ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 2, стр. 297-306

ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ОНДУЛЯТОРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

А. А. Шишмаревa,b*, А. Д. Левинc**, В. Г. Багровb,a***, Д. М. Гитманc,d****

^a Институт сильноточной электроники Сибирского отделения Российской академии наук

634055, Томск, Россия

^b Физический факультет, Томский государственный университет

634050, Томск, Россия

^c Институт физики, Университет Сан-Паулу

05508-090, Сан-Паулу, СП, Бразилия

^d Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 1 сентября 2020 г.,

после переработки 24 октября 2020 г.

Принята к публикации 24 октября 2020 г.

Представлено полуклассическое приближение для вычисления излучения от классических токов. В част-

ности, использованы точные квантовые состояния квантованного электромагнитного поля, взаимодейст-

вующего с классическими токами, для вычисления вероятности многофотонного излучения в том случае,

когда начальное состояние электромагнитного поля было вакуумом. Мы изучаем характеристики элек-

тромагнитного излучения плоского ондулятора, находим полную излученную энергию и ее спектрально-

угловое распределение, а также сравниваем наши результаты с результатами, полученными в рамках

классической электродинамики, обсуждаем различия, появляющиеся в результате точного учета кван-

товой природы электромагнитного излучения, и приводим некоторые численные вычисления, подтвер-

ждающие это обсуждение. В Приложении приведено вычисление излученной энергии, выполненное с

помощью альтернативной параметризации траектории электронов, движущихся в планарном ондулято-

ре.

DOI: 10.31857/S0044451021020097

источником излучения, тесно связанным с СИ, яв-

ляются периодические магнитные структуры,

ко-

1. ВВЕДЕНИЕ

торые называются ондуляторами или вигглерами.

Оригинальное название «ондулятор» было предло-

В общем случае, заряженные частицы, движу-

жено Мотцем [5], предложившим несколько приме-

щиеся с ускорением, испускают электромагнитное

нений для таких источников излучения, а именно:

излучение. К примеру, синхротронное излучение

генерацию энергии в конкретных диапазонах спек-

(СИ) сопровождает движение заряженных частиц

тра (от миллиметрового до инфракрасного излуче-

по круговым траекториям, которое может быть вы-

ния), контроль скорости электронных пучков в уско-

звано наличием внешнего магнитного поля [1]. СИ

рителях, измерение скорости быстро движущихся

имеет множество важных применений в физике, ме-

электронов или других частиц, таких как мезоны

дицине и промышленности (см., к примеру, [2]).

или протоны.

Гинзбург в работе [3] впервые предложил примене-

ние быстро движущихся заряженных частиц в ка-

В рамках классической электродинамики фор-

честве источника излучения, см. также [4]. Другим

мула для углового распределения мощности СИ бы-

ла впервые получена Шоттом [6]. Альтернативный

^* E-mail: a.a.shishmarev@mail.ru

способ получения этого выражения и его глубокий

^** E-mail: alexander.d.levin@gmail.com

^*** E-mail: bagrov@phys.tsu.ru

анализ, в особенности для высокоэнергетических ре-

^**** E-mail: dmitrygitman@hotmail.com

лятивистских электронов, был представлен Швин-

297

А. А. Шишмарев, А. Д. Левин, В. Г. Багров, Д. М. Гитман

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

гером [7]. Квантовые поправки к классическому ре-

на - Гордона в таких полях. Другие известные мето-

зультату и обсуждение их значимости были впервые

ды, например, метод Швингера, связаны с исполь-

приведены в работе [8]. Последовательный расчет

зованием дополнительных приближений. Если для

таких поправок впервые появился в работах [9], где

описания СИ точные решения таких волновых урав-

использовалась картина Фарри [10] (иными слова-

нений с постоянными и однородными магнитными

ми, точные решения уравнения Дирака с магнитным

полями известны и хорошо изучены, то для случая

полем). Используя собственную теорию источников

описания ОИ точные решения в периодических маг-

[11], Швингер позже представил оригинальный спо-

нитных структурах до сих пор не найдены. В свя-

соб получения схожих результатов [12]. Новый про-

зи с этим в работе [13] мы предложили подход к

межуточный подход для описания СИ, в котором

описанию квантовых свойств излучения тока заря-

ток электронов рассматривается классически, тогда

женных частиц, который не требует использования

как квантовая природа излучения учитывается точ-

картины Фарри, а именно сложной техники рабо-

но, был представлен в работе [13].

