ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 1, стр. 95-110

МАГНИТОКАЛОРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В НАНОСИСТЕМАХ

НА ОСНОВЕ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ С РАЗЛИЧНЫМИ

ТЕМПЕРАТУРАМИ КЮРИ

М. А. Кузнецовa,b*, А. Б. Дровосековc**, А. А. Фраерманa***

^a Институт физики микроструктур Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

^b Нижегородский государственный университет им. Лобачевского

603950, Нижний Новгород, Россия

^c Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 мая 2020 г.,

после переработки 31 июля 2020 г.

Принята к публикации 9 сентября 2020 г.

В рамках теории среднего поля рассчитан магнитокалорический эффект в наносистемах на основе

обменно-связанных ферромагнетиков с различными температурами Кюри. Для плоскослоистой структу-

ры Fe/Gd/Fe продемонстрировано хорошее согласие результатов теории среднего поля и теории Ландау,

справедливой вблизи критической температуры фазового перехода. Показана принципиальная возмож-

ность достижения высокой эффективности магнитного охлаждения в этой системе и доказана спра-

ведливость соотношения Максвелла, что делает возможным экспериментальную проверку сделанных

предсказаний. Развитая для плоскослоистых структур теория обобщена на гранулированную среду.

DOI: 10.31857/S0044451021010089

ких материалов заключается в необходимости при-

ложения очень большого (1-10 Тл) магнитного поля

для достижения заметного (1 K) изменения темпе-

1. ВВЕДЕНИЕ

ратуры. Таким образом, рекордные на сегодняшний

день значения эффективности магнитного охлажде-

ния составляют 10 К/Тл [2].

Магнитокалорический эффект заключается в об-

В работе [4] предложен новый подход к пробле-

ратимом изменении температуры магнитного мате-

ме снижения напряженности магнитного поля и по-

риала при его адиабатическом намагничивании или

вышения эффективности магнитного охлаждения.

размагничивании. Эффект был открыт более ста

В качестве магнитного материала предлагается ис-

лет назад [1] и по-прежнему вызывает значитель-

пользовать многослойные структуры, состоящие из

ный интерес [2]. Этот интерес связан с возможно-

пленок с различными температурами Кюри. Тогда

стью создания «магнитного» холодильника, в кото-

«сильный» ферромагнетик, имеющий большую тем-

ром роль рабочего тела будет выполнять магнит-

пературу Кюри Θ за счет эффекта магнитной бли-

ный материал с сильным магнитокалорическим эф-

зости [5] будет подмагничивать «слабый» ферромаг-

фектом. Несмотря на успехи в создании таких ма-

нетик (T_C < Θ) даже в том случае, если послед-

териалов (см., например, работу [3]), проблема маг-

ний находится в парамагнитной фазе, т. е. T_C < T .

нитного охлаждения при комнатной температуре

Более того, для многослойной структуры, в кото-

остается, на наш взгляд, нерешенной. Принципиаль-

рой «слабый» ферромагнетик зажат между слоя-

ная сложность для однородных магнитокалоричес-

ми «сильного» ферромагнетика, размагничивание

(намагничивание) прослойки зависит от взаимной

^* E-mail: kuznetsovm@ipmras.ru

^** E-mail: drovosekov@kapitza.ras.ru

ориентации магнитных моментов в берегах, кото-

^*** E-mail: andr@ipm.sci-nnov.ru

рой можно управлять посредством приложения маг-

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

иметь количественную теорию магнитокалорическо-

го эффекта в таких неоднородных системах, постро-

ению которой и посвящена настоящая работа. В ка-

честве отправной точки нами использовано прибли-

жение среднего поля, хорошо зарекомендовавшее се-

бя при анализе статических и динамических магнит-

ных свойств многослойных структур Fe/Gd [10]. В

разд. 2 этой статьи в рамках приближения средне-

го поля приведены расчеты распределений намагни-

ченности, энтропии и величины магнитокалоричес-

кого эффекта в трехслойных структурах Fe/Gd/Fe.

В разд. 3.1 для расчета термодинамических харак-

теристик системы используется теория фазовых пе-

реходов Ландау, справедливая при температурах,

близких к T_C , для которых магнитокалорический

эффект максимален. Проводится сравнение с ре-

зультатами разд. 2. Кроме того, получены условия

Рис. 1. Схематическое изображение трехслойной структу-

ры c АФМ-обменом на границах раздела для случая парал-

применимости приближенных аналитических реше-

лельной (а) и антипараллельной (б) ориентаций намагни-

ний для параллельной и антипараллельной ориента-

ченностей боковых слоев: I — ферромагнитный слой; II —

ций магнитных моментов ферромагнитных берегов.

парамагнитный слой; M_f — намагниченность свободного

В разд. 3.2 полученные приближенные решения ис-

ферромагнитного слоя; Mp — намагниченность «закреп-

пользованы для оценки магнитокалорического эф-

ленного» ферромагнитного слоя, m_↑↑(z) и m_↑↓(z) — на-

фекта в системе ферромагнитных гранул, помещен-

магниченности прослойки

ных в парамагнитную матрицу. В Заключении об-

суждаются возможности усиления магнитокалори-

ческого эффекта в ферромагнитных наносистемах.

нитного поля (рис. 1). При параллельной ориен-

тации намагниченностей берегов прослойка имеет

большую (в среднем по толщине) намагниченность,

2. ПЛОСКОСЛОИСТАЯ СТРУКТУРА В

чем при антипараллельной ориентации. Величина

МОДЕЛИ СРЕДНЕГО ПОЛЯ

поля, необходимого для переключения взаимной

ориентации намагниченностей, порядка 10-2 Тл (см.

ниже рис. 2б). Эффективность такого способа изме-

Идея применения метода среднего поля для рас-

нения намагниченности (энтропии) «слабого» фер-

чета магнитных характеристик слоистых структур

ромагнетика возрастает с уменьшением его толщи-

была предложена Кэмли в работах [11-13]. Исследо-

ны и может достигать гигантских значений. Эф-

вания были прежде всего направлены на выяснение

фект носит «обменный» характер, и увеличение эф-

особенностей магнетизма систем на основе переход-

фективности охлаждения достигается за счет ре-

ных (ПМ) и редкоземельных (РЗМ) ФМ-металлов,

конфигурации обменных полей на границах пле-

таких как Fe/Gd. Характерной особенностью этих

нок. В работах [6-9] проведены эксперименты, под-

систем является возможность сильнонеоднородного

твердившие возможность усиления магнитокалори-

распределения намагниченности внутри слоев РЗМ,

ческого эффекта в многослойных структурах «силь-

что обусловлено конкуренцией нескольких факто-

ный»/«слабый» ферромагнетик. Однако величина

ров: сильным АФМ-обменом на границе раздела

эффекта в десятки раз ниже значений, предсказы-

ПМ/РЗМ, относительно низкой температурой Кю-

ваемых теорией.

