ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1109-1117

КИРАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНОГО

СОСТОЯНИЯ ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛЕНКИ

НА МАГНИТНОЙ ПОДЛОЖКЕ

А. А. Фраерман^a, К. Р. Мухаматчинb*

^a Институт физики микроструктур Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

^b Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

603950, Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 19 июня 2020 г.,

после переработки 2 августа 2020 г.

Принята к публикации 5 августа 2020 г.

Теоретически определены условия формирования киральных распределений намагниченности в системах

ферромагнетик/сверхпроводник и ферромагнетик/парамагнетик. Формирование киральных состояний

обусловлено особенностями магнитостатического взаимодействия в неоднородных магнитных системах.

Сделанные оценки указывают на возможность экспериментального наблюдения предсказанных эффек-

тов.

DOI: 10.31857/S0044451020120111

верхностная плотность энергии такого взаимодей-

ствия может быть представлена в виде [17]

[

]

∂M

1. ВВЕДЕНИЕ

E_DM = Dδ(n · P), P_i = e_ikα M ×

(1)

∂x

k α

где n — единичный вектор нормали к границе, P —

Интерес к киральным магнитным состояниям в

вектор магнитоэлектрической поляризации, e_ikα —

последние годы существенно возрос. Это связано,

антисимметричный тензор Леви- Чивита, M — еди-

по крайней мере, с двумя обстоятельствами. Во-

ничный вектор, совпадающий с направлением маг-

первых, большой интерес представляют системы, в

нитного момента, δ — толщина слоя, в котором су-

которых возможно существование принципиально

ществует это взаимодействие, по расчетам равная

новых распределений намагниченности, таких, на-

межатомному расстоянию. Константа D характери-

пример, как магнитные скирмионы [1-7]. Предпола-

зует величину взаимодействия и для разных систем

гается, что магнитные скирмионы могут использо-

варьируется в пределах 0.1-1 эрг/см² [18-23].

ваться в качестве носителей информации в новых

Однако, взаимодействие Дзялошинского - Мо-

устройствах сверхплотной памяти [8, 9]. Во-вторых,

рии не единственный механизм, позволяющий

с киральными магнитными распределениями нее-

влиять на киральность распределений намаг-

левского типа может быть связан электрический за-

ниченности. В работах

[24-26] показано, что

ряд и, таким образом, в этих системах возможно на-

магнитостатическое взаимодействие также влияет

блюдение магнитоэлектрического эффекта [10-12].

на киральность распределений в ферромагнитной

Основной физической причиной снятия кирального

пленке, расположенной на магнитной подложке.

вырождения является взаимодействие Дзялошинс-

Энергия магнитостатического взаимодействия

кого - Мории (ДМ) [13, 14]. При этом особое внима-

имеет вид

ние уделяется поверхностно-индуцированному взаи-

∫∫

модействию ДМ, которое ярко проявляется для си-

E_M =

D_ik(r₁, r₂)M_i(r₁)M_k(r₂)dr₁ dr₂,

(2)

стем ферромагнетик/«тяжелый» металл [15,16]. По-

где M — магнитный момент, |M| = M, D_ik(r₁, r₂) —

^* E-mail: mykamil@yandex.ru

тензор

магнитостатического взаимодействия,

1109

А. А. Фраерман, К. Р. Мухаматчин

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

обладающий очевидным свойством D_ik(r₁, r₂)

сти и переход из однородного в многодоменное со-

= D_ki(r₂, r₁). В однородной и изотропной среде

стояние. Мы исследуем эту неустойчивость в усло-

этот тензор зависит только от модуля расстояния

виях контакта ферромагнитной пленки с магнитной

|r2 - r1| и является симметричным. В средах с

подложкой и покажем, что при этом формируют-

неоднородной магнитной проницаемостью анти-

ся киральные магнитные состояния. Под контактом

симметричная часть магнитостатического тензора

подразумевается взаимодействие пленки и подлож-

D^aik(r₁, r₂)

= -D^aki(r₁, r₂) может быть отлична

ки лишь за счет магнитостатических полей. Это-

от нуля. Антисимметричный тензор второго ранга

го всегда можно добиться, помещая между пленкой

можно представить в виде D^aik = e_iklη_l, где η — псев-

и подложкой тонкую диэлектрическую прослойку.

