ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 1, стр. 176-188

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ ВБЛИЗИ

ПОГЛОЩАЮЩЕГО СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА

В НЕРАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЕ

А. В. Филиппов^*

Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

ГНЦ РФ Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 сентября 2020 г.,

после переработки 23 сентября 2020 г.

Принята к публикации 28 сентября 2020 г.

Исследован вопрос о применимости столкновительной кинетической модели точечных стоков — линеа-

ризованной теории экранирования электрического поля заряженной пылевой частицы, построенной на

основе кинетических уравнений Власова для электронов и ионов в неравновесной плазме, дополненных

столкновительными членами в форме Бхатнагара - Гросса - Крука и эффективными точечными стока-

ми на пылевые частицы. Критерием применимости столкновительной кинетической модели точечных

стоков является малость отклонения концентрации электронов и ионов вблизи поглощающего сфериче-

ского тела от невозмущенных значений. Проведено сравнение распределений концентрации электронов

и ионов, полученных в рамках столкновительной кинетической модели точечных стоков и приближения

ограниченных орбит. Показано, что последнее применимо только в пределе низких давлений, а с ростом

давления кулоновская асимптотика потенциала, пропорциональная частоте столкновений электронов и

ионов с нейтральными атомами (молекулами), делает неприменимыми формулы приближения ограни-

ченных орбит для расчета распределения ионов. Установлено, что область применимости столкнови-

тельной кинетической модели точечных стоков близка к области применимости теории Дебая - Гюккеля.

DOI: 10.31857/S0044451021010132

те Мотт-Смит и Ленгмюра [21]. В работе [22] бы-

ла создана кинетическая теория сферического зон-

да в бесстолкновительной плазме и получены вы-

1. ВВЕДЕНИЕ

ражения для распределения потенциала электриче-

Кинетическое уравнение Власова широко ис-

ского поля, концентрации электронов и ионов во-

пользуется для описания свойств плазмы, когда на

круг поглощающего сферического зонда. В работе

первый план выходят коллективные эффекты вза-

[23] было показано, что эта теория имеет ограни-

имодействия электронов и ионов в неравновесной

ченную область применимости и при некоторых па-

плазме [1-6]. Эти уравнения находят применение и

раметрах плазмы и/или зонда не может правильно

при изучении свойств плазмы с частицами конден-

описать реакцию плазмы на сферический зонд (пы-

сированной дисперсной фазы микронных размеров

левую частицу). В работе [24] утверждалось, что в

[7-12]. Также сегодня в физике газовых разрядов

некоторых режимах работы сферического зонда в

одно из ведущих мест занимают зондовые методы

теории появляются мнимые значения концентрации

диагностики плазмы [13-20]. Для определения пла-

ионов, для устранения которых авторы предложили

вающего потенциала зонда, потенциала поверхности

модифицировать выражение для определения кон-

и заряда пылевых частиц широко используется при-

центрации ионов из работы [22].

ближение ограниченных орбит (ПОО) (orbit motion

Известно, что ПОО довольно точно предсказы-

limited (OML) approach), которое восходит к рабо-

вает потенциал поверхности небольших пылевых

^* E-mail: fav@triniti.ru

частиц, несмотря на упрощающее предположение о

176

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

{

бесстолкновительном характере движения электро-

ne0

n_e (r) =

1 + Erf

(√ϕ₀ - ϕ⁾ +

нов и ионов. Поэтому исследование границ примени-

√

(√

)

мости ПОО важно не только для развития теории

a²

ϕ₀ - ϕ

зондов, но и для физики пылевой плазмы, которая

Erfc

r²

1 - a²/r²

широко распространена в космосе и в лабораторных

[

]}

a²

условиях [25-32]. Отметим, что сами пылевые части-

× exp (ϕ₀ - ϕ)

exp(-ϕ),

(2)

r² - a²

цы могут использоваться для зондирования плазмы

[33]. Поэтому настоящая работа посвящена исследо-

где ϕ₀ = ϕ(r = a) ≡ -eφ₀/T_e, φ₀ — электростатичес-

ванию ограничений ПОО и пределов применимости

кий потенциал поверхности зонда, Erf(x) — интег-

линеаризованной кинетической теории экранирова-

рал ошибок [34-36]:

ния электрического поля заряженной пылевой час-

∫

тицы [7, 10].

Erf (x) =

e-t2 dt,

(3)

Работа построена следующим образом. В разд. 2

√π

приводятся выражения для распределений электро-

Erfc(x)

— дополнительный интеграл ошибок:

нов и ионов вокруг сферического зонда при разных

Erfc(x) = 1 - Erf(x).

характерах изменения распределения потенциала из

Далее приведем выражения для расчета распре-

работы [22]. Далее в разд. 3 приводятся основные

деления концентрации ионов для трех случаев по-

уравнения и соотношения столкновительной кине-

ведения потенциала в окрестности зонда, рассмот-

тической модели точечных стоков [7, 10] и в разд. 4

ренных в работе [22]. Рассматриваем только ио-

проводится сравнение данных, полученных в рам-

ны, совершающие инфинитное движение, так как

ках различных моделей: ПОО [22], модифицирован-

для появления совершающих финитное движение

ного ПОО [24] и линеаризованной кинетической тео-

ионов нужно включить столкновения или рассмот-

рии экранирования на основе уравнений Власова с

реть нестационарную задачу зарядки изолированно-

учетом столкновений и стоков электронов и ионов

го зонда (пылевой частицы), что является отдель-

[7, 10], которую ниже для краткости будем обозна-

ной задачей. В работе [22] рассмотрен вопрос о со-

чать аббревиатурой ЛКТЭ.

вершающих в притягивающем центре положительно

заряженного зонда финитное движение электронах

при преобладании столкновений с нейтральными

атомами (молекулами) газа с учетом большой раз-

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ

ницы масс электрона и атомов. В настоящей рабо-

ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ В

ПРИБЛИЖЕНИИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОРБИТ

те рассматривается случай отрицательно заряжен-

ной пылевой частицы, при этом финитное движение

могут совершать только положительные ионы, чья

Пусть распределение электронов вдали от зон-

масса сравнима с массой атомов или молекул газа.

