ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1175-1180

ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР И МЕЖЗОННОЕ

МАГНИТОПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА ДВУМЕРНЫМИ

СИСТЕМАМИ С АНТИТОЧКАМИ

Р. З. Витлина^a, Л. И. Магарилл^a,b, А. В. Чапликa,b*

^a Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова

Сибирского отделения Российской академии наук

630090, Новосибирск, Россия

^b Новосибирский государственный университет

630090, Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 16 июля 2020 г.,

после переработки 16 июля 2020 г.

Принята к публикации 18 июля 2020 г.

В перфорированных двумерных электронных структурах, помещенных в перпендикулярное магнитное

поле, вырождение уровней Ландау снимается. В случае круглой антиточки сохраняется цилиндрическая

симметрия задачи и магнитное число m = 0, ±1, ±2, . . . остается хорошим квантовым числом. В работе

найдены (аналитически) расщепление уровней Ландау для антиточки с размером, меньшим магнитной

длины, а также частоты и интенсивности линий межзонных переходов для обычных полупроводников и

для монослоев дихалькогенидов переходных металлов.

DOI: 10.31857/S0044451020120159

должно проявляться как расщепление линий меж-

зонного поглощения света. Значительный интерес

1. ВВЕДЕНИЕ

представляют структуры с искусственными рассе-

ивателями — антиточками, которые реализуются в

В однородном магнитном поле гамильтониан за-

перфорированных двумерных системах (см., напри-

ряженной частицы содержит явную зависимость от

мер, работы [1,2], где исследуется перфорированный

ее координат. Однако в пространстве нет выделен-

графен). Влияние магнитного поля на межзонное

ных точек, так что в любом месте на частицу дей-

поглощение в структурах с антиточками, насколько

ствует одинаковая по величине и направлению си-

нам известно, пока не обсуждалось в литературе. В

ла. Эта физическая однородность задачи проявля-

предлагаемой работе рассматривается этот эффект

ется в независимости энергии от положения центра

для стандартных полупроводников типа GaAs и для

ларморовской орбиты. Все уровни Ландау вырож-

монослоев дихалькогенидов переходных металлов

дены с одинаковой кратностью, которая для дву-

(ДХПМ).

мерной системы в перпендикулярном поле равна

целой части числа S/2πl², где S — площадь сис-

Присутствие круглой антиточки, т. е. области

√

темы, l =

cℏ/eB — магнитная длина. В состояни-

с бесконечно высоким потенциальным барьером,

ях с определенным значением проекции момента m

сохраняет аксиальную симметрию гамильтониана.

на направление магнитного поля энергия электро-

Поэтому подуровни, на которые расщепляется каж-

на при стандартном законе дисперсии есть E_N =

дый уровень Ландау, характеризуются числом m,

= ℏω_c(N + 1/2), номер уровня Ландау N равен

меняющимся от -m_max до N, где m_max ∼ L²/l²,

n + (m + |m|)/2, где n = 0,1,2,... — радиальное

L — линейный размер системы. В случае обычно-

квантовое число, ω_c — циклотронная частота.

го полупроводника волновая функция в валентной

Любые неоднородности (примеси, дефекты

зоне и в зоне проводимости имеет одинаковый вид

структуры и т. д.) снимают вырождение, что

ψ = R(r)e^imϕ, где r и ϕ — цилиндрические коорди-

наты, а радиальная функция удовлетворяет уравне-

^* E-mail: chaplik@isp.nsc.ru

нию (здесь и далее ℏ = 1)

1175

Р. З. Витлина, Л. И. Магарилл, А. В. Чаплик

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

(

)

m²

2. МОНОСЛОЙ ДХПМ С АНТИТОЧКОЙ В

R^′′ +

R^′ -

2μ

r²

МАГНИТНОМ ПОЛЕ

(

)

μω2cr²

mω_c

+ E-

R = 0,

(1)

Для решения задачи об электронном спектре мо-

нослоя ДХПМ с антиточкой будем базироваться на

гамильтониане [3, 4]

где μ — эффективная масса. На границе антиточ-



ки, r = r₀, и на бесконечности величина R должна



+ λ_cστ γ(τp_x - ip_y)

обращаться в нуль. Введя переменную ξ = r²/2l² и



H(p) =



,

(6)

новую искомую функцию W =

√ξ R, получим урав-



γ(τpx + ipy)

+λ_vστ



нение для функции Уиттекера:

[

]

где p — двумерный импульс электрона, отсчитыва-

⁽E

⁾1

m² - 1

W^′′ + -

W = 0.

