ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 2, стр. 244-257

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ РАЗНОСТИ ФАЗ

КВАНТОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

А. В. Козловский^*

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 19 июня 2020 г.,

после переработки 23 июля 2020 г.

Принята к публикации 26 июля 2020 г.

Предложены квантовомеханические тригонометрические операторы разности фаз двух электромагнит-

ных полей и исследованы их свойства. Эрмитовы операторы разности фаз полей определяются с помо-

щью операторов интерференции двух полей, возникающей при их смешении на светоделителе. Проведено

сравнение результатов расчетов для измеряемых средних величин и дисперсий (флуктуаций) тригономет-

рических функций операторов разности фаз, следующих из теории Пегга - Барнетта, с соответствующими

величинами для предлагаемых операторов. Расчеты и сравнение проведены для фоковских, когерентных

и сжатых квантовых состояний электромагнитных полей. Исследования выполнены для квантовых мик-

роскопических полей со средними значениями чисел фотонов n ∼ 1, применяемых в настоящее время в

области квантовых технологий. Количественное согласие двух различных теорий показано для фоковских

и сжатых состояний полей, существенное количественное различие в предсказаниях теорий отмечается

в случае когерентных состояний полей.

DOI: 10.31857/S0044451021020048

Теория SG обладает серьезным недостатком:

операторы SG в общем случае не удовлетворяют ос-

1. ВВЕДЕНИЕ

новному соотношению тригонометрии для операто-

ров синуса и косинуса, т. е.

С начала 60-х годов прошлого века рядом ав-

(

)₂

торов предложено несколько подходов к теоретиче-

(côs φ)2SG +

sinφ

= 1 - |0〉〈0|/2 = 1.

скому определению эрмитовых квантовомеханиче-

ских операторов фазы электромагнитного поля, а

Вследствие этого, вычисления средних наблюдае-

также тригонометрических операторов фазы поля

мых величин (средних значений и флуктуаций опе-

и разности фаз двух полей. Хронологически первой

раторов) для физических квантовых состояний по-

попыткой определения эрмитовых тригонометриче-

ля являются некорректными в квантовой облас-

ских операторов синуса и косинуса фазы электро-

ти микроскопических электромагнитных полей при

магнитного поля является подход, предложенный

〈n〉 ∼ 1.

Сасскиндом и Глоговером (SG) в работе [1]. Эрми-

Другое определение квантовомеханических опе-

тов оператор косинуса фазы в рамках теории SG в

раторов косинуса и синуса фазы предложено в ра-

базисе фоковских состояний поля |n〉 может быть

ботах Лернера и Линча (LL) [4-6] с использованием

записан в следующем виде [2, 3]:

операторов квадратур электромагнитного поля

∑

|n〉〈n + 1| + H.c.

â⁺ + â

â-â⁺

(côs φ)_SG =

X_c ≡

X_s ≡

n=0

а эрмитов оператор синуса:

Эрмитовы операторы косинуса и синуса фазы в тео-

рии LL рассматриваются в виде

(

)

∑

|n〉〈n + 1| - H.c.

]

nφ

1 [

X_c

n=0

(côs φ)_LL =

(n+1/2)-1/2 X_c+

(n+1/2)-1/2

^* E-mail: kozlovskiyav@.lebedev.ru

244

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

(

)

Тригонометрические операторы, определяемые в

nφ

]

таком виде, обладают всеми необходимыми свой-

1 [

(n + 1/2)-1/2 X_s -

X_s

(n + 1/2)-1/2 ,

ствами наблюдаемых физических величин, в част-

ности, для них выполняется

где n = â⁺â — оператор числа фотонов.

В теории LL операторы синуса и косинуса фазы,

cos²

ϕ_PB + sin²

ϕ_PB =

так же как и в теории SG, не удовлетворяют основ-

ному соотношению тригонометрии, что приводит к

В представляемой работе рассмотрены тригоно-

некорректному описанию фазовых свойств электро-

метрические операторы разности фаз двух полей,

магнитного поля в квантовой области при 〈n〉 ∼ 1.

выражаемые через интерференционные операторы,

Из отмеченного выше следует, что ввиду наруше-

содержащиеся в выражениях для чисел фотонов

ния основного тригонометрического соотношения,

выходных электромагнитных полей светоделителя

использование тригонометрических операторов фа-

при смешении двух электромагнитных полей, по-

зы и разностей фаз в теориях SG и LL приводит

ступающих на входы светоделителя. Показано, что

к значительной погрешности при расчетах средних

тригонометрические операторы косинуса и синуса

значений и флуктуаций этих величин в квантовой

разности фаз (ТОРФ), определяемые таким обра-

области малых значений числа фотонов поля. На-

зом, удовлетворяют основному соотношению триго-

рушение основного тригонометрического соотноше-

нометрии и могут быть использованы для исследо-

ния также приводит к невозможности использова-

ваний квантово-статистических свойств фаз элек-

ния стандартных тригонометрических формул для

тромагнитных полей. Сравнение с теорией PB по-

расчетов тригонометрических операторов сумм и

казало, что предлагаемый подход к определению

разностей фаз (относительной фазы) двух полей φ₁

ТОРФ позволяет получить результаты для средних

и φ₂, представляющих собой основные измеряемые

наблюдаемых величин и дисперсий (флуктуаций)

величины в оптических экспериментах с электро-

ТОРФ, незначительно отличающиеся от результа-

магнитными полями. Это означает, например, что

тов теории эрмитового оператора фазы PB для фо-

в теориях SG и LL:

ковских и сжатых когерентных состояний полей и

заметно отличающиеся для когерентных состояний

sφ1 o

c sφ₂ +

nφ₁

nφ₂ = côs (φ₁ - φ₂)

полей.

nφ1 o

c sφ₂ - côsφ₁

nφ₂ =

n (φ₁ - φ₂).

2. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В работах [7, 8] Пеггом и Барнеттом (PB) пред-

СВЕТОДЕЛИТЕЛЯ И

ложен эрмитов оператор фазы электромагнитного

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

поля

ϕ_θ и найден полный ортонормированный ба-

РАЗНОСТИ ФАЗ ДВУХ ПОЛЕЙ

зис собственных состояний оператора фазы. В рам-

Сигнал электромагнитного поля на выходе оп-

ках такой теории для определения оператора фа-

тического интерферометра чувствителен к сдвигу

зы и полного ортонормированного базиса собствен-

фаз полей, поступающих на его входы. Простей-

ных векторов оператора фазы использован конечно-

шим примером оптического интерферометра явля-

мерный базис фоковских состояний |0〉, |1〉, . . . , |S〉 ,

ется пассивный светоделитель. Рассмотрим кванто-

S ≫ 1. Предельный переход S → ∞ проводится в

вую теорию пассивного светоделителя. На два входа

теории после вычислений средних в (S + 1)-мерном

светоделителя поступают квантовые поля, характе-

базисе фоковских состояний.