да имеет максвелловский вид. Тогда распределение

Для такого случая нет аналитической теории для

электронов в отталкивательном поле зонда в от-

описания совершающих финитное движение ионов

сутствие поглощения описывается распределением

(см., например, работы [37-40]; в работе [39] в пред-

Максвелла - Больцмана [22]:

положении максвелловского распределения получе-

но выражение для расчета концентрации захвачен-

n_e (r) = ne0 exp(-ϕ),

(1)

ных ионов, которое содержит неопределенный мно-

житель).

где ne0 — концентрация электронов в невозмущен-

ной плазме, ϕ — приведенная потенциальная энер-

2.1. Случай 1

гия электрона в поле зонда: ϕ = -eφ (r) /T_e, e —

В этом самом простом случае потенциал ведет

элементарный заряд, r — радиальная координата в

себя как |eφ(r)| ∼ 1/r2-δ, δ > 0, и распределе-

сферической системе координат с полюсом в центре

ние ионов, совершающих инфинитное движение, в

зонда, φ — потенциал электрического поля зонда и

притягивающем поле без учета поглощения зондом

плазмы, T_e — температура электронов в энергети-

определяется выражением [22]

ческих единицах. При учете поглощения электронов

[

√

(√

)]

на поверхности зонда радиусом a в работе [22] полу-

n_i (r) = ni0

zβϕ + e^zβϕErfc

zβϕ

(4)

чено выражение

√π

177

ЖЭТФ, вып. 1

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

а с учетом поглощения — выражением

Отметим, что в выражении (7) производные приве-

{√

[

√

]

денного потенциала по r₀ понимаются в следующем

zβϕ

ϕ₀

смысле:

n_i (r) = ni0



r2 ϕ



dϕ

d²ϕ



(√

)



dr₀

dr²⁰

dr²

r=r0

r=r

e^zβϕErfc

zβϕ

√

}

Здесь r₀ — параметр, который определяет проекции

(√

)

1 - a²/r

скорости иона:

e^zβϕErfc

zβ ϕ

(5)

2ez

v2r =

[φ (r₀) - φ (r)] -

где z

— зарядовое число ионов,

m_i

(

)

(

)



)

ϕ - ϕ₀a²/r²

1 - a²/r²

, ni0 — концентрация

r₀ez dφ

⁽r²



-1



(11)

ионов в невозмущенной плазме, β = T_e/T_i, T_i —

m_i dr

r²

r=r



температура ионов в энергетических единицах.

ezr20 dφ

v2θ =



Отметим, что в случае

на всех расстояниях



m_ir2 dr

r=r0

выполнено условие

m_i — масса ионов.

)_δ

r²ϕ(r)

⁽r

При учете поглощения ионов зондом для n_i име-

=ϕ₀

≥ϕ₀,

(6)

a²

ет место выражение [22]

поэтому появление мнимых значений концентрации

{

√

(√

)

ионов невозможно, они появились в работе [24] толь-

a²

n_i (r) =

ni0

e^zβϕErfc

zβϕ

ко из-за использовании выражения (5) вне пределов

r²

его применимости. Если условие (6) нарушено, то

(√

)



zβϱ30 (a) dϕ

zβ [ϕ₀-ϕ(r)]

реализуется случай 2 или 3 [22], для которых рас-



× Erfc



2a²

1 - a²/r²

пределение концентрации ионов описывается уже

r=ϱ0(a)

[

]

совсем другими формулами. Поэтому утверждение

a²ϕ₀ - r²ϕ(r)

× exp -zβ

авторов [24] о несостоятельности приближения огра-

r² - a²

ниченных орбит (OML) для описании сферического

}

зонда по этой причине ошибочно.

+ I (r,ϱ0 (a))+I (r,∞)

(12)

2.2. Случай 2

Отметим, что функция F (r, r₀) не отрицательна

в силу определения ϱ₀ (см. выражение (10)), а в точ-

В этом случае |eφ(r)| ∼ 1/r2-δ при малых и

ке r₀ = ϱ₀ обращается в нуль. Поэтому выражение

|eφ(r)| ∼ 1/r2+ϵ при больших расстояниях r от цент-

(8) неудобно для численного интегрирования. С уче-

ра зонда (δ > 0, ϵ > 0). Для этого случая без учета

том того, что в числителе дроби в (8) стоит величи-

поглощения ионов в работе [22] получено соотноше-

на ∂F (r, r₀) /∂r₀, после интегрирования по частям

ние

[

(√

)

]

получим

n_i (r) = ni0 e^zβϕErfc

zβϕ

+ I (r,∞) ,

(7)

√

{

zβ

√

где I (r, b) — интеграл, определенный выражением

I (r, b) =

F (r, b) ×

(

)

[

(

)]



(

)

dϕ

d²ϕ

√

b dϕ



∫

r²⁰/r²-1

+r₀



× exp zβ ϕ(b) +

zβ

dr₀

dr²



I (r, b) =

2 dr₀

r0=b

[F (r, r₀)]1/2

∫

(

)

ϱ0(r)

[

(

)]

√

dϕ

d²ϕ

r₀ dϕ(r₀)

− zβ

F (r, r₀)

+r₀

× exp zβ ϕ(r₀) +

dr₀,

(8)

dr₀

dr²

dr₀

ϱ0(r)

}

)

[

(

)]

r0 dϕ

⁽r²⁰

r0 dϕ

F (r, r₀) = ϕ(r) - ϕ(r₀) +

-1

(9)

× exp zβ ϕ(r₀) +

dr₀

(13)

2 dr₀

r²

2 dr

ϱ₀ — максимальный корень уравнения

Отметим, что в случаях 2 и 3 (см. ниже) первый



)

ϱ₀

dϕ

⁽ϱ²

член в выражении (13) при b = ∞ переходит в



√

ϕ (ϱ₀) - ϕ (r) -

-1

= 0.

