ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 1, стр. 129-149

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ, ИНДУЦИРОВАННОЙ

МЕХАНИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ В ЛОТКЕ

В. Г. Полниковa*, Ф. Цяо^b

^a Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова Российской академии наук

117019, Москва, Россия

^b First Institute of Oceanography of Ministry of Natural Resources

266061, Qingdao, China

Поступила в редакцию 31 марта 2020 г.,

после переработки 18 июля 2020 г.

Принята к публикации 18 июля 2020 г.

В ветроволновом лотке выполнены измерения трех компонент скорости течений ui(i = x, y,z), инду-

цированных механическими волнам, которые генерировались волнопродуктором для трех вариантов до-

минантных частот f0 и набора значительных высот волн Hs для каждой частоты. С целью изучения

степени анизотропии индуцированной волнами турбулентности и оценивания скорости ее диссипации ε

рассчитаны стандартные отклонения σi и частотные спектры Si(f) для компонент измеренных тече-

ний. По предложенной процедуре фильтрации рассчитаны характеристики σiF и SiF (f) для турбулент-

ных составляющих течений, в которых отфильтрованы волновые движения. Показано, что величины

σi проявляют сильную анизотропию, степень которой варьирует с изменением параметров волн. Для

турбулентных составляющих течений имеет место соотношение σxF ≈ σyF ≥ (1.5-3)σzF , означающее

существенную анизотропию турбулентности в случаях горизонтального и вертикального движений. По-

луфеноменологический подход позволяет для величин σiF найти аналитическое представление через

параметры волн. Спектры турбулентных составляющих для горизонтальных компонент скорости SxF (f)

и SyF (f) в области частот f > 2f0 близки по форме и интенсивности и, как правило, имеют степен-

ной закон убывания интенсивности «-1.6 ± 0.1». В том же диапазоне частот интенсивность спектров

вертикальной компоненты скорости SzF (f) на порядок меньше и убывает по закону «-2.0 ± 0.1». Сте-

пенные участки трактуются как аналоги колмогоровских спектров, обусловленных передачей энергии от

орбитальных движений механических волн вверх по частотам. Предложена феноменологическая модель

спектра с законом убывания «-2», позволяющая по интенсивности степенного участка Sz (f) определять

величину скорости диссипации кинетической энергии турбулентности ε. Получены оценки ε и построена

ее параметризация. Приводятся обсуждение и возможная интерпретация полученных результатов.

DOI: 10.31857/S0044451021010119

шим разнообразием физических процессов в систе-

ме движений в верхнем слое воды (волны, течения,

турбулентность), доступностью различных измере-

1. ВВЕДЕНИЕ

ний в такой системе и развитым теоретическим ин-

Изучение динамики течений верхнего слоя во-

струментарием, широко представленным, например,

ды, на поверхности которой присутствуют механи-

в статьях и книгах [1-10]. Кроме того, результа-

ческие или ветровые волны, имеет длинную исто-

ты изучения динамики верхнего слоя востребованы

рию, начинающуюся со знаменитой работы Стокса

и с практической точки зрения. Процессы в верх-

[1] и продолжающуюся в работах Лонге - Хиггинса

нем слое важны для описания циркуляций, влия-

[2], а также в совокупности работ Ламли и Террея

ющих на морскую индустрию, для расчета тепло-

с соавторами [3-5]. Развитие этих исследований за

газообмена атмосферы и океана, для контроля рас-

последние полвека подробно описано в недавнем об-

пространения примеси, а также для учета верти-

зоре [6]. Причина такого интереса обусловлена боль-

кального перемешивания, влияющего на крупномас-

штабную циркуляцию в целом, а с ней — на погоду

^* E-mail: polnikov@mail.ru

и климат Земли [11].

129

ЖЭТФ, вып. 1

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Исследование характеристик турбулентности,

В этом направлении следует отметить следую-

обусловленной присутствием волновых движений в

щие известные результаты. Наиболее важными из

верхнем слое воды, представляет собой отдельное

ранних работ являются исследования, проведенные

направление общей тематики, отмеченной выше.

в работах [3-5]. Так, в работе [4] был приложен

Турбулентность в воде реализуется вследствие

метод линейной фильтрации волновых компонент

неустойчивости волновых орбитальных движений,

(в кратком исполнении) и на примере течений, на-

возникающей при больших числах Рейнольдса, в

веденных ветровыми волнами, было показано, что

данном случае определяемых соотношением [12]

спектры для горизонтальных и вертикальных ком-

Re ≡ a²ω_p/ν, где a — средняя амплитуда волн, ω_p —

понент течений имеют участки степенного убыва-

частота пика спектра волн, а ν — кинематическая

ния вида S_z,x(f) ∝ f-5/3. В работе [3] была обосно-

вязкость воды. Если принять, что крутизна грави-

вана применимость гипотезы «замороженной турбу-

тационных волн δ = ak_p = aω2p/g (g — ускорение

лентности» Тейлора для трактовки указанных спек-

силы тяжести, k_p — волновое число пика спектра)

тров как аналогов колмогоровских спектров с целью

на поверхности воды имеет порядок 0.1, то при

оценки скорости диссипации турбулентности (СДТ)

типичном значении ν

≈ 10-6 м²/с величина Re

ε. Детальное исследование СДТ в течениях, наве-

превышает величину

10³

уже при значениях a

денных ветровыми волнами в озере Онтарио, бы-

более 1 см, т. е. условия возникновения турбулент-

ло проведено в работе [5]. В частности, в ней была

ности, вызванной волнами, легко достижимы.

установлена параметризация величины ε от скоро-

Распространенность явления служит стимулом к

сти трения u_∗, амплитуды a₀ волн на поверхности и

широкому эмпирическому и теоретическому изу-

глубины z измерений вида

чению турбулентности, индуцированной волнами

(см., например, работы [13-21]).

ε = const · u3∗a₀/z².

(1)

В то же время теоретическое понимание процес-

Такая же зависимость была установлена и в лот-

са генерации турбулентности волнами пока не до

ке [20] при наличии ветровых волн и сильных вет-

конца ясно. Например, аналитическая теория [16]

рах. Поиск подобных зависимостей дает ориентир

и численное моделирование [17-19] показывают, что

для проверки теоретических моделей типа [16-18],

для развития турбулентности под взволнованной по-

что представляет большой интерес и для случая ме-

верхностью требуется наличие некоторой затравоч-

ханических волн на воде.

ной стохастичности течений (фоновой турбулентно-

Относительно анизотропии стандартных откло-

сти). Однако количественное уточнение величины

нений (СтО) компонент скорости течений в ранних

фоновой турбулентности пока не известно, также

работах [3-5] ничего не сказано, поскольку в них эм-

как не известны точно и зависимости интенсивности

пирика подтверждала изотропию СтО на глубинах

наведенной волнами турбулентности от параметров

порядка 1-2 м. Позднее эмпирически [19] и числен-

волн и законы ее убывания с глубиной. Учитывая

но [18, 19] было показано, что СтО горизонтальных

сказанное, далее мы не будем касаться проблемы

компонент скорости вблизи взволнованной поверх-

природы турбулентности, вызванной волнами, со-

ности воды, σ_x и σ_y , не равны между собой. При

средоточив внимание на ее эмпирических проявле-

этом СтО поперечных горизонтальных турбулент-

ниях.

ных компонент скорости, σ_y , превышают таковые

для продольных компонент, σ_x. Наблюдаются и об-

Несмотря на значительные успехи, достигнутые

ратные соотношения [21]; есть эмпирические данные

к настоящему времени, многие особенности турбу-

и о полной изотропии СтО для всех компонент тур-

лентности, вызванной волнами на воде, требуют

булентных составляющих течений непосредственно

дальнейшего изучения. В нашей работе мы ограни-

под волнами [15]. По-видимому, причина такой неод-

чимся лишь анализом анизотропии дисперсий ком-

нозначности кроется в методике выделения самих

понент скорости в слоях воды, расположенных на

турбулентных составляющих, т.е. в методике филь-

глубине порядка десятка высот волн, и связанных

трации волновых движений. Ввиду указанной неод-

с ними спектральных характеристик течений, рас-

нозначности в описании характера анизотропии на-

считанных с целью обнаружения участков спектра

веденной волнами турбулентности этот вопрос нуж-

колмогоровского типа [7] и оценивания по ним ско-

дается в дальнейшем изучении. При этом суще-

рости диссипации турбулентности [4-6, 13-15].

