ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 1, стр. 76-87

ЧИСЛО СОЛИТОНОВ, ПОРОЖДАЕМЫХ ИЗ ИНТЕНСИВНОГО

НАЧАЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ АСИМПТОТИЧЕСКИ

БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ

А. М. Камчатнов^*

Институт спектроскопии Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 31 августа 2020 г.,

после переработки 21 сентября 2020 г.

Принята к публикации 21 сентября 2020 г.

На основе теоремы Гуревича и Питаевского о числе осцилляций, входящих в область дисперсионной

ударной волны при эволюции нелинейного импульса, предложен способ вывода формул для числа со-

литонов, на которые распадается достаточно интенсивный начальный импульс в виде локализованной

простой волны при асимптотически больших временах. В случае интегрируемых уравнений этим ме-

тодом воспроизводятся формулы типа Карпмана, следующие из квазиклассического приближения для

ассоциированной с рассматриваемым уравнением линейной спектральной задачи. Показано на конкрет-

ных примерах, что в случае неинтегрируемых уравнений получаются выражения, предложенные ранее

путем формального продолжения решения модуляционных уравнений Уизема на бездисперсионную об-

ласть волны.

DOI: 10.31857/S0044451021010065

линейной задаче, и если это число велико, то к ли-

нейной спектральной задаче применим квазикласси-

ческий метод, выражающий параметры солитонов

1. ВВЕДЕНИЕ

через начальную форму импульса. Например, урав-

нение Кортевега-де Фриза (КдФ), которое мы на-

Как известно, если в нелинейной волновой систе-

пишем здесь в стандартных безразмерных перемен-

ме могут распространяться солитоны в виде, пред-

ных,

положим, положительных импульсов рассматрива-

u_t + 6uu_x + u_xxx = 0,

(1)

емой физической переменной, то достаточно интен-

сивное начальное возмущение того же знака распа-

ассоциировано со спектральной задачей Шрединге-

дается в конечном счете на некоторое число солито-

ра [2] ψ_xx = -(λ + u)ψ, и если начальному распре-

нов. Поскольку число образующихся солитонов яв-

делению u = u₀(x) ≥ 0, u₀(x) → 0 при x → ±∞,

ляется наиболее просто измеряемым параметром в

соответствует большое число собственных значений

процессах, включающих рождение солитонов, мето-

-λ_i > 0, то известные из квантовой механики фор-

ды расчета этого числа имеют большое значение в

мулы метода ВКБ дают для их числа N простое

теории солитонов. В случае нелинейных волновых

приближенное выражение Карпмана [3, 4]:

уравнений, к которым применим метод обратной за-

∫ √

дачи рассеяния, параметры получающихся солито-

N ≈

u₀(x)dx.

(2)

нов могут быть найдены из дискретного спектра ас-

социированной с уравнением линейной задачи (см.,

Аналогичные выражения могут быть получены и

например, [1]). В частности, число солитонов рав-

для других нелинейных волновых уравнений, явля-

но числу дискретных собственных значений в этой

ющихся полностью интегрируемыми. Однако такой

подход ограничен лишь относительно узким (хотя

^* E-mail: kamch@isan.troitsk.ru

и важным) классом таких уравнений и, кроме того,

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Число солитонов, порождаемых из интенсивного начального импульса. ..

он оставляет в тени процесс трансформации изна-

ти, формулу (2) для числа солитонов. Таким обра-

чально широкого и гладкого распределения u₀(x) в

зом, трансформация изначально гладкого импульса

набор солитонных импульсов

в набор солитонов происходит через промежуточ-

ную стадию образования ДУВ и ее распространения

-λ_i

u_i(x, t) =

[√

], i = 1,...,N.

(3)

на весь импульс с последующим распадом на отдель-

ch²

−λ_i(x + 4λ_it)

ные солитоны. Развитая теория дает удовлетвори-

Здесь используется лишь факт, что при эволюции

тельную картину явления в целом, но в количествен-

u(x, t) согласно уравнению КдФ (1) спектр линей-

ном отношении она применима лишь к полностью

ной задачи не изменяется и начальная «переверну-

интегрируемым уравнениям, и поэтому необходимо

тая яма» с большим числом собственных значений

хотя бы частичное ее обобщение на любые нелиней-

трансформируется в N более узких и низких им-

ные волновые уравнения, допускающие устойчивые

пульсов (3), каждый из которых отвечает своему

солитонные решения. В настоящей работе мы пока-

собственному значению -λ_i.

жем, что формула для числа солитонов, порожда-

Детальная картина эволюции широкого и интен-

емых начальным импульсом в виде простой волны,

сивного начального импульса была предложена Гу-

распространяющейся в неподвижную среду, может

ревичем и Питаевским [5], согласно ей изначально

быть выведена для весьма широкого класса нели-

гладкий импульс в процессе эволюции «опрокиды-

нейных волновых уравнений без использования ме-

вается» с образованием на его фронте дисперсион-

тода обратной задачи рассеяния.

ной ударной волны (ДУВ), которую можно пред-

ставить в виде промодулированного периодическо-

го решения рассматриваемого уравнения. Эволю-

2. КВАЗИПРОСТЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ

ция ДУВ описывается модуляционными уравнени-

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

ями для параметров, характеризующих периодиче-

ское решение, и в работе Уизема [6] такие моду-

Обсудим здесь некоторые свойства рассмат-

ляционные уравнения для периодических решений

риваемого класса начальных импульсов, соответ-

уравнения КдФ были получены путем усреднения

ствующих однонаправленному их распространению

законов сохранения. В этом случае имеются три мо-

вглубь покоящейся среды. Фактически, во многих

дуляционных параметра r_i, i = 1, 2, 3, являющих-

реальных задачах такие начальные условия воз-

ся римановыми инвариантами системы Уизема, ко-

никают естественным образом, так как в случае

торому удалось преобразовать свою систему моду-

плоских волн с единственной существенной про-

ляционных уравнений к диагональному виду. В ра-

странственной координатой x любой начальный

боте [5] Гуревич и Питаевский рассмотрели типич-

импульс распадается со временем на два импульса,

ные ДУВ, возникающие при опрокидывании волны.