(10)



r²

4zβϕ(r)/π.

r=ϱ0

178

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

Максимальный корень ϱ₀ уравнения (10) всегда

при a < a_k(r) —

больше r_k — корня уравнения

{

√

ni0

[√

a²



Δn_i (r) =

zβϕ + zβϕ - zβϕ₀

dϕ

d²ϕ

√π

r²



+r_k



= 0.

(14)



]

dr²

√

r_k

a²

− 2

zβϕ - C₀

Например, для дебаевского потенциала (поведение

r²

которого полностью соответствует случаю 2)

[

(√



)

zβϱ³⁰

(a)

dϕ

zβ [ϕ₀ - ϕ(r)]



× Erf



φ₀a

2a²

1 - a²/r²

φ(r) =

e-(r-a)/RD ,

(15)

r=ϱ0(a)

(√

)]

r²ϕ(r) - a²ϕ₀

− Erf zβ

решая уравнение (14), находим

r² - a²

√

[

]}

r²ϕ(r) - a²ϕ₀

rk =

R_D.

× exp zβ

(20)

r² - a²

Здесь R_D — дебаевский радиус экранирования. Сле-

Здесь a_k(r) — критический радиус, определяемый

довательно, во всей области изменения параметра r₀

из уравнения

(

)

приведенный потенциал ϕ(r₀) в интеграле (8) или

r dφ

r²

(13) уменьшается с ростом r₀ быстрее, чем 1/r²⁰, т. е.

-φ(a_k) + φ(r) +

(21)

2 dr

a²

всегда

r₀ ϕ(r₀)

(при a > a_k

становится важной кривая, разделяю-

ϕ(r₀) +

щая частицы, точки поворота которых находятся в

dr₀

ближней и дальней от центра зонда или пылевой

и экспоненциальный член меньше единицы. Отме-

частицы областях).

тим, что при выполнении неравенства

a≪r_k

(16)

2.4. Модифицированное распределение

ионов

выражение (12) переходит в (5), при a/r → 0 (12)

В работе [24] предлагалось исправить выражение

совпадет с (7), а при r → a из-за наличия поглощаю-

(5) следующим образом:

щей поверхности концентрация ионов уменьшится

√

вдвое.

(√

)

n_i (r)

zβϕ

e^zβϕErfc

zβϕ

ni0

√

[√

√

2.3. Случай 3

a²

zβ

r²ϕ - a²ϕ₀

e^zβϕ +

Этот случай отличается от случая 2 тем, что при

r²

√

]

r → ∞ потенциал убывает строго по закону 1/r²,

(√

)

a²

т. е. на больших расстояниях ведет себя как

−

e^zβϕErf

zβ

ϕ θ

ϕ) ,

(22)

r²

(

)

(

)

C₀T_ia

ezφ(r) = -

≡-

(17)

где

ϕ=

r²ϕ - a²ϕ₀

r² - a²

, θ(x) — ступенчатая

r²

функция Хевисайда: θ (x) = 1, если x > 0, и 0, если

(постоянные C и C₀ положительны). Без учета по-

x < 0. Отметим, что выражение (22) было получено

глощения в этом случае к выражению (7) прибавит-

уже в работе [39]. Это выражение справедливо толь-

ся член

ко в случае, если нет барьера при движении иона из

[

√

]

бесконечности к поверхности зонда, т. е. при пове-

2ni0

√

a²

дении потенциала, как в случае 1. Как отмечалось

Δn_i (r) =

zβϕ - zβϕ - C₀

(18)

√π

r²

выше, в этом случае величина

ϕ строго положитель-

на. Выражение (22) можно применять в случаях 2

а при учете поглощения поправка к выражению (12)

и 3, когда количество ионов, для которых существу-

при a > a_k(r) имеет вид

ет барьер, мало. Но такие ионы, как отмечалось в

[

√

]

работе [23], при максвелловской функции распреде-

ni0

√

a²

ления есть всегда, поэтому точность этой формулы

Δn_i (r) =

zβϕ - zβϕ - C₀

(19)

√π

r²

требует отдельного исследования.

179

12*

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В случае, когда Φ_σ является максвелловской функ-

ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ

цией с температурой T_σ, последний интеграл равен

ТЕОРИИ ЭКРАНИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ

⁽k_νσ)

⁽k2νσ)

УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА С УЧЕТОМ

IΦσ (k) = - (π)1/2 k^νσErfc

exp

СТОЛКНОВЕНИЙ И СТОКОВ

k²

√

(26)

ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ

m_σ

k_νσ = ν_σ

2T_σ

Для проверки полученных выражений для рас-

После интегрирования (23) по dv с максвелловс-

пределения концентраций электронов и ионов рас-

кими функциями распределения в работах [7, 10]

смотрим задачу на основе подхода в рамках ЛКТЭ

найдено

[7, 8]. В этих работах для стационарных поправок к

∫

невозмущенным функциям распределения получено

δnσ,k ≡ nσ0 δfσ,k (v) dv =

выражение

e_σnσ0

ISσ (k)

= -φ

nσ0,

(27)

^k T_σ

1 + IΦσ (k)

e_σ

∂fσ0 (v)

iSσ0) (v)

δfσ,k (v) = φ_k

m_σ

∂v k · v-iν_σ

k · v-iν_σ

где интеграл I_Sσ (k) определен выражением

∫

e_σ

ν_σΦ_σ (v)

∫

- ikφ_k

Sσ0) (v)

m_σ k · v - iν_σ 1 + IΦσ (k) k · v^′ - iν_σ

dv =

ISσ (k) = i

k · v - iν

∂fσ0 (v^′)

ν_σΦ_σ (v)

dv^′ +

∫

∞

∂v^′

k · v - iν_σ 1 + IΦσ (k)

4π

fσ0σ_σ arctg

⁽kv)v2dv.

(28)

∫

ν_σ

Sσ0) (v^′)

dv^′,

(23)

k · v^′ - iν_σ

Из выражения (27) следует, что возмущения кон-

центраций заряженных частиц плазмы вызваны как

где σ обозначает электроны (σ = e) или ионы (σ =

электрическим полем заряженной макрочастицы,

= i), e_σ, m_σ — заряд и масса σ-частиц плазмы со-

так и стоками электронов и ионов на макрочасти-

ответственно, e_e = -e, e_i = ze, v — вектор скорости

цу.