ственную роль играет решение задачи о фильтра-

130

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

Рис. 1. Эскиз лотка и расположения оборудования: WG — волновые датчики; PT — трубки Пито; ADV — набор акустичес-

ких доплеровских велосиметров; IP — набор инструментов для вбрасывания в лоток поплавков или красителей; WM —

волнопродуктор; WA — волнопоглотитель; F — вентилятор. Внутренняя ширина лотка 1 м

ции волновых движений, который был затронут еще

В порядке обсуждения следует отметить, что за-

в работе [4], но не раскрыт до конца. Далее мы спе-

висимости (2), (3), в отличие от параметризации (1),

циально остановимся на этом вопросе.

не полны в силу отсутствия согласованности раз-

мерностей их левой и правой частей. Кроме того,

В отношении спектральных характеристик ком-

обе зависимости получены лишь для глубин z по-

понент скорости, S_i(f) (i = x, y, z), эмпирические ре-

рядка высоты волн a₀, а оценки параметра m яв-

зультаты работ [13-15], выполненных в различных

но привязаны к фазам орбитального движения [15].

лабораторных условиях для механических волн,

Эти результаты неприменимы для описания турбу-

близки к результатам работ [4, 5]. Отметим только,

лентности в слое воды под взволнованной поверхно-

что в указанных работах изучались лишь продоль-

стью, имеющем порядок доминантной длины волны

ные компоненты турбулентных составляющих ско-

λp = 2π/kp. Такая неполнота имеющихся результа-

рости течений, u_x. В высокочастотной области убы-

тов служит стимулом для дальнейших исследова-

вания спектров установлены участки вида S_x(k) ∝

ний.

∝ k-5/3 [13] (k — волновое число) или S_x(f) ∝ f-5/3

[14, 15] (f — циклическая частота), что авторами

В данной работе изучаются указанные выше

трактуется как классический спектр Колмогорова -

характеристики течений, наведенных механически-

Обухова [7]. Такая трактовка позволила им полу-

ми волнами, генерированными волнопродуктором в

чить оценки СДТ ε и даже некоторые их зависимо-

лотке. Основная цель заключается в выявлении и

сти от параметров системы.

детальном описании характера анизотропии наве-

денной волнами турбулентности. Спектральные ха-

Так, в работе [13] была установлена зависимость

рактеристики течений анализируются на предмет

ε от амплитуды волн a₀ на поверхности воды вида

их формы, выявления в ней степенных участков

убывания и оценивания по ним СДТ.

ε(a₀) ∝ a³⁰.

(2)

В работе [15] при измерениях в системе координат,

отслеживающей уровень воды, для монохроматиче-

ских волн и малых глубин (|z| < 3a₀) была установ-

2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

лена зависимость

Измерения выполнялись в ветроволновом лотке

ε(z) ∝ |z|^-m.

(3)

Первого института океанографии, расположенного

В области гребней для зависимости (3) найдено зна-

в г. Циндао, КНР. Размеры лотка по длине, ширине

чение m = 2, а в области ложбин — m = 1/3. Уста-

и высоте составляют 32 × 1 × 2 м³, глубина слоя во-

новлено, что по мере приближения к поверхности

ды D = 1.2 м. Эксперимент выполнялся как для ме-

воды значение m = 1.

ханических волн, генерируемых волнопродуктором,

131

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

так и для ветровых волн. Однако, в силу принци-

рителями течений (ADV) на трех горизонтах: z =

пиальной разницы в динамике процессов в верхнем

= -10, -20, -30 см (ось z направлена вверх с нача-

слое воды для указанных видов волн, здесь будут

лом отсчета на среднем уровне воды). Частота из-

приведены результаты только для случая механи-

мерений составляла 100 Гц на глубинах z = -10,

ческих волн.

-20 см и 128 Гц при z = -30 см, что вызвано тех-

ническими причинами.

Общая геометрия лотка и расположение обору-

дования приведены на рис. 1. Для волновых изме-

Обработка данных измерений проводилась в обо-

рений использовались емкостные волновые датчики

лочке MATLAB. Для оценки частотных спектров

(WG). Трубки Пито (PT) и три акустических допле-

S(f) использовались методы авторегрессии, обеспе-

ровских велосиметра (ADV) применялись для из-

чивающие минимальную погрешность [22]. Вслед-

мерения соответственно профилей ветра и скорости

ствие огромной величины выборки (более 1000 глав-

течений. Места расположения датчиков WG1-WG4

ных периодов волн), 95 % доверительных интерва-

далее обозначаются как точки измерений P1-P4.

лов для оценок спектров в билогарифмических ко-

ординатах составляют всего [+10 %, -12 %]. В силу

Исследовались два типа механических волн: ре-

их малости (по сравнению с изменчивостью спек-

гулярные (квазимонохроматические) волны и сто-

тров S(f) на 4-6 порядков) нанесение этих интерва-

хастические волны с широкой спектральной поло-

лов на рисунки спектров малоинформативно. Отме-

сой, типа спектров Пирсона - Московица (PM) или

ченные интервалы соответствует стандартным от-

JONSWAP (J) [8]. В обоих случаях задавались три

клонениям для спектральных интенсивностей при-

доминантные частоты волнопродуктора f₀ = 1.5,

мерно 3 % и 5 % [22], что и определяет их точность.

1.0, 0.7 Гц, и три-пять значений программируемой

значительной высоты волн H_s для каждой частоты

f₀. Измерения проводились при установлении ста-

3. МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ ВОЛНОВЫХ

ционарного состояния системы (более 5 мин работы

КОМПОНЕНТ

волнопродуктора).

Все волновые записи имели длительность 10 мин

На примере регулярной волны, заданной волно-

и частоту дискретизации 50 Гц. Параллельно прово-

продуктором с параметрами H_s = 5 см и f₀ = 1.0 Гц,

дилась визуальная регистрация степени обрушения

на рис. 2 приведены временные ряды компонент те-

волн в процентах (отношение числа обрушившихся

чений u_x(t) и u_z(t) для глубины z = -10 см в точке

гребней к их общему числу, прошедшему за 1-2 мин

P2 = 12 м. Видно, что волновой характер движений

через контролируемый участок наблюдений разме-

превалирует; на спектре течений он проявляется в

рами порядка метра).

виде резкого пика (рис. 3). Интенсивность спектра

В табл. 1 приведены параметры волн, получен-

течения ожидаемо убывает с глубиной, а ширина его

пика сужается с ростом |z| в силу затухания волно-

ные из оценок спектров возвышений поверхности√

∫

вых компонент (см., например, S_z(f) на рис. 3а).

S_η(f). Здесь a₀ =

S_η(f)df — средняя ампли-

туда волн, f_p — частота пика спектра S_η(f), k_p =

При этом значение спектра в пике на 4-5 по-

= (2πf_p)²/g — волновое число пика спектра и δ =

рядков превышает интенсивность S_z(f) на частотах

= a₀k_p — средняя крутизна волн. Величина Br —

вдали от частоты f_p пика спектра (которая близ-

интенсивность обрушений волн, заданная в процен-

ка к f₀). Для фиксированной частоты f₀ и гори-

тах и отражающая отношение числа обрушившихся

зонта z ширина спектра растет с высотой волны H_s

гребней к общему числу гребней волн, прошедших

(рис. 3б). Очевидно, что для выделения турбулент-

через фиксированный участок наблюдения порядка

ных составляющих необходима процедура фильтра-

метра за 1-2 мин. Величины H_s и f₀ — парамет-

ции волновых движений.

ры волнопродуктора, означающие ожидаемую зна-

Проблему фильтрации мы решаем следующим

чительную высоту волн и частоту доминантного пи-

образом. Представим скорость u_i в виде суммы:

ка их спектра. Далее эти параметры будут исполь-

зованы при параметризации характеристик турбу-

u_i = u_iW + u_iT ,

(4)

лентности.