распространяющихся в противоположных направ-

В рассматриваемом нами случае, когда начальный

лениях оси x. Такие однонаправленные волны до

импульс u₀(x) представляет собой возвышение на

момента опрокидывания, пока их форма остается

нулевом фоне, волна опрокидывается на переднем

достаточно плавной и поэтому дисперсионными

фронте, и на этом своем крае ДУВ вырождается в

эффектами можно пренебречь, являются просты-

солитонное решение с -λ = r₃ = r₂ > r₁ = 0, рас-

ми, т. е. в них все физические переменные могут

пространяющееся по невозмущенному фону. Задний

быть выражены через одну из них. Для большого

малоамплитудный край ДУВ движется по неодно-

числа физических систем с двумя физическими

родному и, вообще говоря, эволюционирующему фо-

переменными это означает, что можно ввести

ну импульса с групповой скоростью, определяемой

такие их комбинации r_±, называемые бездиспер-

локальными значениями r₁ = r₂ = 0 и r₃ > 0. Реше-

сионными римановыми инвариантами, что вдоль

ние уравнений Уизема для общей формы локализо-

каждой простой волны один из этих инвариантов

ванного начального распределения было получено в

постоянен, а другой изменяется [8]. Если тем или

работе [7], и из него следует формула для распре-

иным образом учесть дисперсию, то мы придем к

деления волнового числа, т. е. плотности длин волн,

нелинейному волновому уравнению для однона-

вдоль ДУВ. При асимптотически больших временах

правленного распространения волны, и частным

ДУВ распространяется на весь импульс и каждая

примером такого уравнения является уравнение

длина волны соответствует одному солитону в пре-

КдФ (1) с единственной изменяющейся переменной

деле t → ∞. Эта теория воспроизводит в асимптоти-

u. Возникающая при опрокидывании такой волны

ческом пределе результаты Карпмана и, в частнос-

ДУВ является квазипростой [9], когда она распро-

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

страняется вглубь однородной покоящейся среды

дифференцировании вдоль траектории пакета. В

с постоянными физическими параметрами, т. е.

нашей задаче существенно, что зависимость гамиль-

с постоянными бездисперсионными римановыми

тониана от x и t осуществляется через посредство

инвариантами r_±. В частности, в теории, сводя-

фоновой амплитуды u = u(x, t), примыкающей к

щейся к уравнению КдФ, один бездисперсионный

малоамплитудному краю и являющейся решением

риманов инвариант (скажем, r_-) предполагается

бездисперсионного уравнения

постоянным по определению, а если, кроме того,

импульс распространяется в покоящуюся среду,

u_t + V₀(u)u_x = 0.

(6)

то внутри нее r₊ также постоянен и может быть

В частности, из этого уравнения и второго уравне-

выбран равным нулю подходящим преобразованием

ния (5) получаем соотношения

переменных. В теории Гуревича - Питаевского он

«сшивается» с римановым инвариантом r₁ системы

∂ω ∂u

Уизема, так что в квазипростой волне, динамика

∂u ∂x

которой описывается уравнением КдФ, риманов

)

(7)

∂u dx

∂u

⁽∂ω

∂u

инвариант r₁ имеет постоянное нулевое значение и

-V₀

∂x dt

∂t

∂k

∂x

все физические переменные выражаются через r₂ и

r₃. В случае неинтегрируемых уравнений римановы

так что их отношение дает обыкновенное дифферен-

инварианты системы Уизема отсутствуют, но тем

циальное уравнение для k(u):

не менее квазипростые ДУВ обладают некоторыми

∂ω/∂u

свойствами, упрощающими их исследование.

(8)

Прежде всего, Гуревич и Мещеркин предполо-

V₀(u) - ∂ω/∂k

жили в работе [10], что даже в неинтегрируемом слу-

Оно было выведено Элем в работе [12] из закона со-

чае опрокидывание простой волны, распространяю-

хранения числа волн (4) на основе анализа свойств

щейся в неподвижную среду, ведет к образованию

характеристик системы Уизема. Начальное условие

единственной ДУВ, соединяющей состояния среды с

для этого уравнения можно определить из того об-

одинаковыми значениями одного из бездисперсион-

стоятельства, что в момент опрокидывания на гра-

ных римановых инвариантов. Сравнение с результа-

нице с покоящейся средой, где u = 0, в приближении

тами численных расчетов показывает, что это пред-

Уизема ДУВ сжимается в точку, так что малоам-

положение выполняется с хорошей точностью для

плитудный край соединяется с солитонным краем,

не слишком большой амплитуды волны, и мы огра-

на котором k = 0, и, следовательно,

ничимся обсуждением именно такого случая.

Далее, малоамплитудный край ДУВ распростра-

k(0) = 0.

(9)

няется с групповой скоростью линейной волны, от-

вечающей закону дисперсии ω = ω(u, k), где u — ло-

Решение уравнения (8) с начальным условием (9)

кальное значение примыкающего к этому краю фо-

дает нам волновое число k вдоль пути малоампли-

на, а волновое число k удовлетворяет указанному

тудного края ДУВ как функцию от локального зна-

Уиземом [6] закону сохранения числа волн:

чения примыкающего фона u. Например, в слу-

чае эволюции начального импульса, подчиняюще-

k_t + ω_x = 0.

