ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 2, стр. 339-349

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГРАНИЦЫ МАГНИТНОГО

БАРЬЕРА, ОБТЕКАЕМОГО ПЛАЗМОЙ: МЕМБРАННАЯ

МОДЕЛЬ ГРАНИЦЫ, ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ

РЕЗОНАНСЫ И СВЯЗИ С ВНУТРЕННИМИ МОДАМИ

С. П. Савинa*, В. В. Ляхов^b, В. М. Нещадим^b, Л. М. Зеленый^a,

З. Немечек^c, Я. Шафранкова^c, С. И. Климов^a, С. А. Скальский^a,

М. О. Рязанцева^a, Л. С. Рахманова^a, Ч. Ванг^d, Х. Ли^d, Я. Бленцки^e,

Ж.-Л. Рош^f , Л. Козак^g, А. Суворова^h, Л. А. Лежен^a

^a Институт космических исследований Российской академии наук, 117997, Москва, Россия

^b DTO ”Institute of Ionosphere”, 050020, Almaty, Kazakhstan

^c Charles University, 1636, Prague, Czech Republic

^d National Space Science Center, САS, 100190, Beijing, China

^e Space Research Center, 57622, Warsaw, Poland

^f Laboratory of Physics and Chemistry of the Environment and Space, 45071, Orleans, France

^g Kyiv Taras Shevchenko University, and SRI NASU-SSAU 01601, Kyiv, Ukraine

^h GPS Science and Application Research Center, National Central University, 32001, Taiwan

Поступила в редакцию 4 марта 2020 г.,

после переработки 27 июня 2020 г.

Принята к публикации 7 сентября 2020 г.

Исследуются линейные и нелинейные резонансы и каскады, существенно влияющие на взаимодействие

потока бесстолкновительной плазмы с магнитным барьером и на проникновение плазмы внутрь барье-

ра, на примере околоземной магнитопаузы. Наша линейная теория мембранной неустойчивости границы

магнитного барьера — магнитопаузы — позволяет объяснить структуру спектров и би-спектров флук-

туаций на разных участках погранслоев у магнитопаузы, и также резонансы на частотах 0.05-0.5 мГц.

Регистрируемая сжимаемость волн под магнитопаузой означает невозможность их возбуждения одними

альвеновскими резонансами. Мы предлагаем — как общий принцип — примерное совпадение частот раз-

ных гармоник разных резонансов в качестве условия усиления резонансов до нелинейных амплитуд и их

распространения в ионосферу. Мы подтверждаем наличие резонансных волн у магнитопаузы и демонст-

рируем нелинейное трехволновое каскадное взаимодействие сжимаемых (0.05-5 мГц) и несжимаемых

волн под магнитопаузой, обеспечивающее возбуждение резонансов магнитных силовых линий и волно-

водных резонансов на частотах 1-25 мГц без точного совпадения частот с линейными резонансами на

магнитопаузе и ударной волне. Это также может обеспечить нелинейную связь линейных и нелинейных

резонансов в других многослойных средах (например, в плазменном и нейтральном слоях геомагнитного

хвоста и между ним и магнитопаузой). Приведен пример возбуждения волноводной моды внутри магни-

топаузы нелинейными мембранными волнами. Обнаружено нелинейное возбуждение и взаимодействие

большинства «магических» гармоник под магнитопаузой.

DOI: 10.31857/S0044451021020139

1. ВВЕДЕНИЕ

Анализ движения магнитопаузы (МП), наблю-

^* E-mail: ssavin@iki.rssi.ru

даемого, например, на ИНТЕРБОЛ-1, THEMIS и

339

10*

С. П. Савин, В. В. Ляхов, В. М. Нещадим и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

CLUSTER [1-10], выявил, что магнитопауза (МП)

Суммируются собственные колебания с частота-

осциллирует на выделенных («магических») ультра-

ми ω = aμ^nm/r₀. Здесь μ^nm — m-й корень уравнения

√

низких частотах, которые видны и в наземных, и в

функции Бесселя J_n(μ) = 0, a =

T/ρ, T — по-

магнитосферных данных:

верхностное натяжение([T] = Дж/м²), ρ — поверх-

ностная плотность мембраны ([ρ] = кг/м²). Коэф-

(0.7; 1.3; 1.9; 2.6; 3.3; 4.8; . . .) мГц.