ризующиеся операторами рождения (уничтожения)

Теория PB позволяет записать эрмитовы опера-

â†1 (â₁) и â†2 (â₂), а также операторами числа фото-

торы косинуса и синуса фазы поля следующим об-

нов n_j = â^†jâ_j , j = 1, 2,. Операторы рождения (уни-

разом [7-15]:

[(

)

]

чтожения) для полей, выходящих из светоделителя,

∑

†

при этом обозначим как^b

(b₁) иb†2 (b2), а операторы

cos

ϕ_PB =

|n〉〈n + 1| + |S〉〈0|

+ H.c.

чисел фотонов:

N_j =b†jb_j, j = 1, 2. Операторы вход-

n=0

ного и выходного полей удовлетворяют следующим

коммутационным соотношениям:

[(

)

]

∑

[

]

[

]

sin

ϕ_PB =

|n〉〈n + 1| + |S〉〈0|

- H.c. .

â_i, â^†

=δ_i,j,

bi,bj

= δ_i,j, i,j = 1,2,

(1)

n=0

245

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

и для чисел фотонов (интенсивностей) полей входя-

Среднее квантовомеханическое значение интер-

щих и выходящих полей светоделителя выполняется

ференционного оператора для полей в когерентных



соотношение сохранения числа фотонов

состояниях

^α₁ =^√

n₁eiϕ1

^α₂ =^√

n₂eiϕ2

есть

N₁ +

N₂ = n₁ + n₂.

(2)

≡ 〈α₁, α₂

I|α₁, α₂〉 =

α1,α2

Операторы чисел фотонов выходных полей при вы-

√n₁n₂ cos(ϕ₁ - ϕ₂ + φ_τ - φ_ρ),

(10)

полнении условий (1) и (2) могут быть выражены

с помощью операторов входных полей с использова-

и в зависимости от φ_τ - φ_ρ величина (10) принима-

нием коэффициента пропускания светоделителя τ и

ет значение пропорциональное косинусу (при φ_τ -

сдвигов фаз прохождения и отражения (φ_τ и φ_ρ) в

- φ_ρ = 0) или синусу (при φ_τ - φ_ρ = π/2) разности

следующем виде [16-18]:

фазовых углов когерентных состояний двух полей,

√

подаваемых на входы светоделителя. Можно най-

N₁ = τ n₁ + (1 - τ) n₂ +

τ (1 - τ) Î,

(3)

√

ти, также, среднее квантовомеханическое значение

N₂ = (1 - τ) n₁ + τ n₂ -

(1 - τ)Î,

(4)

интерференционного оператора для полей в фоков-

ских состояниях полей |n₁〉 и |n₂〉. В этом случае

где использовано обозначение

находим

^Î≡â†1â₂e-i(φτ-φρ) +â†2â₁ei(φτ-φρ) =

[

]

≡ 〈n₁, n₂

I|n₁, n₂〉 = 0,

n1,n2

cos(φ_τ - φ_ρ)IC + sin (φτ - φρ)

(5)

что означает отсутствие интерференции на выходе

ОператорÎ представляет собой интерференционный

светоделителя в случае фоковских состояний обоих

оператор светоделителя и определяет процесс ин-

полей, поступающих на входы светоделителя.

терференции при смешении двух входных полей на

Запишем эрмитовы операторы косинуса и синуса

выходе пассивного светоделителя. Для светоделете-

разности фаз полей â₁ и â₂, используя интерферен-

ля, обладающего величиной разности сдвигов фаз

ционные операторы

IC и

IS , в следующем симмет-

пропускания и отражения φ_τ - φ_ρ=0, на его выходе

ризованном виде:

реализуется интерференционный член вида

[

]

K_I

C_I ≡ côs(φ₁ - φ₂) =

IC +

IC^KI

(11a)

IC ≡ â¹â2 + â²â1,

(6)

[

]

K_I

S_I ≡

n(φ₁ - φ₂) =

IS +

IS^KI

(11b)

а в случае φ_τ - φ_ρ = π/2 получаем

(

)

где

â†2â₁ - â^†â2

(7)

IS ≡ i

В частном случае симметричного светоделителя,

K_I ≡

√

(12)

2(n₁ + n₂ + 2 n₁n₂)

I2C +

I2S

τ = 1/2 и φ_τ - φ_ρ=0, интерференционные биения

выходного поля выражаются через операторы вход-

поскольку

ных полей согласно

I2C +

I2S = 2 (n₁ + n₂ + 2 n₁n₂) .

N₂ -

N₁ = â†1â₂ + â†2â₁ =

IC .

(8)

Можно показать, что операторы

C_I и

S_I, опреде-

При добавлении в схему смешения полей с помощью

ляемые согласно (11a), (11b), (12), не коммутируют

симметричного светоделителя на одном из его вхо-

между собой:

дов λ/4-пластины интерференционный член приоб-

[

]

C_I,SI

= 0.

ретает вид

(

)

Операторы квадрата косинуса и синуса разности

N₂ -

N₁ = i

â†2â₁ - â^†

â₂

IS .

(9)

фаз полей, выражаемые через операторы интерфе-

ренции, запишем также в симметризованном виде

Формулы (8) и (9) получаются путем сложения со-

согласно

отношений (1) и (2) при τ = 1/2.

[

]

Из равенств (8) и (9) следует, что средние от опе-

C2I ≡ côs²(φ₁ - φ₂) =

I2C +

I2C

(13a)

раторов

IC и

IS являются экспериментально изме-

[

]

римыми величинами и равны среднему от разности

S2I ≡

n2(φ1 - φ2) =

I2S +

I2S

(13b)

чисел фотонов на выходах светоделителя.

246

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

∑

Нетрудно убедиться, что определенные таким

S_I =

K₁ (n₁, n₂) ×

образом операторы квадратов тригонометрических

n=0

функций точно удовлетворяют основному тригоно-

× (|n₁, n₂+1〉〈n₁+1, n₂|-H.c.) ,

(14b)

метрическому соотношению, т. е.

где обозначено

C2I +

S2I = 1.

√

(n₁ + 1)(n₂ + 1)

K₁ (n₁, n₂) ≡

Выполнение этого соотношение обеспечивается вы-

[

бором вида нормировочного оператора

K_I согласно

√

формуле (12).

n₁ + n₂ + 1 + 2 n₁ (n₂ + 1)

Отметим, что операторы, определяемые форму-

]

лами (11a) и (11b), возведенными в квадрат, не удо-

√

(15)

влетворяют основному тригонометрическому соот-

n₁ + n₂ + 1 + 2 n₂ (n₁ + 1)

ношению в квантовом режиме слабых полей.

