

|H_kn(ℓ)|² = -

H2kk(ℓ) = -2

|A_km(ℓ)|².

∂ℓ

ниан был диагональным и в первом порядке по вза-

k=n

984

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

T (t) = e-iS(t), S(t) = S^†(t),

]

-i S, H₀

+ V = 0. Тогда

(20)

V (t) = e-iS(t)V (t)eiS(t) - iℏe-iS(t)

eiS(t),

(

)[

]

H₌ H₀ - i

S, V

iℏ

|^Ψ〉 =

V (t),

|Ψ(0)〉 = |Ψ₀〉,

(21)

(

)[

[

]]

S, S, V

где указанием на временной аргумент подчеркнута

связь такой теории возмущений с исходным пред-

(

)[

[

]]]

ставлением взаимодействия.

S, S, S, V

-...

(15)

Разложение S(t) и

V (t) в ряды по константе взаи-

модействия,

В случае оптических систем такая процедура, на-

пример, при однофотонном резонансе классического

S(t) = S⁽¹⁾(t) + S⁽²⁾(t) + . . . ,

(22)

поля с состояниями непрерывного спектра, приво-

V (t) =

V (1)(t) +

V (2)(t) + . . . ,

дит к неэрмитовому гамильтониану [78-81], что сей-

час активно изучается [82,83]. Само преобразование

и их подстановка в формулу

перестает быть унитарным.

[

]

[

]]

1^[

Обычная теория возмущений в случае оптиче-

V (t) = V (t)- i S(t), V (t) -

S(t), S(t), V (t)

ских систем при выполнении условий резонанса при-

водит к расходящимся рядам [25, 52, 54, 84]. Аль-

− iℏe-iS(t)

eiS(t)

(23)

тернативные подходы, известные в квантовой тео-

рии [85], состоят в разложении преобразованного га-

приводят к соотношениям

мильтониана и генератора преобразования в ряды.

Разложим S и

H в ряды по константе взаимо-

V (1)(t) = ℏ

S⁽¹⁾(t) + V (t),

(24)

действия:

S =S⁽¹⁾ +S⁽²⁾ +...,

]

i^[

(16)

V (2)(t) = ℏ

S⁽²⁾(t) -

S⁽¹⁾(t), V (t) -

H= H(0)+ H(1)+ H(2)₊ . . .

]

i^[

−

S⁽¹⁾(t),V (1)(t) , . . .

(25)

Здесь S(n) и

H (n)— слагаемые, имеющие n-й поря-

док по константе взаимодействия. Если предполо-

Здесь также S(n)(t) и

V (n)(t) — слагаемые, имеющие

жить, что оператор взаимодействия имеет первый

n-й порядок по константе взаимодействия.

порядок по константе взаимодействия, то подстав-

Формула Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа ис-

ляя (16) в разложение (14) и приравнивая выраже-

пользуется не только для формулировки того или

ния одного порядка, можно получить

иного приближения. Например, если вычислять опе-

H (0)=H0,

(17)

раторы открытой системы в представлении взаи-

[

]

модействия, то для операторов уничтожения име-

H (1)=-i S⁽¹⁾

,H₀

+ iℏ

S⁽¹⁾ + V,

(18)

]

[

]

[

]

i^[

= Ω_cc^†ct, O = c, S, O

= Ω_ct c^†c, c = -Ωctc имеем

H (2)=-i S⁽²⁾

,H₀

+ iℏ

S⁽²⁾ -

S⁽¹⁾, V

[

]

[

]

[

]]

S⁽¹⁾,

H (1)

(19)

(i)² [

e^iSce^-iS = O + i S, O +

S, S, O

[

]

i^[

[

]]]

H (3)=-i S⁽³⁾

,H₀

+ iℏ

S⁽³⁾ -

S⁽²⁾, V

(i)³ [

S, S, S, O

+ ... = ce-iΩct.

[

]

[

]]

1 [

H (2)

S⁽¹⁾,

S⁽¹, S⁽¹⁾, V

Аналогично нетрудно получить

[

]]

H (1)

−-

S⁽¹, S⁽¹⁾,

,...

e^iS|E_j〉〈E_k|e^-iS = |E_j〉〈E_k|e-iΩjkt,

Аналогичную теорию возмущений можно по-

Ω_jk = (E_j - E_k)/ℏ,

строить, исходя из представления взаимодействия

∑

если S =_j E_j tℏ-1|E_j 〉〈E_j |.

985

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Применения формулы (11) настолько обширны,

пользуется в самых разнообразных вопросах. Ярким

что упоминание этой формулы часто затушевыва-

примером является преобразование Фолди - Вайт-

ет разницу в используемых математических аппа-

хаузена, устанавливающее связь между уравнени-

ратах. Между тем, дальнейшие предположения по-

ем Дирака и уравнением Шредингера [29]. Приве-

сле применения (11) различны и приводят к разным

дем также примеры из теории ядра [30, 31], фи-

результатам. Однако при построении теории возму-

зики твердого тела [32, 33]. Многие из них мож-

щений, которые могут быть также разными, первые

но рассматривать как решения линейного уравне-

порядки зачастую получаются весьма схожими в си-

ния для гамильтонианов [32]. В остальном, мы здесь

лу самой структуры формулы (11) — ничего иного в

отметили лишь те работы, которые так или ина-

слагаемых первого порядка получить нельзя, кроме

че связаны с динамикой открытых оптических сис-

как

тем с точки зрения получения кинетического урав-

[

]

нения для описания квантовых переходов и излу-

V (t) = V (t) - i S(t), V (t) - iℏe-iS(t)

eiS(t)

чательных эффектов, таких как спонтанное излу-

чение и сверхизлучение. Учет различных условий

(если применять, например, (22)).

резонанса наиболее полно и эффективно отражает-

Разложения, сходные с (22)-(22), неоднократно

ся в концепции эффективного гамильтониана. Сами

использовались разными авторами. При этом были

резонансные эффекты рассмотрены в монографиях

использованы разнообразные принципы отбора сла-

[1-11, 13, 25, 52, 84, 87-89].

гаемых. Наиболее часто авторы руководствовались

Перечисленные работы, за исключением работ

идей простого отбрасывания слагаемых первого по-

[52-57], не ставили целью последовательное исклю-

рядка, например, при рассмотрении двухфотонного

чение быстро меняющихся во времени слагаемых в

и многофотонных резонансов [37, 46-48]. Тогда по-

представлении взаимодействия. Именно соблюдение

лучаются выражения, аналогичные (15), но далее

данного требования отвечает, как показано в следу-

все равно приходится прибегать к методу усредне-

ющем разделе, локальному подходу теории откры-

ния [52] полученных уравнений для матрицы плот-

тых квантовых систем, поскольку обеспечивает по-

ности.

строение модели с эффективным гамильтонианом, в

Ввиду расходимости обычной теории возмуще-

которой будет физически оправдано введение мар-

ний применительно к задачам резонансной оптики

ковского приближения и использование приближе-

подходы [34-37, 46-49, 53-57] попутно решали и эту

ния белого шума для моделирования окружающих

проблему.

открытую систему полей. При этом эффективный

В теории возмущений в квантовой механике [85]

гамильтониан, вообще говоря, не является диаго-

унитарное преобразование использовалось для ис-

нальным.

ключения слагаемых первого порядка по взаимодей-

ствию и для получения диагонального гамильтони-

3. ТРЕБОВАНИЯ К ЭФФЕКТИВНОМУ

ана аналогично (15).

ГАМИЛЬТОНИАНУ В ЛОКАЛЬНОМ

То же имеет место и при переходе к неэрмитовым

ПОДХОДЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ

гамильтонианам [81, 86]. Иногда в качестве лидиру-

ХАРАКТЕРНЫМИ ВРЕМЕНАМИ

ющего принципа берется правило, что определяю-

ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

щие эффективный гамильтониан слагаемые долж-

ны коммутировать с невозмущенным гамильтониа-

Оптические системы отличаются принадлежно-

ном H₀ [43]. В работах [34-37] при применении уни-

стью характерных частот диапазону 10¹³-10¹⁵ Гц.

тарного преобразования просто оставлялись слага-

Этот диапазон обязан лишь процессам внутри эле-

емые, согласующиеся с полученными [52] методом

ментов оптической системы, таких как атомы, мо-

усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольско-

лекулы, квантовые точки, микрорезонаторы, и не

го.

связан непосредственно с процессами в окружении

Часто в теориях диагонализация гамильтониана

квантовой системы. Между тем, чтобы моделиро-

при помощи унитарного преобразования проводится

вать окружение квантовой системы белым шумом,

не для исходного гамильтониана, а для гамильтони-

окружение должно находиться в равновесном состо-

ана, уже написанного в приближении вращающейся

янии. Ввиду относительной малости открытой си-

волны, см., например, [3,39-42].

стемы время корреляции такого термостата опреде-

Унитарное преобразование гамильтониана как

ляется физическими процессами в окружении. Ес-

неотъемлемое свойство всей квантовой теории ис-

ли взять размер области окружения порядка ℓ =

986

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

= 1 см, то минимальное время корреляции в окру-

Процедура усреднения позволяет говорить о кор-

жении можно грубо оценить как (ℓ/c), т. е. как вре-

реляционной функции шума и времени корреляции

мя порядка 10-10-10-11 с. Таким образом, в оп-

τ_av как характерном масштабе изменения случайной

тических квантовых системах существуют харак-

величины X(t). Если

терные времена, которые ничтожно малы (поряд-

τ_corr ≪ τ_av ≪ τ_d,

(27)

ка 10-13-10-15 с) и никак не могут рассматриваться

как превышающие время корреляции белого шума.

то

Поэтому непосредственный переход к формулиров-

ке марковского приближения и использованию бе-

∫t

лого шума, равнозначный равенству нулю времени

〈x(t)X(t)〉 = -m-1Γ-1 e-Γt〈X(t^′)X(t)〉eΓt′ dt^′ +

корреляции окружения оптической системы, проти-

воречит физике оптической системы. При этом, при

∫

оценке времени корреляции в запасе есть еще, как

+m-1Γ-1

〈X(t^′)X(t)〉 dt^′.

(28)

минимум, два порядка.

Чтобы понять, какая иерархия времен необхо-

дима для введения приближения белого шума в

Тогда можно дополнительно потребовать выпол-

физической системе, рассмотрим самую простую

нение свойства дельта-коррелированности величи-

систему

— броуновскую частицу. Воспользуемся

ны X(t),

представлениями из классической работы Ланжеве-

〈X(t^′)X(t)〉 = X²⁰δ(t - t^′),

на [90].

и получить, что 〈x(t)X(t)〉 = 0. Этот результат был

важен для анализа Ланжевена при введении им слу-

3.1. Уравнение Ланжевена и характерные

чайной величины X(t) — он отвечал естественным

времена броуновского движения

представлениям о роли шумового слагаемого. Это

и потребовал Ланжевен при добавлении слагаемо-

Для описания воздействия шума на броуновскую

го X(t), и именно это требование наряду с услови-

частицу в уравнение Ньютона для координаты x(t)

ем (27) привело его к результатам, согласованным с

броуновской частицы массы m добавим шумовое

другими исследованиями.

слагаемое X(t), которое затем и будем аппроксими-

Уравнения (26) и (28) наглядно показывают

ровать белым шумом:

необходимость условия (27) для наложения на ве-

d²x

личину требования дельта-коррелированности и по-

= F_fr + X(t), F_fr = -6πηa

dt²

лучения равенства 〈x(t)X(t)〉 = 0.

