ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 2, стр. 262-269

ЭФФЕКТИВНЫЙ КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР РЕЗОНАТОРА

С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ПАРАМЕТРАМИ

А. И. Трубилкоa*, А. М. Башаровb,c**

^a Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

^b Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 11 августа 2020 г.,

после переработки 21 сентября 2020 г.

Принята к публикации 21 сентября 2020 г.

Введено понятие эффективного квантового осциллятора и найдена добавка к энергии основного состоя-

ния, обусловливающая дополнительный сдвиг энергетических состояний в условиях периодического из-

менения его частоты.

DOI: 10.31857/S0044451021020061

виях периодического изменения параметров кван-

товой системы во времени [4, 5]. Его первое экспе-

1. ВВЕДЕНИЕ

риментальное подтверждение осуществлено в рабо-

те [6]. Описание такой системы оказывается эквива-

К настоящему времени существуют два экспери-

лентным наличию в ней параметрического генерато-

ментально продемонстрированных физических эф-

ра, что было впервые продемонстрировано еще в ра-

фекта, обусловленные проявлением основного ваку-

боте [7] при условиях гармонического колебания од-

умного состояния бозонного поля, — эффект Ка-

ного из зеркал резонатора в вакууме. Однако созда-

зимира [1] и лэмбовский сдвиг [2] атомных уров-

ние безынерционного идеального зеркала, соверша-

ней. Оба эффекта являются следствием существо-

ющего колебания, вызывает технические трудности.

вания флуктуаций вакуумного состояния электро-

Поэтому в работе [8] предложен его аналог с помо-

магнитного поля, описываемого известными гейзен-

щью возбуждения в зеркале высокочастотых плаз-

берговскими коммутационными соотношениями. И

монных колебаний в течение некоторых промежут-

если лэмбовский сдвиг является прямым проявле-

ков времени, которые и продуцируют рождение фо-

нием энергии взаимодействия атома с окружающим

тонов внутри резонатора. Такая модуляция коэффи-

электромагнитными полем, то статический эффект

циента отражения одного из зеркал и ее отсутствие

Казимира является следствием изменения гранич-

отвечают условиям соответственно динамического и

ных условий задачи, дискретизирующих число воз-

статического эффектов. Квантование классических

можных состояний полевого энергетического кон-

уравнений Максвелла с изменяющимися граничны-

тинуума в пространстве резонатора. Отметим, что

ми условиями приводит к модели Мура - Лоу - До-

этот эффект также зарегистрирован с высокой сте-

донова [9-11]. В типичном рассматриваемом слу-

пенью точности современными экспериментальны-

чае периодического изменения граничных условий

ми методами [3].

или коэффициента преломления среды [4, 5] модель

Вместе с тем уже более полувека исследуется и

в представлении взаимодействия содержит быстро

динамический эффект Казимира, заключающийся в

меняющиеся во времени слагаемые.

генерации квантов электромагнитного поля в усло-

Чтобы извлечь информацию о такой системе,

^* E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

ее необходимо рассматривать как открытую систе-

^** E-mail: basharov@gmail.com

му. При достаточно быстром изменении слагаемых

262

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Эффективный квантовый осциллятор резонатора. ..

во времени (в представлении взаимодействия) ис-

но корректно говорить об изменениях в спектраль-

пользование исходного гамильтониана некорректно

ных характеристиках микрорезонатора с осцилли-

в типичном случае моделирования взаимодействия

рующими параметрами. Такая точка зрения отсут-

с окружением белым шумом. Это доказано в рабо-

ствовала в предыдущих работах.