ри и малой обменной жесткостью слоев РЗМ. Пред-

Центральным моментом развиваемого нами под-

ложенный подход позволял на качественном уровне

хода является предположение об обменном взаимо-

описать основные особенности поведения слоистых

действии на границе ферромагнетиков. Величина

структур ПМ/РЗМ и даже достичь определенного

этого взаимодействия заранее не известна, и тре-

количественного согласия с экспериментом [14-17].

буется аккуратная обработка экспериментальных

Ниже мы используем метод среднего поля для оцен-

данных, которая позволит эту обменную констан-

ки величины магнитокалорического эффекта в мно-

ту определить. Для проведения сравнения нужно

гослойных структурах на примере системы Fe/Gd,

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

Рис. 2. (В цвете онлайн) а) Схематичное изображение модельной слоистой структуры Fe/Gd/Fe и распределения на-

магниченности по атомным слоям внутри прослойки Gd. Показаны кривые намагничивания (б) и полевые зависимости

энтропии (в), полученные в модели среднего поля для структур Fe(35Å)/Gd(d)/Fe(35Å) с толщиной прослойки d = 30Å

(кривые 1 и 2) и d = 50Å (кривые 3 и 4). Сплошные кривые соответствуют температуре T = TC = 200 К, штриховые —

T = TC = 210 К. На графике (г) продемонстрировано выполнение в рассматриваемой задаче соотношения Максвелла

(dS/dH)_T = (dM/dT)_H

магнитные свойства которой достаточно хорошо

(обменная константа J ≈ -200 K в расчете на атом

изучены [18, 19].

Gd [10, 20]) приводит к сильной магнитной поля-

Рассмотрим

трехслойную

структуру

ризации приграничных атомов Gd. В то же время

Fe(d_Fe)/Gd(d)/Fe(d_Fe) с толщинами слоев d, d_Fe

существенно более слабое ФМ-взаимодействие

порядка нескольких нанометров при температурах

атомов Gd внутри прослойки (J_Gd

≈ 13 K [20])

T в окрестности температуры Кюри T_C гадолиния.

приводит к быстрому (на масштабах около 20

Å)

Заметим, что в тонких слоях Gd величина T_C может

разрушению магнитного порядка при удалении от

быть заметно подавлена по сравнению с объемным

границы Fe-Gd из-за сильных тепловых флуктуа-

значением 293 К. Так, в работах [10, 20, 21] для

ций вблизи T_C . Таким образом, внутри прослойки

d ≈ 50

Å получено значение T_C ≈ 200 K. В рас-

Gd формируется сильнонеоднородный профиль

сматриваемых условиях слои Fe можно считать

распределения намагниченности с максимумами

однородно намагниченными до насыщения. При

вблизи границ Fe-Gd и минимумом в глубине слоя.

этом большой АФМ-обмен на границах Fe-Gd

Экспериментально наличие такого распределения

ЖЭТФ, вып. 1

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

намагниченности в слоях Gd было доказано при

где J — обменная константа, m_Fe и m_Gd — векторы

исследовании сверхрешеток Fe/Gd методом рентге-

намагниченности Fe и приграничного слоя Gd, m_Fe

новского резонансного магнитного рассеяния (см.,

и m_s — намагниченности насыщения Fe и Gd. От-

например, работы [15,20]).

сюда получаем эффективное поле, действующее со

Для теоретического моделирования этого рас-

стороны слоя Fe на приграничный слой Gd,

пределения по методу среднего поля мы рассмат-

Jm_Fe

риваем разбиение прослойки Gd на «атомные» под-

H_Gd = -

m_Fem_sa

слои толщиной a = 3

Å и с намагниченностью m_i,

где i — номер слоя (рис. 2a). Выбранное значе-

и эффективное поле, действующее со стороны Gd на

ние толщины элементарного слоя a = 3

Å прибли-

слой Fe,

Jm_Gd

женно соответствует расстоянию между атомными

H_Fe = -

m_Fem_sd_Fe

плоскостями (0001) ГПУ-кристалла Gd. Эффектив-

ное поле H_i, действующее на атомы i-го слоя, скла-

Равновесное направление намагниченности

дывается из внешнего поля H и обменных «моле-

в каждом из атомных слоев Gd определяется

кулярных» полей со стороны близлежащих атомов

условием

того же слоя (γ_iim_i) и соседних слоев (γii±1mi±1):

m_i||H_i,

(4)

H_i = H + γ_iim_i + γii-1mi-1 + γii+1mi+1,

(1)

а абсолютная величина —

⁽ μH_i )

где γ_ij — константы среднего поля. Заметим, что в

m_i = m_sB_j

(5)

k_BT

однородном случае m_i = m, и мы получаем обычное

выражение для молекулярного поля Вейсса H +γm,

где B_j — функция Бриллюэна для полного момен-

где γ = γ_ii + γii-1 + γii+1.

та j, μ — магнитный момент на атом Gd, k_B —

Для характеристики распределения обменных

константа Больцмана. Направление намагниченно-

взаимодействий между атомом Gd заданного слоя с

сти слоев Fe может задаваться фиксированным (в

атомами того же слоя и соседних слоев удобно вве-

случае «закрепленного» слоя), либо определяться

сти параметр ζ = γii±1/γ, который можно рассмат-

из условия, аналогичного (4): m_Fe|| (H + H_Fe) (в

ривать как отношение числа ближайших атомов в

случае «свободного» слоя). Результирующее равно-

соседних слоях к их полному количеству. Так, на-

весное распределение величины и направления на-

пример, для ГПУ-монокристалла гадолиния ζ = 1/4

магниченности по слоям структуры рассчитывается

[15], в случае же аморфной структуры этот пара-

численно при заданных H и T .