довектор. Следовательно, в магнитостатической

Статья организована следующим образом. В разд. 2

энергии возникает слагаемое вида

рассмотрена задача о неустойчивости однородного

∫∫

состояния в изолированной феромагнитной пленке.

ΔE =

η(r₁, r₂) [M(r₁) × M(r₂)] dr₁ dr₂,

(3)

В разд. 3 решена задача о неустойчивости в фер-

ромагнитной пленке на сверхпроводящей подложке,

где псевдовектор η запишем в виде η = η₀ [∇μ × d],

в разд. 4 рассмотрен контакт с парамагнитной под-

η₀ — скалярная функция расстояния |r₂ -r₁|, ∇μ —

ложкой.

градиент магнитной проницаемости в рассматрива-

емой неоднородной среде, d = r₁ - r₂ — радиус-

2. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНОГО

вектор, направленный от точки (1) к точке (2).

СОСТОЯНИЯ В ИЗОЛИРОВАННОЙ

Из приведенных формул следует, что магнитоста-

ПЛЕНКЕ

тическая энергия в неоднородной среде может зави-

сеть от киральности распределения намагниченно-

Рассмотрим тонкую ферромагнитную пленку

сти, так как векторное произведение в различных

с перпендикулярной одноосной анизотропией (ось

точках образца (3) и определяет эту киральность.

анизотропии z). В плоскости пленки приложено маг-

Простейший способ реализации среды с неодно-

нитное поле H вдоль оси x. Энергия пленки есть сум-

родной магнитной восприимчивостью есть плоский

ма обменного, анизотропного, зеемановского и маг-

контакт ферромагнитной пленки с подложкой, ха-

нитодипольного вкладов:

рактеризующейся собственной магнитной проница-

∫ (

)₂

∫

емостью отличной от единицы. Это может быть,

∂M

E =

dr -

M2z dr-

например, парамагнитная [24-26] или диамагнит-

∂x_i

∫

ная (сверхпроводящая) [25, 26] подложка. Посколь-

- H Mx dr + E_M,

(4)

ку направление градиента магнитной проницаемо-

сти в этих случаях различно, то различна и пре-

где α и K > 0 — соответственно обменная константа

имущественная киральность магнитных распреде-

и константа анизотропии, E_M — магнитостатичес-

лений. Было показано, что для парамагнитной под-

кая энергия (2). Тензор D_ik(r₁, r₂) в рассматривае-

ложки меньшей энергией обладает магнитная цик-

мом случае имеет вид

лоида, закрученная по часовой стрелке ↑→↓←↑, то-

гда как для случая сверхпроводящей подложки бо-

∂²

лее выгодной является структура ↑←↓→↑ с «закру-

D_ik(r = |r₂ - r₁|) =

(5)

∂x_i∂x_k r

ченностью» против часовой стрелки.

Расчеты показывают [26], что относительная

Если поле H достаточно велико, то распреде-

разность энергий для распределений с различной

ление намагниченности в пленке однородно. Зада-

киральностью не велика (порядка 1 %) и актуаль-

ча состоит в определении критического значения

ной является задача определения условий, при кото-

внешнего поля, при котором это состояние станет

рых могут быть реализованы киральные магнитные

неустойчивым. Для этого приведем выражение (4)

распределения в ферромагнитной пленке на магнит-

к виду квадратичной формы. Полагая, что намаг-

ниченность мало отличается от однородной, имеем

ной подложке. В этой работе мы рассмотрим за-

дачу о распаде однородно намагниченного состоя-

(

)

(

)

ния в пленках с анизотропией типа «легкая ось».

M≈ M-

M2y + M2z

,M_y,M_z

Пусть в плоскости пленки приложено магнитное по-

ле, намагничивающее ее до насыщения. При умень-

Тогда, с точностью до квадратичных слагаемых, вы-

шении этого поля возможно развитие неустойчиво-

полняется условие постоянства модуля магнитного

1110

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Киральная неустойчивость однородного состояния. ..

Из (7) следует, что развитие неустойчивости при по-

ложительных полях возможно, если константа ани-

зотропии превышает критическое значение K > K_c:

K_c ≈ 4π - πhq_c.