(4)

гося уравнению КдФ, решение указанной задачи с

V₀ = 6u и ω(u, k) = 6uk - k³ дает для этого вол-

Здесь k/(2π) имеет смысл «плотности волн», т. е.

нового числа значение k = 2√u. Поэтому при эво-

числа длин волн, приходящихся на единицу длины,

люции импульса в форме ступеньки с амплитудой

а ω/(2π) играет роль «плотности потока волн». В

u₀ волновое число на малоамплитудном крае ДУВ

силу известной оптико-механической аналогии (см.,

равно k₀ = 2√u0 и групповая скорость движения

например, [11]) движение малоамплитудного края,

этого края равна v_g = 6u₀ - 3k²⁰ = -6u₀ в согла-

являющегося пакетом из группы линейных волн с

сии с полным решением задачи Гуревича - Питаев-

частотой несущей волны ω(k), подчиняется уравне-

ского, полученным в работе [5]. Этот подход допус-

ниям Гамильтона

кает обобщение на солитонный край квазипростых

∂ω

ДУВ [12], что позволило найти основные параметры

(5)

∂k

∂x

ДУВ в задаче об эволюции ступеньки для большого

где первое уравнение соответствует определению

числа физически важных неинтегрируемых уравне-

групповой скорости, а второе согласуется с (4) при

ний [12-20].

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Число солитонов, порождаемых из интенсивного начального импульса. ..

Если не накладывать на решение уравнения (8)

граничных условий, то оно будет содержать посто-

янную интегрирования q:

k = k(u,q).

(10)

При подстановке этой функции в первое уравнение

Гамильтона (5) мы получим в качестве его реше-

ния некую траекторию движения волнового паке-

та на неоднородном и изменяющемся со временем

фоне u = u(x, t), причем вдоль этой траектории q =

= const, т. е. q_t + v_gqx = 0. На малоамплитудном

крае ДУВ это уравнение совпадает с одним из пре-

Рис. 1. Профиль ДУВ, образующейся в теории уравнения

дельных уравнений Уизема, тогда как другим пре-

КдФ при эволюции начального разрыва. Начальная высо-

дельным уравнением является (6). Таким образом,

та «ступеньки» при x < 0 равна единице. Сплошной лини-

система

ей показан результат численного решения уравнения КдФ

(1), а штриховыми линиями изображены огибающие про-

u_t + V₀(u)u_x = 0, q_t + v_gq_x = 0

(11)

модулированной волны согласно решению уравнений Уи-

продолжает систему модуляционных уравнений Уи-

зема, полученному в работе [5]. На левой границе ДУВ при

x = xL(t) амплитуда ДУВ в приближении Гуревича-Пи-

зема за пределы дисперсионной ударной волны, а

таевского обращается в нуль

переменная q является римановым инвариантом мо-

дуляционных уравнений для линейных волн. Систе-

ма (11) была недавно получена в работе [21] путем

ДУВ определена огибающими промодулированной

непосредственной диагонализации модуляционных

волны согласно теории Гуревича - Питаевского.

уравнений (для солитонного края аналогичная си-

Если обратиться к задаче о числе солитонов, об-

стема получена в [22]; общее обсуждение гамильто-

разующихся из локализованного импульса, то, инте-

нова подхода к теории квазипростых ДУВ имеется

грируя формулу (12) вдоль пути малоамплитудного

в [23]).

края x_L(t) от момента опрокидывания t = 0 до вре-

Наконец, в конце работы [24] Гуревич и Пита-

мени полного поглощения импульса ударной волной,

евский высказали важное замечание, что групповая

получаем выражение [25]

скорость малоамплитудного края v_g отличается от

∞

∫

фазовой скорости волны V в этой точке, и поэтому

N ≈

|k(v_g - V )| dt.

(14)

длина области колебаний увеличивается за единицу

2π

времени на |v_g -V |, где знак модуля учитывает воз-

можность разных знаков дисперсии и нелинейности.

Групповая скорость малоамплитудного края, явля-

Следовательно, число периодов волны в ДУВ увели-

ющаяся в теории Уизема гидродинамической вели-

чивается со скоростью

чиной, имеет в этом случае смысл скорости грани-

цы, отделяющей колебания, превращающиеся при

≈

|k(v_g - V )| ,

(12)

t → ∞ в солитоны, от линейного волнового пакета.

2π

Неточность в определении положения малоампли-

где k — волновое число на малоамплитудном крае.

тудного края ДУВ в приближении Гуревича - Пи-

Например, в задаче Гуревича - Питаевского о сту-

таевского становится несущественной в асимптоти-

пеньке в теории КдФ [5] мы имеем k = k₀ = 2√u0,

ческом пределе большого числа солитонов N ≫ 1.

v_g = ∂ω/∂k|k=k

= -6u₀, V = ω/k|k=k0 = 2u₀, так

Это основное предположение нашего подхода к вы-

что число осцилляций в ДУВ через время t равно

числению числа солитонов подтверждается также

тем, что в частном случае теории КдФ на этом пути,

N ≈ (8/π)u3/20t.

(13)

как будет показано ниже, воспроизводится формула

Для времени t = 15 эта формула при u₀ = 1 пред-

Карпмана (2). Кроме того, в работах [26,27] теория

сказывает значение числа осцилляций N ≈ 38, по-

Гуревича - Питаевского для уравнения КдФ воспро-

падающих в область ДУВ. Это число совпадает с

изведена строгим асимптотическим анализом в рам-

числом осцилляций на графике рис. 1, полученном

ках метода задачи Римана - Гильберта, что подтвер-

численным решением уравнения КдФ, где область

ждает основные предположения приближенной тео-

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

рии Уизема. Поэтому мы будем предполагать при-

менимость общего метода Уизема и теории Гуреви-

ча - Питаевского для ДУВ также и к неинтегриру-

емым уравнениям. При этом подразумевается, что

возникающие в процессе эволюции солитоны долж-

ны быть устойчивы [28], что мы будем предполагать

в дальнейшем.