Для операторов квадратов тригонометрических

функций разности фаз, в свою очередь, с помощью

(14a), (14b), (15) находим в базисе фоковских состо-

3. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ

яний следующие выражения:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

РАЗНОСТИ ФАЗ ДВУХ ПОЛЕЙ В

∑

ФОКОВСКИХ И КОГЕРЕНТНЫХ

C2I =

K₂ (n₁, n₂) ×

СОСТОЯНИЯХ

n=0

× (|n₁, n₂ + 2〉〈n₁ + 2, n₂| + H.c.) ,

(16a)

В классической теории светоделителя интерфе-

ренционные члены, определяющие интенсивности

∑

полей, выходящих из светоделителя, пропорцио-

S2I =

K₂ (n₁, n₂) ×

нальны тригонометрическим функциям разности

n=0

фаз полей, поступающих на входы светоделителя.

× (|n₁, n₂ + 2〉〈n₁ + 2, n₂| + H.c.),

(16b)

Как следует из формулы (10) квантовой теории,

где обозначено

в частном случае входных полей в когерентных

√

квантовых состояниях квантовомеханические сред-

K₂ (n₁, n₂) ≡

(n₁+1)(n₁+2)(n₂+1)(n₂+2)×

[

ние значения интерференционных операторов так-

же пропорциональны тригонометрическим функци-

n₁ + n₂ + 2 + 2 n₁ (n₂ + 2)

ям разности фазовых углов комплексных парамет-

]

ров когерентных полей. Учитывая сказанное вы-

(17)

n₁ + n₂ + 2 + 2 n₂ (n₁ + 2)

ше, на основе принципа соответствия в предыдущем

Средние значения и средние тригонометричес-

разделе нами определены эрмитовы операторы ко-

ких операторов для полей в произвольных кванто-

синуса и синуса фаз, выражаемые с помощью ин-

вых состояниях входных полей |x₁〉 и |x₂〉, с помо-

терференционных операторов, а также операторы

щью формул (14a), (14b), (15) могут быть найдены

квадратов косинуса и синуса разности фаз. В на-

в виде

стоящем разделе нами найдены выражения для на-

блюдаемых средних таких ТОРФ, а также средних

C_I

≡ 〈x₁, x₂

C_I|x₁, x₂〉 =

квадратов и дисперсий (флуктуаций) ТОРФ для

x1,x2

полей в произвольных квантовых состояниях. Рас-

∑

смотрены значения этих величин для фоковских и

K₁ (n₁, n₂) ×

когерентных состояний полей в квантовом режиме.

n1,n2=0

Операторы косинуса и синуса (11a) и (11b) в ба-

× Re (〈x₁ |n₁〉〈n₂| x₂〉〈x₂|n₂+1〉〈n₁+1| x₁〉) ,

(18a)

зисе фоковских квантовых состояний входных полей

могут быть записаны в виде

≡ 〈x₁, x₂

S_I|x₁, x₂〉 =

1,x2

∑

C_I =

K₁ (n₁, n₂) ×

n=0

n1,n2=0

× (|n₁, n₂ + 1〉〈n₁ + 1, n₂| + H.c.) ,

(14a)

× Im (〈x₁ |n₁〉〈n₂| x₂〉〈x₂|n₂+1〉〈n₁+1| x₁〉) ,

(18b)

247

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

а также, используя (16a), (16b), (17) для квадратов

В целях сравнения результатов расчетов сред-

операторов, получаем

них значений и дисперсий (флуктуаций), получае-

мых с использованием рассматриваемых нами ин-

терференционных тригонометрических операторов,

C2I

≡ 〈x₁, x₂

C2I|x₁, x₂〉 =

x1,x2

найдем выражения для этих величин в рамках тео-

∑

рии эрмитового оператора фазы PB для произволь-

K₂ (n₁, n₂) ×

ных состояний полей. Используя тригонометриче-

n1,n2=0

ские равенства для косинусов и синусов разности

× Re (〈x₁ |n₁〉〈n₂| x₂〉〈x₂|n₂+2〉〈n₁+2| x₁〉) ,

(19a)

фаз

CPB,12 =

CPB,1CPB,2 +

SPB,1

SPB,2,

(21a)

SPB,12 =

SPB,1CPB,2 -

SPB,2CPB,1,

(21b)

S2I

≡ 〈x₁, x₂

S2I|x₁, x₂〉 =

x1,x2

найдем среднее значения косинуса разности эрмито-

∑

× K2 (n₁,n₂) ×

вых операторов фазы PB для произвольных кванто-

n=0

вых состояний двух полей |x₁〉и |x₂〉:

× Re (〈x₁ |n₁〉〈n₂| x₂〉〈x₂|n₂+2〉〈n₁+2| x₁〉) .

(19b)

ˆPB,12

≡ 〈x₁, x₂| cos (ϕPB,1

ϕPB,2) |x₁, x₂〉.

1,x2

Скалярные произведения векторов состояний по-

Отметим, что операторы косинуса и синуса в теории

лей, входящие в формулы (18a), (18b), (19a), (19b),

PB коммутируют между собой:

для случая когерентных состояний полей |x₁〉 = |α₁〉

[

]

и |x₂〉 = |α₂〉 могут быть записаны в виде

C_PB,i ,

S_PB,j

= 0, i, j = 1, 2.

nαj/2j

Поскольку

〈n_j |α_j 〉 = e-nαj/2

√

einj ϕαj , α_j =√nαj eiϕαj ,

n_j!

∑

C_PB,j

= Re

〈x_j| n_j〉 ×

j = 1,2.

nj =0

× 〈n_j + 1 |x_j 〉, j = 1, 2,

(22a)

Нетрудно убедиться, что в случае фоковских состоя-

ний полей |x₁〉 = |n₁〉 и |x₂〉 = |n₂〉 средние значения

операторов

∑

S_PB,j

= Im

〈x_j | n_j 〉〈n_j + 1 |x_j 〉,

(22b)

〈n₁, n₂

C_I|n₁, n₂〉 = 〈n₁, n₂

S_I|n₁, n₂〉 = 0,

nj =0

получаем для среднего оператора косинуса разности

что соответствует равномерному распределению

фаз теории PB следующее:

значений фаз полей от 0 до 2π.