электронов или ионов, fσ0 — невозмущенные функ-

В стационарном режиме для фурье-образа по-

ции распределения, нормированные условием

тенциала в случае максвелловских функций распре-

∫

деления имеем [7, 10]

fσ0 (v) dv = 1,

∑

4πeq

4π

ISσ

φk =

e_σnσ0

(29)

k² + k2D

k² + k²

1+IΦσ

D σ

ν_σ — частота столкновений электронов и ионов с

∑

где k_D — постоянная экранирования: k2D =_σ k2Dσ,

атомами буферного газа, Sσ0) (v) — стационарный

k_Dσ

— постоянная экранирования σ-компоненты

сток частиц σ-компоненты плазмы на макрочасти-

плазмы:

цу:

4πe2σn

σ0

(

)

k2Dσ =

S(0)σ (v) = vσ_σ

q₀, v

fσ0 (v) ,

(24)

T_σ

После обратного фурье-преобразования (27) и

σ_σ (q, v) — сечения зарядки, которые зависят от

(29) для стационарного распределения потенциала и

свойств окружающей плазмы, q₀ = q (t = ∞) — ста-

возмущений концентрации частиц плазмы находим

ционарный заряд макрочастицы, Φ_σ (v) — функция

∫

q₀e-kDr

2^∑

ISσ (k)

распределения σ-частиц плазмы, формирующаяся в

φ(r) =

e_σn_σ

πr

1 + IΦσ (k)

результате столкновений с нейтральными атомами,

IΦσ (k) — интеграл, определенный выражением

sin(kr)

k dk,

(30)

k² + k²

∫

Φ_σ

IΦσ (k) = iνσ

dv ≡

k · v - iν_σ

e_σφ(r)

nσ0

δn_σ (r) = -nσ0

∫

∞

)

T_σ

2π²r

4π

⁽kv

∫

≡-

Φ_σν_σ arctg

v dv.

(25)

ISσ (k)

ν_σ

sin(kr) k dk.

(31)

1 + IΦσ (k)

180

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

Первый член в правой части выражения (31) есть

где

просто линейный член разложения распределения

∫

(

)

Больцмана, а второй член обусловлен стоком σ-час-

S_σ = nσ0

S⁽⁰⁾

(v) dv = nσ0 σ_σ

φ₀, v

fσ0 (v) dv,

тиц плазмы на макрочастицу.

При численном интегрировании (30) и особен-

σ_σ (φ₀, v) — сечения зарядки, которые зависят от

но (31) возникают трудности, связанные с тем, что

свойств окружающей плазмы. В качестве сечения

функции

зарядки мы будем использовать сечения поглоще-

I_Sσ (k)

ния в приближении ограниченных орбит [21]:

F_σ(k) =

⎧

1+IΦσ

2e_σφ₀

⎨

u² > 2e_σφ₀/m_σ,

при больших k имеют асимптотики вида

m_σu²

(37)

σσ (u) = πr⁰

⎩

u² < 2e_σφ₀/m_σ.

a_σ

b_σ

F_σ(k) ≍ F_σ,as(k) =

(32)

k²

Можно также учесть влияние столкновений на се-

Поэтому в численных расчетах по массивам данных

чения поглощения ионов (см., например, работы

F_σ(k) при больших k методом наименьших квад-

[41-48]).

ратов находились коэффициенты a_σ и b_σ, затем

Используя сечения (37), в случае максвелловс-

из F_σ(k) вычиталась F_σ,as(k) и проводилось быст-

ких функций распределения для потоков находим

√

рое фурье-преобразование. Затем к полученному ре-

8T_e

⁽eφ₀ )

зультату добавлялись асимптотические распределе-

S_e =πr²

ne0

exp

πm_e

T_e

ния потенциала и концентраций:

√

(

)

(38)

8T_i

ezφ₀

∫

S_i =πr²

zni0

∑

F_σ,as (k)

πm_i

T_i

φ_as (r) ≡

e_σn_σ

sin(kr) k dk =

πr

k² + k²

Выражения (38) не учитывают ионы, совершающие

eQ_as

(

)

финитное движение вокруг зонда с отрицательным

g (k_Dr) +

1-e-kDr

(33)

потенциалом, а также выражение для S_i справедли-

во только при поведении потенциала, описываемом

∫

случаем 1. Если поведение потенциала относится к

nσ0

n_σ,as (r) ≡

F_σ,as (k)sin(kr) k dk =

случаю 2 или 3, то поток ионов на зонд уже зави-

2π²r

)

сит от всего хода потенциала, а не только от φ₀, и

nσ0

⁽a_σ

b_σ

(34)

определяется выражением [22]

2π²r r

√

{

]

∑

8T_i

ϱ²⁰ (a)

^[ϱ²

(a)

где

Q_as

= σ^Qσ,as, Qas = σ Qσ,as, g (kDr) =

S_i = πr²zni0

C₀ +

-1

πm_i

a²

= e-kDrEi(k_Dr) + ekDrE1 (k_Dr), Ei(x), E₁(x) — ин-

[

]



тегральные показательные функции, асимптотичес-

zβϱ0 (a) dϕ

× exp zβϕ(ϱ₀|r=a) +



кие заряды определены выражениями



r=ϱ0(a)

a_σe_σn_σ

b_σe_σn_σ

∞

∫

[

(

Q_σ,as =

r₀zβ

πek_D

ek²

+ r₀ 1 - exp zβϕ(r₀) +

С учетом того, что при x → ∞ функция g(x) → 2/x,

ϱ0(a)

}

)]

из (33) и (17) находим

dϕ (r₀)

(

)

dr₀

(39)

dr₀

Q_i,as

2e²z

Q_e,as +

C₀ = -

(35)

T_ik_Da²

(В случае 2, напомним, C₀ = 0.) Здесь мы самосо-

гласованную задачу не решаем, поэтому потенциал

поверхности зонда определяется с использованием

4. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

формулы (38) для потока ионов.