(2)

емый от центров долин K(K^′), σ = ±1 — спино-

ω_c

4ξ²

вое число, τ

= ±1 — номер долины, 2λ_v, 2λ_c —

Условие на бесконечности для W выполнено, а

спиновые расщепления в валентной зоне и в зоне

спектр определяется уравнением Wλ,|m|/2(ξ₀) = 0,

проводимости, γ — межзонная скорость, Δ — ши-

где ξ₀

= r²⁰/2l², λ

= E/ω_c - m/2. Разложение

рина запрещенной зоны. Такая минимальная двух-

Wλ,|m|/2(ξ₀) при ξ₀ ≪ 1 дает расщепление уровней

зонная модель дираковского типа использовалась

Ландау:

для описания различных свойств монослоев ДХПМ

в большом количестве работ (см., например, [5-8]).

E_N

ξ|m|0(n + |m|)!

В магнитном поле делаем в гамильтониане (6) за-

=N+

(m = 0),

(3)

ω_c

n!(|m| - 1)!|m|!

мену p → π = p + eA(r)/c (-e — заряд электрона,

A(r) — векторный потенциал) и считаем антиточку

(

)-1

непроницаемым барьером, что выражается соответ-

E_N

ствующим граничным условием (см. ниже).

=N +

+ ln

(m = 0).

(4)

ω_c

ξ₀

Для векторного потенциала будем использовать

симметричную калибровку: A(r) = [B × r]/2, где

Таким образом, все расщепленные подуровни в зоне

B — магнитное поле. Волновую функцию предста-

проводимости сдвигаются вверх (в валентной зоне —

вим в виде двухкомпонентного спинора:

вниз) от исходного уровня E_N и быстро сгущают-



ся к нему при малых ξ₀ с ростом магнитного числа



(r)e^imϕ

Ψ1



 a



m. Исключением является изотропное состояние с

Ψ(r, ϕ) =



√



(7)

Ψ2



2π

^b(r)ei(m+τ)ϕ

m = 0, для которого сдвиг максимален и при ξ₀ ≪ 1

лишь логарифмически меньше расстояния между

При подстановке

(7) в уравнение Шредингера

уровнями Ландау.

HΨ(r, ϕ)

= EΨ(r, ϕ) угол ϕ отделяется, и мы

Матричный элемент оптического межзонного пе-

приходим к системе уравнений для радиальных

рехода определяется интегралом перекрытия огиба-

компонент спинора:

ющих в зонах проводимости и валентной. Поскольку

(

)

эти огибающие зависят только от магнитной длины

+ τσλ_c - E a(r)-

(а не от зонной эффективной массы) и соответству-

[

]

ют одному и тому же гамильтониану с идентичными

m+τ

-iγ τ

b(r) = 0,

граничными условиями, интеграл сводится к норми-

2l²

ровочному, т. е. не зависит ни от m, ни от N и отли-

[

]

(8)

чен от нуля только при выполнении правил отбора

iγ τ

a(r) +

2l²

Δm = ΔN = 0. Следовательно, зависимость (сла-

(

)

бая) интенсивности компонент расщепленных линий

- τσλ_v + E b(r) = 0.