∑

Для дисперсий операторов косинуса и синуса в

CPB,12

[Re (〈x₁|n₁〉〈n₁+1|x₁〉) ×

этом случае находим

x1,x2

n1,n2=0

(

)₂

× Re (〈x₂|n₂〉〈n₂+1|x₂〉) + Im (〈x₁|n₁〉〈n₁+1|x₁〉) ×

〈n₁, n₂|

C_I

|n₁, n₂〉 ≡ 〈n₁, n₂

C2I|n₁, n₂〉-

× Im (〈x₂| n₂〉〈n₂ + 1|x₂〉)] .

(23)

- 〈n₁, n₂

C_I|n₁, n₂〉² =

(20a)

Для среднего от квадрата косинуса разности опе-

раторов фаз полей в произвольных квантовых со-

〉 вида

стояниях |x₁〉, |x₂

(

)₂

〈n₁, n₂|

S_I

|n₁, n₂〉 ≡ 〈n₁, n₂

S2I|n₁, n₂〉-

C2PB,12

≡ 〈x₁, x₂| cos² (ϕPB,1

ϕPB,2)|x₁, x₂〉

x1,x2

находим

- 〈n₁, n₂

S_I|n₁, n₂〉² =

∀ |n₁〉, |n₂〉.

(20b)

C2PB,12

C2PB,1

C2PB,2

Равенство дисперсий тригонометрических опера-

x1,x2

торов 1/2 также указывает на равномерное распре-

CPB,1

SPB,1

CPB,2

SPB,2

деление случайных фаз в случае фоковских состоя-

ний полей, т. е. полной их неопределенности в дан-

S2PB,1

S2PB,2

(24)

ных квантовых состояниях.

248

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

Поскольку

Для дисперсии косинуса разности фаз находим

)₂

∑

C2PB,j

〈x_j | n_j 〉 ×

C_PB

≡

α1,α2

nj =0

≡ 〈α₁, α₂| cos² (ϕPB,1 -

ϕPB,2)|α₁, α₂〉-

× 〈n_j + 2 |x_j〉, j = 1, 2,

(25)

- 〈α₁, α₂| cos

ϕPB,1 -

ϕPB,2)|α₁, α₂〉² =

∑

1^{

S2PB,j

- Re

〈x_j | n_j〉〈n_j + 2 |x_j 〉,

(26)

1+nα1nα2 e^-(nα1+nα2)[f₂ (nα1 ) f₂ (nα2 ) ×

nj =0

× cos[2 (ϕα1 - ϕα2)] - 2f²¹ (nα1 )f²¹ (nα2 ) ×

}

× e^-(nα1+nα2) cos² (ϕα1 - ϕα2 )]

(32)

C_PB,jSPB,j

∑

В формулах (31) и (32) использованы обозначе-

〈x_j | n_j 〉〈n_j + 2 |x_j 〉,

(27)

ния

nj =0

(

)

∑

n^nα

f₁

nαj

≡

√

получаем из формулы (24) следующее выражение:

n+1

n=0

(33)

∑

(

)

n^nα

C2PB

(1 + R₁R₂ + I₁I₂) ,

(28)

f₂

nαj

≡

√

j = 1,2.

x1,x2

(n + 1) (n + 2)

n=0

где обозначено

Функции f₁ и f₂ с ростом величин чисел фотонов

∑

когерентных состояний nαj = |α_j |², j = 1, 2 стремят-

R_j ≡ Re

〈x_j| n_j〉〈n_j + 2 |x_j〉,

ся к следующим значениям [3, 18]:

nj =0

(

)

enαj

∑

f₁

nαj

→

〈x_j | n_j 〉〈n_j + 2 |x_j 〉, j = 1, 2.

√n

Ij ≡ Im

αj

(34)

nj =0

(

)

enαj

f₂

nαj

→

nαj → ∞.

Подобным образом находим средние и дисперсии

оператора синуса разности операторов фазы в тео-

Формулы (31) и (32) показывают, что среднее и

рии PB:

дисперсия косинуса разности фаз явно зависят от

∑

разности фаз когерентных состояний ϕα1и ϕα1, по

S_PB

[Im (〈x₁|n₁〉〈n₁ + 1|x₁〉) ×

крайней мере, при nαj ∼ 1. Зависимость от разнос-

x1,x2

n1,n2=0

ти фаз когерентных состояний средних и дисперсий

× Re (〈x₂|n₂〉〈n₂+1|x₂〉) - Re (〈x₁|n₁〉〈n₁+1|x₁〉) ×

ϕα1 - ϕα2 отсутствует лишь при nαj → ∞.

× Im (〈x₂|n₂〉〈n₂ + 1|x₂〉)] ,

(29)

На рис. 1а показана зависимость среднего значе-

ния интерференционного оператора косинуса разно-

сти фаз полей в когерентных состояниях

S2PB

(1 - R₁R₂ - I₁I₂) .

(30)

x1,x2

C_I

≡ 〈α₁, α₂| côs (ϕ₁ - ϕ₂) |α₁, α₂〉

α1,α2

В случае полей в когерентных состояниях



от значений параметров nα2и ϕα2 состояния |α₂〉



|α_j 〉 =



√nαjeiϕαj

j = 1,2

при фиксированных значениях параметров состоя-

ния |α₁〉, полученная с помощью формулы (18a). В

можно получить следующие выражения для сред-

целях сравнения нами рассчитана аналогичная за-

них значений тригонометрических функций разно-

висимость для среднего значения косинуса разности

стей операторов фаз полей. Для косинуса разности

операторов фаз полей, следующая из теории PB:

фаз получаем

C_PB

≡ 〈α₁, α₂| cos

ϕPB,1

ϕPB,2)|α₁, α₂〉,

α1,α2

C_PB

√nα1nα2 e^-(nα1+nα2⁾ ×

α1,α2

найденная с помощью формулы (31). На рис. 1б

× f1 (nα1)f1 (nα2)cos(ϕα1 - ϕα2).

(31)

показана

зависимость

отношения средних

249

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Рис. 1. a) Зависимость среднего значения оператора косинуса разности фаз

для когерентных состояний полей

α1,α2

|α1〉 и |α2〉 от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного состояния |α2〉 при фиксированных

значениях nα₁ = 1 и ϕα₁ = 0 когерентного состояния |α1〉. б) Отношение средних значений оператора косинуса разности

фаз в рамках теории PB и средних интерференционного оператора косинуса разности фаз

CPB

для

α1,α2

(

)₂

полей в когерентных состояниях. в) Зависимость дисперсии оператора разности фаз

для когерентных

α1,α2

(

)₂

(

)₂

фиксированных значений nα₁ = 1 и ϕα₁ = 0. г) Зависимость отношения

CPB

значений

α1,α2

дисперсии косинуса разности операторов фаз в рамках теории PB и дисперсии интерференционного оператора разно-

сти фаз для полей в когерентных состояниях от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного

состояния |α2〉. Значения параметров nα₁ = 1 и ϕα₁ = 0 когерентного состояния |α1〉 фиксированы

C_PB

C_I

от параметров когерент-

значений параметра nα2 ≫ 1 когерентного состо-

α1,α2

яния |α₂〉 при фиксированном значении nα1

= 1

ных состояний. Как видно на рисунке, результаты

различие результатов двух теорий уменьшается и

двух теорий существенно различаются в квантовой

может достигать величины нескольких процентов.