Из решения уравнения Ньютона нетрудно получить

3.2. Уравнение для волнового вектора

〈x(t)X(t)〉 = x(0)Γ-1〈X(t)〉- x(0)Γ-1〈e-ΓtX(t)〉 -

оптической системы и характерные времена

∫t

Аналогичный анализ можно провести и для

-m-1Γ-1

〈e-ΓtX(t^′)X(t)eΓt′ 〉 dt^′ +

уравнения (21), точнее, для интегрального уравне-

ния

∫

∫t

|Ψ(t)〉 = -

dt^′

V (t^′)|Ψ(t^′)〉,

+m-1Γ-1

〈X(t^′)X(t)〉 dt^′.

(26)

ℏ

(29)

|˜(0)〉 = |Ψ(0)〉

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по

или уравнения для оператора эволюции U(t)

времени, например,

∫t

∫

U (t) = -

dt^′

V (t^′)U(t^′),

〈x(t)X(t)〉 =

x(t^′)X(t^′) dt^′,

ℏ

(30)

τ_av

|˜(t)〉 = U(t)|Ψ(0)〉, U(0) = 1,

τ_av — масштаб времени усреднения. Параметр Γ =

= 6πηam-1 (η — коэффициент вязкости, a — размер

или его формального решения.

броуновской частицы) определяет масштаб времени

В отличие от уравнения Ланжевена шумовое сла-

динамики броуновских частиц τ_d ≈ Γ-1.

гаемое в (29) присутствует в операторе

V_jm(t^′) и

987

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

поэтому с учетом искомых величин шум является

в одной из классических монографий по теории от-

мультипликативным, в то время как у Ланжевена —

крытых квантовых систем [11,58-60]. Отметим так-

аддитивным. В шумовом слагаемом

V_jm(t^′) присут-

же, что применение методов усреднения Крылова -

ствует быстро меняющийся множитель exp(iΩ_jmt),

Боголюбова - Митропольского в задачах теории от-

в котором масштаб величины Ω_jm как раз в оптиче-

крытых квантовых оптических систем, см., напри-

ском диапазоне составляет 10¹³-10¹⁵ Гц. Множитель

мер, [52], осуществлялось в уже феноменологически

exp(iΩ_jmt) связан с особенностью оптической систе-

написанных кинетических уравнениях, что в прин-

мы в представлении взаимодействия. Сам оператор

ципе не отвечает представленной программе.

может иметь свои временные и так же быстро меня-

В уравнениях (29), (30) значится преобразован-

ющиеся множители, однако в силу эрмитовости ука-

ный оператор взаимодействия

V (t), но такая запись

занные множители не смогут полностью скомпенси-

охватывает и исходный оператор взаимодействия,

ровать друг друга и быстрое изменение во време-

если оператор унитарного преобразования тожде-

ни матричного элемента

Vjm(t^′) останется. При этом

ствен единичному оператору. С другой стороны,

характерное время изменения вектора состояния по-

требование отсутствия быстро меняющихся во вре-

рядка τ_d и может быть достаточно велико, посколь-

мени слагаемых в преобразованном операторе взаи-

ку определяется малой интенсивностью взаимодей-

модействия

V (t) может быть использовано для опре-

ствия, коль скоро речь идет об открытой системе.

деления такого оператора преобразования

T (t), ко-

В результате, основное отличие оптической систе-

торый обеспечит построение эффективного гамиль-

мы состоит в утверждении, что минимальное харак-

тониана, состоящего только из медленно меняющих-

терное время изменения в системе, точнее, измене-

ся во времени слагаемых в операторе эффективного

ние оператора взаимодействия

V_jm(t^′), будет опре-

взаимодействия по сравнению с быстро меняющи-

деляться обратной частотой Ω-1jm.

мися во времени слагаемыми, содержащими экспо-

В случае открытой оптической системы при при-

ненциальный множитель exp(±iΩ_jmt). Такая про-

менении приближения белого шума к описанию вза-

грамма использования унитарного преобразования

имодействия должно выполняться условие τ_corr ≪

для построения эффективного гамильтониана нача-

≪ Ω-1jm, с учетом других характерных времен

ла реализовываться в работах [53-57, 89].

Существование слагаемых, медленно меняющих-

τ_corr ≪ τ_av ≪ Ω-1jm, τ_d.

ся во времени в представлении взаимодействия, мо-

Но в реальной физической ситуации открытой

жет иметь место уже в исходном гамильтониане,

квантовой оптической системы это условие эквива-

например, в случае электродипольного взаимодей-

лентно выполнению, очевидно, невозможного нера-

ствия двухуровневой квантовой системы с широко-

венства 10-10-10-11 ≪ 10-13-10-15. Таким образом,

полосным электромагнитным окружением. Исход-

выполнить соотношение типа (27), чтобы быстроме-

ный оператор взаимодействия можно записать в ви-

няющиеся множители вынести из знака усреднения

де

и говорить о корреляционной функции характери-

V (t) = V ^RW (t) + V ^a-RW (t),

стик окружения, невозможно. В результате не кор-

где

ректно применять марковское приближение и при-

∫

ближение белого шума (или им эквивалентные [54])

V^RW (t) = dωg(ω)exp[i(ω - Ω₂₁)t]|E₁〉〈E₂| +

к исходным и как бы точным гамильтонианам от-

∫

крытой системы и ее окружения. Необходимо сна-

+ dωg^∗(ω) exp[-i(ω - Ω₂₁)t]|E₂〉〈E₁|,

(31)

чала как-то избавиться от быстроменяющихся пере-

менных — множителей exp(±iΩ_jmt). И лишь потом

вводить марковское приближение и представление

здесь V^a-RW (t) — это слагаемые, содержащие экс-

окружения белым шумом. Избавление от быстроме-

поненты exp[±i(ω + Ω₂₁)t], параметр g(ω) определя-

няющихся множителей exp(±iΩ_jmt) состоит в по-

ется плотностью состояний электромагнитного по-

строении такой модели открытой квантовой систе-

ля и матричными элементами оператора дипольного

мы и ее окружения, гамильтониан которой в пред-

момента двухуровневой частиц. Предположено, что

ставлении взаимодействия не содержит ни одного

квантовые состояния двухуровневой частицы имеют

быстро меняющегося во времени слагаемого. Тогда

противоположную четность.

будет возможно выполнение требования (27). Та-

Обычно оператор V^RW (t) называется операто-

кая программа для получения кинетического урав-

ром взаимодействия в приближении вращающейся

нения открытой квантовой системы не ставилась ни

волны, а оператор V^a-RW (t) или его составляющие

988

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

называются антивращающими. Подход к теории от-

тарном преобразовании. При переходе к представ-

крытых квантовых систем, в котором вместо ис-

лению эффективного гамильтониана из представле-

ходного оператора взаимодействия берется оператор

ния Шредингера недиагональные матричные эле-

V^RW (t), называют локальным подходом. Однако с

менты

H (n) будут содержать быстро меняющиеся

точки зрения быстро и медленноменяющихся сла-

во времени множители, типа exp[i(ω - Ω₂₁)t], ис-

гаемых [52-57, 89], оператор V^RW (t) будет состоять

ключающиеся при переходе к представлению вза-

из медленноменяющихся слагаемых, только если до-

имодействия. Поэтому их условно называют «пра-

полнительно предполагать спектральную область,

вильно меняющимися во времени». Указанные пред-

по которой происходит интегрирование в V^RW (t),

ставления эффективного гамильтониана эквивален-

достаточно узкой, так чтобы ее характерный размер

ты друг другу. Отношение эквивалентности уста-

удовлетворял условию

навливает унитарное преобразование

|ω - Ω₂₁| ≪ Ω₂₁.

(32)

V (t) = e ^ℏ H⁰t He-iH0t/ℏ.

(33)

Этот важный факт часто забывается, и тогда пуб-

По контексту и по виду временных экспонент

ликуются исследования, в которых обсуждается на-

всегда ясно, о каком представлении эффективного

рушение второго закона термодинамики для от-

гамильтониана идет речь в каждом конкретном слу-

крытых квантовых систем в локальном подходе по

чае. Иногда, чтобы подчеркнуть, о чем идет речь,

сравнению с глобальным подходом (см., например,

будем говорить о (22) как об эффективном гамиль-

[91]). Заметим, что термин «вращающаяся волна»

тониане в представлении взаимодействия.

(«правильно меняющееся во времени слагаемое с

Наряду с непрерывным унитарным преобразова-

exp[i(ω -Ω₂₁)t] в матричном элементе VRW21 (t), зату-

нием (9), (12) и диагональным представлением, каж-

шевал факт важности учета упомянутой иерархии

дый из других упомянутых представлений кванто-

времен.

вой теории, получаемых унитарными преобразова-

Таким образом, говоря о локальном подходе, на-

ниями — представления Гейзенберга и Дирака, и

до говорить не только о гамильтониане (31) в при-

эффективного гамильтонианов — является «непо-

ближении вращающейся волны, но иметь в виду

движным» и замкнутым в следующем смысле. Пре-

условие (32). Вне рамок условия (32) слагаемые с

образованный гамильтониан

^H, отвечающий соот-

exp[±i(ω - Ω₂₁)t] должны быть отнесены к группе

ветствующему представлению, является неподвиж-

антивращающихся слагаемых V^a-RW (t). Тогда ло-

ной точкой соответствующего преобразования (5),

кальный подход будет согласовываться с глобаль-

т. е. решением уравнения

ным подходом и будет проще него, поскольку реа-

H₌ T (

^H),

^H(n + 1) = T (

^H(n)).

лизация непрерывного унитарного преобразования

(9), (12) зачастую весьма громоздкая, а в условиях

Другими словами,

H можно рассматривать как

марковского приближения является и излишней, ес-

результат бесконечной цепочки унитарных преобра-

ли только получаемые результаты не окажутся до-

зований

H = lim_n→∞ H(n). Однако автору не из-

статочно простыми.

вестен содержательный анализ таких неподвижных

Обсуждая иерархию характерных времен откры-

точек, хотя до сих пор различные условия само-

той оптической системы, не следует забывать фак-

согласования и контроля при построении того или

ты, установленные еще в 50-х годах [92,93]. Марков-

иного гамильтониана являются объектами изуче-

ское приближение приводит к экспоненциальной ди-

ния, см., например, [94].

намике открытой системы, которая не может быть

Говоря о взаимодействиях, важно отметить, что

«вечной». За масштабом времен много больших τ_d

часто взаимодействие между элементами открытой

наступает царство редких событий.

системы является следствием взаимодействия меж-

ду системой и окружением. Примером здесь служит

диполь-дипольное взаимодействие между атомами

4. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

атомного ансамбля, рассматриваемого как откры-

ВОЗМУЩЕНИЙ

тая система в электромагнитном широкополосном

Формулировка эффективного гамильтониана на

окружении [95]. Поэтому одна из идей глобально-

основе требования отсутствия быстро меняющихся

го подхода к открытым системам [96, 97] — необ-

во времени слагаемых и формул (22)-(25) отлича-

ходимость диагонализации гамильтониана откры-

ет такое построение от других, основанных на уни-

той системы перед ее дальнейшим изучением, во-

989

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

обще говоря, в открытых оптических квантовых си-

H (1,0)(t)= iℏdS(1,0)(t)

+ V_S-F(t),

стемах не актуальна. При этом мнение об «ущерб-

ности» локального подхода находит опору в оши-

H (1,1)(t)=

H (0,1)(t)= iℏdS(0,1)(t)

+ V_S(t)

бочных выводах, подобных представленным в ра-

]

боте [91], где вместо использования алгебраической

dS(1,1)(t)

i^[

= iℏ

S(1,0)(t), V_S(t) -

теории возмущений и анализа характерных времен

]

i^[

задачи, приближение вращающейся волны исполь-

H (0,1)(t)

(36)

−

S(1,0)(t),

зовано за рамками его применимости. Тем не ме-

]

i^[

нее, алгебраическая теория возмущений в локаль-

H (1,0)(t)

−

S(0,1)(t), V_S-F (t) -

S(0,1)(t),

ном подходе достаточно гибка, чтобы учесть и воз-

]

можное начальное взаимодействие между элемента-

i^[

H (2,0)₌ iℏdS(2,0)(t)

S(1,0)(t), V_S-F (t) -

ми открытой системы.