(9)

Таким образом, при определенных выше усло-

виях, в пленке с перпендикулярной анизотропией

развивается неустойчивость. Отметим, что данная

неустойчивость приводит к образованию состояний

с произвольной киральностью, так как нет никакой

связи между знаками M_z и M_x компонент намагни-

ченности. Далее мы покажем, что ситуация прин-

ципиально меняется для пленок на подложках с от-

Вид зависимости

D_zz от q для H > Hc (кривая 1), H = Hc

личной от единицы магнитной восприимчивостью.

(кривая 2) и H < Hc (кривая 3)

3. КИРАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

момента |M| ≈ M. Будем считать, что толщина

ОДНОРОДНОГО СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМЕ

пленки h меньше

√α и магнитный момент не изме-

ФЕРРОМАГНЕТИК/СВЕРХПРОВОДНИК

няется вдоль нормали к пленке. Квадратичная по

намагниченности поправка к энергии (4) приобре-

Рассмотрим неустойчивость однородного состоя-

тает вид (см. Приложение)

ния ферромагнитной пленки, находящейся на сверх-

∑{

}

проводящей подложке, занимающей область z < 0.

D_zz

ΔE =

|M_y(q)|² D_yy + |M_z(q)|²

(6)

Под действием магнитного поля, индуцируемого

ферромагнетиком, в сверхпроводнике возникают

где

∫

экранирующие токи, которые, в свою очередь, со-

здают магнитное поле в области ферромагнетика.

M_y,z(q) =

M_y,z(ρ)e-iq·ρ dρ

Поэтому вид дипольного тензора в (2) будет отли-

— фурье-образ магнитного момента,

чаться от формулы (5). Задача определения вида

)

}

этого тензора рассмотрена, например, в [26]. Здесь

^{(2π

q∈

n_x,

2πny ,nx, ny ∈ Z

S =a_xa_y,

мы кратко приведем вывод выражения для магни-

a_x

a_y

тостатического тензора с учетом полей экранирую-

V = hS — площадь и объем ферромагнитной плен-

щих токов. Энергия ферромагнетика должна быть

ки. Ограничиваясь линейными по |q|h слагаемыми,

дополнена энергией взаимодействия со сверхпровод-

для компонент дипольного тензора имеем

ником, которая в лондоновском приближении имеет

q2y

вид

D_yy ≈ αq² + 2πh

∫

E_s = - (B · M)dz dρ +

D_zz ≈ αq² - 2πqh + 4π - K +

Из (6) следует, что коэффициент перед |M_y(q)|² все-

∫

]

[B²

гда положительный, а вот второе слагаемое может

+ λ²(rotB)² dz dρ,

(10)

стать отрицательным при H < H_c (см. рисунок).

8π

−∞

Для критического поля получим

где первое слагаемое есть взаимодействие магнит-

H_c = M [(K - 4π) + πhq_c] .

(7)

ного поля с намагниченностью ферромагнетика, во

втором интеграле учитываются плотность энергии

При полях H

< H_c однородное состояние теря-

магнитного поля и кинетическая энергия сверхпро-

ет устойчивость и пленка переходит в многодомен-

водящих токов.

ное состояние. Наиболее неустойчивыми являют-

В итоге, для магнитостатического тензора, нахо-

ся флуктуации, для которых выполняется условие

дим [26]

∂ D_zz/∂q|qc = 0. Откуда находим

{

}

∂²

(s)

πh

D_i

(r₁, r₂) =

+G_s

(11)

q_c ≈

(8)

∂x1ix2k

|r₁ - r₂|

1111

А. А. Фраерман, К. Р. Мухаматчин

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

G_s(|ρ₁ - ρ₂|, z₁ + z₂) =

ΔE = -πh²×

∫∫

[

]

∫∞

∂M(ρ₁)

exp(-q(z₁ + z₂)) J₀ (q|ρ₁ - ρ₂|)

× D(ρ₂ - ρ₁)

× M(ρ₂) dρ₁ dρ₂,

)₂

∂y₁

(√

(λq)² + 1 + λq

∫ (√

)₂

D(ρ) ≈

(λq)² + 1 + λq

eiq·ρ dq.