от квантовых чисел состояний, участвующих в пере-

ходе, исчерпывается ее пропорциональностью энер-

На границе антиточки мы используем граничное

гии поглощенного фотона:

условие, которое для произвольного края имеет вид

(

)

ω_res = ω_c[2N + 1 + 2ε(n, m)],

(5)

Ψ₁ + iτe^-iτα

Ψ₂

= 0,

(9)

edge

где ε(n, m) — последние слагаемые в формулах (3)

где α — полярный угол внешней (по отношению к

и (4).

системе) нормали к краю. Такой вид граничного

1176

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Электронный спектр и межзонное магнитопоглощение света.. .

условия для уравнения дираковского типа был по-

где индекс η = +1 для c-зоны и η = -1 для v-зоны.

лучен в работе [9] и применялся в ряде других работ,

Таким образом, достаточно найти спектр в одной

посвященных квантовым точкам и кольцам ДXПM

долине.

[6,10] и кольцам графена [11]. В случае круглой ан-

титочки радиусом r₀ из условия (9) получаем

a_τ (r₀) - iτb_τ (r₀) = 0.

(10)

3. ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР В МОНОСЛОЕ

ДХПМ С АНТИТОЧКОЙ МАЛОГО

Решение системы (8), убывающее при r → ∞,

ДИАМЕТРА

может быть выражено через функции Уиттекера:

Как и в случае рассмотренного во Введении

N_τ

(

)

a_τ (r) =

обычного полупроводника, несмотря на наличие ма-

√ξWKτ,σ(E)-(m+τ)/2,|m|/2

лого параметра ξ₀

= r²⁰/2l2 ≪ 1, обычная тео-

(

)_τ

iN_τ

(11)

b_τ (r) =

B_τ,σ(E)

рия возмущений здесь неприменима, так как воз-

√ξ

мущение бесконечно велико внутри области r < r₀.

(

)

×WKτ,σ(E)-m/2, |m+τ|/2

Поэтому мы найдем искомое расщепление уровней

√

невозмущенной задачи, решая приближенно диспер-

Здесь введены обозначения Ω = γ

2/l, N_τ — нор-

сионное уравнение (14). Спектр монослоя без анти-

мировочные константы. Функции B_τ,σ(E) и K_τ,σ(E)

точки найден в работах [7,8]:

даются выражениями

(η)

τσλ₊

E_τ

+ ηετ,σ;N ,

,σ;N

B_τ,σ(E) =

E + τΔ/2 - τσλ_-τ

(16)

1√

ετ,σ;N =

(Δ_τσ)² + 4Ω²N,

(λ₊₁ ≡ λ_c, λ-1 ≡ λ_v,

B_-τ,σ(-E) = -B_τ,σ(E)|λc⇄λv)

(12)

где λ_± = λ_v ± λ_c, Δ_τσ = Δ - τσλ_-. Если N = 0,

то формула (16) дает правильный результат лишь

при условии η = -τ, т. е. нулевой уровень Ландау в

K_τ,σ(E) =

долине τ = +1 существует только в валентной зоне,

а в долине τ = -1 — только в зоне проводимости.

(E - τΔ/2 - τσλ_τ )(E + τΔ/2 - τσλ_-τ )

Невозмущенный спектр (16) получается из уравне-

Ω²

ния (14), если положить в нем ξ₀ = 0 и раскрыть

(K_-τ,σ(-E) = K_τ,σ(E)|λc⇄λv ).

(13)

неопределенности¹⁾. Тогда уравнение удовлетворя-

Дисперсионные уравнения для долин τ = ±1 сле-

ется при K(E) = N. При конечном, но малом зна-

дуют из выражений для радиальных функций a_τ , b_τ

чении ξ₀ получаем K = N + 2δEηε_τσN /Ω², где δE —

(11) и граничного условия (10):

искомый сдвиг уровня, и разлагаем функции W по

восходящим степеням аргумента ξ₀. Отсюда нахо-

(

)

WKτ,σ(E)-(m+τ)/2,|m|/2

ξ₀

дятся поправки к энергии δE, зависящие от m. Об-

(

)_τ

(

)

щие формулы для энергий возникающих подуров-

+ τ B_τ,σ(E)

WKτ,σ(E)-m/2,|m+τ|/2

ξ₀

= 0.