области малых значений средних чисел фотонов

Полное совпадение двух теорий в рассматриваемом

полей nαj ∼ 1, j = 1, 2. Максимальное различие

случае достигается при nαj ≫ 10, j = 1, 2.

для наблюдаемых средних тригонометрических

операторов может достигать для рассматриваемых

Дисперсии интерференционных ТОРФ и диспер-

квантовых состояний полей величины примерно

сии косинуса разности операторов фаз теории PB,

25 % для значений параметра nα2 ≪ 1. С ростом

так же как и средние значения этих величин, замет-

250

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

)_n

но отличаются между собой. На рис. 1в показана

√(th r_j

〈n_j |ζ_j; α_j〉 =

eiθj

/ (n_j ! ch r_j ) ×

зависимость дисперсии

[

(

)]

nαj

th r_j

(

)₂

(

)₂

× exp -

eⁱ (2ϕαj-θj)

(36)

C_I

≡ 〈α₁, α₂|

C_I

|α₁, α₂〉 ≡

(√

)

α1,α2

nαj

×Hnj

eⁱ (2ϕαj-θj)

≡ 〈α₁, α₂

C2I|α₁, α₂〉 - 〈α₁, α₂

C_I|α₁, α₂〉²

sh2r

α_j =

√n

αj eiϕαj , j = 1, 2,

от значений параметров nα2и ϕα2 когерентного со-

где H_nj — полином Эрмита n_j -го порядка.

стояния |α₂〉 при фиксированных значениях пара-

Рассмотрим случай, когда одно из полей на-

метров состояния |α₁〉, полученная с помощью фор-

ходится в сжатом когерентном состоянии |ζ₁; α₁〉,

мул (18a) и (19a). На рис. 1г приведена зависимость

а второе поле — в когерентном состоянии | α₂〉.

от тех же параметров отношения дисперсии опера-

Воспользуемся для расчета наблюдаемых средних

тор1 в теории 2B и и1ерферен2ионного операто-

(

)₂

(

)₂

ТОРФ таких полей формулами (18a), (18b) и со-

ра:

C_PB

C_I

. На рисунке

отношением (36). На рис. 2а показана зависимость

α1,α2

видно, что дисперсии значительно различаются в

среднего значения интерференционного оператора

квантовой области nαj ∼ 1, j = 1, 2, где отличие

косинуса разности фаз для полей в сжатом и ко-

может достигать величины примерно 60 % при опре-

герентном состояниях

деленных значениях фазового угла ϕα2 . Точное сов-

C_I

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂| côs (ϕ₁ - ϕ₂)|α₂〉|α₁; ς₁〉

падение двух теорий в случае полей в когерентных

ss1,α2

состояниях достигается при nαj > 100, j = 1, 2.

от значений параметров nα2и ϕα2 когерентного со-

стояния |α₂〉 при фиксированных значениях пара-

метров сжатого состояния |α₁; ς₁〉; r₁, θ₁, nα1 и ϕα1 .

4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ

Указанная зависимость найдена из формулы (18a) с

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

использованием (36). В целях сравнения нами рас-

РАЗНОСТИ ФАЗ ПОЛЕЙ В СЖАТЫХ

считана аналогичная зависимость для среднего зна-

КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЯХ

чения оператора косинуса разности операторов фаз

полей, следующая из теории PB:

Рассмотрим случай, когда поля находятся в ко-

герентных сжатых состояниях (двухфотоннных ко-

C_PB

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂| cos (ϕPB,1 -

ϕPB,2) ×

ss1,α2

герентных состояниях [13,19]), и найдем наблюдае-

× |α₂〉|α₁; ς₁〉,

мые средние значения и дисперсии ТОРФ для таких

полей.

полученная из формулы

(31).

На рис.

2б

Векторы сжатых когерентных состояний полей

показана

зависимость

отношения средних

представляют собой результат действия оператора

C_PB

C_I

от параметров когерент-

ss1,α2

сжатия на когерентное состояние поля и могут быть

ного состояния |α₂〉 для фиксированных значений

записаны в виде

параметров сжатого состояния |α₁; ς₁〉. Как видно

на рисунке, результаты двух теорий заметно разли-

|ζ_j ; α_j 〉 =

S_j (ζ_j) |α_j〉, j = 1, 2,

(35)

чаются в квантовой области малых значений чисел

фотонов полей nαj = |α_j|² ∼ 1, j = 1, 2. Максималь-

где оператор сжатия есть

ное различие в случае рассматриваемых квантовых

состояний полей может достигать величины при-

(

)

мерно 25 % для значений параметра nα2 ≪ 1. С

S_j (ζ_j) = exp

ζ^∗ â2j - ζ â^†j

ростом параметра nα2 ≫ 1 когерентного состояния

|α₂〉 при фиксированном значении nα1

= 1 различие

Входящие в оператор сжатия комплексные парамет-

результатов двух теорий уменьшается и может

ры сжатия имеют вид ζ_j ≡ r_j eiθj .

достигать величины нескольких процентов.

Скалярное произведение фоковских и сжатых

Полное совпадение двух теорий в рассматривае-

когерентных состояний могут быть записаны в сле-

мом случае имеет место для мезоскопических кван-

дующем виде [19]:

товых полей при nαj ≫ 10, j = 1, 2.