(17)

где J₀ (q|ρ₁ - ρ₂|) — функция Бесселя. Первое сла-

(2π)²

гаемое в (11) есть поле, создаваемое диполем в сво-

В случае идеальной экранировки (λ -→ 0) яд-

бодном пространстве, а второе слагаемое есть по-

ро в интеграле (17) обращается в дельта-функцию

ле мейснеровских токов с учетом конечной глубины

D(ρ₂ - ρ₁) = δ(ρ₂ - ρ₁) и асимметричный вклад в

экранировки. При λ -→ 0

магнитостатическую энергию приобретает вид взаи-

G_s =

√

(12)

модействия Дзялошинского - Мории (1)

(ρ₁ - ρ₂)² + (z₁ + z₂)²

∫ [

]

∂M

Из (11) также следует, что недиагональные компо-

ΔE(s)

≈ πV h

M×

dρ,

∂y_x

ненты дипольного тензора антисимметричны и, в

частности,

что находится в полном соответствии с приведен-

ными во Введении соображениями. При этом по-

D(s)yz(r₁, r₂) = -D(s)zy(r₁, r₂).

верхностная энергия «кирального» магнитостати-

При предположениях, аналогичных сделанным при

ческого взаимодействия порядка πM²h сравнима

получении формулы (6), поправка к энергии си-

с поверхностной энергией Дзялошинского - Мории

стемы ферромагнетик/сверхпроводник сводится к

для систем ферромагнетик/тяжелый металл [18-23].

Конечная глубина экранировки магнитного поля в

квадратичной форме:

сверхпроводнике (λ = 0) приводит к уменьшению и

нелокальности этого асимметричного вклада в энер-

ΔE(s) =

гию системы.

∑{

D(s)

(q)|M_y (q)|² + D(s)zz(q)|M_z (q)|² -

Для исследования устойчивости однородного со-

стояния удобно привести квадратичную форму (13)

}

к диагональному виду с помощью линейного преоб-

-iD(s)yz(q)(M_y(q)M_z(-q) - M_z(q)M_y(-q)) ,

(13)

разования

q2y

M_y = u(q)s_z+iv(q)s_y, M_z = u(q)s_y+iv(q)s_z,

(18)

D(s)

(q) ≈ αq² + 2πh

⎧

⎫

1/2

)₂

⎪

q2y

(√

⎨

D(s)

⎬

+ 2πh

(λq)² + 1 + λq

(14)

- D^y

√

(

)₂

(

)

2⎪⎩

2⎪

(s)

- D^y

+ 2Dy

⎭

D(s)

(q) ≈ αq² - 2πqh + 4π +

(√

)₂

+ 2πqh (λq)² + 1 + λq

- K,

(15)

sign(D^y

z )

√

(√

)₂

⎧

⎫

1/2

D(s)

⎪

(q) ≈ 2πhq_y

(λq)² + 1 + λq

(16)

⎨

D(s)

⎬

- D^y

√(

)₂

(

)

При температуре выше критической температуры

^×⎪⎪

2⎪

⎩

D(s)

- D^y

+ 2Dy

⎭

перехода в сверхпроводящее состояние λ -→ ∞ и

формула (13) переходит в формулу (6). При пере-

ходе подложки в сверхпроводящее состояние ситу-

Энергия приобретает вид

ация принципиально отличается от рассмотренной

в предыдущем разделе. Отличие связано с суще-

ΔE(s) =

ствованием недиагональной компоненты дипольно-

V∑ {

}

D₊(q)|s_z(q)|² + D_-(q)|s_y(q)|²

(19)

го тензора. При переходе к пространственному пред-

ставлению недиагональное слагаемое в (13) приоб-

ретает вид

где

1112

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Киральная неустойчивость однородного состояния. ..

∫ [

]

D(s)

∂M

+ D^y

D_± =

C_xy =

M×

dρ ∼

∂y_x

)₂

∑

πh

⁽ ˜_D(s)

(

)₂

∼

q2y|s_y(q)|²

(24)

√

- D^y

D(s)yz

(20)

λ²q2c(K - 4π)

Мы показали, что в результате развития

неустойчивости однородного состояния в ферро-

Условие потери устойчивости D_-(q) ≤ 0. Рас-

магнитной пленке на сверхпроводящей подложке

смотрим случай, когда лондоновская глубина про-

формируется киральное распределение намагничен-

никновения достаточно велика и выполняются усло-

ности. Скачок в температурной зависимости поля

вия 1/λ ≪ q ≪ 1/h. Тогда можно записать

неустойчивости является индикатором развития

(√

)₂

кирального магнитного состояния в этой системе.