Три компоненты скоростей течений u_i (i = x, y,

в которой u_iW — волновая составляющая скорости,

z) измерялись акустическими доплеровскими изме-

а u_iT — турбулентная. Традиционно [7,8], предполо-

132

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

Таблица

1. Номера экспериментов и параметры механических волн двух типов в точке P2 = 12 м

f₀ = 1.5 Гц

№

H_s, см;

Регулярные волны

Нерегулярные волны (PM)

экспери-

Br, %

№

мента

f_p,

k_p,

H_s, см;

f_p,

Sk_pS,

a₀, см

экспери-

a₀, см

Гц рад/м

Br, %

Гц рад/м

мента

1.36

1.49

8.9

0.12

XII

0.86

1.13

5.13

0.041

2.13

1.49

8.9

0.19

XIII

1.26

0.98

3.82

0.048

III

2.76

1.48

8.9

0.25

XIV

1.56

1.01

4.1

0.064

10;

3.20

1.48

8.8

0.28

1.89

0.79

2.5

0.047

f₀ = 1.0 Гц

Регулярные волны

Нерегулярные волны (PM)

№

H_s, см;

f_p,

k_p,

H_s, см;

f_p,

k_p,

a₀, см

экспери-

a₀, см

Br, %

Гц рад/м

Br, %

Гц рад/м

мента

1.03

1.0

4.0

0.04

Для H_s < 10 см нет данных

1.74

1.0

4.0

0.07

10;

VII

2.45

1.0

4.0

0.10

XVI

1.90

0.74

2.2

0.042

10;

15;

VIII

3.48

1.0

4.0

0.14

XVII

2.25

0.70

1.86

0.07

15;

15(J);

5.03

1.0

4.0

0.20

XVIII

3.42

0.89

3.32

0.11

f₀ = 0.7 Гц

Регулярные волны

Нерегулярные волны (J)

№

δ,

H_s, см;

f_p,

k_p,

H_s, см;

f_p,

k_p,

a₀, см

экспери-

a₀, см

без/

Br, %

Гц рад/м

Br, %

Гц рад/м

мента

разм.

15;

15(J);

3.70

0.7

1.97

0.073

XIX

2.83

0.71

2.0

0.057

20;

4.80

0.7

1.97

0.095

Для H_s = 20 см нет данных

Примечание. Номера экспериментов указаны римскими цифрами; безразмерная величина параметра обруше-

ний гребней волн Br дана с точностью до 5 %; сокращения PM и J означают форму спектра, генерированного

волнопродуктором (см. разд. 2).

133

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

предпринята еще в работе [4], однако далее форму-

обеспечивающая монотонность убывания спектра

лы (5) она не была детализирована.

турбулентности.

В выражении (5) S_iT — спектр i-й компоненты

На рис. 4б видно, что волновые компоненты

турбулентных флуктуаций скорости на глубине z, а

могут быть отфильтрованы путем простого «от-

сечения» главного пика спектра течений S_u(f, z)

программно-числовым образом. С учетом этого за-

мечания, для получения спектра турбулентности

S_iW (ω, z) = ω²S_ηi(ω, z) ≡

S_T (f, z) предлагается следующая процедура филь-

трации (отсечения): 1) за уровень отсечения берется

≡ ω²S_η(ω)exp[-2ω²z/g]I_i[S_η(ω, θ)]

(6)

значение спектра на частоте f_L максимальной кри-

визны линии спектра S_u(f, z), расположенной ни-

— спектр i-й компоненты волновых орбитальных

же частоты f_p его пика (см. рис. 4б) — эта точка

движений (скоростей), приведенных по потенци-

принимается за начало пика волновых движений;

альной теории к глубине z; S_η(ω) — одномерный

2) для частот f > fL уровень отфильтрованного

спектр временного ряда возвышений поверхности

спектра остается постоянным вплоть до частоты f_H ,

η(t); I_i[S_η(ω, θ)] — интеграл по углу θ от двумер-

где этот уровень пересекает исходный спектр тече-

ного частотно-углового спектра волн на поверхнос-

ний S_u(f, z); 3) в областях f < fL и f > fH ин-

ти S_η(ω, θ), зависящий от компоненты i орбитальной

тенсивность спектра течений S_u(f, z) остается преж-

скорости волн. Согласно (5), искомый спектр турбу-

ней, так как в них спектр волновых движений на по-

лентных пульсаций скорости, S_iT (ω, z), следует из

рядок ниже спектра течений. Пример такой филь-

спектра измеряемой скорости S_ui(ω, z) за вычетом

трации приведен на рис. 4б для спектра течений

теоретического слагаемого S_iW (ω, z), форма которо-

S_z(f) при z = -10 см и параметрах волнопродук-

го сама по себе представляет интерес. (Далее индекс

тора H_s = 5 см, f₀ = 1.0 Гц.

«i» пускается, а термины «волновые» и «орбиталь-

ные» движения являются синонимами.)

Выбор частоты f_L в данной работе осуществлял-

ся визуально, но при большом объеме данных он мо-

Расчеты спектра орбитальных движений

жет быть автоматизирован, что никак не влияет на

S_W (f, z) по формуле (6) выявляют в их поведении

результат фильтрации. Действительно, применение

два эффекта. Во-первых, спектр орбитальных

указанной фильтрации для спектров течений всех

движений S_W (f, z) заметно шире, чем спектры

имеющихся данных показывает, что она захватыва-

возвышений поверхности S_h(f) (рис. 4а). Во-вто-

ет диапазон частот в пределах 0.5f_p < f < 1.5f_p,

рых, пик спектра S_W (f, z) больше пика спектра

границы которого в каждом отдельном случае зави-

течений S_u(f, z), но много уже него, а интенсив-

сят от параметров волн H_s, f_p и глубины горизонта

ность боковых ветвей спектра волновых движений

z. Однако для наших целей основной интерес пред-

S_W (f, z) на порядок меньше интенсивности спектра

ставляют результаты фильтрации спектра в остав-

измеряемых течений S_u(f, z) (рис. 4б). По этой

шихся областях частот.

причине теоретический спектр далеко не полностью

На рис. 4б видно, что на фиксированной глу-

компенсирует реальные волновые составляющие

бине z спектр волновых орбитальных движений рез-

спектра течений S_u(f, z), которые по своему про-

ко убывает по мере удаления от частоты пика f_p.

исхождению занимают широкую полосу частот

Поэтому низко- и высокочастотные участки (f <

[f_H - f_L] в области доминантного пика спектра

< 0.5f_p и f

> 1.5f_p) отфильтрованного спектра,

течений на частоте f_p (рис. 4б).

который нами отождествляется со спектром турбу-

Перечисленные особенности спектра волновых

лентных течений, практически совпадают с таковы-

орбитальных движений и их сравнение со спектрами

ми для спектра измеренных течений. Это позволя-

наведенных волнами течений отмечаются впервые.

ет использовать указанные участки спектра изме-

Видно, что простое вычитание S_W (f, z) из S_u(f, z),

ренных течений для дальнейшего анализа законов

согласно формуле (5), будет приводить к существен-

убывания интенсивности спектра турбулентных со-

ной изрезанности (вплоть до отрицательных значе-

ставляющих.

ний) искомого спектра турбулентности S_T (f, z) =

Отметим специально, что по методу фильтрации

= S_u(f, z)-S_W(f, z) в области частоты f_p, что физи-

спектры S_T (f, z) и S_F (f, z) тождественны не столь-

чески не приемлемо. Поэтому требуется особая тех-

ко физически, сколько математически. Поэтому да-

ника выполнения фильтрации волновых движений,

лее мы предпочитаем использовать именно обозна-

135

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 4. а) Спектр возвышений S_h(f) (сплошная) и спектр волновых орбитальных движений SW (f) (пунктирная) при

z = -10 см. б) Спектры течений на горизонте z = -10 см: Sz(f) (сплошная), орбитальных движений SW(f) (пунктир-

ная) и отфильтрованных турбулентных движений ST (f) (штриховая). Параметры волн: Hs = 5 см, f0 = 1.0 Гц

чение S_F (f, z) для описания турбулентных состав-

Поле возвратных течений, как известно, опреде-

ляющих течений и для оценки СтО турбулентных

ляется полем волновых движений и геометрией бас-

пульсаций σ_F (см. разд. 4).

сейна [2, 6]. Далее предполагается, что в силу мало-

сти градиентов фоновых течений U_iB по сравнению

Из сказанного выше видно, что процедура филь-

с таковыми для орбитальных волновых движений,

трации приводит к возникновению понятия ширины

они слабо влияют на интегральные турбулентные

спектра течений, которое далее будет неоднократно

характеристики течений u_i типа их СтО, а также

использоваться. Для его однозначности введем сле-

на интенсивность и форму спектров фильтрован-

дующее определение: ширина Δf_i спектра i-й ком-

ных компонент, по которым определяются величины

поненты течений S_i(f) есть величина горизонталь-

СтО σ_iF и СДТ ε.

ного отрезка на оси частот [f_Hi -f_Li], появляющаяся

в спектре S_iF (f) в результате фильтрации волновых

движений (рис. 4б).