те [12], а значительно ранее исследователи подме-

Рассмотрение резонаторной моды в условиях

чали, что использование точного исходного гамиль-

внешнего модулирования колебаний одного из зер-

тониана в теории открытых систем приводит к ки-

кал как эффективного осциллятора во внешнем по-

нетическому уравнению для открытой системы, не

ле в некотором смысле оказывается аналогичным

отвечающему ее реальной динамике. В то же вре-

описанию динамики атома в классическом заданном

мя использование в теории оптических открытых

высокочастотном электромагнитном поле. В обеих

систем приближения вращающейся волны приводит

задачах гамильтониан системы оказывается завися-

к реалистичному кинетического уравнению для от-

щим от времени, и затруднительно говорить о спект-

крытой системы. Это отмечалось, например, в ра-

ре гамильтониана всей системы. Можно пользовать-

боте [13]. В работе [12] также доказано, что исполь-

ся методом Флоке [15], представлениями о квази-

зование (вместо точного гамильтониана) эффектив-

энергии и усредненном гамильтониане, но в данной

ного гамильтониана в том представлении, как это

задаче они, скорее, затушевывают физику процес-

сформулировано в работе [14], адекватно теории от-

сов. В случае атома периодическое классическое по-

крытых оптических систем. Теория эффективного

ле (как резонансное, так и нерезонансное) вызывает

гамильтониана, в том виде как она представлена в

так называемые динамические штарковские сдвиги

[14] и в других работах авторов, является алгебраи-

атомных уровней за счет высокочастотногоэффекта

ческой формулировкой теории возмущений, уточня-

Штарка [16]. При этом становится возможным гово-

ющей и обобщающей приближение вращающей вол-

рить о спектре атома и энергии его основного состо-

ны, включая ее как частный случай первого порядка

яния. Аналогично, локальный подход к задаче о ди-

по взаимодействию. Поэтому представляется есте-

намическом эффекте Казимира позволяет говорить

ственным применить алгебраическую теорию воз-

о спектре эффективного осциллятора и энергии его

мущений и к задаче о резонаторе с колеблющим-

основного состояния. Гамильтониан эффективного

ся зеркалом. В теории открытых квантовых систем

осциллятора в дальнейшем будем также именовать

об использовании указанной алгебраической теории

эффективным гамильтонианом осциллятора, пола-

возмущений говорят как о локальном подходе к тео-

гая, что это естественно с точки зрения теории эф-

рии открытых квантовых систем.

фективного гамильтониана и не вызовет недоразу-

В условиях, когда гамильтониан резонатора ме-

мений.

няется со временем, его описание как открытой

Метод эффективного гамильтониана эквивален-

системы во внешнем поле (колеблющееся зеркало)

тен суммированию бесконечного числа членов обыч-

выделяет в рассматриваемой модели эффективный

ной теории возмущений, а по сравнению с прибли-

квантовый осциллятор как самостоятельный объ-

жением вращающейся волны устанавливает жест-

ект, характеризуемый своей частотой. Эта частота

кие ограничения на условия справедливости послед-

оказывается сдвинутой по сравнению с частотой ос-

него и дает поправки, что часто называют выхо-

циллятора с неподвижным зеркалом, причем этот

дом за приближение вращающейся волны или уче-

сдвиг может быть экспериментально зарегистриро-

том антивращающих слагаемых. Эти поправки мо-

ван. Если резонатор с колеблющимся зеркалом бу-

гут быть существенными и иметь эксперименталь-

дет участвовать в обычных для квантовой опти-

ное проявление. Например, в случае взаимодействия

ки взаимодействиях с электромагнитными полями,

атома и вакуумного электромагнитного поля в элек-

например, взаимодействуя с ними на неподвижном

тродипольном приближении эти поправки дают аль-

зеркале, то при его описании в рамках локально-

тернативный вывод лэмбовского сдвига, а в случае

го подхода эффективный осциллятор проявится в

атомного ансамбля — учет диполь-дипольного взаи-

качестве основного самостоятельного объекта вза-

модействия. Подчеркнем, что применяемый нами

имодействия, так что его параметры могут быть

локальный подход не использует каких-либо искус-

при их помощи зарегистрированы. Подчеркнем, что

ственных приближений и соображений, а позволяет

рассмотрение резонатора с колеблющимся зеркалом

естественным образом учитывать основные исполь-

как открытой системы необходимо для извлечения

зуемые приближения, отделяя медленную и быстро-

спектроскопической информации о нем, а без введе-

временную динамики задачи. Используемая методи-

ния понятия эффективного осциллятора невозмож-

ка позволяет провести корректный учет эффектов

263

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

второго порядка, определяемых квантовой интер-

дового приближения. Гамильтониан такой системы,

ференцией от различных каналов взаимодействий.

