ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1139-1174

ПЕРЕСТРОЙКИ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ В МАГНИТНОМ

ПОЛЕ И ГЕОМЕТРИЯ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФЕРМИ

А. Я. Мальцев^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 29 июня 2020 г.,

после переработки 29 июня 2020 г.

Принята к публикации 3 июля 2020 г.

Рассматривается квазиклассическая динамика электронов на сложных поверхностях Ферми в присут-

ствии сильных магнитных полей. Перестройки общей топологической структуры такой динамики сопро-

вождаются появлением замкнутых экстремальных траекторий специальной формы, тесно связанной с

геометрией и топологией поверхности Ферми. Исследование осцилляционных явлений на таких траекто-

риях позволяет, в частности, предложить сравнительно простой метод уточнения параметров дисперси-

онного соотношения в металлах со сложными поверхностями Ферми.

DOI: 10.31857/S0044451020120147

Как мы увидим ниже, обе возможности могут

быть связаны с появлением особых экстремаль-

ных (замкнутых) траекторий на поверхности Фер-

1. ВВЕДЕНИЕ

ми вблизи границ перестроек (1.1). Более того, сами

границы перестроек структуры системы (1.1) могут

В данной работе мы хотим рассмотреть ряд во-

быть определены как границы, на которых исчеза-

просов, связанных с топологической структурой ди-

ют и появляются траектории такого типа, а положе-

намической системы

ния таких траекторий на поверхности Ферми может

[v_gr (p) × B] =

[∇ϵ(p) × B] ,

(1.1)

быть эффективно использовано для уточнения ее

геометрии. Важную роль для определения картины

определяющей квазиклассическую динамику элек-

перестроек и для восстановления геометрии поверх-

тронов на поверхности Ферми в присутствии внеш-

ности Ферми будут играть особенности осцилляци-

него магнитного поля. Более точно, нас будут ин-

онных явлений, в частности, явления циклотронно-

тересовать перестройки топологической структуры

го резонанса на траекториях такого типа.

системы (1.1), происходящие при изменении направ-

ления магнитного поля, а также связь общей карти-

Одной из особенностей траекторий, которые мы

ны таких перестроек с геометрией поверхности Фер-

будем рассматривать, является наличие на них

ми.

(двух или более) специальных точек, в которых ско-

Ниже мы более подробно поясним, что мы пони-

рость пробегания электрона по траектории очень

маем под перестройкой топологической структуры

мала. Это свойство обусловлено близостью таких то-

системы (1.1), а также приведем описание типичной

чек к особым точкам динамической системы (1.1),

картины рассматриваемых нами перестроек для до-

что обусловлено связью рассматриваемых нами тра-

статочно сложных поверхностей Ферми. Нас будет

екторий с изменением структуры динамической си-

более всего интересовать возможность эксперимен-

стемы на поверхности Ферми при изменении направ-

тального определения картины перестроек (1.1) на

ления B. Вторая важная особенность интересую-

угловой диаграмме, а также возможность ее исполь-

щих нас траекторий заключается в том, что они

зования для уточнения геометрии поверхности Фер-

представляют собой «экстремальные» орбиты, т. е.

ми (особенно в случае сложных поверхностей).

траектории, период обращения по которым или пло-

щадь которых имеет экстремальную величину по

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

сравнению с близкими к ним траекториями. Такие

1139

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

свойства специальных траекторий делают исследо-

вание связанных с ними осцилляционных явлений

удобным инструментом их изучения.

Мы здесь не будем подробно рассматривать тео-

рию осцилляционных явлений в металлах (см., на-

пример, [1-3]). Отметим лишь, что главным для

нас в соответствующей картине осцилляций, имею-

щих чисто классическое (классический циклотрон-

ный резонанс) или квантовое происхождение (эф-

фект де Гааза - Ван Альфена, эффект Шубнико-

ва - де Гааза), будет то, что она задается суммой ко-

нечного числа осцилляционных членов (с разными

Рис. 1. Пересечение достаточно сложной периодической

периодами), соответствующих экстремальным тра-

поверхности в пространстве квазиимпульсов семейством

екториям на поверхности Ферми. Изменениям то-

плоскостей, ортогональных магнитному полю

пологической структуры системы (1.1) должно со-

ответствовать резкое изменение общей картины ос-

цилляций, заключающееся в исчезновении осцилля-

метрией траекторий (1.1), стали источником целого

ционных членов в общей картине и замене их новы-

ряда подходов и методов исследования электронных

ми. Таким образом, мы ожидаем наблюдение резких

спектров в металлах, которые не потеряли своей ак-

изменений описанного типа на некоторой сети од-

туальности и в настоящее время.

номерных кривых (на угловой диаграмме), соответ-

Задача о полном описании всех типов траекто-

ствующих перестройкам топологической структуры

рий системы (1.1) для произвольного периодическо-

системы (1.1).

го соотношения ϵ(p) была впервые поставлена Но-

Что касается специального положения рассмат-

виковым в работе [12] и интенсивно исследовалась

риваемых нами траекторий на поверхности Ферми,

в его топологической школе [12-20]. При исследо-

то оно обусловлено близостью таких траекторий к

вании задачи Новикова, в частности, были найде-

весьма специальным сингулярным траекториям ди-

ны новые типы открытых траекторий [15, 19], неиз-

намической системы (1.1). Траектории последнего

вестные ранее для систем (1.1). Заметим, что по-

типа могут возникать лишь при специальных на-

скольку система (1.1) сохраняет энергию электрона

правлениях B (определяемых картиной перестроек

ϵ(p) и проекцию квазиимпульса p на направление

(1.1) на угловой диаграмме) и связаны с точными

магнитного поля, задача Новикова может быть по-

геометрическими параметрами поверхности Ферми.

ставлена и как задача описания геометрии всех воз-

Ниже мы более подробно рассмотрим возникающую

можных сечений произвольной периодической по-

ситуацию.

верхности семейством параллельных плоскостей в

Как хорошо известно, геометрия траекторий си-

p-пространстве (рис. 1). В настоящее время полу-

стемы (1.1) играет важнейшую роль в теории галь-

чена полная классификация различных типов тра-

ваномагнитных явлений в металлах в присутствии

екторий для произвольных дисперсионных соотно-

сильных магнитных полей. В частности, как было

шений ϵ(p) (см. [18-20]), среди которых наиболее

впервые показано в работе [4], поведение проводи-

важную роль играют устойчивые открытые траек-

мости в сильных магнитных полях должно суще-

тории (1.1).

ственно различаться в случаях, когда на поверхно-

При описании гальваномагнитных явлений в

сти Ферми присутствуют лишь замкнутые траек-

сильных магнитных полях обычно используются уг-

тории (1.1) и когда на ней появляются также от-

ловые диаграммы для магнитопроводимости, отра-

крытые траектории системы (1.1). Дальнейшие ис-

жающие появление различных типов траекторий

следования поведения траекторий системы (1.1) на

(прежде всего, открытых) на поверхности Ферми

различных поверхностях Ферми и эффектов, свя-

при различных направлениях B. Поскольку появ-

занных с их геометрией, проводились весьма актив-

ление различных типов траекторий при этом непо-

но, начиная с середины прошлого века, в частности,

средственно связано с изменением структуры систе-

огромную роль в становлении и развитии данной об-

мы (1.1), такие диаграммы, в действительности, тес-

ласти сыграли исследования, проводимые в школе

но связаны с угловыми диаграммами, отражающи-

И. М. Лифшица в этот период (см. [2,5-11]). Надо

ми изменение топологической структуры (1.1), кото-

отметить также, что исследования, связанные с гео-

рые мы будем рассматривать ниже. В частности, по-

1140

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

явление траекторий интересующего нас типа связа-

но также и с появлением открытых траекторий, так

что они всегда возникают при направлениях маг-

нитного поля, близких к направлениям появления

открытых траекторий на поверхности Ферми. Появ-

ление рассматриваемых траекторий связано в этом

случае с (бесконечной) последовательностью пере-

строек траекторий системы (1.1) при появлении от-

крытых траекторий. Как следствие этого, наиболее

Рис. 2. Цилиндр замкнутых траекторий системы (1.1) на

богатые структуры на угловой диаграмме, описы-

поверхности Ферми, ограниченный сингулярными траекто-

вающей перестройки топологической структуры си-

риями на своих основаниях

стемы (1.1), связаны, в действительности, с откры-

тыми траекториями (1.1), а сами такие диаграммы

в некотором смысле «привязаны» к угловым диа-

Все неособые замкнутые траектории системы

граммам для магнипроводимости в случае достаточ-

(1.1) на поверхности Ферми объединены в конечное

но сложных поверхностей Ферми.

число (неэквивалентных) цилиндров таких траекто-

В самом общем случае, однако, появление тра-

рий, имеющих сингулярные точки системы (1.1) на

екторий интересующего нас типа может быть и не

своих основаниях (рис. 2). Для структур общего по-

связано с появлением или исчезновением открытых

ложения можно считать, что на каждом из осно-

траекторий, однако, оно всегда отвечает перестрой-

ваний цилиндров замкнутых траекторий находится

ке «топологической структуры», порождаемой тра-

ровно одна особая точка (1.1). Изменение структуры

екториями (1.1) на поверхности Ферми. Более то-

траекторий системы (1.1) при этом всегда связано с

го, для описания перестроек топологической струк-

изменением множества цилиндров замкнутых тра-

туры (1.1) достаточно, в действительности, следить

екторий (например, при вращениях направления B

за изменениями замкнутых траекторий, что и объ-

или изменении уровня Ферми), т. е. исчезновением

ясняет тесную связь интересующих нас траекторий

части (или всех) таких цилиндров и появлением но-

с такими изменениями. В некотором смысле, мож-

вых (или полным исчезновением замкнутых траек-

но сказать даже больше, а именно, для достаточно

торий на поверхности Ферми). Как нетрудно видеть,

исчерпывающего описания топологической структу-

само исчезновение (или появление) какого-либо ци-

ры системы (1.1) на двумерной периодической по-

линдра замкнутых траекторий должно быть связа-

верхности достаточно, в действительности, инфор-

но с появлением специальных сингулярных траекто-

мации о структуре замкнутых траекторий, возника-

рий системы (1.1) (или цилиндров нулевой высоты),

ющих на ней. Сформулированное утверждение мож-

соединяющих более одной особой точки (1.1).

но пояснить следующим образом. Указание полно-

Как мы уже сказали, нас, в первую очередь,

го множества M замкнутых траекторий системы

будет интересовать изменение структуры траекто-

(1.1) однозначно определяет также его дополнение

рий системы (1.1) при вращениях направления маг-

на поверхности Ферми, состоящее из конечного чис-

нитного поля. Согласно сказанному выше, все про-

ла (неэквивалентных) связных компонент, несущих

странство направлений B (т. е. единичная сфера S²)

открытые траектории системы (1.1). Как вытека-

может быть разделено на области (а также предель-

ет из довольно глубоких топологических исследо-

ные множества таких областей), в каждой из ко-

ваний (см. [13-21]), главные особенности геометрии

торых топологическая структура системы (1.1) на

открытых траекторий (1.1) полностью определяют-

поверхности Ферми остается неизменной. Границы

ся топологией несущих их компонент (точнее, родом

этих областей определяются исчезновением (или по-

соответствующих компактных многообразий, полу-

явлением) хотя бы одного из цилиндров замкнутых

чаемых после факторизации по векторам обратной

траекторий, т. е. присутствием хотя бы одного ци-

решетки). Таким образом, указание полного множе-

линдра нулевой высоты при соответствующих на-

ства неэквивалентных замкнутых траекторий систе-

правлениях B. Нетрудно видеть, что вблизи границ

мы (1.1) на поверхности Ферми определяет, в дей-

перестроек структуры (1.1) мы должны ожидать

ствительности, полную структуру системы (1.1) на

появления цилиндров замкнутых траекторий очень

ней, т. е. позволяет эффективно описать все возни-

малой высоты, дающих в пределе цилиндры нуле-

кающие на ней траектории (1.1). Ниже мы обсудим

вой высоты на поверхности Ферми. Особенностью

сделанные утверждения более подробно.

замкнутых траекторий на цилиндрах малой высо-

1141

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

ты является их близость к сингулярным траектори-

ми). В разд. 3 мы также рассмотрим общую струк-

ям и, в особенности, к предельной специальной син-

туру диаграмм, описывающих перестройки струк-

гулярной траектории, возникающей в момент пере-

туры системы (1.1) и их связь с угловыми диаграм-

стройки структуры (1.1). Как и на всяком цилиндре

мами для магнитопроводимости, а также обсудим

замкнутых траекторий, на цилиндрах малой высо-

классы сложности таких диаграмм.

ты вплоть до момента перестройки сохраняются экс-

В разд. 4 мы более подробно изучим схемы «эле-

тремальные замкнутые траектории с минимальным

ментарных» перестроек структуры системы (1.1) и

периодом обращения среди всех траекторий цилинд-

обсудим вероятность появления перестроек различ-

ра. Именно такие траектории мы и будем, главным

ных типов на реальных поверхностях Ферми.

образом, рассматривать в данной работе.

В разд. 5 мы рассмотрим связь этих явлений с

Перестройки системы (1.1) могут обладать раз-

общей геометрией поверхности Ферми и, в частнос-

личной топологией, а соответствующие специаль-

ти, обсудим возможности использования наблюде-

ные экстремальные траектории — различной гео-

ния таких явлений для изучения особенностей элек-

метрией. Мы перечислим топологические типы пе-

тронного спектра.

рестроек (1.1) и приведем соответствующие им гео-

В разд. 6 мы обсудим особенности осцилляцион-

метрические типы специальных траекторий. Наи-

ных явлений, связанных с траекториями интересу-

более подробно мы рассмотрим один из наиболее

ющего нас типа, где особенно детально рассмотрим

простых типов, который встречается в подавляю-

явление циклотронного резонанса на таких траекто-

щем числе случаев для реальных поверхностей Фер-

риях.

ми. В качестве примера использования специальных

траекторий мы приведем один из возможных спосо-

бов частичного восстановления формы поверхности

2. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

Ферми с использованием траекторий такого типа. В

СИСТЕМЫ (1.1) ПРИ НАЛИЧИИ

общем случае, однако, приведенный способ не явля-

УСТОЙЧИВЫХ ОТКРЫТЫХ ТРАЕКТОРИЙ

ется единственно возможным.

НА ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ

Таким образом, мы хотели бы описать типич-

ные картины перестроек структуры системы (1.1)

на угловой диаграмме для всех направлений B, об-

Для целей данной работы нам понадобится, в

судить топологические типы таких перестроек и гео-

частности, описание топологической структуры си-

метрию соответствующих специальных экстремаль-

стемы (1.1) при наличии устойчивых открытых тра-

ных траекторий, обсудить особенности осцилляци-

екторий на поверхности Ферми. Траектории такого

онных явлений при перестройках струкутры (1.1),

типа являются устойчивыми по отношению к малым

а также возможности использования информации о

вращениям направления B, и их наличие означает,

таких перестройках для восстановления формы по-

в действительности, что соответствующее направле-

верхности Ферми.