4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

АНИЗОТРОПИИ ТЕЧЕНИЙ

В заключение раздела отметим, что средние зна-

чения компонент течений U_i = 〈u_i〉, наведенных вол-

нами (далее — «регулярных» течений) в данной ра-

4.1. Общие результаты

боте не приводятся и не рассматриваются по при-

чине их хаотичной изменчивости с изменением па-

Оценки стандартных отклонений σ_i и σ_iF вре-

раметров волн H_s, f_p и глубины горизонта измере-

менных рядов компонент течений u_i(t) будем назы-

ний z, что существенно снижает достоверность оце-

вать интегральными оценками турбулентности, на-

нок U_i. Этот факт обусловлен наличием возвратных

веденной волнами в воде. В таком случае разли-

(«фоновых») течений U_iB, сопоставимых, в нашем

чие величин σ_i (или σ_iF ) для различных компо-

случае, по величине с оценками регулярных тече-

нент (i = x, y, z) характеризует степень анизотропии

ний U_i.

рассматриваемых течений. В принятом здесь подхо-

136

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

де величины σ_i и σ_iF определяются по формулам

спектрального анализа:

∫

σ2i =

S_i(f)df,

fmin

(7)

∫

σ2iF =

S_iF (f)df,

fmin

в которых интегралы по спектру соответствуют

определению СтО для стационарных рядов [3, 5].

Пределы интегрирования снизу определяются ниж-

ней частотной границей оценки спектров, а сверху —

границей появления измерительных шумов в высо-

кочастотной области спектра. В нашей работе при-

нято f_min = 0.01 Гц и f_max = 15 Гц. Результаты

оценок σ_i и σ_iF по формулам (7) в случае регуляр-

ных механических волн показаны на рис. 5-7 для

различных параметров волн и глубин. Аналогичные

результаты для нерегулярных механических волн не

приводятся, чтобы не перегружать текст.

Анализ всех полученных оценок СтО для изме-

ренных и отфильтрованных течений выполнен раз-

дельно, поскольку они описывают разные течения.

Основные выводы такого анализа для обоих видов

механических волн приведены в разд. 4.2 и 4.3.

4.2. Стандартные отклонения измеренных

течений

1. СтО рядов измеренных течений, σ_x, σ_y и σ_z, в

случаях как регулярных, так и нерегулярных меха-

Рис. 5. (В цвете онлайн) Стандартные отклонения изме-

нических волн значительно (в 1.5-2 раза) различа-

ренных течений и их турбулентных составляющих, σi и

ются между собой по величине, что свидетельствует

σiF , для случая регулярных волн на глубине z = -10 см

о существенной анизотропии наведенных течений в

в точке P2 = 12 м: а — f0 = 1.5 Гц; б — f0 = 1.0 Гц; в —

целом.

f0 = 0.7 Гц. Линии: 1 — σx; 2 — σxF ; 3 — σy ; 4 — σyF ;

5 — σz; 6 — σzF; 7 — параметризация σzF-par по форму-

2. При доминантной частоте волн f₀ = 1.5 Гц

лам (10)-(12). На панели а линии 3, 4 и 6, 7 совпадают по

соотношения σ_x , σ_y и σ_z немонотонно изменяются

причине близости цифровых значений

с ростом высоты волн H_s (рис. 5а, 6а, 7а). Умень-

шение значений σ_i для высот волн H_s > 6 см при

f0 = 1.5 Гц связано с их обрушением, наступаю-

битальных движений вдоль оси y и свидетельствует

щим для этих параметров волнения и отсутствую-

о существовании сильной горизонтальной анизотро-

щим при частотах f₀ ≤ 1.0 Гц (см. анализ далее).

пии течений, наведенных длинными волнами (когда

3. При f₀ ≤ 1.0 Гц величины σ_x и σ_z близки друг

доминантная длина волны превышает глубину слоя

к другу, монотонно растут с ростом H_s и превыша-

воды, 2π/k_p ≥ D).

ют величину σ_y в 1.5-4 раза, поскольку зависимость

σy от Hs крайне слаба (линии 3 на рис. 5б,в, 6б,в,

4. Зависимость σ_x и σ_z от глубины z с ошибкой

7б,в). Этот результат отражает факт отсутствия ор-

порядка 10% близка к экспоненциальной, ожидае-

137

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 7. То же, что на рис. 5, но для z = -30 см

Рис. 6. То же, что на рис. 5, но для z = -20 см

мой для амплитуд орбитальных движений потенци-

Общий анализ результатов для обоих видов механи-

альных волн, т. е.

ческих волн позволяет заключить следующее.

для горизонтальных тече-

1. Значения σ_xF и σ_yF

σ_x,z ∝ exp(k_pz).

(8)

ний близки по величине друг к другу и в 1.5-3 раза

больше величины σ_zF , т. е. имеет место сильная и

Величина σ_y также убывает с ростом z, но не про-

устойчивая анизотропия турбулентности в направ-

являет зависимости вида (8).

лениях горизонтального и вертикального движений.

2. При значениях доминантных частот волн f₀ ≤

4.3. Стандартные отклонения турбулентных

≤ 1.0 Гц относительный вклад энергии турбулент-

составляющих течений

ных составляющих, (σ_iF /σ_i)², в кинетическую энер-

гию течений не превышает 15-30 % (в зависимости

СтО турбулентных составляющих течений σ_iF

от степени обрушений), что свидетельствует о пре-

приведены на рис. 5-7 штриховыми линиями 2, 4, 6

валирующей роли волновых движений в наведенных

(в качестве примера только для регулярных волн).

течениях (см. рис. 2).

138

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

3. Степень указанной в этом разделе в пунк-

глубины z достаточно точно передается экспоненци-

те 1 горизонтально-вертикальной анизотропии тур-

альной зависимостью вида (9) при постоянном зна-

булентности снижается по мере роста высоты волн

чении cΔfz, разном для различного вида волн. Од-

H_s и глубины z.

нако параметризация зависимости СтО от амплиту-

ды волн a₀ и их крутизны δ = a₀k_p оказалась более

4. По аналогии со свойством 2 этого раздела на-

сложной. Для этой цели, в соответствии с отмечен-

блюдается немонотонность роста σ_iF с ростом высот

ными ранее свойствами в разд. 2 и в разд. 4 для СтО

волн, связанная с их обрушениями.

течений, потребовался учет интенсивности обруше-

5. Регулярность зависимости σ_iF от параметров

ний Br как параметра волнения, который может су-

системы H_s, f₀, z, позволяет дать полуфеноменоло-

щественно влиять на оценку СтО cΔfz , понижая ее

гическую параметризацию σ_iF , которая может быть

величину.

пригодна для проверки теоретических моделей на-

В результате подбора выражения для фактора

веденной волнами турбулентности [17-19].

c0z(Br) параметризация для σ_zF принимает вид

δf_pa₀ exp(-cΔfk_p|z|)

σ_zF = c₀

(10)

4.4. Параметризация стандартных

c₁ + δ + c_bBr

отклонений турбулентных составляющих

где для регулярных волн

течений

c₀ = 2, c₁ = 0.2, c_b = 1, cΔf

= 0.5,

(11)

С учетом предсказаний потенциальной теории

об экспоненциальном убывании волновых ампли-

а для нерегулярных волн

туд с глубиной в качестве основы для параметриза-

ции СтО турбулентных составляющих можно взять

c₀ = 10, c₁ = 0.4, c_b = 1, cΔf = 1.

(12)

формулу

Значения σ_zF для регулярных волн, получен-

σiT ≡ σiF = c0iδfpa0 exp(cΔfikpz),

(9)

ные по параметризации (10), (11), нанесены на

рис. 5-7 в виде пунктирной линии 7, обозначенной

где δ = a₀k_p — крутизна волн на поверхности, а без-

как σ_zF-par. Видно, что различие значений σ_zF-par

размерные подгоночные параметры c0i и cΔfi мо-

и σ_zF не превышает в среднем 10% от текущего зна-

гут содержать дополнительные зависимости от па-

чения σ_zF , что свидетельствует о хорошей точности

раметров системы. Здесь нижний индекс «Δf» па-

параметризации (10)-(12). Этот результат закрыва-

раметра cΔfi означает зависимость интенсивности

ет первую из задач работы.

уменьшения σ_iF с ростом глубины от ширины Δf

В заключение раздела отметим, что, согласно со-

спектра течений, различной для регулярных и нере-

отношениям (10)-(12), интенсивность турбулентно-

гулярных волн.