(1)

фициенты A_n,m, B_n,m, C_n,m, D_n,m определяются из

начальных условий

Магнитопауза представляет собой мембрану под

растяжением, которая может резонансно взаимодей-

∑

ствовать с магнитосферной полостью, а ионосфера

u(r, θ, 0) =

(v_n,m(r, θ)A_n,m+v_n,m(r, θ)C_n,m) =

выступает в качестве опоры вдоль магнитных сило-

n,m=0

вых линий. То, что именно поверхностные волны у

= f₁(r, θ),

МП — источник дневных пульсаций Pc5-6 на Земле,

не полностью подтверждается у границы замкнутых

∑

силовых линий в ионосфере: максимум возмущений

u_t(r, θ, 0) =

(v_n,m(r, θ)B_n,m+v_n,m(r, θ)D_n,m) ×

смещен внутрь границы захвата частиц [10]. Авто-

n,m=0

ры предположили, что широкополосная турбулент-

aμ^nm

= f₂(r, θ)

ность у МП может мешать передаче и регистрации

r₀

низкочастотных резонансных волн в ионосфере. Но

по формулам

в работах [1-3] показано, что альвеновскому резо-

∫

нансу подвержены именно пограничные силовые ли-

)

(√

нии. Поэтому мы предлагаем новую модель — мем-

A_n,m =

f₁(r, θ)J_n

λ_n,mr

бранной неустойчивости (МН), которая не зависит

}

от альвеновских волн и объясняет наблюдения резо-

[

(√

)]₂

^∕{πr²⁰

× cos(nθ)r dr dθ

ε_n J^′n

λ_n,mr₀

нансов от магнитослоя (МСЛ) до нескольких R_E под

МП, причем генерироваться должны как раз наблю-

(3)

∫

∫r0

)

даемые сжимаемые волны. Мы демонстрируем воз-

(√

C_n,m =

f₂(r, θ)J_n

λ_n,mr

буждение альвеновских резонансов магнитных си-

ловых линий мембранными волнами через нелиней-

}

[

(√

)]₂

^∕{πr²⁰

ные трехволновые взаимодействия и каскады.

× sin(nθ)r dr dθ

ε_n J^′n

λ_n,mr₀

Аналогичные формулы можно найти для

√

2. МОДЕЛЬ МП

λ_n,mB_n,m и a

λ_n,mD_n,m. Здесь

{

Считаем МП в подсолнечной точке круглой,

)₂

⁽μ^nm

2, n = 0,

плоской, закрепленной по краям мембраной радиу-

λ_n,m =

ε_n =

r₀

1, n = 0.

са r₀ (более простая модель МП с квадратной плос-

кой одномерной мембраной для более высоких час-

Моделирование магнитопаузы тонкой мембра-

тот (свыше 1 мГц) независимо рассмотрена в работе

ной вполне оправдано. В работе [13] рассматривает-

[11]). Закрепленность по краям, как уже упомина-

ся возникновение тонких равновесных границ меж-

лось, обусловлена тем, что силовые линии МП про-

ду плазмой и магнитным полем, когда характерная

ектируются в ионосферу и далее в мантию Земли

толщина погранслоя даже меньше дебаевского ра-

(ср. [1-3]).

диуса.

Решение для механической мембраны извест-

но [12]:

3. МГД-ХАРАКТЕРИСТИКИ НАТЯЖЕНИЯ

(

)

∑

⁽aμⁿ

МП

u(r, θ, t) =

vn,m(r, θ) An,m cos

^mt

r₀

n,m=0

В механике поверхностное натяжение T — это

))

∑

энергия, затрачиваемая на разрыв единицы поверх-

⁽aμⁿ

+ Bn,m sin

^mt

vn,m(r, θ) ×

ности. Магнитные силовые линии — как упругие ни-

n,m=0

(

)

))

ти стремятся сократиться и развить продольное на-

⁽aμ^nm

тяжение T = B²⁰/2μ₀, где B₀ — индукция магнит-

× Cn,m cos

+ Dn,m sin

(2)

r₀

ного поля, μ₀ — магнитная постоянная. У МП мы

340

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Собственные колебания границы магнитного барьера. ..

