ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 1, стр. 25-34

ОСОБЕННОСТИ БЕЗДИССИПАТИВНОГО КАНАЛИРОВАНИЯ

ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ОКОЛО

ПРОВОДНИКА С ТОКОМ

В. И. Высоцкий^*, М. В. Высоцкий

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

01601, Киев, Украина

Поступила в редакцию 28 июня 2020 г.,

после переработки 28 июня 2020 г.

Принята к публикации 2 августа 2020 г.

Рассмотрены особенности свободного (вне объема проводника) движения заряженных частиц в поле век-

торного потенциала, образуемого при прохождении постоянного тока вдоль цилиндрического или плос-

кого проводника. Показано, что при движении частиц с отрицательным зарядом вдоль направления тока

(а также при движении положительно заряженных частиц против этого направления) процесс взаимо-

действия зарядов с векторным потенциалом тока соответствует наличию очень глубокой потенциальной

ямы, минимум которой находится за пределами проводника. Такое положение минимума потенциальной

ямы соответствует протеканию тока, сила которого не превышает нескольких килоампер для электронов

и позитронов и нескольких десятков килоампер для протонов. При превышении этих величин минимум

смещается в объем проводника. При уменьшении тока или увеличении продольной энергии частицы

положение минимума изменяется в интервале от области около поверхности проводника до величин,

которые во много десятков раз превышают толщину (диаметр) проводника. Глубина потенциальной ямы

возрастает с увеличением энергии частицы и даже для нерелятивистских частиц может достигать десят-

ков и сотен килоэлектронвольт. Структура потенциальной ямы около поверхности плоского проводника

с током соответствует гармоническому осциллятору, частота которого зависит от силы тока, толщины

плоского проводника и энергии частицы. Наличие таких особенностей позволяет реализовать режим

бездиссипативного каналирования за пределами проводника и транспортировку частиц на большое рас-

стояние.

DOI: 10.31857/S0044451021010028

руемых специальными электромагнитами или высо-

ковольтными фокусирующими системами, что свя-

1. ВВЕДЕНИЕ

зано с очень большими технологическими пробле-

Проблема оптимальной транспортировки, фоку-

мами и затратами энергии. В последние десятиле-

сировки и управления параметрами пучков ускорен-

тия было много попыток альтернативного решения

ных заряженных частиц имеет длинную предысто-

этой проблемы (начиная с ранних работ [1-3]) с по-

рию и много вариантов решений. Ее несомненная ак-

мощью эффекта каналирования при использовании

туальность связана как с необходимостью рассмот-

сильных упорядоченных электрических полей, су-

рения конкретных фундаментальных и прикладных

ществующих в объеме кристаллов.

задач, решаемых с помощью пучков частиц, так и с

целью изучения и использования ряда аномальных

Традиционная схема каналирования заряжен-

свойств самих пучков как нового типа материальной

ных частиц соответствует их движению в сильных

среды, отличного от таких традиционных систем,

электрических полях ядер и электронов, локализо-

как твердое тело, жидкость, газ или неподвижная

ванных в пределах конкретных осей или плоскостей

плазма. Традиционные и хорошо известные мето-

кристалла. Напряженность таких внутрикристалли-

ды такого управления используют сложные системы

ческих полей, как правило, существенно превосхо-

сильных магнитных и электрических полей, форми-

дит параметры полей, создаваемых в приборах стан-

дартной пучковой оптики. Это, в частности, позво-

^* E-mail: vivysotskii@gmail.com

ляет изменять направление пучков частиц с помо-

В. И. Высоцкий, М. В. Высоцкий

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

щью слабоизогнутых кристаллов [4]. С другой сто-

2. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ

роны, очевидно, что наличие сильного рассеяния и

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ

тепловых флуктуаций в кристаллической решетке

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

приводит к малой длине деканалирования и невоз-

2.1. «Внеобъемное» каналирование

можности использования процесса каналирования

заряженных частиц в поле цилиндрического

для транспортировки частиц на большие расстоя-

проводника с током

ния. Корректные расчеты и вся практика работы

с пучками ускоренных заряженных частиц показы-

Движение быстрых заряженных частиц в элек-

вает, что даже в максимально оптимизированных

тромагнитном поле без учета влияния спина описы-

режимах каналирования (в частности, при движе-

вает уравнение Клейна - Гордона

нии позитронов и протонов в межплоскостном про-

(

)₂

∂

странстве кристаллов) взаимодействие с элемента-

iℏ

- qϕ(r) Ψ(r, t) =

∂t

ми кристаллической структуры приводит к очень

)

((

)

малой длине деканалирования, которая не превы-

= iℏ∇ +

A(r, t)

2 c² + m²c⁴ Ψ(r,t),

(1)

шает нескольких миллиметров. Кроме того, наличие

сильного внутриобъемного взаимодействия движу-

которое характеризует их состояние во всех инерци-

щихся частиц с кристаллом приводит к его деграда-

онных системах отсчета.