Если всюду в области r₀ > ϱ₀(a) выполнено усло-

В случае зондовых измерений потенциал зонда

вие

может быть произвольным, но в случае макрочасти-

r₀ dϕ(r₀)

цы в плазме потенциал ее поверхности определяется

ϕ (r₀) +

≪

(40)

dr₀

zβ

равенством потоков электронов и ионов на нее:

то выражение (39) переходит во второе выраже-

S_e = S_i,

(36)

ние (38).

181

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Рис. 1. Распределение приведенного потенциала Θ(r) =

= kDr²φ(r)/φ0 самосогласованного электрического поля

вокруг макрочастицы радиусом 1 мкм в изотермической

плазме при E/N = 1 Тд, давлении 0.1 Па (а), 1 Па (б) и

10 Па (в) в аргоне: сплошные кривые — полный потенци-

ал (30), ромбы — дебаевский потенциал (42), штрихпунк-

тирные кривые с двумя точками — полный потенциал (30)

без дебаевского вклада, кружки — φg(r) (43), штриховые

кривые — φQ(r), штрихпунктирные кривые — φS(r) (49)

На рис. 1 представлены распределения приведен-

ного потенциала Θ(r) = k_Dr²φ(r)/φ₀ в аргоне при

E_dis/N = 1 Тд при трех разных давлениях и, соот-

ветственно, разных частотах столкновений, найден-

ные из выражения (30) путем быстрого фурье-пре-

образования. В расчетах использовались равномер-

ные сетки по k и r в основном из N

= 2¹⁶ то-

чек при максимальном значении волнового числа

k_max = 2¹¹k_D и максимальном значении радиаль-

ной координаты R_max = πN/k_max = 32πR_D. Кон-

центрации электронов и ионов задавались, как и в

работе [10], следующими: ne0 = ni0 = 10⁹ см-3 (z_i =

= 1), радиус пылевой частицы a = 1 мкм, темпе-

ратура ионов T_i = 0.026 эВ (300 К). Температура

электронов задавалась соответствующей приведен-

ной напряженности электрического поля E/N, рав-

ной 10-4 и 1 Тд (более подробно см. работу [10]).

В изотермической плазме (T_e ≈ T_i = 0.026 эВ)

распределения потенциала имели практически та-

кой же вид, отличаясь только мелкими деталями.

Интегралы I_Sσ (28) вычислялись методом трапеций

с адаптивным выбором шага для достижения задан-

ной относительной точности, равной 10-6.

Из рис. 1 видно, что величина Θ(r) при давлении

0.1 Па проходит через максимум, а на больших рас-

стояниях принимает постоянное значение, поэтому

распределение потенциала при этом давлении отно-

сится к случаю 3. Такая же картина при этом дав-

лении наблюдалась и в других инертных газах. С

ростом давления на больших расстояниях величина

Θ(r) начинает расти, что связано с вкладом потен-

циала φ_Q (см. ниже выражение (44)), убывающего

как 1/r . Это приводит к тому, что интеграл (8) при

b = ∞ и интеграл в выражении для стока ионов (39)

становятся расходящимися. Поэтому поведение по-

тенциала уже при давлении газа 1 Па не описывает-

ся ни одним из рассмотренных в работе [22] случаев.

На рис. 1 также приведены распределения потен-

циала согласно аналитическому выражению [10]

φ (r) = φ_D (r) + φ_g (r) + φ_Q (r) ,

(41)

182

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

где φ_D — дебаевский потенциал (q₀ — заряд пылевой

частицы):

-kDr

eq₀e

φD (r) =

(42)

φg — обусловленная стоками электронов и ионов на

пылевую частицу часть потенциала в бесстолкнови-

тельном пределе:

^∑eQ_σ

φ_g (r) = -

g (k_Dr) ,

(43)

φ_Q — обусловленная столкновениями электронов и

ионов с нейтральными атомами часть потенциала:

^∑Q_σ

(

)

φ_Q (r) = -

1-e-kDr

(44)

Здесь

Q_σ и Q_σ — эффективные заряды, определен-

ные выражениями

Рис. 2. Наибольший корень уравнения (10) в электричес-

∫∞

ком поле макрочастицы радиусом 1 мкм в изотермичес-

2πz_σnσ0

кой плазме при E/N = 10-4 Тд при давлении 0.1 Па (1),

Q_σ =

fσ0σ_σv²dv,

(45)

k_D

1 Па (2) и 10 Па (3) в аргоне

πν_σ

Q_σ =

^√πm_σ ̃_Q

(46)

σ.

k_D

2T_σ

заряды

Q_e и

Q_i (это значение параметра будем да-

лее обозначать как C0Q).

При выполнении условия k_Da ≪ 1 для нахождения

С ростом давления потенциал φ_g (r) практиче-

заряда макрочастицы можно использовать вакуум-

ски не меняется, а φ_Q(r) растет пропорционально

ную связь с потенциалом поверхности: eq₀ = φ₀a, в

частоте столкновений. Это приводит к тому, что де-

случае дебаевского экранирования нужно использо-

баевская часть потенциала φ_D(r) становится мень-

вать формулу eq₀ = φ₀a (1 + k_Da).

ше остальной части на меньших расстояниях. Отме-

При интегрировании с максвелловскими функ-

тим, что согласно [7,10] в сильно столкновительном

циями распределения в работе [10] получены выра-

режиме поведение потенциала описывается суммой

жения

φ(r) = φ_D(r) + φ_S (r), где φ_S — обусловленная сто-

(

)

2ez_iφ₀

ками электронов и ионов на пылевую частицу часть

Q_i =zini0πr0

2k_D

T_i

потенциала в столкновительной плазме:

[

√

)

eφ₀

⁽eφ₀

^∑Q_sσ

(

)

Q_e =zene0πr0

exp

(47)

1-e-kDr

(49)

2k_D

√π

T_e

φS (r) = -

(√

)]

(

)

2eφ₀

eφ₀

Q_sσ — эффективный заряд, определенный выраже-

erfc

T_e

нием

z_σm_σν_σS_σ

Q_sσ =

(50)

При давлении 0.1 Па значение эффективного за-

k2DT_σ

ряда Q_i (Q_e ≪ Q_i), связанного со столкновениями,

Из рис. 1 видно, что величина φ_S(r) с ростом дав-

мало, поэтому (41) практически совпадает с суммой

ления становится все выше и выше.