Исключив фазовую скорость V = ω/k, предста-

вим формулу (14) в виде

∫

∞



∂ω



N ≈



-ω

(15)

k

^d

2π

∂k

где подынтегральное выражение (с точностью до

знака модуля) имеет простой физический смысл: со-

гласно закону сохранения числа волн (4) величи-

на ω/(2π), вычисленная на малоамплитудном крае

ДУВ, является потоком числа волн в область ДУВ,

но из-за движения этого края с групповой скоро-

стью ∂ω/∂k частоту ω надо вычислять с учетом

сдвига Доплера. Если связать теперь с волновым па-

кетом, движущимся вдоль малоамплитудного края,

движение классической частицы с импульсом k и

гамильтонианом ω(u, k), то подынтегральное выра-

жение становится лагранжианом этой частицы, а

Рис. 2. а) Начальный профиль u0(x) импульса. б) Обрат-

интеграл представляет собой классическое действие

ная функция x(u), состоящая из двух ветвей x1(u) и x2(u)

S, соответствующее движению этой частицы вдоль

всего импульса:

N ≈

(16)

к нулю при x → -∞; см. рис. 2а. Тогда обратная

2π

функция состоит из двух ветвей x₁(u) и x₂(u), по-

Таким образом, если мы можем найти подынте-

казанных на рис. 2б, и каждой ветви соответствует

гральное выражение в (15) вдоль пути малоампли-

решение (17). Сначала малоамплитудный край ДУВ

тудного края в зависимости от времени, то тем са-

движется по однозначной части решения, соответ-

мым мы определим число солитонов, порождаемых

ствующего ветви x₁(u), а после достижения точки

импульсом. Задача о движении малоамплитудного

максимума u_m он движется вдоль решения, соот-

края ДУВ для неинтегрируемых уравнений была ре-

ветствующего ветви x₂(u). За время dt этот край

шена в [29,30] и здесь мы применим развитую в этих

пройдет расстояние dx = v_gdt и, предполагая пара-

работах теорию к вычислению числа солитонов для

метрическую зависимость t = t(u), x = x(u) вдоль

ряда неинтегрируемых уравнений. Приведем здесь

пути малоамплитудного края, находим, что вдоль

необходимые формулы.

него удовлетворяется уравнение

Пусть начальный импульс имеет профиль u =

= u₀(x). Тогда в момент времени t его гладкий про-

филь вплоть до границы с ДУВ представляется из-

-v_g

= 0.

(18)

вестным решением уравнения (6):

Этот же элемент пути dx за время dt соответствует

x - V₀(u)t = x(u),

(17)

прохождению малоамплитудным краем ДУВ участ-

ка граничащего с ДУВ гладкого решения (17), так

где x(u) — функция, обратная начальному профилю

что, продифференцировав (17) по u и исключив

u₀(x). Нас интересует случай локализованного им-

dx/du с помощью (18), мы придем к уравнению

пульса, имеющего максимум u_m в некоторой точке

xm. Кроме того, мы считаем импульс равным нулю

dV₀

в области покоящейся среды x > 0 и стремящимся

(v_g - V₀)

(19)

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Число солитонов, порождаемых из интенсивного начального импульса. ..

√

Его коэффициенты зависят от u и k, но вдоль мало-

k(u) =

V₀(u).

(22)

амплитудного края зависимость k(u) нам известна

из решения уравнения (8), так что уравнение (19)

Следовательно, групповая скорость волны на мало-

представляет собой простое линейное уравнение для

амплитудном крае с фоновым значением u равна

функции t(u), которое для ветви x₁(u) должно ре-

v_g(u) = -V₀(u). Поэтому (19) превращается в урав-

шаться с начальным условием, гласящим, что опро-

нение

кидывание происходит в момент t = 0 в точке с u =

-2V₀(u)

- V ′0(u)t = x^′(u)

(23)

= 0, т. е. t(0) = 0. Полученное решение справедливо

до момента времени t_m = t(u_m), в который мало-

с решением [29]

амплитудный край достигает точки максимума рас-

∫

пределения. При t > t_m уравнение (19) решается

x′1(u₁)

t(u) = -

√

du₁,

для ветви x₂(u) с условием t(u_m) = t_m. В частном

V (u)

V (u₁)

случае уравнения КдФ эта процедура была пред-

ложена в работе [9] с использованием преобразова-

0<t<t_m,

⎧

ния годографа, а ее обобщение на неинтегрируемые

∫

x′1(u)

(24)

уравнения было дано в работах [29, 30]. В результа-

t(u) = -

√

du₁ +

V (u) ⎩

V (u₁)

те подынтегральное выражение в (14) может быть

⎫

представлено как функция от u, а функция t(u) нам

∫

⎬

x′2(u)

известна из решения линейного уравнения (19), так

√

du₁

t>t_m.

что нахождение числа солитонов сводится к вычис-

V (u₁)

⎭

лению интеграла от известной функции от фоновой

амплитуды u. Рассмотрим несколько примеров, ко-

Подстановка всех этих выражений в (14) сводит за-

гда такое вычисление может быть проведено отно-

дачу после простых преобразований к вычислению

сительно просто.

интеграла

⎧

∫

3/2

(2/3)

V ′₀(u)

(x′2 - x′1) du₁

3. ПРИМЕРЫ

N =

√

2π

⎩

V₀(u₁)

Мы начнем с уравнений, в которых уже учтен пе-

⎫

∫

⎬

реход к однонаправленному течению среды, так что

√

V₀(u)(x′2 - x′1)du

(25)

не требуется вводить бездисперсионные римановы

⎭

инварианты r_±.

