ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1095-1100

ФРУСТРИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА С ЧИСЛОМ

СОСТОЯНИЙ СПИНА q = 4 НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ

Д. Р. Курбанова^*, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов, Т. А. Тааев

Институт физики им. Х. И. Амирханова

Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367015, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 26 февраля 2020 г.,

после переработки 24 июня 2020 г.

Принята к публикации 25 июня 2020 г.

На основе алгоритма Ванга - Ландау методом Монте-Карло выполнены исследования магнитных струк-

тур основного состояния и термодинамических свойств двумерной модели Поттса с числом состояний

спина q = 4 на треугольной решетке с взаимодействиями первых и вторых ближайших соседей. Пока-

зано, что учет антиферромагнитных взаимодействий вторых ближайших соседей приводит к появлению

фрустрации и нарушению магнитного упорядочения. Установлено, что в исследуемой модели в точке

фрустрации фазовый переход не наблюдается.

DOI: 10.31857/S0044451020120093

результатов получены для двумерной модели Потт-

са с числом состояний спина q = 2 и q = 3 [4-10].

Эта модель изучена достаточно хорошо и получены

1. ВВЕДЕНИЕ

интересные результаты.

Изучение эффектов фрустрации в спиновых ре-

Модель Поттса демонстрирует температурный

шеточных моделях представляет большой интерес

ФП первого или второго рода, в зависимости от чис-

в течение последних десятилетий. Интерес к таким

ла состояний спина q и пространственной размерно-

системам обусловлен богатой природой фазовых пе-

сти. Критические свойства ферромагнитной модели

реходов (ФП) и особенностью их термодинамиче-

Поттса известны лишь в двумерном случае [10,11]:

ского и критического поведения. Фрустрации мо-

при q > 4 система демонстрирует ФП первого ро-

гут быть обусловлены конкурирующими обменны-

да, в то время как при q < 4 переход непрерывен.

ми взаимодействиями, которые не позволяют систе-

Двумерная модель Поттса с числом состояний спина

ме одновременно минимизировать все ее локальные

q = 4 довольно уникальна и до сих пор малоизучена.

взаимодействия, что приводит к бесконечно вырож-

Эта модель может быть использована для описания

денному основному состоянию [1-3].

поведения некоторых классов адсорбированных га-

В настоящее время исследованию спиновых си-

зов на графите [12]. Данная модель интересна и тем,

стем с фрустрациями уделяют большое внимание.

что значение q = 4 является граничным значением

Это связано с тем, что фрустрации играют важную

интервала 2 ≤ q ≤ 4, где наблюдается ФП второго

роль в различных магнитных системах. Кроме то-

рода, и области значений q > 4, в котором имеет

место ФП первого рода [11]. Кроме того, в рассмат-

го, фрустрированные спиновые системы проявляют

свойства, отличные от соответствующих нефрустри-

риваемой модели было обнаружено неоднозначное

псевдокритическое поведение [4].

рованных систем.

Большинство исследований спиновых систем с

Результаты исследований двумерной ферромаг-

фрустрациями до сих пор ограничивалось моделями

нитной модели Поттса с числом состояний спина

Изинга, XY и Гейзенберга. Для фрустрированной

q = 4 на треугольной [13] и гексагональной [14,15]

модели Поттса существует совсем немного надеж-

решетках методом Монте-Карло (МК) показывают,

но установленных фактов. Большинство имеющихся

что в данной модели наблюдается ФП первого ро-

да. Исследование этой модели с учетом конкури-

^* E-mail: d_kurbanova1990@mail.ru

рующих обменных взаимодействий может влиять

1095

Д. Р. Курбанова, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов и др.