(λq)² + 1 + λq

≈

(21)

4(λq)²

Рассмотрим различия, возникающие при разви-

тии подобной неустойчивости на парамагнитной

Пренебрегая слагаемыми высшего порядка

(

)

подложке.

1/(λq)²

, получим условие потери устойчивости

в виде Dzz)(q) ≤ 0 и волновое число наиболее

неустойчивой моды запишется как

4. КИРАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

ОДНОРОДНОГО СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМЕ

q(s)c ≈ q_c -

(22)

ФЕРРОМАГНЕТИК/ПАРАМАГНЕТИК

4λ²q_c

где q_c — критическое волновое число в изолирован-

Под действием поля, индуцированного неодно-

ной пленке (8). Критическое магнитное поле, при

родным распределением намагниченности, в пара-

котором развивается неустойчивость равно

магнитной подложке возникает собственное распре-

деление намагниченности m, которое, в свою оче-

πh

редь, создает дополнительное поле в области фер-

H(s)c ≈ H_c - M

(23)

λ²q_c

ромагнитной пленки. Дополнительная энергия, свя-

занная с парамагнитной подложкой, имеет вид

где H_c — критическое поле изолированной плен-

ки (7). Из (23) следует, что наличие сверхпроводя-

∫

(

)

щей подложки уменьшает поле неустойчивости, так

h₊

E_p = -

h₊M+

dz dρ +

как эффективно уменьшается величина анизотро-

8π

пии типа «легкая ось». Поскольку q_c ∼ πh/α, раз-

∫

[

]

ница критических полей H_c -

∼ Mα/λ² и при

h_-

m² - (h_-

· m) -

dz dρ,

(25)

M ∼ 1000 Гс,

√α ∼ 10 нм, λ ∼

50 нм эта разница

2χ

8π

−∞

может достигать вполне измеряемой величины по-

где χ — восприимчивость парамагнетика, а магнит-

рядка 40 Э. При этих условиях достигается неустой-

ное поле выражается через магнитостатический по-

чивость, приводящая к нарастанию s_y-компоненты.

тенциал h_± = -∇ϕ_±. Уравнения для определения

Учитывая (18), это приводит к нарастанию флук-

этого потенциала есть уравнения магнитостатики с

туаций намагниченности с определенной киральнос-

учетом поляризуемости подложки

тью. Действительно,

Δϕ₊ = 4π div M,

(26)

D(s)

≪ D(s)yy -

D(s)

Δϕ_-

= 0,

(27)

и ограничиваясь в (18) слагаемыми порядка 1/λ²,



∂ϕ₊

∂ϕ_-

имеем M_z ∼ s_y,

Δϕ₊ = Δϕ_-|z=0,

= (1+4πχ)



(28)



∂z

z=0

(

)

D(s)

Эта задача полностью аналогична задаче элек-

M_y ∼ is_y

- D(s)zz

тростатики [27], и функция Грина определяется вы-

Определим

«киральность» распределения намаг-

ражениями

ниченности как среднее по образцу векторное

произведение магнитных моментов, взятых в со-

G(p)+ =

√

(ρ₁ - ρ₂)² + (z₁ - z₂)²

седних

[

]

2πχ

C_ik

=〉 M ×∂M

〉 в рассматриваемом случае

√

z > 0,

(29)

∂xⁱ k

1 + 2πχ

(ρ₁ - ρ₂)² + (z₁ + z₂)²

имеет только одну компоненту, отличную от нуля:

1113

А. А. Фраерман, К. Р. Мухаматчин

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

G(p)- =

√

z < 0.

(30)

сдвиг поля неустойчивости

- H_c ∼ 200 Э. В

(ρ₁ - ρ₂)² + (z₁ - z₂)²

отличие от случая сверхпроводника (23), критичес-

кое поле развития неустойчивости больше, чем поле

Второе слагаемое в (29) есть поле, создавае-

неустойчивости для изолированной пленки. Следу-

мое парамагнетиком и эквивалентное полю «заря-

ет отметить, что знак недиагональной компоненты

да изображения». Обратим внимание, что знак это-

дипольного тензора в случае парамагнетика отрица-

го заряда отрицателен и противоположен знаку «за-

тельный. Это приводит к формированию состояний

ряда изображения» в случае сверхпроводника (11).