ние B принадлежит некоторой «зоне устойчивости»

В разд. 2 и 3 мы приведем краткое описание то-

в пространстве направлений B (т. е. на единичной

пологической структуры системы (1.1) на поверхно-

сфере S²).

сти Ферми при наличии на ней устойчивых откры-

При описании топологической структуры дина-

тых траекторий этой системы. В этой ситуации нас

мической системы (1.1) важнейшую роль играет

будет, главным образом, интересовать процедура пе-

структура множества замкнутых траекторий, воз-

ресечения границы области, отвечающей существо-

никающих на поверхности Ферми. Проиллюстриру-

ванию устойчивых открытых траекторий системы

ем связь этой структуры с полной структурой систе-

(1.1) на поверхности Ферми, а также структура за-

мы при наличии устойчивых открытых траекторий

мкнутых траекторий вблизи ее границ. Как мы уви-

на поверхности Ферми.

дим, помимо указанных выше особенностей (суще-

Пользуясь информацией о множестве M цилин-

ствования участков с очень низкой скоростью про-

дров замкнутых траекторий, определим следующую

бегания по траектории), возникающие здесь замкну-

процедуру упрощения (редукции) поверхности Фер-

тые траектории могут обладать многими дополни-

ми (см. [20]) при заданном направлении магнитного

тельными интересными свойствами, вытекающими

поля.

из их геометрии. Отметим, что такие области могут

1) Удалим из поверхности Ферми все цилиндры

возникать лишь для поверхностей Ферми достаточ-

замкнутых траекторий (рис. 3). (Оставшаяся часть

но сложной формы (открытых поверхностей Фер-

поверхности Ферми содержит лишь сингулярные и

1142

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 3. Удаление цилиндра замкнутых траекторий из по-

верхности Ферми с последующей заклейкой отверстий дис-

ками, ортогональными магнитному полю

Рис. 5. Схематичное представление сложной поверхности

Ферми, несущей устойчивые открытые траектории систе-

мы (1.1)

тиной, изображенной на рис. 5. Можно видеть, что

эта структура остается той же самой при вращениях

направления B до тех пор, пока не будет разрушен

хотя бы один из цилиндров замкнутых траекторий,

Рис. 4. Связная компонента редуцированной поверхности

соединяющих носители открытых траекторий в

Ферми, несущая устойчивые открытые траектории систе-

p-пространстве. Неизменность топологической

мы (1.1)

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми

означает, в частности, неизменность гомологиче-

ских циклов, задаваемых окружностями цилиндров

открытые траектории системы (1.1), так что ее связ-

множества M, разрезающих поверхность Ферми

ные компоненты могут быть названы носителями

на носители открытых траекторий, неизменность

открытых траекторий.)

топологии носителей открытых траекторий, а

2) Заклеим образовавшиеся отверстия плоскими

также топологического класса вложения носите-

дисками в p-пространстве, ортогональными B. Ре-

лей в p-пространство (точнее, гомологического

зультатом перестройки будет снова являться перио-

класса вложений двумерных торов T², т. е. носи-

дическая двумерная поверхность в p-пространстве,

телей, профакторизованных по векторам обратной

несущая теперь только открытые траектории систе-

решетки, в трехмерный тор T³, т. е. компакти-

мы (1.1).

фицированную зону Бриллюэна, определяемого

целочисленным двумерным направлением вло-

Важнейшим свойством (см. [13, 16]) редуциро-

жения носителей в p-пространство). Рисунок 5,

ванной поверхности Ферми при наличии на ней

конечно, представляет собой лишь схематическое

устойчивых открытых траекторий системы (1.1) яв-

изображение топологической структуры системы

ляется то, что все ее связные компоненты в этом

(1.1) на поверхности Ферми, и реальная картина

случае представляют собой периодически деформи-

может выглядеть гораздо сложнее с визуальной

рованные плоскости, имеющие одно и то же цело-

точки зрения. В частности, цилиндры замкнутых

численное направление в p-пространстве (рис. 4).

траекторий могут иметь довольно малую высоту и

Таким образом, все носители открытых траекто-

проходить через большое число зон Бриллюэна для

рий образуют набор параллельных периодически де-

структур с большими гомологическими классами

формированных плоскостей с общим (двумерным)

вложения T² → T³.

направлением, порожденным двумя произвольны-

ми векторами обратной решетки. Количество та-

Как можно также видеть на рис. 5, среди цилин-

ких неэквивалентных плоскостей представляет чет-

дров замкнутых траекторий на поверхности Ферми

ное число и для поверхностей Ферми не очень боль-

могут возникать, в том числе, «простые» цилиндры

шого рода не может в действительности превышать

замкнутых траекторий, одно из оснований которого

двух.

стягивается в одну особую точку (рис. 6).

Структура исходной поверхности Ферми, несу-

Появление и исчезновение цилиндров такого ти-

щей устойчивые открытые траектории системы

па, вообще говоря, изменяет общую топологиче-

(1.1), может быть схематически представлена кар-

скую структуру системы (1.1) на поверхности Фер-

1143

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

[22, 23]. Соответствующие направления могут быть

заданы в действительности несократимыми тройка-

ми целых чисел (M1α, M2α, M3α), которые можно на-

звать топологическими числами, наблюдаемыми в

проводимости нормальных металлов.

Топологическое представление поверхности Фер-

ми в виде, приведенном на рис. 5, не является един-

Рис. 6. Простой цилиндр замкнутых траекторий, имеющий

ственным, в частности, такие представления раз-

особую точку системы (1.1) в качестве одного из своих ос-

личны для различных зон устойчивости Ω_α. Нетруд-

нований

но видеть, что конкретная форма представления

поверхности Ферми в этом виде (а также числа

(M1α, M2α, M3α)) определяется заданием цилиндров

замкнутых траекторий на поверхности Ферми.

Таким образом, можно видеть, что задание мно-

жества M цилиндров замкнутых траекторий пол-

ностью определяет в описываемой ситуации топо-

Рис. 7. Вид устойчивой открытой траектории системы

логию системы (1.1) на поверхности Ферми. Строго

(1.1) в плоскости, ортогональной B

говоря, полное описание траекторий (1.1) включает

в себя также число вращения на двумерных торах

T² (или среднее направление открытых траекторий

ми. Обычно, однако, наличие или отсутствие таких

в p-пространстве), которые не задаются лишь топо-

цилиндров не играет большой роли при описании

логией разбиения поверхности Ферми на описанные

сложных геометрических свойств траекторий систе-

компоненты, однако легко вычисляются в описывае-

мы (1.1). Нам здесь также, главным образом, бу-

мой ситуации для любого заданного направления B

дут интересны лишь перестройки структуры (1.1) с

(B/B ∈ Ω_α). Как мы покажем в следующем разде-

исчезновением или появлением нетривиальных ци-

ле, появление устойчивых открытых траекторий на

линдров замкнутых траекторий (рис. 2).

поверхности Ферми влечет за собой в действитель-

Открытые траектории системы (1.1) задаются

ности также существование большого множества на-

пересечениями носителей открытых траекторий с

правлений B, при которых возникают интересные

плоскостями, ортогональными B. Описанная струк-

нам специальные экстремальные замкнутые траек-

тура поверхности Ферми позволяет при этом ука-

тории.

зать важнейшие свойства устойчивых открытых

Отметим сразу, что устойчивые открытые тра-

траекторий в p-пространстве.

ектории не являются единственным типом откры-

1) Каждая устойчивая открытая траектория сис-

тых траекторий, могущих возникать на достаточ-

темы (1.1) в p-пространстве лежит в прямой поло-

но сложных поверхностях Ферми (см. [15, 18, 19]).

се конечной ширины в некоторой плоскости, ортого-

Можно, однако, отметить, что и в этом случае из-

нальной B (рис. 7), проходя ее насквозь (см. [13,14]).

менение структуры траекторий системы (1.1) все-

2) Все устойчивые открытые траектории при за-

гда связано с появлением или исчезновением цилин-

данном направлении B имеют одно и то же сред-

дров замкнутых траекторий и, в некотором смыс-

нее направление, задаваемое пересечением плоскос-

ле, наличие множества M (или его отсутствие), а

ти, ортогональной B, и некоторой (неизменной для

также его структура определяют полную тополо-

данной зоны устойчивости Ω) целочисленной (т. е.

гическую структуру системы (1.1) на поверхности

порожденной двумя векторами обратной решетки)

Ферми. Различные вопросы, связанные с классифи-

плоскости Γ.

кацией открытых траекторий системы (1.1), вклю-

Указанные свойства устойчивых открытых тра-

чая их физические приложения, а также исследова-

екторий играют важнейшую роль в поведении про-

ния структуры неустойчивых открытых траекторий

водимости нормальных металлов в достаточно силь-

различных типов, могут быть найдены в работах

ных магнитных полях. В частности, направления

[24-42]. Естественно также отметить, что множество

целочисленных плоскостей Γ_α, определенные для

M определяет структуру системы (1.1) на поверхно-

различных зон устойчивости Ω_α, играют роль це-

сти Ферми также и в том случае, если на ней возни-

лочисленных топологических инвариантов, наблю-

кают лишь замкнутые траектории, поскольку содер-

даемых в проводимости в сильном магнитном поле

жит в этом случае информацию о всех траекториях

1144

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

системы (1.1). В любом случае, любое изменение то-

пологической структуры системы (1.1) на поверхно-

сти Ферми всегда связано с перестройкой множества

M и, в частности, с исчезновением или появлением

отдельных цилиндров замкнутых траекторий.

3. ПЕРЕСТРОЙКИ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ

(1.1) И ПОЯВЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ

ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ НА

ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ

Как мы уже сказали выше, изменение структу-

ры системы (1.1) всегда связано с исчезновением

или появлением цилиндров замкнутых траекторий

на поверхности Ферми. Схема исчезновения (или по-

явления) одного из таких цилиндров приведена на

рис. 8. Можно видеть, что при правильно подобран-

ном вращении направления B высота цилиндра за-

мкнутых траекторий уменьшается, затем обращает-

ся в нуль и затем появляется узкая полоса, в кото-

рой становятся возможными перескоки траекторий

между бывшими основаниями цилиндра.

Таким образом, можно видеть, что изменению

топологической структуры системы (1.1) всегда со-

путствует появление цилиндра замкнутых траекто-

рий очень малой высоты, ограниченного сингуляр-

ными траекториями на своих основаниях (рис. 9).

Период обращения по замкнутым траекториям стре-

мится к бесконечности при приближении к основа-

Рис. 8. Исчезновение цилиндра замкнутых траекторий на

ниям цилиндра (сингулярным траекториям) и, та-

поверхности Ферми при вращении направления B

ким образом, должен иметь минимум на некото-

рой траектории внутри цилиндра. Соответствую-

щая траектория является экстремальной, в частно-

сти, при рассмотрении явления циклотронного резо-

нанса, поскольку главные осциллирующие члены в

интенсивности поглощения микроволнового излуче-

ния происходят именно от таких траекторий. В дан-

ной работе нам будут интересны именно такие тра-

ектории. Для удобства мы будем называть их специ-

Рис. 9. Цилиндр замкнутых траекторий малой высоты, со-

альными экстремальными траекториями. Чаще все-

путствующий изменению топологической структуры сис-

го (например, при перестройках вблизи границ об-

темы (1.1) на поверхности Ферми

ластей появления устойчивых открытых траекторий

для поверхностей Ферми не слишком большого ро-

да) такие цилиндры являются центрально-симмет-

мальные траектории на них не обязаны обладать

ричными и тогда, если экстремальная траектория

центральной симметрией. Как мы увидим ниже, на-

единственна (только этот простейший случай мы

личие центральной симметрии экстремальных тра-

и будем рассматривать), она также обладает цен-

екторий дает особенно удобный инструмент иссле-

тральной симметрией. В особых случаях, однако,

дования поверхности Ферми в рассматриваемой си-

цилиндры замкнутых траекторий могут также появ-

туации.

ляться парами и переходить друг в друга при преоб-

Период обращения T по экстремальной траек-

разованиях центральной симметрии. В этом случае,

тории также стремится к бесконечности (по лога-

как цилиндры замкнутых траекторий, так и экстре-

рифмическому закону) при стремлении высоты h

1145

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

ных с перестройкой этой траектории при изменении

структуры системы (1.1) (рис. 10). Именно вблизи

этих точек электрон задерживается надолго, пробе-

гая достаточно быстро оставшиеся участки траекто-

рии. При наблюдении явления циклотронного резо-

нанса нам, в частности, будет интересна ситуация,

когда именно эти точки соответствуют участкам

траектории, лежащим вблизи поверхности (внутри

скин-слоя) исследуемого образца, что, как мы уви-

дим, приводит к определенным особенностям в по-

ведении осцилляций поглощения падающего излу-

чения.

Экстремальная траектория существует лишь до

момента исчезновения соответствующего цилиндра

замкнутых траекторий и распадается на другие тра-

ектории после его исчезновения. Получающиеся по-

сле перестройки траектории (рис. 10) могли бы

априори быть как открытыми, так и замкнутыми.

Однако, как мы увидим ниже, всякий раз, когда

изменение топологической структуры системы (1.1)

связано с появлением открытых траекторий, оно но-

сит более сложный характер и требует, как правило,

бесконечного числа перестроек, описанных выше.

Как мы уже отмечали, указанное обстоятельство

делает естественным проведение связи между уг-

ловыми диаграммами, описывающими перестройки

топологической структуры (1.1), с угловыми диа-

Рис. 10. Перестройка экстремальной траектории при изме-

граммами, описывающими поведение магнитопро-

нении топологической структуры системы (1.1) на поверх-

водимости в металлах в сильных магнитных полях.

ности Ферми

Традиционно, угловые диаграммы для магнитопро-

водимости в проводниках описывают разное пове-

дение проводимости при различных направлениях

цилиндра замкнутых траекторий к нулю. Сравни-

B, что обусловлено возникновением различных ти-

тельно медленный рост T, однако, позволяет сохра-

пов траекторий системы (1.1) на поверхности Фер-

нять условие T/τ ≪ 1 и, таким образом, наблю-

ми. Можно сказать, что основной целью угловой

дать осцилляционные явления на таких траектори-

диаграммы магнитопроводимости является разде-

ях вплоть до очень малых отклонений B от гра-

ление направлений B, отвечающих тривиальному

ницы перестройки топологической структуры си-

поведению проводимости (наличию лишь замкну-

стемы (1.1). Таким образом, исследование осцилля-

тых траекторий на поверхности Ферми), и направле-

ционных явлений может служить очень хорошим

ний, отвечающих «нетривиальному» поведению (по-

инструментом для определения границ перестрой-

явлению открытых траекторий). Главным в струк-

ки топологической структуры системы (1.1) на по-

туре угловой диаграммы для проводимости в силь-

верхности Ферми. Точное исследование границ пе-

ных магнитных полях, является, таким образом,

рестройки системы (1.1) (на угловой диаграмме), в

указание областей (на единичной сфере) направле-

свою очередь, может служить хорошим инструмен-

ний B, отвечающих наличию лишь замкнутых тра-

том уточнения формы поверхности Ферми и других

екторий на поверхности Ферми, а также описание

параметров дисперсионного соотношения ϵ(p) для

множества направлений B, отвечающих появлению

металлов со сложными поверхностями Ферми.