Здесь двойной интеграл сводится к однократному

3.1. Обобщенное уравнение КдФ

с помощью очевидного интегрирования по частям

с учетом V₀(0) = 0, так что согласно определению

Введение дисперсионной поправки в уравнение

функции x(u) мы получаем окончательное выраже-

(6) приводит к обобщенному уравнению КдФ:

ние:

u_t + V₀(u)u_x + u_xxx = 0, V₀(0) = 0.

(20)

∫

√

Условия, которые накладываются на функцию V₀(u)

N =

V₀(u)(x′2 - x′1)du =

2π

для существования солитонов и их устойчивости,

были получены в работе [31], и мы предполагаем их

√

∫

выполненными.

V₀(u₀(x)) dx.

(26)

2π

Линеаризуя уравнение (20), находим закон дис-

−∞

персии линейных волн

Вспоминая выражение (22) для волнового числа, мы

ω(u, r) = V₀(u)k - k³,

(21)

видим, что полученный результат можно записать

как

∫

так что уравнение (8) сводится [12] к уравнению

N ≈

k[u₀(x)] dx,

(27)

2π

= V ′0(u),

что совпадает с известной формулой Карпмана (2)

решение которого с начальным условием (7) имеет

в частном случае интегрируемого уравнения КдФ,

вид (см. [12])

когда V₀(u) = 6u и k(u) = 2√u.

ЖЭТФ, вып. 1

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Следует подчеркнуть, что в случае уравнения

dα

(α + 1)α

(32)

КдФ соотношение k(u) = 2√u является непосред-

u(2α + 1)

ственным следствием ассоциированной с уравнени-

Считая, что импульс распространяется в область с

ем КдФ спектральной задачи Шредингера ψ_xx =

единичной площадью u = 1, откуда следует началь-

= -(u + λ)ψ с «потенциалом» u в пределе λ → 0. В

ное условие α(1) = 1, получаем решение этого урав-

случае неинтегрируемых уравнений ассоциирован-

нения в форме [16]

ная спектральная задача отсутствует и соотношение

√

(22) получается интегрированием соответствующего

уравнения (8), которое является следствием уравне-

k(α) =

(1 - α²).

(33)

α(α + 1)

ний Гамильтона для движения волнового пакета на

малоамплитудном крае ДУВ вдоль эволюциониру-

Поскольку переменные u и α однозначно связаны

ющего со временем гладкого фона.

друг с другом найденным соотношением, будем за-

давать начальное состояние волны распределением

3.2. Уравнение «магмы»

α = α₀(x), имеющим две ветви обратной функции

x1,2(α). Переписанное через переменную α уравне-

Другим интересным примером однонаправлен-

ние (30)

ного распространения нелинейных волн с диспер-

сией являются волны, распространяющиеся вдоль

α_t +

α_x = 0

(34)

α(α + 1)

струи вязкой жидкости, всплывающей в окружении

упругой среды. Такие волны описываются так назы-

имеет для каждой ветви решение

ваемым уравнением «магмы», впервые выведенным

в геофизических приложениях для описания тече-

t = x(α).

(35)

α(α + 1)

ния магмы [32, 33] через земную мантию. Это урав-

нение имеет солитонные решения [34], что было под-

Малоамплитудный край движется по гладкому фо-

тверждено в экспериментах со струями жидкости

ну, описываемому этими решениями, с групповой

[35, 36]. Простой вывод уравнения магмы, а также

скоростью

теория ДУВ в задаче Гуревича - Питаевского о рас-

dω

v_g =

=8-

(36)

паде начального распределения в виде ступеньки,

α+1

представлены в работе [16], где можно найти ссыл-

и условие согласования уравнения движения этого

ки на более ранние работы. Мы запишем уравнение

края

магмы в форме

-v_g

(37)

[

]

dα

u_t + (u²)_x -

u²(u-1ut)xx = 0,

(28)

с эволюцией примыкающего фона согласно формуле

(35) приводит к уравнению

где u(x, t) имеет смысл локальной площади сечения

всплывающей струи на высоте x в момент времени

4(α - 1)(2α + 1) dt

4(2α + 1)

t. Линеаризация этого уравнения приводит к закону

t = x^′(α).

(38)

α(α + 1)

dα

α²(α + 1)²

дисперсии

2uk

ω(u, k) =

(29)

Из выражений (33) ясно, что переменная α находит-

1 + uk²

ся в интервале 0 < α < 1 и в момент опрокидывания

Фазовая скорость V (u, k) = ω/k = 2u/(1 + uk²) в

импульса t = 0 равна единице, так что на начальном

бездисперсионном пределе k → 0 равна V₀(u) = 2u,

этапе эволюции ДУВ решение уравнения (38) имеет

так что эволюция плавных волн подчиняется урав-

вид

нению

∫1

u_t + 2uu_x = 0.

(30)

(1 + α)3/2x′1(α)

t₁(α) =

√

dα.

(39)

Для описания движения малоамплитудного края

1-α²

(1 + α)1/2(1 + 2α)

ДУВ, где k = k(u), удобно ввести переменную [16]

Оно справедливо до момента t_m = t₁(α_m), где мини-

α(u) =

(31)

мальное значение α_m отвечает максимуму в началь-

1 + uk²(u)

ном распределении u. После этого момента уравне-

Тогда вдоль пути этого края уравнение (8) сводится

ние (38) решается с начальным условием t(α_m) =

к следующему:

= t_m, что дает

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Число солитонов, порождаемых из интенсивного начального импульса. ..