ты с точными решениями. В этом подходе электри-

До сих пор большая часть работ по излучению

ческие токи, генерирующие излучение, рассматри-

электронов, движущихся в ондуляторах, проводи-

ваются классическим образом, тогда как квантовая

лась с применением методов классической электро-

природа электромагнитного поля учитывается точ-

динамики. В этих подходах ондуляторное излуче-

но. Здесь и далее в статье мы называем такой спо-

ние (ОИ) вычисляется с помощью потенциалов Лие-

соб вычисления излучения полуклассическим при-

нара - Вихерта для высокоэнергетического электро-

ближением. Естественно, что полуклассическое при-

на. Эти потенциалы позволяют найти электриче-

ближение имеет свою область применимости; в част-

ское и магнитное поля, которые, в свою очередь, ис-

ности, в нем не учитывается эффект обратного вли-

пользуются для вычисления потока энергии, интен-

яния поля излучения на заряженные частицы. Од-

сивности или мощности при помощи вектора Умо-

нако, оно может быть полезно в некоторых случаях.

ва - Пойнтинга. В 1951 году Мотц [5] предложил схе-

Например, оно позволяет вычислять одно- и много-

му планарного ондулятора и исследовал излучение

фотонное излучение без необходимости усложнять

электронов, движущихся в таком устройстве. Важ-

расчеты использованием соответствующих решений

ный вклад в изучение проблемы ОИ внесли авторы

уравнения Дирака. Эффективность полуклассичес-

работ [14]. В частности, было вычислено излучение

кого приближения была показана на примере вы-

электронов в спиральном ондуляторе и представ-

числения СИ.

лены спектрально-угловые распределения интенсив-

Данная статья организована следующим обра-

ности излучения в различных приближениях. Из-

зом. В разд. 2 мы приводим полуклассическое при-

лучение релятивистских электронов, движущихся в

ближение для описания излучения от классических

планарном ондуляторе, в частности, в устройстве

токов. В частности, мы используем точные кван-

конечной длины, изучалась в работах [15, 16]. По-

товые состояния квантованного электромагнитного

лученные результаты часто интерпретировались в

поля, взаимодействующие с классическими токами.

терминах излученных фотонов, например, в работах

Эти состояния используются для вычисления веро-

[5,14]. В работах Байера и др. [17] использовался ме-

ятности многофотонного излучения из вакуумного

тод Швингера и некоторые подходящие приближе-

начального состояния электромагнитного поля. Та-

ния для вычисления спектрально-углового распре-

ким образом, в разд. 3 мы изучаем характеристики

деления интенсивности излучения электронов, дви-

электромагнитного излучения в планарном ондуля-

жущихся в периодических магнитных структурах.

торе в полуклассическом приближении. Мы нахо-

Аргументы, приведенные Швингером [8] в поль-

дим полную излученную энергию и ее спектраль-

зу того факта, что при описании СИ квантовые

но-угловое распределение. В разд. 4 мы сравнива-

поправки могут в определенных условиях вносить

ем наши результаты с теми, которые были получе-

в излучение существенный вклад, остаются спра-

ны в рамках классической электродинамики, обсуж-

ведливыми и для ОИ. Здесь возникает следующая

даем отличия, появляющиеся в результате точного

проблема. Как правило, последовательное кванто-

учета квантовой природы электромагнитного излу-

вое описание процессов излучения заряженных час-

чения, и приводим некоторые численные вычисле-

тиц в сильных внешних полях (в рамках кванто-

ния, подтверждающие это обсуждение. В Приложе-

вой электродинамики) формулируется в так назы-

нии для вычисления излученной энергии мы исполь-

ваемой картине Фарри [10] и основывается на зна-

зуем альтернативную параметризацию траектории

нии точных решений уравнений Дирака или Клей-

электронов, движущихся в планарном ондуляторе.

298

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Полуклассическое описание ондуляторного излучения

ϵkλϵ∗kσ = δ_λσ, ϵkλk = 0,

2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

КЛАССИЧЕСКОГО ТОКА В

∑

(3)

ПОЛУКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

ϵikλϵj∗kλ = δ^ij - kⁱk^j |k|-2 .

λ=1

Полуклассическое приближение, рассмотренное

В нашем рассмотрении эти векторы выбираются в

в работе [13], основывается на возможности постро-

следующем виде:

ить точные квантовые состояния электромагнитно-

k = (k0 sinθcosϕ,k0 sinθsinϕ,k0 cosθ),

го поля, взаимодействующего с классическими то-

ками. С помощью таких состояний можно вычис-

ϵ_k1 = (cosϕcos θ, sinϕcosθ, - sinθ),

лять вероятность излучения фотона и выводить

ϵ_k2 = (- sinϕ, cosϕ, 0),

(4)

спектрально-угловое распределение энергии, испус-

ϵ_k1 · ϵ_k1 = ϵ_k2 · ϵ_k2 = 1,

каемой в процессе однофотонного или многофотон-

ϵ_k1 · ϵ_k2 = ϵ_k1 · k = ϵ_k2 · k = 0.

ного излучения. Ниже мы приводим эти формулы,

детальный вывод которых читатель может найти в

Энергия N фотонов с заданными квантовыми

упомянутой работе [13].