в отличие от общего случая действия всех допусти-

Именно эта естественная адекватность и раскрыва-

мых резонатором осцилляторов на выделенный, за-

ет в полной мере его преимущества по сравнению с

висит от операторов рождения a^† и уничтожения a

другими методами решения, зачастую выявляя но-

только избранного осциллятора и описывается сле-

вые явления, как, например, рассматриваемое ниже

дующим полным гамильтонианом системы:

в этой статье.

H =H₁ +H₂,

Экспериментальные исследования состояния по-

[

]

(1)

ля в динамическом эффекте Казимира обычно про-

H₁ = ℏω(t)a^†a, H₂ = iℏχ(t)

a†2 - a²

водят или прямыми спектроскопическими метода-

ми, или посредством регистрации состояния атома,

При записи выражений (1) мы учли модуляцию кон-

помещенного в пространство между двумя зеркала-

станты параметрического взаимодействия

ми резонатора. Вторая постановка получила назва-

dω

ние квантовой электродинамики резонатора [17] и

χ(t) =

4ω(t) dt

обычно осуществляется на ридберговских высоко-

возбужденных состояниях. Аналогичная физичес-

которая моделируется гармонической зависимостью

кая ситуация реализуется в спазере [18], описываю-

частоты ω(t) = ω₀(1 + ϵ sin ηt), где ω₀ — собствен-

щем взаимодействие плазмонов с выделенной кван-

ная частота рассматриваемой моды в статическом

товой точкой, отвечающей двухуровневой модели.

режиме, η — частота модуляции, а глубина модуля-

В работе [19] найден эффект, согласно которому

ции ϵ считается малым параметром, ϵ ≪ 1. Такой

быстрая модуляция параметров резонатора приво-

закон может быть обеспечен адекватной зависимос-

дит к дополнительному лэмбовскому сдвигу рабо-

тью от времени какого-либо параметра системы —

чих уровней атома в резонаторе, что влияет на ге-

это может быть как гармоническое колебание одно-

нерируемое состояние поля и приводит к дополни-

го из зеркал, созданное, например, колебаниями по-

тельному механизму рождения квантов.

верхностной плазмонной моды, так и соответствую-

В этой работе мы обращаем внимание на доста-

щая зависимость его характеристик, например ко-

точно простой, но в то же время неучтенный эф-

эффициента пропускания от времени. Заметим, что

фект. Он заключается в появлении в режиме перио-

мы выбираем традиционный вид гамильтониана для

дической модуляции параметров системы дополни-

рассматриваемой задачи, который обычно исполь-

тельного сдвига собственной частоты эффективно-

зуется в задачах квантовой оптики [21] и кванто-

го осциллятора в основном состоянии. Эксперимен-

вой электродинамики [22] резонаторов для генера-

тальная регистрация вакуумного состояния эффек-

ции электромагнитных полей в квантовых состоя-

тивного осциллятора вполне осуществима метода-

ниях.

ми спектроскопии [20]. Отметим, что в большинстве

Удобно переписать выражение (1) в виде

работ рассмотрен и реализован случай резонансно-

го взаимодействия, где представленный здесь эф-

H =H₀ +V₁ +V₂,

(2)

фект оказывается завуалирован процессом радиаци-

онного давления порождаемого излучения и резо-

где выделены гамильтониан стационарной задачи

натора. Мы уделяем особое внимание также и слу-

H₀ = ℏω₀a^†a и два зависящих от времени слагае-

чаю нерезонансного взаимодействия, где представ-

мых, отвечающих малым возмущениям:

ленный и выявленный эффект проявится в экспе-

ℏω₀

рименте в значительно большей мере. В некотором

V₁ = -i

ϵ(e^iηt - e^-iηt)a^†a,

смысле найденный эффект дополняет результаты

работы [19], полученные для атомного осциллятора

ℏϵη cosηt

V₂ = i

(a†2 - a²).