⎧

∫

⎨

где h — полная локальная глубина жидкости, u — го-

(1 + α)3/2x′1(α)

t₂(α) =

√

dα +

ризонтальная скорость течения, усредненная по глу-

1-α² ⎩

(1 + α)1/2(1 + 2α)

αm

бине жидкости.

⎫

αm

Если пренебречь дисперсионными эффектами,

⎬

(1 + α)3/2x^′

(α)

(40)

т. е. опустить в (43) все члены с высшими производ-

(1 + α)1/2(1 + 2α)

^dα⎭

ными, то мы возвращаемся к известным уравнениям

мелкой воды (см., например, [8]):

Для вычисления количества солитонов, порож-

даемых импульсом, мы подставляем закон диспер-

h_t + (hu)_x = 0, u_t + uu_x + h_x = 0,

(44)

сии (29) и выражение (33) для волнового числа в

формулу (14) и с помощью (38) получаем

совпадающими по форме с уравнениями газовой ди-

∫

√

намики с h и u, играющими роль плотности газа

3/2

2(1 - α²)

N =

dα =

и скорости его течения, соответственно, и с урав-

2π

(1 + α)²

dα

нением состояния p = h²/2, где p — аналог «дав-

√

∫

[

ления». «Скорость звука» в таком газе равна c =

(1 - α²)3/2

√

(t₂ - t₁) -

= (dp/dh)1/2 =

h. Эти уравнения удобно преобра-

2π

(1 + α)²

α(1 - α²)

αm

зовать к новым переменным — упомянутым во Вве-

]

α(1 + α)

дении бездисперсионным римановым инвариантам

(x′2 - x′1) dα.

(41)

4(1 - α)(1 + 2α)

√

r₊ = u/2 +

h, r_- = u/2 -

(45)

При подстановке сюда формул (39) и (40) возника-

ет двойной интеграл, который снова преобразуется

так что уравнения (44) принимают вид

к однократному с помощью интегрирования по ча-

∂r₊

∂r_-

стям, так что после простых преобразований нахо-

+v₊

= 0,

+v_-

= 0,

(46)

дим

∂t

∂x

∂t

∂x

где характеристические скорости также очень прос-

∫

√

1-α²

то выражаются через r_±:

N =

(x′2(α) - x′1(α)) dα =

2π

αm

v₊ =

(3r₊ + r_-), v_- =

(r₊ + 3r_-).

(47)

∫

√

1 - α₀(x)²

dx.

(42)

2π

В простой волне один из римановых инвариантов

−∞

имеет постоянное значение. Мы для определенно-

сти будем рассматривать распространяющийся в по-

С учетом (33) это выражение также совпадает с (27).

ложительном направлении оси x импульс возвыше-

ния жидкости, вдоль которого постоянен инвариант

√

3.3. Уравнение Серра

r_- = u/2 -

h = -√h0 = const. В качестве дина-

Когда мы имеем дело с уравнениями, описываю-

мической переменной удобно взять локальную ско-

√

щими распространение волн в обоих направлениях,

рость звука c =

h. В покоящейся среде, в которой

мы должны ограничиться начальными условиями в

распространяется импульс, скорость звука имеет по-

виде простой волны, опрокидывание которой при-

стоянное значение

√h₀ = c₀. Другие переменные вы-

водит к образованию квазипростой ДУВ. Мы про-

ражаются через скорость звука формулами

иллюстрируем этот подход на примере уравнений

Серра [37], описывающих динамику мелкой воды без

u = 2(c - c₀), r₊ = 2c - c₀, v₊ = 3c - 2c₀.

(48)

предположения о малости нелинейных эффектов.

Второе уравнение (46) удовлетворяется автоматиче-

Эти уравнения позднее выводились заново в рабо-

ски в силу постоянства r_-, а первое уравнение при-

тах [38, 39] и поэтому в литературе часто называ-

нимает форму, аналогичную (30),

ются также уравнениями Су - Гарднера или Грина -

Нахди. Мы запишем эти уравнения в стандартной

c_t + (3c - 2c₀)c_x = 0

(49)

форме с безразмерными переменными:

h_t + (hu)_x = 0,

и имеет решение

[

]

(43)

u_t + uu_x + h_x =

h³(u_xt + uu_xx - (u_x)²)_x ,

x - (3c - 2c₀)t = x(c),

(50)

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

где x(c) — состоящая из двух ветвей функция, об-

должен быть согласован с примыкающим к этому

ратная к начальному распределению локальной ско-

краю бездисперсионным решением (50), что приво-

рости звука c(x, 0) в виде локализованного импуль-

дит [40] к уравнению для t(α)

са, обращающегося в c₀ при x > 0 и x → -∞.

Мы предполагаем, что решение (50) опрокиды-

α(1 - α²)(4 - α)

- 3t = Φ(α),

(58)

dα

вается в момент времени t = 0 с образованием ДУВ,

где мы ввели обозначение

малоамплитудный край которой распространяется



сначала по ветви x₁(c), а затем, после прохожде-



Φ(α) =



(59)

ния точки максимума распределения, по ветви x₂(c).



c=c(α)

Пусть жидкость имеет в некоторой точке локальные

значения скорости течения u и глубины h. Тогда

для производной обратной функции начального рас-

для закона дисперсии линейных волн, распростра-

пределения после подстановки в нее c = c(α). Реше-

няющихся по жидкости в окрестности этой точки,

ние этого уравнения с начальным условием t(1) = 0

находим выражение

(считаем c₀ = 1) имеет вид [40]

ω(k) = uk +kc(1+c⁴k²/3)-1/2 = k[u+cα(c, k)], (51)

α3/4(4 - α)1/20

t₁(α) =

где мы, следуя работе [13], ввели функцию

(1 - α)1/2(1 + α)3/10

α(c, k) = (1 + c⁴k²/3)-1/2,

0 < α < 1,

(52)

