ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1032-1038

ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ РЕЗОНАНСНОМ

КОМПТОНОВСКОМ РАССЕЯНИИ ФОТОНА АТОМОМ

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский^*, И. Д. Петров, Р. В. Конеев

Ростовский государственный университет путей сообщения

344038, Ростов-на-Дону, Россия

Поступила в редакцию 4 июня 2020 г.,

после переработки 24 июня 2020 г.

Принята к публикации 25 июня 2020 г.

Теоретически предсказаны лидирующая роль и эффект угловой анизотропии тормозного излучения при

резонансном комптоновском рассеянии жесткого рентгеновского фотона атомом.

DOI: 10.31857/S0044451020120020

результаты будут востребованы, в частности, при

интерпретации Kα, β-спектров рентгеновской эмис-

сии от горячих астрофизических объектов (см., на-

1. ВВЕДЕНИЕ

пример, [5]).

Экспериментальному и теоретическому исследо-

ванию одного из фундаментальных в микромире

2. ТЕОРИЯ

процессов резонансного комптоновского рассеяния

фотона атомом в области энергий порогов иониза-

Рассмотрим процесс резонансного комптоновско-

ции его глубоких оболочек посвящено большое ко-

го рассеяния фотона атомом Ne:

личество работ (см., например, [1, 2] и ссылки там).

(₁

)

(₁

)

В работе авторов [3] формально математически пол-

ω + [0] → Q

P₁

→ 2p5jεp

S₀,¹D₂

+ω_C,

(1)

ный нерелятивистский вариант квантовой теории

этого процесса [1] впервые конкретизирован на слу-

(₁

)

чай учета амплитуды вероятности тормозного излу-

P₁

1sxp, 2p5jx(s, d).

(2)

чения в жестком рентгеновском диапазоне конеч-

В (1) и ниже принята атомная система единиц

ных состояний рассеяния. Как результат, установ-

лено, что при энергиях падающего на атом фото-

(ℏ = e = m_e = 1), ω (ω_C) — энергия падающего (рас-

сеянного) фотона, ω ≥ I1s (энергия порога иониза-

на, намного превышающих энергию порога иониза-

ции 1s-оболочки), x (ε) — энергия электрона сплош-

ции глубокой оболочки, эффект тормозного излуче-

ного спектра промежуточного (конечного) состоя-

ния доминирует над эффектом рентгеновской Kα-

ния рассеяния, j = 1/2, 3/2, Q — промежуточные

эмиссии. В данной работе мы дополняем результа-

ты [3] теоретическим предсказанием и анализом эф-

(виртуальные) состояния ионизации атома,¹S₀,¹P₁,

¹D₂ — результирующие термы состояний рассеяния,

фекта угловой анизотропии тормозного излучения и

даем более детальное изложение теории процесса. В

заполненные оболочки конфигураций атома не ука-

заны. Формально определенный терм¹P₁ конечного

качестве объекта исследования взят атом неона (Ne;

заряд ядра Z = 10, конфигурация и терм основного

состояния рассеяния исключается требованием ин-

[

]

вариантности интеграла Гаунта [6] при преобразова-

состояния [0] = 1s²2s²2p⁶

¹S₀

). Выбор объекта ис-

нии инверсии (сохранение четности фиксированного

следования обусловлен сферической симметрией ос-

состояния перехода [7]).

новного состояния Ne и его доступностью в газовой

Амплитуда вероятности процесса (1) рассмот-

фазе для проведения высокоточных экспериментов,

например, с рентгеновским лазером на свободных

рена нами в одноконфигурационном приближении

Хартри - Фока для полных волновых функций со-

электронах [4]. Следует ожидать, что полученные

стояний рассеяния. Учитываемые парциальные ам-

^* E-mail: amnrnd@mail.ru

плитуды вероятности рассеяния в представлении

1032

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Тормозное излучение при резонансном комптоновском рассеянии. . .

тичного по электромагнитному полю) контактного

взаимодействия (рис. 1г) не учитывалась, поскольку

в исследуемых областях энергий падающего и рас-

сеянного фотонов она на порядок (и более) меньше

амплитуд вероятности рассеяния из (1).