на случай квантового осциллятора. При этом впер-

вые локальный подход квантовой теории применен

Указанное разделение полного гамильтониана и

к задаче о динамическом эффекте Казимира.

выделение слагаемых, отвечающих малому возму-

щению системы и параметрическому взаимодейст-

2. ЛОКАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О

вию, позволяют построить эффективный гамильто-

ДИНАМИЧЕСКОМ ЭФФЕКТЕ КАЗИМИРА

ниан системы. Для этого воспользуемся методами

Рассмотрим резонатор в модели Мура - Лоу - До-

алгебраической теории возмущений [14]. Его основ-

донова [9-11] для самой простой ситуации одномо-

ная парадигма состоит в нахождении такого вида

264

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Эффективный квантовый осциллятор резонатора. ..

оператора унитарного преобразования, применение

очередь, зависит от количества слагаемых, которые

которого к гамильтониану системы и ее волновой

учитываются в разложениях по малым параметрам

функции позволяет провести усреднение по быстро-

задачи,

протекающим процессам. Основным критерием при-

V eff(t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t) +

V (1,1)(t) + . . . ,

(6)

менения метода является получение гамильтониана

такого вида, в котором отсутствуют быстро меняю-

где первый верхний индекс указывает порядок

щиеся во времени слагаемые в представлении вза-

разложения по взаимодействию V₁(t), а правый —

имодействия. Совершим унитарное преобразование

по взаимодействию V₂(t). Представим оператор

T над вектором состояния |Ψ〉 системы, |^Ψ〉 =

T |Ψ〉,

унитарного преобразования через генератор

(

)

который теперь описывается уравнением

= exp

- iS(t)

, S(t)

= S^†(t), который также

разложим в ряд по этим же параметрам:

iℏ

|^Ψ〉 =

H|^Ψ〉

S(t) = S(1,0)(t) + S(0,1)(t) + S(1,1)(t) + . . .

(7)

с преобразованным гамильтонианом

Воспользовавшись известной формулой разло-

H₌

жения Бейкера - Кемпбелла - Хаусдорфа для произ-

THT† - i

T^†.

(3)

вольного оператора O и эрмитова оператора R,

Для дальнейшего рассмотрения удобно перейти

[

]

[

]]

i² [

к представлению взаимодействия Дирака, отмечая

e^iRtOe^-iRt = O + i R, O +

R, R, O

вектор состояния |Ψ(t)〉 аргументом t и представляя

[

]]]

i³ [

уравнение Шредингера как

R, R, R, O

+...,

(

)

приравняем соответствующие порядки в уравне-

iℏ

|Ψ(t)〉 = V₁(t) + V₂(t) |Ψ(t)〉,

(4)

нии (3).

где выделенные взаимодействия имеют следующий

Для случая отсутствия резонансов в системе опе-

вид:

раторы V₁(t) и V₂(t) отвечают объединенному опера-

тору V (t) = V₁(t) + V₂(t), характеризуемому одним

ℏω₀

малым параметром ϵ. Введем соотношения

V₁(t) = -i

V (1)(t) =

V (1,0)(t) +

V (0,1)(t),

× ϵ{exp[i(2ω₀ + Δ)t] - exp[-i(2ω₀ + Δ)t]}a^†a,

S⁽¹⁾(t) = S(1,0)(t) + S(0,1)(t),

V (2)(t) =

V (2,0)(t) +

V (0,2)(t),

ℏϵη cos(2ω₀+Δ)t

V₂(t) = i

V (1,1)(t) = 0, S⁽²⁾(t) = S(2,0)(t) + S(0,2)(t).