метр может несколько отличаться [10]. Принимая

Полученное распределение намагниченности

во внимание такое определение ζ, выражение для

позволяет вычислить полный магнитный момент

эффективного поля внутри Gd можно переписать в

M и энтропию S единицы объема системы. Полная

виде

намагниченность системы, очевидно, определяется

mi+1 - 2m_i + mi-1

формулой

H_i = H + γm_i + γζa²

(2)

(

)

∑

a²

(1)

d_Fe m

+m⁽²⁾

+a m_i

Из такой записи видно, что первые два слагаемых

(6)

представляют собой случай однородной намагни-

d + 2d_Fe

ченности, а третье слагаемое определяет «гради-

(отсюда, в частности, можно определить компонен-

ентный» вклад в эффективное поле. Это слагаемое

ту намагниченности M вдоль магнитного поля).

в континуальном пределе пропорционально второй

Для вычисления энтропии S учтем, что слои Fe не

производной намагниченности d²m/dz² в направле-

вносят вклада в S, а энтропия единицы объема i-го

нии нормали к пленке z и, таким образом, дает связь

слоя Gd в модели среднего поля имеет вид [22, 23]

констант среднего поля с обменной жесткостью ма-

териала D = γζa².

s_i =

⎡

⎛

⎞

⎤

Необходимо также определить эффективные

⁽2j+1 μH_i )

поля, действующие на границах раздела Fe-Gd.

m_s

⎢

⎜^sh

2j k_BT

⎟

m_i μH_i

⎥

⎢

⎜

⎟

⎥

k_B

)

(7)

Поверхностная плотность энергии обменного

⎣^l

⎝

⎠^-

⎦

⁽ 1 μH

m_s k_BT

АФМ-взаимодействия на интерфейсе Fe-Gd запи-

2j k_BT

сывается в виде

m_Fe · m_Gd

Таким образом, средняя энтропия слоя Gd на

E_ex = J

(3)

единицу объема равна

m_Fem_s

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

∑

Co₉₀Fe₁₀/Ni_xCu100-x/Co₄₀Fe₄₀B₂₀ (x ≈ 70 ат. %) [9].

s_i,

(8)

В настоящей работе мы проделаем расчеты для

структуры Fe/Gd/Fe, а также получим значительно

а полная энтропия всей системы Fe/Gd/Fe на еди-

более простые приближенные решения с целью

ницу объема —

их сравнения с точными и использования такого

∑

подхода для описания гранулированной среды (см.

s_i.

(9)

d + 2d

разд. 3.2).

Fe i

На рис. 2 приведены примеры расчета кривых

намагничивания и полевых зависимостей энтропии

3.1. Плоскослоистая структура

для системы Fe/Gd/Fe в случае, когда намагничен-

В рамках теории Ландау для фазовых перехо-

ность первого слоя Fe фиксирована в направлении,

дов свободную энергию F , приходящуюся на едини-

противоположном полю, а второй слой Fe свободен.

цу площади, можно записать в виде функционала [9]

В этой ситуации, благодаря взаимодействию через

прослойку Gd, в нулевом поле оказывается выгод-

(

)

∫

ной параллельная ориентация магнитных моментов

l²⁰

⁽ dm)2

ατ

F [m] =

m²+

m⁴

dz +

слоев Fe. Однако при приложении определенного

4m²

-d/2

магнитного поля происходит переориентация сво-



бодного слоя Fe, что приводит к антипараллельной

l_J



l_J



(m-σm_s)²

(m-m_s)²

(10)



ориентации слоев Fe. При этом существенно меня-

z=-d2

z=^d

ется форма профиля намагниченности внутри про-

слойки Gd (см. ниже рис. 3). Для расчета исполь-

Здесь α, β, l₀ и l_J — феноменологические постоян-

зованы параметры, полученные в работе [10] для

ные, τ = (T - T_C )/T_C , σ = 1 при параллельной ори-

сверхрешетки [Fe(35Å)/Gd(50 Å)]₁₂: m_Fe = 1270 Гс,

ентации намагниченностей слоев Fe (↑↑), σ = -1 —

m_s = 1150 Гс, J = 40 эрг/см², j = 7/2, μ = 7μ_B, γ =

при антипараллельной (↑↓). Последние два слагае-

= 870, ζ = 0.33, T_C = 200 К; для обоих слоев железа

мых в формуле (10) описывают обменное взаимо-

d_Fe = 35Å. Расчеты проведены для случаев d = 30Å

действие прослойки с ферромагнитными берегами

и d = 50 Å при T = T_C = 200 К и T = 210 К.

(см. рис. 1). В силу малости внешнего магнитного

Температурные зависимости изменения энтро-

поля мы пренебрегаем членом -H · m под знаком

пии единицы объема прослойки при переключении

интеграла в формуле (10). Уравнение, отвечающее

взаимной ориентации намагниченностей слоев Fe

экстремуму функционала (10), и граничные условия

приведены в разд. 3.1 (см. ниже рис. 5). Интересно

имеют вид

отметить, что в рассматриваемой задаче выполняет-

d²m

ся соотношение Максвелла (dS/dH)_T = (dM/dT )_H ,

m³ = 0,

(11)

на котором основаны многочисленные эксперимен-

dz²

l²

l²⁰m²

ты по измерению магнитокалорического потенциа-



dm

l_J



ла (см. рис. 2г). Этот факт не является триви-



(m - m_s)

(12)



l²⁰

альным. Действительно, выполнение соотношения

z=d2

z=^d

Максвелла для однородных материалов очевидно.



dm

l_J



В неоднородных системах, к которым принадле-



(m - σm_s)

(13)



l²⁰

жит рассмотренная трехслойная структура, намаг-

z=-d2

z=-^d

ниченность является функцией координат и поэто-

где введено обозначение l = l₀/√ατ. Уравнению (11)

му не может непосредственно входить в соотноше-

удовлетворяют эллиптические функции Якоби dn и

ние Максвелла. Однако, как нами было показано,

sn. Эти функции хорошо изучены [24]. Будем искать

это соотношение выполняется для намагниченности

решения в виде

(6) и энтропии (9), относящихся ко всей системе.