сти, порождаемой волнами с узким спектром, убы-

Для определенности проведем конкретизацию

вает с глубиной медленнее, чем та, что порождается

выражения (9) для СтО вертикальной компоненты

волнами с широким спектром при том же значении

турбулентной составляющей скорости σ_zF , которая,

частоты пика f_p. Этот эффект, очевидно, обуслов-

согласно рис. 5-7, проявляет наиболее простое пове-

лен тем, что энергия волн с узким спектром затуха-

дение. Параметризации σ_xF и σ_yF могут быть полу-

ет с глубиной медленнее, чем энергия волн с широ-

чены из (9) путем дополнительного уточнения мно-

ким спектром при той же f_p в силу большей доли в

жителей c0i и параметров cΔfi.

широком спектре компонент с частотами выше f_p,

которые более быстро убывают с глубиной (пропор-

Необходимый для подбора значений c0i и cΔfi

ционально exp[-2(2πf)²|z|/g]).

набор значений параметров волн a₀, f_p, k_p, δ был

В дальнейшем представляет интерес специаль-

получен нами путем анализа формы спектров для

ная эмпирическая проверка как указанной зависи-

временных рядов уровня волновых возвышений по-

мости интенсивности турбулентности на фиксиро-

верхности, η(t). Эти параметры волн, включая и ин-

ванной глубине от ширины спектра волн, так и вли-

тенсивность их обрушений Br, приведены в табл. 1.

яния понижающего фактора обрушений Br на ин-

Первые оценки подгоночных параметров c0i и

тенсивность турбулентности в слое воды под волна-

cΔfz показали, что убывание величины σ_zF с ростом

ми при заданных их параметрах.

139

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

5. СПЕКТРЫ ТЕЧЕНИЙ

4. Чем ниже доминантная частота волн f_p, тем

шире спектр течений при тех же форме спектра

Поскольку характеристики спектров тече-

волн и значении a₀.

ний весьма разнообразны, круг вопросов для их

5. Чем шире спектр течений на заданной глу-

описания должен быть сужен до круга задач, по-

бине z и при фиксированной величине f_p, тем выше

ставленных в работе (см. Введение). Поэтому здесь

интенсивность хвоста спектра S_iF (см. рис. 4б) и ве-

мы ограничимся кратким описанием взаимосвязи

личина σ_iF .

ширины спектра течений с параметрами волнения и

турбулентности и подробно остановимся на анализе

На данном этапе исследований точное количе-

законов резкого убывания спектров S_iF . С целью

ственное выражение упомянутых в пунктах 1-5 за-

исключения малоинформативных значений спектра

висимостей не принципиально. Здесь важен лишь

на низких частотах и высокочастотных шумов об-

факт их существования, дающий направление для

ласть построения спектров на рисунках приведена

параметризации величины Δf. При этом, с уче-

в диапазоне частот 0.1 ≤ f ≤ 15 Гц.

том влияния ширины спектра на скорость убы-

вания интенсивности турбулентности с глубиной,

в качестве фактора cΔf в показателе экспоненты

exp(-cΔf k_p|z|) следует искать представление вели-

5.1. Ширина спектра течений и ее

чины cΔf в безразмерном виде.

параметризация

Из соображений размерности и с учетом эффек-

тов 1-4 параметризация безразмерного фактора ши-

В разд. 3 было показано, что ширина спектра те-

рины спектра cΔf в терминах параметров системы

чений Δf как физический параметр задачи, появля-

a₀, f_p, z может быть представлена в виде

ется при проведении процедуры фильтрации волно-

вых компонент скорости. Изменяясь с амплитудой

√a₀g

волн a₀, частотой пика f_p и глубиной z, величина Δf

cΔf ∼

(13)

zf_p

существенно сказывается на интенсивности турбу-

лентных пульсаций скорости в толще воды, характе-

где g — ускорение силы тяжести. Именно соотноше-

ризуемых величинами σ_iF . Пример такого влияния

ние (13) используется при построении дальнейшей

виден из формул (10)-(12) для регулярных и нере-

параметризации скорости диссипации турбулентно-

гулярных волн. Как будет показано ниже, величина

сти, наведенной волнами.

Δf сказывается и на скорости убывания с глуби-

ной величины скорости диссипации турбулентнос-

ти ε. Поэтому представляется важным дать пара-

5.2. Законы убывания интенсивности

метризацию величины Δf как функцию параметров

спектров

системы a₀, f_p, z.

В этом разделе мы рассмотрим формы частот-

Визуальный анализ совокупности оценок спект-

ров течений для всего набора вариантов волн (см.

ных спектров для горизонтальных и вертикальной

компонент скорости, S_x,y(f) и S_z(f), в области как

табл. 1) позволяет выделить следующие эффекты,

связанные с величиной частотной ширины спектра,

низких, так и высоких частот, акцентируя основное

внимание на выявлении участков со степенным за-

определенной на уровне отсечения пика, соответ-

коном убывания интенсивности спектров с частотой

ствующего волновым движениям (см. определение

вида

Δf в конце разд. 3).

S_i(f) ∝ f^-n.

(14)

1. Спектр течений, наведенных волнами, всегда

намного шире спектра волнения (см. рис. 3а,б).

При этом, согласно сказанному выше о фильтрации

волновых движений (разд. 3), участки спектров из-

2. Чем глубже проникают волны с заданной час-

меренных течений S_i(f) в областях f < 0.5f_p и f >

тотой пика спектра f_p, тем уже спектр наведенных

> 1.5f_p будут рассматриваться как спектры турбу-

течений (см. рис. 4а).

лентных движений. Далее эти области частот будут

3. Чем больше амплитуда волн a₀ при фиксиро-

именоваться соответственно как НЧ- и ВЧ-области

ванной величине f_p, тем шире спектр течений (см.

спектров. Поскольку динамика формирования тур-

рис. 4б).

булентности в НЧ- и ВЧ-областях в принципе может

140

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

Рис. 8. Спектры Sx(f) (сплошные линии), Sy(f) (штриховые) и Sz (f) (пунктирные) для варианта Hs = 5 см, f0 = 1.0 Гц:

а — z = -10 см; б — z = -30 см

быть различной, далее, следуя традиционному под-

друг к другу и значительно превышают интенсив-

ходу [13-15], мы ограничимся детальным анализом

ность спектра S_z(f) (в соответствии со свойством 1

только ВЧ-областей спектров, оставляя их анализ в

разд. 4.3).

НЧ-области для дальнейшего изучения.

Но главное различие спектров горизонтальных и

вертикальной компонент скорости заключается в за-

Переходя к описанию формы спектров, сразу же

конах их убывания. Как видно из рис. 8а,б, в ВЧ-об-

отметим, что в нашем эксперименте для случаев ре-

ласти параметр n закона убывания (14) для спект-

гулярных волн с доминантной частотой f_p = 1.5 Гц

ров S_x(f) и S_y(f) имеет величину n ≈ 1.6, близ-

спектры течений не имеют участков со степенным

кую к параметру спектра Колмогорова - Обухова с

законом убывания вида (14) ни для какой из компо-

величиной n = 5/3 [7]. Этот результат не нов, по-

нент скорости и на всех горизонтах. Для частот f_p ≤

скольку такое же значение n для спектров горизон-

≤ 1 Гц степенные законы убывания интенсивности

тальных компонент течений отмечалось и в работах

спектров S_i(f) вида (14), как правило, имеют место.

[4, 5, 13-15].

Для нерегулярных волн степенные участки в ВЧ-об-

ласти спектров наблюдаются при всех рассмотрен-

В то же время для спектра вертикальных ком-

ных параметрах волн.

понент скорости S_z(f) значение n имеет величину

2.0 ± 0.1 (см. рис. 8, 9), т. е. при f > 2f_p выполняет-

Далее в качестве примера приводятся только

ся соотношение

случаи регулярных волн.

Типичное соотношение форм и интенсивности

S_z(f) = Cf-2,

(15)

спектров трех компонент течений, S_x(f), S_y(f) и

S_z(f), для параметров волн H_s = 5см, f₀ = 1.0 Гц

которое эмпирически установлено впервые. При

и глубин z = -10, -30 см показано на рис. 8. Вид-

этом для течений, наведенных регулярными волна-

но, что в ВЧ-области интенсивности спектров гори-

ми, закон убывания вида (15) устойчиво имеет ме-

зонтальных компонент S_x(f) и S_y(z) всегда близки

сто лишь при частотах пика волн f_p ≤ 1 Гц. Для

141

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 9. a) Спектры Sz (f) на горизонтах z = -20 и z = -30 см для варианта Hs = 5 см, f0 = 1.0 Гц. б) Спектры Sx(f)

(сплошные линии), Sy(f) (штриховые) и Sz (f) (пунктирные) для варианта Hs = 15 см, f0 = 1.0 Гц и z = -20 см

нерегулярных механических волн спектры S_z(f) с

туации с ветровыми волнами на поверхности воды.