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

на его термодинамические, магнитные и критиче-

ские свойства. Учет антиферромагнитных взаимо-

действий вторых ближайших соседей может при-

вести к фрустрации и вырождению основного со-

стояния, появлению различных фаз и ФП. Иссле-

дования влияния антиферромагнитных взаимодей-

ствий вторых ближайших соседей, а также эффек-

тов фрустрации на ФП, термодинамические свой-

ства и магнитные структуры основного состояния

модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на

треугольной решетке в литературе практически не

встречаются.

В связи с этим, в данной работе мы предпри-

няли попытку на основе метода МК провести ис-

следование ФП, термодинамических свойств и маг-

Рис. 1. Модель Поттса с числом состояний спина q = 4 на

нитных структур основного состояния двумерной

треугольной решетке

модели Поттса с числом состояний спина q = 4

на треугольной решетке с ферромагнитным взаи-

модействием первых и антиферромагнитным взаи-

величина взаимодействия вторых ближайших сосе-

модействием вторых ближайших соседей. Известно,

дей. Схематическое и цветовое представления мо-

что q = 3 является особым значением для смешан-

дели изображены на рис. 1. На вставке приведены

ной ферро-антиферромагнитной модели Поттса, где

направления спинов для каждого из четырех зна-

считается, что переход относится к типу Костерли-

чений спина и соответствующее цветовое представ-

ца - Таулеса [16-18]. Поскольку поведение меняется

ление. Также представлены взаимодействия между

при изменении q, естественно спросить, как изме-

первыми и вторыми ближайшими соседями.

нится поведение при q = 4. Из данных, полученных

Как видно на рисунке, направления векторов за-

на сегодняшний день, нельзя однозначно опреде-

даны таким образом, что выполняется равенство

лить характер ФП и закономерности изменения тер-

{

модинамического поведения фрустрированной мо-

если S_i = S_j

дели Поттса на треугольной решетке с числом состо-

θ_i,j =

109.47^◦, если S_i = S_j,

яний спина q = 4, и эти вопросы до сих пор остаются

{

(2)

открытыми. Исследование этой модели на основе со-

если S_i = S_j

cosθ_i,j =

временных методов и идей позволит получить ответ

-1/3, если S_i = S_j.

на ряд вопросов, связанных с ФП, термодинамиче-

скими и критическими свойствами спиновых систем

В настоящее время такие системы на основе мик-

с фрустрациями.

роскопических гамильтонианов успешно изучаются

на основе метода МК [19-22]. В последнее время раз-

работано много новых вариантов алгоритмов метода

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

МК. Одним из наиболее эффективных для иссле-

дования подобных систем является алгоритм Ван-

Гамильтониан модели Поттса с числом состоя-

га - Ландау [9, 23, 24], особенно в низкотемператур-

ний спина q = 4 с учетом взаимодействий первых

ной области. Поэтому нами, в данном исследовании

и вторых ближайших соседей может быть представ-

был использован этот алгоритм.

лен в следующем виде:

В стандартный алгоритм Ванга - Ландау мы

∑

внесли дополнения, которые позволяют выяснить

H = -J₁

cosθ_i,j - J₂

cosθ_i,k,

(1)

магнитную структуру основного состояния системы.

i,j

i,k

Данный алгоритм является реализацией метода энт-

где J₁ и J₂ — параметры обменных ферромагнит-

ропийного моделирования и позволяет вычислить

ного (J₁ > 0) и антиферромагнитного (J₂ < 0) вза-

функцию плотности состояний системы. Алгоритм

имодействий соответственно для первых и вторых

Ванга - Ландау основан на том, что совершая слу-

ближайших соседей, θ_i,j , θ_i,k — углы между взаимо-

чайное блуждание в пространстве энергий с веро-

действующими спинами S_i-S_j и S_i-S_k; r = |J₂/J₁| —

ятностями, обратно пропорциональными плотности

1096

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Фрустрированная модель Поттса. ..