(

)

↑↑

z+z

m_↑↑ = a_↑↑m_s dn c_↑↑

,k_↑↑

(14)

3. ТЕОРИЯ ЛАНДАУ ДЛЯ ФАЗОВЫХ

l₀

ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО РОДА

(

)

√a_↑↓m_s

z+z↑↓0

Ранее мы применяли теорию Ландау для

m_↑↓ =

sn c_↑↓

,k_↑↓

(15)

фазовых переходов к плоскослоистой структуре

c_↑↓

l₀

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Здесь a↑↑(↑↓), c↑↑(↑↓) и z↑↑(↑↓)0 — постоянные, k_↑↑ и

Получим теперь более простые, но приближен-

k_↑↓ — эллиптические модули. Поскольку

ные решения уравнения (11). В случае параллель-

ной ориентации намагниченностей боковых слоев

a_↑↑m_s = m_↑↑|z=0, a_↑↓m2s = l²⁰ (dm/dz|z=0)² ,

представим намагниченность прослойки m_↑↑ в виде

константы a_↑↑ и a_↑↓ — действительные числа (если

m_↑↑(z) = m₀ + ξ(z), ξ (0) = 0, ξ ≪ m₀.

z↑↑(↑↓)0 = 0). После подстановки m_↑↑ и m_↑↓ в урав-

нение (11) мы можем выразить все неизвестные по-

Здесь m₀ — постоянная, ξ(z) — функция координа-

стоянные через a↑↑(↑↓). В итоге получаем

ты z. В линейном приближении по ξ уравнение (11)

примет вид

m_↑↑ =

⎛

d²ξ

√

(

)⎞

- κ²(ξ + ξ₀) = 0,

(20)

dz²

ατ

= a_↑↑ms dn^⎝i a↑↑

, √2 1+

⎠,

(16)

2 l₀

βa²

где

↑↑

(

)

3βm²⁰

m₀(ατm2s+βm²⁰)

² =

ατ+

ξ₀ =

l²⁰

m2s

ατm2s + 3βm²

)1/4

⁽2a_↑↓

m_↑↓ = -i

η_±m_s ×

Решением этого уравнения является функция

(

)

√

⁽βa_↑↓)1/4

ξ = ξ0 (chκz - 1).

(21)

× sn i

2τ₀η2± - 1

(17)

η_±l₀

Граничные условия (12), (13) позволяют числен-

где i — мнимая единица и введены обозначения

но определить m₀. Если намагниченности ферро-

магнитных берегов антипараллельны, то, считая

η_± = (τ₀ ± (τ²⁰ - 1)1/2)1/2, τ₀ = ατ/(2βa_↑↓)1/2.

βm2↑↓/ατm2s ≪ 1, можно пренебречь нелинейным

слагаемым в уравнении (11). С учетом граничных

Здесь было учтено, что константы z↑↑(↑↓)0 могут быть

условий получим

выбраны равными нулю. Постоянные a_↑↑ и a_↑↓ опре-

деляются численно из граничных условий. Чтобы

ll_Jm_s

m_↑↓ =

(22)

установить, какую из констант η_± следует выбрать,

l²⁰ ch

+ ll_J sh

рассмотрим предельный случай бесконечно толстой

прослойки (a↑↓ → 0). В этом пределе, используя

Приближенное решение (22) можно также полу-

определение функции y = sn (u, k) [25],

чить из формулы (17), формально устремляя β к

∫y

нулю. Для этого выразим sn(u, k) через dn(u, k) со-

√

(18)

гласно формуле dn²(u, k) = 1 - k²sn²(u, k). Далее,

(1 - x²)(1 - k²x²)

используя определение функции y = dn(u, k) [25],

∫

и формулы (15) и (17), для η₊ получим

√

(23)

√

(1 - x2) (x2 - 1 + k2)

2ατ

m_s

m=-

(19)

⁽z+z₀)^,

↑↓

придем к формуле (22). При этом z₀

= 0. Отме-

тим еще, что приближенное и точное решения (21)

где z = z + d/2, а постоянная z₀ = z↑↓0 - d/2 -

и (16) имеют одинаковые разложения в степенные

-l cth-1 (1) должна быть конечным положительным

ряды (по крайней мере, до слагаемых второго по-

числом, определяемым из граничных условий. Фор-

рядка включительно).

мула (19) соответствует намагниченности прослой-

Феноменологические постоянные α и β были

ки, индуцированной только одним ферромагнитным

получены путем их выражения через параметры

слоем, находящимся при z < 0. Таким образом, на-

теории среднего поля. Для отдельной пленки Gd

магниченность (17) с η₊ дает правильное предель-

справедлива формула (5), где вместо m_i следует

ное выражение. Для дальнейших расчетов мы будем

взять однородную намагниченность m. Расклады-

пользоваться формулой (17) с η₊. Заметим, что от

вая B_j(x) в ряд при x ≪ 1, можно привести фор-

намагниченности (16) можно так же прийти к пре-

мулу (5) к уравнению ατm + βm³/m_s = 0, соответ-

делу (19), но, конечно, с обратным знаком.

ствующему в теории Ландау уравнению, которому

100

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

Рис. 3. (В цвете онлайн) Зависимости m_↑↑(z) при T = TC (а), T -TC = 10 К (б) и m↑↓(z) при T = TC (в), T -TC = 10 К (г)

для d = 3 нм (кривые 1), 5 нм (2), 7 нм (3), 15 нм (4) в структуре Fe/Gd/Fe. Сплошными линиями изображены точные

решения (16) и (17), штриховыми — приближенные решения (21) и (22), точками — расчеты по теории среднего поля

удовлетворяет намагниченность отдельной пленки

соких порядков в свободной энергии (10). Расче-

магнетика в отсутствие внешнего поля. Тогда для

ты также показывают, что приближенные решения

постоянных α и β получаются следующие форму-

(21), (22) для многослойной структуры Fe/Gd/Fe

лы:

дают довольно большую ошибку. Действительно,

T_C

α=γ =

≈ 870,

(24)

на рис. 3в видно, что зависимости m_↑↓(z) суще-

c_C

ственно нелинейны, в то время как приближенное

(

)

(

)

решение (22) при T

= T_C линейно по z. Увели-

β =

≈ 420,

(25)

чение корреляционной длины l₀ приводит к луч-

j+1

шим результатам. Так, например, для многослойной

где c_C — постоянная Кюри. Постоянную l₀ можно

структуры Co₉₀Fe₁₀/Ni_xCu100-x/Co₄₀Fe₄₀B₂₀ (α =

оценить как l₀ = (γζ)1/2 a ≈ 5.1 нм. Постоянную

= 1300, β = 750, l₀ = 25 нм, lJ = 30 нм, ms =

l_J, характеризующую взаимодействие прослойки Gd

= 180 эрг · Гс-1· см-3, T_C = 330 К) [9] приближен-

со слоями Fe, мы оцениваем как l_J ∼ J/m_sm_Fe ≈

ные формулы правильно описывают распределение

≈ 280 нм.