ции и разрушению.

Энергия взаимодействия частицы, движущей-

Вследствие этих обстоятельств режим внутри-

ся в направлении оси z в объеме проводника и

кристаллического каналирования не может быть ис-

за его пределами, характеризуется как «стандарт-

пользован как для транспортировки частиц на боль-

ным» скалярным потенциалом вещества проводника

шое расстояние, так и для их эффективной фокуси-

V (r) = qϕ(r), так и векторным потенциалом A(r) =

ровки при относительно малой энергии частиц.

= e_zA_z(r) электрического тока J = e_zJ_z, протекаю-

В работе рассмотрен принципиально другой ме-

щего по проводнику.

тод реализации управляемого ориентационного дви-

Для анализа движения частиц с импульсом p =

жения заряженных частиц с импульсом p = e_pp в

= e_pp и зарядом q вдоль оси кристалла z уравнение

вакууме за счет использования векторного потенци-

(1) можно преобразовать, если сделать замену

(

)

ала, формируемого за пределами одиночного пря-

εt - p_zz

Ψ(r, t) =

Ψ(r_⊥) exp

-i

молинейного проводника с током J = e_zJ_z.

ℏ

(2)

Следует отметить, что при очень упрощенном

√

ε=

p2zc² + m²c⁴ + E ≡ γmc² + E.

(и некорректном) представлении этого процесса ка-

жется, что его особенности должны соответствовать

В итоге приходим к релятивистскому аналогу урав-

классической задаче о взаимодействии двух парал-

нения Шредингера в лабораторной системе коорди-

лельных токов, которые, в зависимости от их вза-

нат:

[

]

имных направлений, могут либо притягиваться, ли-

ℏ²Δ⊥

+ U (r)

Ψ= E_eff Ψ,

бо отталкиваться, не образуя устойчивого положе-

2γm

(3)

ния равновесия. Более детальный анализ показы-

E²

U (r) = U_A (r) + U_V (r) , E_eff = E +

вает, что учет специфики взаимодействия, связан-

2γmc²

ного даже с очень слабыми релятивистскими эф-

Состояние движущейся заряженной частицы в

фектами, приводит к возможности реализации ре-

поле цилиндрического проводника радиусом R ха-

жима ориентационного движения, соответствующе-

рактеризуется суммарной потенциальной энергией

го устойчивому каналированию движущихся частиц

U (r), зависящей как от вклада U_V (r) усредненного

в перестраиваемой глубокой потенциальной яме, на-

скалярного потенциала V (r) = q〈ϕ(r)〉 конкретного

ходящейся далеко за пределами объема проводника

материала проводника (аналогичного случаю «стан-

с током. Особенности такого движения в некотором

дартного» каналирования частиц в объеме кристал-

смысле объединяют положительные стороны клас-

ла), так и от «векторной» компоненты U_A (r), опре-

сического и сложного по организации управления

деляемой векторным потенциалом A(r),

пучками в свободном пространстве с помощью пуч-

√

ковой оптики (движение без диссипации) и просто-

q²A²

U_A (r) = -qA · e_p

го, но малоэффективного (из-за сильного торможе-

γ²

2γmc²

(4)

ния и рассеяния) управления этими же пучками за

V²(r)

U_V (r) = V (r) -

счет процесса внутриобъемного каналирования.

2γmc²

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Особенности бездиссипативного каналирования.. .

В случае однородного цилиндрического проводни- циал, формируемый электрическим током J, имеет

ка в форме цилиндра радиусом R векторный потен- вид

⎧

∕

⎨

-e_zJr²

cR²,

r≤R,

A=e_zA_z =

(5)

⎩

{

(

∕

)}

-e_z (J/c)

1 + ln

r²

R²

r≥R.