Таблица 1. Спектр собственных мембранных частот

Таблица

2. Спектр собственных частот МП

магнитопаузы (r0 = 10RE = 6.4 · 10⁷ м)

(r0 = 25RE)

μ0m

2.404

5.520

8.653

11.791

14.930

μ0m

2.404

5.520

8.653

11.791

ω, мГц

0.6

1.3

2.0

2.7

3.4

ω, мГц

0.24

0.52

0.8

1.08

μ1m

3.831

10.173

13.323

16.470

μ1m

3.831

10.173

13.323

ω, мГц

0.8

2.3

3.1

3.8

ω, мГц

0.32

0.92

1.24

μ2m

5.135

8.417

11.619

14.795

μ2m

5.135

8.417

11.619

ω, мГц

1.2

1.9

2.7

3.4

ω, мГц

0.48

0.76

1.08

μ3m

6.380

9.761

13.015

16.223

μ3m

6.38

9.761

13.015

ω, мГц

1.5

2.3

3.0

3.7

ω, мГц

0.6

0.92

1.2

μ4m

7.588

11.064

14.372

17.615

ω, мГц

1.7

2.5

3.3

4.1

r₀

∼ 25R_E. На самом деле, мы просчитали все

используем это МГД-понятие, в качестве плотности

характерные частоты для r₀ ∼ 10, 15, 20, 25R_E, и

используем объемную плотность ρ = (m_i + m_e)n₀ ≈

убедились в линейной зависимости нулевых частот

≈ m_in₀, масса иона гораздо больше массы электро-

от r₀, поэтому приводим только табл. 1 и 2. Для

на (m_i ≫ m_e ); n₀ — концентрация плазмы. Размер-

табл. 2 мы получим резонансы от 0.24мГц и выше,

ность натяжения в МГД [T ] = Дж/м³, плотности

√

хотя использование модели плоской мембраны для

[ρ] = кг/м³, поэтому размерность a =

T/ρ остает-

выпуклой МП с r₀ ∼ 25R_E требует дополнитель-

ся прежней.

ного рассмотрения. Мы полагаем, что кривизна

магнитопаузы меняет только численные значения

собственных частот. Мы считаем изменения несу-

4. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ МП

щественными, исходя из того, что частоты второй

С помощью (2) определены собственные частоты

сверху строчки табл.

близки к «магическим»

МП при μ₀ = 1.26 · 10-6 Гн/м:

ионосферным частотам [1]. Кроме того, далее мы

показываем, что нелинейные каскады и гармоники

B₀ = 2.5 · 10-8Тл,

обеспечивают синхронизацию резонансов в разных

n₀ = 16 · 10⁶м-3,

подобластях магнитосферы в достаточно широких

m_i = 1836 · 10-31кг.

поддиапазонах частот (см. обсуждение рис. 2, 5, 6).

В среде пакета MAPLE решено уравнение

Мы рассматриваем эффективный радиус как

J_n(μ) = 0, т. е. определены первые четыре корня

расстояние вдоль МП от подсолнечной точки до

μ^nm функций Бесселя порядка n = 0, 1, 2, 3. Теорети-

проекции положения спутника на МП вдоль ее нор-

ческие значения собственных частот для функции

мали. Далее мы подкрепляем это время пролетны-

Бесселя нулевого порядка (вторая строка табл. 1)

ми соображениями для нулевых гармоник. Обос-

практически совпадает с экспериментальным рядом

новывать же дополнительно приближение закреп-

«магических» частот [1]. Эта строка представляет

ленной по краям мембраны мы предлагаем за счет

собой наименьшие возможные собственные частоты

инерции длинного геомагнитного хвоста и внеш-

колебаний магнитопаузы, рассматриваемой как

ней канализирующей силы — обтекающего пото-

мембрана, при r₀

∼ 10R_E, где может считаться

ка солнечного ветра (СВ). Внутренние же линии

применимой плоская модель мембраны, поскольку

вморожены как в ионосферу, так и в плазменный

радиус кривизны МП здесь больше r₀. В табл. 2

слой у экватора, обеспечивая внутреннюю канализа-

представлен спектр собственных частот МП, ес-

цию/закрепленность МП. Отметим, что до сих пор

ли брать за мембрану прилегающую МП вплоть

мы рассматривали в МН линейные (бесселевы) гар-

до ближнего хвоста с эффективным радиусом

моники собственных колебаний мембраны.