[

]

H (1,0)(t)

S(1,0)(t),

,...

⁻ 2

Требование присутствия только медленно меняю-

4.1. Медленно- и быстроменяющиеся

щихся во времени слагаемых однозначно определяет

слагаемые

(в предположении адиабатического включения по-

лей) величины S(i,j) и накладывает ограничение на

Рассмотрим вариант алгебраической теории воз-

спектр мод широкополосных полей, учитываемых

мущений (22)-(25), когда помимо взаимодействия

в эффективном гамильтониане. Например, с точно-

открытой системы с окружением V_S-F (t), в самой

стью до второго порядка по константам связи имеем

открытой системе существует взаимодействие меж-

ду ее элементами V_S (t), так что исходный оператор

взаимодействия в представлении взаимодействия

V^Eff (t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) +

V (1,1)(t)+

имеет вид

V (2,0)(t) +

V (0,2)(t).

V (t) = V_S-F (t) + V_S (t).

(34)

Тогда величины S(i,j)(t) вбирают в себя все быстро-

меняющиеся во времени величины, по сути S(i,j)′′ (t),

так что можно упростить выражения (35), предста-

Вместо (22), разложение генераторов преобразо-

вив их в виде

вания во времени

V (t) и унитарного преобразования

S(t) осуществляется в ряд по двум константам взаи-

V (1,0)(t) =

V ′S-F(t),

V (0,1)(t) =

V ′S(t),

модействий:

]_′

i^[

V (1,1)(t) = -

S(1,0)(t), V^′′S(t)

]_′

S(t) = S(1,0)(t) + S(0,1)(t) + S(2,0)(t) + . . . ,

i^[

−

S(0,1)(t), V^′′S-F (t)

(37)

V (t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) +

V (1,1)(t)+

(35)

]_′

i^[

V (2,0)(t) = -

S(1,0)(t), V^′′S-F (t)

V (2,0)(t) +

V (0,2)(t) + . . .

[

]_′

(0,2)(t) = -

S(0,1)(t), V^′′S(t)

Левый индекс каждой пары верхних индексов

описывает порядок слагаемого по константе связи

Одним штрихом обозначено выражение, представ-

между открытой системой и окружением, а пра-

ленное в виде суммы слагаемых, из которой исклю-

вый индекс — порядок по константе между элемен-

чены все слагаемые, содержащие быстроменяющи-

тами открытой системы. Реально порядок взаимо-

еся функции времени. Двумя штрихами отмечено

действия с полями грубо определяется отношением

выражение, после отбрасывания из его составляю-

энергии взаимодействия между полями к энергии

щих всех медленноменяющихся слагаемых.

кванта осциллятора, а параметров взаимодействия

Слагаемые

V (1,0)(t) и

V (0,1)(t) в случае однофо-

может быть несколько в силу возможности участия

тонных резонансов [54, 89] отвечают приближению

нескольких полей и/или различных элементов си-

вращающейся волны, т. е. эффективный гамильто-

стемы.

ниан, ограниченный этими слагаемыми,

С учетом формулы Кемпбелла - Бейкера - Хаус-

V^Eff (t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) = V ^RW(t),

(38)

дорфа нетрудно получить

990

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

и есть используемый в многочисленных подходах к

то исследования здесь представляют значительную

теории открытых систем.

часть работ по квантовой оптике (укажем моногра-

Однако, если в качестве эффективного гамиль-

фии [1-11]). Отметим лишь нетривиальное обобще-

тониана выбрать, например, такой

ние модели на случай q-осциляторов [107,108], поли-

номиальных алгебр [14-16, 109] и недавние работы

V^Eff (t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) +

V (1,1)(t),

по квантовой термодинамике [111]. Ниже мы рас-

смотрим более простую модель в отношении взаи-

то он будет описывать новый канал взаимодействия

модействия атомов и микрорезонаторной моды, но

и релаксации открытой системы. Примеры будут

учтем термостатные поля, взаимодействующие от-

рассмотрены далее.

дельно с модой и отдельно с атомами. Такая систе-

Аналогичным образом можно строить разложе-

ма описывается тремя константами связи, характе-

ния не только по одному или двум параметрам, но и

ризующими каждый из перечисленных видов взаи-

по большему числу констант связи с внешними по-

модействий.

лями, см., например, [98]. Другой пример рассмот-

В задачах взаимодействия квантового или атом-

рим ниже.

ного осциллятора с квантованным широкополос-

Современные экспериментальные средства поз-

ным электромагнитным полем обычно использует-

воляют реализовывать ситуации, когда взаимодей-

ся электродипольное приближение, а оператор на-

ствие с оптической системой протекает за времена

пряженности электрического поля в представлении

порядка обратной частоты Ω-1jm квантовой системы.

взаимодействия берется в виде

В таком масштабе времен нет смысла говорить о ве-

∑

личинах, быстро или медленно меняющихся во вре-

E(t) =

Γωqbq,λeq,λe-iωqteiq·r + H.c.

(39)

мени по сравнению с экспонентами exp(±iΩ-1jmt). Это

q,λ

имеет место в случаях взаимодействия так называ-

Здесь q — волновой вектор, ω_q — частота, связан-

емых предельно коротких импульсов с квантовыми

ная с волновым вектором дисперсионным соотноше-

системами [99-102]. Постановка оптической задачи

нием, например ω_q = |q|c, eq,λ — единичный вектор

здесь может быть различной [101, 103] в зависимо-

поляризации волны, определяемый параметром λ,

сти от величины интенсивности электромагнитного

bq,λ — оператор уничтожения фотона с обычными ]

поля предельно короткого импульса. Ряд вопросов

коммутационными соотношениями bq,λ, b^†

q′,λ^′

также может быть решен с привлечением, как ми-

= δq,q′ δ_λ,λ′ , Γωq — геометрический фактор, опреде-

нимум, унитарного преобразования аналогично дру-

ляемый средой, например, в обычном пространстве

гим отмеченным случаям.

без учета поляризации фотонов

√

4.2. Эффективный гамильтониан

Γωq =

2πω_q/V ,

Типичной моделью, описывающей взаимодей-

— объем квантования. В дальнейшем полагаем

ствие внутри открытой системы наряду с взаимо-

V = 1.

действием с окружением, является модель кванто-

Среди различных случаев расположения атомов,

вой частицы, помещенной внутрь микрорезонатора.

взаимодействующих с широкополосным полем, вы-

Частные случаи этой модели чаще всего исследуют-

деляется случай локализованного атомного ансам-

ся как экспериментально, так и теоретически.

бля. Тогда атомы располагаются в области с раз-

В условиях резонансного взаимодействия атомов

мерами, меньшими длины волны излучения, с ко-

и микрорезонаторной моды и в отсутствие широко-

торым они взаимодействуют. В этом случае можно

полосных полей — только двухуровневый атом внут-

пренебречь пространственными зависимостями опе-

ри одномодового микрорезонатора — эта модель из-

ратора взаимодействия и, достигнув упрощения мо-

вестна как модель Джейнса - Каммингса [104]. Ан-

дели, построить эффективный гамильтониан откры-

самбль атомов внутри микрорезонатора описывает-

той системы, включающей локализованные ансам-

ся моделью Тависа - Каммингса [105]. В этих моде-

бли атомов, с учетом квадратичных по константам

лях задействованы основные объекты квантовой оп-

связи слагаемых. Перейти к операторам рождения и

тики — квантовый и атомный осцилляторы [106]. Ес-

уничтожения, зависящим только от одномерного па-

ли учесть различные случаи резонанса — однофо-

раметра, например, частоты, удается при использо-

тонный, двухфотонный, комбинационный, а также

вании модели трехмерного поля, в которой операто-

потери на зеркалах и взаимодействия атомов с нере-

ры рождения и уничтожения усреднены по различ-

зонаторным вакуумным электромагнитным полем,

ным ориентациям волнового вектора q [110]. Другой

991

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

[

]

вариант дает одномерная модель квантованного по-

величинами c_c и c^†c:

c_c, c^†c

= 1. Операторы уничто-

ля.

жения и рождения фотонов внешнего широкополос-

Пусть ансамбль нерезонансных, невозбужден-

ного поля с частотой (волновым вектором) ω даются

ных, неподвижных одинаковых атомов в количестве

величинами a_ω, b_ω и a^†ω, b^†ω:

[

]

[

]

N_p штук локализован внутри одномодового микро-

a_ω, a^†

= δ(ω - ω^′), b_ω, b^†

= δ(ω - ω^′),

ω^′

резонатора с потерями на зеркалах. Атомы нерезо-

нансно взаимодействуют не только с модой микро-

причем все коммутаторы между операторами рож-

резонатора, но и с вакуумным электромагнитным

дения и уничтожения, относящимися к разным по-

полем, если предполагать в нем нулевую плотность

лям, равны нулю. Исходный гамильтониан окру-

фотонов. Исходный гамильтониан открытой систе-

жения представляется операторами типа H_F . Эф-

мы такой:

фектами отдачи и поляризационными особенностя-

H_S = H_A + H_C + V_S,

ми пренебрежено.

∑

Представленная модель охватывает характер-

H_A = E_j|E_j〉(i)〈E_j|(i), H_C = ℏΩ_cc^†cc_c,

ный и весьма общий пример открытой системы, у

i,j

которой несколько взаимодействующих между со-

∑

бой подсистем, каждая из которых также взаи-

VS = gc(c^c + cc)

d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i)

модействует с широкополосным окружением. При-

i,kj

чем подсистемы могут быть разными, например,

и в представлении взаимодействия характеризует-

квантовый и атомный осцилляторы [112-114], а мо-

ся только оператором взаимодействия с константой

гут быть одинаковыми, например, микрорезонаторы

связи g_c:

[115-117]. Подсистемы также можно рассматривать

как новый объект — например, атомно-фотонный

(

)

кластер [14, 118]. Термостаты можно рассматри-

V_S(t) = g_c

c^†ceiΩct + c_ce-iΩct

вать как взаимно-коррелированные [119] или общие

∑

[87, 88, 110, 114, 120-127].

× d_kjeiΩkjt|E_k〉(i)〈E_j|(i).