Сначала рассмотрим пространственную струк-

движущейся заряженной частицы с учетом явного

туру векторной части (части, связанной с вектор-

вида векторного потенциала (5):

ным потенциалом) потенциальной энергии U_A (r)

⎧

√

⎪

qJ(r/R)²

γ² - 1

q²J²(r/R)⁴

⎪

(e_z · e_p)

r≤R,

⎨

γc

2γmc⁴

U_A (r) =

(6)

√

⎪

{

}₂

⎪

γ² - 1^{

r^}

q²J²

⎩ (e_z · e_p)

1 + 2ln

r≥R.

γc

2γmc⁴

Свободному движению частиц с отрицательным за-

Для всех типов нерелятивистских частиц с кинети-

рядом q = -e вдоль направления тока (а также

ческой энергией продольного движения T_z величина

движению положительно заряженных частиц c q =

этого тока определяется формулой

= e против этого направления) соответствует усло-

√

c²

mv_zc²

вие q(e_z ·e_p) < 0. Только при таком условии в данной

J(cr) ≈

2mT_z

(10)

|q|

системе будет существовать удаленный от оси про-

водника устойчивый аксиально-симметричный ми-

В частности, для протонов с энергией T_z = 5 кэВ

нимум энергии частицы. При дополнительном усло-

критический ток равен J(cr) ≈ 120 кА и быстро

вии

√

возрастает с увеличением энергии. Отсюда следует,

mc³

γ² - 1

J <J(cr) ≡

(7)

что при протекании в проводнике любого реального

|q|

(умеренного) тока J < 120 кА центр потенциальной

этот минимум в форме аксиальной (кольцевой) по-

ямы для тяжелых частиц будет находиться за преде-

тенциальной ямы будет находиться за пределами

лами проводника. При формальном условии J → 0

объема проводника в области радиусом

имеем r_min → ∞.

Глубина потенциальной ямы для движущейся за-

)}

(cr)

^{1⁽J

ряженной частицы равна

rmin = R exp

-1

≡

mc²(γ² - 1)

U_A (r = r_min) = -

(11)

{

(

√

)}

2γ

mc³

γ²

-1

≡ Rexp

-1

(8)

|q|J

Для нерелятивистских частиц глубина ямы не за-

висит от их массы и численно равна кинетической

относительно оси проводника с током.

энергии их продольного движения,

Соответственно, при J > J(cr) минимум вектор-

ной части U_A (r) общей потенциальной энергии U (r)

U_A (r = r_min) ≈ -T_z.

(12)

будет находиться внутри проводника, что сразу при-

водит к необходимости учета очень сильного тормо-

На рис. 1 представлена радиальная структу-

жения и рассеивания движущихся частиц.

ра векторной части U_A (r) потенциальной ямы для

Для электронов и позитронов с произвольной

электрона с различной энергией продольного дви-

энергией критический ток равен

жения T_z, движущегося вдоль цилиндрического

проводника в направлении тока J, или позитрона,

√

J(cr) [кА] ≈ 20

γ² - 1.

(9)

движущегося против направления этого же тока.

В. И. Высоцкий, М. В. Высоцкий

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

ся аксиально-симметричной потенциальной ямы, в

полном соответствии с выражениями (11), (12), рез-

ко возрастает с увеличением продольной кинетиче-

ской энергии электрона T_z , увеличиваясь от величи-

ны, совпадающей с T_z для сравнительно медленных

электронов, до десятков и сотен килоэлектронвольт

при увеличении этой энергии. Для релятивистских

частиц c γ ≫ 1 глубина ямы возрастает пропорцио-

нально лоренц-фактору γ.

Радиус положения минимума аксиальной по-

тенциальной ямы r_min может изменяться в очень

широких пределах в зависимости от соотношения

√

γ² - 1/J.

Исходя из этих результатов очевидно, что при

выполнении условия «внеобъемного» каналирова-

ния (7) влияние намного более слабого (и усреднен-

ного по направлению продольного движения части-

цы) скалярного потенциала атомов вещества про-

водника, соответствующего «обычному» каналиро-

ванию и не превышающего 50-200 эВ, на состояние

частиц в суммарных потенциальных ямах являет-

ся несущественным и может не учитываться. Та-

кое игнорирование тем более обоснованно тем, что

преимущественная локализация частиц, продольно

движущихся в области минимума векторной части

потенциальной энергии, далеко отстоит от границы

проводника.

