ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 2, стр. 258-261

ВСТРЕЧНОЕ ЧЕТЫРЕХФОТОННОЕ СМЕШИВАНИЕ

В ФОРМИРОВАНИИ ФАНТОМНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

А. В. Белинский^*, Р. Сингх^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 29 июня 2020 г.,

после переработки 17 августа 2020 г.

Принята к публикации 11 октября 2020 г.

Показаны преимущества встречного четырехфотонного смешивания при формировании фантомных

изображений по сравнению с трехфотонным параметрическим рассеянием в смысле повышения ди-

фракционного предела пространственного разрешения. Даны необходимые формальные соотношения,

подтверждающие эффективность этого решения.

DOI: 10.31857/S004445102102005X

1. ВВЕДЕНИЕ

Фантомные изображения [1] — один из вариан-

Рис.

1. Классическая схема формирования квантовых

тов решения проблемы изучения чувствительных к

фантомных изображений: NC — нелинейный кристалл;

свету объектов, прямое оптическое наблюдение ко-

ωp — накачка; ω1 и ω2 — пучки запутанных пар фотонов

(пучки расходятся вследствие использования неколлинеар-

торых затруднено. Для формирования фантомных

ного процесса параметрического рассеяния [3]); O — объ-

изображений необходим источник коррелированных

ект; BD — интегрирующий детектор в объектном канале; L

световых пучков, один из которых взаимодейству-

— оптический объектив; CCD — матрица фотодетекторов

ет с объектом, а другой — нет (см. рис. 1). При

в восстанавливающем канале; C — коррелятор интенсив-

этом в объектном канале детектор дает информа-

ностей (схема совпадений)

цию только о полной интенсивности прошедшего из-

лучения. Сопряженный пучок не взаимодействует с

объектом, но регистрируется матрицей фотодетек-

2. КАЧЕСТВО ИЗОБРАЖЕНИЯ

торов, допуская измерение пространственной кор-

реляционной функции интенсивности между двумя

Вопросам качества квантовых фантомных изоб-

каналами.

ражений в последнее время уделяется значитель-

Одним из важных доводов в пользу использо-

ное внимание [4-8], что обусловлено не только су-

вания квантовых фантомных изображений являет-

щественными пробелами в теории, но и откровен-

ся создание максимально щадящих условий освеще-

но неудовлетворительным пространственным разре-

ния исследуемого объекта, когда воздействие излу-

шением, достигнутым в экспериментах. При этом

чения на объект (иногда необратимое) минимально

основным фактором, ограничивающим простран-

[2]. Особенно это важно при облучении живых су-

ственное разрешение, является дифракция. Дело в

ществ, например, рентгеновским излучением.

том, что оптические системы традиционно исполь-

зуемых схем обладают малым относительным от-

верстием. Но малая светосила отрицательно сказы-

^* E-mail: belinksy@inbox.ru

вается на качестве любых изображений, поскольку

^** E-mail: ranjit.singh@mail.ru

определяет дифракционное ограничение простран-

258

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Встречное четырехфотонное смешивание. . .

регистрироваться матрицей фотодетекторов, рис. 2.

При этом с точки зрения геометрической оптики,

лучи обоих фотонов необходимо находятся на одной

прямой. Такое схемное решение, как представляет-

ся, может дать резкий скачок повышения качества

фантомных изображений.

3. ЧЕТЫРЕХФОТОННОЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. ОСНОВНЫЕ

СООТНОШЕНИЯ

Рис. 2. Схема формирования фантомного изображения

при встречном четырехфотонном смешивании с парал-

лельным ходом лучей между объективами L и нелиней-

В процессе четырехфотонного кросс-взаимодей-

ной средой NM c кубической нелинейностью; в прозрачном

ствия пары фотонов накачки преобразуются в пары

нелинейном кристалле с кубической нелинейностью χ⁽³⁾

сигнальных (s) и холостых (i) фотонов с частотами

пары фотонов накачки преобразуются в пару сигнально-

го и холостого фотонов, p, q — встречные пучки накачки;

ω_p + ω_q = ω_s + ω_i.

(1)

пучки запутанных пар фотонов освещают объект О и мат-

рицу фотодетекторов CCD в восстанавливающем канале,

Помимо этого, фактически, закона сохранения

причем и тот и другая находятся в фокальных плоскостях

энергии должен сохраняться и импульс, следова-

оптических объективов L; BD — интегрирующий детектор

тельно, волновые векторы подчиняться соотноше-

в объектном канале; C — коррелятор интенсивностей (схе-

нию

ма совпадений)

k_p + k_q = k_s + k_i.

(2)

ственного разрешения, а именно этот фактор для

Кроме того, существует жесткая связь между по-

фантомных изображений является решающим, см.,

ляризациями сигнального и холостого фотонов.

например, [4-6].