Конкретизируем аналитическую структуру ам-

плитуд вероятности процессов эмиссии (рис. 1a)



∫

∞



0RXS XSRXP

(3)

ω-I

1s - x + iγ1s

и тормозного излучения (рис. 1б)



∫

∞



0RΦl ΦlRXP

B_l =

(4)

ω-I

2pj - x + iγ2pj

по оператору радиационного перехода в дипольном

Рис. 1. Амплитуда вероятности процесса резонансного

приближении

комптоновского рассеяния фотона многоэлектронным ато-

мом (Ne) в представлении диаграмм Фейнмана: a — ам-

плитуда вероятности Kα-эмиссии, б — амплитуда веро-

∑∑∑

(

)

ятности тормозного излучения, в — амплитуда вероятно-

(p_n · ekρ) a†kρ + a^-

(5)

kρ

сти спонтанного возбуждения основного состояния атома,

n=1

k ρ=1,2

г — амплитуда вероятности контактного рассеяния. Стрел-

ка вправо — электрон сплошного спектра, стрелка влево —

В (5) c — скорость света в вакууме, N — число элект-

вакансия (1s, 2p, j = 1/2, 3/2). Двойная линия — состоя-

ронов в атоме, сделана замена exp [±i (k · r_n)] → 1,

ние получено в хартри-фоковском поле 1s-вакансии. Чер-

p_n (r_n) — векторный оператор импульса (ради-

ный (светлый) кружок — вершина взаимодействия по опе-

ус-вектор) n-электрона атома, ekρ — единичный век-

ратору радиационного (контактного) перехода. ω (ωC) —

тор поляризации, k — волновой вектор, a†kρ (a-kρ) —

падающий (рассеянный) фотон, ω ≥ I1s. Направление вре-

оператор рождения (уничтожения) фотона. В (3)

мени — слева направо (t1 < t2)

и (4) I1s(I2pj ) — энергия порога ионизации, γ

(γ2pj ) — естественная полуширина распада 1s (2p_j)-

вакансии и определены полные волновые функции

диаграмм Фейнмана даны на рис. 1а,б. Для опи-

состояний рассеяния:

сания амплитуды вероятности перехода (1) принят

второй порядок теории возмущений по постоянной



тонкой структуры. При этом по аналогии с при-

|0〉 = |ω〉 ⊗

^0,¹S₀

(6)



ближением Тамма - Данкова [8, 9] (вне рамок тео-

|X_S 〉 = |0_f 〉 ⊗

^1sxp,¹P₁, M^′

(7)

рии возмущений предположение об исчезающе ма-



2p5

|Φ_l〉 = |0_f 〉 ⊗

xl,¹P₁, M^′

,l = 0,2,

(8)

лом вкладе в полную амплитуду вероятности рас-



сеяния состояний с числом виртуальных частиц,

|X_P 〉 = |ω_C 〉 ⊗

^2p5jεp, LSJ, M^′

(9)

превышающим фиксированное значение m₀) учтены

где |0_f 〉 — волновая функция фотонного вакуума,

лишь амплитуды вероятности рассеяния с не пре-

|ω〉 (|ω_C 〉) — волновая функция падающего (рассеян-

вышающим фиксированного значения числом фото-

ного) фотона в представлении вторичного квантова-

нов, электронов и вакансий в рассечениях соответ-

ния, проекция полного момента (J^′ = 1) промежу-

ствующих диаграмм Фейнмана m₀ = 2. Например,

точного состояния рассеяния M^′ = -1, 0, 1, LSJ =

амплитуда вероятности рассеяния через спонтанное

=¹S₀,¹D₂ и M — проекция полного момента J ко-

возбуждение основного состояния атома (рождение

нечного состояния рассеяния.