341

С. П. Савин, В. В. Ляхов, В. М. Нещадим и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

пики в СВ не служат триггерами волн у МП на час-

тотах свыше 0.5 мГц, хотя пик в СВ на частоте око-

ло 0.35 мГц (ср. с четвертой строчкой табл. 2) сопро-

вождается пиками в магнитосфере и МСЛ на немно-

го более высокой частоте. Спектры B_y за час до МП

(штриховая кривая) напоминают спектры час спус-

тя внутри МП (серая заливка), будучи в 2-3 раза

мощнее (вероятно, из-за падения |B| сразу под МП)

и имея сдвиг максимумов к высоким частотам, как

считали до этого, из-за доплер-сдвига в движущемся

МСЛ. Мы вернемся к сдвигу при обсуждении рис. 4.

То же относится и к максимумам на более высоких

частотах. Без учета этого сдвига спектры имеют по-

чти идентичную структуру. Итак, рис. 1 и работа

Рис. 1. Вэйвлетные спектры мощности компоненты маг-

[14] опровергают одно из предположений работы [10]

нитного поля By по данным Интербол-1 (INTERBALL-1,

об отсутствии резонансов у МП и ставят проблему

19.06.1998:в 10-11 UT — магнитосфера (Plasma Ball, PB,

роста частоты в МСЛ относительно потенциального

[14], серая заливка); 08:53-09:53 UT — МСЛ (штриховая

триггера в СВ (см. P_dyn).

кривая); P_dyn, в СВ (SW), 08:30-09:50 UT (светлые симво-

На рис. 2 мы приводим би-спектры магнитных

лы)

компонент |B| (сжимаемые волны) и B_y (в систе-

ме координат GSE). Первые соответствуют сжимае-

мым мембраной волнам (средняя панель — низ-

5. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

кочастотная часть левой), правая панель отража-

Мы основываемся на сравнении с экспери-

ет, большей частью, альвеновские резонансы. Для

ментальными данными спутников ИНТЕРБОЛ-1,

понимания процессов на внешних магнитосферных

CLUSTER, THEMIS, GEOTAIL в работах [7,8,14-16]

границах необходим не только спектральный, но би-

и ссылках в них, а также на двух новых примерах,

спектральный анализ (т. е. простейший нелинейный

включая данные DOUBLE STAR и SPEKTR-R.

анализ для трехволновых процессов): он выявляет

процессы, где частоты трех волн F1 + F2 ∼ F3

(частота F 1 — горизонтальная ось рисунка, F 2 —

5.1. Данные ИНТЕРБОЛ-1 19.06.1998

вертикальная, F3 — подразумевается) и дает их

Как показано на рис. 1а в работе [14], колебания

тройную когерентность. Мы приводим данные с

на частоте 0.3-1 мГц видны от ударной волны (УВ)

би-когерентностью свыше 10 % (= 0.1 на цветных

до МП. При частоте около 0.5 мГц колебания (ср.

шкалах сбоку), которая считается достаточно пред-

со второй строчкой табл. 2) длятся два часа внут-

ставительной [7, 8, 14, 16]. К сожалению, наиболее

ри МП. На рис. 1b из работы [14] модуль магнит-

низкие частоты недоступны для анализа (спутник

ного поля |B| под МП (зеленая заливка) промоду-

находился в области однородных физических про-

лирован частотой около 1.7 мГц в течение 50 мин

цессов слишком мало времени), но мы исследуем

(заметим, хотя частота и не совпадает с (1), сво-

эти частоты по другим данным. Максимумы в би-

бодный параметр r₀ позволяет найти соответствую-

спектрах являются «толстыми», так как в плазме

щую часть резонирующей магнитопаузы, а нелиней-

с нелинейными амплитудами колебаний резонансы

ные каскады позволяют сопрячь частоты с (1), см.