числами k_aλ_a зависит только от их импульсов k_a

В общем случае классический ток j^μ (x)

и не зависит от их поляризаций; она равна

(

)

j⁰(x), jⁱ (x) , i = 1, 2, 3

, взаимодействующий с

∑

электромагнитным полем, влияет на его кванто-

W (k₁λ₁, . . . , k_N λ_N ) = ℏc

|k_a| .

(5)

вые состояния. Дифференциальная вероятность

a=1

P (k₁λ₁, . . . , k_N λ_N ; t) излучения из вакуумного

Таким образом, энергия, излученная в процессе,

состояния N фотонов, каждый из которых харак-

имеет вид

теризуется волновым вектором k_a и поляризацией

W (k₁λ₁, . . ., k_N λ_N ; t) =

λ_a, a = 1, 2, . . ., N, за временной интервал t, имеет

вид

= W (k₁λ₁,...,k_Nλ_N)P (k₁λ₁,...,k_Nλ_N;t).

(6)

Для того чтобы найти энергию W (N; t), излу-

P (k₁λ₁, . . . , k_N λ_N ; t) =

ченную всеми N-фотонными процессами, мы сум-

= p(k₁λ₁,...,k_Nλ_N;t)P (0;t),

мируем (6) по всем возможным квантовым числам

(

)

∫

∑

ka, λa:

P (0; t) = exp

dk |ykλ

(t)|²

(1)

λ=1

W (N; t) = ℏc (N!)-1 P (0; t) ×

∏

∫

∑

p(k₁λ₁, . . . , k_N λ_N ; t) = (N!)-1

|ykaλa (t)|² .

dk₁dk₂ . . . dk_N ×

a=1

λ1=1 λ2=1 λN =1

[

]

Здесь P (0; t) — вероятность перехода из вакуума в

∑

∏

|k_b|

|ykaλa (t)|² .

(7)

вакуум (вероятность перехода без излучения фото-

b=1

a=1

нов), а величина p (k₁λ₁, . . . , k_N λ_N ; t) может интер-

Правая часть уравнения (7) может быть представ-

претироваться как относительная вероятность из-

лена как

лучения N фотонов. Функции ykλ (t) определяются

как

W (N; t) =

(N - 1)!

√

∫

(

)N-1

4π

∫

∑

ykλ (t) = i

dt^′

jⁱ (x^′) fi∗kλ (x^′) dr^′,

ℏc

×P (0; t)

dk |ykλ

(t)|²

(8)

(2)

λ=1

exp[-i (k₀ct - kr)]

∫

fikλ (x) =

√

ϵikλ, k₀ = |k| ,

∑

A = ℏc

dk k₀ |ykλ (t)|² .

2k₀ (2π)³

λ=1

Суммируя эту величину по N, найдем полную энер-

где ϵikλ — это векторы поляризации фотонов с кван-

гию W (t) всех излученных фотонов:

товыми числами k, λ¹⁾. Они перпендикулярны вол-

новому вектору k и обладают свойствами

∫

∑

W (t) =

W (N; t) = ℏc

dk k₀pkλ (t) ,

¹⁾ Здесь и далее мы используем соглашение о суммирова-_∑

(9)

N =1

λ=1

нии по немым индексам, т. е. aⁱbⁱ =_i aⁱbⁱ, если прямо не

pkλ (t) = |ykλ (t)|² .

сказано обратное.

299

А. А. Шишмарев, А. Д. Левин, В. Г. Багров, Д. М. Гитман

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

[

]-1/2

3. ИЗЛУЧЕНИЕ В ПЛАНАРНОМ

ykλ(t) = iecβ₀ ℏck₀ (2π)²

ОНДУЛЯТОРЕ В ПОЛУКЛАССИЧЕСКОМ

∫

ПРИБЛИЖЕНИИ

dt^′A_λ (θ, ϕ, t^′) exp [iκ (t^′)] ,

[

]

Рассмотрим электрон, который движется в пла-

K²

A₁ (θ, ϕ, t) = - sinθ

cos(2ω_pt)

нарном ондуляторе вдоль оси z в плоскости xz (y =

4γ²

= 0), совершая поперечные колебания вдоль оси x

(11)

− cosϕcosθ

sin(ω_pt),

с частотой ω_p. Динамика и излучение электронов,

движущихся в таком устройстве, впервые были рас-

смотрены в работе [5] и позднее более детально в

A₂ (θ, ϕ, t) = sin ϕ

sin(ω_pt),

работах [14, 18], см. также [19]. Электронный ток в

κ (t) = ck₀t (1-β₀ cos θ) -u cos ω_pt-s sin (2ω_pt) ,

этом случае принимает вид

λ_p

K²

λ_p

k₀ sinθ cosϕ, s = k₀

cosθ,

γ 2π

γ2 16π

jⁱ (x) = evⁱ (t) δ (x-x(t))δ (y-y (t))δ (z-z (t)),

и функции pkλ

(t) как

vⁱ (t) = ( x(t), y (t) , Ż (t)),

K λ_p

e²c²β²⁰

x(t) =

cos(ω_pt), y (t) = 0,

pkλ (t) =

γ 2π

ℏck₀ (2π)²



∫t



λ_p



z (t) = cβ₀t +

sin(2ω_pt),



dt^′A_λ (θ, ϕ, t^′) exp [iκ (t^′)]