1s-вакансии, xp-электрона сплошного спектра энер-



На примере матричного элемента

0R

гий и рассеянного фотона до момента времени по-

XS из-

глощения падающего фотона) на рис. 1в отброшена

ложим способ получения матричных элементов в (3)

в силу неравенства m = 4 > m₀. Амплитуда вероят-

и (4) методами алгебры операторов рождения (уни-

ности рассеяния по оператору нелинейного (квадра-

чтожения) фотонов и теории неприводимых тензор-

1033

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

ных операторов [10, 11]. Учитывая матричные эле-

Вычисляя оставшиеся матричные элементы в (3)

менты операторов рождения и уничтожения и фор-

и (4), для полной амплитуды вероятности рассеяния

мулы (5)-(7), имеем

с фиксированными M^′-, M-проекциями и LSJ-тер-

мом в (7)-(9) получаем



⁽ 2π )1/2

√

0R

∑

XS

2π

Vω

A+

B_l = -

√

Ψ_JMM′K,

(17)

(

)

3ωω_C



× 0,¹S₀ e1 ·

1sxp,¹P1,M′

(10)

где V — объем квантования электромагнитного по-

∑

ля, e₁ — единичный вектор поляризации падающего

Ψ_JMM′ = C(1)M′ (e1)

(-1)ρ+1-M′ C(1)-ρ (e₂) ×

фотона и

ρ=-1

∑

(

)

P = p_n

(11)

(18)

n=1

−M^′ ρ M

— оператор радиационного перехода в форме скоро-

сти. С целью работы с простейшей математической

∑

формой оператора радиационного перехода (форма

K₁

K₂

K =

(19)

радиуса) учтем связь

Δ₁ + iγ1s

Δ₂ + iγ2p



K₁ = -√

αω_j (ε + I1s) 〈1s|r|εp〉〈1s|r|2p〉 ,

(20)

Pγ′

= i(E_γ - E_γ′) γDγ′

(12)

∑

K₂ = 2iβ_lε (ε + I2p)〈2p|r|εl〉,

(21)

D₌ r_n,

(13)

LSJ =¹S₀ : α = 1, β₀ = 1/3, β₂ = 2/3,

(22)

n=1

√

где E

— полные энергии состояний перехода.

LSJ =¹D₂ : α =

При этом известное расхождение форм радиуса и

√

(23)

β₀ =

5/3, β₂ = 1/

15,

скорости в одноконфигурационном приближении

Хартри - Фока [12] может быть снято, например,

Δ₁ = ω - ε - I1s, Δ₂ = ω - ε - I2pj, ω_j = I1s - I2pj

переходом к многоконфигурационному приближе-

и e₂ — единичный вектор поляризации рассеянного

нию Хартри - Фока при описании полных волновых

фотона.

функций состояний рассеяния. Решение этой задачи

При расчете сингулярных интегралов 〈xp|εp〉 и

является предметом будущих исследований. Рас-

〈xl|r|εp〉 для радиальных частей волновых функ-

смотрим представление скалярного произведения

ций электронов сплошного спектра принято при-

(

√

)

разложением по сферическим функциям,

ближение плоских волн: |x〉= sin

. Радиаль-

ные части волновых функций электронов сплошно-

∑

го спектра в интегралах 〈1s|r|εp〉 и 〈2p|r|εl〉 получе-

e₁ · r_n =

(-1)^m C(1)-m (e₁) C(1)m (e_n) r_n,

(14)

m=-1

ны решением уравнений Хартри - Фока для соответ-

ствующих конфигураций однократных ионов.

и определим оператор дипольного перехода m-муль-

Функция (18) определяет зависимость дважды

типольности как

дифференциального сечения процесса (1) (см. ни-

∑

же) от угла рассеяния θ (угол между волновыми

Q(1)m =

C(1)m (e_n)r_n,

(15)

векторами падающего и рассеянного фотонов). В

n=1

самом деле, суммирование (18) по M^′ = -1, 0, 1 —

где e_n — единичный вектор в направлении r_n и r_n =

проекциям полного момента промежуточных состо-

яний (2) для терма¹S₀ конечного состояния рас-

= |r_n|. Тогда, учитывая теорему Вигнера - Эккарта

для матричного элемента оператора (15) из (10), по-

сеяния — согласно теореме сложения сферических

функций приводит к анизотропии амплитуды веро-

лучаем

ятности рассеяния через появление полинома Ле-



)1/2



( π

жандра первого порядка:

0R

XS

= -2i

(x + I1s) ×

3V ω

∑

P₁ (e1 ·e2) =

(-1)M′ C(1)M′ (e1) C(1)-M′ (e2) .

(24)

× C(1)M′ (e1) 〈1s|r|xp〉 .

(16)

M^′

1034

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Тормозное излучение при резонансном комптоновском рассеянии. . .