открытых траекторий различных типов. Так, угло-

Причиной увеличения периода T при стремле-

вая диаграмма для магнитопроводимости содержит

нии высоты h к нулю является наличие точек на

в общем случае области (зоны устойчивости), соот-

экстремальной траектории, очень близких к сед-

ветствующие появлению устойчивых открытых тра-

ловым особым точкам в p-пространстве, связан-

екторий системы (1.1) на поверхности Ферми, а так-

1146

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 12. Пример перестройки топологической структуры

Рис. 11. Периодическая траектория и диаграмма проводи-

системы (1.1) и угловая диаграмма, описывающая пере-

мости для поверхности Ферми типа гофрированного ци-

стройки структуры (1.1) для поверхности Ферми типа гоф-

линдра

рированного цилиндра

же дополнительные множества (одномерные кривые

Легко привести примеры, когда как вторые, так

или точки), соответствующие появлению различных

и первые диаграммы, являются просто тривиаль-

типов неустойчивых траекторий.

ными (не содержат никаких элементов) как, напри-

Угловая диаграмма, описывающая перестройки

мер, для поверхности Ферми, близкой к сфере. В

топологической структуры системы (1.1) на поверх-

общем случае, угловые диаграммы для магнитопро-

ности Ферми, согласно введенному нами описанию,

водимости можно разделить на несколько классов

представляет структуру (сеть одномерных направ-

сложности (см., например, [43]). К самым простей-

лений) множества направлений B, отвечающих пе-

шим естественно отнести тривиальные диаграммы,

рестройкам системы цилиндров замкнутых траекто-

соответствующие поверхностям Ферми, не допус-

рий на поверхности Ферми. Такая диаграмма долж-

кающим появления открытых траекторий ни при

на включать в себя структуру диаграммы для маг-

каких направлениях B. Угловые диаграммы, опи-

нитопроводимости как часть своей общей структу-

сывающие перестройки топологической структуры

ры. Причина этого, как мы уже отмечали, состо-

системы (1.1), не обязаны быть тривиальными —

ит в том, что при приближении к направлениям

так, легко построить примеры поверхностей Фер-

B, отвечающим появлению открытых траекторий,

ми, на которых происходят перестройки структуры

должны происходить множественные перестройки

(1.1), но не появляются открытые траектории. Диа-

замкнутых траекторий, обусловливающие в преде-

граммы, описывающие перестройки топологической

ле появление открытых траекторий системы (1.1).

структуры системы (1.1), содержат в этом случае

В качестве примера можно рассмотреть простейшие

конечную сеть одномерных направлений B (на сфе-

диаграммы, возникающие для поверхности Ферми

ре S²), соответствующих появлению цилиндров ну-

типа гофрированный цилиндр (рис. 11). Угловая

левой высоты, описанных выше.

диаграмма проводимости представляет здесь еди-

Второй по сложности класс угловых диаграмм

ничную сферу лишь с одним выделенным большим

для магнитопроводимости представлен угловыми

кругом (экватором), соответствующим появлению

диаграммами, содержащими сеть одномерных

(неустойчивых) периодических траекторий системы

кривых на сфере S², соответствующих появлению

(1.1). Угловая диаграмма, описывающая перестрой-

(неустойчивых) периодических открытых траекто-

ки топологической структуры системы (1.1), явля-

рий на поверхности Ферми. Как следует из примера,

ется более сложной и содержит бесконечное число

представленного выше, угловые диаграммы, опи-

окружностей на сфере S², сгущающихся вблизи эк-

сывающие перестройки топологической структуры

ватора (рис. 12).

системы (1.1), являются в этом случае более слож-

В целом, сложность угловых диаграмм, описыва-

ными и содержат бесконечное число одномерных

ющих перестройки топологической структуры сис-

кривых, отвечающих появлению цилиндров нулевой

темы (1.1), может быть весьма различной, при этом

высоты, в случае общего положения.

их сложность непосредственно связана со сложно-

К наиболее сложным диаграммам для магни-

стью соответствующих диаграмм для магнитопро-

топроводимости можно отнести диаграммы, содер-

водимости.

жащие нетривиальные области существования от-

1147

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

рий на одном из цилиндров (в данном случае на

толстом цилиндре), показанном на рис. 8 (т. е. обра-

щением в нуль высоты соответствующего цилиндра

замкнутых траекторий).

Что можно сказать о траекториях системы (1.1)

для направлений B, лежащих вне зоны Ω_α в непо-

Рис. 13. Упрощенное представление структуры поверхно-

средственной близости от ее границы? В действи-

сти Ферми, имеющей область существования устойчивых

тельности, описанная структура поверхности Фер-

открытых траекторий (зону устойчивости) в полном про-

ми позволяет дать описание траекторий (1.1) и для

странстве направлений B (на сфере S²)

таких направлений. Причина заключается в том,

что при пересечении границы Ω_α остаются несин-

гулярные замкнутые траектории на втором (тон-

крытых траекторий системы (1.1) (устойчивых от-

ком) цилиндре, разделяющем носители открытых

крытых траекторий). В действительности (см. [43]),

траекторий. В результате, поверхность Ферми мо-

такие диаграммы можно также разделить на два

жет быть представлена теперь как объединение по-

класса, различающихся по уровню сложности. Как

парно слившихся бывших носителей открытых тра-

мы увидим ниже, угловые диаграммы, описываю-

екторий, разделенных цилиндрами замкнутых тра-

щие перестройки топологической структуры систе-

екторий, оставшихся на тонких цилиндрах. В такой

мы (1.1), являются в этом случае наиболее сложны-

ситуации система еще сохраняет память о целочис-

ми и обладают весьма богатой структурой.

ленной плоскости Γ_α, связанной с зоной Ω_α и про-

В данной работе нам хотелось бы, в частности,

должающей играть существенную роль в описании

привести схематическое описание множества всех

траекторий системы (1.1) на поверхности Ферми.

направлений B, отвечающих перестройкам системы

Несингулярные траектории, возникающие для

(1.1), на угловых диаграммах самого общего и, в

направлений B, лежащих вблизи границы зоны Ω_α

частности, достаточно сложного вида (содержащих

естественно разделить на траектории, лежащие на

хотя бы одну зону устойчивости). Нам необходимо

тонком цилиндре и траектории, лежащие на паре

будет, кроме прочего, дать схематическое описание

слившихся носителей открытых траекторий. Мож-

структуры этого множества вблизи границы одной

но видеть, что последние являются либо замкну-

фиксированной зоны устойчивости Ω_α.

тыми (если плоскость, ортогональная B, пересекает

Рассмотрим при этом не слишком сложный слу-

Γ_α по иррациональному направлению), либо могут

чай, когда поверхность Ферми имеет род 3 и прости-

быть периодическими (если плоскость, ортогональ-

рается во всех трех направлениях в p-пространстве.

ная B, пересекает Γ_α по целочисленному направле-

Упрощая максимально визуальное представление

нию в p-пространстве). Обе ситуации схематически

структуры такой поверхности при направлении B,

изображены на рис. 14, где показано подразделе-

лежащем в одной из зон устойчивости, можно пред-

ние пары бывших носителей открытых траекторий

ставлять себе в качестве примера поверхность, изоб-

на цилиндры образовавшихся замкнутых траекто-

раженную на рис. 13. При направлениях B, близ-

рий (верхний рисунок), либо на цилиндры замкну-

ких к вертикальному, на рис. 13 легко выделить

тых траекторий и слои периодических траекторий в

визуально пару неэквивалентных носителей откры-

p-пространстве (нижний рисунок). В первом случае

тых траекторий (целочисленных плоскостей), а так-

на паре бывших носителей возникают три неэквива-

же два различных цилиндра замкнутых траекторий,

лентных цилиндра замкнутых траекторий, а во вто-

разделяющих эти носители (толстый и тонкий ци-

ром — один цилиндр замкнутых траекторий (и два

линдры). Цилиндры замкнутых траекторий имеют

неэквивалетных слоя периодических траекторий —

различные типы (электронный и дырочный) и оба

по одному на верхнем и на нижнем носителе). Та-

обладают центральной симметрией в описанной си-

ким образом, в рассматриваемой ситуации каждый

туации (зона устойчивости для поверхности рода 3,

из цилиндров замкнутых траекторий может перехо-

простирающейся в трех направлениях). Направле-

дить лишь в себя при преобразовании p → -p и,

ние B лежит в пределах зоны устойчивости до тех

следовательно, обладает центральной симметрией.

пор, пока оба цилиндра на рис. 13 содержат несин-

Как мы уже говорили, экстремальные замкнутые

гулярные замкнутые траектории системы (1.1). Гра-

траектории, обладающие такой симметрией, будут

ница зоны устойчивости Ω_α определяется при этом

нам особенно интересны при исследовании поверх-

исчезновением несингулярных замкнутых траекто-

ности Ферми.

1148

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 16. Цилиндры замкнутых траекторий, возникающие

на паре бывших носителей открытых траекторий после

пересечения границы зоны устойчивости на угловой диа-

грамме

тов, примыкающих к границе Ω_α, длина которых

быстро уменьшается с ростом модуля соответствую-

щего целочисленного вектора в p-пространстве. Для

целочисленных векторов небольшого модуля соот-

ветствующие сегменты могут при этом достигать

другой зоны устойчивости и не иметь концевых то-

чек. Такие сегменты являются, в действительности,

продолжениями сегментов, проходящих через всю

зону устойчивости и соответствующих появлению

периодических траекторий на поверхности Ферми

(рис. 15). (Отметим здесь, что иногда в литературе

можно встретить утверждение, что открытые траек-

тории на поверхности Ферми становятся периодиче-

скими, если плоскость, ортогональная B, содержит

Рис. 14. Пара бывших носителей открытых траекторий

целочисленное (рациональное) направление. Такое

(периодически деформированных целочисленных плоско-

утверждение, вообще говоря, неверно. Для форму-

стей), несущая либо замкнутые траектории, либо замкну-

тые и периодические траектории, после пересечения гра-

лировки более правильного утверждения надо отме-

ницы Ωα. Кружками отмечены места, где происходит пере-

тить сначала, что если мы рассматриваем измене-

скок траектории с верхнего носителя на нижний и обратно

ние устойчивых открытых траекторий, то направ-

ление B принадлежит некоторой зоне устойчивости

Ω_α, отвечающей определенной целочисленной плос-

кости Γ_α. Устойчивые открытые траектории стано-

вятся при этом периодическими в том и только в

том случае, когда пересечение плоскости, ортого-

нальной B, и плоскости Γ_α имеет рациональное (це-

лочисленное) направление, т. е. если плоскость, ор-

тогональная B, содержит целочисленное направле-

ние, принадлежащее также соответствующей плос-

кости Γ_α. Таким образом, появление периодических

Рис. 15. Зоны устойчивости и специальные сегменты, от-

открытых траекторий среди устойчивых открытых

вечающие появлению периодических траекторий на по-

траекторий непосредственно связано с описанной

верхности Ферми

выше структурой системы (1.1) и, в действительно-

сти, имеет непосредственное отношение к топологи-

ческим числам (Mα1, Mα2, Mα3).)

Возникновение периодических траекторий вбли-

зи границы Ω_α происходит лишь для направлений

Длина возникающих замкнутых траекторий об-

B необщего положения (пересечение плоскости, ор-

ратно пропорциональна вероятности перескока тра-

тогональной B, и Γ_α представляет вектор обратной

ектории с одного носителя на другой и тем меньше,

решетки). Нетрудно показать, что соответствующие

чем дальше направление B от границы зоны Ω_α. В

направления B образуют бесконечный набор сегмен-

непосредственной близости от границы Ω_α для на-

1149

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

риодических траекторий. В этом случае, как мож-

но видеть (рис. 14, нижний рисунок), длина цилин-

дра замкнутых траекторий остается неизменной при

движении вдоль заданного сегмента. Его высота, од-

Рис. 17. Длинные замкнутые траектории, возникающие на

нако, быстро увеличивается (а ширина слоев пери-

паре бывших носителей открытых траекторий в непосред-

одических траекторий — уменьшается) при удале-

ственной близости от границы зоны устойчивости

нии от границы Ω_α, что связано с ростом вероятно-

сти перескока между бывшими носителями откры-

тых траекторий (диаметра кругов на рис. 14). Отме-

правлений B общего положения длина соответству-

тим, что в этом случае цилиндры замкнутых траек-

ющих цилиндров замкнутых траекторий очень ве-

торий не являются цилиндрами общего положения,

лика (см. рис. 16) и обращается в бесконечность на

поскольку содержат по две особые точки на каж-

самой границе. Замкнутые траектории, возникаю-

дом из своих оснований. Соответствующая тополо-

щие на таких цилиндрах, также имеют при этом до-

гическая структура системы (1.1), таким образом,

вольно большую длину и несколько специфическую

также не является структурой общего положения и

форму (рис. 17) при приближении к границе Ω_α. В

возникает лишь для множества меры нуль на уг-

частности, в непосредственной близости к границе

ловой диаграмме. В конечной точке сегмента ши-

Ω_α должно нарушаться условие T/τ ≪ 1 и соот-

рина слоев периодических траекторий обращается в

ветствующие длинные замкнутые траектории стано-

нуль и бывшие носители открытых траекторий пол-

вятся неотличимы от открытых с эксперименталь-

ностью распадаются на цилиндры замкнутых траек-

ной точки зрения. Как одно из следствий — поведе-

торий (рис. 14, верхний рисунок). Соответствующая

ние проводимости в сильных магнитных полях при

перестройка топологической структуры (1.1) долж-

соответствующих направлениях B также становит-

на быть при этом также отнесена к перестройкам

ся довольно сложным и может не описываться про-

необщего положения, наблюдаемым лишь в изоли-

стыми асимптотическими формулами даже при до-

рованных точках (а не вдоль одномерных направле-

вольно больших значениях B (см., например, [44]).

ний) на угловой диаграмме.

Как было указано в работе [45], для определения

Надо отметить, что границы зон устойчивости

точных математических границ зон устойчивости,

Ω_α (и примыкающие к ним особые сегменты) пред-

возможно, лучше использовать наблюдения осцил-

ставляют собой совершенно особые множества с точ-

ляционных явлений в сильных магнитных полях,

ки зрения нашего определения изменения структу-

отслеживающие перестройку топологической струк-

ры системы (1.1) на поверхности Ферми. С одной

туры системы (1.1) на границах Ω_α (исчезновение

стороны, как мы уже видели, сама граница зоны

цилиндра коротких замкнутых траекторий), рас-

Ω_α определяется описанной нами перестройкой с ис-

сматриваемую здесь. При экспериментальном на-

чезновением цилиндра замкнутых траекторий. При

блюдении осцилляционных явлений в данной ситуа-

этом при приближении к границе Ω_α изнутри то-

ции является специфичным исчезновение одного из

пологическая структура системы (1.1) не меняется.