дебаевского потенциала (42) и потенциала (43). От-

Расчеты в других газах показали аналогичное

метим, что потенциал (43) на больших расстояниях

поведение распределений потенциала с максимумом

k_Dr ≫ 1 выходит на асимптотику:

величины Θ(r) и линейным ростом на больших рас-

(

)

Q_e +

Q_i

стояниях при давлении выше 1 Па. Здесь обратим

φg(r) ≃ -

(48)

внимание на то, что в работе [41] отмечалось хоро-

k_Dr²

шее согласие распределений потенциала, рассчитан-

Поэтому при определении величины C₀ в выраже-

ных из исходных кинетических уравнений Власо-

нии (41) вместо

Q_e,as и

Q_i,as можно использовать

ва со столкновительным членом в форме Бхатнага-

183

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

Таблица 1. Потенциал поверхности пылевой частицы радиусом 1 мкм из уравнения (36), значение расчетного

потенциала (36) при r = a, поток ионов из (38) и (39), значения величины C0 с зарядами

Q_e и

Q_i и с асимпто-

тическими зарядами (35) в инертных газах при давлении p = 0.1 Па и E/N = 10-4 Тд

Газ

φ₀

φ(r = a)

S_i (38)

S_i (39)

C0Q

C₀ (35)

-0.079

-0.076

1.60 · 10⁷

1.23 · 10⁷

0.884

0.880

-0.096

-0.093

8.30 · 10⁶

6.28 · 10⁶

1.050

1.045

-0.103

-0.100

6.25 · 10⁶

5.04 · 10⁶

1.122

1.111

-0.111

-0.107

4.58 · 10⁶

3.73 · 10⁶

1.199

1.187

-0.116

-0.112

3.79 · 10⁶

3.18 · 10⁶

1.247

1.232

Таблица 2. Потенциал поверхности пылевой частицы из уравнения (36), значение расчетного потенциала (36) при

r = a, поток ионов из (38) и (39), значения величины C0 с зарядами

Q_e и

Q_i и с асимптотическими зарядами

(35) в инертных газах при давлении p = 0.1 Па и E/N = 1 Тд

Газ

φ₀

φ(r = a)

S_i (38)

S_i (39)

C0Q

C₀ (35)

-0.853

-0.832

1.34 · 10⁸

1.21 · 10⁸

15.6

15.5

-5.644

-5.508

3.86 · 10⁸

3.61 · 10⁸

108.2

107.3

-4.229

-4.127

2.06 · 10⁸

2.25 · 10⁸

80.7

79.6

-4.179

-4.078

1.41 · 10⁸

1.58 · 10⁸

79.6

78.4

-3.718

-3.628

1.00 · 10⁸

1.20 · 10⁸

70.6

69.3

ра - Гросса - Крука (БГК) и в рамках линеаризован-

потенциала (30) при r = a, а поток ионов из выраже-

ной теории [7].

ния (38), обычно используемого при определении за-

На рис. 2 приведены зависимости наибольшего

ряда в ПОО, и выражения (39) также оказываются

решения уравнения (10) при разных давлениях, най-

близкими. При этом выражение (39) в изотермиче-

денные с использованием рассчитанных из (30) рас-

ской плазме дает чуть меньшие значения, а в неизо-

пределений потенциала. Видно, что при давлении

термической плазме в аргоне, криптоне и ксеноне —

аргона p = 0.1 Па на малых расстояниях до k_Dr ∼

чуть большие значения. Это находится в согласии

∼ 10 поведение ϱ₀ соответствует дебаевскому потен-

с работой [41], в которой наблюдалось прохождение

√

циалу (см. [22]), причем при k_Dr ≥ (1 +

5)/2 ϱ₀

через максимум зависимости потока ионов от про-

максимальное решение уравнения (10) достаточно

изведения длины свободного пробега ионов ℓ_i на по-

быстро выходит на решение ϱ₀ = r, которое имеет

стоянную экранирования. В неизотермической плаз-

место всегда. Далее начинается влияние растущей

ме постоянная экранирования оказывается меньше

√

части величины Θ(r), что приводит к всплеску ϱ₀ и

примерно в

2 раз (см. [10]), поэтому произведение

последующему возврату на линию ϱ₀ = r. При p =

k_Dℓ_i во столько же раз уменьшается и в неизотер-

= 1 Па этот всплеск сдвигается в сторону меньших

мической плазме в аргоне, криптоне и ксеноне поток

расстояний, а при p = 10 Па начинается прямо от

оказывается ближе к максимуму. Также интересно

поверхности пылевой частицы.

отметить близость значений параметров C0Q, опре-

В табл. 1 и 2 приведены значения ряда величин

деленного с зарядами

Q_e и

Q_i (47), и C₀, вычислен-

в инертных газах при давлении p = 0.1 Па в изо-

ного с асимптотическими зарядами из (35).

термической (E/N = 10-4 Тд) и неизотермической

При увеличении давления до 1 Па близость по-

(E/N = 1 Тд) плазме для пылевых частиц радиу-

тенциалов поверхности из уравнения (36) с потока-

сом a = 1 мкм. Видно, что потенциал поверхности

ми (38) и расчетного потенциала (30) при r = a, а

пылевой частицы из уравнения (36) с потоками (38)

также величин C₀ и C0Q сохраняется, а значения

(потенциал поверхности без учета барьеров для дви-

потока в тяжелых инертных газах начинают сильно

жения ионов) очень близок к значению расчетного

расходиться (см. табл. 3). Еще большее расхождение

184

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

Рис. 3. Распределение концентрации электронов (ne) и ионов (ni) вокруг макрочастицы радиусом 1 мкм в изотермиче-

ской плазме (а) и в неизотермической плазме при E/N = 1 Тд (б) и давлении 0.1 Па в аргоне. Сплошные кривые — из

(31), штриховые — из (12) с добавочным членом (19) или (20) для ионов и из (2) для электронов, пунктирные — ли-

неаризация распределений Больцмана: nσ (r) = nσ0 [1 - eσφ (r)/Tσ ] (30), штрихпунктирные — модифицированное ПОО

(22), штрихпунктирные с двумя точками — распределение Больцмана для электронов (1)

Таблица 3. Поток ионов на пылевую частицу ра-

достаточно близко к нему. Отметим, что распределе-

диусом

мкм в инертных газах при давлении

ние электронов (2) в ПОО оказывается достаточно

p = 1 Па

близким к распределению Больцмана (1), что свя-

зано с незначительностью потерь электронов из-за

Газ

E/N = 10-4 Тд

E/N = 1 Тд

стока на пылевую частицу.