Тогда первый порядок теории возмущений отвечает

× [a†2 exp(2iω₀t)-a² exp(-2iω₀t)].

уравнению

При записи последних мы представили частоту мо-

V (1)(t) = V (t) + ℏ

S⁽¹⁾(t) = 0,

дуляции как η = 2ω₀ + Δ.

Рассмотрим два случая — наличие и отсутствие

которое определяет следующий явный вид операто-

в системе каких-либо резонансов.

ра S⁽¹⁾(t) в условиях адиабатического начала осцил-

В случае отсутствия резонансов считаем отст-

ляции:

ройку Δ большой, и слагаемые, содержащие функ-

ции exp(-iω₀t), exp(-iΔt), являются быстроменяю-

ϵω₀

S⁽¹⁾(t) =

(e^iηt - e^-iηt)a^†a -

щимися функциями времени.

2η

)

Совершая унитарное преобразование уравнения

ϵη

⁽ exp[i(2ω₀ + η)t]

exp[i(2ω₀ - η)t]

a†2

(4), найдем уравнение для преобразованного векто-

2ω₀ + η

2ω₀ - η

)

ра |Ψ(t)〉:

ϵη

⁽ exp[-i(2ω₀ - η)t]

exp[-i(2ω₀ + η)t]

−

a²

2ω₀ - η

2ω₀

+η

iℏ

|Ψ(t)〉 =

V eff(t)|Ψ(t)〉,

(5)

Для второго порядка следует уравнение

которое определяется искомым эффективным га-

[

]_′

мильтонианом

V eff(t) системы. Последний, в свою

V(2)

(t) = -

S⁽¹⁾(t), V (t)

265

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

где штрих означает, что в выражении оставлены

Рассмотрим случай двухфотонного резонанса в

только медленно меняющиеся во времени слагае-

системе в условиях, когда η ≈ 2ω₀, а отстройка час-

мые. Обратим внимание, что в приведенной фор-

тот Δ — величина малая. Тогда, используя разло-

муле перед коммутатором стоит сомножитель -i/2

жения (6), (7) и применяя формулу Бейкера - Кемп-

вместо -i, если было бы использовано только второе

белла - Хаусдорфа, в первом порядке имеем

слагаемое разложения Бейкера - Кемпбелла - Хаус-

V (1,0)(t) = ℏ

S(1,0)(t) +

V (1)(t) = 0,

дорфа. Различие связано с корректным учетом сла-

гаемого второго порядка в последнем слагаемом

cos((2ω₀ + Δ)t)

S(1,0)(t) = ϵω0

a^†a,

правой части уравнения (3).

2ω₀ + Δ

(10)

Явное выражение для

V (2)(t) имеет простой вид:

V (0,1)(t) = ℏ

S(0,1)(t) +

V (2)(t) =

(

)

(

)

(ϵη)

ϵη

V (2)(t) = -ℏ

a^†a +

= iℏ

e-iΔta†2 - eiΔta2 ,

[

]

ϵη

⁽ exp[i(4ω₀ + Δ)t]

(8)

S(0,1)(t) =

a†2 +

2ω₀ + η

2ω₀ - η

4ω₀ + Δ

)

Для случая нерезонансного взаимодействия выра-

exp[-i(4ω₀ + Δ)t]

+ a²

жение (8) является единственным слагаемым пер-

4ω₀ + Δ

вого неисчезающего порядка в картине взаимодей-

Представим выражения и для вторых порядков:

ствия и определяет динамику системы. В картине

V (2,0)(t) =

V (1,1)(t) = 0,

Шредингера ему отвечает эффективный гамильто-

]_′

i^[

ниан H₀ +V (2), описывающий эффективный осцил-

V (0,2)(t) = -

S(0,1)(t), V₂(t)

(11)

лятор. Здесь

V(2) =

V (2)(t) и мы опустили знак ар-

(ϵη)² 1 + 2a^†a

гумента, поскольку явное наличие аргумента време-

= -ℏ

ни отмечает представление взаимодействия.