Аналогичным образом легко убедиться, что чис-

то электростатическое взаимодействие движущего-

ся над поверхностью проводника заряда с его изоб-

ражением, формируемым в объеме проводника, бу-

дет очень мало по сравнению с энергией взаимо-

действия U_A (r), связанной с векторным потенциа-

лом, формируемым сравнительно большим током в

проводнике, величина которого хоть и меньше, но

вполне сопоставима с J(cr). Максимальная энергия

такого взаимодействия для неподвижного электро-

на или позитрона, даже если рассматривать ее на

минимально допустимом расстоянии r(cr) ≈ 1 нм,

Рис. 1. Структура потенциальной ямы UA(r) для электро-

при котором обосновано представление о метал-

нов с энергией продольного движения Tz [кэВ] = 5 (кри-

вая 1), 15 (2), 25 (3), 50 (4) при протекании тока J [А] =

ле как сплошной проводящей среде, не превыша-

= 800 (а), 1000 (б), 2000 (в) вдоль цилиндрического про-

ет 2-3 эВ, что несопоставимо меньше, чем получен-

водника. Вертикальные штриховые линии показывают сме-

ные выше характеристики потенциальной ямы. Для

щение положения минимума векторной части потенциаль-

больших расстояний (в области, близкой к миниму-

ной энергии UA(r) электрона или позитрона в поле про-

му потенциальной ямы) и для движущихся частиц

водника с током относительно радиуса проводника R

это взаимодействие будет еще меньше.

Также легко убедиться, что наличие спина у рас-

сматриваемых частиц не оказывает существенного

Из полученных зависимостей видно, что при

влияния на структуру потенциальной ямы и особен-

уменьшении силы тока минимум векторной час-

ности режима каналирования. Наличие векторного

ти U_A (r) потенциальной энергии очень существен-

потенциала A (r) (5) приводит к появлению магнит-

но удаляется от проводника. Глубина образующей-

ного поля

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Особенности бездиссипативного каналирования.. .

∂A_z(r)

Таким образом, векторная часть U_A (r) потенци-

H(r) = ∇ × A (r) = -e_ϕ

(13)

∂r

альной энергии взаимодействия практически полно-

содержащего только одну азимутальную компонен-

стью характеризует движение заряженных частиц в

ту

{

поле проводника с током.

2Jr/cR², r ≤ R,

H_ϕ =

(14)

2J/cr,

r≥R.

2.2. Особенности каналирования заряженных

Если учесть, что минимальное сечение провод-

частиц в поле плоского проводника с током

ника, через который может протекать ток величи-

ной в сотни и тысячи ампер, не может быть мень-

Альтернативная геометрия околоповерхностного

ше нескольких квадратных миллиметров, то ми-

каналирования может быть связана с движением за-

нимальный радиус, на котором может находиться

ряженных частиц в поле плоского проводника с то-

аксиально-симметричный минимум потенциальной

ком. Для плоского проводника в форме пластины

энергии, не может быть меньше 3-5 мм. Исходя из

шириной L и толщиной 2a ≪ L, центральная плос-

этих данных легко показать, что максимальная на-

кость которой расположена при x = 0, векторный

пряженность магнитного поля в такой системе не бу-

потенциал A(x) = e_zA_z (x) электрического тока J =

дет превышать величину Hϕmax) ≈ 1000 Э. Соответ-

= e_zJ_z определяется выражением

ственно, энергия взаимодействия спинового магнит-

{

∕

ного момента μ_B (магнетона Бора) электрона или

-πx²J

caL,

|x| ≤ a,

A_z =

(15)

позитрона с таким полем будет очень малой и не

- (πaJ/cL) {(2|x|/a) - 1} ,

|x| ≥ a.

будет превышать UµBH = -(H(max) · μB) ≈ 10-5 эВ,

что дает очень малую поправку к структуре рас-

Соответствующая этому потенциалу векторная

смотренной выше векторной части потенциальной

часть U_A (x) общей потенциальной энергии частицы

энергии U_A (r).