S_i (38)

S_i (39)

S_i (38)

S_i (39)

Сравнение распределений ионов, найденных в

ПОО и из модифицированного выражения (22), по-

1.60 · 10⁷

2.01 · 10⁷

1.34 · 10⁸

1.14 · 10⁸

казывает, что при давлении 0.1 Па они различаются

8.30 · 10⁶

1.07 · 10⁷

3.86 · 10⁸

4.33 · 10⁸

незначительно как при E/N = 10-4 Тд, когда заряд

6.25 · 10⁶

1.10 · 10⁷

2.06 · 10⁸

4.97 · 10⁸

пылевых частиц мал, так и при 1 Тд, когда заряд

4.58 · 10⁶

8.58 · 10⁶

1.41 · 10⁸

3.81 · 10⁸

становится почти на два порядка выше (см. [10]).

3.79 · 10⁶

2.04 · 10⁶

1.00 · 10⁸

3.33 · 10⁸

Это говорит о том, что при давлении 0.1 Па влияние

потенциальных барьеров при приближении ионов к

поверхности пылевой частицы незначительно.

наблюдается при дальнейшем росте давления, что

При увеличении давления, как видно из рис. 4,

обусловлено растущей пропорционально давлению

на распределении ионов в ПОО на малых расстояни-

частью потенциала, имеющей кулоновскую зависи-

ях появляются заметные нерегулярные отклонения,

мость. Поэтому возникает вопрос о точности опреде-

что связано с неприменимостью ни одного из рас-

ления потенциала поверхности пылевых частиц при

смотренных в работе [22] случаев поведения потен-

давлениях выше 1 Па из уравнения (36) с потоками

циала при давлении выше 1 Па. При более высоких

(38).

давлениях нерегулярное поведение распределения

На рис. 3 приведены зависимости концентра-

ионов только усиливается во всех рассмотренных

ции электронов и ионов в аргоне при давлении

в настоящей работе инертных газах. При этом вы-

0.1 Па. Видно, что уже при k_Dr ≤ 2 начинается рас-

ражение (22) позволяет рассчитать распределение

хождение между распределениями ионов в рамках

ионов и при этих давлениях, но точность получен-

ЛКТЭ и ПОО. При этом распределение электронов

ных значений концентрации ионов при этом оста-

в ЛКТЭ практически полностью описывается лине-

ется неизвестной. В расчетах кинетических уравне-

аризованным распределением Больцмана, а ионов

ний Власова со столкновительным членом в форме

185

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021

ных орбит показало, что последнее в инертных

газах применимо только в пределе низких давле-

ний, а с ростом давления кулоновская асимптотика

потенциала, пропорциональная частоте столкнове-

ний электронов и ионов с нейтральными атомами

(молекулами), делает неприменимыми формулы

приближения ограниченных орбит для распреде-

ления ионов. Распределения электронов и ионов,

полученные в рамках столкновительной кинетиче-

ской модели точечных стоков, оказались близки

к линеаризованным распределениям Больцмана.

Это позволяет сделать вывод, что область приме-

нимости столкновительной кинетической модели

точечных стоков близка к области применимости

теории Дебая - Гюккеля.

Рис. 4. Распределение концентрации электронов (ne) и

Финансирование. Работа выполнена при фи-

ионов (ni) вокруг макрочастицы радиусом 1 мкм в неизо-

нансовой поддержке Российского научного фонда

термической плазме при E/N = 1 Тд и давлении 1 Па в

(проект № 16-12-10424).

аргоне. Обозначения, как на рис. 3

ЛИТЕРАТУРА

БГК [49] было показано, что полученное распреде-

ление ионов при низких давлениях оказывается до-

А. А. Власов, ЖЭТФ 8, 291 (1938); УФН 93, 444

статочно близким к распределению (22). Такой же

(1967).

вывод был сделан и в расчетах методом частиц в

Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 16, 574 (1946); УФН 93, 527

ячейках [50].

(1967).

Близость распределений ионов и электронов в

ЛКТЭ и линеаризованных распределений Больц-

N. S. Van Kampen, Physica 21, 949 (1955).

мана позволяет сделать вывод, что область при-

А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Ру-

менимости ЛКТЭ близка к области применимости

хадзе, Основы электродинамики плазмы, Высшая

теории Дебая - Гюккеля и ограничивается областью

школа, Москва (1988).

малых значений отношения потенциальной и тепло-

вой энергии электронов и ионов.

Б. Б. Кадомцев, Коллективные явления в плазме,

Наука, Москва (1988), 304 c.

А. В. Тимофеев, Резонансные явления в колебани-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ях плазмы, Физматлит, Москва (2009), 296 c.

Проведенные исследования распределения

А. В. Филиппов, А. Г. Загородний, А. Ф. Паль,

электронов и ионов вокруг заряженной пылевой

А. Н. Старостин, А. И. Момот, Письма в ЖЭТФ

частицы на основе линеаризованной кинетической

86, 873 (2007).

теории экранирования, включающей кинетические

А. В. Филиппов, А. Г. Загородний, А. И. Момот,

уравнения с самосогласованным полем, дополнен-

А. Ф. Паль, А. Н. Старостин, ЖЭТФ 131, 164

ные столкновительными интегралами в форме

(2007).

Бхатнагара - Гросса - Крука и точечными стока-

ми электронов и ионов, показали ограниченную

A. G. Zagorodny, Theor. Math. Phys. 160, 1100

применимость приближения ограниченных орбит

(2009).