(40)

Обсудим случай, который ранее не обсуждался,

i,kj

но который обобщает исследованную в [114] ситу-

Открытая система взаимодействует с двумя ва-

ацию на случай потерь в микрорезонаторе на зер-

куумными электромагнитными полями окружения:

калах. Внутрирезонаторные атомы являются невоз-

одно из них связано с атомами, другое на зеркале

бужденными, их взаимодействие с микрорезонатор-

связано с фотонной модой микрорезонатора. Опера-

ной модой является нерезонансным, а термостаты

тор взаимодействия открытой системы с окружени-

независимы друг от друга и характеризуются ну-

ем есть сумма операторов, описывающих указанные

левой температурой. О термостате, взаимодейству-

взаимодействия:

ющем с атомами, говорим как о термостате, а о

термостате для атомов, взаимодействующем с мо-

дой микрорезонатора на его зеркале, говорим как о

V_S-F (t) = V_A(t) + V_C(t),

∫

термостате для микрорезонатора. Гамильтониан си-

(

)

V_A(t) = dωΓ_A(ω)

a^†ωe^iωt + a_ωe^-iωt

стемы (40), (41) преобразуется согласно формулам

(13) и (14), однако разложение в ряд гамильтониа-

∑

× d_kjeiΩkjt|E_k〉(i)〈E_j|(i),

на и генератора преобразования дается выражения-

(41)

i,kj

ми, учитывающими наличие трех различных взаи-

(

)

c^†ceiΩct + c_ce-iΩct

модействий в открытой системе и ее окружения:

VC (t) =

∫

(

)

× dω Γ_C (ω)

b^†ωe^iωt + b_ωe^-iωt

(t) = S(1,0,0)(t) + S(0,1,0)(t) + S(0,0,1)(t) +

+ S(2,0,0)(t) + . . . ,

Считаем, что атомные уровни характеризуют-

ся определенной четностью, так что 〈E_k|d|E_k〉 = 0.

V (t) =

V (t)(1,0,0) +

V (t)(0,1,0) +

V (t)(0,0,1) +

Верхний индекс у векторов состояний отмечает про-

V (t)(2,0,0) + . . .

странство состояний i-го атома, а суммирование по

i выполняется по всем N_p атомам обсуждаемого ан-

Левый индекс каждой тройки верхних индексов

самбля. Операторы уничтожения и рождения фото-

описывает порядок слагаемого по константе свя-

нов микрорезонаторной моды с частотой Ω_c даются

зи между атомным и квантовым осцилляторами, а

992

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

оставшаяся пара индексов — порядок по констан-

Здесь предположено, что, a_-ω = a^†ω, ω > 0, b_-ω = b^†ω,

те связи подсистем с окружением — сначала атом-

ω > 0. Тогда операторы (41) можно переписать как

ного осциллятора, затем (самый правый индекс) —

∑

квантового осциллятора. Формулы (37) позволяют

VA(t) =

d_kjeiΩkj t|E_k〉(i)〈E_j|(i) ×

i,kj

получить слагаемые эффективного гамильтониана

∞

∫

вплоть до второго порядка по константам взаи-

× dω Γ_A(ω)a_ωe^-iωt,

модействия включительно. Рассмотрим слагаемые,

определяющие эффективный гамильтониан и гене-

-∞

ратор преобразования, в различных низших поряд-

∫

∞

ках.

VC (t) = (c^ceiΩc t + cce-iΩc t)

dωΓ_C (ω)b_ωe^-iωt.

Первый порядок. В первом порядке по констан-

там связи атомов с квантовым осциллятором и с

-∞

атомным термостатом слагаемые эффективного га-

а оператор S(0,1,0)(t) как

мильтониана равны нулю, поскольку (в силу нере-

∑

зонансности взаимодействия и отсутствии фотонов)

S(0,1,0)(t) = iℏ-1

d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i) ×

все слагаемые в формулах (40) и (41) быстро осцил-

i,kj

лируют. При этом в термостате при нулевой темпе-

∫∞

e-i(ω-Ωkj)^t

ратуре нет фотонов, так что нет и причин для кван-

× dω Γ_A(ω)a_ω

Ω_kj - ω

товых переходов в атоме:

-∞

Важным отличием от приближения вращающей-

H (1,0,0)(t)=

H (0,1,0)(t)= 0,

ся волны является явное указание области инте-

грирования — в

H (0,0,1)(t) это область частот тер-

∑

мостата для микрорезонатора (ω_c) с центральной

S(1,0,0)(t) = iℏ-1

d_kj|E_k〉(i)〈E_j|(i) ×

частотой ω_c и шириной порядка обратной величи-

i,kj

ны скорости затухания микрорезонаторной моды за

(

)

ei(Ωc+Ωkj )^t

e-i(Ωc-Ωkj )^t

счет потерь на зеркале. Эту величину определим

×g_c c^†

+c_c

^c Ω_kj +Ω_c

Ω_kj - Ω_c

в результате дальнейших вычислений. Аналогично

определяется и ширина области (-ω_c) вблизи цент-

ральной частоты -ω_c. В величине S(0,1,0)(t) в силу

∫

∑

отсутствия какого-либо резонанса во взаимодейст-

S(0,1,0)(t) = iℏ-1 dω Γ_A(ω)

d_kj|E_k〉(i) ×

вии невозбужденного атома с термостатом областью

i,kj

(

)

интегрирования является вся вещественная прямая.

ei(ω+Ωkj )^t

e-i(ω-Ωkj )^t

Второй порядок. По формулам (37), обобщен-

× 〈E_j |(i) a^†

+a_ω

^ω Ω_kj

+ω

Ω_kj - ω

ным на рассматриваемый случай, находим слага-

емые эффективного гамильтониана во втором по-

В первом порядке по константе связи фотонов

рядке по константам взаимодействия. Операторы

микрорезонатора и термостата фотоны микрорезо-

H (2,0,0)(t),

H (0,2,0)(t) и

H (0,0,2)(t) имеют слагаемые,

наторной моды на зеркале резонансно взаимодей-

описывающие три различных процесса.

ствуют с вакуумным полем, что описывается выра-

Первый из них — сдвиг энергии квантового уров-

жениями, определяющими здесь приближение вра-

ня, который по аналогии со сдвигом атомных уров-

щающейся волны

ней в вакуумном электромагнитном поле принято

∫

называть лэмбовским сдвигом [128]. Эти слагаемые

H (0,0,1)(t)=

dω Γ_C (ω) ×

обозначим соответственно H^LambC, H^LambA, H^LambCA:

∫

ω∈(ωc)

Γ2C(ω)

(

)

H^LambC = -(c^†c + 1)

dω

× c_cb^†ωe-i(Ωc-ω)t + c^†cb_ωei(Ωc-ω)t

ℏ(ω + Ω_c)

ω∈(-ωc)

∫

rb_ωe-i(ω+Ωc)^t

(42)

∑

S(0,0,1)(t) =

dω Γ_C (ω)

^′Γ2A(ω)d_kjd

H^LambA

= -ℏ-1

dω

|E_k〉(i)〈E_k|(i),

iℏ(ω + Ω_c)

ω-Ω_jk

ω∈(-ωc)

i,kj

∫

r^†b_ωe-i(ω-Ωc)^t

∑

^′g2cd_kjd_jk ∑

dω Γ_C (ω)

H^LambCA

= -ℏ-1

|E_k〉(i)〈E_k|(i).

iℏ(ω - Ω_c)

Ω_c - Ω

jk i

ω∈(ωc)

993

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

каких-либо резонансных процессов, кроме резонанс-

ной связи квантового осциллятора со своим термо-

статом. Поскольку верхний индекс «(r)» у операто-

ров штарковского взаимодействия перенумеровыва-

ет единым образом указанные области в различных

термостатах, удобно считать, чтобы для HStark(c)(t),

r = c указанная область именовалась как (ω_c), а для

HStark(a)(t), r = a — как (ω_a), хотя ω_a = ω_c = Ω_c.

Взаимосвязь между операторами штарковско-

Рис. 2. Условное изображение разбиения спектра полей

го взаимодействия и штарковским сдвигом энергии

окружения открытой системы

квантового уровня в классическом электромагнит-

ном поле рассмотрена в работе [122].

Третий класс процессов второго порядка — вза-

Второй класс процессов — процессы штарковско-

имодействие атомов, сопровождающееся обменом

го взаимодействия между подсистемами и внешни-

возбуждений, которое при увеличении расстояния

ми полями HStark(r) и между самими подсистемами

между атомами переходит в обычное диполь-ди-

H^StarkCA:

польное взаимодействие.

Формулы (37) с учетом особенностей системы с

HStark(c) =

∫

тремя константами связи позволяют также опреде-

dω dω^′Γ_C (ω)Γ_C (ω^′) ×

лить слагаемое

H (1,1,0)(t).Это слагаемое демонстри-

(43)

рует новый — интерференционный — канал релак-

ω∈(ωc) ω^′∈(ωc)

(

)

сации фотонов микрорезонаторной моды:

b^†ωb_ω′ ei(ω-ω′)^t,

2ℏ(ω + Ω_c)

2ℏ(ω^′ + Ω_c)

∫

H (1,1,0)(t)=

dωΓ_A(ω)a_ω e^-iωt ×

∫

HStark(a) = -

dω dω^′Γ_A(ω) ×

ω∈(ωc)

∑

(

)∑

ω∈(ωc) ω^′∈(ωc)

g_cc^†ceiΩct

Π_k(Ω_c)+Π_k(ω)

|E_k〉(i)〈E_k|(i) +

× Γ_A(ω^′)a^†ωa_ω′ei(ω-ω′)t ×

∫

∑

(44)

∑

dωΓ_A(ω)a^†ωeiωt

g_cc_ce-iΩct ×

(Π_k(ω) + Π_k(ω^′))

|E_k〉(i)〈E_j |(i),

ω∈(ωc)

∑

)∑

H^StarkCA = g2cc^†c

Π_k(ω_c)

|E_k〉(i)〈E_j |(i).

1⁽

Π_k(Ω_c) + Π_k(ω)

|E_k〉(i)〈E_k|(i).

(45)

Процессы второго порядка в оптике с участием ато-

мов характеризуются параметрами [53, 54, 89]:

Благодаря слагаемому

H (1,1,0)(t) операторы рожде-

ния и уничтожения фотонов микрорезонаторной мо-

(

)

∑

|d_kj |²

ды оказываются связанными с термостатом для ато-

Π_k(ω) =

ℏ

Ω_kj + ω

Ω_kj - ω

мов, причем резонансным образом. В этом отноше-

нии оператор

H (1,1,0)(t) аналогичен

H (0,0,1)(t), опи-

Выражения для HStark(r) при r = a, c получают-

сывающему резонансную связь микрорезонаторных

ся из HStark(a) или HStark(c) заменой областей ин-

фотонов со своим термостатом. Существенно разли-

тегрирования на (ω_r). В дальнейшем увидим, что

чаются только величины указанных процессов. Та-

в динамику открытой системы вклад HStark(r) при

ким образом, даже если зеркала микрорезонатора

r = a,c будет нулевым.

идеальны, но внутри присутствуют нерезонансные

Область положительных частот спектра широко-

атомы, связанные с термостатом для атомов, фото-

полосных полей разбита на непересекающиеся обла-

ны микрорезонаторной моды будут покидать мик-

сти (ω_r) с центральными частотами ω_r и ширинами,

рорезонатор. Это и есть интерференционный канал

позволяющими соответствующие операторы штар-

релаксации фотонов микрорезонатора.

ковского взаимодействия считать медленноменяю-

Интерференционный канал релаксации — доста-

щимися функциями времени (рис. 2). Область (ω_r)

точно общий класс каналов связи подсистем откры-

при r = c выделена среди них характерной часто-

той системы с окружением, который естественно

той открытой системы — частотой Ω_c и отсутствием

возникает и легко описывается алгебраической тео-

994

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

(

)∫ t

(

)₂

рией возмущений [98]. Такой канал релаксации для

подсистемы открытой системы, состоящей из двух

U (t) = I +

V^Eff (t^′)dt^′ +

ℏ

нерезонансно связанных квантовых осцилляторов,

исследован в работах [115-117].