(4) имеет вид

√

q²A²

U_A (x) = -q(e_z · e_p)A

1 - 1/γ² +

2γmc²

⎧

√

⎪

πqx²J

γ²

-1

⁽πqx²J)2

⎪

|x| ≤ a,

⎨

caLγ

caL

2γmc²

(16)

√

])₂

⁼⎪⎪

⎪

πqaJ {(2|x|/a) - 1}

² -1

⁽πqaJ

^[2|x|

⎩ -

-1

|x| ≥ a.

cLγ

2γmc²

Полученную формулу для U_A (x) можно преобразо-

женных в пределах пластины проводника. Каждый

вать к виду, удобному для сопоставления с рассмот-

из этих токов протекает по сечению, соответствую-

ренным выше случаем цилиндрического проводни-

щему квадрату со стороной 2a, и является прибли-

ка. Для этого общий ток в проводнике J можно

женным аналогом тока в цилиндрическом провод-

представить как совокупность N = L/2a ≫ 1 па-

нике диаметром 2R. В таком случае выражение (16)

раллельных парциальных токов J_a = J/N, располо-

принимает вид

⎧

√

⎪

π|q|J_a(x/a)²

γ² - 1

⁽πq(x/a)²J_a )²

⎨

|x| ≤ a,

2cγ

2γmc²

U_A (x) =

√

(17)

[

]

])₂

⎪

γ² - 1

2|x|

⁽πqJ_a [2|x|

⎩ -π|q|Ja

-1 +

-1

|x| ≥ a.

2cγ

2γmc²

В формулах (16) и (17), как и в рассмотренном

= e против этого направления) соответствует усло-

выше режиме движения частицы в поле цилиндри-

вие q(e_z · e_p) < 0, которое является обязательным

ческого проводника, свободному движению частиц

требованием существования удаленного от поверх-

с отрицательным зарядом q = -e вдоль направле-

ности проводника (при |x| > a) минимума векторной

ния тока (а положительно заряженных частиц c q =

части потенциальной энергии частицы.

В. И. Высоцкий, М. В. Высоцкий

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Выражение (17) для векторной части потенци-

В частности, для медленных протонов с энергией

альной энергии можно преобразовать к форме, со-

100-400 эВ критический ток равен

≈ 5-10 кА.

ответствующей параболической потенциальной яме,

Из сопоставления величин (8) и (20) следует наи-

т. е. к виду

более важное отличие ориентационного движения в

поле плоского тока от случая цилиндрического про-

π²q²J2a

mc²(γ² - 1)

U_A (x ≥ a) =

Δx² -

водника с током — расстояние от центра проводни-

2γmc⁴a²

2γ

(

√

)

ка до минимума потенциальной ямы с уменьшени-

(18)

mc³

γ²-1

ем тока в случае плоского проводника возрастает

Δx = a

-|x| ≡ |x_min|-|x|,

π|q|J_a

намного медленнее (по закону |x_min| ∝ 1/J_a) по

сравнению с экспоненциальным законом в случае

аналогичному потенциальной энергии гармоничес-

цилиндрического проводника.

кого осциллятора в потенциальной яме с центром

На рис.

представлены результаты расчета

при |x_min|. Два минимума этой потенциальной ямы,

структуры векторной части потенциальной энергии

U_A (x_min) = -mc²(γ² - 1)/2γ,

(19)

для электронов и позитронов с различной энергией

продольного движения T_z, движущихся в поле плос-

находятся по обеим сторонам плоского проводника

кого проводника, по которому протекает парциаль-

на расстоянии

ный ток J_a = J(2a/N).

(

√

)

mc³

γ² - 1

На рис. 3 представлено пространственное изме-

x_min = ±a

(20)

π|q|J_a

нение положения потенциальной ямы для движуще-

гося электрона или протона с энергией 50 кэВ в поле

от его центральной плоскости с координатой x = 0.

плоского проводника при уменьшении парциально-

Это расстояние возрастает при уменьшении силы

го тока. Их этих данных видно, что расстояние от

тока.

проводника с током до центра потенциальной ямы,

Для нерелятивистских частиц глубина (19) этой

формируемой при взаимодействии движущегося за-

ямы, как и в случае цилиндрического проводника с

ряда с векторным потенциалом тока, возрастет при

током (12), не зависит от массы заряженных частиц

уменьшении силы тока и может во много раз (и да-

и численно равна кинетической энергии их продоль-

же на много порядков при относительно малом токе)

ного движения T_z. Для локализации этого миниму-

превосходить толщину плоского проводника.