Для терма¹D₂ конечного состояния рассеяния при

B_j = b₁s2j + b₂s_jd_j + b₃d2j,

(32)

кратном суммировании («∗» — символ комплексно-

a₁ = 3.266 - 0.460μ,

(33)

го сопряжения)

a₂ = 0.652 + 1.040μ,

(34)

)

∑

(∑

)(∑

b₁ = 2.667 - 0.592μ,

(35)

Ψ2MM′

Ψ∗2MM′′

(25)

b₂ = 1.067 - 0.830μ,

(36)

M M^′

M^′′

b₃ = 0.107 + 1.150μ,

(37)

с учетом условия ортогональности 3j-символов Виг-

(

)

нера и теоремы сложения сферических функций в

Λ_j = ε_j

-1

(38)

ω_C

сечении рассеяния возникают как изотропный, так

и анизотропный вклады. Как и следовало ожидать,

где r₀ — классический радиус электрона и параметр

взаимная компенсация соответствующих радиаци-

η_j = 2 (j = 3/2), 1 (j = 1/2) воспроизводит коэф-

онному распаду сферически-симметричного состоя-

фициент ветвления k = (2j₊ + 1) / (2j_- + 1), j_± =

ния 1s-вакансии (1s → 2p_j + ω_C ) формально анизо-

= l±1/2 при фотоионизации nl4l+2j-оболочки атома.

тропных вкладов от термов¹S₀ и¹D₂ восстанавли-

Структурно сечение (28) представлено тремя слага-

вает изотропию вероятности эмиссии. Таким обра-

емыми: резонансное (при ω_C → ω_j ) слагаемое ∝ a2j

зом, анизотропия по углу рассеяния в процессе (1)

соответствует эффекту эмиссии, резонансное слага-

возникает лишь по вероятности тормозного излуче-

емое ∝ a_j A_j соответствует интерференции эффек-

ния (xl → εp + ω_C ) через рождение виртуальных

тов эмиссии и тормозного излучения и нерезонанс-

2p5jxl-состояний ионизации атома.

ное (фоновое) слагаемое ∝ B_j соответствует эффек-

Установим аналитическую структуру дважды

ту тормозного излучения.

дифференциального сечения процесса (1). Реали-

В одноэлектронной амплитуде вероятности рож-

зуем

«золотое правило» Ферми в приближении

дения 1s-вакансии из (30) структура корреляцион-

нулевой ширины распада валентной 2p_j-вакансии

ной функции

(γ2p → 0):

(

)

〈2p₀|ε_j p₊〉

|ϵ_j p〉 = N1s

|εp₊〉 - |2p₊〉

(39)

2πV

〈2p₀|2p₊〉

d³σ_j =

|F_j |² δ (ε - ε_j ) d²fdε,

(26)

N1s = 〈1s₀|1s₊〉〈2s₀|2s₊〉² 〈2p₀|2p₊〉⁶ ,

(40)

d²f =

ω2Cdω_CdΩ_C,

(27)

(2πc)³

определена методами теории неортогональных ор-

биталей [13] и учитывает эффект радиальной ре-

где число падающих на атом фотонов n = 1, |F_j |² —

лаксации состояний рассеяния в поле 1s-вакансии.

квадрат полной амплитуды вероятности процесса

Индексы «0» и «+» определены для радиальных

(1), ε_j = ω - ω_C - I2pj , Ω_C — пространственный угол

частей волновых функций электронов, полученных

вылета рассеянного фотона. Тогда, учитывая (17),

решением уравнений Хартри - Фока для конфигура-

суммируя по j = 1/2, 3/2 и интегрируя по энергии ε

ций начального состояния атома ([0]) и однократ-

электрона сплошного спектра конечного состояния

ного иона (1s₊) соответственно. Радиальные части

рассеяния, для полного (сумма по термам¹S₀ и¹D₂)

волновых функций электронов атомного остатка и

дважды дифференциального сечения процесса (1)

сплошного спектра в одноэлектронных амплитудах

из (26) получаем

вероятности рождения 2p_j-вакансии из (31) и (32)

d²σ

⁽r₀)2 ω_C ∑

≡σ⁽²⁾ =

η_jM_j,

(28)

s_j = 〈2p₀|r|ϵ_js〉,

(41)

dω_C dΩ_C

(

)