251

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Рис. 2. a) Зависимость среднего значения оператора разности фаз

для сжатого состояния поля |α1, ς1〉 и

ss1,α2

когерентного состояния поля |α2〉 от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного состояния

|α2〉. Для фиксированных значений параметров nα₁ = 1, ϕα₁ = 0, r1 = 3, θ1 = 0 сжатого состояния |α1, ς1〉. б) От-

ношение средних значений оператора разности фаз в рамках теории PB и средних оператора

CPB

ss1,α2

для полей в сжатом и когерентном состояниях. в) Зависимость дисперсии интерференционного оператора разности фаз

(

)₂

для сжатого и когерентного состояний полей |α1, ς1〉 и |α2〉, от средних значений числа фотонов n2 и

ss1,α2

фазового угла ϕ2 когерентного состояния |α2〉 для фикс1рованных з2ачений 1раметро2nα1 = 1, ϕα1 = 0, r1 = 3, θ1 = 0

(

)₂

(

)₂

сжатого состояния |α1, ς1〉. г) Зависимость отношения

CPB

значений дисперсии коси-

ss1,α2

нуса разности операторов фаз в рамках теории PB и дисперсии интерференционного оператора косинуса разности фаз

для полей в сжатом и когерентном состояниях от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного

состояния |α2〉. Значения параметров nα₁ = 1, ϕα₁ = 0, r1 = 3, θ1 = 0 сжатого состояния |α1, ς1〉 фиксированы

На рис. 2в показана зависимость дисперсии

ния |α₁; ς₁〉, полученная с помощью формул (26),

(24) и (36). На рис. 2г приведена зависимость от

(

)₂

(

)₂

C_I

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂|

C_I

|α₂〉|α₁; ς₁〉 ≡

тех же параметров отношения дисперсий операто-

ss1,α2

ра PB и дисперсий интерференционного операто-

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂

C2I|α₂〉|α₁; ς₁〉-〈α₁; ς₁|〈α₂

C_I|α₂〉|α₁; ς₁〉²

ра: 〈(

C_PB)²〉ss1,α2 /〈(

C_I)²〉ss1,α2 . На рисунке вид-

но, что дисперсии, получаемые в рамках двух тео-

от значений параметров nα2и ϕα2 состояния |α₂〉

рий, незначительно различаются в квантовой облас-

при фиксированных значениях параметров состоя-

252

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

ти nαj ∼ 1, j = 1, 2, где отличие не превышает 15 %

Дисперсия интерференционных операторов си-

для всех значений фазового угла ϕα2 . С ростом сжа-

нуса и косинуса разности фаз полей в сжатых состо-

тия (параметр сжатия r₁ > 1) это различие умень-

яниях, так же как и в случае фоковских состояниях

шается. Практически точное совпадение дисперсий

полей, близка к 1/2 в случае значительной величи-

косинуса разности фаз двух теорий в случае полей в

ны сжатия r_j > 1, j = 1, 2. На рис. 3в изображен

сжатом и когерентном состояниях достигается для

пример зависимости дисперсии

любых nαj , j = 1, 2 при r₁ > 6, а также для любых

(

)₂

r₁ при nαj > 100, j = 1, 2.

C_I

≡

Следовательно, в квантовом режиме микроско-

ss1,ss2

(

)₂

пических полей дисперсии ТОРФ полей в сжатом

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂; ς₂|

C_I

|α₂; ς₂〉|α₁; ς₁〉

и когерентном состояниях, теории интерференцион-

ного оператора и теории PB совпадают между собой

для тех же значений параметров квантовых состоя-

в случае сильного сжатия, тогда как средние значе-

ний, что и1на рис. 3

(

)₂

ния операторов разности фаз двух теории различа-

вает, что

C_I

≈ 1/2 для всех значений

ются между собой при nαj ∼ 1, j = 1, 2 для любой

ss1,ss2

степени сжатия.

n_j, j = 1, 2 в квантовой области их изменения.

Рассмотрим теперь наблюдаемые средние и дис-

Отношение дисперсии косинуса разности опера-

персии (флуктуации) ТОРФ двух полей в сжатых

торов фаз в теории PB к соответствующей вели-

когерентных состояниях |α₁; ς₁〉 и |α₂; ς₂〉. На рис. 3а

чине теории интерференционного оператора разно-

изображен пример зависимости среднего значения

сти фаз, показано на рис. 3г. Как видно на рисун-

ке, результаты двух теорий практически совпадают

C_I

≡

между собой для всех значений параметров кванто-

ss1,ss2

вых состояний.

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂; ς₂| côs (ϕ₁ - ϕ₂)|α₂; ς₂〉|α₁; ς₁〉

Проведенные расчеты позволяют сделать вывод

о том, что точное количественное согласие теории

от параметров nα2 и ϕα2 состояния |α₂; ς₂〉 при фик-

интерференционного ТОРФ и теории PB имеет ме-

сированных значениях параметров этого состояния

сто для сжатых состояний полей при расчете дис-

r₂ и θ₂, и фиксированных значениях всех парамет-

персий (флуктуаций) ТОРФ в квантовом режиме

ров состояния |α₁; ς₁〉. Рисунок показывает, что для

nαj ∼ 1, j = 1, 2 для величин параметров сжатия

среднего косинуса разности фаз характерно значе-

полей r_j > 2, j = 1, 2. В то же время, отличие на-

ние

C_I

≈ 0 при nα2 ≫ 1, nα1 = 1. Расчеты,

блюдаемых средних значений ТОРФ в указанных

ss1,ss2

проведенные нами, позволяют сделать общий вывод

условиях может составлять заметную величину по-

о том, что наблюдаемые средние ТОРФ полей в сжа-

рядка нескольких процентов даже при высокой сте-

тых состояниях близки к нулю в случае nα1 ≫ 1 или

пени сжатия. Результаты двух теорий для средних и

nα2 ≫ 1 при r_j ≫ 1, j = 1, 2, аналогично тому, как

дисперсий ТОРФ совпадают для nαj > 100, j = 1, 2

это имеет место в случае фоковских состояний по-

при любой степени сжатия.

лей.

Для сравнения нами найдены средние значения

5. ИЗМЕРЯЕМЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

тригонометрических функций разности эрмитовых

ОПЕРАТОРЫ ФАЗЫ ПОЛЯ

операторов фаз в теории PB для сжатых состояний

В работе [9] Пегг и Барнетт предположили, что

полей:

измерение фазы соответствует следующему опреде-

лению фазовых операторов:

C_PB

≡ 〈α₁; ς₁|〈α₂; ς₂| ×

(

)

ss1,ss2

(côs φ)_M = k

â^† + â

× cos

ϕPB,1 -

ϕPB,2)|α₂; ς₂〉|α₁; ς₁〉.

(

)

(

)

(37)

nφ

= ik

â^† - â

На рис. 3б показана зависимость отношения средних

значений

где k — действительная величина, соответствую-

щая квантовому состоянию поля, для которого про-

C_PB

C_I

водится измерение. Авторы отмечали, что измере-

ss1,ss2

ние средних наблюдаемых операторов, определяе-

от параметров состояния |α₂; ς₂〉 при фиксирован-

мых таким образом может проводиться методом оп-

ных значениях параметров состояния |α₁; ς₁〉.

тического балансного гомодинирования. Отметим,

253

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Рис. 3. a) Зависимость среднего значения оператора косинуса разности фаз

для сжатого состояния поля

ss1,α2

|α1, ς1〉 и сжатого состояния поля |α2, ς2〉 от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 состояния |α2, ς2〉.