ма за пределами проводника необходимо выполне-

При этом следует учесть, что такое очень боль-

ние условия

шое удаление центра потенциальной ямы от провод-

√

2mc³

γ² - 1

ника предполагает, что ширина L проводника суще-

J_a < J(cr)a =

(21)

ственно превышает это расстояние и |x_min| ≪ L.

π|q|

При нарушении этого условия (и особенно в случае

которое аналогично соответствующему требованию

|x_min| ≫ L) формулы (15)-(23) становятся некор-

(7) «внеобъемного» каналирования в случае цилин-

ректными и задачу о структуре векторной части по-

дрического проводника для каналирования электро-

тенциальной энергии необходимо решать с учетом

нов и позитронов и отличается от него коэффициен-

решения уравнений Максвелла для векторного по-

том 2/π, отражающим небольшую разницу в выборе

тенциала в проводнике с конкретной геометрией.

базового элемента тока (проводник с сечением в ви-

Состояние движущейся заряженной частицы в

де окружности диаметром 2R или в виде квадрата

потенциальной яме около плоского проводника при

со стороной 2a). Соответственно, при J_a >

a ми-

выполнении условия |x_min| < L соответствует гар-

нимум потенциальной ямы будет находиться внутри

моническому осциллятору с эквидистантным спект-

проводника.

ром E_n = ℏω₀(n + 1/2) и очень большим числом

Для электронов и позитронов величина критиче-

уровней N = U_A (x_min) /ℏω₀. Характерную частоту

ского парциального тока для плоского проводника

ω₀ этого осциллятора,

равна

√

J(cr)a [кА] ≈ 6

γ² - 1.

(22)

π|q|J_a

ω₀ =

(24)

γmc²a

Для нерелятивистских частиц с кинетической энер-

гией продольного движения T_z величина этого тока

можно определить, если сопоставить форму-

определяется формулой

лу

(18) со стандартным выражением U_A (x)

√

mv_zc²

= γmω²⁰(x - x_min)²/2 для потенциальной энергии

J(cr)a ≈

2mT_z

(23)

одномерного гармонического осциллятора, соот-

π|q|

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Особенности бездиссипативного каналирования.. .

Рис. 3. Смещение минимума потенциальной ямы для заря-

женной частицы в поле плоского проводника при движении

электрона с энергией 50 кэВ при изменении парциально-

го тока Ja [кА] = 1.2 (1), 1.0 (2), 0.8 (3), 0.6 (4), 0.4 (5)

или протона с той же энергией 50 кэВ при соответствую-

щем изменении (в другом интервале) парциального тока

Ja [кА] = 52 (1), 43 (2), 34 (3), 26 (4), 17 (5)

соседними уровнями в лабораторной системе равна

J_a [А]

ω₀ [МГц] = 3

(25)

γa [см]

Для рассмотренных примеров парциального тока

J_a ≈ 10-1000 A и при использовании плоского про-

водника толщиной 2a ≈ 2-5 мм эта частота для

нерелятивистских электронов примерно совпадает с

частотой излучения и соответствует интервалу ω₀ ≈

≈ 100 МГц-30 ГГц. Для релятивистских электронов

частота излучения за счет эффекта Доплера может

на несколько порядков превысить величину (25) и

соответствовать терагерцевому диапазону.

Для медленных протонов c (γ - 1) ≪ 1 характер-

ная частота гармонического осциллятора равна

J_a [А]

ω₀ [ГГц] = 1.5

(26)

a[см]

Рис. 2. Структура потенциальной ямы UA(x) для электро-

нов с энергией продольного движения Tz [кэВ] = 5 (кри-

При токе J_a ≈ 0.1-10 кА и в случае плоских про-

вая 1), 15 (2), 25 (3), 50 (4) в зависимости от величины

водников толщиной 2a ≈ 2 мм пучок медленных

протекающего по плоскому проводнику парциального тока

протонов может быть источником перестраиваемого

Ja [А] = J(2a/N) = 2000 (а), 1000 (б), 800 (в)

излучения в диапазоне ω₀ ≈ 1.5-150 ТГц.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ветствующего движущейся частице с массой γm

в лабораторной системе. При спонтанном перехо-

Рассмотренные особенности структуры потенци-

де между этими квантовыми уровнями энергии

альной энергии, определяющей движение заряжен-

генерируется излучение. Для электронов или по-

ных частиц в поле постоянного электрического то-

зитронов частота радиационного перехода между

ка, протекающего в проводниках разной конфигу-

В. И. Высоцкий, М. В. Высоцкий

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

рации, принципиально отличаются как от фокуси-

ках которого, как известно, практически отсутству-

рующих и управляющих полей очень сложных маг-

ют доступные источники перестраиваемого излуче-

нитных и электростатических систем, используемых

ния.