осциллирующих членов при пересечении границы

При приближении же к границе Ω_α с внешней сто-

зоны устойчивости изнутри без немедленного появ-

роны, однако, происходит бесконечное число пере-

ления других осциллирующих членов из-за большой

строек системы (1.1) на поверхности Ферми, так что

длины новых замкнутых траекторий вблизи грани-

нельзя говорить о том, какой структурой облада-

цы Ω_α. При удалении от границы Ω_α длины соот-

ет (1.1) вблизи границы Ω_α. Аналогичная картина

ветствующих траекторий, однако, довольно быстро

наблюдается также при приближении к специаль-

уменьшаются, а сами траектории принимают нор-

ным сегментам (вне зоны Ω_α), соответствующим по-

мальную форму. Как следствие этого, в осцилля-

явлению периодических траекторий на поверхности

ционной картине при этом также появляется воз-

Ферми.

можность наблюдать осцилляционные члены, соот-

Описанные выше перестройки цилиндров замк-

ветствующие новым цилиндрам замкнутых траек-

нутых траекторий на бывших носителях открытых

торий.

траекторий являются изменениями топологической

Несколько иная ситуация наблюдается, в дейст-

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми и

вительности, если мы приближаемся (или удаляем-

всегда сопровождаются исчезновением (и появлени-

ся) к границе зоны Ω_α по одному из примыкающих

ем новых) цилиндров замкнутых траекторий. Та-

к ней сегментов, соответствующих появлению пе-

кие перестройки происходят на определенных ли-

1150

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

разом, наряду с первой границей зоны устойчиво-

сти Ω_α естественно ввести также ее вторую границу

(см. [46]), определяющую область влияния Σ_α зоны

Ω_α на угловой диаграмме (рис. 19). Область Ω^′α =

= Σ_α\Ω_α естественно называть производной зоны

Ω_α, поскольку структура системы (1.1) для соответ-

ствующих направлений B непосредственно связана

со структурой этой системы в зоне Ω_α. В отличие

от самих зон устойчивости Ω_α, производные различ-

могут пересекаться

ных зон устойчивости Ω^′α, Ω^′β

Рис. 18. Сеть направлений B, соответствующая перестрой-

друг с другом. Кроме того, в отличие от первых гра-

кам структуры системы (1.1) вблизи границы зоны устой-

ниц зон устойчивости, вторые границы не представ-

чивости Ωα

ляют собой столь сложного множества с точки зре-

ния перестройки структуры системы (1.1) и везде, за

исключением лишь конечного числа точек, описы-

ваются простой (элементарной) перестройкой этой

структуры. Исключение при этом могут составлять

лишь некоторые точки второй границы (рис. 20), где

ее могут пересекать описанные выше сегменты, со-

ответствующие появлению периодических траекто-

рий, а также примыкать другие зоны устойчивости

Рис. 19. Первая и вторая границы зоны устойчивости на

(см. [43]).

угловой диаграмме

Таким образом, можно видеть, что множество

направлений B, соответствующее перестройкам то-

пологической структуры системы (1.1), является до-

вольно обширным для достаточно сложных поверх-

ностей Ферми. Так, наличие лишь одной зоны устой-

чивости на угловой диаграмме влечет за собой в дей-

ствительности существование довольно сложной се-

ти одномерных кривых на сфере S², для которых

имеет место перестройка множества M с обраще-

нием в нуль высоты одного из цилиндров замкну-

Рис. 20. Типичная структура участка второй границы зоны

тых траекторий. В первую очередь, здесь представ-

устойчивости Ωα на угловой диаграмме

ляет интерес изучение осцилляционных явлений на

первой и второй границах зоны Ω_α, помогающих в

действительности определить их точное расположе-

ниях на угловой диаграмме (см. [46]), плотность ко-

ние. Не меньший интерес для изучения поверхнос-

торых стремится к бесконечности при приближении

ти Ферми, однако, представляет собой также опи-

к границе зоны Ω_α, а также описанным выше спе-

санная выше сеть направлений B между первой

циальным сегментам, соответствующим появлению

и второй границами зоны устойчивости, связанная

периодических траекторий. При удалении от грани-

с перестройками структуры системы (1.1) на быв-

цы зоны Ω_α, а также описанных выше специальных

ших носителях открытых траекторий. Как уже бы-

сегментов, плотность сетки направлений B, соответ-

ло указано, для изучения интересных нам особен-

ствующей перестройкам структуры (1.1), уменьша-

ностей осцилляционных явлений соответствующие

ется. Сеть направлений B, соответствующая пере-

направления B не должны приближаться слишком

стройкам структуры (1.1) вблизи границы Ω_α, весь-

близко к первой границе зоны Ω_α или примыкаю-

ма схематично может быть представлена рис. 18.

щим к ней сегментам, соответствующим появлению

Приведенная ситуация (возможность описать

периодических траекторий на поверхности Ферми.

траектории системы (1.1)) сохраняется до тех пор,

С точки зрения современных экспериментальных

пока не исчезнут замкнутые траектории на втором

возможностей (получения сильных магнитных по-

(тонком) цилиндре, соединяющем пары бывших но-

лей и материалов с большой длиной свободного про-

сителей открытых траекторий (рис. 13). Таким об-

бега электронов), однако, данные ограничения не

1151

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Таким образом, для диаграмм проводимости,

сложность которых ограничивается наличием зон

устойчивости (и сегментов, отвечающих появлению

периодических траекторий), множество направле-

ний B, отвечающих перестройкам топологической

структуры (1.1), всегда включает в себя границы

зон устойчивости, а также довольно богатую сеть

одномерных направлений B в пространстве между

зонами. Указанная сеть одномерных направлений B

на сфере S² неограниченно сгущается вблизи гра-

ниц зон устойчивости, а также примыкающих к ним

сегментам, соответствующих появлению периодиче-

ских траекторий на поверхности Ферми. Наблюде-

Рис. 21. Множество (сеть) экспериментально наблюдае-

ние осцилляционных явлений, соответствующих пе-

мых направлений B вблизи границы зоны устойчивости,

рестройкам структуры (1.1), возможно на указанной

соответствующих перестройкам структуры системы (1.1)

на поверхности Ферми

сети направлений при не слишком сильном прибли-

жении к границам зон устойчивости или примыка-

ющим к ним сегментам, а также на границах зон Ω_α

при приближении к ним с внутренней стороны.

Описанные выше множества интересующих нас

направлений B имеют непосредственное отношение

к зонам устойчивости и, в частности, связаны с пе-

рестройками структуры (1.1) на бывших носителях

открытых траекторий. Вместе с тем, на поверхно-

стях Ферми достаточно большого рода вместе с эти-

Рис. 22. Пример модельной поверхности Ферми, имеющей

ми перестройками могут происходить дополнитель-

зону устойчивости с составными первой и второй граница-

ные перестройки структуры системы (1.1), не свя-

ми

занные с носителями открытых траекторий (проис-

ходящие на других участках поверхности Ферми) и

не относящиеся к специальной структуре, связанной

являются в действительности слишком жесткими и

с зонами Ω_α. Соответствующие сетки направлений

оставляют значительную часть данной структуры

B при этом накладываются на описанные выше мно-

доступной для изучения (рис. 21).

жества направлений, в частности, они могут лежать

Можно здесь отметить также, что описанная

внутри зон Ω_α и пересекаться с их границами.

структура областей Ω_α и Σ_α является в некотором

Как следует из рассмотрения общих классов

смысле наиболее простой. Например, возможны слу-

сложности угловых диаграмм магнитопроводимо-

чаи, когда первая и вторая границы зоны Ω_α явля-

сти в металлах (см. [43]), угловые диаграммы, соот-

ются составными, а соответствующая область Ω^′α —

ветствующие появлению лишь устойчивых и перио-

несвязной (см., например, рис. 22). Кроме того, по-

дических траекторий на поверхности Ферми (слож-

верхности большого рода могут иметь большее ко-

ные диаграммы типа A), представляют отдельный

личество цилиндров, разделяющих носители откры-

класс сложных угловых диаграмм. Как следует из

тых траекторий (и даже большее количество пар

общих рассмотрений, появление сложных диаграмм

носителей открытых траекторий). Тем не менее все

типа A является, видимо, значительно более веро-

приведенные выше замечания, относящиеся к топо-

ятным, чем появление сложных диаграмм другого

логической структуре траекторий вблизи зон устой-

класса (сложных диаграмм типа B) даже для про-

чивости, сохраняются и для более сложных случа-

водников с очень сложными поверхностями Ферми.

ев (см., например, [46]) и, в частности, увеличение

Диаграммы типа A содержат в случае общего по-

количества зон устойчивости на угловой диаграмме

ложения конечное число зон устойчивости, и опи-

ведет в общем случае к быстрому увеличению мно-

санная выше структура множества направлений B,

жества направлений B, отвечающих перестройкам

соответствующих интересующим нас перестройкам

топологической структуры системы (1.1) на поверх-

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми, яв-

ности Ферми.

ляется общей для диаграмм этого типа.

1152

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

специальным направлениям B, отвечающим появ-

лению особо сложных (хаотических) траекторий на

поверхности Ферми. Вблизи таких направлений B

структура указанного множества (как и структу-

ра системы (1.1) на поверхности Ферми) становится

особенно сложной. Как и в случае приближения к

границам зон устойчивости Ω_α, приближение к осо-

бым направлениям B, отвечающим появлению ха-

отических траекторий, требует бесконечного числа

элементарных актов перестройки структуры систе-

мы (1.1). В остальном, что касается общих особен-

ностей множества направлений B, соответствующих

изменению топологической структуры (1.1), то их

описание содержит здесь те же основные детали, что

и для диаграмм типа A.

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕРЕСТРОЙКИ

СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ (1.1) И

Рис. 23. Диаграммы типа A (вверху) и B (внизу). Буквами

ПОЯВЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ

e и h обозначены области электронной и дырочной холлов-

ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ НА

ской проводимости при отсутствии открытых траекторий

ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ

на поверхности Ферми (показаны лишь зоны устойчиво-

сти и направления B, соответствующие появлению хаоти-

Исходя из представленной выше картины, мы

ческих траекторий на поверхности Ферми)

можем видеть, что кроме границ зон устойчиво-

сти Ω_α доступные экспериментальному исследова-

нию перестройки структуры системы (1.1) проис-

Сложные диаграммы второго типа (типа B)

ходят либо в областях, отвечающих наличию лишь

можно определить как диаграммы, содержащие на-

замкнутых траекторий на поверхности Ферми, ли-

правления B, соответствующие появлению более

бо внутри зон устойчивости, не будучи связанными

сложных (хаотических) неустойчивых траекторий

при этом с появлением или исчезновением открытых

на поверхности Ферми. В действительности, как

траекторий. Такие перестройки могут быть названы

следует из общего рассмотрения (см. [43,46]), диа-

элементарными и соответствуют исчезновению (по-

граммы этого типа содержат, кроме этого, бесконеч-

явлению) цилиндров замкнутых траекторий по обе

ное число зон устойчивости в случае общего поло-

стороны от кривой (на сфере S²), разделяющей раз-

жения, а также отличаются от диаграмм типа A

личные структуры системы (1.1). Осцилляционные

особым поведением холловской проводимости (че-

явления, указывающие на соответствующую пере-

редованием областей электронной и дырочной про-

стройку структуры (1.1), должны при этом наблю-

водимостей) в областях, соответствующих наличию

даться по обе стороны от такой кривой, так что мы

лишь замкнутых траекторий на поверхности Ферми

должны фиксировать смену одних осцилляционных

(рис. 23).

членов другими при ее пересечении. В этом разделе

Таким образом, для наиболее сложных поверх-

мы более подробно рассмотрим типы элементарных

ностей Ферми (а именно, поверхностей, на которых

перестроек структуры системы (1.1) и обсудим ве-

могут появляться траектории, более сложные, чем

роятность их возникновения на реальных поверхно-

устойчивые и периодические открытые траектории)

стях Ферми.

структура множества направлений B, отвечающих

Как мы уже упоминали выше, основания рас-

перестройкам топологической структуры системы

сматриваемых нами цилиндров замкнутых траекто-

(1.1), будет особенно богатой. В частности, угловые

рий содержат одну седловую точку системы (1.1)

диаграммы проводимости для таких поверхностей

и могут принимать одну из форм, представленных

Ферми содержат в случае общего положения бес-

на рис. 24. В момент перестройки топологической

конечное число зон устойчивости, имеющих точки

структуры системы (1.1) мы должны наблюдать по-

сгущения на угловой диаграмме, соответствующие

явление цилиндра нулевой высоты, представляюще-

1153

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Рис. 26. Главные элементы, участвующие в перестройке

структуры системы (1.1), изображенной на рис. 25. Ниж-

нее и верхнее основания исчезающего цилиндра замкнутых

траекторий и возникающая на нем экстремальная траек-

Рис. 24. Возможные формы оснований нетривиальных ци-

линдров замкнутых траекторий (в плоскости, ортогональ-

тория (a-в). Нижнее и верхнее основания появляющегося

цилиндра замкнутых траекторий и возникающая на нем

ной B)

экстремальная траектория (г-е). Цилиндр нулевой высо-

ты, возникающий в момент перестройки (ж)

В общем случае, для перестроек общего положе-

ния соответствующий цилиндр нулевой высоты со-

держит две особые точки системы (1.1), соединен-

ные сингулярными траекториями (мы не будем рас-

сматривать здесь специальные вырожденные слу-

чаи с большим числом особых точек). Обе особые

точки на цилиндре нулевой высоты мы будем счи-

тать невырожденными (что соответствует ненулево-

му значению гауссовой кривизны в соответствую-

Рис. 25. Основной тип элементарной перестройки струк-

туры (1.1) (показана лишь часть поверхности Ферми, на

щих точках поверхности Ферми), в частности, это

которой происходит перестройка)

означает, что в каждую такую точку входит и выхо-

дит по две сингулярных траектории системы (1.1).

Для элементарных перестроек структуры (1.1) все

го собой в действительности две особые точки, со-

выходящие из пары таких точек сингулярные тра-

единенные набором сингулярных траекторий.

ектории должных также заканчиваться в этих точ-

ках.

По всей видимости, наиболее частым типом пе-

рестройки структуры (1.1) является перестройка,

Для поверхностей Ферми умеренной сложности

представленная на рис. 25. На рис. 26 приведены

все элементы, участвующие в перестройке, приве-

главные составляющие исчезающего и появляюще-

денной на рис. 25, обладают центральной симмет-

гося цилиндров замкнутых траекторий (а именно,

рией. В частности, ею обладают экстремальные тра-

их верхние и нижние основания, а также возника-

ектории, присутствующие на исчезающем и появля-

ющие на них экстремальные траектории), а также

ющемся цилиндрах замкнутых траекторий. Как по-

структура цилиндра нулевой высоты, возникающе-

казывает рассмотрение поверхностей Ферми самых

го в момент перестройки. Нетрудно видеть, что пе-

различных типов, тип элементарной перестройки,

рестройка, представленная на рис. 25, приводит к

приведенный на рис. 25, 26, имеет место в подав-

исчезновению одного цилиндра замкнутых траекто-

ляющем числе случаев для реальных поверхностей

рий и появлению одного нового цилиндра.

Ферми.