∫

t^′

Третий порядок по константам связи рассмат-

V^Eff (t^′)V^Eff(t^′′)dt^′dt^′′ + . . . =

ривать не будем. Отметим лишь, что слагаемое

H (1,1,1)(t) описывает поток энергии из одного тер-

⎛

⎞

∫

мостата в другой, который на примере других задач

←

=T exp⎝-

V^Eff (t^′)dt^′⎠

(49)

обсуждался в работах [129].

ℏ

Эффективный гамильтониан рассматриваемой

с эффективным гамильтонианом (46), (47). Здесь

открытой системы с точностью до второго порядка

I — единичный оператор.

включительно можно рассматривать в виде

Подчеркнем, что переход к представлению эф-

V^Eff (t) = H^Tr(t) + H^Stark(t).

(46)

фективного гамильтониана, в котором записано

уравнение (48), дал систематический путь к пред-

Здесь слагаемые представлены по их главному при-

ставлению внешних широкополосных квантованных

знаку — осуществляется квантовый переход в сис-

электромагнитных полей (термостата для атомов и

теме с реальным изменением энергетического кван-

термостата для микрорезонатора) в виде совокупно-

тового состояния или нет. В последнем случае есть

сти независимых квантовых шумовых источников (с

только виртуальные переходы, формирующие штар-

центральными частотами (ω_r) ). При этом шумовые

ковское взаимодействие:

источники, которые стали обозначаться как (ω_a) и

∑

(ω_c), являются выделенными для рассматриваемой

H^Tr(t) =

HTr(r)(t),

модели. Их приоритетная роль, как покажем в даль-

r=a,c

нейшем, обусловлена резонансным взаимодействием

∑

(47)

H^Stark(t) =

HStark(r)(t).

квантового осциллятора со своим термостатом и с

r=a,c,...

термостатом для атомов, что описано слагаемыми в

эффективном гамильтониане

Остальные полученные слагаемые второго порядка

H (0,0,1)(t)=HTr(c)(t) и

H (1,1,0)(t)=HTr(a)(t).

по константам связи можно либо включить в пе-

ренормированные энергии квантовых уровней, либо

Если учитывать возможность каких-либо других ре-

пренебречь, поскольку их роль по сравнению с пред-

зонансных квантовых переходов с изменением энер-

ставленными в (46) мала. Как увидим ниже, опера-

гии в открытой системе или ее подсистемах, на-

торы штарковских взаимодействий HStark(r)(t) име-

пример, в атоме, то появятся новые выделенные

ют своеобразную алгебраическую структуру, кото-

шумовые источники [57, 98, 129, 130]. Это важное

рая позволяет им играть роль в ансамблях одинако-

следствие предложенного определения эффективно-

вых атомов или квантовых осцилляторов из доста-

го гамильтониана на основе отбора медленно ме-

точно большого числа частиц при условии, что фо-

няющихся во времени слагаемых. Оно дает стро-

тоны спектральной области (ω_r) участвуют также в

гое обоснование предложения Лакса [131] о разби-

реальных квантовых переходах открытой системы.

ении вакуумных полей на совокупность независи-

Ниже покажем, что все слагаемые (46) и (47) мож-

мых шумовых источников. Появление шумовых ис-

но представить в марковском приближении в виде,

точников здесь — следствие многомодовости выде-

который является общим для самых разнообразных

ленных спектральных областей (ω_c) в рассматрива-

моделей квантовой оптики.

емых термостатах. В условиях марковского прибли-

В результате такого преобразования получаем

жения возникает представление о квантовых слу-

стандартное уравнение Шредингера для волновой

чайных процессах, моделирующих взаимодействие

вектора состояния |Ψ(t)〉 = U(t)|Ψ(0)〉 и оператора

открытой системы с термостатом.

эволюции U(t) всей системы в представлении вза-

имодействия (знаки тильда будем опускать). Урав-

5. КВАНТОВОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ

нения для оператора эволюции и его формального

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

решения имеют вид

Стандартное предположение теории открытых

dU(t)

систем — марковское приближение — сформулируем

iℏ

= V ^Eff(t)U(t), U(0) = 1,

(48)

в следующем виде [11].

995

15*

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

∑

1. Начальное состояние открытой системы и ее

dU(τ) = -i

Y_r√

окружения. Считаем, что начальный вектор состоя-

2π

r=a,c

∫

ния всей системы |Ψ(0)〉 факторизован:

b^†rνei(ν-1)τ dν U(τ)dτ -

|Ψ(0)〉 = |Ψ_AC (0)〉 ⊗ |Ψ_FA(0)〉 ⊗ |Ψ_FC (0)〉,

ν∈(1)

∫

∑

-i

Y†r

√

b_rνe-i(ν-1)τ dνU(τ)dτ -

где |Ψ_AC (0)〉 — начальный вектор состояния атомов

2π

r=a,c

ν∈(1)

и фотонов микрорезонатора, |Ψ_FA(0)〉 и |Ψ_FC(0)〉 —

∫

∑

начальные векторы термостата для атомов и мик-

-i

YΛr

b^†rνb_rν′ ei(ν-ν′)^τ dνdν^′U(τ)dτ -

2π

рорезонатора, причем

r=a,c

ν∈(1) ν^′∈(1)

∫

∑

〈Ψ_FA(0)|a(ω)a^†(ω^′)|Ψ_FA(0)〉 = δ(ω - ω^′),

−i

YΛr

b^†rνb_rν′ ei(ν-ν′)^τ ×

2π

r=a,c

ν∈(^ωr

) ν^′∈(ωrΩ

)

Ωc

× dν dν^′U(τ) dτ.

(50)

〈Ψ_FA(0)|a^†(ω)a(ω^′)|Ψ_FA(0)〉 =

= 〈Ψ_FA(0)|a(ω)|Ψ_FA(0)〉 = 0,

Введены следующие величины:

√

Y_c =

2πΓ_C(Ω_c)Ω-1/2cℏ-1c_c,

〈Ψ_FC (0)|b(ω)b^†(ω^′)|Ψ_FC (0)〉 = δ(ω - ω^′),

√

∑

Y_a =

2πg_cΓ_A(Ω_c)Ω-1/2cℏ-1

Π_k(Ω_c)×

〈Ψ_FC (0)|b^†(ω)b(ω^′)|Ψ_FC (0)〉 =

^k ∑

|E_k〉(i)〈E_k|(i),

= 〈Ψ_FC (0)|b(ω)|Ψ_FC (0)〉 = 0.

2. Взаимодействие с шумовыми источниками.

YΛc = -πΓ2C(Ω_c)ℏ-2Ω-1c,

∑

Считаем, что параметры связи с шумовыми источ-

YΛa = 2πΓ2A(Ω_c)ℏ-1

Π_k(Ω_c)

|E_k〉(i)〈E_k|(i).

никами Γ_A(ω), Γ_C (ω) и Π_k(ω) являются медлен-

номеняющимися функциями частот в области (ω_c)

При r = a, c

и могут быть заменены постоянными величинами,

определяемыми центральными частотами введен-

YΛr = -2πΓ²

(ω_r)Ω_c

ных независимых шумовых источников, а именно

ℏ²(ω_r + Ω_c)

либо

Γ_A(ω) = Γ_A(ω_a) = const, Γ_C(ω) = Γ_A(ω_c) = const,

∑

YΛr = 2πΓ2A(ω_r)

Π_k(ω_r)

|E_k〉(i)〈E_k|(i).

Π_k(ω) = Π_k(Ω_c) = const,

≈

ω+Ω_c

2Ω_c

В силу условий рассматриваемой модели и неизмен-

ности заселения атомами нижнего энергетического

3. Пределы интегрирования в интегралах, опре-

уровня |E_k〉, операторы Y_a, YΛa и величины YΛr, свя-

деляющих слагаемые эффективного гамильтониана.

занные с термостатом для атомов, r = a, c, можно

Считаем, что на подсистемы открытой системы ши-

отождествить со следующими:

рокополосные независимые источники эффективно

воздействуют составляющими вблизи их централь-

√

Y_a =

2πg_cΓ_A(Ω_c)Ω-1/2cℏ-1Π_g(Ω_c)N_p,

ных частот, так что пределы интегрирования в упо-

мянутых интегралах можно распространить от -∞

YΛa = 2πΓ2A(Ω_c)ℏ-1Π_g(Ω_c)N_p,

до ∞.

YΛr = 2πΓ2A(ω_r)ℏ-1Π_g(ω_r)N_p.

Введем следующие безразмерные величины:

Если в интегралах

√

τ = Ω_ct, ν = ω/Ω_c, b_aν =

Ω_ca_ω, b_cν =

Ω_cb_ω

∫

√

b_rνe-i(ν-1)τ dν, r = a, c

2π

и запишем уравнение (47) в виде

ν∈(1)

996

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

пределы интегрирования распространить на всю

В случае шумовых источников разных частот в

числовую прямую и рассматривать

работе [115] использована сложная система приведе-

ния к безразмерному виду для записи алгебры (53).

∫∞

Перепишем уравнение (50) для оператора эво-

√

b_rνe-iντ dν,

люции, поскольку в сделанных выше стандартных

2π

предположениях уравнение (50) является матема-

-∞

тически неопределенным [11]. Определим dU(τ) =

в котором b_r,-ν является также оператором уни-

= U(τ+dτ)-U(τ), используя безразмерный вариант

чтожения, то уравнение (50) станет математически

интегрального представления (49) [98, 122, 123]

неопределенным — его интегральное решение (типа

[

]

(49)) будет зависеть от выбора точки на подынтерва-

dU(τ) = exp (-iV^Eff (τ)dτ) - 1 U(τ),

(54)

лах разбиения промежутка интегрирования [11, 12].

Но интеграл

в котором

∫

∞

V^Eff (τ)dτ = H^Eff-S(τ)dτ +

∑

[

]

dτ^′√

b_rνe^-iντ dν,

2π

Y+rdB_r(τ) + Y_rdB+r(τ)

-∞

r=a,c

∑

как и интегральное решение (50), могут быть опре-

YΛrdΛ_r(τ).

(55)

делены в смысле Ито [11, 132-134]. Удобно ввести

r=a,c...

квантовые процессы B_r(τ), B+r(τ) и Λ_r(τ):

Дифференциалы Ито (52) определяют в выраже-

нии V^Eff (τ) операторы взаимодействия открытой

∞

∫

(

)

системы с окружением. Они придают корректный

b_r(τ) =

√

dν exp

- iντ

b_rν,

2π

математический статус выражениям типа

−∞

∞

∫

∫τ

Y_r√

b_rνe-i(ν-1)τ dνU(τ)dτ.

B_r(τ) = dτ^′b_r(τ^′), B+r(τ) =

(51)

2π

-∞

∫τ

Подобная замена в уравнении (50) не точна и долж-

= dτ^′b^†r(τ^′), Λ_r(τ) = dτ^′b^†r(τ^′)b_r(τ^′).