и ограниченную применимость линеаризованной

10.

А. В. Филиппов, А. Г. Загородний, А. И. Момот,

кинетической теории экранирования на основе

А. Ф. Паль, А. Н. Старостин, ЖЭТФ 152, 1088

уравнений Власова с учетом столкновений и сто-

(2017).

ков электронов и ионов. Сравнение полученных

распределений электронов и ионов с результатами

11.

S. A. Khrapak, B. A. Klumov, and G. E. Morfill,

теории зондов в рамках приближения ограничен-

Phys. Rev. Lett. 100, 225003 (2008).

186

ЖЭТФ, том 159, вып. 1, 2021 Распределение электронов и ионов вблизи поглощающего сферического тела. . .

12.

S. Khrapak and G. Morfill, Contrib. Plasma Phys.

30.

А. В. Ивлев, С. А. Храпак, В. И. Молотков,

49, 148 (2009).

А. Г. Храпак, Введение в физику пылевой и комп-

лексной плазмы, Издат. дом Интеллект, Москва

13.

О. В. Козлов, Электрический зонд в плазме,

(2017).

Атомиздат, Москва (1969).

31.

F. Greiner, A. Melzer, B.Tadsen, S. Groth, C. Killer,

14.

П. Чан, Л. Тэлбот, К. Турян, Электрические зон-

F. Kirchschlager, F. Wieben, I. Pilch, H. Krüger,

ды в неподвижной и движущейся плазме, Мир,

D. Block, A. Piel, and S. Wolf, Eur. Phys. J. D 72,

Москва (1978).

81 (2018).

15.

Б. В. Алексеев, В. А. Котельников, Зондовый

32.

Л. Кедель, В. M. Носенко, С. Жданов, А. В. Ивлев,

метод диагностики плазмы, Энергоатомиздат,

И. Лаут, Е. В. Яковлев, Н. П. Крючков, П. В. Ов-

Москва (1988).

чаров, А. М. Липаев, С. О. Юрченко, УФН 189,

1070 (2019).

16.

М. С. Бенилов, в сб. Диагностика низкотемпера-

турной плазмы, под ред. М. Ф. Жукова, А. А. Ов-

33.

A. A. Samarian and B. W. James, Plasma Phys.

сянникова, Наука, Новосибирск (1994), с. 214-247.

Control. Fusion 47, B629 (2005).

17.

M. S. Benilov, J. Phys. D: Appl. Phys. 33, 1683

34.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интег-

(2000).

ралов, сумм, рядов и произведений, Физматлит,

Москва (1963).

18.

V. I. Demidov, S. V. Ratynskaia, and K. Rypdal, Rev.

Sci. Instr. 73, 3409 (2002).

35.

E. Jahnke, F. Emde, and F. Lüsch, Tables of Higher

Functions, McGraw-Hill, New York (1960); Nauka,

19.

A. Autricque, S. A. Khrapak, L. Couлdel, N. Fedor-

Moscow (1977).

czak, C. Arnas, J.-M. Layet, and C. Grisolia, Phys.

Plasmas 25, 063701 (2018).

36.

Handbook of Mathematical Functions with Formulas,

Graphs, and Mathematical Tables, ed. by M. Abra-

20.

D. Darian, S. Marholm, M. Mortensen, and W. J. Mi-

mowitz and I. A. Stegun, Nat. Bureau of Standards,

loch, Plasma Phys. Control. Fusion

61,

085025

Appl. Math. Ser. 55 (1972).

(2019).

37.

M. Lampe, V. Gavrishchaka, G. Ganguli, and G. Joy-

21.

H. M. Mott-Smith and I. Langmuir, Phys. Rev. 28,

ce, Phys. Rev. Lett. 86, 5278 (2001).

727 (1926).

38.

M. Lampe, R. Goswami, Z. Sternovsky, S. Robertson,

22.

Ya. L. Al’pert, A. V. Gurevich, and L. P. Pitaevskii,

V. Gavrishchaka, G. Ganguli, and G. Joyce, Phys.

Space Physics with Artificial Satellites, Plenum Press,

Plasmas 10, 1500 (2003).

New York (1965).

39.

T. Bystrenko and A. Zagorodny, Phys. Lett. A 299,

23.

J. Allen, B. Annaratone, and U. de Angelis, J. Plasma

383 (2002).

Phys. 63, 299 (2000).

40.

С. А. Майоров, Физика плазмы 31, 749 (2005).

24.

X.-Z. Tang and G. L. Delzanno, Phys. Plasmas 21,

123708 (2014).

41.

I. L. Semenov, A. G. Zagorodny, and I. V. Krivtsun,

Phys. Plasmas 19, 043703 (2012).

25.

В. Н. Цытович, УФН 167, 57 (1997).

42.

A. V. Zobnin, A. D. Usachev, O. F. Petrov, and

26.

В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак,

V. E. Fortov, Phys. Plasmas 15, 043705 (2008).

В. И. Молотков, О. Ф. Петров, УФН 174, 495

(2004).

43.

А. В. Зобнин, А. П. Нефедов, В. А. Синельщиков,

В. Е. Фортов, ЖЭТФ 118, 554 (2000).

27.

V. E. Fortov, A. V. Ivlev, S. A. Khrapak, A. G. Khra-

pak, and G. E. Morfill, Phys. Rep. 421, 1 (2005).

44.

О. С. Ваулина, А. Ю. Репин, О. Ф. Петров,

К. Г. Адамович, ЖЭТФ 129, 1118 (2006).

28.

A. Ivlev, H. Löwen, G. Morfill, and C. P. Royall,

Series in Soft Condensed Matter, Vol. 5, World Sci.,

45.

L. G. D’yachkov, A. G. Khrapak, S. A. Khrapak, and

Singapore (2012).

G. E. Morfill, Phys. Plasmas 14, 042102 (2007).

29.

I. Mann, N. Meyer-Vernet, and A. Czechowski, Phys.

46.

I. H. Hutchinson and L. Patacchini, Phys. Plasmas

Rep. 536, 1 (2014).

14, 013505 (2007).

187