1154

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 27. Пример перестройки структуры системы (1.1) на

части поверхности Ферми

Рис. 29. Цилиндр нулевой высоты, соответствующий при-

мерам, приведенным на рис. 25-28, а также возможные ва-

рианты расщепления особых точек при параллельном сме-

щении соответствующей плоскости, ортогональной B, по

направлению магнитного поля

Рис. 28. Главные элементы, участвующие в перестройке

сти Ферми, переходящем в данный при преобразо-

структуры системы (1.1), изображенной на рис. 27. Ниж-

вании центральной симметрии. Таким образом, для

нее и верхнее основания исчезающего цилиндра замкнутых

возникновения перестроек, показанных на рис. 27,

траекторий и возникающая на нем экстремальная траек-

28, соответствующая поверхность Ферми должна

тория (а-в). Нижнее и верхнее основания появляющегося

обладать весьма существенной сложностью (иметь

цилиндра замкнутых траекторий и возникающая на нем

экстремальная траектория (г-е). Цилиндр нулевой высо-

достаточно большой род) даже среди традиционно

ты, возникающий в момент перестройки (ж)

сложных примеров поверхностей Ферми.

Таким образом, для перечисления различных

топологических типов элементарных перестроек

Топологический тип перестройки, приведенной

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми до-

на рис. 25, 26, не является единственно возможным.

статочно зафиксировать топологическую структуру

На рис. 27 и 28 показан другой тип перестройки,

цилиндра нулевой высоты в плоскости, ортогональ-

отличающийся от приведенного на рис. 25, 26.

ной B, а также указать способы расщепления обеих

Здесь сразу можно отметить одну важную раз-

седловых особых точек при параллельном смещении

ницу между типами перестройки, показанными на

этой плоскости, например, вверх (вдоль направ-

рис. 25-28. А именно, перестройка, показанная на

ления магнитного поля). На рис.

приведены

рис. 25, 26, может обладать центральной симмет-

возможные схемы такого описания для цилиндра

рией и происходить, таким образом, лишь на од-

нулевой высоты, соответствующего примерам,

ном участке поверхности Ферми. Что касается пе-

приведенным на рис. 25-28.

рестройки, показанной на рис. 27, 28, она, очевид-

Отметим здесь, что направление стрелок на

но, не может обладать центральной симметрией и

рис. 29 является до некоторой степени условным и

может, таким образом, возникать лишь вместе с ана-

должно быть изменено на противоположное при за-

логичной перестройкой на другом участке поверхно-

мене B → -B. Если мы интересуемся лишь изме-

1155

10*

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

нением топологии носителей траекторий на указан-

ном участке поверхности Ферми, мы можем, в дей-

ствительности, не указывать эти направления. Каж-

дая из схем (а-г), приведенных на рис. 29, фиксиру-

ет структуру приклейки к цилиндру нулевой высо-

ты других цилиндров замкнутых траекторий свер-

ху. При параллельном смещении плоскости, орто-

гональной B, вниз (против направления B), способ

расщепления каждой из особых точек меняется на

противоположный (а ↔ б, в ↔ г), что фиксирует так-

же структуру приклейки к цилиндру нулевой высо-

ты других цилиндров замкнутых траекторий снизу.

Кроме того, что заданная схема расщепления

особых точек фиксирует структуру приклейки к ци-

линдру нулевой высоты других цилиндров замкну-

тых траекторий в момент перестройки, она, в дей-

ствительности, также определяет структуры систе-

мы (1.1) до и после нее. Действительно, перестройка

структуры (1.1) происходит при малых вращениях

направления магнитного поля, влекущих соответ-

Рис. 30. Различные типы цилиндров нулевой высоты, воз-

ствующие вращения плоскости, ортогональной B.

никающих в момент элементарной перестройки топологи-

ческой структуры системы (1.1) на поверхности Ферми

Те вращения B, при которых особые точки остают-

ся в этой плоскости, соответствуют движению вдоль

кривой перестройки структуры (1.1), а вращения,

при которых особые точки не могут одновременно

частности, замена способа расщепления сразу у обе-

оставаться в одной и той же плоскости, ортогональ-

их особых точек на описанной выше схеме не ме-

ной B, соответствуют пересечению этой кривой на

няет по существу топологического типа перестрой-

угловой диаграмме. Для наблюдения за перестрой-

ки, происходящей на фиксированной кривой. Поэто-

кой структуры (1.1) можно наблюдать за вращением

му для описания топологических типов перестрой-

плоскости, ортогональной B и содержащей некото-

ки структуры системы (1.1) достаточно перечислить

рую фиксированную точку на отрезке между дву-

топологические структуры соответствующих цилин-

мя особыми точками. При вращениях, соответству-

дров нулевой высоты в плоскости, ортогональной B,

ющих перестройке структуры (1.1), такая плоскость

и указать для каждого цилиндра, являются ли на-

уходит вверх вблизи одной из особых точек и вниз —

правления групповой скорости в особых точках со-

вблизи другой, при этом правила расщепления осо-

направленными или направленными противополож-

бых точек во вращающейся плоскости должны со-

но друг другу. С этой точки зрения, диаграммы а и

ответствовать правилам, указанным первоначально.

б на рис. 29 соответствуют одному и тому же то-

Смещая затем повернутую плоскость параллельно

пологическому типу перестройки, представленному

самой себе и используя те же фиксированные прави-

на рис. 25, 26, а диаграммы в и г — топологическо-

ла перестройки траекторий при ее прохождении че-

му типу, представленному на рис. 27, 28. На рис. 30

рез особые точки, нетрудно восстановить форму по-

представлены различные типы цилиндров нулевой

являющихся (или исчезающих) цилиндров замкну-

высоты, могущие возникать при элементарных пе-

тых траекторий малой высоты, а также структуру

рестройках структуры системы (1.1) на поверхно-

приклейки к ним других цилиндров замкнутых тра-

сти Ферми. Рисунки 31-40 демонстрируют соответ-

екторий до или после перестройки.

ствующие изменения топологической структуры си-

Отметим, что термины исчезающая и появляю-

стемы (1.1) при различных ориентациях групповой

скорости в седловых особых точках для случаев, от-

щаяся структуры являются тоже до некоторой сте-

пени условными и зависят от направления вращения

личных от представленных на рис. 25-28.

магнитного поля. Правильнее, в действительности,

Среди представленных топологических типов пе-

говорить о двух разных структурах системы (1.1),

рестройки структуры системы (1.1) можно сразу

примыкающих друг к другу вдоль линий перестрой-

выделить случаи возможного наличия центральной

ки на угловой диаграмме. С этой точки зрения, в

симметрии соответствующего участка поверхности

1156

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 31. Перестройка структуры системы (1.1) на части

Рис. 32. См. подпись к рис. 31

поверхности Ферми. Нижнее и верхнее основания исчеза-

ющего цилиндра замкнутых траекторий и возникающая на

нем экстремальная траектория (а-в). Нижнее и верхнее ос-

Можно констатировать, что из представленных

нования появляющегося цилиндра замкнутых траекторий

на рис. 31-40 типов перестройки структуры системы

и возникающая на нем экстремальная траектория (г-е).

(1.1) центральной симметрией могут обладать лишь

Цилиндр нулевой высоты, возникающий в момент пере-

перестройки, представленные на рис. 33, 39. Однако

стройки (ж)

перестройка, показанная на рис. 39, приводит к ис-

чезновения пары цилиндров замкнутых траекторий

и появлению пары новых цилиндров, что, в свою

Ферми. Так, представленные участки поверхности

очередь, также требует достаточной сложности по-

Ферми не могут обладать центральной симметрией,

верхности Ферми.

если ею не обладают соответствующие им цилинд-

Добавим еще одно замечание о полной структуре

ры нулевой высоты. Кроме того, центральная сим-

множества направлений B, соответствующих пере-

метрия не может наблюдаться также в тех случаях,

стройкам структуры системы (1.1). А именно, рас-

когда групповые скорости в особых точках на ци-

смотрим некоторую структуру системы (1.1) на по-

линдре нулевой высоты сонаправлены друг другу.

верхности Ферми, содержащую определенное число

Все соответствующие типы перестройки структуры

цилиндров замкнутых траекторий. Тогда для каж-

системы (1.1) могут, таким образом, возникать лишь

дого из цилиндров замкнутых траекторий можно

парами на поверхности Ферми, что, в свою очередь,

определить область в пространстве направлений B

требует ее достаточной сложности.

(на сфере S²), соответствующую сохранению этого

1157

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 35. См. подпись к рис. 31

Рис. 36. См. подпись к рис. 31

ность специальных экстремальных траекторий со-

стоит в их очень близком приближении к сингуляр-

ным траекториям при направлениях магнитного по-

Как мы видели выше, множество направлений

ля, близких к направлениям перестройки структу-

B, соответствующих перестройкам структуры си-

ры (1.1). Пределом каждой из специальных экстре-

стемы (1.1) на поверхности Ферми, представляет

мальных траекторий является при этом часть (или

собой в общем случае объединение (вообще гово-

целый цилиндр) цилиндра замкнутых траекторий

ря, бесконечного числа) одномерных кривых на еди-

нулевой высоты, представляющего собой две осо-

ничной сфере. При этом малые вращения B вдоль

бые точки, соединенные сингулярными траектори-

направления ξ_p соответствуют линейным вариаци-

ями. Соединим соответствующие особые точки (1.1)

ям высоты соответствующего цилиндра замкнутых

вектором (отрезком) ξ_p, лежащим в плоскости, ор-

траекторий, в то время как вращения B в направ-

тогональной B (см., например, рис. 42).

лении, ортогональном ξ_p, не меняют высоты цилин-

1159

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 39. Перестройка структуры системы (1.1) на части по-

верхности Ферми. Нижние и верхние основания пары исче-

Рис. 40. См. подпись к рис. 31

зающих цилиндров замкнутых траекторий и пара возника-

ющих на них экстремальных траекторий (а-в). Нижние и

верхние основания пары появляющихся цилиндров замкну-

ным при движении направления B по γ и совпадает

тых траекторий и пара возникающих на них экстремальных

с одним из центров симметрии поверхности Ферми

траекторий (г-е). Цилиндр нулевой высоты, возникающий

в p-пространстве. В этом случае точное знание фор-

в момент перестройки (ж)

мы кривой γ (например, первой или второй границы

зоны устойчивости), а также длины вектора ξ_p для

отображает кривые γ₁ и γ₂ в кривую γ и диамет-

каждой из точек γ, позволяет восстановить две бес-

рально противоположную ей кривую на сфере S².

конечно узкие ленты на поверхности Ферми, соот-

В отличие от траекторий системы (1.1), кривые

ветствующие движению концевых точек отрезка ξ_p

γ1,2 не являются, вообще говоря, плоскими кривыми

(рис. 44). (Отметим, что внутренние точки ξ_p могут

в p-пространстве.

при этом пересекать поверхность Ферми.)

Если исчезающий цилиндр замкнутых траекто-

Таким образом, для дуг γ, соответствующих ис-

рий, соответствующий дуге γ, обладает центральной

чезновению центрально-симметричных цилиндров

симметрией, то центр отрезка ξ_p остается неподвиж-

замкнутых траекторий, можно указать эффектив-

1161

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Рис. 43. Направление вектора ξp, отвечающего заданному

направлению B на кривой изменения структуры системы

Рис. 41. Область на сфере S², отвечающая существованию

(1.1) на поверхности Ферми

определенного цилиндра замкнутых траекторий на поверх-

ности Ферми

Рис. 44. Две бесконечно узкие ленты на поверхности Фер-

ми, определяемые движением концов отрезка ξp при вра-

щении направления B вдоль кривой изменения структуры

системы (1.1)

выми особыми точками системы (1.1) и, таким об-

разом, всегда лежат на части поверхности Ферми,

имеющей отрицательную (гауссову) кривизну. От-

метим, что и при более общем рассмотрении мето-

Рис. 42. Вектор ξp, соединяющий две особые точки на

ды восстановления поверхности Ферми, основанные

особой траектории в p-пространстве

на изучении представленных специальных экстре-

мальных траекторий, связаны, прежде всего, с той

ную процедуру обращения отображения Гаусса и

частью поверхности Ферми, где она имеет отрица-

восстановления прообразов γ1,2 на поверхности Фер-

тельную гауссову кривизну.

ми вместе с направлением нормали к S_F . Так,

В более общей ситуации, когда постановка экспе-

для достаточно сложных поверхностей Ферми мно-

римента не предполагает отдельного измерения дли-

жества направлений B отвечающие перестройкам

ны вектора ξ_p, каждая кривая γ, отвечающая исчез-

структуры системы (1.1) образуют достаточно плот-

новению центрально-симметричного цилиндра за-

ную сеть на угловой диаграмме, которая соответ-

мкнутых траекторий, дает нам (однопараметричес-

ствует столь же плотной сети прообразов γ1,2 на

кое) семейство прямых, проходящих через заданный

поверхности Ферми. Кривые γ1,2 образованы седло-

центр симметрии и касающихся поверхности Ферми.

1162

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

го нами выше построения кривых γ1,2 необходимо

знать, к какому из периодических семейств центров

симметрии относится данная точка.

Соответствие между центрально-симметричны-

ми цилиндрами замкнутых траекторий и их соб-

ственными центрами симметрии в p-пространстве

остается неизменным вплоть до исчезновения лю-

бого из таких цилиндров и также относится к

определению топологической структуры системы

(1.1) на поверхности Ферми. Кроме того, при лю-

Рис. 45. Зона Бриллюэна и центры симметрии дисперси-

бой элементарной перестройке структуры (1.1) ис-

онного закона ϵ(p) в p-пространстве

чезновение одного центрально-симметричного ци-

линдра замкнутых траекторий приводит к появле-

нию центрально-симметричного цилиндра замкну-

тых траекторий с тем же собственным центром сим-

Каждое такое семейство дает важную информацию

метрии (совпадающим с собственным центром сим-

о поверхности Ферми (ее части, имеющей отрица-

метрии соответствующего цилиндра нулевой высо-

тельную кривизну), которую также удобно исполь-

ты). В частности, если для двух направлений B воз-

зовать для уточнения ее формы.

можен переход от одного направления к другому с

При рассмотрении образования и исчезновения

конечным числом элементарных перестроек струк-

центрально-симметричных цилиндров замкнутых

туры (1.1) и при этом каждый из возникающих ци-

траекторий мы должны обсудить еще следую-

линдров нулевой высоты соответствует появлению

щий вопрос. Рассматривая центры симметрии

и исчезновению лишь одного цилиндра замкнутых

периодического дисперсионного соотношения ϵ(p),

траекторий, то структура системы (1.1) для таких

мы можем сказать, что в p-пространстве всегда

направлений содержит одинаковое число централь-

имеется несколько таких центров симметрии (неэк-

но-симметричных цилиндров замкнутых траекто-

вивалентных друг другу). В самом общем случае

рий с теми же собственными центрами симметрии.

можно выбрать зону Бриллюэна (параллелепипед

Таким образом, соединяя два направления, B₁ и

в p-пространстве) так, чтобы центрами являлись

B₂, подходящей кривой на угловой диаграмме, мы

центр параллелепипеда, центры его граней, центры

можем установить соответствие между централь-

его ребер и его вершины (рис. 45).