(12)

γ2 16π



(10)

x (t) = -cβ₀

sin(ω_pt),

y (t) = 0,

Далее, мы преобразуем экспоненту в уравнении (12),

[

]

K²

используя следующие разложения тригонометриче-

Ż (t) = cβ₀

cos(2ω_pt) ,

ских функций в терминах функций Бесселя [20]:

4γ²

eHλ_p

exp(-iu cosω_pt) =

ω_p = 2πcβ₀λ-1p, K =

2πm₀c²

∑

(

)

(-i)ⁿ J_n (u)exp(-inω_pt),

K²

β₀ = β

β =

n=-∞

4γ²

(13)

exp(-is sin2ω_pt) =

∑

где параметр K — это так называемый параметр си-

J_m (s)exp(-i2mω_pt),

лы ондулятора, λ_p — длина одного периода онду-

m=-∞

лятора, γ — лоренц-фактор, v — скорость частицы,

чтобы получить

β₀ — средняя скорость смещения частицы вдоль оси

z, m₀ — масса покоя электрона, а H — напряжен-

e²c²β²⁰

ность магнитного поля в ондуляторе. В большин-

pkλ (t) =

стве случаев, представляющих интерес, параметр K

ℏck₀ (2π)²



удовлетворяет неравенству K ≤ 1 (слабые ондуля-



∑



торы). Однако для любого реалистичного значения



J_n (u)J_m (s)e-inπ/2 ×



K отношение K/γ весьма мало для релятивистского

n,m=-∞

(14)



электрона, K/γ ≪ 1, и β₀ ≈ β.

∫



× dt^′A_λ (θ, ϕ, t^′) exp [iω_pt^′R_nm]

Вычислим излучение, генерируемое током (10),



используя формулы, приведенные в разд. 2. Под-

ставляя ток jⁱ (x) в (2) и используя представление

R_nm = ck₀ω-1p (1 - β₀ cosθ) - n - 2m.

(4) для волнового вектора k и векторов поляризации

ϵkλ, запишем функции ykλ(t) для случая планарно-

Интегрирование по dt^′ можно выполнить явно. Для

го ондулятора как

этого введем функции B1,2,3 (R_nm, t):

300

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Полуклассическое описание ондуляторного излучения

∫t

вым распределением излучаемой энергии, получен-

B₁ (R_nm, t) = dt^′ exp[iω_pt^′R_nm] =

ным в раках классической электродинамики (см.,

например, [19]), можно видеть, что угловое распре-

⁽iR_nmω_pt⁾

⁽R_nmω_pt⁾

деление фотонов с поляризациями λ = 1 и λ =

= texp

sinc

= 2 в полуклассическом приближении отличается от

sinx

классического, тогда как спектральные распределе-

sinc (x) =

ния одинаковы (величина ck₀ соответствует частоте

∫t

фотона). Отметим, что в основном направлении из-

B₂ (R_nm, t) = dt^′ sin(ω_pt^′)exp[iω_pt^′R_nm]

лучения θ = 0, ϕ = 0 (излучение на оси) полуклас-

сическое приближение и классический подход дают

{

^[i(R_nm + 1)ω_pt^]

одинаковые результаты.

= -2-1it exp

Для достаточно долгого периода времени t, т. е.

]

^[ (R_nm + 1) ω_pt

для ондулятора с большим числом секций, спектр

(15)

× sinc

излучения определяется подынтегральным выраже-

]

^[i(R_nm-1)ω_pt

^[ (R_nm-1) ω_pt^]}

нием (16) и вырождается в набор узких пиков на

- exp

sinc

значениях k₀, которые определяются набором усло-

вий

∫^t

B₃ (R_nm, t) = dt^′ cos(2ω_pt^′)exp[iω_pt^′R_nm] =

R_nm = 0, R_nm + 1 = 0, R_nm - 1 = 0,

{

^[i(R_nm + 2)ω_pt^]

(17)

= 2-1t exp

R_nm + 2 = 0, R_nm - 2 = 0.

]

^[ (R_nm + 2) ω_pt

× sinc

В частности, случай t → ∞ формально соответству-

]

^[i(R_nm-2)ω_pt

^[ (R_nm-2) ω_pt^]}

ет бесконечному ондулятору. В этом случае можно

+ exp

sinc

использовать соотношение

Подставляя (14) в (9) и принимая во внимание (15),

получаем выражение для полной энергии W (t):

sinxt

lim

→ πδ (x) .