состояний g(E), мы получаем равномерное распре-

U (T ) - F (T )

S(T ) =

(6)

деление по энергиям. Подобрав вероятности перехо-

да такими, что посещение всех энергетических со-

где N — число частиц, T — температура (здесь и да-

стояний стало бы равномерным, можно получить

лее температура дана в единицах |J₁|/k_B). Расчеты

изначально неизвестную плотность состояний g(E),

проводились для систем с периодическими гранич-

зная которую, можно вычислить значения необхо-

ными условиями и линейными размерами L×L = N,

димых термодинамических параметров при любой

L = 12-120.

температуре. Поскольку плотность состояний g(E)

очень быстро растет с увеличением размеров иссле-

дуемых систем, для удобства хранения и обработки

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

больших чисел пользуются величиной ln g(E).

Анализ данных, полученных в данной работе, по-

Алгоритм Ванга - Ландау мы использовали в

казывает, что для исследуемой модели наблюдается

следующем виде.

Задаем произвольную начальную конфигурацию

большое количество различных магнитных струк-

тур основного состояния. Некоторые из них пред-

спинов. Стартовые значения плотности состояний

ставлены на рис. 2. На этом рисунке спины обозна-

g(E) = 1, гистограммы распределений по энерги-

чены кружками различных цветов. Спины, обозна-

ям H(E) = 0, стартовый модификационный фактор

ченные кружками одного и того же цвета, имеют

f = f₀ = e¹ ≈ 2.71828. Многократно совершаем ша-

одинаковое направление. Видно, что в рассматрива-

ги в фазовом пространстве, пока не получим относи-

емой модели они могут быть упорядочены в четырех

тельно плоскую гистограмму H(E) (т.е. пока не бу-

направлениях. Конфигурации получены для разных

дут посещены примерно одинаковое количество раз

значений r. На рис. 2a представлены магнитные

все возможные энергетические состояния системы).

При этом вероятность перехода из состояния с энер-

структуры основного состояния для r = 0.0. Основ-

ное состояние является ферромагнитным, в котором

гией E₁ в состояние с энергией E₂ определяется по

все спины ориентированы вдоль одного из четырех

формуле p = g(E₁)/g(E₂). Если переход в состояние

направлений — система четырехкратно вырождена.

с энергией E₂ состоялся, то

На рис. 2б и 2в приведены примеры основных состо-

g(E₂) → f · g(E₂), H(E₂) → H(E₂) + 1,

яний для случаев r = 0.5 и r = 0.75. Эти структуры

имеют полосовую структуру, причем ширина, цвет и

иначе

направление полос может быть произвольным. Ко-

g(E₁) → f · g(E₁), H(E₁) → H(E₁) + 1.

личество состояний пропорционально ln(N_GS) ∝ L.

Для случая r = 1.0 (рис. 2г) учет антиферромаг-

Если гистограмма стала «плоской», то приравнива-

ем нулю гистограмму H(E) → 0, уменьшаем моди-

фикационный фактор f →

√f и продолжаем снова,

пока f ≥ f_min. В нашем случае f_min = 1.0000000001.

Таким образом, определив плотность состояний си-

стемы, можно рассчитать значения термодинамиче-

ских параметров при любой температуре. В част-

ности, внутреннюю энергию U, свободную энергию

F, удельную теплоемкость C и энтропию S можно

вычислить, используя следующие выражения:

)

∑

∕

(∑

U (T ) = Eg(E)e-E/kBT

g(E)e-E/kBT

≡

≡ 〈E〉_T ,

(3)

)

(∑

F (T ) = -k_BT ln

g(E)e-E/kBT

(4)

Рис. 2. Магнитные структуры основного состояния: а —

)

(|J₁|/k_BT )

r = 0, б — r = 0.5, в — r = 0.75, г — r = 1.0

C(T ) =

U²

- 〈U〉²

(5)

1097

Д. Р. Курбанова, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов и др.

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Рис.