с противоположной, относительно случая со сверх-

Магнитостатическая энергия ферромагнитной плен-

проводником, киральностью.

ки на парамагнитной подложке определяется выра-

жением (2), где дипольный тензор

{

}

∂

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

D(p)ik(r₁, r₂) =

G(p)

(31)

∂x1i∂x2k

Мы показали, что в случае идеальных сверх-

При этом второе слагаемое в (25) обращается

проводящей (μ = 0) и парамагнитной (μ = ∞)

в нуль. Как и в случае сверхпроводника, наличие

подложек магнитостатическая энергия ферромаг-

парамагнетика приводит к существованию недиаго-

нитной пленки имеет «киральное» слагаемое. Вид

нальных компонент магнитостатического тензора

этого слагаемого аналогичен энергии Дзялошинс-

D(p)yz(q) = -D(p)zy(q).

кого - Мории, имеющего поверхностный характер

(1). Разница магнитостатического и ДМ-механизмов

Энергия системы приобретает вид (13) с заменой

формирования киральных состояний заключается

D(s)

D(p)

(q) -→

(q):

в их зависимости от толщины пленки h, так как

ДМ-взаимодействие существует лишь на границе

q2y

пленки. Важно отметить также, что асимметричное

D(p)

(q) ≈ αq² + 2πh

- 2πh

ε+

(32)

слагаемое магнитостатической природы имеет, вооб-

ще говоря, нелокальный характер (17). Для оценки

его величины и сравнения с поверхностной энергией

D(p)

(q) ≈ αq² - 2πqh + 4π - 2πqhε +

- K, (33)

ДМ удобно воспользоваться фурье-представлением

(13) и (34). Будем считать, что в системе существу-

ют флуктуации с волновыми числами порядка q_c

D(p)

(q) ≈ -2πhq_yε,

(34)

Тогда асимметричный вклад можно оценить по фор-

муле

где ε = 2πχ/(1 + 2πχ). Коэффициенты квадратич-

ΔE(s,p) ≈

M²V D(s,p)yz(q_c).

(36)

ной формы совпадают с формулами (14)-(16) для

сверхпроводника при формальной замене

В качестве ферромагнитной пленки можно вы-

(√

)₂

брать многослойную структуру Co/Pt, в которой

(λq)² + 1 + λq

-→ -ε.

величина анизотропии и другие параметры мо-

гут контролироваться толщинами слоев Со и Pt

После замены, аналогичной (18), выражение для

[28-30]. Характерная длина для переходных метал-

энергии приобретает диагональный вид (19). До-

лов

√α ∼ 20 нм, магнитный момент насыщения,

пустим, что восприимчивость парамагнетика мала

M ∼ 1000 Гс. Для толщины пленки h ∼ 2 нм имеем

(ε ≪ 1). Ограничиваясь слагаемыми, линейными по

q_ch ∼ πh²/α ∼ 0.03 и фактор, зависящий от толщи-

ε, для критических значений волнового числа и маг-

ны пленки в формулах (13), (34), с хорошей точно-

нитного поля получаем

стью равен единице.

Влияние экранировки в случае сверхпроводя-

q(p)c = q_c(1 + ε),

щей подложки определяется отношением масштаба

неустойчивых флуктуаций порядка 1/q_c ∼ α/πh к

H(p)c ≈ H_c + 2πq_chεM,

(35)

глубине экранировки λ. Для Al, Pb величина λ ∼

где q_c, H_c — критические значения волнового числа

∼ 50 нм [31] и фактор, уменьшающий асимметрич-

и магнитного поля для неустойчивости в изолиро-

ное взаимодействие, равен

ванной пленке, которые определяются формулами

(√

)₂

(7) и (8). При (πh)²/α ∼ 1, ε ∼ 0.1, M ∼ 1000 Гс

(λq)² + 1 + λq

∼ 1/4.

1114

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Киральная неустойчивость однородного состояния. ..

Для выбранных параметров эффективная поверх-

вблизи критической температуры сверхпроводяще-

ностная плотность кирального взаимодействия

го или ферромагнитного переходов в материале со-

ответствующей подложки. Эта зависимость может

ΔE(s) ∼ 4 · 10-8 эрг/см.