но-симметричными цилиндрами замкнутых траек-

Центры противоположных граней параллелепи-

торий, возникающих при обоих направлениях, со-

педа при этом попарно эквивалентны друг другу,

относя исчезающий цилиндр с появляющимся при

центры ребер образуют 3 четверки эквивалентных

каждой перестройке. В частности, при таком соот-

центров, а все вершины параллелепипеда представ-

ветствии мы можем указать, например, собственные

ляют собой один центр после факторизации по век-

центры симметрии таких цилиндров при направ-

торам обратной решетки. Таким образом, мы все-

лении B₂, если они были известны при направле-

гда имеем в общем случае 8 неэквивалентных цент-

нии B₁.

ров симметрии в p-пространстве. Другими слова-

Данное обстоятельство удобно использовать при

ми, у нас имеется 8 неэквивалентных периодических

экспериментальном исследовании перестроек струк-

семейств центров симметрии, переходящих друг в

туры системы (1.1), поскольку позволяет получить

друга при сдвигах на полуцелые векторы обратной

дополнительные данные о цилиндрах замкнутых

решетки.

траекторий при направлениях B, для которых неза-

Наличие центральной симметрии у цилиндра за-

висимое исследование структуры (1.1) может вы-

мкнутых траекторий означает, что при отражении

зывать затруднения. В частности, если для опре-

относительно любого из центров симметрии такой

деления топологической структуры системы (1.1)

цилиндр переходит в эквивалентный ему (сдвину-

при направлении B₁ достаточно приближенной ин-

тый на вектор обратной решетки) цилиндр в p-про-

формации о геометрии поверхности Ферми, то на-

странстве. При этом для каждого такого цилинд-

блюдая за перестройками вдоль пути, соединяюще-

ра существует единственная точка в p-пространст-

го B₁ и B₂, мы можем получить необходимые дан-

ве, отражение относительно которой переводит ци-

ные также для направления B₂, где такой информа-

линдр в себя. Нетрудно видеть, что для описанно-

ции недостаточно. Такая ситуация является в дей-

1163

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

ствительности достаточно общей, так, первый слу-

угловой диаграмме также задает направление век-

чай, как правило, имеет место в тех областях уг-

тора ξ_p(B), соединяющего две седловые особые точ-

ловой диаграммы, где сеть направлений B, отве-

ки системы (1.1). В p-пространстве теперь возника-

чающая перестройкам структуры (1.1), не являет-

ют два неэквивалентных отрезка с общим направ-

ся плотной, а второй — в областях, где такая сеть

лением ξ_p(B), каждый из которых касается поверх-

является очень плотной. Каждый из цилиндров за-

ности Ферми в двух точках. Мы можем в этом слу-

мкнутых траекторий может быть соотнесен с со-

чае утверждать, что у поверхности Ферми существу-

ответствующим осцилляционным вкладом в общей

ет отрезок заданного направления, касающийся ее в

картине наблюдаемых осцилляций, при этом мы мо-

двух точках, не переходящих друг в друга при от-

жем продолжить такое сопоставление от направле-

ражении (а также симметричный ему отрезок). Та-

ния B₁ до B₂, соотнося при перестройках появляю-

кие данные о поверхности Ферми выглядят несколь-

щийся цилиндр с новым осцилляционным членом.

ко более сложными по сравнению с центрально-сим-

Такое сопоставление позволяет, в частности, ука-

метричным случаем, однако, можно проверить, что

зать собственный центр симметрии соответствую-

они обладают такой же информативностью с функ-

щего центрально-симметричного цилиндра для лю-

циональной точки зрения.

бого осцилляционного члена, наблюдающегося при

Сделаем небольшое замечание относительно пе-

направлении B₂.

рестройки, в которой происходит исчезновение (и

Отметим, что общую картину осцилляций при

появление) пары цилиндров замкнутых траекторий

наблюдении осцилляций различного типа мы пред-

(рис. 39). Если поверхность Ферми не является ульт-

ставляем здесь как сумму конечного числа осцилля-

расложной, естественно предполагать, что при пере-

ционных членов, соответствующих экстремальным

стройке происходит исчезновение пары цилиндров,

траекториям на поверхности Ферми. Как мы уже

обладающих центральной симметрией, и появление

отмечали, главной особенностью в поведении таких

пары цилиндров, переходящих друг в друга при

осцилляций для нас является резкое изменение об-

центральном отражении. С экспериментальной точ-

щей картины при изменении топологической струк-

ки зрения такая перестройка отличается от осталь-

туры (1.1), позволяющее наблюдать сеть направле-

ных исчезновением двух осцилляционных членов

ний B на сфере S², соответствующих изменениям

в общей картине осцилляций и заменой их одним

такой структуры. Более точно, как мы также уже

членом (в действительности, двумя совпадающими,

говорили, изменение картины осцилляций при каж-

приходящими от пары симметричных экстремаль-

дой элементарной перестройке системы (1.1) состо-

ных траекторий). В этой ситуации, как и в случае

ит в исчезновении одного из осцилляционных чле-

исчезновения одного центрально-симметричного ци-

нов в общей сумме осцилляций и замене его другим

линдра, отрезок ξ_p(B) является единственным и

(или просто исчезновением одного из осцилляцион-

проходит через один из центров симметрии в p-

ных членов на границе зоны устойчивости).

пространстве. Соответствующий центр симметрии

Заметим, что перестройки, содержащие цилин-

совпадает с собственным центром симметрии исче-

дры нулевой высоты, отвечающие исчезновению

зающих цилиндров и уточнение геометрии поверх-

и появлению пар цилиндров замкнутых траекто-

ности Ферми может проводиться так же, как и в

рий, могут появляться лишь в специальных слу-

случае исчезновения одного центрально-симметрич-

чаях на достаточно сложных поверхностях Ферми.

ного цилиндра.

Для большого класса реальных поверхностей Фер-

Рассмотрим еще некоторые аспекты наблюдения

ми приведенные выше условия будут выполняться, в

явления циклотронного резонанса на описанных на-

действительности, для любых двух направлений B,

ми экстремальных траекториях, связанные с особен-

которые можно соединить путем, не пересекающим

ностями их геометрии.

границ зон устойчивости или сегментов появления

Как хорошо известно, электронные траектории в

периодических траекторий.

x-пространстве обладают геометрическими свойст-

Возвращаясь теперь к перестройкам, отвечаю-

вами, до некоторой степени схожими с геометриче-

щим исчезновению и появлению цилиндров замкну-

скими свойствами траекторий системы (1.1) в про-

тых траекторий, не обладающих центральной сим-

странстве квазиимпульсов. В частности, проекции

метрией, можно сразу отметить, что количество та-

траекторий в x-пространстве на плоскость, ортого-

ких перестроек на угловой диаграмме невелико да-

нальную B, подобны траекториям в p-пространстве,

же для достаточно сложных поверхностей Ферми.

повернутыми на 90^◦. Коэффициент подобия между

Определение формы соответствующей кривой γ на

траекториями в импульсном пространстве и их про-

1164

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 46. Траектории в x-пространстве, соответствующие

рассматриваемым нами специальным траекториям систе-

мы (1.1) в случае наличия (а) и отсутствия (б) централь-

Рис. 47. Измерение величины |ξx| при помощи отсечки

ной симметрии

циклотронных орбит для специальной экстремальной тра-

ектории наиболее часто встречающейся геометрии

екциями на плоскость, ортогональную B, в коорди-

натном пространстве равен c/eB. В целом, все тра-

щей волны E_w ∥ v_gr, где направление v_gr на попа-

ектории в x-пространстве уменьшаются в размерах

дающем в скин-слой участке отлично от направле-

с ростом B, как B-1, не меняя своей геометрической

ния B.

формы.

Ситуация попадания участка замедления в скин-

Рассматриваемым нами специальным траекто-

слой может быть типичной, например, при измере-

риям в x-пространстве соответствуют либо замкну-

нии величины |ξ_x| (а с ней и |ξ_p|) при помощи от-

тые траектории (при наличии центральной сим-

сечки циклотронных орбит [47] или нерезонансного

метрии), либо спиральные траектории специальной

размерного эффекта [48] для наиболее часто встре-

формы (при отсутствии центральной симметрии),

чающихся специальных экстремальных траекторий

описывающие постоянный дрейф вдоль магнитно-

(рис. 47). Такой способ измерения величины |ξ_p| яв-

го поля (см., например, рис. 46). В обоих случаях

ляется, возможно, наиболее удобным, поскольку на-

можно отметить присутствие почти вертикальных

правление ξ_x относительно кристаллической решет-

(параллельных B) участков из-за наличия на траек-

ки является известным для любой точки на кривой

тории в p-пространстве участков, близких к особым

перестройки структуры (1.1), так что толщина плас-

точкам системы (1.1), на которых групповая ско-

тинки, на которой происходит отсечка экстремаль-

рость почти параллельна B, а скорость пробегания

ных орбит, может быть легко соотнесена с величи-

по траектории очень мала. Если рассматривать цик-

ной |ξ_x|.

лотронный резонанс при B, параллельном поверхно-

Участки замедления на траекториях в p-прост-

сти образца, можно видеть, что при попадании та-

ранстве могут так же проявлять себя и в случае, ко-

ких участков в скин-слой (см. ниже рис. 55) электро-

гда в скин-слой попадает обычный участок траекто-

ны могут проводить в нем довольно большое время,

рии в ситуации циклотронного резонанса. А именно,

двигаясь при этом преимущественно вдоль направ-

такие участки могут создавать узкие токовые слои

ления B. Отметим, что амплитуда осцилляций по-

внутри образца с направлением тока вдоль магнит-

глощения при циклотронном резонансе должна в та-

ного поля. Такие токовые слои должны возникать

кой ситуации быть максимальной при направлении

вместе со слоями, отвечающими точкам траектории,

электрического поля в падающей волне E_w, парал-

на которых направление групповой скорости парал-

лельном B. Это, в частности, может служить одним

лельно границе образца, отличаясь от них направ-

из признаков, отличающих рассматриваемую нами

лением и амплитудой возникающих токов. Каждая

ситуацию от общей (попадания в скин-слой произ-

специальная экстремальная траектория порождает

вольного участка траектории), когда максимальное

при этом два различных токовых слоя первого типа,

поглощение наблюдается при поляризации падаю-

соответствующих двум седловым особым точкам,

1165

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Рис. 50. Специальная экстремальная траектория сложной

формы, не позволяющая попадания участков замедления

Рис. 48. Токовые слои первого и второго типа внутри об-

в скин-слой образца

разца, порождаемые специальными экстремальными тра-

екториями

ления на таких траекториях направлены противопо-

ложно друг другу и в подавляющем числе случаев

траектории такого типа обладают центральной сим-

метрией. В редких случаях такие траектории могут

возникать парами, переходя друг в друга при пре-

образовании центральной симметрии. В последнем

Рис. 49. Специальная экстремальная траектория наиболее

случае групповые скорости на разных участках за-

часто встречающегося типа

медления могут отличаться друг от друга по абсо-

лютной величине.

присутствующим на соответствующем цилиндре ну-

Отметим, что траектория, представленная на

левой высоты. Как и слои второго типа, слои, отве-

рис. 49, имеет, в действительности, идеальную фор-

чающие участкам замедления, параллельны грани-

му и может быть в некоторых случаях существенно

це образца (рис. 48). Расстояние между двумя раз-

сложнее геометрически. В частности, несмотря на

личными слоями, порожденными двумя участками

непротиворечие требуемой нами ситуации (попада-

замедления, равно длине проекции вектора ξ_x на

ния участка замедления в скин-слой) локальной гео-

нормаль к границе образца.

метрии траектории, такая ситуация может быть тем

Отметим, что из приведенных в предыдущем

не менее запрещена глобальными свойствами тра-

разделе типов специальных экстремальных траек-

ектории (см., например, рис. 50). В таких случаях

торий лишь часть допускает попадание участка за-

форма данной траектории довольно быстро меняет-

медления в скин-слой у границы образца, что обу-

ся при движении направления B вдоль соответству-

словлено локальной геометрией таких траекторий

ющей кривой перестройки структуры системы (1.1)

вблизи особых точек на соответствующем цилиндре

на угловой диаграмме. Требуемая нами ситуация,

нулевой высоты. Перечислим здесь эти типы.

как правило, становится возможной не на всей кри-

Начнем с самого основного типа, соответству-

вой γ, а лишь на определенных ее участках. Отме-

ющего траектории, возникающей при перестройке,

тим также, что сделанное замечание будет в равной

приведенной на рис. 25, 26 (рис. 49). Траектории

степени относиться также к другим типам траекто-

такого же типа возникают также при перестрой-

рий, рассматриваемым ниже.

ках, представленных на рис. 12, на рис. 35 (траек-

Ко второму типу специальных экстремальных

тория в), на рис. 39 (одна из траекторий е), а также

траекторий, допускающих попадание участка за-

вблизи границ зон устойчивости Ω_α. Как при пере-

медления в скин-слой образца, можно отнести тра-

стройке, представленной на рис. 25, 26, так и при

ектории схожей формы, изображенные на рис. 32в,

перестройках, представленных на рис. 12, 35, 39, та-

37в (рис. 51). В обоих случаях траектории такой

кие траектории возникают лишь с одной стороны от

формы возникают лишь с одной стороны от соот-

линии перестройки структуры (1.1) (а также лишь

ветствующей кривой перестройки γ на угловой диа-

с внутренней стороны от границы зоны устойчивос-

грамме. Оба случая, представленные на рис. 32, 37,

ти). Любой из участков замедления на представлен-

не обладают центральной симметрией, поэтому со-

ной траектории может попасть в скин-слой при под-

ответствующие перестройки могут возникать лишь

ходящей ориентации кристаллической решетки об-

парами и, в частности, каждая из траекторий, пред-

разца. Групповые скорости на двух участках замед-

ставленных на рис. 32в, 37в, всегда возникает в па-

1166

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Рис. 51. Специальная экстремальная траектория второ-

го типа, допускающая попадание участка замедления в

Рис. 53. Специальная экстремальная траектория четвер-

скин-слой образца

того типа, допускающая попадание участка замедления в

скин-слой образца

ториями, представленными на рис. 31е, 38в, как и

предыдущем случае, имеется разница, заключаю-

щаяся в направлении групповой скорости на участ-

ках замедления. Так, для траектории, изображен-

ной на рис. 31е, групповая скорость на участке за-

медления, попадающем в скин-слой, противополож-

на по направлению групповой скорости на двух дру-

Рис. 52. Специальная экстремальная траектория третье-

гих участках замедления, в то время как для тра-

го типа, допускающая попадание участка замедления в

ектории, изображенной на рис. 38в, групповые ско-

скин-слой образца

рости на всех участках замедления являются сона-

правленными.

К следующему типу специальных экстремаль-

ре с симметричной ей траекторией (находящейся

ных траекторий, допускающих попадание участ-

на участке поверхности Ферми, симметричном рас-

ка замедления в скин-слой образца, можно отне-

сматриваемому). Между траекториями, представ-

сти траектории, изображенные на рис. 28в,е, 36в

ленными на рис. 32в, 37в, однако, имеется суще-

(рис. 53). В случае перестройки, изображенной на

ственная разница. А именно, для траектории, изоб-

рис. 27, траектории такой формы возникают по обе

раженной на рис. 32в, групповые скорости v_gr(p) на

стороны от кривой перестройки структуры (1.1).