4ω₀

+Δ

Среднее значение оператора

V (2)(t) можно най-

Заметим, что в представлении Шредингера эф-

ти разными способами, поскольку оно определено

фективный гамильтониан резонатора имеет вид

средним значением оператора a^†a числа возбуж-

)

ϵη⁽

H =

H^eff

+ iℏ

a†2 exp(-2iω₀t) - a² exp(2iω₀t) ,

дений системы. Например, это можно сделать пу-

тем построения гейзенберговых уравнений движе-

(ϵη)² 1 + 2a^†a

H^eff

ния в представлении взаимодействия. В данном слу-

=H₀ -ℏ

4ω₀ + Δ

чае очевидно, что исследуемый оператор a^†a явля-

Здесь

H^eff

— гамильтониан эффективного осцилля-

ется интегралом движения, а его среднее определя-

тора, а его взаимодействие с движущимся зеркалом

ется начальным значением в вакуумном состоянии,

описывается оператором

следовательно, равно нулю. Физически это означа-

)

ет, что вакуумное состояние не развивается в этом

ϵη⁽

iℏ

a†2 exp(-2iω₀t) - a² exp(2iω₀t)

порядке разложения, а поправка к энергии основно-

го состояния определена его флуктуациями и уже

Необходимые для дальнейшего средние от опера-

учтена.

торов наиболее просто могут быть определены в гей-

Эта поправка к энергии основного состояния

зенберговской картине взаимодействия, эволюцию

квантового осциллятора, производимая в динамиче-

операторов в которой будем обозначать, чтобы не

ском эффекте, для случая отсутствия резонансов в

было путаницы, нижними индексами. Динамика си-

системе равна

стемы в главном порядке определяется теперь имен-

[

]

(ϵη)

но взаимодействием (10), которое описывает явле-

ΔE = -

(9)

2ω₀ + η

2ω₀ - η

ние вырожденной параметрической генерации. Эво-

люция операторов рождения и уничтожения в про-

Именно эта величина и характеризует дополнитель-

стом случае exp(±iΔt) ≈ 1 сводится к известному

ный стационарный энергетический сдвиг основного

преобразованию

состояния осциллятора резонатора, который здесь

выступает в роли эффективного осциллятора. Под-

a_t = a₀ chr + a†0 shr,

черкнем, что она также продуцирована коммута-

где нижний индекс «0» отвечает начальным услови-

ционными соотношениями операторов рождения и

уничтожения фотонов.

ям, а r = (ϵη/4)t — параметр сжатия.

266

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Эффективный квантовый осциллятор резонатора. ..

Усредним теперь искомые средние по исходному

чае найдем как помодовую разность энергии элек-

вакуумному состоянию. В этом случае не зависящая

тромагнитного поля внутри резонатора и в свобод-

от времени добавка к энергии определяется соотно-

ном пространстве. Единственная собственная часто-

шением

та одночастотного резонатора из граничных усло-

(ϵη)

вий определена соотношением ω₀ = πc/ℓ, где c —

-ℏ

4ω₀ + Δ

скорость света. Для случая свободного простран-

Остальные средние зависят от параметра сжатия,

ства собственная энергия равна нулю ввиду устрем-

который, в свою очередь, определяется временем

ления собственного размера к бесконечности. Ве-

взаимодействия. В частности, слагаемое от среднего

личина силы притяжения в этом случае определя-

числа рожденных из вакуума квантов возбуждения,

ется соотношением F = -ℏω20/2πc. Отметим, что

〈a^†ta_t〉 = sh² r, определяет радиационное давление.

собственная энергия всех остальных мод свободно-

В исходной шредингеровской картине развитому

го пространства не зависит от параметра ℓ и вклада

из основного вакуумного состояния эффективного

в значение силы не дает. Этот же результат может

осциллятора отвечает его сжатое вакуумное состоя-

быть получен и путем адиабатического изменения

ние, а его средняя энергия наряду со стационарным

параметра проницаемости двух стенок, разграничи-

сдвигом в том же порядке имеет зависящее от вре-

вающих одномерное пространство.