намагниченности (рис. 4).

На рис. 3 представлены зависимости m_↑↑(z) и

Перейдем к вычислению энтропии в пересчете на

m_↑↓(z) для структуры Fe/Gd/Fe при различных

единицу объема прослойки, s = -(∂F/∂T )/d. Без-

толщинах прослойки и температурах. Как и сле-

относительно ориентации намагниченностей ферро-

довало ожидать, между теориями существует до-

магнитных берегов, справедлива формула

статочно хорошее согласие. Расхождения, однако,

увеличиваются по мере возрастания намагничен-

∫

αm²

ности прослойки, поскольку начинает сказывать-

s=-

m²dz = -

(26)

2T_C d

2T_C

ся отсутствие отброшенных слагаемых более вы-

-d/2

101

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 4. (В цвете онлайн) Зависимости m_↑↑(z) при T = TC (а), T -TC = 10 К (б) и m↑↓(z) при T = TC (в), T -TC = 10 К (г)

для d = 3 нм (кривые 1), 5 нм (2), 7 нм (3), 15 нм (4) в структуре Co90Fe10/NixCu100-x/Co40Fe40B20. Сплошными линиями

изображены точные решения (16) и (17), штриховыми — приближенные решения (21) и (22)

которую можно получить путем дифференцирова-

обмена (l_J → ∞) на границах прослойки из выра-

ния свободной энергии (10) с использованием фор-

жений (27) и (28) при T ∼ T_C получаем

мул (11)-(13). Здесь m² — средний квадрат намаг-

αm2s

ниченности прослойки. Заметим, что формула (26)

s_↑↑ ≈ -

s_↑↓ ≈ 0.

(29)

2T_C

также может быть получена из связи энтропии s,

внутренней U и свободной F энергий: F = U - T s.

Полученные формулы характеризуют максималь-

Дальнейшие вычисления энтропии для случаев па-

но возможный магнитокалорический потенциал для

раллельной и антипараллельной ориентаций намаг-

данного материала прослойки — Gd:

ниченностей ферромагнитных берегов приводят к

Δs_max = αm2s/2T_C ≈ 3 · 10⁶ эрг · К-1 · см-3.

следующим результатам:

(

)

αl₀a2↑↑m2s

⁽c_↑↑d

Заметим, что оценки Δs_max могут быть в значитель-

s_↑↑ = -

E am

,k_↑↑

(27)

T_Cc_↑↑d

2l₀

ной степени неточными, поскольку излагаемая тео-

рия плохо применима при больших величинах на-

магниченности m. На рис. 5 сплошными линиями

αa_↑↓m2s

s_↑↓ = -

изображены зависимости магнитокалорического по-

2T_Cc2↑↓k²

↑↓

(

)

))

тенциала Δs(T) = s_↑↓(T) - s_↑↑(T) при различных

2l₀

⁽c_↑↓d

× 1-

E am

,k_↑↓

(28)

толщинах прослойки, рассчитанные на основе фор-

c_↑↓d

2l₀

мул (27) и (28) для Fe/Gd/Fe. Точками изображены

где E(u, k) и am(u, k) — соответственно эллиптичес-

соответствующие расчеты в рамках теории средне-

кий интеграл второго рода и амплитуда эллиптичес-

го поля на основе формулы (7). Можно видеть, что

кого интеграла первого рода. В пределе большого

теории хорошо согласуются между собой.

102

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

при изменении температуры вследствие приложе-

ния внешнего поля.

Таким образом, нам удалось получить профи-

ли намагниченности прослойки и магнитокалори-

ческие потенциалы в рамках двух подходов. Оба

подхода хорошо согласуются между собой, несмот-

ря на то, что при таких больших значениях намаг-

ниченности прослойки теорию Ландау, казалось бы,

не следует использовать. Приведенные оценки из-

менения температуры системы при адиабатическом

размагничивании в окрестности температуры Кюри

для рассматриваемых толщин прослойки составля-

ют 0.1-0.3 К. Это на порядок меньше ΔT ≈ 3 К объ-

Рис. 5. (В цвете онлайн) Зависимости Δs(T ) для d = 3 нм

емного Gd при его полном размагничивании, начи-

(кривые 1), 5 нм (2), 7 нм (3), 15 нм (4). Сплошны-

ная с H = 1 Тл [26]. Вместе с тем в случае структуры

ми линиями изображены расчеты на основе теории Лан-

Fe/Gd/Fe переключение взаимной ориентации на-

дау, точками — на основе теории среднего поля. Приве-

магниченностей слоев Fe требует приложения маг-

денные зависимости соответствуют изменению магнитно-

нитного поля величиной всего в несколько сотен эр-

го поля, при котором осуществляется переключение вза-

стед (см. рис. 2), что дает выигрыш на 1-2 поряд-

имной ориентации намагниченностей ферромагнитных бе-

ка по приложенному полю по сравнению с объем-

регов (H ∈ (0, H0), H0 ≈ 100 Э)

ным Gd. Таким образом, эффективность магнитно-

го охлаждения в рассматриваемой системе может

Зная величину магнитокалорического потенциа-

существенно повыситься.

ла, можно оценить адиабатическое изменение темпе-

ратуры ΔT всей структуры при смене взаимной ори-

ентации намагниченностей боковых слоев с парал-

лельной до антипараллельной (см., например, рабо-

ту [26]):

3.2. Гранулированная среда

ΔT = T_f - T = -

Δs.

(30)

(d + 2d_Fe) c

Перейдем теперь к изучению магнитокалоричес-

ких свойств среды, представляющей собой аморф-

Здесь Tf — конечная температура, c — теплоем-

ную матрицу из «слабого» ферромагнетика, со-

кость в пересчете на единицу объема системы, ко-

держащую гранулы из «сильного» ферромагнети-

торая, вообще говоря, включает в себя вклады

ка (рис. 8). Последние представляют собой моно-

от решеточной и магнитной подсистем. Покажем,

кристаллы с одноосной магнитной анизотропией, ха-

что вкладом магнитной подсистемы можно прене-

рактеризуемой постоянной K. Роль гранул состоит

бречь, так что согласно закону Дюлонга - Пти c ≈

в намагничивании матрицы посредством обменного

≈ 1.2 · 10⁷ эрг · К-1· см-3. Используя формулы (27)

взаимодействия подобно тому, как ферромагнитные

и (28), найдем магнитные вклады в теплоемкость

берега в плоскослоистой структуре намагничивают

при постоянном поле:

)

прослойку при параллельной ориентации их намаг-

⁽∂s

↑↑(↑↓)

ниченностей. Магнитным состоянием системы так-

c↑↑(↑↓) = T

(31)

∂T

же можно управлять внешним полем.