Самовоздействия мы не учитываем, пола-

Но почему же в схемах с параметрическим рассе-

гая его коэффициент нелинейности значительно

янием нельзя достичь высокой светосилы? В первую

меньше соответствующего коэффициента кросс-

очередь, за счет малого угла параметрического за-

взаимодействия. Но даже если это не так, самовоз-

хвата, в котором наблюдается экспоненциальное

действие вряд ли сильно исказит пространственную

усиление. А именно, этот угол в конечном счете

корреляцию фотонов, поскольку для построения

определяет относительное отверстие. Как его увели-

фантомных изображений требуются очень малые

чить? Проще всего — уменьшая толщину кристалла.

интенсивности световых пучков (именно с целью

Но перспективы такого решения не беспредельны,

щадящего воздействия на исследуемые объек-

ибо при этом снижается эффективность параметри-

ты), при которых эффект самовоздействия будет

ческого процесса.

незначителен.

А что, если использовать встречное четырехфо-

Поскольку эффективность нелинейного процес-

тонное смешивание как в обращающих волновой

са мала, истощением накачки в первом приближе-

фронт зеркалах (ОВФ-зеркалах, см., например, [9]

нии можно пренебречь, считая ее амплитуду посто-

и цитируемую там литературу)? Только затравкой

янной. С учетом того, что для реального наблюде-

при этом должен быть не внешний сигнал, а ваку-

ния встречного четырехфотонного смешивания фо-

умные флуктуации. В изотропной среде с кубичес-

тонов в накачке должно быть много, ее можно опи-

кой нелинейностью генерация может идти во всех

сывать классически. Для простоты полагаем ее так-

направлениях. Следовательно, нет принципиальных

же плоской. Тогда динамика системы в представле-

ограничений для светосилы. С другой стороны, про-

нии Гейзенберга будет описываться системой урав-

странственная корреляция сигнального и холостого

нений (см., например, [10])

фотонов, распространяющихся в строго противопо-

(

)

ложных направлениях, следующая из закона сохра-

A_s(x, y, z)

∂²

нения импульса, обеспечивает прекрасные возмож-

A_s(x, y, z) =

2k_s

∂x²

∂y²

ности формирования фантомных изображений: сиг-

= iχ⁽³⁾Aˆ+i (x, y, z),

(3)

нальный фотон будет освещать объект, а холостой —

259

А. В. Белинский, Р. Сингх

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

(

)

A_i(x, y, z)

∂²

-i

A_i(x, y, z) =

2k_i

∂x²

∂y²

= -iχ⁽³⁾Aˆ+s (x, y, z).

(4)

Здесь полевые операторы

∫∞

A_j(r, z) =

d²κ â_j(κ, z)eir·κ,

(5)

−∞

∫∞

A^†j(r, z) =

d²κ â^†j(κ, z)e-ir·κ,

(6)

−∞

Рис. 3. Жирная кривая показывает среднее число фото-

нов в модах s и i (Ns = Ni), а штриховая — коэффициент

где â_j и â^†j — соответственно операторы уничтоже-

корреляции после нелинейного взаимодействия в случае,

ния и рождения фотонов, интегрирование ведется в

когда затравкой было вакуумное состояние

поперечной плоскости r = {x, y}, z — продольная

координата, k_j — волновое число, χ⁽³⁾ — коэффи-

циент, пропорциональный кубичной нелинейности и

и следовало ожидать, они равны единичному опера-

квадрату амплитуды неистощимой накачки. Второе

тору.

слагаемое левых частей (3), (4) описывает дифрак-

Рассчитаем среднее число фотонов и коэффици-

цию.

ент их корреляции в случае, когда моды s и i исход-

Система уравнений (3), (4) аналогична соответ-

но (на входах) находятся в вакуумном состоянии:

ствующей системе для комплексных амплитуд A в

классическом описании. Линейность уравнений поз-

N_s(κ, ℓ) = 〈â^†s(κ, ℓ)â_s(κ, ℓ)〉 = tg²(χ⁽³⁾ℓ),

(9)

воляет заменить комплексные амплитуды А соот-

ветствующими операторами в представлении Гей-

N_i(κ, 0) = 〈â^†i(κ, 0)â_i(κ, 0)〉 = tg²(χ⁽³⁾ℓ),

(10)

зенберга, поскольку в линейных уравнениях пере-

множений операторов друг на друга нет, и некомму-

g(2)si = 1 + csc² (χ⁽³⁾ℓ).

(11)

тативность операторов на результат не влияет. Ана-

логичным образом влияние дифракции описывает-

Результаты представлены на рис. 3.

ся и для трехфотонных процессов, см., например,

Замечательно прежде всего то, что в выраже-

[11-15].

ния для средних чисел фотонов не входит κ. Это

Систему операторных уравнений (3), (4) можно

означает, что усиление абсолютно не зависит от на-

решить с помощью преобразования Фурье по x и y.

клона пучков, т. е. все они усиливаются одинаково,

Тогда получим систему обыкновенных дифференци-

следовательно, их угловая апертура не ограничена

альных уравнений, решение которых для нелиней-

условием фазового синхронизма и может принимать

ной среды длиной ℓ имеет следующий вид (ср. также

произвольное значение, определяемое лишь аперту-

с [16]):

рой оптических объективов, т. е. чисто технически-

ми особенностями, а не принципиальным лимитом.