для «стандартного» управления движением потоков

Следует отметить еще одно важное обстоятель-

заряженных частиц, так и от режима «стандартно-

ство. Выше было показано, что особенности движе-

го» каналирования в объеме монокристаллов, жест-

ния частиц в поле плоского проводника с током пол-

ко привязанного к конкретным осям или плоскостям

ностью аналогичны гармоническому осциллятору с

кристаллов.

эквидистантным спектром и очень большим количе-

Имеется несколько очень существенных особен-

ством разрешенных уровней энергии. При модуля-

ностей, характеризующих это движение.

ции тока состояние движущихся в его поле частиц

Первая из них относится к очень простой воз-

соответствует нестационарному гармоническому ос-

можности изменения положения удаленной от по-

циллятору. В работах [5-12] было показано, что в

верхности проводника глубокой потенциальной ямы

такой системе из-за когерентного «перемешивания»

с помощью изменения силы тока в проводнике, что

квантовых состояний происходит формирование ко-

позволяет реализовать бездиссипативное движение

герентных коррелированных состояний (ККС) этих

и транспортировку заряженных частиц на большое

частиц.

расстояние. Такая система может быть реализова-

Особенность таких состояний состоит в том, что

на, например, в удаленной от проводника вакууми-

в результате конструктивной интерференции боль-

рованной макроскопической пустотелой трубке, из-

шого количества собственных волновых функций

готовленной из немагнитного материала, а в слу-

имеет место периодическая генерация гигантских

чае цилиндрического проводника — в пространстве

флуктуаций поперечного импульса и кинетической

между двумя коаксиальными трубками радиусами

энергии, величина которых зависит от коэффици-

R₁ < r_min и R₂ > r_min, охватывающими этот про-

ента корреляции и может достигать очень больших

водник в области около r_min.

величин при малой средней энергии.

Вторая особенность связана с аномально боль-

Связь среднеквадратичных флуктуаций динами-

шой глубиной этой удаленной потенциальной ямы,

ческих переменных, определяющих состояние такой

которая может достигать единиц, десятков и сотен

системы (в частности поперечной координаты и им-

килоэлектронвольт, что на несколько порядков пре-

пульса), задается соотношением неопределенностей

вышает параметры потенциальных ям при канали-

Шредингера - Робертсона для этих величин:

ровании в объеме кристаллов. Это важное обстоя-

ℏ^∗

ℏ

δq δp ≥

ℏ^∗ =

√

≡ Gℏ,

тельство позволяет обеспечить управляемую транс-

1-r²

портировку пучков с большой угловой дисперсией

(27)

〈qp + pq〉/2 - 〈q〉〈p〉

полного импульса частиц.

√

〈q²〉〈p²〉

Еще одна особенность связана с предельной про-

стотой реализации управляемой транспортировки

Базовыми величинами в этих соотношениях являет-

частиц по заданной траектории за счет использо-

ся коэффициент корреляции r, который задан в ин-

вания изгибов обычного проводника с током. При

тервале -1 < r < 1 и определяется с помощью анти-

этом очень большая глубина «управляющей потен-

корреляторов для операторов соответствующих ди-

циальной ямы» позволяет удерживать частицы на

намических переменных, а также коэффициент эф-

√

заданной траектории даже при резком изменении

фективности корреляции G = 1/

1 - r², который

направления транспортировки. Такой метод намно-

изменяется в интервале 1 ≤ G < ∞ и наиболее на-

го проще и удобнее по сравнению с использованием

глядно демонстрирует преимущества использования

громоздких и энергозатратных магнитных систем.

ККС для оптимизации, например, ядерных процес-

Дополнительным фактором применения побоч-

сов при малой энергии частиц.