На рис. 6 изображены зависимости c↑↑(↑↓)(T), по-

Будем считать, что все N гранул отличаются

лученные численно для Fe/Gd/Fe. Можно видеть,

друг от друга только направлениями осей легкого

что даже при T = T_C магнитные вклады в теплоем-

намагничивания и имеют шарообразную форму с

кость c↑↑(↑↓) почти на порядок меньше вклада реше-

объемом V_g = (4/3)πR³. Система помещена в одно-

точной подсистемы. Приведем теперь оценки адиа-

родное магнитное поле H, направленное вдоль оси

батического изменения температуры для Fe/Gd/Fe

z. Тогда свободную энергию можно записать в виде

(рис. 7). Мы не будем здесь уделять внимания то-

му факту, что в непосредственной окрестности точ-

ки перехода прослойка может перейти в ФМ-фазу

F [m] = E_A + E_H + F₀[m],

(32)

103

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 6. Зависимости c↑↑(↑↓)(T ) при d = 3 нм (1), 5 нм (2), 7 нм (3), 15 нм (4)

Рис. 7. Зависимости ΔT (T ) для d = 3 нм (кривые 1),

5 нм (2), 7 нм (3), 15 нм (4). Приведенные зависимо-

сти соответствуют изменению магнитного поля, при кото-

ром осуществляется переключение взаимной ориентации

намагниченностей ферромагнитных берегов (H ∈ (0, H0),

H0 ≈ 100 Э)

Рис. 8. Схематическое изображение гранул из «сильно-

го» ферромагнетика, находящихся в матрице из «слабо-

го» ферромагнетика. Двусторонними стрелками изобра-

F₀[m] =

жены оси легкого намагничивания. Штриховой окружно-

(

)

стью изображена ячейка радиусом λ. Поле H направлено

∫

)₂

∑

l²⁰

⁽∂m

ατ

вдоль оси z

m²+

m⁴

dV_m +

∂x_a

4m²

a=1

∫

∑

l_J

(m - m_si)²dσ_i,

(33)

где E_A и E_H — соответственно энергия анизотропии

i=1

и энергия Зеемана гранул; σ_i, n_i и M_i (|M_i| = M) —

соответственно площадь поверхности, единичный

KV_g

∑

вектор, направленный вдоль оси легкого намагничи-

E_A = -

(M_i · n_i)²,

(34)

M²

вания, и намагниченность i-й гранулы. Постоянный

i=1

вектор m_si параллелен или антипараллелен вектору

(в зависимости от знака обменного взаимодей-

M_i

∑

ствия на границы гранулы), |m_si | = m_s. Интегри-

E_H = -H ·

M_i,

(35)

рование в первом слагаемом формулы (33) ведется

i=1

104

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

по объему матрицы V_m. Мы снова пренебрегаем чле-

сонаправлены этому полю. Тогда можно ввести сле-

ном -H · m под знаком интеграла первого слагаемо-

дующее условие на границе ячейки:

го формулы (33). В рамках нашей модели слагаемые



(34), (35) не зависят от температуры, поэтому не

dm^↑↑i



= 0.

(40)

внесут вклада в энтропию и магнитокалорический

dR_i



Ri=λ

потенциал системы. Уравнение, отвечающее экстре-

муму функционала (33), и граничное условие имеют

Мы обозначили намагниченность i-й ячейки в этом

вид

случае как m^↑↑i. Если внешнее поле отсутствует, то

Δm -

m³ = 0,

(36)

в силу случайности направлений легких осей гранул

l²

l²⁰m²

намагниченность матрицы в среднем равна нулю.

∫ (

)

Тогда можно ввести следующее граничное условие

∑

l_J

(e_i · ∇)m -

(m - m_si ) dσ_i = 0.

(37)

для намагниченности m^↑↓i в i-й ячейке:

l²⁰

i=1

↑↓

|Ri=λ = 0.

(41)

Здесь направление единичного вектора e_i совпадает

с направлением внешней нормали к поверхности i-й

Конечно, рассматривая система обладает гистере-

гранулы. Дальнейшее решение в общем виде затруд-

зисом и при перемагничивании в состоянии с вы-

нительно из-за отсутствия сферической симметрии

ключенным внешним полем может иметь ненулевую

и наличия сложного граничного условия (37), свя-

среднюю намагниченность. Вопрос о способах до-

зывающего намагниченность матрицы на поверхно-

стижения полного размагничивания системы выхо-

стях всех гранул и векторы m_si .

дит за рамки данной статьи (см., например, работу

Чтобы продвинуться дальше, разделим объем

[29]). Ясно, что «усредненные» граничные условия

системы на ячейки Вороного [27]. Они представля-

(40), (41) выполняются тем лучше, чем больше кор-

ют собой многогранники, содержащие внутри себя

реляционный радиус парамагнитной матрицы. Для

одну гранулу. Все точки поверхностей этих много-

решения уравнения (38) применим подход, описан-

гранников ближе к своим внутренним гранулам, чем

ный в разд. 3.1 для плоскослоистой структуры. На-

ко всем остальным. Будем считать, что намагничен-

магниченность m^↑↑i будем искать в виде

ность матрицы m_i внутри i-й ячейки индуцируется

в основном i-й гранулой, а на границах ячеек мож-

m^↑↑i = m0i + ξ_i,

|ξ_i| ≪ m_s, ξ_i(λ) = 0.