4. Температурная зависимость энтропии S при

r = 1.0

Рис. 3. Плотность состояний g(E) при r = 1.0

нитных взаимодействий вторых ближайших соседей

приводит к полному нарушению магнитного упоря-

дочения. Степень вырождения основного состояния

в данном случае ln(N_GS ) ∝ L². Таким образом, при

r < 0.5 система имеет ферромагнитно упорядочен-

ное основное состояние; при 0.5 ≤ r < 1 основное

состояние имеет полосовую структуру; при r = 1

основное состояние сильно вырождено, полосовая

структура разрушена.

Плотность состояний g(E) для систем с различ-

ными линейными размерами L при r = 1.0 представ-

лена на рис. 3. Энергия на рисунке и далее приведе-

на в единицах |J₁|. На рисунке видно, что плотность

состояний g(E) значительно возрастает с ростом ли-

Рис. 5. Температурные зависимости удельной теплоемкос-

нейных размеров системы. Такое поведение связано

ти C при r = 1.0

с вырождением основного состояния системы. Мож-

но предположить, что при r = 1.0 система становит-

ся сильно фрустрированной. Для данной модели об-

пия не меняется в зависимости от линейных раз-

ласть фрустраций (область, в которой конкуренция

меров системы и стремится к ненулевому значению

обменных взаимодействий приводит к разрушению

(S₀/N = 0.441(2)). Ненулевая остаточная энтропия

упорядочения основного состояния) находится в ин-

является следствием вырождения основного состо-

тервале 0.5 ≤ q ≤ 1. При этом точка r = 1.0 является

яния. Такое поведение энтропии свидетельствует о

точкой сильной фрустрации.

возникновении в системе фрустраций.

На рис. 4 приведены температурные зависимо-

На рис. 5 представлены зависимости удельной

сти энтропии S для систем с различными линейны-

теплоемкости C от температуры для r = 1.0, по-

ми размерами при r = 1.0 (здесь и далее статисти-

лученные при различных линейных размерах систе-

ческая погрешность не превышает размеров симво-

мы. Отметим, что для теплоемкости наблюдается

лов, использованных для построения зависимостей).

необычное поведение, которое характеризуется от-

На рисунке видно, что с увеличением температу-

сутствием ярко выраженного пика. Максимумы теп-

ры энтропия для всех систем стремится к теоре-

лоемкости в данном случае вместо острых λ-образ-

тически предсказанному значению ln 4. При низких

ных пиков имеют сглаженные пики. На рисунке вид-

температурах, близких к абсолютному нулю, энтро-

но, что температурные зависимости теплоемкости

1098

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Фрустрированная модель Поттса. ..

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование магнитных структур основного

состояния и термодинамических свойств двумерной

модели Поттса с числом состояний спина q = 4

на треугольной решетке с учетом взаимодействий

первых и вторых ближайших соседей выполнено с

использованием алгоритма Ванга - Ландау методом

Монте-Карло. Получены магнитные структуры

основного состояния. Показано, что учет антифер-

ромагнитных взаимодействий вторых ближайших

соседей приводит к фрустрации и нарушению маг-

нитного упорядочения. Установлено, что значение

r = 1.0 является точкой фрустрации для исследу-

емой модели. Показано, что в точке фрустрации в

Рис. 6. Температурные зависимости удельной теплоемкос-

данной модели фазовый переход отсутствует.

ти C при различных значениях r

Финансирование. Исследование выпол-

нено при финансовой поддержке Российского

не зависят от линейных размеров системы, причем

фонда фундаментальных исследований (проект

эти максимумы в пределах погрешности приходятся

№19-02-00153) и фонда Гаджи Махачева по под-

на одну и ту же температуру даже для систем с наи-

держке науки, образования и культуры.