мени слагаемое от среднего значения числа квантов

Регистрация предложенного явления может

возбуждения, полученных в процессе вырожденной

быть осуществлена в следующем эксперименте.

параметрической генерации.

Пусть резонатор представляет собой два параллель-

Отметим, что найденные в задаче величины не

ных зеркала, где только одно подвергается дина-

зависят от выбора модуляции частоты в форме

мическим осцилляциям, а другое непосредственно

ω(t) = ω₀(1 + ϵ sin ηt) или ω(t) = ω₀(1 + ϵ cos ηt).

служит для регистрации силы Казимира. Различия

С точки зрения унитарной симметрии квантовой

наблюдаются в разнице значений величины силы

теории, задачу можно исследовать диагонализацией

по сравнению с ситуацией, когда оба зеркала непо-

исходного гамильтониана. Последнее отвечает гло-

движны, а эксперимент статичен. Отметим, что к

бальному подходу квантовой теории и также осу-

настоящему времени удалось зарегистрировать ве-

ществляется унитарным преобразованием, напри-

личину энергии основного состояния осциллятора

мер методом непрерывного унитарного преобразова-

по эффекту возникновения сжатых квантовых со-

ния [23-25]. В обсуждаемой задаче диагонализация

стояний параметрического генератора [20]. Кроме

гамильтониана (1) не проводилась. Локальный под-

того, развитие методов исследования в нанометро-

ход в рассматриваемых условиях оказывается про-

вом диапазоне [27], как, например, совершенствова-

ще и эффективнее. Диагональная часть эффектив-

ние метода динамической голографии [28], позволя-

ного гамильтониана уже содержит основные поправ-

ет надеяться на регистрацию рассмотренного нами

ки и вводит понятие эффективного осциллятора, ко-

эффекта.

торое сохраняется при учете возможных новых вза-

имодействий при рассмотрении резонатора с колеб-

лющимся зеркалом как объекта теории открытых

3. ОБСУЖДЕНИЕ

квантовых систем. Дальнейшая диагонализация эф-

фективного гамильтониана дает поправки к уже по-

Представленное применение методов локально-

лученным величинам более высокого порядка мало-

го подхода квантовой теории к динамическому эф-

сти [14].

фекту Казимира демонстрирует возможность сле-

Проанализированная здесь ситуация, когда в

дующего общего подхода к подобным задачам. По-

динамическом эффекте Казимира уровни энергии

лученный вид эффективного гамильтониана задачи

стационарного режима гармонического осциллято-

в резонансном и нерезонансном случаях достаточ-

ра приобретают дополнительный энергетический

но универсален. Локальный подход основан на ал-

сдвиг, по нашему мнению, является чрезвычайно

гебраической теории возмущений [12, 14, 29], кото-

важной с фундаментальной точки зрения. Приве-

рая позволяет получать эффективные гамильтони-

дем следующее рассуждение в простейшем случае.

аны задач типа Мура - Лоу - Додонова в областях

Найдем силу Казимира как производную убыли ра-

параметров, в которых частотный спектр системы

боты E, совершенной при адиабатическом измене-

четко обусловлен одной или несколькими характер-

нии размера ℓ квантования одномерного резонатора

ными частотами, а некоторые взаимодействия могут

[26]. Эту физическую величину в статическом слу-

считаться малыми. При этом локальный подход да-

267

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

ет возможность обсуждать и исследовать спектры

фонда фундаментальных исследований (грант

основных эффективных компонент открытой систе-

№19-02-00234а).

мы. Виды эффективных гамильтонианов здесь уни-

версальны и определяются помимо структуры спек-

тра подсистем открытых систем, в которой возмож-

ЛИТЕРАТУРА

ны различные резонансные условия, алгеброй опе-

H. B. Z. Casimir, Proc. Kon. Neder. Akad. Wet. 51,

раторов задачи. Поэтому определенные в данной

793 (1948).