Значения параметров nα₁ = 1, ϕα₁ = 0, r1 = 2.8, θ1 = π/2 состояния |α1, ς1〉 и r2 = 2.3, θ2 = π состояния |α2, ς2〉, фик-

сированы. б) Отношение средних значений оператора разности фаз в рамках теории PB и средних интерференционного

оператора разности фаз

CPB

для полей в сжатых состояниях для тех же значений параметров, что и

ss1,ss2

(

)₂

на рис. а. в) Зависимость дисперсии интерференционного оператора косинуса разности фаз

для сжатых

ss1,α2

состояний полей |α1, ς1〉 и |α2, ς2〉, от средних значений числа фотонов n2 и фазо1ого угла ϕ22 состояни1 |α2, ς2〉2ля тех

(

)₂

(

)₂

же значений остальных параметров сжатых состояний. г) Зависимость отношения

CPB

ss1,ss2

значений дисперсии косинуса разности операторов фаз в рамках теории PB и дисперсии интерференционного оператора

косинуса разности фаз для полей в сжатых состояниях, от средних значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2

сжатого состояния |α2, ς2〉 для тех же значений остальных параметров сжатых состояний

что в схеме оптического гомодинироваия операто-

В работе Линча [6] предложено использовать в

ры интерференции (7) и (8) сводятся к той или иной

качестве константы k в (50), для поля в любом кван-

квадратуре измеряемого поля, в зависимости от фа-

товом состоянии величины

зы поля локального осциллятора, подаваемого на

второй вход светоделителя. При этом поле локаль-

k_L =

√

(38)

〈n〉 + 1/2

ного осциллятора, смешиваемого с измеряемым сиг-

налом, предполагается классическим.

где 〈n〉 — среднее значение фотонов поля.

254

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

n₁ + n₂ + 2n₁n₂

Нетрудно убедиться, что при таком выборе кон-

C2M,12

S2M,12 =

= 1,

(43)

станты k в формулах для тригонометрических опе-

〈n₁〉 + 〈n₂〉 +2 〈n₁〉〈n₂〉

раторов фазы не выполняется основное тригономет-

т. е. для измеряемых операторов разности фаз, вво-

рическое соотношение:

димых с помощью (41) и (42), не выполняется ос-

(

)₂

n+1

новное тригонометрическое соотношение, справед-

(côs φ)2M +

sinφ

= 1.

(39)

〈n〉 + 1/2

ливым является лишь соотношение для средних

квантовомеханических:

Другой выбор константы, следующий из теории

√

SG [1]: k_SG = 1/

〈n〉 + 1, также не приводит к вы-

C2M,12

S2M,12

= 1.

полнению основного тригонометрического соотно-

шения, однако, в этом случае оно выполняются для

В случае полей в когерентных состояниях

средних значений для любого квантового состояния



поля. Отметим также, что измеряемые операторы

|α_j 〉 =



√nαjeiϕαj

j = 1,2

фазы, следующие из теории Сасскинда - Глоговера

можно получить следующие выражения для сред-

[1-3] определяются неоднозначно, так, например,

них значений измеряемых тригонометрических опе-

(

)

раторов:

(côs φ)_SG

= ân-1/2 +n-1/2 â^†

/2 =

(

)

= (n + 1)-1/2 â + â† (n + 1)-1/2 /2

(40)

CM,12

≡ 〈α₁, α₂

CM,12|α₁, α₂〉 =

√

2nα1nα2

при замене n → 〈n〉 в выражении (40) для оператора

cos(ϕα1 - ϕα2 ),

(44a)

косинуса, приводящей операторы теории Сасскин-

nα1 + nα2 + 2nα1nα2

да - Глоговера к виду измеряемых операторов (37),

константы нормировки измеряемого оператора ко-

синуса

SM,12

≡ 〈α₁, α₂

SM,12|α₁, α₂〉 =

(

)

(côs φ)_M,SG = k_SG

â^† + â

√

2nα1nα2

sin(ϕα2 - ϕα1 ),

(44b)

принимают различные значения kSG,1 = 1/2

〈n〉

√

nα1 + nα2 + 2 nα1nα2

или kSG,2 = 1/2

〈n〉 + 1, при этом kSG,1 не опреде-

лена в случае 〈n〉 = 0.

а для дисперсий операторов следующие выражения:

Расчеты, использующие определение (37), (38)

)₂

измеряемых операторов фазы поля, приведенные в

CM,12

≡

статье [20], показывают, что дисперсии и наблюда-

емые средние значения измеряемых тригонометри-

≡ 〈α₁, α₂|C2M,12|α1, α2〉-〈α1, α2

CM,12|α₁, α₂〉² =

ческих операторов фазы качественно отличаются от

)₂2

nα1 + nα2

результатов, следующих из теории эрмитова опера-

SM,12

(45)

2 (nα1 + nα2 + 2 nα1nα2

)

тора фазы PB [7,8].

В работах [21-23] в качестве измеряемых опера-

Сравнение формулы (31) для среднего значения

торов разности фаз двух полей рассмотрены следу-

косинуса разности фаз полей в когерентных состоя-

ющие операторы:

ниях, полученной в рамках теории PB и той же ве-

личины для измеряемого интерференционного опе-

CM,12 =

IC ,

SM,12 = K

IS ,

(41)

ратора (44a), показывает, что данные величины об-

ладают идентичной зависимостью от разности фа-

где константа пропорциональности K выбрана в ви-

де

зовых углов когерентных состояний

Δ≡ϕα2-ϕα1

K =

√

I2C

I²

Расчеты наблюдаемых средних, проведенные с ис-

пользованием формул (31) и (44a), показали, что ве-

√

(42)

личина

2 (〈n₁〉 + 〈n₂〉 + 2 〈n₁〉〈n₂〉)

C_PB

CM,12

≈ 0.55

α1,α2

Используя такое определение ТОРФ, нетрудно

показать, что

при nα1 ≈ 0, nα2 ∼ 1 и

255

А. В. Козловский

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

C_PB

CM,12

≈ 0.95

товых состояний полей, что и соответствующие опе-

α1,α2

раторы теории PB. В то же время, результаты двух

теории могут количественно различаться в кванто-

при nα1 ≫ 1, nα2 ∼ 1 для любых значений Δ.

вой области слабых полей. Так, различие двух тео-

Проведенные расчеты позволяют сделать вывод

рий для дисперсий ТОРФ может достигать 60 % для

о том, что измерение величины интерференционного

n_j = |α_j|² ∼ 1, j = 1, 2. Точное согласие результатов

члена светоделителя может служить для достаточ-

двух теории достигается при n_j ≫ 10, j = 1, 2.