быть исследована методами магнитометрии. Кро-

ме того, представляет интерес изучить особенности

Для поверхностного взаимодействия Дзялошинско-

спектра спиновых волн в этих системах [33, 34] и

го - Мории, аналогичная величина равна E_DM

наблюдать формирующиеся магнитные состояния

= Dδ ∼ 2 · 10-8 эрг/см, если D ∼ 1 эрг/см², δ ∼

методами магнитно-силовой [35-37] и лоренцевой

∼ 2 · 10-8 см. Таким образом, энергия кирального

микроскопии [38].

магнитостатического взаимодействия в структурах

ферромагнетик/сверхпроводник сравнима с энерги-

ей Дзялошинского - Мории на границах ферромаг-

Финансирование. Работа выполнена при под-

нетик/тяжелый металл, и можно наблюдать доста-

держке Российского фонда фундаментальных ис-

точно большой киральный эффект в многослойной

следований (грант № 20-02-00356) и в рамках гос.

системе Pb(Al)/Pt/Co/Pt.

контракта 0035-2019-0022-C-01.

В случае парамагнитной подложки величина эф-

фекта уменьшается пропорционально величине па-

рамагнитной восприимчивости χ. Увеличить эту

восприимчивость можно, рассматривая в качестве

ПРИЛОЖЕНИЕ

подложки ферромагнетик, имеющий относительно

низкую температуру Кюри. Это может быть, напри-

После применения преобразования Фурье добав-

мер, гадолиний, для которого температура Кюри по-

ка к энергии (4), связанная с флуктуациями вектора

рядка комнатной T_c ∼ 300 K. В парамагнитной об-

намагниченности по направлению, запишется в виде

ласти восприимчивость подложки определяется за-

коном Кюри - Вейсса

∑{(

)

с_k

ΔE =

αq² + H

|M_y(q)|² +

χ=

T -T_c

(

)

}

где c_k — константа Кюри, которая для гадолиния

αq² + H - K

|M_z(q)|²

равна примерно 1/3 [32]. Если T - T_c ∼ 10 K, то χ ∼

∼ 1/30. Тогда, согласно формулам (32-34), кираль-

∑

D_ik(q)M_i(q)M_k(-q). (A.1)

ный вклад в энергию ΔE(p) ∼ 4 · 10-8 эрг/см.

q,i,k=y,z

Вблизи критической температуры ферромагнит-

ного перехода следует принимать во внимание ко-

Фурье-образы компонент магнитостатического тен-

нечность корреляционной длины в парамагнетике

√

зора вычисляются согласно формулам

T_c

l=l₀

T -T_c

∫

q2y

D_yy(q) =

e-iq·ρ√

Эта длина играет роль, аналогичную длине экрани-

ρ² + (z - z^′)²

ровке в случае сверхпроводящей подложки. Для га-

долиния l₀ ∼ 5 нм, l ∼ 25 нм. Влияние этого факто-

×dρ dz dz^′,

(A.2)

ра определяется соотношением lq_c, которое для вы-

{

}

∫

бранных параметров равно примерно 3/8, что поз-

D_zz(q) =

e-iq·ρ

√

dρ.

воляет, в первом приближении, не учитывать конеч-

ρ² + h²

ность корреляционной длины.

Итак, оценки показывают, что при распаде од-

Интегрирование в (A.2) проводится по объему фер-

нородного состояния в структурах ферромагне-

ромагнетика. Обратим внимание, что для недиаго-

тик/сверхпроводник (Pb(Al)/Pt/Co/Pt) и ферро-

нальной компоненты имеем D_yz(q) = 0. С использо-

магнетик/парамагнетик (Gd/Pt/Co/Pt) возможно

ванием определения функции Бесселя первого рода

формирование киральных магнитных состояний.

Киральный эффект проявляется в зависимости кри-

тического поля развития неустойчивости от темпе-

∫2π

ратуры, которая должна быть особенно сильной

e-iqρcosφ dφ = 2πJ₀(qρ),

1115

А. А. Фраерман, К. Р. Мухаматчин

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

выражения (A.2) перепишутся следующим образом:

J.-S. Kim, H.-J. Lee, J.-I. Hong, and C.-Y. You, J.

Magn. Magn. Mater. 455, 45 (2018).

∫∫

∫∞

q2y

J₀(qρ)

10.