(18)

t→∞ x

)₂ ∫∞

∫

⁽ecβ₀

W (t) =

k²dk0

sinθ dθ ×

2π

Это означает, что для бесконечного ондулятора

(

энергетический спектр сконцентрирован в точках,

∫2π



∑



которые определяются условиями (17).

dϕ



J_n (u)J_m (s)e-inπ/2 ×



n,m=-∞

Сравним полученные в полуклассическом при-

{[

]

ближении спектрально-угловые распределения

B₁ (R_nm, t) + B₃ (R_nm, t) sinθ +

4γ²

энергии с теми, которые были получены в рамках

}

классической электродинамики. Из (16) следует,



+ B2 (R_nm,t)

cosϕcosθ



что



∑



J_n (u)J_m (s)e-inπ/2 ×

d²W (t)

⁽eck₀β₀ )²



=c-1

n,m=-∞

d (ck₀) dΩ

2π

)



{

[

]

× B2 (R_nm,t)

sinϕ^

(16)



K²



inθ C₁ (t) +

C₃ (t)

^s

4γ²

(19)



}

4. СРАВНЕНИЕ С КЛАССИЧЕСКИМ

²



²



ПОДХОДОМ

+ cosϕcosθ

C₂ (t)

inϕ

C₂ (t)



^s



Сравнивая выражение (16), полученное в полу-

классическом приближении, со спектрально-угло-

dΩ = sin θ dθ dϕ,

301

А. А. Шишмарев, А. Д. Левин, В. Г. Багров, Д. М. Гитман

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

где функции C1,2,3 (t) заданы как

∫^t

C₁ (t) = dt^′e^iκ(t′),

∫^t

C₂ (t) = dt^′ sin(ω_pt^′)e^iκ(t′),

(20)

∫t

C₃ (t) = dt^′ cos(2ω_pt^′)e^iκ(t′) .

В то же время, спектрально-угловое распределение

излученной энергии, полученное классическим ме-

тодом, имеет вид

d²W (t)

⁽eck₀β₀ )²

=c-1

d (ck₀) dΩ

2π

× |D₁x + D₂y + D₃z|² ,

D₁ =

C₂ -

C₄ cos² ϕsin² θ +

[

]

K²

+ cosϕsinθ cosθ

C₁ +

C₃

4γ

Рис. 1. Полное пространственное угловое распределение

(21)

полной излученной энергии для первых трех гармоник, вы-

D₂ = -

C₂ sinϕcosϕsin² θ +

численное в полуклассическом приближении

[

]

K²

+ cosϕsinθ cosθ

C₁ +

C₃

4γ

сическим методами, существенно различаются в об-

D₃ = -

C₄ cosϕsinθ cosθ +

щем случае. Тем не менее, оба выражения могут

[

]

быть сведены к одному и тому же виду:

(

)

K²

cos² θ - 1

C₁ +

C₃

4γ

d²W (t)

⁽eβ₀ck₀ )²

≈c-1

где x, y и z — единичные векторы в направле-

d(ck₀)dΩ

2π

[

нии соответствующих координатных осей, а функ-

× θ2 cos2 ϕ|C₁|² + θ2 sin2 ϕ|C₁|² +

ции

C1,2,3,4 имеют вид

]

∫

K²

|C₂|² +^K

θ cosϕ(C₁C∗2 + C∗1C₂)

(23)

C₁ =

dt^′e^-iκ(t′),

γ²

-t/2

для планарных ондуляторов, в которых K/γ ≪ 1 и в

∫

приближении θ ≪ 1, если учесть, что время пролета

электрона через ондулятор составляет t = 2πNω-1p.

C₂ =

dt^′ sin (ω_pt^′) e^-iκ(t′),

Численный анализ обеих формул подтверждает эти

-t/2

(22)

выводы. Соответствующие результаты представле-

∫

ны на рис. 1.

C₃ =

dt^′ cos (2ω_pt^′) e^-iκ(t′),

Отметим, что часто при описании поляризаци-

-t/2

онных свойств излученной энергии W (t) использу-

ются так называемые σ- и π-моды излучения. На-

∫

помним, что σ-мода характеризует излучение, пер-

C₄ =

dt^′ cos (ω_pt^′) e^-iκ(t′).

пендикулярное направлению внешнего магнитного

-t/2

поля, тогда как π-мода — параллельное. Для пла-

Можно видеть, что распределения (19) и (21), по-

нарного ондулятора σ-мода формируется компонен-

лученные соответственно полуклассическим и клас-

тами электрического поля в направлениях осей x и

302

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Полуклассическое описание ондуляторного излучения

z, а π-мода формируется компонентами электричес-

кого поля в направлении оси y (см., например, [19]).