〈2s₀|ε_j s_•〉

|ϵ_j s〉 = N2p

|ε_js_•〉 - |2s_•〉

(42)

〈2s₀|2s_•〉

α_j (α_j + γ1sΛ_jA_j)

N2p = 〈1s₀|1s_•〉² 〈2s₀|2s_•〉² 〈2p₀|2p_•〉⁵ ,

(43)

M_j =

+B_jΛ2j,

(29)

(ω_C - ω_j )² + γ²

d_j = N2p 〈2p₀|r|ε_jd_•〉 ,

(44)

получены в хартри-фоковском поле

2p-вакансии

α_j = 0.816 〈1s₀|r|2p₊〉〈1s₀|r|ϵ_jp〉ω_j (ε_j + I1s),

(30)

(конфигурация 2p5•).

В (33)-(37) с учетом (24) определен аксиаль-

A_j = a₁s_j + a₂d_j,

(31)

но-симметричный (относительно направления вол-

1035

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

нового вектора падающего фотона) параметр угло-

вой анизотропии тормозного излучения:

μ = P21 (e₁ · e₂) = (e₁ · e₂)2 , μ ∈ [0,1].

(45)

Параметр μ возникает для термов¹S₀ и¹D₂. Од-

нако первые слагаемые в коэффициентах (33)-(37)

соответствуют лишь изотропному вкладу терма¹D₂

в вероятность тормозного излучения. Для экспери-

ментов с линейно поляризованными перпендикуляр-

но (e⊥1 · e⊥2 = ±1) и параллельно (e∥1 · e∥2 = cos θ)

плоскости рассеяния фотонами из (45) следует

μ = 1(⊥), cos2 θ(∥).

(46)

Плоскость рассеяния определена как плоскость,

проходящая через волновые векторы падающего и

рассеянного фотонов. Суммируя (28) по поляриза-

циям (46) в конечном и усредняя по поляризациям

в начальном состояниях рассеяния, получаем

(

)

μ=

1 + cos2 θ

(47)

для эксперимента с неполяризованными фотонами.

Параметр Λ_j из (38) в приближении γ2p → 0 вос-

производит так называемую «инфракрасную расхо-

димость» [1, 2] сечения рассеяния:

Рис. 2. Дважды дифференциальное сечение процесса ре-

lim

Λ_j = ∞ ⇒ lim σ⁽²⁾ = ∞.

(48)

ωC →0

ωC→0

зонансного комптоновского рассеяния фотона атомом Ne

для ⊥-схемы эксперимента (μ

= 1) в области ℏω

∈

Вне приближения нулевой ширины распада валент-

∈ (I1s; 11) кэВ: ℏωC = 847.1 эВ (резонанс Kα-эмиссии),

ной 2p_j-вакансии (γ2p > 0) вместо (38) имеем

штриховая кривая — учтена лишь диаграмма рис. 1a, пунк-

тирная кривая — учтена лишь диаграмма рис. 1б и ее ин-

Λ_j

Λ_j →

(49)

терференция с диаграммой рис. 1a, сплошная кривая —

1 + i(γ2p/ω_C)

суммарное сечение. Значения параметров I1s, Γ1s и I2p_j

и формально математически «инфракрасная расхо-

(j = 1/2, 3/2) см. в тексте

димость» отсутствует. При ω_C → ω (нефизический

предел) параметр Λ_j → 0 и тормозное излучение

эффектом эмиссии (рис. 1a). Вне области резонанса

«выключается» (наряду с эффектом эмиссии), что

вклад эффекта тормозного излучения в сечение рас-

воспроизводит закон сохранения энергии (ε_j ≥ 0) в

сеяния становится доминирующим [3]. С формально

процессе (1).

математической точки зрения этот результат обу-

словлен, прежде всего, появлением в амплитуде ве-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА И

роятности тормозного излучения быстро возрастаю-

ОБСУЖДЕНИЕ

щего с увеличением ω параметра (38): Λ_j

⁼ ω²/ω_C

и Λ_j

→ ∞ при ω → ∞.

Результаты расчетов представлены на рис. 2, 3.