(14)

ней весьма громоздки, поэтому приведем результа-

ты для уровней Ландау ближайших к запрещенной

Уравнение (14) обладает симметрией, позволяющей

зоне, т. е. при N = 0 и N = 1 в долине τ = +1. Огра-

связать значения энергии в разных долинах. Пря-

ничимся также теми (малыми) значениями m, для

мой подстановкой E → -E, τ → -τ, λ_c ⇆ λ_v с

которых сдвиги подуровней δE_m наиболее велики.

учетом соотношений (12), (13) можно убедиться, что

Аналогичные выражения для δE в долине τ = -1

оно переходит в такое же уравнение при замене m

получаются из соотношения (15).

на m + τ. Поскольку исходный гамильтониан (6) яв-

ляется матрицей 2 × 2, ясно, что его спектр состоит

из двух зон, обозначаемых через c и v. Присутствие

¹⁾ В цитированных работах [7,8] этот результат получается

проще, поскольку авторы используют состояния с сохраня-

в указанном преобразовании перестановки λ_c ⇆ λ_v

ющейся компонентой импульса электрона (декартовы коор-

означает, что связь спектров в долинах τ = +1 и

динаты, калибровка Ландау). В нашей задаче с круглой ан-

τ = -1 дается формулой

титочкой необходимо пользоваться цилиндрической системой

координат и состояниями с определенным значением момента

(15)

вдоль направления магнитного поля.

E(η)-τ,σ;m = -E(-η)τ,σ;m-τ |λc⇄λv ,

1177

Р. З. Витлина, Л. И. Магарилл, А. В. Чаплик

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Для N = 1 и m = 0 в v-зоне имеем

оператора (v · e), где v = γ(τσ_x, σ_y) — оператор

(

скорости, соответствующий гамильтониану (6), e —

(v)

Ω²

1+B₊

1,σ;1

√ξ₀ )√ξ

вектор поляризации электромагнитной волны. Мат-

δE(v)+1,σ;1,0 = -

(17)

2ε+1,σ;1B(v)+1,σ;1

ричные элементы выражаются через интегралы от

радиальных функций:

Здесь использовано обозначение

(c)∗

[

〈Ψ_f

|(v · e)|Ψ(v)i〉 = γ

(τe_x-ie_y)U_f,iδ_m′,m+τ +

2Ω

]

B(η)τσ;N = B_τσ(E(η)τσ;N ) ≡

(18)

2ηετσ;N + τΔ_τσ

+ (τe_x + ie_y)V_f,iδ_m′_,m-τ

(22)

В валентной зоне B(v)+1,σ;N < 0, и для нее в принципе

Здесь

возможна немонотонная зависимость δE от радиуса

∞

∫

антиточки r₀.

U_f,i = dr ra(c)∗fb(v)i, V_f,i = dr rb(c)∗fa(v)i.

Для N = 1 и m = 0 в c-зоне получаем

√ξ₀

δE(c)+1,σ;1,0 =

√ .

(19)

Индексы «i» и «f» соответствуют совокупности всех

2ε+1,σ;1 B(c)+1,σ;1 + | ln(ξ₀)|

ξ₀

квантовых чисел начального и конечного состоя-

ний, т. е. τ, σ, m, n (n — радиальное квантовое чис-

Для N = 1 и m = -1

ло). Предполагая выполнение условия ξ₀ ≪ 1, бу-

δE(η)+1,σ;1,-1 =

дем вычислять интегралы с волновыми функциями

(η)

монослоя без антиточки. В цилиндрической системе

Ω²B₊

1,σ;1

√ξ₀

(

(20)

координат эти функции имеют вид

√

2ηε+1,σ;1

1+B(η)+1,σ;1

ξ₀(1+C-| ln(ξ₀)|)

(η)