Выделим вклады, соответствующие σ- и π-модам

в выражении (16). Это можно сделать следую-

щим образом. Отметим, что скалярное произведе-

ние электрического тока jⁱ(x) на векторы ϵikλ мож-

но интерпретировать как проекцию вектора тока

на направления, определяемые векторами поляри-

зации ϵikλ:

[

]

jkλ(x) = j^j(x)ϵ^j

ϵkλ,

kλ

[

]

(24)

|jkλ(x)| = j^j (x)ϵ^j

kλ

Векторы jikλ(x) = j_k1(x) могут быть разложены на

Рис. 2. Пространственное угловое распределение мод σ

компоненты, направленные по осям x, y и z; на-

(сверху) и π (снизу) для первой гармоники, вычисленное

помним также, что вектор ϵ_k2 содержится в плос-

классически (слева) и в полуклассическом приближении

кости xy,

(справа)

)₂ ∫∞

∫π

[

]

⁽ecβ₀

W_σ (t) =

k20dk0

sinθ dθ ×

j_k1(x) = j^j(x)ϵ^j

2π

kλ

× (x cos ϕ cos θ + y sin ϕ cos θ - z sin θ) ,

(25)

∫

[

]

kσ (t) ,

× dϕ p

j_k2(x) = j^j(x)ϵ^j

(-xsinϕ + y cosϕ).

kλ

)₂ ∫∞

∫

⁽ecβ₀

W_π (t) =

dk₀

sinθ dθ ×

2π

(27)

Из (2) следует, что функции |ykλ (t)|² могут быть

∫

представлены в виде

× dϕ pkπ (t) ,

(

)

pkσ (t) = |y_k1 (t)|²

cos² ϕcos² θ + sin² θ

|y_k1 (t)|² = |y_k1 (t)|² ×

(

)

+ |y_k2 (t)|² sin² ϕ,

x² cos² ϕcos² θ+y² sin² ϕcos² θ+z² sin² θ

(26)

(

)

pkπ (t) = |y_k1 (t)|² sin² ϕcos² θ+ |y_k2 (t)|² cos² ϕ.

|y_k2 (t)|² = |y_k2 (t)|²

x² sin² ϕ + y² cos² ϕ

Легко проверить, что выполняются соотношения

p_k1 (t) + p_k2 (t) = pkσ (t) + pkπ (t),

(28)

где мы сохранили квадраты единичных векторов x,

W (t) = W_σ (t) + W_π (t) .

y, z для того, чтобы отслеживать направления по-

Мы приводим результаты численного анализа рас-

ляризации. Поскольку магнитное поле в планарном

ондуляторе направлено по оси y, вклады от слагае-

пределений энергии для первых трех гармоник на

мых, умноженных на x² и z², соответствуют σ-моде,

рис. 2, 3, 4. Мы также отмечаем, что хотя распре-

а вклады от слагаемых, умноженных на y², соответ-

деление полной излученной энергии в основном сов-

ствуют π-моде.

падает с классическим результатом, полуклассиче-

ский подход демонстрирует отличающееся и более

Таким образом, выражения для энергии, излу-

детальное распределение излученной энергии в π- и

ченной в σ- и π-модах, принимают вид

σ-модах.

303

А. А. Шишмарев, А. Д. Левин, В. Г. Багров, Д. М. Гитман

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

щих классических выражений, имеют более простой

аналитический вид, а их вывод существенно более

прост с технической точки зрения.

Финансирование. Работа А. А. Ш. поддержа-

на Российским фондом фундаментальных исследо-

ваний (проект №19-32-60010), работа В. Г. Б. вы-

полнена в рамках программы повышения конкурен-

тоспособности Томского государственного универси-

тета. Работа Д. М. Г. поддержана Фондом поддерж-

ки исследований штата Сан-Паулу (FAPESP) (грант

№2016/03319-6). Работа Д. М. Г. и А. Д. Л. выпол-

нена при поддержке Национального совета по науч-

ному и технологическому развитию (CNPq).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис. 3. Пространственное угловое распределение мод σ

(сверху) и π (снизу) для второй гармоники, вычисленное

классически (слева) и в полуклассическом приближении

Вычисление излучения в планарном

(справа)

ондуляторе в полуклассическом

приближении при использовании

альтернативной параметризации траектории

В работе [15] для вычисления излучения было

использовано специальное представление траекто-

рии электронов, движущихся в планарном ондуля-

торе. Предполагается, что траектория электронов

плоская и симметричная относительно оси x и со-

стоит из круговых дуг длины l и радиуса R. Это

представление дает альтернативную параметриза-

цию траектории электронов, движущихся в планар-

ном ондуляторе. Здесь мы применяем полукласси-

ческое приближение, для того чтобы рассчитать из-

лучение электронов, движущихся по такой траекто-

рии.

Рассмотрим электроны, движущиеся в периоди-

ческом магнитном поле, параллельном оси z, где для

каждого периода магнитное поле однородно и по-

стоянно. Длина ондулятора считается бесконечной.