размываются из-за флуктуаций основных парамет-

далее). Кроме того, в нижней строчке табл. 1 ми-

ров плазмы. Так, в 09:40-10:31 UT среднее значение

нимальная гармоника как раз равна 1.7 мГц. Вол-

|B| (+/- стандартное отклонение) составляет око-

ны распространяются внутрь магнитосферы с за-

ло 30 + / - 11 нТл (полное стандартное отклонение

туханием (т.е. они генерируются или усиливаются

трех компонент равно примерно 25 нТл), т. е. «тол-

вблизи МП). Проникновение внутрь МП видно и на

щина» резонансов может вполне превышать и 1/3

рис. 1, где даны спектры магнитной компоненты B_y

средней величины. Это и обеспечивает эффективное

(система координат GSE) за час до и после пересе-

взаимодействие резонансов, в отличие от линейной

чений МП и спектр динамического давления P_dyn

ламинарной физики.

в СВ (OMNI), характеризующий энергетику коле-

Итак, на левой панели даны наиболее высокоча-

баний в СВ (ИНТЕРБОЛ-1, 19.06.1998). Видно, что

стотные данные |B| свыше порога (16 Гц). На са-

342

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Собственные колебания границы магнитного барьера. ..

Рис. 2. Вэйвлетные би-спектры компонент магнитного поля |B| (левые панели) и By (GSE, правая панель) по данным

ИНТЕРБОЛ-1 (INTERBALL-1) 19.06.1998, 09:40-11:17 UT. На вставке в верхнем правом углу правой панели в качестве

входов для би-спектрального анализа использовались сигналы F 1 — By (по горизонтали) F 2 — |B| (по вертикали), F3 —

By (суммарная, F 1 + F 2 = F 3)

мой низкой частоте виден нелинейный каскад, когда

товыми стрелками), причем они взаимодействуют и

волны на суммарной частоте F3 несколько раз нели-

с исходным резонансом F 2 ∼ 1.3 мГц, и при помо-

нейно взаимодействуют с исходной F 2 («накачка»)

щи «распада» с F3 ∼ cоnst с шестой «магической»

[7, 8, 14]. Он продолжается до F 1 ∼ 25 мГц, и на од-

гармоникой (1), см. зеленый максимум и его левый

ной из суммарных частот F 3 возникает нелинейный

край, а также голубую с черным стрелку. Более то-

резонанс (показан фиолетовой стрелкой). Мы пола-

го, на вставке в верхнем правом углу правой панели

гаем, что это возбуждение стоячих быстрых магни-

в качестве входов для би-спектрального анализа ис-

тозвуковых волн в полости между магнитопаузой

пользовались разные сигналы на частотах F 1-B_y,

и плазменным слоем (так называемые волноводные

F2-|B|, F3-B_y; что непосредственно демонстриру-

(waveguide) моды [9,17]). Они тоже имеют собствен-

ет трехволновое взаимодействие между сжимаемы-

ные линейные бесселевы гармоники, и мы демон-

ми (|B|) и альвеновскими (B_y) резонансами магнит-

стрируем их нелинейную связь с мембранными мо-

ных силовых линий (ср. [16]). И опять «магический»

дами. Конечно, энергия может идти и от волновод-

максимум (F 1, F 2) ∼ (1.3; 2.6 мГц) близок к 70 %,

ных мод к мембранным. Но поток солнечного ветра

что считается надежным даже для корреляции двух

непосредственно взаимодействует именно с МП, по-

сигналов (ср. с [16]). Чтобы проверить альвеновский

этому мы полагаем, что мембранные моды в боль-

характер сигнала, характеризуемого B_y, мы также

шинстве случаев возбуждают волноводные под МП

посчитали стандартные отклонения в 09:40-10:31 UT

как раз за счет обнаруженного нами нелинейного

для |B| и несжимаемых (альвеновских) магнитных

механизма.