(r) = N(η)τ,σ,N,mn_τ !(-1)nτ ×

τ,σ,N,m

Для N = 0 и m = -1 (для τ = +1 уровень N = 0

×ξ|m|/2e-ξ/2L^|m|(ξ),_n

существует только в валентной зоне) имеем

(23)

b(η)

(r) = iN(η)τ,σ,N,m ×

Ω√ξ0

τ,σ,N,m

δE(v)+1,σ;0,-1 = -

(21)

(

)_τ

m+τ |

1+g

√ξ₀Δ+1,σ/Ω^,

× B(η)τ,σ

ñ_τ !(-1)ñτ ξ|m+τ|/2e-ξ/2L^|

(ξ),

ñτ

где g = -C + | ln(ξ₀)| (C — константа Эйлера).

где L^αn(z) — присоединенные полиномы Лагерра,

Численные значения параметров ДХПМ таковы,

вместо радиального квантового числа n введено чис-

что в достижимых магнитных полях всегда выпол-

ло N — номер уровня Ландау, N(η)i,N — нормиро-

няется неравенство Δ ≫ Ω. Тогда из (18) следу-

вочный коэффициент, радиальные квантовые числа

ет, что величина B мала в c-зоне (порядка Ω/Δ) и

n_τ ,

ñ_τ даются выражениями

велика в v-зоне (порядка Δ/Ω). В формулах (17),

(19)-(21) удержаны два члена разложения по пара-

m + |m| + τ + 1

n_τ (N, m) = N -

≥ 0,

метру ξ₀, поскольку величина Δ√ξ0/Ω может быть

(24)

больше единицы.

m + |m + τ| + 1

ñ_τ (N, m) = N -

≥ 0,

Приведем некоторые оценки для соединения

MoS₂, используя параметры материала из работы

а величины Bτ,σ определены в (18). Уровням с N = 0

[3]: Δ = 1.66 эВ, γ

= 3.51 эВ ·Å. В поле B =

соответствуют волновые функции

= 10 Тл при радиусе антиточки r₀ = 4 нм для уров-

1-τ

ня N = 1, m = 0 в c-зоне в долине τ = +1 получаем

a(η=-τ)τ,σ,N=0,m(r) =

√ ξ|m|/2e-ξ/2

δE = 1.1 мэВ (расстояние между уровнями Ландау

|m|!

Ω²/Δ составляет 2.3 мэВ). Тому же уровню в v-зоне

(m ≤ 0),

(25)

соответствует оценка δE ≈ 0.14 мэВ, причем в дан-

ном случае δE квадратично зависит от радиуса ан-

1+τ

b(η=-τ)

(r) =

√

τ,σ,N=0,m

титочки и магнитного поля: δE ∝ B²r²⁰.

(|m| - 1)!

× ξ(|m|-1)/2e-ξ/2 (m ≤ -1).

(26)

4. МЕЖЗОННОЕ ОПТИЧЕСКОЕ

В оптических дипольных переходах выполняют-

ПОГЛОЩЕНИЕ

ся правила отбора: m_f = m_i ± τ, N_f = N_i ± τ, σ

Для определения вероятности межзонных пере-

и τ сохраняются. Для величин U и V вычисление

ходов необходимо вычислить матричные элементы

радиальных интегралов дает

1178

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Электронный спектр и межзонное магнитопоглощение света.. .

Uτ,σ;N′_,N = δ_N′,N+τ

Uτ,σ;N ,

было сказано, параметр Ω/Δ всегда мал в реаль-

√(

)(

)

(27)

но достижимых магнитных полях. Тогда из формул

Δ_τσ

Uτ,σ;N =

(27), (28) вытекают оценки амплитуд U и V :

2ετσ;N+τ

2ετσ;N

для

U ≈ 1, V ≈ (Ω/Δ)².