Длина l каждой из дуг связана с эффективным ра-

Рис. 4. Пространственное угловое распределение мод σ

диусом кривизны R через так называемый угол вле-

(сверху) и π (снизу) для третьей гармоники, вычисленное

та, α = l/R, 0 < α < π. Скорость электронов равна

классически (слева) и в полуклассическом приближении

v = cβ = ωR, где ω — угловая скорость. Электроны

(справа)

движутся вдоль оси x со средней скоростью v₀ =

и совершают периодические колебания вдоль осей x

и y. Это предполагает, что

В заключение отметим, что выражения для

характеристик излучения, полученные в полуклас-

сическом приближении, даже в тех случаях, когда

β = βsinc(α/2), T = 2πω-10 = 2αω-1,

(29)

они не отличаются количественно от соответствую-

ω₀ = πωα-1 = πβcl-1.

304

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Полуклассическое описание ондуляторного излучения

Траектория электронов на временном промежутке

где были использованы обозначения

(0, T ) может быть представлена в виде [15]

κ (τ_j ) = ck₀ω-1τ_j - ξ sin τ_j , ξ = Rk₀ sin θ,

[

]-1/2

x(t) =

z_j = ie exp[-iξf_j(ϕ, α)] ℏck₀ (2π)²

{

R [sin (α/2) + sin (ωt-α/2)] ,

t∈T₁,

j = 1,2,

R [3 sin (α/2) + sin (ωt-α/2)] , t ∈ T₂,

f₁(ϕ, α) = sin(α/2)cosϕ - cos(α/2)sinϕ,

(30)

(35)

y (t) =

f₂(ϕ, α) = cos(α/2)sinϕ + 3 sin(α/2)cosϕ,

{

τ₁ = ωt - α/2 + ϕ, τ₂ = ωt - 3α/2 - ϕ,

R [cos (ωt-α/2) - cos (α/2)] , t ∈ T₁,

τin1 = ϕ - α/2, τout1 = ϕ + α/2,

R [cos (α/2) - cos (ωt-3α/2)] , t ∈ T₂,

τin2 = -ϕ - α/2, τout2 = α/2 - ϕ,

φ₁ = ω-1κ (α/2 - ϕ) , φ₂ = ω-1κ (ϕ + 3α/2).

где временные интервалы T₁ и T₂ определены как

Применяя известные разложения тригонометриче-

ских функций по функциям Бесселя,

T₁ = [0, T/2]; T₂ = [T/2, T].

(31)

∑

exp(-iξ sinτ) =

J_n (ξ) exp(-inτ),

Ток jⁱ (x), формирующийся электронами, которые

n=-∞

движутся по траектории (30), имеет вид

∑

sinτ exp(-iξ sinτ) = i

J^′n (ξ)exp(-inτ),

(36)

n=-∞

jⁱ (x) = evⁱ (t) δ (x-x(t))δ (y-y (t))δ (z-z (t)),

cosτ exp(-iξ sinτ) =

vⁱ (t) = rⁱ (t) = ( x(t), y(t), 0),

{

∑ n

J_n (ξ) exp(-inτ),

ωR cos[α/2 - ωt], t ∈ T₁,

x(t) =

(32)

n=-∞

ωR cos[3α/2 - ωt] , t ∈ T₂,

{

перепишем (34) как

ωR sin[α/2 - ωt],

t∈T₁,

y(t) =

y_k1(T_j) = z_jeiφj ×

-ωR sin[3α/2 - ωt], t ∈ T₂.

∑

[

]

cosθ n (k₀ sinθ)-1 + ω-1

β cosϕ

n=-∞

Вычислим энергию, излучаемую за один период

× Jn (ξ)K_n(T_j),

колебаний T . Функции ykλ(t) на временном проме-

(37)

жутке t = T могут быть вычислены в виде

∑[

y_k2(T_j) = -z_jeiφj

ω-1

β sinϕJ_n (ξ) +

n=-∞

]

ykλ(T) = ykλ(T₁) + ykλ(T₂).

(33)

+ (-1)j-1 iRJ^′n (ξ) K_n(T_j ),

где функции K_n(T_j ) имеют вид

Используя определения (4) для волнового вектора k

и векторов поляризации ϵkλ, получаем

out

[

(

)

]

K_n(T_j) =

dτ_j exp

ω-1ck₀ - n

τ_j

τ^outj∫

τinj

y_k1(T_j) = z_jeiφj cosθ

ω-1dτ_j ×

[

]

(

)

τinj

= exp (-1)^j i

ω-1ck₀ - n

ϕ ×

[

]

β cosϕ + ωR cosτ_j

exp[iκ (τ_j)] ,

[

(

)

]

sin

ω-1ck₀ - n

(34)

(38)

τ^outj∫

(ω-1ck₀ - n) /2

y_k2(T_j) = -z_jeiφj

ω-1dτ_j ×

Функции p

(T ) на интервале T имеют вид

kλ

τinj

[

]

kλ

(T ) = |ykλ(T )|² = |ykλ(T₁) + ykλ(T₂)|² .

(39)

β sinϕ + (-1)j-1

ωR sinτ_j exp[iκ (τ_j)] ,

305

ЖЭТФ, вып. 2

А. А. Шишмарев, А. Д. Левин, В. Г. Багров, Д. М. Гитман

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Подставляя выражения (37) в (39), получим

G. A. Schott, Phil. Mag. 13,

657

(1907); Ann.