При численном исследовании угловой анизотро-

Для параметров сечения рассеяния (28) приняты

пии тормозного излучения мы ограничились обла-

значения (в эВ) I1s = 870.210 [14], Γ1s = 2γ1s = 0.271

стью спектра рассеяния, где эффект эмиссии и его

[15] и I2pj = 23.207 (j = 1/2), 23.083 (j = 3/2) [16].

интерференция с эффектом тормозного излучения

Результаты на рис. 2 показывают следующее.

практически подавлены энергетическим знаменате-

При увеличении энергии падающего фотона от

[

]-1

5.72 кэВ до ω ≫ I1s основной вклад в сечение рассе-

лем (ω_C - ω_j)² + γ21s

в (29): M_j = B_j Λ2j. Резуль-

яния в области резонанса ω_C = ω_j дают эффект тор-

таты расчетов представлены на рис. 3. Переход от

мозного излучения (рис.1б) и его интерференция с

рис. 3a к рис. 3б демонстрирует следующее. Для

1036

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Тормозное излучение при резонансном комптоновском рассеянии. . .

Рис. 3. Индикатрисы рассеяния для атома Ne с полярным радиусом ρ = σ⁽²⁾ и полярным углом θ при фиксированных

значениях энергий падающего (ℏω = 2000 эВ) и рассеянного (ℏωC = 1907 эВ) фотонов. a (б) — не учтена (учтена) изот-

ропная часть вклада терма¹D2 в сечение рассеяния. Схема эксперимента: ⊥ (сплошные кривые), ∥ (штрихпунктирные

кривые), неполяризованные фотоны (штриховые кривые). Значения параметров I1s, Γ1s, и I2p_j (j = 1/2, 3/2) см. в тексте

соответствующих схем эксперимента учет изотроп-

ронов сплошного спектра должна происходить и в

ной части вклада терма¹D₂ (угловые коэффици-

области резонанса ω_C = ω_j. В этом случае дополни-

енты в (35), (36) и (37) при μ = 0) в сечение рас-

тельно к «фону» тормозного излучения включается

сеяния приводит к заметному уменьшению степени

его интерференция с эмиссией (∼ α_j A_j Λ_j /γ1s).

анизотропии тормозного излучения в окрестности

углов рассеяния θ = ±90^◦. В самом деле, для любых

энергий падающего и рассеянного фотонов коэф-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

фициент участия s-симметрии электрона сплошного

спектра в (35) превосходит коэффициент участия d-

Представлен нерелятивистский вариант кванто-

симметрии в (37) и, в силу неравенства 0 ≤ μ ≤ 1,

вой теории эффекта тормозного излучения при ре-

слабо зависит от μ. При этом одноэлектронные мат-

зонансном комптоновском рассеянии фотона много-

ричные элементы s_j и d_j для рассматриваемых зна-

электронным атомом. Результаты работы [3] допол-

чений энергий падающего и рассеянного фотонов

нены теоретическим предсказанием и анализом эф-

оказались величинами практически одного порядка:

фекта угловой анизотропии тормозного излучения

на рис. 3 k_j = d_j /s_j ≈ 3.3. Как результат, s-симмет-

в соответствующих схемах предполагаемого экспе-

рия электрона сплошного спектра определила за-

римента. Установлено, что степень угловой анизо-

метное увеличение степени изотропии тормозного

тропии существенно определяется конкуренцией ам-

излучения как аналога эмиссии из сферически-сим-

плитуд вероятности виртуальной ионизации 2p →

метричного состояния. Однако в случае, когда амп-

→ xs и 2p → xd валентной 2p-оболочки атома. Для

литуда вероятности ионизации 2p → εd намного

атома с зарядом ядра Z > 10 изложенная теория

(k_j ≫ 1) превосходит амплитуду вероятности иони-

рентгеновской Kα-эмиссии модифицируется, преж-

зации 2p → εs, возникает ярко выраженная анизот-

де всего, заменой дельта-функции Дирака в (26) на

ропия тормозного излучения. Например, вне облас-

спектральную функцию Коши - Лоренца,

ти эмиссии для ω = 2000 эВ, ω_C = 1907 эВ и произ-

[

]-1

вольно взятого нами значения k_j = 100 при θ = ±90^◦

δ (ε - ε_j ) → (γ2p/π) (ε - ε_j )² + γ22p

полярный радиус индикатрисы рассеяния в ∥-схеме

эксперимента составляет лишь около 2 % от поляр-

и как результат возникновением «результирующей»

ного радиуса в ⊥-схеме эксперимента. Аналогичная

естественной полуширины резонанса в M_j из (29):

конкуренция s- и d-симметрий виртуальных элект-

γ1s → γ1s + γ2p (теорема Вайсскопфа - Вигнера).