1-τ



1-τ



−

В матричный элемент перехода с участием уровня

^m



N ≥1+

N = 0 величина V вообще не входит. Таким об-

разом, вероятность любого перехода в главном по-

рядке не зависит от магнитного поля. Такая зави-

симость возникает лишь благодаря вкладу следую-

Vτ,σ;N′_,N = δ_N′_,N-τ

Vτ,σ;N ,

щего члена в разложении U. Эта поправка пропор-

√(

)(

)

Δ_τσ

(28)

циональна (Ω/Δ)², т. е. линейна по магнитному по-

Vτ,σ;N =

2ετσ;N-τ

2ετσ;N

лю. Амплитуда V появляется в вероятности перехо-

да лишь в следующем порядке и дает вклад, про-

для

порциональный (Ω/Δ)⁴.



Отстройка частоты m-й компоненты от исход-

1/2 - τ



−



^m



ной линии поглощения монослоя без антиточки δω

|m|

N ≥1+

быстро (как ξ₀

) стремится к нулю. Отстройка мак-

симальна для перехода N

= 0, m = -1 (v-зо-

Нетрудно видеть, что имеют место соотношения

на) → N = 1, m = 0 (c-зона) в долине τ = +1. В

этом случае отстройка

U-τ,-σ;N+τ =

Uτ,-σ;N,

V-τ,σ;N-τ =

Vτ,-σ;N .

(29)

Ω²

δω ∼

Для переходов N = 0 → N = 1 в долине τ = +1 и

Δ| ln(ξ₀)|

N = 1 → N = 0 в долине τ = -1 соответствующие

т. е. лишь логарифмически мала по сравнению с рас-

величины V равны нулю.

√

стоянием между уровнями Ландау.

В случае круговой поляризации e = (1, iζ)/

Итак, в работе найдено расщепление уровней

(ζ = ±1) квадрат матричного элемента (22), опре-

Ландау в двумерной электронной системе с ан-

деляющий вероятность межзонного перехода, запи-

титочками в перпендикулярном магнитном поле.

сывается как

Рассмотрены случаи обычного полупроводника и

монослоя ДХПМ. Расщепленные подуровни класси-

|〈Ψ(c)∗τ,σ;N′_,m′ |(v · e)|Ψ(v)τ,σ;N,m〉|² =

фицируются по азимутальному квантовому числу

[

m = 0,±1,±2,... — проекции углового момента

=γ² δ_m′,m+τδ_N′,N+τ(1+τζ)

Uτ,σ;N )² +

на направление магнитного поля. Межзонные оп-

тические переходы подчиняются правилам отбора

]

+δ_m′_,m-τ δ_N′_,N-τ (1 - τζ)

Vτ,σ;N )²

(30)

N^′ = N, m^′ = m в случае обычного полупроводника

и N^′ = N ±1, m^′ = m±1 для ДХПМ. Их вероятнос-

ти не зависят от m, если размер антиточки много

Видно, что, несмотря на явную зависимость вол-

новых функций (23), (25), (26) от числа m, такая за-

меньше магнитной длины.

висимость в матричных элементах оператора (v · e)

отсутствует в принятом приближении (за исключе-

Финансирование. Работа поддержана Российс-

ким научным фондом (грант № 17-12-01039).

нием дельта-символов, определяющих правила от-

бора). Следовательно, как и в случае обычного по-

лупроводника (см. Введение), интенсивности всех

ЛИТЕРАТУРА

компонент расщепленной линии межзонного пере-

хода между данной парой уровней Ландау практи-

1. Yu. I. Latyshev, A. P. Orlov, E. G. Shustin et al.,

чески одинаковы. Поскольку в системе с антиточ-

J. Phys., Conf. Ser. 248, 012001 (2010).

кой каждому значению m соответствует своя часто-

2. В. В. Еналдиев, В. А. Волков, Письма в ЖЭТФ

та перехода, в выражении для интенсивности соот-

104, 646 (2016).

ветствующей линии нет множителя, равного факто-

ру вырождения: в сумме по начальным и конечным

3. D. Xiao, G.-B. Liu, W. Feng et al., Phys. Rev. Lett.

состояниям имеется лишь одно слагаемое. Как уже

108, 196802 (2012).

1179