но вводить граничные условия, которые будут опи-

сывать взаимодействие намагниченностей соседних

Сохраняя только линейные слагаемые по ξ_i, полу-

ячеек. Это позволит из уравнения (37) получить от-

чим

дельные для каждой ячейки граничные условия на

d²ξ_i

dξ_i

поверхностях гранул. Однако этих упрощений недо-

- κ2 (ξ_i + ξ0i) = 0,

(42)

статочно. Ячейки Вороного мы заменим на одина-

dR2i

R_i dR_i

ковые сферы радиусом λ, равным половине средне-

где ξ0i = m0i(ατm2s + βm²⁰)/(ατm2s + 3βm²⁰), |m0i| =

го расстояния между центрами ближайших гранул

= m₀. Решением линейного уравнения (42) с учетом

(рис. 8). В силу возникшей сферической симметрии

граничного условия (40) является функция

уравнение (36) и граничное условие (37) примут бо-

лее простой вид:

(

ξ_i = ξ0i

(κλ ch κ (λ - R_i) -

d²m_i

dm_i

κR_i

m_i -

m3i = 0,

(38)

)

dR2i

R_i dR_i

l²

l²⁰m²

- shκ (λ - R_i)) - 1

(43)



dm_i

l_J



(m_i - m_si )

(39)



dR_i

l²⁰

Ri=R

Постоянная m0i определяется численно из уравне-

↑↓

ния (39). Для нахождения намагниченности m

где введено обозначение R_i = |r - r_i|, r_i — ради-

пренебрежем нелинейным слагаемым в уравнении

ус-вектор центра i-й гранулы. Условие на границе

(38). Это можно сделать, если выполняется условие

ячейки будет зависеть от взаимной ориентации на-

магниченностей гранул. Если приложить к системе

(

)₂

магнитное поле H > K/M, величина которого по-

m^↑↓i

≪ 1.

(44)

рядка 10 Э [28], то намагниченности гранул будут

ατ m_s

105

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 9. Зависимости m^↑↑i(R) при T - TC = 3 К (a), T - TC = 15 К (б) и m0(R) при T - TC = 3 К (в), T - TC = 15 К (г)

для L = 3 нм (1), 5 нм (2), 7 нм (3). Структура на основе NixCu100-x/Co40Fe40B20

Тогда с учетом граничных условий получим

чае, l_J R/l²⁰

≫ 1, возможны два варианта. Если

√

l₀

ατ cth(L/2l)/l_J ≪ 1, то m^↑↓i(R) ≈ m_s. Если, на-

m^↑↓i =

против, l₀

√ατ cth(L/2l)/l_J ≫ 1, то m^↑↓i(R)/m_s ≪ 1.

↑↑

Анализ величины m

несколько осложнен из-за

λ-R_i

m_sil_JR2 sh

необходимости прибегать к численным вычисле-

((

)

(45)

l_JR

λ-R

ниям постоянной m₀. Мы приводим зависимости

l²⁰R_i

↑↑

(R) и m₀ от радиуса R для различных темпе-

l²⁰

ратур и средних расстояний между поверхностями

В этом разделе все дальнейшие расчеты будут про-

гранул (рис. 9). Мы видим, что увеличение размеров

деланы для матрицы Ni_xCu100-x (x ≈ 70 ат. %) и

гранул с сохранением L приводит как к увеличению

гранул Co₄₀Fe₄₀B₂₀. Для матрицы Gd и гранул Fe

m^↑↑i, так и к увеличению m^↑↓i при некотором отно-

приведенные приближенные решения некорректны.

шении других параметров. На данном этапе труд-

Это связано с большой величиной взаимодействия

но сказать, какое это окажет влияние на магнито-

на границе Fe и Gd, что приводит к нарушению

калорический потенциал системы. Однако ясно, что

условий применимости приближенных решений. Мы

увеличение размера гранул более 7-10 нм не имеет

также будем считать, что все феноменологические

смысла.

параметры для плоскослоистых структур совпада-

На рис. 10 изображены зависимости m^↑↑i(R_i) и

ют с соответствующими параметрами гранулиро-

m^↑↓i(R_i) при различных средних расстояниях меж-

ванных сред.

ду поверхностями ближайших гранул и при различ-

Рассмотрим вопрос о влиянии радиуса гранул

ных температурах. Радиус гранул R = 10 нм. За-

на намагниченность в ячейке при условии постоян-

висимости магнитокалорического потенциала Δs(T )

ства среднего расстояния L между поверхностя-

для гранулированной среды, полученные численно,

ми соседних гранул, L = 2(λ - R). Если радиус

изображены на рис. 11 для различных L и R. Увели-

гранул мал, так что l_J R/l20 ≪ 1, то для любых

чение радиуса гранул R, как можно видеть, приво-

L справедливо m^↑↓i(R)/m_s ≪ 1. В обратном слу-

дит к увеличению Δs. Здесь мы ограничиваемся по-

106

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 12. Зависимости c↑↑(↑↓)(T ) для L = 3 нм (1), 5 нм (2), 7 нм (3) при R = 10 нм. Структура на основе

NixCu100-x/Co40Fe40B20

Рис. 13. Зависимости ΔT (T ) для L = 3 нм (1), 5 нм (2),

7 нм (3) при R = 2 нм (a), 5 нм (б), 10 нм (в). Структу-

ра на основе NixCu100-x/Co40Fe40B20. Приведенные за-

висимости соответствуют изменению магнитного поля,

при котором осуществляется перемагничивание системы

(H ∈ (0, H0), H0 ≈ 10 Э [29])

строением решения вне окрестности точки перехода,

но объяснить значительно меньшей температурной

там, где можно применять приближенные формулы

чувствительностью намагниченности ячейки в от-

(43) и (45), на которых основаны вычисления Δs.

сутствие поля. Мы снова видим, что магнитным

Приведем теперь расчеты вкладов в теплоем-

вкладом в теплоемкость можно пренебречь. Тог-

кость от магнитной подсистемы в пересчете на еди-

да адиабатическое изменение температуры системы

ницу объема матрицы (рис. 12). В отсутствие внеш-

примет вид

(

)

него поля теплоемкость оказывается на четыре по-

λ³ - R³

рядка меньше, чем в состоянии параллельной ори-

ΔT = T_f - T = -

Δs.

(46)

λ³c

ентации намагниченности всех гранул. Это мож-

108

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Магнитокалорический эффект в наносистемах.. .

На рис. 13 изображены зависимости ΔT(T) при раз-

эффекта в обменно-связанных магнитных системах

личных L и R. При достаточно высокой плотности

необходим поиск пар материалов с еще большей

гранул (L =3-5 нм) наблюдается увеличение ΔT с

величиной обменного взаимодействия на границе

уменьшением R, несмотря на увеличение Δs. При-

раздела. Сам твердотельный хладагент должен об-

веденные оценки ΔT достаточно малы, что связано

ладать, с одной стороны, значительным внутренним

со сравнительно небольшой величиной взаимодейст-

обменным взаимодействием, с другой, — большой

вия l_J .