1037

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Процесс (1) рассмотрен нами в одноконфигура-

J. S. Kaastra, S. M. Kahn, R. Mewe, F. B. S. Paerels,

ционном приближении Хартри - Фока для полных

J. R. Peterson, A. P. Rasmussen, I. Sakellion, and

волновых функций состояния рассеяния. Переход

C. de Vries, Astron. Astrophys. 365, L324 (2001).

к многоконфигурационному приближению Хартри -

J. A. Gaunt, Phil. Trans. Roy. Soc. A 228, 151 (1929).

Фока позволит учесть, помимо состояний Q из (2),

дополнительные каналы виртуального возбуждения

L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Mo-

(ионизации) атома. Следует ожидать, что в резуль-

mentum in Quantum Physics, Addison-Wesley Publ.

Comp. (1981).

тате будет дано теоретическое описание, в част-

ности, эффекта так называемого «поляризацион-

Ig. Tamm, J. Phys. (USSR) 9, 449 (1945).

ного тормозного излучения», аналогичного тако-

вому при рассеянии заряженной частицы атомом

S. M. Dancoff, Phys. Rev. 78, 382 (1950).

[17]. Наконец, заметим следующее. Параметр μ из

10.

I. I. Sobel’man, An Introduction to the Theory of

(45) формально математически воспроизводит па-

Atomic Spectra, Pergamon Press, Oxford (1972).

раметр угловой анизотропии упругого томсоновско-

го, аномально-дисперсионного (рэлеевского) [18] и

11.

А. П. Юцис, А. Ю. Савукинас, Математические

нерезонансного комптоновского [2] рассеяния фото-

основы теории атома, Минтис, Вильнюс (1973).

на атомом.

12.

M. Ya. Amusia and N. A. Cherepkov, Case Stud.

Atom. Phys. 5, 47 (1975).

ЛИТЕРАТУРА

13.

A. P. Jucys, E. P. Našlěnas, and P. S.

Žvirblis, Int. J.

Quant. Chem. 6, 465 (1972).

1. T.

Åberg and J. Tulkki, in Atomic Inner-Shell

Physics, ed. by B. Crasemann, Plenum, New York

14.

L. Pettersson, J. Nordgren, L. Selander, C. Nordling,

(1985), Ch. 10, pp. 419-463.

and K. Siegban, J. Electr. Spectr. Rel. Phenom. 27,

29 (1982).

2. P. P. Kane, Phys. Rep. 218, 67 (1992).

15.

M. Coreno, L. Avaldi, R. Camilloni, K. C. Prince,

3. А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Пет-

M. de Simone, J. Karvonen, R. Colle, and S. Simo-

ров, Письма в ЖЭТФ 111, 61 (2020).

nucci, Phys. Rev. A 59, 2494 (1999).

4. R. Obaid, Ch. Buth, G. L. Dacovski, R. Beerwerth,

16.

N. Nrisimhamurty, G. Aravind, P. C. Deshmukh, and

M. Holmes, J. Aldrich, M.-F. Lin, M. Minitti,

S. T. Manson, Phys. Rev. A 91, 013404 (2015).

T. Osipov, W. Schlotter, L. S. Cederbaum, S. Fri-

tzsche, and N. Berrah, J. Phys. B 51, 034003 (2018).

17.

M. Я. Амусья, Тормозное излучение, Энергоатом-

издат, Москва (1990).

5. A. C. Brinkman, E. Behar, M. Gűdel, M. Audard,

A. J. F. den Boggende, G. Branduardi-Raymont,

18.

P. P. Kane, L. Kissel, R. H. Pratt, and S. C. Roy,

J. Cottam, C. Erd, J. W. den Herder, F. Jansen,

Phys. Rep. 140, 75 (1986).

1038