меньшим значением L. Такая картина температур-

ной зависимости теплоемкости обычно наблюдается

для фрустрированных спиновых систем [25]. Извест-

ЛИТЕРАТУРА

но, что в точке фрустрации появляется сглаженный

G. Toulouse, Commun. Phys. 2, 115 (1977).

пик и положение максимума этого пика зависит от

значения r, но его величина при изменении L остает-

J. Villain, J. Phys. 46, 1840 (1985).

ся практически постоянной. Исходя из этого можно

предположить, что значение r = 1.0 является точ-

H. T. Diep, Frustrated Spin Systems, World Scientific

кой фрустрации. Результаты этой работы показыва-

Publishing, Singapore (2004).

ют, что в точке фрустрации в исследуемой модели

N. Schreiber, R. Cohen, and S. Haber, Phys. Rev.

ФП отсутствует. Для аналогичной модели на гекса-

E 97, 032106 (2018).

гональной решетке [15] было установлено, что при

r = 1.0 наблюдается ФП первого рода.

D. P. Foster and C. Gérard, Phys. Rev. B 70, 014411

(2004).

Для более лучшего понимания термодинамичес-

кого поведения данной модели на рис. 6 приведе-

I. Puha and H. T. Diep, J. Appl. Phys. 87, 5905

ны температурные зависимости теплоемкости для

(2000).

разных значений r. На рисунке видно, что для r =

= 0.1 теплоемкость имеет острый пик, положение

M. Nauenberg and D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett.

которого соответствует температуре ФП. Для r =

44, 837 (1980).

= 0.5 наблюдаем расщепление теплоемкости (один

J. L. Cardy, M. Nauenberg, and D. J. Scalapino,

максимум является острым, а второй — плавным),

Phys. Rev. B 22, 2560 (1980).

что является характерной особенностью фрустриро-

ванных систем вблизи точек фрустраций. Такое по-

M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, and M. A. Ma-

ведение объясняется частичным упорядочением си-

gomedov, Physica A 521, 543 (2019).

стемы (рис. 2б и 2в). Для значения r = 1.0 эффек-

10.

F. Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 54, 235 (1982).

ты фрустрации наиболее сильно выражены: отсут-

ствует острый пик, наблюдается только сглаженный

11.

R. J. Baxter, J. Phys. C 6, 445 (1973).

максимум, система переходит в сильно фрустриро-

ванное состояние, т. е. в системе отсутствует поря-

12.

E. Domany, M. Schick, and J. S. Walker, Phys. Rev.

док (рис. 2г).

Lett. 38, 1148 (1977).

1099

Д. Р. Курбанова, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов и др.

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

13. А. К. Муртазаев, Д. Р. Курбанова, М. К. Рамаза-

20. М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в

нов, ФТТ 61, 2195 (2019).

ЖЭТФ 109, 610 (2019).

21. A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov, D. R. Kurbano-

14. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Мазага-

va, M. A. Magomedov, and K. Sh. Murtazaev, Mat.

ева, М. А. Магомедов, ЖЭТФ 156, 502 (2019).

Lett. 236, 669 (2019).

15. М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магоме-

22. А. К. Муртазаев, Д. Р. Курбанова, М. К. Рамаза-

дов, М. К. Мазагаева, ФТТ 62, 442 (2020).

нов, ЖЭТФ 156, 980 (2019).

16. S. Ostlund, Phys. Rev. B 24, 398 (1981).

23. A. K. Murtazaev, D. R. Kurbanova, and M. K. Ra-

mazanov, Physica A 545, 123548 (2020).

17. M. Quartin and S. L. A. de Queiroz, J. Phys. A 36,

951 (2003).

24. F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. E 64, 056101

(2001).

18. D. P. Foster and C. Gérard, J. Phys. A 35, 75 (2002).

25. F. A. Kassan-Ogly, B. N. Filippov, A. K. Murtazaev,

19. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, Ф. А. Ка-

M. K. Ramazanov, and M. K. Badiev, J. Magn.

сан-Оглы, Д. Р. Курбанова, ЖЭТФ

147,

127

Magn. Mater. 324, 3418 (2012).

(2015).

1100