флуктуаций в трех компонентах: последние в два

Средняя панель демонстрирует нелинейное воз-

раза превышают первые. Это значит, что внутри

буждение волн на суммарной частоте F3 ∼ 3.5 мГц

магнитопаузы на рис. 2 доминируют именно альве-

(ср. с пятой строчкой табл. 1) с последующим распа-

новские волны и B_y, по всей видимости, их правиль-

дом на F 3, обозначенной фиолетово-черной стрел-

но характеризует.

кой и «decay». Низкочастотная горизонтальная «на-

Таким образом, мы демонстрируем существен-

качка» на F 2 ∼ 0.5 мГц достаточно близка к наи-

ную роль нелинейных процессов во внешнемагнито-

меньшей частоте из табл. 1. Фиолетовыми стрелка-

сферной физике, в отличие от предыдущих, в основ-

ми показаны четыре нелинейные гармоники.

ном, линейных подходов (с которого мы и начали в

Для B_y (правая панель) максимум (F 1, F 2) ∼

мембранной модели МН).

∼ (1.3; 2.6 мГц) достигает 70 %, что мы связываем

с генерацией альвеновского резонанса силовых ли-

5.2. 30.10.2007

ний, который и достигает земной поверхности [9-11]

(заметьте, на средней панели в |B| этот же би-

На рис. 3h в работе [7] была показана регистра-

максимум не превышает 40 %). Это взаимодействие

ция сжимаемых волн в |B| на частотах около 1.6 и

второй и четвертой «магических» гармоник (1), ср.

3 мГц на THEMIS-E (T ME порядка 3R_E под МП).

также с табл. 1. Однако процессы в B_y продолжа-

Частоты почти идентичны демонстрируемым позже

ются на суммарных частотах F 3 (показано фиоле-

в работе [11] 1.66 и 3.3 мГц и могут быть воспроиз-

343

С. П. Савин, В. В. Ляхов, В. М. Нещадим и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Таблица 3. Координаты спутников 20.03.2012

Spacecraft\GSE,RE X Y Z X Y Z

SPEKTR-R

-17

30 -9 -16

26 -11

CLUSTER-4

-8 -7

-7

-2

GEOTAIL

-4 -19

2 -25

THA/THE

-3 -10

-8

Рис. 4. Вэйвлетные спектры мощности потока плазмы

nV : 20.03.2012. WIND, СВ (SW), 13-18 UT, нижний гра-

фик без заливки; SPEKTR-R, 13-21 UT, крестики (голу-

бая заливка); CLUSTER-4 13-18 UT, светлая (желтая) за-

ливка; GEOTAIL, 05-24 UT, темная (фиолетовая) заливка;

THA, |B|, 13-21 UT, верхняя кривая. Орбиты см. табл. 2,

20.03.2012, вэйвлетная би-когерентность |B|, T HA, 13-21

Рис. 3. Временной ход |B| на T MA и T ME 20.03.2012 в

13-21 UT. Орбиту см. в табл. 2

ведены МН при переменном r₀ ∼ 4 и 2R_E, соот-

ветственно, а также гармониками в нижней строчке

табл. 1. Сигнал на частоте 1.6 мГц — квазистацио-

нарен (т. е. может возбуждаться относительно сла-

быми стационарными волнами в СВ), а сигнал на

частоте 3 мГц был вызван четырьмя плазменными

струями в МСЛ, период появления которых равен

периоду резонансных затухающих колебаний. Авто-

ры [7] показали, что два мощных возмущения — то-

ковых слоя — в СВ вызывают эти колебания. Это

Рис. 5. Трехволновой процесс: когерентность трех сигна-

согласуется с [10,11,15, 16]: резонансы наблюдают-

лов: F 1 (горизонтально) + F 2 (вертикально) = F 3 (не

ся как у МП, так и внутри нее. Но у МП суще-

показано)

ствует широкий спектр волн, мешающий регистра-

ции резонансов в ионосфере [10]. Резонансы же по-

XGSE от 14 до -17R_E, см. табл. 3). Вне МП мы

рядка P c5-6 с длиной волны вплоть до нескольких

анализируем поток ионов nV (произведение плот-

R_E (порядка глубины орбиты TME под МП) про-

ности ионов на скорость), т. е. доминирующий им-

никают глубже высокочастотной турбулентности и

пульс в СВ/МСЛ. Внутри МП (по данным спутни-

возбуждают резонансные колебания силовых линий

ков T HEMIS -A/E = T MA/T ME) анализируется

(ср. рис. 2), они хорошо видны и под углом 1^◦-4^◦

импульс |B|, отражающий доминирующее магнит-

внутри границы замкнутых силовых линий в ионо-

ное давление внутри магнитосферы. На рис. 3 по-

сфере [10].