В. Г. Барьяхтар, В. А. Львов, Д. А. Яблонский,

D_yy(q) = 2π

√

ρ² + (z - z^′)²

Письма в ЖЭТФ 21, 565 (1983).

×ρ dρ dz dz^′,

(A.3)

11.

M. Mostovoy, Phys. Rev. Lett. 96, 067601 (2006).

∞

{

}

∫

12.

А. П. Пятаков, А. К. Звездин, УФН 182, 593

4π

D_zz(q) =

J₀(qρ)

√

dρ.

(2012).

ρ² + h²

13.

I. E. Dzyaloshinskii, J. Phys. Chem. Sol. 4,

241

После интегрирования в (A.3) по переменной ρ,

(1958).

получим [39]

14.

T. Moriya, Phys. Rev. 120, 91 (1964).

∫∫

15.

A. Crepieux and C. Lacroix, J. Magn. Magn. Mater.

q2y

D_yy(q) = 2π

e-q|z-z′| dz dz^′,

182, 341 (1998).

(A.4)

16.

H. Yang, A. Thiaville, S. Rohart et al., Phys. Rev.

-qh

1-e

Lett. 115, 267210 (2015).

D_zz(q) = 4π

17.

A. N. Bogdanov and U. K. Rossler, Phys. Rev. Lett.

Интегрирование в первом уравнении (A.4) осущест-

87, 037203 (2001).

вляется по правилу

18.

S. Rohart and A. Thiaville, Phys. Rev. B 88, 184422

(2013).

∫∫

e-q|z-z′| dz dz^′ =

19.

H. Yang, A. Thiaville, S. Rohart, A. Fert, and

M. Chshiev, Phys. Rev. Lett. 115, 267210 (2015).

⎧

⎫

∫h

∫

⎨∫z

⎬

20.

A. Hrabec, N. A. Porter, A. Wells et al., Phys. Rev.

′

e-q(z-z′) dz^′ + eq(z-z′) dz

dz =

B 90, 020402(R) (2014).

⎩

⎭

(

)

21.

S. Tacchi, R. E. Troncoso, M. Ahlberg et al., Phys.

-qh

1-e

Rev. Lett. 118, 147201 (2017).

22.

J. Cho, N.-H. Kim, S. Lee et al., Nature Commun. 6,

7635 (2015).

ЛИТЕРАТУРА

23.

M. Belmeguenai, J.-P. Adam, Y. Roussignéet et al.,

Phys. Rev. B 91, 180405(R) (2015).

1. K. Everschor-Sitte, J. Masell, R. M. Reeve, and

M. Kläui, J. Appl. Phys. 124, 240901 (2018).

24.

N. Mikuszeit, S. Meckler, R. Wiesendanger, and

R. Miranda, Phys. Rev. B 84, 054404 (2011).

2. M. Benitez, A. Hrabec, A. Mihai et al., Nat. Comms.

6, 8957 (2015).

25.

K. Р. Мухаматчин, А. А. Фраерман, Письма в

ЖЭТФ 93, 797 (2011).

3. M. He, L. Peng, Z. Zhu et al., Appl. Phys. Rev. 111,

202403 (2017).

26.

И. М. Нефедов, А. А. Фраерман, И. А. Шерешевс-

кий, ФТТ 58, 490 (2016).

4. S. Zhang, J. Zhang, Y. Wen et al., Appl. Phys. Lett.

113, 192403 (2018).

27.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

сплошных сред, Т. VIII, Физматлит, Москва (2005).

5. S. A. Meynell, M. N. Wilson, K. L. Krycka et al.,

Phys. Rev. B 96, 054402 (2017).

28.

V. Grolier, J. Ferré, A. Maziewski et al., J. Appl.

Phys. 73, 5939 (1993).

6. S. Muhlbauer, D. Honecker, E. A. Perigoet al., Rev.

Mod. Phys. 91, 015004 (2019).

29.

C. Chappert and P. Bruno, J. Appl. Phys. 64, 5736

(1988).

7. S. Muhlbauer, B. Binz, F. Jonietz et al., Science 323,

915 (2009).

30.

P. F. Carcia, J. Appl. Phys. 63, 5066 (1988).

8. A. Fert, N. Reyren,and V. Cros, Nat. Rev. Mater. 2,

31.

В. В. Шмидт, Введение в физику сверхпроводни-

17031 (2017).

ков, Наука, Москва (1982).

1116