â_s(κ, ℓ) = e^iKℓ sec(χ⁽³⁾ℓ)â_s(κ, 0)+

Таким образом, поставленная цель достигнута, и ка-

+ itg(χ⁽³⁾ℓ)â^†i(κ,ℓ),

(7)

чество дифракционно-ограниченной системы может

быть существенно повышено, поскольку сделать све-

тосильную качественную оптику значительно про-

â_i(κ, 0) = i tg (χ⁽³⁾ℓ)â^†s(κ, 0)+

ще, чем быть связанным непреодолимым условием

фазового синхронизма.

+ eiKℓ sec(χ⁽³⁾ℓ)â_i(κ,ℓ),

(8)

где K = |κ|²/2k_s,i, k_s = k_i.

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ

Для проверки адекватности полученных резуль-

татов проверим коммутационные соотношения для

Для снижения аберраций имеет смысл компонов-

операторов â_s(κ, ℓ), â^†s(κ, ℓ), â_i(κ, 0) и â^†i(κ, 0). Как

ка оптической системы, в которой нелинейная среда

260

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Встречное четырехфотонное смешивание. . .

работала бы в параллельных пучках лучей, см. так-

Финансирование. Работа выполнена при фи-

же [15, 17]. Можно поместить нелинейный кристалл

нансовой поддержке Российского фонда фундамен-

между двумя объективами так, чтобы он работал

тальных исследований (грант № 18-01-00598 А).

в параллельных пучках, как это показано на рис. 2.

При этом объект и фантомное изображения должны

находиться в фокальных плоскостях этих объекти-

ЛИТЕРАТУРА

вов. Это хороший вариант компоновки, поскольку

Квантовое изображение, под ред. М. И. Коло-

не только уничтожает связанные с дефокусировкой

бова (ориг.), А. С. Чиркина (перев.), Физматлит,

искажения, но и полностью компенсирует аберра-

Москва (2009).

ции, вносимые нелинейной средой. Ведь с точки зре-

ния геометрической оптики он работает как плоско-

M. G. Basset, F. Setzpfandt, F. Steinlechner et al.,

параллельная пластина, вносящая, по крайней мере,

Laser & Photonics Reviews. 13, 1900097 (2019).

сферическую аберрацию в сходящихся или расходя-

Д. Н. Клышко, Физические основы квантовой

щихся пучках. А в коллимированных — аберрации

электроники, Наука, Москва (1986).

отсутствуют.

А. В. Белинский, Вестник МГУ. Серия 3: Физика,

астрономия № 5, 3 (2018).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

P.-A. Moreau, P. A. Morris, E. Toninelli et al., Sci.

Rep. 8, 13183 (2018).

Подводя итоги работы, можно заключить,

P.-A. Moreau, P. A. Morris, E. Toninelli et al., Opt.

что встречное четырехфотонное смешивание может

Express. 26, 7528 (2018).

дать существенный выигрыш в качестве фантомных

Д. А. Балакин, А. В. Белинский, КЭ 49, 967 (2019).

изображений, поскольку при отсутствии ограниче-

ний угловой апертуры световых пучков, связанных

D. A. Balakin, A. V. Belinsky, and A. S. Chirkin,

с нивелированием условия фазового синхрониз-

Quantum Information Processing. 18, 80 (2019).

ма, пространственная корреляция сигнального

Б. Я. Зельдович, Н. Ф. Пилипецкий, В. В. Шку-

и холостого пучков в полной мере остается. А

нов, Обращение волнового фронта, Наука, Москва

снятие верхнего предела угловой апертуры дает

(1985).

возможность повысить предельное пространствен-

ное разрешение за счет смягчения дифракционных

10.

А. В. Белинский, Журнал прикладной спектро-

ограничений.

скопии 50, 469 (1989).

Вместе с тем, следует учитывать возможность

11.

А. В. Белинский, А. С. Чиркин, КЭ 15, 2150

негативного воздействия конкурирующих со встреч-

(1988).

ным четырехфотонным смешиванием процессов, в

частности, самовоздействия. Определенный опти-

12.

М. И. Колобов, И. В. Соколов, ЖЭТФ 96, 1945

мизм здесь внушают два обстоятельства. Во-пер-

(1989).

вых, малая интенсивность генерируемых пучков,

13.

M. I. Kolobov and I. V. Sokolov, Phys. Lett. A 140,

необходимая для формирования фантомных изоб-

101 (1989).

ражений, обусловит и незначительное самовоздей-

14.

И. В. Соколов, Опт. и спектр. 70, 670 (1991).

ствие. Ведь регистрация ведется в режиме счета фо-

тонов. Во-вторых, само существование зеркал с об-

15.

A. S. Chirkin and E. V. Makeev, J. Opt. B. Quantum

ращением волнового фронта (ОВФ-зеркал), исполь-

Semiclass. Opt. 5, S500 (2005).

зующих четырехфотонный процесс, также способ-

ных строить изображения, позволяет надеяться на

16.

А. Yariv and D. Pepper, Opt. Lett. 1, 16 (1977).

успех и в случае фантомных изображений.

17.

А. В. Белинский, КЭ 50, 951 (2020).

261