Phys. 329, 635 (1907); Electromagnetic Radiation,



[

]

∑

Cambrige University Press, Cambrige (1912).



(T ) =



n (k₀ sin θ)-1 +ω-1

β cosϕ



n=-∞

J. Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1949).

× cosθJ_n (ξ)S₁|² ,

J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. 40, 132 (1954).



∑



[

(T ) =



ω-1

β sinϕJ_n (ξ)S₁ +

(40)

A. A. Sokolov and I. M. Ternov, Sov. Phys. JETP 4,



n=-∞

396 (1957); Synchrotron Radiation, Academic Verlag,

Berlin (1968); Radiation from Relativistic Electrons,

+ iRJ^′n (ξ)S₂]|² ,

American Institute of Physics, New York (1986).

S₁ = z₁eiφ1 K_n(T₁) + z₂eiφ2 K_n(T₂),

10.

W. H. Furry, Phys. Rev. 81, 115 (1951); R. P. Feyn-

S₂ = z₁eiφ1 K_n(T₁) - z₂eiφ2 K_n(T₂).

man, Phys. Rev. 76, 749 (1949); D. M. Gitman,

Izv. Vuzov Fizika 19, 81 (1976); Izv. Vuzov Fizika

Полная излученная энергия W (T), таким обра-

19,

(1976); J. Phys. A

10,

2007

(1977); in

зом, равна

Quantum Electrodynamics with External Fields, ed.

by D. M. Gitman, Izd. TGU, Tomsk (1977), p. 132.

∫∞

∫

W (T ) = k²

dk₀

sinθ dθ ×

11.

J. Schwinger, Particles, Sources and Fields, Addison-

Wesley, Massachusetts (1970) Vol. 1; (1973) Vol. 2.

∫2π

12.

J. Schwinger, Phys. Rev. D 7, 1696 (1973).

× dϕ [p

(T ) + p

(T )] ,

(41)

13.

V. G. Bagrov, D. M. Gitman, A. A. Shishmarev et

al., J. Synchrotron Rad. 27, 902 (2020).

где p

(T ) и p

(T ) заданы выражениями (40).

14.

D. F. Alferov, Y. A. Bashmakov, K. A. Belovintsev et

al., Particle Accelerators 9, 223 (1979); D. F. Alferov,

Y. A. Bashmakov, and P. A. Cherenkov, Sov. Phys.

ЛИТЕРАТУРА

Usp. 32, 200 (1989); D. F. Alferov, Y. A. Bashmakov,

and E. G. Bessonov, Preprint FIAN 23, 1 (1972);

1. F. R. Elder, A. M. Gurevitch, R. V. Langmuir et al.,

Preprint FIAN 118, 1 (1975); Zh. Tekh. Fiz. 46, 2392

Phys. Rev. 71, 829 (1947).

(1976); Sov. Phys.-Tech. Phys. 18, 1336 (1974).

2. H. E. Huxley, A. R. Faruqi, J. Bordas et al., Nature

15.

V. G. Bagrov, V. R. Khalilov, A. A. Sokolov et al.,

284, 140 (1980); L. Chen, K. L. Durr, and E. Gouaux,

Annalen der Physik 30, 1 (1973).

Science 345, 1021 (2014); S. Kneip, C. McGuffey,

F. Dollar et al., Appl. Phys. Lett. 99, 093701 (2011);

16.

V. G. Bagrov, D. M. Gitman, A. A. Sokolov et al., J.

G. N. Afanasiev, Vavilov-Cherenkov and Synchrotron

Technic. Fiz. XLV 9, 1948 (1975).

Radiation: Foundations and Applications, Springer-

Verlag, New York (2004); H. Saisho and Y. Gohshi,

17.

V. N. Baier and V. M. Katkov, Zh. Eksp. Teor. Fiz.

Applications of Synchrotron Radiation to Materials

53, 1478 (1968); V. N. Baier, V. M. Katkov, and

Analysis, Elsevier, Amsterdam (1996); M. Kono, Me-

V. M. Strakhovenko, Zh. Eksp. Teor. Phys. 63, 2121

dical Applications of Synchrotron Radiation, ed. by

(1973).

M. Ando and C. Uyama, Springer, Tokyo (1998).

18.

S. Krinsky, IEEE Trans. Nucl. Sci. 307, 3078 (1983).

3. V. L. Ginsburg, Izv. Akad. Nauk. SSSR, Ser. Fiz. 11,

19.

H. Wiedemann, Synchrotron Radiation, Springer-Ver-

165 (1947).

lag, Berlin (2003).

4. N. A. Korkhmazyan and S. S. Elbakyan, Dokl. Akad.

20.

I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals,

Nauk SSSR 203, 791 (1972).

Series, and Products, 7 ed., Academic Press, New

5. H. Motz, J. Appl. Phys. 22, 527 (1951).

York (2007).

306