намагниченностью насыщения.

Таким образом, развитый в разд. 3.1 приближен-

ный подход был обобщен на гранулированную среду.

Финансирование. Работа выполнена при под-

Полученные для гранулированной среды магнито-

держке Российского фонда фундаментальных ис-

калорические потенциалы сравнимы с соответству-

следований (грант № 20-02-00356), а также с ис-

ющими потенциалами трехслойной структуры [9].

пользованием средств государственного бюджета

по государственному заданию на

2019-2021 гг.

(№ 0035-2019-0022-C-01). Расчеты магнитокалориче-

ского эффекта по методу среднего поля выполнены

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

в рамках Программы фундаментальных исследова-

На основе теории Ландау и теории среднего поля

ний Президиума РАН «Актуальные проблемы фи-

нами было показано, что магнитокалорический по-

зики низких температур».

тенциал в плоскослоистой структуре Fe/Gd/Fe мо-

жет достигать достаточно больших значений. Так,

например, Δs ≈ 10⁵ эрг · К-1 · см-3 для тонкой про-

ЛИТЕРАТУРА

слойки толщиной 3 нм при критической температу-

P. Weiss and A. Piccard, J. Phys. Theor. Appl. 7, 103

ре, что в три раза меньше магнитокалорического по-

(1917).

тенциала объемного Gd, соответствующего полному

размагничиванию (начиная с H = 1 Тл) при T ∼ T_C

A. M. Tishin and Y. I. Spichkin, The Magnetocaloric

[26]. Оценки адиабатического изменения температу-

Effect and its Application, Bristol and Philadelphia,

ры на порядок меньше результата для объемного

USA (2003).

Gd при тех же условиях. Однако чтобы переклю-

V. K. Pecharsky and K. A. Gschneidner, Phys. Rev.

чить взаимную ориентацию намагниченностей фер-

Lett. 78, 4494 (1997).

ромагнитных берегов, необходимо приложить поле

величиной всего в несколько сотен эрстед, что дает

А. А. Фраерман, И. А. Шерешевский, Письма в

выигрыш на 1-2 порядка по приложенному полю.

ЖЭТФ 101, 693 (2015).

Обе приведенные теории хорошо согласуются меж-

D. Schwenk, F. Fishman, and F. Schwabl, Phys. Rev.

ду собой. Теория Ландау имеет ограничения (напри-

B 38, 11618 (1988).

мер, должно быть τ ≪ 1), но позволяет получить

аналитические формулы. Нами также были получе-

S. N. Vdovichev, N. I. Polushkin, I. D. Rodionov et

ны оценки Δs для гранулированной среды (грану-

al., Phys. Rev. B 98, 014428 (2018).

лы Co₄₀Fe₄₀B₂₀, матрица Ni_xCu100-x, x ≈ 70 ат. %).

D. M. Polischuk, Yu. O. Tykhonenko-Polischuk,

Эти оценки оказались близки к магнитокалориче-

E. Holmgren et al., Phys. Rev. Mater. 2, 114402

скому потенциалу аналогичной плоскослоистой си-

(2018).

стемы [9].

Заметим, что гранулированная структура име-

N. I. Polushkin, I. Y. Pashenkin, E. Fadeev et al.,

ет ряд преимуществ по отношению к плоскослои-

J. Magn. Magn. Mater. 491, 165601 (2019).

стой. Во-первых, ей легче придать макроскопиче-

M. A. Kuznetsov, I. Y. Pashenkin, N. I. Polushkin et

ский объем, что необходимо для использования в

al., J. Appl. Phys. 127, 183904 (2020).

холодильных устройствах. Во-вторых, в реальных

экспериментах кроме самой прослойки и двух со-

10.

A. B. Drovosekov, N. M. Kreines, A. O. Savitsky et

седних с ней ферромагнитных слоев присутствуют

al., J. Phys.: Condens. Matter 29, 115802 (2017).

и другие слои, а также подложка. Все эти элементы

11.

R. E. Camley, Phys. Rev. B 35, 3608 (1987).

являются «лишними» в смысле уменьшения магни-

токалорического потенциала в пересчете на объем

12.

R. E. Camley and D. R. Tilley, Phys. Rev. B 37, 3413

всей системы. Для усиления магнитокалорического

(1988).

109

М. А. Кузнецов, А. Б. Дровосеков, А. А. Фраерман

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

13. R. E. Camley, Phys. Rev. B 39, 12316 (1989).

22. Д. Смарт, Эффективное поле в теории магнетиз-

ма, Мир, Москва (1968), с. 17.

14. M. Sajieddine, P. Bauer, K. Cherifi et al., Phys. Rev.

B 49, 8815 (1994).

23. J. A. Tuszynski and W. Wierzbicki, Amer. J. Phys.

59, 555 (1991).

15. N. Hosoito, H. Hashizume, and N. Ishimatsu,

J. Phys.: Condens. Matter 14, 5289 (2002).

24. Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических

16. P. N. Lapa, J. Ding, J. E. Pearson et al., Phys. Rev.

функций, Наука, Москва (1970), с. 91.

B 96, 024418 (2017).

25. А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим

17. T. D. C. Higgs, S. Bonetti, H. Ohldag et al., Sci. Rep.

функциям, Изд-во АН СССР, Москва-Ленинград

6, 30092 (2016).

(1941), сс. 69, 72.

18. R. E. Camley, Handbook of Surface Science,

26. A. Smith, C. R. H. Bahl, R. Bjørk et al., Adv. Energy

North-Holland, Amsterdam (2015), Vol. 5, Ch. 6,

Mater. 2, 1288 (2012).

pp. 243-295.

27. V. S. Kumar and V. Kumaran, J. Chem. Phys. 123,

19. А. Б. Дровосеков, Д. И. Холин, Н. М. Крейнес,

114501 (2005).

ЖЭТФ 158, 151 (2020).

28. F. Yildiz, S. Kazan, B. Aktas et al., J. Magn. Magn.

20. Y. Choi, D. Haskel, R. E. Camley et al., Phys. Rev.

B 70, 134420 (2004).

Mater. 305, 24 (2006).

21. A. B. Drovosekov, A. O. Savitsky, D. I. Kholin et al.,

29. P. Allia, M. Coisson, M. Knobel et al., Phys. Rev.

J. Magn. Magn. Mater. 475, 668 (2019).

B 60, 12207 (1999).

110