участками вида (15) наблюдаются при всех частотах

Для механических волн такие особенности спектров

пика волн f_p для всех значений амплитуд волн a₀ и

течений приводятся впервые. Поскольку в настоя-

глубин z (см. детали ниже в табл. 2). Далее имен-

щее время механика формирования турбулентности

но такие спектры будут анализироваться на предмет

в НЧ-области в присутствии волн изучена намного

оценивания СДТ.

меньше, чем в ВЧ-области, далее этот вопрос не об-

суждается, а основное внимание традиционно будет

Вместе со сказанным, с целью полноты картины,

уделено ВЧ-области спектров течений.

следует отметить и степенную форму спектра S_z(f)

в НЧ-области (f < 0.5f_p), подчеркнутую прямыми

линиями на рис. 9. Из них видно, что в НЧ-области

6. АНАЛИЗ СПЕКТРОВ Sz(f ) В

в спектрах S_z(f) имеют место степенные зависимос-

ВЧ-ОБЛАСТИ И ОЦЕНКИ СДТ

ти с законами (14) при значениях n ≈ 1.6 с разбро-

сом порядка ±0.3 для различных вариантов волн.

6.1. Анизотропия формы спектров и

Важно, что такие степенные участки имеют место

определение СДТ

только при достаточно больших глубинах измере-

ний (z ≤ -20 см). Чем глубже горизонт измерения,

Степенная форма спектров интересна тем, что

тем шире область степенных участков распростра-

она позволяет оценить такую важную характерис-

няется в сторону низких частот. Существенно, что в

тику, как скорость диссипации кинетической энер-

спектрах горизонтальных компонент скорости S_x(f)

гии турбулентности (СДТ), зависимости которой от

и S_y(f) такие участки, как правило, выражены сла-

параметров системы можно использовать для про-

бее или полностью отсутствуют (рис. 9б).

верки теоретических моделей явления [16-18]. Пара-

метризация такого рода эмпирических зависимостей

Степенные участки в НЧ-области спектров тече-

представляет собой вторую из задач нашей работы.

ний, наведенных волнами, отмечались и ранее, на-

Поскольку в ВЧ-области степенные законы убыва-

пример, в работах [4,5,20], где рассматривались си-

ния интенсивности спектров для горизонтальных и

142

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

вертикальной компонент течений существенно раз-

рии, указанную аналогию следует принять «априор-

личаются, их анализ также требует различного под-

но», до появления альтернативы. В силу сказанного,

хода.

здесь мы будем «априорно постулировать» хаотиче-

ские изменения во времени вертикальной скорости

Интенсивности спектров горизонтальных компо-

u_z(t), наблюдаемой в точке изучаемой системы, как

нент S_x(f) и S_y(f) убывают по закону «-5/3», ха-

результат проявления хаотизированных орбиталь-

рактерному для изотропной турбулентности Кол-

ных волновых движений, разрушенных их гидроди-

могорова - Обухова, порождаемой течениями при

намической неустойчивостью. Такой постулат дает

больших числах Рейнольдса [7]. Для их анализа

некоторое феноменологическое (пока не полное) ос-

принято привлекать соотношения вида [3-5,20]

нование для установления аналогии спектра лагран-

жевой турбулентности и наблюдаемой формы спект-

S_x,y(f) = Cf-5/3 = C_KOε2/3f-5/3U2/3,

(16)

ра.

где ε — интересующая нас величина СДТ, U — сред-

Приняв указанный постулат как гипотезу и учи-

няя скорость течения, а C_KO — безразмерная конс-

тывая размерности частотного спектра [S_u(f)] =

танта [3,5,24]. В формуле (16) для связи с классичес-

= L²T-1 и СДТ [ε] = L²T-3, запишем эмпирическое

ким представлением спектра в k-пространстве ис-

соотношение (15) в виде

пользуются соотношение f = kU/2π и гипотеза «за-

мороженной турбулентности» Тейлора [3-5]. Приме-

S_z(f) = C_pεf-2,

(17)

нение этой гипотезы базируется на факте существо-

вания средней скорости U «тейлоровского» перено-

в котором безразмерная величина C_p принимает-

са. В нашем случае такой подход оказался невоз-

ся фиксированной для имеющейся геометрии систе-

можным по причине низкой достоверности опреде-

мы, т. е. она неизменна при всех параметрах систе-

ления эмпирической средней продольной скорости

мы. Так как величина C_p имеет только нормировоч-

U_x (см. замечания в конце разд. 3).

ный характер, на данном этапе для простоты оценок

примем

В силу указанных обстоятельств для получе-

ния оценки СДТ остается лишь анализ степенных

C_p = 1.

(18)

участков спектров вертикальной компоненты тече-

ний S_z (f), которые в ВЧ-области имеют вид (15),

Заметим, что модельная формула (17), как тако-

т. е. S_z (f) ≈ Cf-2. Здесь C — размерный множи-

вая, вполне применима для целей определения за-

тель, который нужно выразить через величину СДТ

висимости ε от параметров системы даже без точ-

ε_z (с целью простоты записи индекс «z» при ε_z да-

ного значения коэффициента C_p. Здесь принципи-

лее опускается). Поскольку такая задача ставится

ально важно, что модельное представление спектра

впервые, для ее решения потребуется привлечение

течений вида (17) абсолютно совпадает с экспери-

ряда гипотез и модельных построений, излагаемых

ментальным результатом (15), тем самым обеспечи-

ниже.

вая инструмент для эмпирического определения ис-

комой зависимости ε(a₀, f_p, z).

6.2. Модельная интерпретация степенного

спектра вида (15)

6.3. Оценки скорости диссипации

турбулентности

Спектр течений вида S(f) = Cf-2 известен в

статистической гидродинамике как спектр лагран-

Использование формул (17), (18) для оценки ве-

жевой турбулентности [7, 24]. В нашем случае эм-

личины ε очевидно. Зафиксировав некоторую часто-

пирический спектр S(f) = Cf-2 получен для фик-

ту f_F в области участка спектра вида (17), напри-

сированной точки на основе измерений в эйлеровой

мер, f_F = 10 Гц, по графику спектра определяем ве-

системе координат. По причине совпадения эмпири-

личину S_z(f_F ) = S_z(10 Гц) ≡ S₁₀ и получаем оценку

ческого спектра и теоретического спектра лагран-

жевой турбулентности возникает задача теоретиче-

(19)

ε = f2FS₁₀/C_p = f2pS₁₀.

ски обосновать их аналогию.

Ввиду пионерского характера эмпирического ре-

Если в будущем потребуется согласование по-

зультата и отсутствия в настоящее время его тео-

лученных таким образом значений ε с величинами

143

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

СДТ для других компонент скорости, то коэффици-

ния ширины спектра на его интенсивность в ВЧ-об-

ент C_p можно использовать в качестве эмпирическо-

ласти (см. свойства 1-5 в разд. 5.1) и с привлечением

го подгоночного параметра в общей формуле (17).

формулы (13), величина c_Δ была детализирована в

Сейчас этот вопрос не актуален и по этой причине

виде

не обсуждается.

c₂(zf_p)

c_Δ =

(21)

Оценки значений ε, полученные по формуле (19)

cΔf

√a₀g

для всех случаев, когда спектры S_z(f) имеют закон

с подгоночной константой с₂. Кроме того, для уси-

убывания (15), приведены в табл. 2 вместе с номера-

ления зависимости от глубины безразмерный коэф-

ми экспериментов, используемых для их идентифи-

фициент C₀(a₀, f_p, z) был детализирован в виде

кации параметров волн по табл. 1. Анализ, постро-

енный с привлечением данных о параметрах волн,

позволяет заключить следующее.

C₀(a₀, f_p, g, z) = c_ε(a₀/z)

(22)

Величина СДТ как функция параметров систе-

с подгоночной константой c_ε.

мы ε(a₀, f_p, z) резко растет с величиной амплитуды

В итоге, при оптимальном выборе степени кру-

волны a₀, заметно уменьшается с уменьшением час-

тизны c_δ = 1, конечная полуэмпирическая парамет-

тоты пика f_p и убывает с ростом глубины z. Регу-

рическая формула для СДТ приобретает вид

лярность упомянутых зависимостей позволяет най-

ти их аналитическую параметризацию, сбалансиро-

ванную по размерности (типа формулы (1)).