на быть проведена в уравнении (54), поскольку в

квантовом стохастическом исчислении первоначаль-

Их дифференциалы Ито,

но определяются квантовые стохастические инте-

гралы. Слагаемые, не содержащие дифференциалы

Ито dB_r(τ), dB+r(τ) и dΛ_r(τ) квантовых случайных

dB_r(τ) = B_r(τ + dτ) - B_r(τ),

процессов, относим к эффективному гамильтониану

dB+r(τ) = B+r(τ + dτ) - B+r(τ),

(52)

системы H^Eff-S(τ)dτ. Такое представление исполь-

(τ), B_r(τ) и Λ_r(τ) назы-

зовано в (55). Величины B+r

dΛ_r(τ) = Λ_r(τ + dτ) - Λ_r(τ),

вают соответственно рождающим, уничтожающим

и считывающим процессами, но часто их жаргонно

удовлетворяют алгебре Хадсона - Партасарати [134]

называют винеровскими и пуассоновским процесса-

ми [11], порождаемыми r-м шумовым источником,

dΛ_r(τ)dΛ_m(τ) = dΛ_r(τ)δ_rm,

хотя строгое определение квантовых винеровского и

dΛ_r(τ)dB+m(τ) = dB+r(τ)δ_rm,

пуассоновского процессов несколько иное [133-136].

В рассматриваемой модели после исключения лэм-

dB_r(τ)dΛ_m(τ) = dB_r(τ)δ_rm,

бовских сдвигов и оператора H^StarkCA будем иметь

dB_r(τ)dB+m(τ) = dτδ_rm,

(53)

H^Eff-S = 0. Однако это слагаемые мы сохраним в

dΛ_r(τ)dB_m(τ) = dΛ_r(τ)dτ =

последующих формулах, поскольку полученные ре-

= dB+r (τ)dΛ_m(τ) = dB_r(τ)dB_m(τ) =

зультаты являются весьма общими.

Из уравнений (54) и (55) с учетом (53) получа-

= dB+r (τ)dτ = dB_r(τ)dτ = dτdτ = 0.

ется квантовое стохастическое дифференциальное

Кроме того, средние величины указанных диффе-

уравнение (КСДУ)

ренциалов Ито равны нулю.

997

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

dU(τ) = -iH^Eff-S(τ) dτ U(τ) +

наруженное Хадсоном и Партасарати, характерное

∑

[

для квантовых случайных процессов. Считывающее

Y eΛr + iYΛr

YeΛr

Y⁺

Y_rdτ + Y⁺

dB_r(τ) +

^r (YΛr)²

YΛr

свойство, как показано в работах [110,114,122-126],

r=a,c

определяет новые эффекты — подавление коллек-

]

YeΛr

Y_rdB+r(τ) + YeΛrdΛ_r(τ) U(τ)+

тивной релаксации атомного ансамбля, релаксаци-

YΛr

онный сдвиг частоты и замораживание состояния

∑

Y eΛr dΛ_r(τ)U(τ).

(56)

системы в условиях, когда число атомов определя-

r=a,c...

ется определенным критическим значением. КСДУ,

в которых существенна роль считывающего кванто-

Здесь YeΛr = e-iYΛr - 1.

вого процесса, называем невинеровскими КСДУ.

Полученное КСДУ (56) управляется как вине-

В случае одинаковых квантовых осцилляторов

ровскими, так и считывающими процессами. Еще

штарковское взаимодействие представлено в работе

в работах [132-134, 136] показано, что рождающий

[126] квантовым считывающим процессом.

и уничтожающий процессы, а также считывающий

Невинеровские операторные множители в (56),

квантовый процесс играют фундаментальную роль

YeΛr

Y eΛr + iYΛr

в случае участия в квантовых процессах широкопо-

YeΛr,

(57)

YΛr

(YΛr )²

лосных бозонных полей. Первые два (винеровские

процессы) в традиционных задачах ассоциируются

отличают КСДУ невинеровского типа от винеров-

с операторами рождения и уничтожения квантов

ского КСДУ.

и уже достаточно широко вошли в аппарат кван-

Характерная структура выражения (56) позво-

товой оптики [11]. КСДУ, содержащие только ви-

ляет описывать КСДУ для оператора эволюции

неровские процессы, назовем винеровскими КСДУ.

для эффективных гамильтонианов широкого кру-

Считывающий процесс и его роль в процессах из-

га открытых систем в широкополосном окружении

мерения и фоторегистрации обсуждались в рабо-

бозонного типа. В таком общем случае сумма по

тах [68, 137]. Также были проведены исследования

нижнему индексу r подразумевает суммирование по

по проявлению квантового считывающего процес-

всем независимым шумовым источникам, введен-

са в столкновительных моделях квантовых частиц

ным в рассмотрение представлением эффективно-

[138]. Что касается электромагнитных взаимодей-

го гамильтониана, причем все произведения любых

ствий, то с обычной точки зрения квантовые считы-

двух дифференциалов винеровских или пуассонов-

вающие процессы могли бы проявиться только во

ских процессов для разных шумовых источников

втором порядке теории возмущений, и, возможно,

равны нулю. Через Y_r обозначены операторы, харак-

поэтому изначально отвергалась какая-либо роль

теризующие открытую квантовую систему в процес-

подобных слагаемых второго порядка в оптических

сах перехода с участием r-го шумового источника и

электромагнитных процессах, в частности, в основ-

определяемые слагаемым HTr(r)(t). Эти операторы

ном управляющем кинетическом уравнении [58]. Хо-

пропорциональны (линейны и билинейны) парамет-

тя общий вид кинетического уравнения при участии

рам связи как с широкополосными внешними по-

всех трех квантовых случайных процессов получен в

лями, так и с другими полями задачи. Через YΛr

1991 г. [136], до работ [122,123] не был ясен физичес-

обозначены операторы, характеризующие подсисте-

кий механизм, лежащий в основе проявления кван-

мы открытой квантовой системы в процессах вто-

тового считывающего процесса в электромагнитных

рого порядка с участием r-го шумового источника

взаимодействиях.

и определяемые слагаемым HStark(r)(t). Представ-

В работах [122, 123] было показано, что кванто-

ление эффективного гамильтониана (55) квантовы-

вый считывающий процесс, во-первых, определяет

ми стационарными процессами (51) служит основой

штарковское взаимодействие атомов с квантован-

для дальнейшего получения КСДУ для оператора

ным вакуумным широкополосным электромагнит-

эволюции и кинетического уравнения для открытой

ным полем, и, во-вторых, несмотря на малость вто-

системы.

рого порядка по константе взаимодействия, игра-

Заметим, что в (56) присутствуют дифференциа-

ет равноправную роль с рождающим и уничтожаю-

лы считывающих процессов некоторых источников,

щим процессами первого порядка в ансамблях оди-

а при этом взаимодействие открытой системы с тер-

наковых квантовых частиц при достаточном чис-

мостатом не зависит от дифференциалов винеров-

ле частиц ансамбля (порядка сотни). Здесь про-

ского процесса этих же источников. Такие считыва-

является замечательное считывающее свойство, об-

ющие процессы и сами источники, как показывают

998

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

результаты вывода кинетического уравнения, могут

Здесь нет каких-либо принципиальных трудностей,

в дальнейшем не учитываться в описании динамики

кроме вопроса о перепутывании начальных состоя-

открытой квантовой системы [122]. Поэтому в рабо-

ний и коррелированности термостатных полей. Од-

тах [110, 114, 123-126] они сразу опускались.

нако в силу принятых марковских приближений,

Уравнение (56) для конкретного вида операто-

нетрудно получить

ров охватывают известные случаи [114,123-126] вза-

[

]

имодействия локализованных открытых систем с

dρ^S (τ) = -i H^Eff-S(τ), ρ(τ) dτ +

термостатами при нулевой плотности фотонов. Для

∑

⁽YeΛr

Ye+Λr

Y eΛr+iYΛr

термостатов при ненулевой температуре КСДУ кор-

Y_rρ^S(τ)Y⁺

+Y⁺

Y_rρ^S(τ)+

YΛr

^r YΛr

^r (YΛr )²

ректно удается записать только в отсутствие счи-

r=a,c

)

тывающего процесса [11, 139]. В работе [124] пред-

Y e+Λr - iYΛr

+ ρ^S(τ)Y ⁺

Y_r dτ.

(58)

ложено обобщение КСДУ невинеровского типа на

(YΛr)2

учет термостата с ненулевой плотностью фотонов. В

Это кинетическое уравнение нетрудно переписать в

работе [140] обсуждается модель нелокализованных

форме Линдблада (2) и (3) с операторами Линдбла-

оптических квантовых систем и дано обобщение ал-

да

гебры Хадсона - Партасарати для операторов, свя-

[

]

зывающих широкополосные квантованные поля на

dρ^S(τ)

= -i H^Eff-S(τ), ρ^S(τ)

- Γρ^S (τ),

(59)

границах разделов подсистем открытой квантовой

dτ

системы.

[

]

∑

⁽1

^Γρ^S = -i

ρ^S, H^Shift-S

LS+rL^Srρ^S +

r=a,c

6. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ

)

ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ

ρ^SLS+rL^S-r - L^Srρ^SLS+

(60)

Кинетическое уравнение для матрицы плотности

YeΛr

открытой системы и окружения имеет вид

L^Sr =

Y_r,

YΛr

∑

(61)

ρS+F (t) = |ΨS+F (t)〉〈ΨS+F (t)|

sinYΛr - YΛr

H^Shift-S =

Y⁺

Y_r,

(YΛr)2

(знаки «тильда» опущены, широкополосные поля

при этом

мы ассоциируем с окружением, отсюда индекс F ),

поскольку до сих пор описание открытой системы

1 - cosYΛr

LS+rL^Sr = 2Y⁺

Y_r.

(62)

и окружения велось в терминах вектора состояния.

^r (YΛr)²

Определяя dρS+F (t) как дифференциал Ито

В пренебрежении штарковскими взаимодействи-

ями операторы Линдблада (25) и (26) приобретают

dρS+F (t) = ρS+F (t + dτ) - ρS+F (t),

простой вид:

имеем

L^Sr = -iY_r, LS+rL^Sr = Y+rY_r, H^Shift-S = 0.

dρS+F (t) = dU(t)|ΨS+F (0)〉〈ΨS+F (0)|U^†(t) +

Заметим, что считывающие процессы Λ_r(τ), r =

= a, c, определяемые независимыми шумовыми ис-

+ U(t)|ΨS+F(0)〉〈ΨS+F(0)|dU^†(t)+

точниками, рождающий и уничтожающий процес-

+ dU(t)|ΨS+F (0)〉〈ΨS+F (0)|dU^†(t),

сы которых не участвовали во взаимодействии с от-

крытой системой, не дали вклада в кинетические

откуда с учетом (56) можно получить искомое урав-

уравнения (59), (60), в отличие от столкновитель-

нение для матрицы плотности открытой системы и

ной атомной динамики в модели [138].

ее «термостатного» окружения. Из него следует ки-

Уравнения

(59)-(62), по сути дела, являют-

нетическое уравнение для матрицы плотности ρ^S (t)

ся общими уравнениями (невинеровского типа)

открытой квантовой системы после взятия следа

в марковском приближении, описывающими раз-

Tr_F по состояниям окружения с учетом соотноше-

личные открытые системы, содержащие атом-

ний

ную/электронную подсистему и находящиеся в бо-

(

)

(

)

зонном широкополосном окружении. При этом в ди-

Tr_F ρS+F(t)dBr(τ)

= Tr_F ρS+F (t)dB+r (τ)

(

)

намике открытой системы существенную роль иг-

= Tr_F ρS+F (t)dΛ_r(τ)

= 0.