работе эффективные гамильтонианы для случаев

нерезонансного изменения параметров и двухкван-

Jr W. E. Lamb and R. C. Retherford, Phys. Rev. 72,

тового резонанса при изменении параметров могут

241 (1947).

быть получены путем применения алгебраической

J. N. Mundey, F. Capasso, and V. A. Parsegian,

теории возмущений к фундаментальным квантовым

Nature 457, 170 (2009).

моделям Джейнса - Каммингса [30] и Тависа - Кам-

V. V. Dodonov, Physics 2, 67 (2020).

мингса [31], в которых константы взаимодействия

фотонной моды с атомами промодулированы и рас-

V. V. Dodonov, Phys. Scr. 82, 038105 (2010).

смотрены соответствующие резонансные (или нере-

зонансные) условия. Соответствующие вычисления

C. M. Wilson, G. Johansson, A. Pourkabirian,

J. R. Johansson, T. Duty, F. Nori, and P. Delsing,

здесь стандартны и аналогичны [32].

Nature 479, 376 (2011).

При этом возникающие сдвиги энергетических

уровней и константы связи следует рассматривать

Л. А. Ривлин, КЭ 6, 2248 (1979).

как параметры теории, которые могут быть получе-

C. Braggio, G. Bressi, G.Carugno, C. del Noce,

ны в результате прямого квантования классической

G. Galeazzi, A. Lombardi, A. Palmieri, G. Ruoso,

модели задачи, как это проделано в классических

and D. Zanello, Europhys. Lett. 70, 754 (2005).

работах [9-11]. Отметим, что до сих пор для анали-

за эффектов в условиях квантовой модели, вызван-

G. T. Moore, J. Math. Phys. 11, 2679 (1970).

ных периодическими изменениями ее параметров,

10.

C. K. Law, Phys. Rev. A 49, 433 (1994).

практикуется непосредственное квантование исход-

ной классической модели, как, например, в недавней

11.

V. V. Dodonov and A. B. Klimov, Phys. Rev. A 53,

2664 (1996).

работе [33], в которой, как и раньше [9-11], ничего

не говорится о роли эффективного квантового ос-

12.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

циллятора и его возможном сдвиге энергии.

111, 632 (2020).

Подход на основе алгебраической теории воз-

13.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

мущений при применении к известным квантовым

моделям (минуя стадию первичного квантования)

14.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

оставляет в стороне лишь вопросы и эффекты, свя-

tical Waves, Kluwer Acad., Dordrecht (1999).

занные с нетривиальным адиабатическим измене-

15.

Р. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в од-

нием параметров квантовой системы. Но при этом

ном и двух измерениях, Мир, Москва (1990).

локальный подход к известным моделям позволя-

ет вводить понятия эффективных составляющих

16.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопу-

открытых систем и сразу представлять и анализи-

ло, Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия

ровать возможные новые физические эффекты, обу-

света с веществом, Наука, Москва (1977).

словленные периодическим изменением каких-либо

17.

Г. Вальтер, УФН 166, 777 (1996).

параметров рассматриваемой модели в очерченных

рамках. Поэтому представленный в работе подход

18.

D. J. Bergman and M. I. Stockman, Phys. Rev. Lett.

90, 027402 (2003).

дает теоретическую основу для дальнейших иссле-

дований динамики резонатора с периодической мо-

19.

Ю. Е. Лозовик, Н. Б. Нарожный, А. М. Федотов,

дуляцией границ как открытой системы. При этом

Письма в ЖЭТФ 72, 344 (2000).

параметры возникающих эффективных компонент

20.

I.-C. Benea-Chelmus, F. F. Settembrini, G. Scalari,

доступны экспериментальным измерениям.

and J. Faist, Nature 568, 202 (2019).

Финансирование. Работа выполнена при

21.

Д. Н. Клышко, Фотоны и нелинейные среды, Нау-

частичной финансовой поддержке Российского

ка, Москва (1980).

268