но точной оценки средних значений ТОРФ кванто-

вых полей в когерентных состояниях при nαj > 2,

Отличие результатов теории PB от результатов

j = 1,2. Расхождение с теорией PB в этом случае

теории интерференционных ТОРФ для средних ве-

составляет величину около 10 %.

личин операторов разности фаз двух полей в сжа-

Дисперсии измеряемых тригонометрических

том |ς₁; α₁〉 и когерентном |α₂〉 состояниях составля-

операторов разности фаз (45) полей в когерентных

ет для квантовых полей с nαj ∼ 1, j = 1, 2 величи-

состояниях существенно отличаются от соответству-

ну до 15 %, а для полей с nαj > 10, j = 1 или 2,

ющих дисперсий операторов разности фаз в теории

величину порядка 1 % для произвольного значения

PB. Сравнение формулы (45) с формулой (32) для

параметра сжатия r₁. Точное совпадение результа-

дисперсии оператора косинуса разности операторов

тов двух теорий достигается для любой степени сжа-

фаз в теории PB показывает, что теория PB (так же

тия одного из полей для мезоскопических кванто-

как и теория интерференционного ТОРФ) предска-

вых полей при nαj > 100, j = 1, 2. Для дисперсий

зывает ярко выраженную зависимость дисперсии

ТОРФ отличие результатов теории интерференци-

от значений фазовых углов когерентных состояний

онных операторов и теории PB пренебрежимо мало

ϕαj , j = 1, 2, тогда как соответствующая дисперсия

в случае сильного сжатия r₁ ≫ 1 в квантовом ре-

измеряемого оператора разности фаз (45) не зависит

жиме микроскопических полей nαj ∼ 1, j = 1, 2. В

от величин этих параметров квантовых состояний

случае r₁ ∼ 1 точное совпадение результатов обеих

полей |α₁〉 и |α₂〉.

теорий имеет место при nαj > 100, j = 1, 2.

Проведенные расчеты позволяют сделать вывод

В случае, когда оба поля находятся в сжатых со-

о том, что измеряемые операторы разности фаз по-

стояниях, |α_j ; ς_j 〉, j = 1, 2, дисперсии в теории интер-

лей в случае когерентных квантовых состояний по-

ференционных полей ТОРФ и в теории PB разли-

лей не могут использоваться даже для качественной

чаются незначительно для величин параметров сжа-

оценки дисперсий (флуктуаций) ТОРФ в квантовой

тия полей r_j > 2, j = 1, 2 при любых nαj = |α_j |². В

области при nαj ∼ 1, j = 1, 2.

случае слабо сжатых состояний, при r_j < 2, j = 1, 2,

результаты двух теорий совпадают для nαj ≫ 10,

j = 1,2.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Различие наблюдаемых средних значений ТОРФ

может составлять заметную величину порядка

В работе развит метод построения эрмито-

нескольких процентов даже при высокой степени

вых тригонометрических операторов разности фаз

(ТОРФ) двух квантовых электромагнитных полей,

сжатия. Результаты двух теорий, как для средних,

так и для дисперсий операторов разности фаз точно

использующий операторы интерференции светоде-

лителя. Проведено сравнение величин наблюдаемых

совпадают для nαj > 100, j = 1, 2 при любой степени

сжатия.

средних и дисперсий (флуктуаций) для получаемых

в рамках такой теории операторов с соответствую-

Показано, что измеряемые тригонометрические

щими величинами, следующими из теории эрмито-

операторы разности фаз полей, представляющие со-

вого оператора Пегга - Барнетта (PB), для различ-

бой нормированные интерференционные операто-

ных квантовых состояний полей.

ры светоделителя, могут служить для качественной

Показано, что для фоковских состояний полей

(или полуколичественной) оценки средних величин

|n_j 〉, j = 1, 2 результаты двух теорий совпадают

операторов разности фаз согласно теории PB в слу-

между собой.

чае когерентных состояний полей в квантовом ре-

В случае, если оба поля находятся в когерент-

жиме. В то же время, в тех же условиях, дисперсии

ных состояниях |α_j 〉, j = 1, 2, средние значения и

измеряемых операторов разности фаз качественно

дисперсии интерференционных операторов косину-

отличаются от соответствующих величин, получа-

са и синуса разности фаз полей обладают теми же

емых в рамках теории эрмитового оператора фа-

качественными зависимостями от параметров кван-

зы PB.

256

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Тригонометрические операторы разности фаз. . .

ЛИТЕРАТУРА

13. W. Vogel and D.-G. Welsch, Quantum Optics, Wi-

ley-VCH (2006).

1. L. Susskind and J. Glogower, Physics 1, 49 (1964).

14. Ю. И. Воронцов, УФН 172, 907 (2002).

2. P. Carruthers and M. M. Nieto, Phys. Rev. Lett. 14,

387 (1965).

15. A. P. Alodjants and S. M. Arakelian, J. Mod. Optics

46, 475 (1999).

3. P. Carruthers and M. M. Nieto, Rev. Mod. Phys. 40,

411 (1968).

16. Richard A. Campos, Bahaa E. A. Saleh, and Malvin

C. Teich, Phys. Rev. A 40, 1371 (1989).

4. E. C. Lerner, Nuovo Cimento B 56, 183 (1968).

5. R. Lynch, J. Opt. Soc. Am. B 3, 1006 (1986).

17. Ulf Leonhardt, Rep. Prog. Phys. 66, 1207 (2003).

6. R. Lynch, J. Opt. Soc. Am. B 4, 1723 (1987).

18. Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light,

Oxford University Press. (2000).

7. S. M. Barnett and D.T. Pegg, J. Mod. Opt. 36, 7

(1989).

19. Horace P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226 (1976).

8. D. T. Pegg and S. M. Barnett, Phys. Rev. A 39, 1665

20. N. Gronbech-Jensen, P. L. Christiansen, and P. S. Ra-

(1989).

manujam, J. Opt. Soc. Am. B 6, 2423 (1989).

9. S. M. Barnett and D. T. Pegg, J. Phys. A-Mathema-

21. J. W. Noh, A. Fougeres, and L. Mandel, Phys. Rev.

tical and General. 19, 3849 (1986).

A 45, 424 (1992).

10. R. Lynch, Phys. Rev. A 41, 2841 (1990).

22. J. W. Noh, A. Fougeres, and L. Mandel, Phys. Rev.

11. V. N. Popov and V. S. Yarunin, J. Mod. Opt. 39,

A 46, 2840 (1992).

1525 (1992).

23. P. Riegler and K. Wodkiewicz, Phys. Rev. A 49, 1387

12. R. Lynch, Phys. Rep. 256, 367 (1995).

(1994).

257

ЖЭТФ, вып. 2