рают взаимодействия типа штарковского, которые

999

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

отражаются в наличии невинеровских множителей

ференционных процессов. Один класс определяет

(57) и обусловливают своеобразие невинеровской ди-

интерференционный канал релаксации. В рассмот-

намики. Взаимодействия типа штарковского имеют

ренном примере он состоит из релаксации кванто-

второй порядок малости по константе связи с ши-

вого осциллятора в термостат для атомов. Другой

рокополосным полем, и их роль возрастает с рос-

класс состоит в интерференции процессов излуче-

том числа частиц в атомной/электронной подсисте-

ния и переизлучения в случае коллективного тер-

ме независимо от аналогичного роста процессов пер-

мостата.

вого порядка по константе связи с широкополосным

Выявленная перенормировка константы релак-

полем [111, 115-122].

сации открытой системы и есть результат своеоб-

Уравнения (59)-(62) в случае одного шумового

разной интерференции процессов реального излу-

источника (ω_a) или (ω_c) совпадают с уравнением

чения кванта, определяющего HTr(r), и процесса

общей квантовой динамики, управляемой рождаю-

виртуального переизлучения кванта, определяюще-

щим, уничтожающим и считывающим процессами,

го HStark(r). В коллективном термостате конкури-

полученным в [136] из общих соображений, безотно-

руют, казалось бы, несоразмерные процессы первого

сительно к физике открытой квантовой системы.

и второго порядков алгебраической теорией возму-

Невинеровские множители (57) отличают урав-

щений, но все же процесс второго порядка облада-

нения (59)-(62) от других [11, 58-60]. В многоатом-

ет считывающим свойством и «встраивается» в про-

ных локализованных системах или подсистемах они

цессы первого порядка. Это нашло отражение имен-

проявляются в зависимости от числа одинаковых

но в такой перенормировке константы γ.

частиц N_p коэффициента эффективной константы

Другим следствием взаимодействия системы

связи γ. Пусть γ определяет, например, экспонен-

одинаковых квантовых частиц с коллективным тер-

циальную релаксацию вида exp(-γτ), населенности

мостатом является перепутывание квантовых состо-

квантового уровня системы (модель резонансного

яний [120,121,141,142] в рождающем и уничтожаю-

взаимодействия локализованного ансамбля одина-

щем процессе, проявление в котором считывающего

ковых двухуровневых систем [122-124]). Учет счи-

процесса пока не исследовано.

тывающего процесса, согласно (59)-(62), приводит

к перенормировке

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 - cos(γ⁽²⁾N_p)

γ → 2γ

(γ⁽²⁾N_p)²

Алгебраическая теория возмущений дает путь

где γ⁽²⁾ ≪ γ определяет масштаб величины штар-

решения проблемы локального подхода, связанной

ковскиого взаимодействия с шумовым источником.

с соотношением времени корреляции случайных по-

Возможна такая идеализированная ситуация, когда

лей, моделирующих термостат, и наличием быстро-

γ⁽²⁾N_p = 2π и коллективные процессы второго по-

переменных слагаемых в оптических системах, ха-

рядка полностью подавят процессы первого порядка

рактерное время изменения которых много меньше

[110, 115, 122-127]!

времени корреляции шумовых полей. При этом воз-

В рассмотренной модели у квантового осцилля-

никают новые аспекты, которые не учитывались ра-

тора два канала релаксации (ω_a) и (ω_c). Такой мно-

нее без применения алгебраической теории возму-

житель будет существенным для распада квантово-

щений. Важным следствием переосмысления урав-

го осциллятора в термостат для атомов, посколь-

нения Шредингера как квантового стохастическо-

ку его роль зависит от числа атомов N_p. В канале

го уравнения является необходимость учета слага-

взаимодействия осциллятора со своим термостатом

емых более высокого порядка в открытых оптиче-

«N_p = 1». Для возрастания роли подобного множи-

ских системах, поскольку именно они ответственны

теля необходим ансамбль одинаковых квантовых ос-

за своеобразный новый тип интерференции. Нако-

цилляторов, в котором N_p > 1 [126]. Другая возмож-

нец, квантовое стохастическое уравнение (56), ко-

ность — прямое взаимодействие атомов с термоста-

торое получается в рамках алгебраической теории

том для микрорезонатора. В оценке реальной ситуа-

возмущений, является универсальным [98], управ-

ции необходимо помнить также о сделанном марков-

ляется всеми основными квантовыми случайными

ском приближении и процедуре введения квантовых

процессами — рождающим, уничтожающим и счи-

случайных процессов.

тывающим [132-137], чего нет в подходах [11,59,60].

Алгебраическая теория возмущений выявила в

Глобальный подход на основе непрерывного уни-

открытых системах два своеобразных класса интер-

тарного преобразования оказался успешным в слу-

1000

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

чае электрон-фононных систем [143] и даже модели

ЛИТЕРАТУРА

синус-Гордон [144], однако его применения к опти-

H. Carmichael, An Open Systems Approach to Quan-

ческим системам до сих пор неизвестны и как ре-

tum Optics, Springer-Verlag, Berlin (1993).

шается проблема нулевого времени корреляции бе-

лого шума и наличия еще «меньшего» характер-

H. J. Carmichael, Statistical Methods in Quantum

ного времени оптической системы автор не знает.

Optics 2. Non-Classical Fields, Springer-Verlag, Ber-

Заметим также, что уравнение движения для га-

lin (2008).

мильтонианов (9) есть локальный вариант преобра-

G. Compagno, R. Passante, and F. Persico,

зования Шриффера - Волфа [145], использующего

Atom-Field Interactions and Dressed Atoms, CUP,

проектирование на интересуемое подпространство.

Cambridge (1995).

Здесь имеется глубокая связь с методом Цванцига -

Y. Yamamoto and A. Imamoglu, Mesoscopic Quan-

Мори получения кинетических уравнений [146-150].

tum Optics, Wiley, New York (1999).

Помимо родственного метода усреднения Кры-

лова - Боголюбова - Митропольского у развиваемо-

Л. Мандель, Э. Вольф, Оптическая когерент-

ность и квантовая оптика, Физматлит, Москва

го метода есть и другие аналоги. В классической

(2000).

механике аналогом является теория возмущений

на основе сверхсходящихся рядов (см., например,

В. П. Шляйх, Квантовая оптика в фазовом про-

[151,152]). В дифференциальной геометрии — это

странстве, Физматлит, Москва (2005).

теория эквивалентности дифференциальных струк-

P. Lambropoulos and D. Petrosyan, Fundamentals of

тур [153]. В теории дифференциальных уравнений —

Quantum Optics and Quantum Information, Sprin-

метод канонического оператора Маслова [154, 155].

ger-Verlag, Berlin (2007).

Известен также метод Магнуса [156,157], однако в

основу выделения слагаемых часто берутся сообра-

A. B. Klimov and S. M. Chumakov, A Group-Theo-

retical Approach to Quantum Optics. Models of

жения симметрии, а не отсутствие быстро меняю-

Atom-Field Interactions, Wiley (2009).

щихся во времени слагаемых. Метод Флоке в соче-

тании с методом Магнуса используется для постро-

O. Keller, Quantum Theory of Near-Field Electrody-

ения усредненных гамильтонианов в задачах, учи-

namics, Springer-Verlag, Berlin (2011).

тывающих дополнительные воздействия на систему

10.

R. Chiao and J. Garrison, Quantum Optics, OUP,

периодических классических полей [158]. Наконец,

New York (2008).

укажем адиабатическую теорию возмущений, так-

же успешно использующую унитарное преобразова-

11.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

ние гамильтониана [159].

ger-Verlag, Berlin (2000), (2004).

Наличие не только внешних, но и глубоких ана-

12.

R. R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Op-

логий изложенного подхода с методами других мно-

tics, Springer, Berlin (2001).

гочастичных задач служит, по-видимому, косвен-

13.

D. Dubbers and H.-J. Stöckmann, Quantum Physics:

ным свидетельством в пользу необходимости пе-

The Bottom-Up Approach. From the Simple Two-Le-

рехода от точного гамильтониана к эффективно-

vel System to Irreducible Representations, Springer,

му, во всяком случае, если речь идет о марковском

Berlin (2013).

приближении. В случае оптических систем это уда-

лось физически обосновать. Аналогичную ситуацию

14.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 137, 1090 (2010).

можно увидеть и в теории сверхпроводимости, од-

15.

В. П. Карасев, ТМФ 95, 3 (1993).

нако вместо обсуждения здесь сошлемся лишь на

нобелевскую лекцию Лафлина [160].

16.

V. P. Karassiov, J. Phys. A 27, 153 (1994).

17.

C. W. Gardiner, Optics Comm. 243, 57 (2004).

Благодарности. Автор выражает благодар-

18.

A. A. Dzhioev and D. S. Kosov, J. Chem. Phys. 134,

ность А. И. Маймистову и А. И. Трубилко за по-

044121 (2011).

лезные обсуждения, сотрудничество и поддержку.

19.

Y. J. Yan, J. Chem. Phys. 140, 054105 (2014).

Финансирование. Работа выполнена при

частичной финансовой поддержке Российского

20.

R. Kh. Gainutdinov, D. G. Blum, A. Shirdelhavar,

фонда фундаментальных исследований (грант

and A. A. Mutygullina, J. Phys.: Conf. Ser. 1283,

№19-02-00234а).

012005 (2019).

1001

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

21.

A. Ghosh, S. S. Sinha, and D. S. Ray, Phys. Rev.

45.

D. Grischkowsky, М. М. T. Loy, and P. F. Liao, Phys.

E 86, 011138 (2012).

Rev. A 12, 2514 (1975).

22.

К. В. Гардинер, Стохастические методы в есте-

46.

В. А. Коварский, Е. Ю. Перлин, ФТТ 13, 1217

ственных науках, Мир, Москва (1986).

(1970).

47.

С. Д. Ганичев, С. А. Емельянов, Е. Л. Ивченко,

23.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

Е. Ю. Перлин, И. Д. Ярошецкий, Письма в ЖЭТФ

24.

R. P. Feynman, F. L. Vernon, Jr., and R. W. Hell-

37, 479 (1983).

warth, J. Appl Phys. 28, 49 (1957).

48.

С. Д. Ганичев, С. А. Емельянов, Е. Л. Ивченко,

25.

Л. Аллен, Д. Эберли, Оптический резонанс и

Е. Ю. Перлин, Я. В. Терентьев, А. В. Федоров,

двухуровневые атомы, Мир, Москва (1978).

И. Д. Ярошецкий, ЖЭТФ 91, 1233 (1986).

49.

Е. Ю. Перлин, A. B. Федоров, М. Б. Кашевник,

26.

J. H. Van Vleck, Phys. Rev. 33, 467 (1929).

ЖЭТФ 85, 1357(1983).

27.

Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волно-

50.

Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Введение в

вых полей, ОГИЗ ГИТТЛ, М.-Л. (1947), §§ 10,14.

нелинейную механику (переиздание книги 1937 г.)

28.

В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, Изд-во

РХД, Москва (2004).

иностр. лит., Москва (1956).

51.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимп-

тотические методы в теории нелинейных коле-

29.

Дж. Д. Бьеркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская

баний, Физматгиз, Москва (1958).

квантовая теория, Наука, Москва (1978), Т. 1,

Гл. 4.

52.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

30.

J. da Providencia and C. M. Shakin, Ann. Phys. 30,

света с веществом, Наука, Москва (1977).

95 (1964).

53.

А. М. Башаров, А. И. Маймистов, Э. А. Маныкин,

31.