двух участках замедления являются сонаправлен-

Однако траектории с одной стороны от кривой пере-

ными, в то время как для траектории, изображен-

стройки не идентичны траекториям с другой сторо-

ной на рис. 37в, они направлены противоположно

ны от кривой перестройки, поэтому параметры со-

друг другу. Последнее обстоятельство должно иг-

ответствующих осциллирующих членов, вообще го-

рать существенную роль при рассмотрении проник-

воря, меняются при перестройке структуры (1.1).

новения токовых слоев (параллельных границе об-

Для перестройки, приведенной на рис. 36в, траек-

разца) внутрь образца в данной ситуации.

тории такой формы возникают лишь с одной сто-

К третьему типу специальных экстремальных

роны от соответствующей кривой перестройки γ на

траекторий, допускающих попадание участка за-

угловой диаграмме. Оба случая, представленные на

медления в скин-слой образца, можно отнести тра-

рис. 27, 36, не обладают центральной симметрией,

ектории схожей формы, изображенные на рис. 31е,

поэтому соответствующие перестройки могут возни-

38в (рис. 52). В обоих случаях траектории такой

кать лишь парами и, в частности, каждая из траек-

формы возникают лишь с одной стороны от соот-

торий, представленных на рис. 28в,е, 36в, всегда воз-

ветствующей кривой перестройки γ на угловой диа-

никает в паре с симметричной ей траекторией. На

грамме. Оба случая, представленных на рис. 31, 38,

всех представленных траекториях групповые скоро-

не обладают центральной симметрией, поэтому со-

сти сонаправлены друг другу на всех трех участках

ответствующие перестройки могут возникать лишь

замедления на траектории.

парами и, в частности, каждая из траекторий, пред-

Наконец, к последнему типу специальных экс-

ставленных на рис. 31е, 38в, всегда возникает в па-

тремальных траекторий, допускающих попадание

ре с симметричной ей траекторией. Между траек-

участков замедления в скин-слой образца, мож-

1167

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

разца. Кроме того, мы рассмотрим некоторые общие

особенности и ограничения при наблюдении осцил-

ляционных явлений при очень малых углах откло-

нения направления B от границ перестройки струк-

туры системы (1.1).

Эффекты влияния участков замедления на ква-

зиклассических траекториях на осцилляционные

явления и, в частности, на явление циклотронно-

го резонанса, рассматривались и ранее с различных

точек зрения. Отметим также, что участки замедле-

Рис. 54. Специальная экстремальная траектория пятого

ния на траекториях могут возникать не только из-за

типа, допускающая попадание двух участков замедления

наличия особых точек системы (1.1) на поверхности

в скин-слой образца

Ферми, но и из-за наличия перестройки поверхности

постоянной энергии (особенности Ван Хоффа) вбли-

но отнести траектории, изображенные на рис. 39в

зи энергии Ферми ϵ_F (см., например, [49]). Основная

(рис. 54). В случае перестройки, изображенной на

разница между двумя описанными ситуациями со-

рис. 39, траектории такой формы возникают лишь

стоит, по-видимому, в сохранении конечной величи-

с одной стороны от соответствующей кривой пере-

ны компоненты v_gr вдоль направления B в первом

стройки γ на угловой диаграмме. Случай, представ-

случае и близостью к нулю всех компонент v_gr во

ленный на рис. 39 обладает центральной симметри-

втором.

ей и может возникать на единственном участке по-

Все рассматриваемые нами явления могут про-

верхности Ферми. Две траектории, представленные

исходить лишь при довольно большой величине сво-

на рис. 39в, не связаны друг с другом в координат-

бодного пробега электрона в кристалле. В наиболее

ном пространстве и появляются независимо друг от

чистых монокристаллических образцах при низких

друга. Главной особенностью траекторий, представ-

температурах время свободного пробега электронов

ленных на рис. 39в, является то, что для них воз-

достигает 10-9-10-8 с, а соответствующая длина

можно попадание сразу двух участков замедления

свободного пробега l ≈ 10-1 см. Значение глубины

в скин-слой у границы образца. Наблюдение цикло-

скин-слоя δ для типичной в ситуации наблюдения

тронного резонанса в такой ситуации является, ко-

циклотронного резонанса частоты падающей волны

нечно, гораздо более сложным из-за интерференции

ν ≈ 10¹⁰ Гц может быть оценено по порядку вели-

вкладов от двух приграничных точек. На каждой из

чины как 10-5-10-4 см. В нашем случае резонанс-

траекторий, представленных на рис. 39в, групповые

ные частоты могут быть, в действительности, ни-

скорости на двух участках замедления противопо-

же приведенного здесь значения ν, поскольку пери-

ложны друг другу.

од обращения по специальным экстремальным тра-

Кроме представленных выше траекторий,

екториям несколько больше периода обращения по

остальные специальные экстремальные траектории,

обычным замкнутым траекториям. Значение δ, од-

представленные на рис. 26, 28, 31-40, не допускают

нако, довольно слабо зависит от частоты в ситу-

попадания участков замедления в скин-слой в силу

ации аномального скин-эффекта (δ ∼ ν-1/3), по-

особенностей их локальной геометрии вблизи таких

этому мы также будем пользоваться оценкой δ ≈

участков.

≈ 10-5-10-4 см. Размеры специальной экстремаль-

ной траектории в x-пространстве (ее проекции на

6. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ

плоскость, ортогональную B) зависят от величи-

НАБЛЮДЕНИЯ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ

ны B. При значениях B ≈ 1 Тл для электронов

ЯВЛЕНИЙ НА СПЕЦИАЛЬНЫХ

в разных металлах можно принять оценку r_B ≈

ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЯХ

≈ 10-3-10-2 см и r_B ≈ 10-4-10-3 см при B ≈ 10 Тл.

Данный раздел является, в некоторой степени,

Нас будет особенно интересовать случай, когда

техническим и посвящен особенностям наблюдения

участок замедления на специальной экстремальной

осцилляционных явлений на описанных нами вы-

траектории попадает в скин-слой у границы об-

ше экстремальных траекториях. Большая его часть

разца. Для простоты, мы будем предполагать, что

будет посвящена рассмотрению особенностей на-

экстремальные траектории имеют наиболее часто

блюдения циклотронного резонанса при попадании

встречающуюся центрально-симметричную форму,

участка замедления в скин-слой у поверхности об-

представленную на рис. 49.

1168

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Как хорошо известно [50, 51], в явлении клас-

сического циклотронного резонанса главную роль

играет набор энергии электронами в скин-слое об-

разца и синхронизация частоты падающего излуче-

ния с целым кратным частоты обращения электро-

нов по экстремальным замкнутым траекториям на

поверхности Ферми. Как правило, предполагается,

что электрон проводит в скин-слое довольно малую

часть времени и успевает возвратиться в него мно-

го раз между двумя актами рассеяния. В стандарт-

ной ситуации доля времени, проводимая электроном

√

в скин-слое, может быть оценена как

δ/r_B, где

δ — глубина скин-слоя, а число возвращений элект-

рона в скин-слой меняется от нескольких десятков

до нескольких сотен. Обычно предполагается, что

фаза падающей волны почти не меняется за время

пребывания электрона в скин-слое для сравнитель-

но небольших n в соотношении Ω = nω_B, где Ω —

частота падающего излучения. В самых чистых об-

разцах циклотронный резонанс может наблюдаться

при этом вплоть до достаточно больших значений

n, достигающих нескольких десятков.

Рис. 55. Экстремальная траектория в p-пространстве и со-

Условия наблюдения циклотронного резонанса

ответствующая ей траектория в x-пространстве, проходя-

при попадании в скин-слой участка замедления мо-

щая через скин-слой у поверхности образца (проекция на

гут, в действительности, отличаться от приведен-

плоскость, ортогональную B)

ных выше, поэтому мы должны рассмотреть соот-

ветствующую ситуацию более подробно.

Таким образом, можно написать

Для этого нам надо воспроизвести (стандартное)

рассмотрение формы специальных экстремальных

K₁ (Δp_x)² - K₂ (Δp_y)² = α|ξ_p|.

(6.2)

траекторий и движения по ним на участках замед-

В координатном пространстве непосредственно

ления.

из уравнения (6.2) следует уравнение

Мы будем полагать, что ось z направлена вдоль

магнитного поля. Кроме того, выберем оси x и y

c²

K₁(Δy)² - K₂(Δx)² =

α|ξ_p| =

α|ξ_x|

параллельными направлениям главной кривизны в

e²B²

рассматриваемой в данный момент седловой особой

для проекции специальной экстремальной траекто-

точке, близкой к специальной траектории на исчеза-

рии на плоскость, ортогональную B. В частности,

ющем цилиндре замкнутых траекторий. Будем так-

при Δx = 0 мы получаем

же полагать для простоты, что граница образца сов-

√

падает с плоскостью xz (рис. 55).

α|ξ_p|

Δy =

В общем виде форма траектории вблизи крити-

eB K₁

ческой точки в p-пространстве задается уравнением

для расстояния от траектории до точки пересечения

)

асимптот гиперболы.

1⁽

K₁(Δp_x)² - K₂(Δp_y)2

= Δp_z,

(6.1)

Вводя обозначение r_B = cp_F /eB, условия Δy ≤ δ

и Δy ≥ δ можно записать в виде

√

где K₁ и K₂ — значения главной кривизны поверхно-

α|ξ_p|

сти Ферми в критической точке. Значение Δp_z непо-

≤

≥

p_F

K₁

p_F

K₁

средственно связано с углом отклонения направле-

ния B от границы перестройки структуры системы

Полагая |ξ_p| ≈ p_F и K₁ ≈ p-1F, приведенные вы-

(1.1), поскольку

ше условия можно также записать в виде

Δp_z = α |ξ_p|/2

(0 < α ≪ 1).

√α ≤ δ/r_B,

√α ≥ δ/r_B .

1169

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Проекция групповой скорости вблизи особой

В пределе

точки на плоскость, ортогональную B, может быть

K₂ p2F

≫1

приближенно записана в виде

α |ξ_p|

√

или просто

v_⊥ ≈ v0gr K²¹ (Δp_x)² + K²² (Δp_y)²,

α≪1

где v0gr — значение групповой скорости в особой точ-

можно написать

ке системы (1.1). На рассматриваемой траектории

4K₂ p2F

мы можем, используя (6.1) и (6.2), записать вблизи

T₁ ≈

особой точки

eBv0gr

√K₁K₂ ln

α |ξ_p|

√

v_⊥ ≈ v0gr (K₁K₂ + K²²)(Δp_y)² + αK₁|ξ_p|,

В рассматриваемом нами центрально-симмет-

ричном случае время T₁ должно быть в действи-

а скорость пробегания по траектории в p-простран-

тельности удвоено из-за наличия двух идентичных

стве равна соответственно

участков замедления на экстремальной траектории,

√

и при любом определении T₁ полный период обра-

v⁰

(K₁K₂ + K²²) (Δp_y)² + αK₁|ξ_p|.

щения по рассматриваемой нами траектории растет

Элемент длины траектории в p-пространстве мо-

линейно по ln 1/α при уменьшении α с коэффици-

жет быть записан в виде

ентом 2c/eBv0gr

√K₁K₂. Это обстоятельство может

√

быть, в частности, использовано для определения

dl_p = (dp_x)² + (dp_y)² =

величины v_gr

√K₁K₂ в соответствующих предель-

ных особых точках (1.1), т. е. на кривых γ1,2.

)₂

√( K₂Δp_y

Для главных значений кривизны здесь можно,

= dp_y

+ 1=

K₁Δp_x

как и выше, использовать оценки K₁ ≈ K₂ ≈ p-1F и

√

получить

(K₁K₂ + K²²) (Δp_y)² + αK₁|ξ_p|

= dp_y

√

cp_F

4p_F

K₁K₂ (Δp_y)² + αK₁|ξ_p|

T₁ ≈

eB v0gr

α |ξ_p|

Таким образом, время пробегания участка dl_p

Что касается значения |ξ_p|, оно может быть по-

равно

рядка p_F (для самых простых траекторий) или боль-

dp_y

ше него в несколько раз (или на порядок). Для гру-

dt =

√

eBv0gr

K₁K₂ (Δp_y)² + αK₁|ξ_p|

бой оценки времени T₁ можно пользоваться соотно-

шением

Общее время увеличения периода обращения по

r_B

T₁ ≈

специальной экстремальной траектории из-за на-

v_F

личия участка замедления может быть (несколько

При очень малых значениях α удвоенное время

формально) оценено как

T₁ можно считать приблизительно равным периоду

∫

обращения по специальной экстремальной траекто-

dp_y

рии (если оно превышает время T₀ ≈ 2πr_B /v_F или

T₁ ≈

√

eBv0gr

K₁K₂(Δp_y)² + αK₁|ξ_p|

сравнимо с ним).

Δpy =-pF

(√

)

Для оценки времени, проведенного электроном

α |ξ_p| + K₂ p2F +

√K₂ p_F

в скин-слое, заметим, что соответствующему участ-

√

eBv0gr

√K₁K₂ ln

α |ξ_p| + K₂ p2F -

K₂ p_F

ку траектории в p-пространстве отвечают значения

Δp_x, удовлетворяющие соотношению

В общем случае мы имеем

√

∫

α |ξ_p|

≤ Δp_x ≤

p_F .

dp_y

K₁

√

eBv⁰

K₁K₂(Δp_y)² + αK₁|ξ_p|

Δpy =-P

Подставляя второе значение в уравнение (6.2),

√

мы получаем соотношение для граничных значе-

eBv0gr

K₁K₂

ний Δp_y:

(√

)

α|ξ_p| + K₂P²+√K2 P

√

× ln

√

(6.3)

δ²

α|ξ_p| + K₂P² -

√K₂P

K₂ (Δp_y)² = 2 K₁ α |ξ_p|

p_F + K₁

p2F .

r²

1170

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

Подставляя найденные значения в интеграл

Что касается противоположного предела,

(6.3), мы найдем, таким образом, время T₂, про-

√

водимое электроном в скин-слое. Мы, однако, не

α |ξ_p|

≫

p_F

будем приводить эти вычисления в общем виде, а

K₁

рассмотрим лишь два предельных случая:

(но, как и прежде, α ≪ 1), то он, напротив, наблюда-

√

ется при не очень сильных магнитных полях. Здесь,

α |ξ_p|

≪

p_F и

≫

p_F

как и выше, можно записать для грубой оценки со-

K₁

отношение

или, в грубом приближении:

√α ≫ δ/r_B.

Например, для значений B порядка 1 Тл мы мо-

√α ≪ δ/r_B,

√α ≫ δ/r_B.

жем принять δ/r_B ≈ 10-2 и требуемое условие вы-

В первом случае мы можем написать

полняется при α ≥ 10-3. При B ≈ 10 Тл мы имеем

√

соотношение δ/r_B ≈ 10-1 и тогда мы должны пола-

K₁ δ

гать α ≫ 10-2.