ε = c_εδ[a₀f_pg](a₀/z)exp(c_Δk_pz)

(23)

с подгоночными константами c_ε = 0.01 и с₂ = 3 для

величины c_Δ, заданной формулой (21).

6.4. Параметризация функции ε(a₀, f_p, z)

Результаты оценок ε по формуле (23) помещены

При построении параметризации для СДТ бу-

в табл. 2 (курсивом) рядом с эмпирическими зна-

дем исходить из предписываемого теорией экспонен-

чениями ε. Видно, что для экспериментов VII-XI

циального убывания интенсивности турбулентности

качественно, а для экспериментов XIV-XIX и коли-

σiF с глубиной и ее зависимости от крутизны волн

чественно (со средней ошибкой порядка 30 %) фор-

(формула (9)), а также из указанного сильного ро-

мула (23) передает все эмпирические зависимости

ста СДТ с ростом их амплитуды (табл. 2).

ε(a₀, f_p, z). Заметим, что параметризация (23) в за-

писи ε₁ ≈ (a₀f_p)³/z близка к таковой для пристеноч-

Тогда в терминах параметров системы a₀, f_p, k_p и

ной трубулентности, записанной в виде ε₂ ≈ 2u3∗w/z,

величины g из соображений размерности можно за-

откуда следует, что ε₁ превышает ε₂ на 1-2 порядка

писать общую форму для представления ε(a₀, f_p, z)

в зависимости от стадии развития волн (см. также

в виде

работы [4,5]). Этот результат завершает решение по-

ставленной задачи.

ε(a₀, f_p, z) =

= C₀(a₀, f_p, g, z)δcδ[a₀f_pg] exp(c_Δk_pz),

(20)

7. ОБСУЖДЕНИЕ

где C₀(a₀, f_p, g, z) — безразмерная функция, позво-

ляющая варьировать зависимость ε от параметров

Обсудим ряд ключевых моментов работы, нуж-

системы; подгоночные константы c_δ и c_Δ отражают

дающихся в пояснении.

соответственно степень зависимости ε от крутизны

1. Поскольку в спектрах наведенных волнами

волн и скорость ее убывания с глубиной, зависящей

течений содержатся как волновые, так и турбу-

от ширины спектра турбулентных течений; выраже-

лентные частотные составляющие, для изучения по-

ние в квадратных скобках дает размерность СДТ ε.

следних нужна фильтрация волновых компонент

Первые пробы показали, что при постоянном

спектра. Но каждая из волновых частот убывает

значении C₀(a₀, f_p, g, z) для рассматриваемых глу-

по глубине z со своим декрементом в экспонен-

бин и величин k_p формула (20) плохо соответствует

те exp(-2ω²|z|/g), поэтому указанная фильтрация

эмпирической зависимости ε(z) для различных f_p.

должна выполняться в спектральном представле-

По этой причине, с учетом описанного выше влия-

нии и никак иначе [4, 23].

144

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Детальный анализ показывает, что форма спект-

шается с ростом интенсивности обрушений волн Br.

ров волновых движений, задаваемая теоретической

В силу качественного (визуального) оценивания ве-

формулой (6), намного интенсивнее в пике и гораз-

личины Br роль обрушений в формировании турбу-

до уже наблюдаемой формы спектра течений в об-

лентности, наведенной волнами, требует более тща-

ласти доминантного пика спектра волн. Это озна-

тельного количественного изучения в дальнейших

чает, что в реальности спектр волновых движений

экспериментах.

уширятся за счет снижения (теоретического) пико-

Важно, что построенная параметризация зави-

вого значения. Поэтому простое теоретическое вы-

симости величины σ_zF от параметров системы мо-

читание по формуле (5) становится неприменимым,

жет быть использована для верификации теоретиче-

и нужна иная процедура фильтрации, обеспечиваю-

ских моделей явления типа построенных в работах

щая монотонно убывающую интенсивность спектра

[16-18]. В дальнейшем возможно уточнение пара-

турбулентности, в котором нет выделенных масшта-

метризации σ_zF , ее детализация и расширение для

бов.

СтО турбулентных составляющих всех компонент

Такая процедура фильтрации волновых компо-

течений, наведенных волнами.

нент, основанная на отсечении доминантного пика

3. Горизонтально-вертикальная анизотропия на-

спектра течений, была детализирована и реализова-

веденной волнами турбулентности, установленная в

на в разд. 3. Она легко осуществима практически,

терминах σ_iF , подтверждается и различием форм

приводит к монотонно убывающим спектрам турбу-

частотных спектров S_x,y(f) и S_z(f) для горизон-

лентности и физически непротиворечивым резуль-

тальных и вертикальной компонент скорости.

татам, о чем свидетельствуют все полученные в ра-

боте количественные оценки. Более полный анализ

В работе основное внимание сфокусировано на

проблемы фильтрации требует отдельного рассмот-

формах этих спектров в области частот, превыша-

рения.

ющих частоту пика f_p спектра волн, порождаю-

щих течения. Эта область частот определяется как

2. В работе установлено, что степень и харак-

ВЧ-область, в которой f > 2f_p.

тер анизотропии наведенных волнами течений су-

щественно зависят от характера рассматриваемых

Эмпирически установлено, что в ВЧ-области

спектры горизонтальных турбулентных компонент

движений: до фильтрации и после нее.

скорости, S_x(f) и S_y(f), убывают по закону «-5/3»,

Так, СтО для измеренных компонент скорости

соответствующему классической турбулентности

(без фильтрации) σ_x и σ_z на глубинах z ≤ -20 см

Колмогорова - Обухова [7]. Но для вертикальной

близки друг к другу по величине, но заметно превы-

компоненты скорости, индуцированной регуляр-

шают величину σ_y. Эта форма анизотропии не нова.

ными волнами, при частотах пика f_p

≤ 1.0 Гц

Она объясняется превалированием в течениях энер-

реализуется закон убываания «-2» (формула (15)).

гии волновых компонент (более 70 % энергии), ор-

Для нерегулярных механических волн такой закон

битальные движения которых имеют двумерный ха-

наблюдается при всех параметрах волнения.

рактер движений, сосредоточенный в плоскости xz.

Указанный эмпирический результат установлен

Для турбулентных составляющих течений уже

впервые, поэтому его теоретическая трактовка в на-

величины СтО горизонтальных компонент σ_xF и

стоящее время отсутствует. С целью продвижения

σ_yF близки друг к другу, но обе в разы превышают

в этом направлении нами предлагаются следующие

СтО вертикальной компоненты σ_zF . Это означает,

построения.

что в системе наведенной волнами турбулентности

Для оценки СДТ из частотных спектров гори-

имеет место горизонтально-вертикальная анизотро-

зонтальных компонент скорости с законами убыва-

пия с сохранением изотропии турбулентности толь-

ния «-5/3» вполне применим подход «заморожен-

ко в горизонтальной плоскости.

ной турбулентности» Тейлора, обоснованный в ра-

На примере количественных оценок СтО вер-

боте [3] и апробированный для случая волн на воде

тикальной компоненты турбулентных течений σ_zF

в работах [4,5,14,15,20]. Этот подход требует надеж-

впервые построена ее параметризация (10)-(12). По-

ной оценки средней скорости U «тейлоровского» пе-

казано, что величина σ_zF пропорциональна кру-

реноса (формула (16) в разд. 6.1). В нашем случае

тизне волн δ, экспоненциально убывает по z с де-

такой подход реализовать не удается по причине ма-

крементом, зависящим от ширины спектра, и умень-

лой достоверности оценок средних горизонтальных

146

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Характеристики турбулентности. . .

течений. Причиной этому является зашумленность

ждений и доработки. Тем не менее приведенное вы-

средних течений фоновыми возвратными течения-

ше сравнение с результатами иных работ придает

ми в лотке (см. разд. 3). Поэтому оценки СДТ были

найденной параметризации (23) значимую достовер-

выполнены только для спектра вертикальных ком-

ность.

понент течений вида S_z (f) ∝ f-2.