∫

Φ₁(z)dz

(60)

которая характеризует отклонение закона диспер-

z7/4(1 - z)1/2(4 - z)21/20(1 + z)7/10

сии от бездисперсионной формулы ω = (u + c)k. За-

висимость волнового числа от локального значения

Оно справедливо до момента времени t_m = t₁(α_m),

скорости звука c на малоамплитудном крае была

где α_m отвечает максимальному значению c_m в на-

найдена в [13] методом работы [12], и мы воспроиз-

чальном распределении локальной скорости звука,

ведем здесь необходимые результаты с небольшими

т. е. находится решением уравнения c_m = c(α_m), где

изменениями. На малоамплитудном крае, гранича-

в правой части стоит функция (55). При t > t_m ана-

щем с простой волной, волновое число становится

логичным образом получаем для движения по вто-

функцией c, k = k(c), так что определяем α(c) =

рой ветви

= α(c, k(c)), вводим обратную функцию c = c(α), и

тогда волновое число можно выразить через пере-

α3/4(4 - α)1/20

t₂(α) =

менную α:

(1 - α)1/2(1 + α)3/10

√

⎧

⎨∫

k(α) =

- 1.

(53)

Φ₁(z)dz

c²(α) α²

⎩

z7/4(1 - z)1/2(4 - z)21/20(1 + z)7/10

Уравнение (8) превращается в уравнение для α(c):

⎫

∫

⎬

Φ₂(z)dz

dα

α(4 - α)(1 + α)

(61)

(54)

z7/4(1 - z)1/2(4 - z)21/20(1 + z)7/10 ⎭

c(1 + α + α²)

αm

решение которого с начальным условием α(c₀) = 1

Имея выражение (51) для закона дисперсии и за-

находится в неявном виде [13, 40]:

висимость (53) волнового числа от α, легко вычис-

)21/20

лить поток числа волн в область ДУВ и получить

c₀

⁽1+α)1/5(4-α

c(α) =

(55)

формулу для числа солитонов при t → ∞:

α1/4

∫

В результате уравнения (53) и (55) дают зависи-

N =

k(α)c(α)(1 - α²)

dα =

мость k(c) в параметрической форме.

2π

dα

∫

Малоамплитудный край движется с групповой

c(α)k(α)

скоростью, которую мы также выразим через α:

[3(t₂ - t₁) + Φ₂ - Φ₁] dα.

(62)

2π

4-α

dω

αm

v_g =

= 2[c(α) - c₀] + α³c(α).

(56)

Двойной интеграл после подстановки сюда формул

Закон движения этого края, записанный в форме

(53), (55), (60), (61) сводим к однократному инте-

грированием по частям, так что после простых пре-

∂x

[

]

∂t

2(c - c₀) + cα³

= 0,

(57)

образований находим окончательный результат:

∂c

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Число солитонов, порождаемых из интенсивного начального импульса. ..

(

)

∫

dω

c(α)k(α) 1 + α + α²

ω-k

(66)

N =

[Φ₂ - Φ₁] dα =

2π

4 - α α(1 + α)

αm

∫

Теперь мы определяем число волн N₁(t) в области

гладкого решения, соответствующее распределению

k(c)[x′2(c) - x′1(c)] dc =

2π

волнового числа k₁(x, t) в момент времени t:

∫

k[c(x, 0)] dx.

(63)

2π

N₁ =

k₁(x₁, t)dx₁ =

−∞

2π

-l

Мы снова получили формулу (27), и приведенные

∫

примеры указывают, что она имеет общий характер.

k[u(x₁, t)] dx₁.

(67)

В следующем разделе, следуя методу работ [14,41],

2π

−l

мы дадим более общий ее вывод для рассматривае-

мого в настоящей работе класса начальных импуль-

Вычислим скорость изменения этого числа со вре-

сов.

менем:

dN₁

4. ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА СОЛИТОНОВ

2π

⎧

⎫

На границе с ДУВ риманов инвариант q (см.

⎨

∫

⎬

уравнения (10), (11)), продолжающий риманов ин-

dx_L

∂k₁(x₁, t)

k₁(x_L(t), t)+

dx₁

(68)

вариант модуляционной системы Уизема, равен ну-

⎩

∂t

⎭

−l

лю, так что, следуя Гуревичу и Мещеркину [10], мы

считаем, что это его значение распространяется на

Для производной dx_L/dt мы подставляем ∂ω/∂k₁

всю область бездисперсионного решения. Тогда на

согласно первому уравнению

(5). Далее, волно-

эту область распространяется и функция для вол-

вое число k₁(x, t) удовлетворяет закону сохранения

нового числа k = k₁(x, t) = k[u(x, t)]. Решения урав-

числа волн (4), так что в подынтегральном вы-

нения



∂ω

ражении второго члена заменяем ∂k₁(x₁, t)/∂t на



(64)



-∂ω(x₁, t)∂x₁ и после интегрирования получаем

∂k

k=k1(x,t)

(

)

с начальными условиями x(0) = x₀, x₀ ≤ 0, дают

dN₁

∂ω

-ω

(69)

нам семейство траекторий пакетов, испущенных из

2π

∂k

x=xL(t)

точек x = x₀ с волновыми числами k[u₀(x₀)] несу-

щей волны. Эти решения можно рассматривать как

Это выражение равно выражению (66), взятому с

результат распространения модуляционной теории

противоположным знаком, т. е. N₁(t)+ N(t) = const.