M. Yamamura and А. Kuriyama, Prog. Theor. Phys.

ЖЭТФ 84, 487 (1983).

Suppl. 93 (1987).

54.

А. М. Башаров, Фотоника, Метод унитарно-

32.

M. Wagner, Unitary Transformations in Solid State

го преобразования в нелинейной оптике, МИФИ,

Physics, Elsevier (1986).

Москва (1990).

33.

Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус, Симметрия и дефор-

55.

А. В. Иванова, Г. Г. Меликян, Хим. физ. 3, 297

мационные эффекты в полупроводниках, Наука,

(1983).

Москва (1972).

56.

A. V. Ivanova and G. G. Melikyan, J. Phys. B 18,

34.

M. Takatsuji, Phys. Rev. 155, 980 (1967).

557 (1985).

35.

M. Takatsuji, Phys. Rev. B 2, 340 (1970).

57.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 102, 1126 (1992).

36.

M. Takatsuji, Phys. Rev. A 4, 808 (1974).

58.

К. Блум, Теория матрицы плотности и ее при-

ложения, Мир, Москва (1983).

37.

M. Takatsuji, Phys. Rev. 11, 619 (1975).

59.

Х.-П. Бройер, Ф. Петруччионе, Теория открытых

38.

F. Jørgensen, Molec. Phys. 29 (4), 1137 (1975).

квантовых систем, Институт компьютерных ис-

следований, Москва (2010).

39.

G. Compagno and F. Persico, Phys. Rev. A 25, 3138

(1982).

60.

L. Accardi, Y. G. Lu, and I. Volovich, Quantum

Theory and its Stochastic Limit, Springer-Verlag,

40.

G. Compagno, J. S. Peng, and F. Persico, Opt.

Berlin (2002).

Commun. 57, 415(1986).

61.

V. N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods

41.

V. Denner and M. Wagner, J. Phys. C 17, 153 (1984).

in Nonlinear Perturbation Theory, Springer (1991).

42.

V. Denner and M. Wagner, Z. Phys. B58, 255 (1985).

62.

Ю. Швингер, Квантовая кинематика и динами-

ка, Наука, Москва (1992).

43.

C. A. Coulter, Phys. Rev. A 10, 1946 (1974).

63.

J. Schwinger, Quantum Mechanics. Symbolism of

44.

M. Wagner and J. Vazquez-Marquez, J. Phys.:

Atomic Measurement, Springer-Verlag, Berlin, Hei-

Condensed Matter 2, 5943 (1990).

delberg (2001).

1002

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

«Глобальный» и «локальный» подходы. . .

64.

G. Lindblad, Commun. Math. Phys. 40, 147 (1975);

87.

А. В. Андреев, В. И. Емельянов, Ю. А. Ильинский,

48, 119 (1976).

Кооперативные явления в оптике, Наука, Москва

(1988).

65.

V. Gorini, A. Kossakowski, and E. C. G. Sundarsham,

J. Math. Phys. 17, 821 (1976).

88.

M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,

I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radiance:

66.

A. S. Holevo, J. Math. Phys. 37, 1812 (1996).

Multiatomic Coherent Emission, IOP, Bristol and

Philadelphia (1996).

67.

A. S. Holevo, Irreversibility and Causality, Lecture

Notes in Phys. 504, 67, Springer, Berlin (1998).

89.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear

Optical Waves, Kluwer Academic, Dordrecht (1999).

68.

A. Barchielli and V. P. Belavkin, J.Phys. A 24, 1495

(1991).

90.

P. Langevin, C. R. Acad. Sci. (Paris) 146, 530 (1908).

69.

D. Keys and J. Wehr, J. Math. Phys. 61, 032101

91.

A. Levy and R. Kozloff, Europhys. Lett. 107, 20004

(2020).

(2014).

70.

A. E. Teretenkov, Infinite Dimensional Analysis,

92.

Л. A. Халфин, ДАН СССР 115, 277 (1957).

Quantum Probability and Related Topics, 22, N 04,

1930001 (2019).

93.

Л. A. Халфин, ЖЭТФ 33, 1371 (1958).

71.

F. Wegner, Ann. Phys. 3, 77 (1994).

94.

H. Haas, D. Puzzuoli, F. Zhang, and D. G. Cory, New

J. Phys. 21, 103011 (2019).

72.

S. D. Glazek and K. G. Wilson, Phys. Rev. D 48,

5863 (1993).

95.

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Gryn-

berg, Photons and Atoms. Introduction to Quantum

73.

S. D. Glazek and K. G. Wilson, Phys. Rev. D 49,

Electrodynamics, Wiley, New York (1997).

4214 (1994).

96.

P. P. Hofer, M. Perarnau-Llobet, L. D. M. Miranda,

74.

N. Bogolubov, J. Phys. 9, 23 (1947).

G. Haack, R. Silva, J. B. Brask, and N. Brunner, New

J. Phys. 19, 123037 (2017).

75.

Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков,

Новый метод в теории сверхпроводимости, Изд.

97.

A. S. Trushechkin and I. V. Volovich, EPL 113, 30005

АН СССР, Москва (1958).

(2016).

76.

M. Takatsuji, Physica A 84, 68 (1976).

98.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

77.

Х. Умэдзава, Х. Мацумото, М. Татики, Термопо-

99.

Н. Н. Розанов, Диссипативные оптические соли-

левая динамика и конденсированные состояния,

тоны. От микро- к нано- и атто-, Физматлит,

Мир, Москва (1985).

Москва (2011).

78.

А. М. Башаров, С. А. Дубовис, Опт. и спектр. 99,

100.

A. I. Maimistov and S. O. Elyutin, J. Mod. Opt. 39,

607 (2005).

2201 (1992).

79.

А. М. Башаров, С. А. Дубовис, КЭ 35, 683 (2005).

101.

А. В. Андреев, Phys. Lett. A 179, 23 (1993).

80.

S. A. Dubovis and A. M. Basharov, Phys. Lett.

102.

А. Ю. Пархоменко, С. В. Сазонов, ЖЭТФ 114,

A 359, 308 (2006).

1595 (1998).

81.

А. М. Башаров, Опт. и спектр. 128, 186 (2020).

103.

А. В. Андреев, С. Ю. Стремоухов, О. А. Шутова,

82.

C. M. Bender, Rep. Prog. Phys. 70, 947 ((2007).

Письма в ЖЭТФ 93, 522 (2011).

83.

I. Rotter, J. Phys. A 42, 153001 (2009).

104.

E. T. Jaynes and F. W. Cummings, Proc. IEEE 51,

89 (1963).

84.

М. М. Альперин, Я. Д. Клубис, А. И. Хижняк,

Введение в физику двухуровневых систем, Науко-

105.

M. Tavis and F. W. Cummings, Phys. Rev. 170, 379

ва Думка, Киев (1982).

(1968).

85.

Дж. Займан, Современная квантовая теория,

106.

B. W. Shore and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195

Мир, Москва (1971).

(1993).

86.

L. Lang, K. Sivalingam, and F. Neesea, J. Chem.

107.

M. Chaichian, D. Ellinas, and P. Kulish, Phys. Rev.

Phys. 152, 014109 (2020).

Lett. 65, 980 (1990).

1003

А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

108.

M. Schiirmann, Commun. Math. Phys. 140, 589

134.

R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm.

(1991).

Math. Phys. 93, 301 (1984).

109.

I. P. Vadeiko, G. P. Miroshnichenko, A. V. Rybin,

135.

В. П. Белавкин, ТМФ 110, 46 (1997).

and J. Timonen, Phys. Rev. A 67, 053808 (2003).

136.

А. С. Холево. Квантовая вероятность и кванто-

110.

A. Messinger, A. Ritboon, F. Crimin, S. Croke, and

вая статистика. Итоги науки и техн. Совр. про-

S. M. Barnett, New J. Phys. 22, 043008 (2020).

бл. математики. Фунд. Направления, ВИНИТИ

83, 3 (1991).

111.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

137.

A. Barchielli, Phys. Rev. A 34, 1642 (1986).

112.

A. M. Basharov, V. N. Gorbachev, and A. A. Rodich-

kina, Phys. Rev. A 74, 042313 (2006).

138.

A. N. Pechen, J. Math. Phys. 45, 400 (2004).

113.

А. М. Башаров, В. Н. Горбачев, Н. В. Знаменский,

139.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 111, 25 (1997).

КЭ 36, 785 (2006).

140.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 153, 375 (2018).

114.

A. M. Basharov, Phys. Lett. A 376, 1881 (2012).

141.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 75, 151 (2002).

115.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 157, 74

142.

L. Aolita, F. de Melo, and L. Davidovich, Rep. Prog.

(2020).

Phys. 78, 042001 (2015).

116.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

143.

P. Lenz and F. Wegner, Nucl. Phys. В 482, 693

110, 505 (2019).

(1996).

117.

A. I. Trubilko and A. M. Basharov, Phys. Scr. 95,

144.

S. Kehrein, Nucl. Phys. B 592, 512 (2001).

045106 (2020).

145.

S. Bravyi, D. P. DiVincenzo, and D. Loss, Ann. Phys.

118.

В. Н. Горбачев, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 135, 227

326, 2793 (2011).

(2009).

146.

R. Zwanzig, J. Chem. Phys. 33, 1338 (1960).

119.

А. И. Трубилко, ЖЭТФ 141, 659 (2012).

147.

R. Zwanzig, Phys. Rev. 124, 985 (1961).

120.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 121, 1249 (2002).

148.

H. Mori, Progr. Theor. Phys. 34, 765 (1965).

121.

А. М. Башаров, А. А. Башкеев, Э. А. Маныкин,

149.

H. Mori, Progr. Theor. Phys. 33, 423 (1965).

ЖЭТФ 127, 536 (2005).

150.

R. Zwanzig, Ann. Rev. Phys. Chem. 16, 67 (1965).

122.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 140, 431 (2011).

151.

А. Лихтенберг, М. Либерман, Регулярная и сто-

123.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 107, 151 (2018).

хастическая механика, Мир, Москва (1984).

124.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 425

152.

S. Ferraz-Mello, Canonical Perturbation Theories.

(2019).

Degenerate Systems and Resonance, Springer

Science+Business Media, New York (2007).

125.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 654

(2019).

153.

R. B. Gardner, The Method of Equivalence and

its Applications, Society for Industrial and Applied

126.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

Mathematics, Philadelphia (1989).

111, 632 (2020).

154.

В. П. Маслов, Операторные методы, Наука,

127.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 157, 991

Москва (1973).

(2020).

155.

А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов,

128.

P. W. Milonni, The Quantum Vacuum, Academic

Лагранжевы многоообразия и метод каноническо-

Press, Boston (1994).

го оператора, Наука, Москва (1978).

156.

W. Magnus, Comm. Pure Appl. Math. 7, 649 (1954).

129.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 116, 469 (1999).

157.

S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, and J. Ros, Phys.

130.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 156, 407

Rep. 470, 151 (2009).

(2019).

158.

Р. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в од-

131.

M. Lax, Phys. Rev. 145, 110 (1966).

ном и двух измерениях, Мир, Москва (1990).

132.

A. M. Chebotarev, Lectures on Quantum Probability,

159.

S. Teufel, Adiabatic Perturbation Theory in Quantum

Sociedad Mathematica Mexicana (2000).

Dynamics, Springer, Berlin (2003).

133.

В. П. Белавкин, УМН 47, 47 (1992).

160.

Р. Б. Лафлин, УФН 170, 292 (2000).

1004