5. Отдельно следует отметить эффект влияния

С целью решения задачи определения СДТ по

ширины спектра наведенных волнами течений на

интенсивность турбулентности (формулы (10)-(12),

спектрам с законами убывания «-2» из соображе-

ний размерности выписаны формулы (17), (18), тео-

(21), (23)). Этот эмпирический эффект отмечается

ретически обоснованные для лагранжевой турбу-

первые. В дальнейшем он представляет самостоя-

лентности [7, 24]. Несмотря на то что физическое

тельный интерес для детального экспериментально-

обоснование формул (17), (18) для полученных в ра-

го и теоретического изучения.

боте эмпирических спектров S_z(f) ∝ f² в настоящее

время отсутствует, эти формулы принимаются как

феноменологическая гипотеза, на основе которой за-

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

дача оценки СДТ находит свое решение.

В сжатом виде полученные результаты заключа-

4. Для всех случаев, когда спектры вида S_z(f) ∝

ются в следующем.

∝ f-2 имеют место (см. табл. 2), с применением

формул (17)-(19) выполнены оценки СДТ ε. Уста-

1. Предложена феноменологическая процедура

новлено, что величина ε резко растет с ростом ам-

фильтрации волновых составляющих из полных из-

плитуды волн a₀, заметно убывает с уменьшением

меренных течений, основанная на отсечении доми-

их доминантной частоты f_p и уменьшается с рос-

нантного волнового пика в спектре течений.

том глубины z. Из соображений размерности полу-

чена полуэмпирическая формула (23), которая ка-

2. Рассчитаны стандартные отклонения для из-

чественно передает все установленные зависимости

меренных и турбулентных составляющих трех ком-

ε(a₀, f_p, z), отраженные в табл. 2.

понент скорости течений, соответственно σ_i и σ_iF

(i = x, y, z). Показано, что степень и характер ани-

Найденная параметризация ε(a₀, f_p, z) может

зотропии наведенных волнами течений существенно

быть использована для проверки теоретических

зависят от характера рассматриваемых движений:

моделей типа приведенных в работах [16-18]; кроме

до фильтрации и после нее.

того, она позволяет проследить и отдельные асимп-

тотики. Например, согласно (23), зависимость ε(a₀)

Для измеренных течений величины σ_x и σ_z близ-

близка к кубической зависимости от амплитуды

ки друг к другу, но в 1.5-4 раза превышают σ_y,

волн a₀ (на фиксированной глубине z) вида (2),

т. е. имеет место горизонтально-поперечная анизо-

впервые найденной в работе [12]. Однако, с учетом

тропия, обусловленная двумерным характером вол-

изменения глубины, зависимость ε(a₀) усиливается

нения и превалирующей ролью волновых движений

на фактор, зависящий от ширины спектра течений

в наведенных течениях (более 70 % энергии).

Δf, которая, в свою очередь, зависит от a₀ и z

Для величин σ_iF , характеризующих интенсив-

(формула (21)). Этот результат не имеет аналогов.

ность отфильтрованных турбулентных движений,

Что касается зависимости СДТ от глубины изме-

установлена сильная горизонтально-вертикальная

рений, для малых глубин зависимость ε(z) по фор-

анизотропия, описываемая соотношением σ_xF

≈

муле (23) близка к обратной по z, что соответствует

≈ σ_yF ≥ (1.5-3)σ_zF.

результату работы [15] (см. формулу (3) Введения

3. Горизонтально-вертикальная анизотропия

и последующий текст). Сопоставление формул (3)

турбулентности проявляется и в различии форм

и (23) позволяет заметить, что использование толь-

частотных спектров для горизонтальных и верти-

ко степенной зависимости в формуле (3) для описа-

кальной компонент скорости. Интенсивности S_x(f)

ния ε(z), по-видимому, имеет очень ограниченную

и S_y(f) близки друг к другу, но намного превышают

область применимости. Этот вопрос также нужда-

интенсивность S_z(f), особенно в области частот f,

ется в дальнейшем выяснении.

превышающих удвоенную частоту пика спектра

Столь детальное описание оценок СДТ получе-

волн f_p, которая определяется как ВЧ-область

но впервые, и в дальнейшем оно потребует подтвер-

спектра.

147

10*

В. Г. Полников, Ф. Цяо

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Установлено, что в ВЧ-области интенсивнос-

ЛИТЕРАТУРА

ти спектров горизонтальных турбулентных компо-

нент скорости, S_x(f) и S_y(f), убывают по зако-

G. G. Stokes, Trans. Cambr. Phil. Soc. 8, 441 (1847).

ну «-5/3», соответствующему классической турбу-

M. Longuet-Higgins, Phil. Trans. Roy. Soc. London

лентности Колмогорова - Обухова [7]. Но спектры

A 245, 535 (1953).

вертикальной компоненты скорости S_z(f) имеют за-

кон убывания «-2», описываемый формулой (15).

J. L. Lumley and E. A. Terray, J. Phys. Oceanogr.

Закон S_z(f) ∝ f-2 для регулярных волн реализует-

13, 2000 (1983).

ся при частотах пика f_p ≤ 1.0 Гц, а для нерегуляр-

ных волн — при всех параметрах волнения.

S. A. Kitaigorodskii, M. A. Donelan, L. Lumley, and

E. A. Terray, J. Phys. Oceanogr. 13, 1988 (1983).

Результат S_z(f)

∝ f-2 не имеет аналогов, а

его теоретическое обоснование в настоящее время

E. A. Terray, M. A. Donelan, Y. C. Agrawal et al., J.

отсутствует. Предложена феноменологическая ги-

Phys. Oceanogr. 26, 792 (1996).

потеза об аналогии наблюдаемого, S_z(f) ∝ f-2,

и лагранжева спектров турбулентности, позволяю-

T. S. Van den Bremer and Ø. Breivik, Phil. Trans.

щая указать направление возможного объяснения

Roy. Soc. London A 376, 20170104 (2017).

результатов.

A. S. Monin and A. M. Yaglom, Statistical Fluid Me-

chanics: Mechanics of Turbulence, Vol. 2, The MIT

4. Для спектров вида S_z(f) ∝ f-2 построена фе-

Press, Cambridge (1971).

номенологическая модель, позволяющая определять

скорость диссипации турбулентности (СДТ) ε (фор-

O. M. Phillips, The Dynamics of the Upper Ocean,

мулы (17)-(19)). Выполнены оценки ε, и из сооб-

Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK (1966).

ражений размерности получена полуэмпирическая

формула (23), качественно передающая все эмпири-

P. Janssen, The Interaction of Ocean Waves and

чески установленные зависимости СДТ от парамет-

Wind, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK

ров системы ε(a₀, f_p, z), представленные в табл. 2.

(2004).

Впервые обнаружен эффект влияния ширины

10.

O. Bühler, Waves and Mean Flows, Cambridge Univ.

спектра наведенных волнами течений на интенсив-

Press, Cambridge, UK (2014).

ность турбулентности и величину СДТ (формулы

(10)-(12), (21), (23)).

11.

F. Qiao, Y. Yuan, J. Deng et al., Phil. Trans. Roy.

Soc. London A 374, 20150201 (2016).

5. Все установленные эмпирические эффекты,

параметрические зависимости и их феноменологи-

12.

A. V. Babanin, Geophys. Res. Lett. 33, L20605

ческие трактовки нуждаются в дальнейшем уточ-

(2006).

нении, детализации и теоретическом обосновании.

13.

A. V. Babanin and B. K. Haus, J. Phys. Oceanogr.

39, 2675 (2009).

Благодарности. Авторы благодарны коллегам

из Первого института океанографии, Х. Ма (Hongyu

14.

A. Alberello, F. Frascoli, M. Onorato, and A. Toffoli,

Ma) и Ш. Чангу (Shumin Jiang) и студентам Ху Ван-

Wave Motion 84, 81 (2019).

гу (Xue Wang) и Чао Ли (Chao Li) за участие в про-

ведении экспериментов. Авторы также благодарны

15.

J. H. Lee, J. P. Monty, J. Elsnab et al., J. Phys.

анонимным рецензентам за их многочисленные за-

Oceanogr. 47, 1145 (2017).

мечания, позволившие значительно улучшить текст

статьи.

16.

A. Y. Benilov, J. Geophys. Res. 117, C00J30 (2012).

Финансирование. Работа частично поддержа-

17.

A. V. Babanin and D. Chalikov, J. Geophys. Res.

на Российским фондом фундаментальных исследо-

117, C06010 (2012).

ваний (грант №18-05-00161) и Китайским совмест-

ным фондом National Natural Science Foundation of

18.

W. Tsai, S. Chen, and G. Lu, J. Phys. Oceanogr. 45,

China (Grant No 41821004).

174 (2015).

148