Δp_y = ±

p_F

K₂ r_B

Воспользуемся здесь также грубой оценкой для

значений Δp_y, ограничивающих участок, соответ-

и записать соответствующее значение для T₂ в виде

ствующий пребыванию электрона в скин-слое

T₂ ≈

√

Δp_y = p_F

^√√α δ/r_B.

eBv0gr

K₁K₂

(√

)

α |ξ_p| + K₁ δ² p2F /r2B +

√K₁ δ p_F /r_B

После подстановки этих значений в пределы ин-

× ln

√

тегрирования в (6.3), мы получаем

α |ξ_p| + K₁ δ² p2F /r2B -

K₁ δ p_F /r_B

Пользуясь тем же предположением, мы можем

T₂ ≈

√

eBv0gr

K₁K₂

написать теперь так же

(√

)

1 + δ/(r_B

√α) +^√δ/(r_B√α)

4K₁ p2F δ

× ln

√

≈

T₂ ≈

eBv0gr

α |ξ_p| r²

1 + δ/(r_B

√α) -^√δ/(rB

√α)

√K₁K₂ ln

√

2r_B

Отношение T₂/T₁ в этом случае равно

≈

√

≈

eBv0gr

K₁K₂

√α

v_F r_B

√α.

(

)∕

4K₁ p2F

r2B

4K₁ p2F

- ln

Отношение времен T₂/T здесь формально боль-

α |ξ_p|

δ²

α |ξ_p|

√

ше

δ/r_B при условии α ≪ 1. Подставляя, однако,

и при нашем предположении близко к единице.

приведенные выше реальные значения α для данно-

Это же соотношение в случае попадания в скин-

го предела, можно видеть, что 1/⁴

√α, в действитель-

√

слой обычного участка траектории порядка

δ/r_B

ности, не очень велико. Видно, что в рассматривае-

и представляет собой малую величину. Как след-

мом случае это отношение того же порядка, что и в

ствие этого, амплитуда осцилляций поглощения па-

случае попадания в скин-слой обычного участка экс-

дающего излучения может быть здесь заметно выше

тремальной траектории. В этом нет противоречия,

по сравнению с обычным случаем. Надо отметить

поскольку, хотя рассматриваемый нами участок и

также, что условие

является участком замедления, кривизна траекто-

рии на нем значительно больше кривизны на обыч-

α |ξ_p|

δ²

≪

ных участках. Таким образом, в рассматриваемом

4K₁ p2F

r2B

пределе мы должны ожидать приблизительно той

является в действительности довольно сильным и

же амплитуды осцилляций поглощения падающего

может наблюдаться лишь в достаточно сильных

излучения, что и в стандартной ситуации.

магнитных полях и при очень малых углах α. Так,

При попадании участка замедления в скин-слой

используя снова грубые оценки для K₁ и |ξ_p|, это

у поверхности образца поведение амплитуды осцил-

условие можно записать в виде α ≪ δ²/r2B. Дан-

ляций поглощения падающего излучения при цик-

ное условие в реальности предполагает соотношения

лотронном резонансе заметно отличается от ее по-

δ/r_B ≈ 10-1 (сильные магнитные поля B ≈ 10 Тл)

ведения в обычной ситуации. В частности, ампли-

и α ≤ 10-3.

туда осцилляций поглощения может быть того же

1171

11*

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

порядка, что и в стандартном случае, при не слиш-

нахождения электрона в скин-слое, что существенно

ком сильном приближении направления B к грани-

снижает эффективность набора электроном энергии

це перестройки структуры системы (1.1). При более

за это время. В пределе крайней близости особых

точном приближении направления B к границе пе-

точек системы (1.1) к рассматриваемым нами тра-

рестройки структуры (1.1) амплитуда осцилляций

екториям время нахождения электрона в скин-слое

растет и при очень малых α и достаточно сильных

может стать сравнимым с периодом обращения T

магнитных полях может заметно превышать ампли-

по всей траектории. В этой ситуации лишь несколь-

туду таких осцилляций в стандартном случае.

ко пиков осцилляций быстро убывающей амплиту-

По тем же причинам интенсивность токовых сло-

ды, по всей видимости, будут иметь сравнительно

ев, соответствующих участкам замедления внутри

большую величину. (Для сравнения можно отме-

образца при попадании обычного участка траекто-

тить, что для циклотронного резонанса на обыч-

рии в скин-слой (рис. 48), не должна быть слиш-

ных траекториях число наблюдаемых пиков в ана-

ком большой при не слишком сильном приближе-

логичных осциллирующих членах может достигать

нии направления B к границе перестройки струк-

нескольких десятков.) Резкое уменьшение количе-

туры системы (1.1) и должна заметно увеличивать-

ства наблюдаемых пиков в амплитуде поглощения

ся при более точном приближении направления B к

также может служить указанием на приближение

этой границе. В частности, их интенсивность долж-

направления B к границе перестройки топологиче-

на быть сравнимой с интенсивностью токовых сло-

ской структуры системы (1.1).

ев, соответствующих участкам, на которых группо-

Наконец, сделаем здесь еще одно замечание. Со-

вая скорость параллельна границе образца в пре-

гласно общей идее данной работы, очевидно, что мы

деле

√α ≫ δ/r_B и может заметно превышать ее в

хотели бы исследовать осцилляционные явления как

пределе

√α ≪ δ/r_B.

можно ближе к сетке направлений B, отвечающих

Здесь, однако, надо сделать еще несколько заме-

перестройкам структуры (1.1). Что касается ограни-

чаний по поводу амплитуды осцилляций при очень

чений на приближение направления B к кривой пе-

близком приближении направления B к границе пе-

рестройки структуры (1.1) при сохранении условий

рестройки структуры системы (1.1).

наблюдения осцилляционных явлений на специаль-

Во-первых, при таком приближении высота соот-

ных экстремальных траекториях, то можно сразу

ветствующего цилиндра замкнутых траекторий ста-

выделить два таких ограничения. К первому мож-

новится очень малой. Вследствие этого, мера тра-

но отнести увеличение периода T обращения вдоль

екторий вблизи специальной экстремальной траек-

экстремальных траекторий, в то время как для на-

тории, вносящих вклад в соответствующий осцил-

блюдения осцилляционных явлений необходимо со-

ляционный член, также может уменьшаться. Этот

блюдение условия τ/T ≫ 1. Как мы уже отметили

эффект, как мы видим, противоположен эффекту,

выше, данное условие не является в действительно-

описанному выше, так что, возможно, в результате

сти слишком ограничительным, поскольку рост ве-

амплитуда соответствующего осцилляционного чле-

личины T является довольно медленным (логариф-

на может и не превышать значительно его ампли-

мическим) при приближении к границе перестрой-

туду в стандартной ситуации. Точная картина пове-

ки.

дения соответствующей амплитуды осцилляций за-

Ко второму ограничению можно отнести явление

висит, в действительности, от особенностей геомет-

магнитного пробоя между двумя близкими участка-

рии поверхности Ферми вблизи специальной экстре-

ми траекторий, близких к сингулярной, при прибли-

мальной траектории и от условий эксперимента.

жении направления B к границе перестройки систе-

Другой отличительной особенностью наблюде-

мы (1.1) (рис. 56).

ния циклотронного резонанса в случае попадания в

Мы не будем подробно рассматривать теорию

скин-слой участка замедления является то, что при

магнитного пробоя, приводящего к множеству

очень малых α убывание амплитуды наблюдаемых

самых разнообразных эффектов при различной

осцилляций с ростом числа n = TΩ/2π = Tν долж-

форме траекторий системы (1.1) (см., например,

но происходить значительно быстрее по сравнению

[1-3, 52-56]). Очевидно, что предполагаемая на-

со случаем для обычных экстремальных замкнутых

ми простая картина осцилляционных явлений на

траекторий. Причина в том, что из-за большого вре-

специальных экстремальных траекториях должна

мени нахождения электрона в скин-слое n не может

возникать в ситуации, когда вероятность магнит-

быть слишком большим, в противном случае поле

ного пробоя близка к нулю. Мы имеем дело здесь

E_w может стать осциллирующим уже на временах

с внутризонным магнитным пробоем, вероятность

1172

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перестройки динамики электронов в магнитном поле.. .

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены вопросы, связанные с перестрой-

ками топологической структуры динамической

системы, описывающей квазиклассическое движе-

ние электронов на сложных поверхностях Ферми

в присутствии внешнего магнитного поля. В

частности, перечислены все типы элементарных

перестроек этой структуры и описаны специальные

замкнутые экстремальные траектории, появление

которых всегда сопутствует таким перестройкам.

Показано, что осцилляционные явления, соответ-

ствующие появлению таких траекторий, могут

Рис. 56. Явление магнитного пробоя между двумя участ-

обладать определенными особенностями. Иссле-

ками замедления на траекториях, приближающихся к син-

дование осцилляционных явлений, связанных со

гулярным

специальными экстремальными траекториями,

могут при этом быть полезным инструментом для

исследования электронных спектров в металлах.

которого становится существенной при приближе-

нии высоты классического потенциального барьера

Финансирование. Исследование выполнено за

между близкими участками траектории к величине

счет гранта Российского научного фонда (проект

μ_BB. Высота классического потенциального барье-

№18-11-00316).

ра непосредственно связана с величиной угла α и

может быть оценена как

ЛИТЕРАТУРА

α|ξ_p|

αϵ_F |ξ_p|

Δϵ ≈ v⁰

≈v_F

≈

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел,

p_F

Наука, Москва (1967).

так что

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

Δϵ

ϵ_F α |ξ_p|

≈

Электронная теория металлов, Наука, Москва

μ_BB

μ_BB 2 p_F

(1971).

В грубом приближении мы можем написать

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Нау-

ка, Москва (1987).

Δϵ

ϵ_F

≈

α.

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

μ_BB

ЖЭТФ 31, 63 (1956).

Принимая значения μ_B ≈ 5.8 · 10-5 эВ/Тл и ϵ_F ≈

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 35, 1251

(1958).

≈ 5 эВ, можно видеть, что Δϵ/μ_BB ≈ 10⁵α при B ≈

≈ 1 Тл и Δϵ/μ_BB ≈ 104 α при B ≈ 10 Тл.

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 38, 188

Таким образом, мы можем видеть, что простая

(1960).

картина осцилляционных явлений (классических

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 69, 419

или квантовых) ограничена значениями α ≥ 10-5

(1959).

при B ≈ 1 Тл и α ≥ 10-4 при B ≈ 10 Тл. В

частности, можно спросить о возможности наблю-

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 78, 411

дения такой картины в рассматриваемом выше пре-

(1962).

√

деле

α|ξ_p|/K₁ ≪ δp_F /r_B или

√α ≪ δ/r_B в случае

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 87, 389

циклотронного резонанса.

(1965).

Возвращаясь к приведенным ранее оценкам

10.

Электроны проводимости, под ред. М. И. Кагано-

δ/r_B

≈ 10-1 (B

≈ 10 Тл) и α

≤ 10-3 для

ва, В. С. Эдельмана, Наука, Москва (1985).

этой ситуации, можно видеть, что этот предел,

в действительности, может иметь определенные

11.

M. I. Kaganov and V. G. Peschansky, Phys. Rep. 372,

ограничения из-за магнитного пробоя.

445 (2002).

1173

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

12.

С. П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

34.

A. Skripchenko, Ann. Glob. Anal. Geom. 43, 253

(2013).

13.

А. В. Зорич, УМН 39, 235 (1984).

35.

I. Dynnikov and A. Skripchenko, Novikov’s Seminar

14.

И. А. Дынников, УМН 47, 161 (1992).

2012-2014, Adv. Math. Sci., Amer. Math. Soc.

Transl. Ser. 2, Vol. 234, ed. by V. M. Buchstaber,

15.

С. П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, AMS, Providence,

16.

И. А. Дынников, Матем. заметки 53, 57 (1993).

RI (2014), p. 173, arXiv:1309.4884

17.

A. V. Zorich, Proceed. Geometric Study of Foliations,

36.

I. Dynnikov and A. Skripchenko, Trans. Moscow

Tokyo, November 1993, ed. by T. Mizutani et al.

Math. Soc. 76, 287 (2015).

World Scientific, Singapore (1994), p. 479.

37.

A. Avila, P. Hubert, and A. Skripchenko, Invent.

18.

I. A. Dynnikov, Proceed. of ECM2, BuDA (1996).

Math. 206, 109 (2016).

19.

I. A. Dynnikov, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2,

38.

A. Avila, P. Hubert, and A. Skripchenko, Bulletin de

Vol. 179, AMS, Providence, RI (1997), p. 45.

la Societe Mathematique de France 144, 539 (2016).

20.

И. А. Дынников, УМН 54, 21 (1999).

39.

R. De Leo, in Advanced Mathematical Methods in

Biosciences & Applications, Springer, ed. by F. Be-

21.

R. De Leo, Physica B: Cond. Matter 362, 62 (2005).

rezovskaya and B. Toni (2019), p. 53; arXiv:1711.

01716.

22.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, Письма в ЖЭТФ

63, 809 (1996).

40.

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, УМН 74, 149 (2019).

23.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, УФН 168, 249

41.

R. Gutiérrez-Romo and C. Matheus, arXiv:1902.

(1998).

04516 [math.DS].

24.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Bulletin of Braz.

42.

С. П. Новиков, Р. Де Лео, И. А. Дынников,

Math. Society, New Series 34, 171 (2003).

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 156, 761 (2019).

25.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, J. Stat. Phys. 115,

43.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 156, 140 (2019).

31 (2004).

44.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 151, 944 (2017).

26.

A. V. Zorich, Annales de l’Institut Fourier 46, 325

(1996).

45.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 152, 1053 (2017).

46.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 154, 1183 (2018).

27.

A. V. Zorich, Amer. Math. Soc. Transl. Ser.

Vol. 179, AMS, Providence, RI (1997), p. 173.

47.

Э. А. Канер, ДАН 119, 471 (1958).

28.

A. V. Zorich, Amer. Math. Soc. Transl. Ser.

48.

В. Ф. Гантмахер, ЖЭТФ 43, 345 (1962).

Vol. 197, AMS, Providence, RI (1999), p. 135.

49.

M. Orlita, P. Neugebauer, C. Faugeras, A.-L. Barra,

29.

Р. Де Лео, УМН 55, 181 (2000).

M. Potemski, F. M. D. Pellegrino, and D. M. Basko,

Phys. Rev. Lett. 108, 017602 arXiv:1109.5014.

30.

Р. Де Лео, УМН 58, 197 (2003).

50.

М. Я. Азбель, Э. А. Канер, ЖЭТФ 30, 811 (1956).

31.

A. V. Zorich, in Frontiers in Number Theory, Physics

51.

М. Я. Азбель, Э. А. Канер, ЖЭТФ 32, 896 (1957).

and Geometry. Vol. 1: On Random Matrices, Zeta

Functions and Dynamical Systems, Ecole de physique

52.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 32, 296 (1957).

des Houches, France, March 9-21 (2003), ed. by

53.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 33, 387 (1958).

P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove, Sprin-

ger-Verlag, Berlin (2006), p. 439.

54.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 34, 748 (1958).

32.

Р. Де Лео, И. А. Дынников, УМН 62, 151 (2007).

55.

М. Я. Азбель, ЖЭТФ 39, 1276 (1960).

33.

A. Skripchenko, Discrete Contin. Dyn. Sys. 32, 643

56.

A. Alexandradinata and L. Glazman, Phys. Rev.

(2012).

B 97, 144422 (2018).

1174