ных эффектов такой бездиссипативной транспорти-

Наиболее эффективным методом формирования

ровки является возможность использования элек-

ККС является периодическая модуляция парамет-

тромагнитного излучения, генерируемого при ради-

ров параболической потенциальной ямы (ее ширины

ационных переходах между уровнями энергии дви-

или глубины [9-13]), в которой находится рассмат-

жущейся частицы в формируемой удаленной потен-

риваемая частица, на частоте параметрического ре-

циальной яме. Частота этого излучения для нере-

зонанса Ω = 2ω₀, где ω₀ — характерная частота ко-

лятивистских протонов и релятивистских электро-

лебаний разных заряженных частиц в стационарном

нов соответствует терагерцевому диапазону, в рам-

гармоническом осцилляторе (25), (26).

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Особенности бездиссипативного каналирования.. .

Рис. 4. Возрастание коэффициента корреляции при периодической модуляции параметров нестационарного гармони-

ческого осциллятора с индексом модуляции g = 0.1 в зависимости от длительности модуляции: а — в интервале

0 ≤ t ≤ 100/ω0; б — при t ≈ 500/ω0

При такой модуляции происходит нарастающее

На рис. 4 представлена динамика формирования ко-

во времени формирование взаимно фазированно-

эффициента корреляции электронов в такой сис-

го суперпозиционного состояния каждой из частиц

теме при малом коэффициенте модуляции тока g =

в многоуровневой потенциальной яме, что через

= 0.1 [9].

некоторое время приводит к полной синхронизации

Коэффициенту корреляции |r|_max

= 0.999998,

флуктуаций поперечного импульса и, соответствен-

который достигается при t ≈ 500/ω₀, соответству-

но, поперечной энергии на всех уровнях. Оптималь-

ет коэффициент эффективности корреляции G =

ные условия для такого взаимодействия подробно

= 500. При увеличении коэффициента корреляции

рассмотрены в работе [13].

до |r|max = 0.9999999, что имеет место при t ≈

В работе [14] такая модуляция (и соответству-

≈ 1000/ω₀, коэффициент эффективности достига-

ющий максимум генерации энергии ядерного син-

ет очень большой величины G_max = 3000. Для од-

теза) осуществлялась при воздействии на кристалл

ного из приведенных выше (см. выражение (25))

PdD перестраиваемым когерентным излучением с

значений ω0 ≈ 30 ГГц длительность формирова-

частотами в диапазоне 10-20 ТГц, соответствующи-

ния такого сильнокоррелированного состояния рав-

ми условию параметрического резонанса Ω = 2ω₀

на Δt ≈ 3 · 10-8 с, что при энергии продольного дви-

для колебаний ядер дейтерия, внедренных в решет-

жения частицы 15 кэВ соответствует продольному

ку палладия. В работах [15-17] такая модуляция и

интервалу движения в таком поле Δz ≈ 2 м.

эффективная генерация альфа-частиц обеспечива-

При увеличении индекса модуляции g процесс

лись при упорядоченном движении протонов с энер-

формирования коррелированного состояния частиц

гией около 500 эВ в межплоскостной потенциальной

ускоряется. Такие большие величины коэффициента

яме в решетке лития за счет взаимодействия прото-

эффективности корреляции приводят к синхронным

нов с периодически расположенными атомами.

с величинами |r|_max и G_max гигантским флуктуаци-

В рассматриваемой системе такая модуляция мо-

ям кинетической энергии поперечного движения за-

жет быть эффективно реализована при протекании

ряженной частицы в рассматриваемой нестационар-

слабомодулированного тока по проводнику,

ной параболической потенциальной яме. Амплитуда

этих флуктуаций может на много порядков превос-

J (t) = J₀{1 + g cos(2ω₀t)},

|g| < 1,

(28)

ходить кинетическую энергию продольного движе-

ния частицы. Упрощенная оценка эффективности

чему соответствует изменение характерной частоты

этих флуктуаций может быть проведена при исполь-

собственных колебаний заряженной частицы в поле

зовании замены ℏ → ℏ^∗ ≈ Gℏ в соответствующих

векторного потенциала:

квантовых уравнениях. Методика и примеры таких

ω(t) = ω₀{1 + g cos(2ω₀t)},

|g| < 1.

(29)

расчетов приведены в работе [13].

ЖЭТФ, вып. 1