Уизема на область вне дисперсионной ударной вол-

Наконец, в пределе t → ∞ мы имеем N(t) → N

ны. Таким образом, мы получаем единое описание

(N — число солитонов, образовавшихся из импуль-

для модуляционной теории вдоль всего импульса,

са) и N1 → 0, а при t → 0 ДУВ отсутствует и

∫_∞

включая его гладкую область, описываемую бездис-

N (0) = 0, N₁(0) = (1/(2π))

k[u(x, 0)] dx. С уче-

-∞

персионным решением.

том u(x, 0) = u₀(x) мы приходим к окончательной

Как мы уже знаем из (12), к моменту времени t

формуле для числа солитонов

в область ДУВ вошло число волн N, равное

∞

∫

(

)

dω

N =

k[u₀(x)] dx,

(70)

N (t) =

ω-k

dt,

(65)

2π

−∞

где для определенности мы предположили V₀(u) >

где функция k(u) является решением уравнения (8)

> 0, ∂²ω/∂k² < 0, и малоамплитудным является ле-

с граничным условием (7). Это подтверждает спра-

вый край x_L(t) ударной волны, что отвечает выбору

ведливость формулы (27) для числа солитонов, по-

знака в подынтегральном выражении (65). Скорость

рождаемых импульсом простой волны, распростра-

изменения dN/dt этого числа равна, очевидно,

няющейся в неподвижную среду.

А. М. Камчатнов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

А. В. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 65, 590

(1973).

В настоящей работе мы показали, что общее

G. B. Whitham, Proc. Roy. Soc. London 283, 238

выражение (14) для числа солитонов является эф-

(1965).

фективным средством вычисления этой важной для

эксперимента характеристики нелинейных импуль-

А. В. Гуревич, А. Л. Крылов, Н. Г. Мазур,

сов при их достаточно долгой эволюции, если огра-

Г. А. Эль, Доклады РАН 323, 876 (1992).

ничиться типичным случаем опрокидывания про-

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

стой волны, распространяющейся в «неподвижную»

Физматлит, Москва (2001).

среду, и использовать для расчета траектории ма-

лоамплитудного края ДУВ метод, предложенный в

А. В. Гуревич, А. Л. Крылов, Н. Г. Мазур, ЖЭТФ

работах [29, 30]. На этом пути воспроизводится из-

95, 1674 (1989).

вестная формула Карпмана для уравнения КдФ и

10.

А. В. Гуревич, А. Р. Мещеркин, ЖЭТФ 87, 1277

получены ее обобщения для других физически важ-

(1984).

ных уравнений, не являющихся полностью интегри-

руемыми, к которым неприменим метод обратной

11.

К. Ланцош, Вариационные принципы механики,

задачи рассеяния. Замечательно, что окончатель-

Мир, Москва (1965).

ный результат во всех рассмотренных случаях мож-

12.

G. A. El, Chaos 15, 037103 (2005).

но представить в форме (27), полученной на основе

некоторых предположений в работах [14, 41], что

13.

G. A. El, R. H. J. Grimshaw, and N. F. Smyth, Phys.

Fluids 18, 027104 (2006).

можно рассматривать как дополнительное обосно-

вание этой формулы, уточняющее метод указанных

14.

G. A. El, A. Gammal, E. G. Khamis, R. A. Kraenkel,

работ. Кроме того, использованное в этих работах

and A. M. Kamchatnov, Phys. Rev. A 76, 053813

предположение, что функцию зависимости волново-

(2007).

го числа k(u) от фоновой амплитуды волны на ма-

15.

J. G. Esler and J. D. Pearce, J. Fluid Mech. 667, 555

лоамплитудном крае ДУВ можно распространить с

(2011).

этого края на область гладкого бездисперсионного

решения, где осцилляции отсутствуют, представ-

16.

N. K. Lowman and M. A. Hoefer, J. Fluid Mech. 718,

ляется важным для общей теории дисперсионных

524 (2013).

ударных волн утверждением. Наконец, сочетание

17.

M. A. Hoefer, J. Nonlinear Sci. 24, 525 (2014).

гамильтоновой механики волновых пакетов с без-

дисперсионной динамикой фона дает общий подход

18.

T. Congy, A. M. Kamchatnov, and N. Pavloff, SciPost

к решению задач о взаимодействии линейных волн с

Phys. 1, 006 (2016).

течением среды, что позволяет, например, обобщить

19.

M. A. Hoefer, G. A. El, and A. M. Kamchatnov,

результаты недавней работы [21] на произвольный

SIAM J. Appl. Math. 77, 1352 (2017).

профиль фоновой простой волны.

20.

X. An, T. R. Marchant, and N. F. Smyth, Proc. Roy.

Благодарности. Выражаем благодарность

Soc. London A 474, 0278 (2018).

Л. П. Питаевскому и Г. А. Элю за полезные об-

21.

T. Congy, G. A. El, and M. A. Hoefer, J. Fluid Mech.

суждения.

875, 1145 (2019).

22.

M. D. Maiden, D. V. Anderson, N. A. Franco,

G. A. El, and M. A. Hoefer, Phys. Rev. Lett. 120,

ЛИТЕРАТУРА

144101 (2018).

1. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,

23.

A. M. Kamchatnov, arXiv:2008.09786.

Л. П. Питаевский, Теория солитонов. Метод об-

ратной задачи, Наука, Москва (1980).

24.

А. В. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 93, 871

(1987).

2. S. C. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, and

R. M. Miura, Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).

25.

А. М. Камчатнов, УФН, DOI:10.3367/UFNr.2020.

3. V. I. Karpman, Phys. Lett. A 25, 708 (1967).

08.038815.

4. В. И. Карпман, Нелинейные волны в диспергирую-

26.

P. D. Lax and C. D. Livermore, Commun. Pure Appl.

щих средах, Наука, Москва (1973).

Math. 36, 253 (1984); 36, 571 (1983); 36, 809 (1983).