казаны сжимаемые волны в |B| ∼ 3-4R_E под МП.

Амплитуда волн на T ME значительно выше, чем на

TMA (TME примерно на 1R_E ближе к МП). Это

5.3. Новый пример 20.03.2012

говорит о малой вероятности непосредственного до-

Мы представляем новые данные, включающие

стижения этой сжимаемой волной ионосферы. Вэй-

измерения потока плазмы на SPEKTR-R. Мы срав-

влетный спектр мощности на T MA с рис. 3 приведен

ниваем данные с пяти космических аппаратов (КА,

на рис. 4 (верхняя кривая), а вэйвлетная би-спектро-

344

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Собственные колебания границы магнитного барьера. ..

грамма (отражающая нелинейное трехволновое вза-

Мы считаем, что МН деформирует МП и созда-

имодействие) — на рис. 5.

ет флуктуации магнитного давления на внутренней

На THA в области интенсивных волн в 16-19 UT

кромке МП. Глубоко внутрь магнитосферы флук-

стандартное отклонение |B| ∼ 4.9 нТл, а перпен-

туации, возбуждаемые возмущением |B| (отражаю-

дикулярное магнитному полю составляет примерно

щего изменения магнитного давления), попадают,

3.3 нТл. Таким образом, здесь преобладают сжима-

вероятно, за счет раскачки альвеновских резонан-

емые, а не альвеновские волны [1-3] (ср. с [11]). По

сов силовых линий (ср. рис. 2, [1-3,11,16,17]). Сум-

всей видимости, THA и THE регистрируют и аль-

марная частота трехволнового резонанса для час-

веновские волны на резонансной для силовой линии

тот F1 + F2 = F3 ∼ 1.4 мГц (рис. 5) видна лишь в

частоте (линейной) порядка 0.6-0.7 мГц [1-3,11,17].

слабых спектральных максимумах в МСЛ и в «пол-

О нелинейных трехволновых каскадообразных про-

ке» в |B| на рис. 4, совпадая с одной из гармо-

цессах говорят максимумы (свыше 50 %), близкие

ник табл. 1. На рис. 5 амплитуда этого резонанса

к черным линиям на рис. 5. Основной каскад (на-

превышает 60 % и приводит к каскаду трехволно-

клонная линия) соответствует трехволновому про-

вых распадов (см. наклонную черную прямую, «рас-

цессу с частотами F1 + F2 ∼ 1.4 мГц (близко ко

пад», см. далее). Как мы уже говорили, дискретным

второй «магической» частоте). Он начинается на

нелинейным каскадом является взаимодействие сиг-

F2 ∼ 0.7 мГц — частоте максимума в спектре |B|

нала на одной из частот F 1 - F 3 с сигналами на

на рис. 4, что соответствует первой «магической»

других фиксированных частотах F 1 - F 3 с повто-

частоте (1). Этот же максимум, почти без доплер-

рением нелинейного взаимодействия вдоль линии,

сдвига, виден и в СВ, однако, в МСЛ (спектры с за-

фиксирующей каскадную частоту [7, 8, 14] (не пу-

ливкой) только на CLUSTER-4 и SPEKTR-R видны

тать с турбулентным каскадом). Если F 3 ∼ const,

слабые максимумы на меньших частотах, не объяс-

то это «распад» исходной волны на дочерние вол-

нимые доплер-сдвигом (так как его нет на T HA).

ны, соответствующий наклонным линиям на рис. 2,

Таким образом, этот резонанс не распространяет-

5, 6 (см. далее). Если F 2/F 1 ∼ const — это го-

ся наружу от МП к Солнцу вдали от подсолнечной

ризонтально/вертикально протяженный максимум

точки, вблизи которой он, по-видимому, и возбуж-

(«накачка»). При этом для распадающихся волн на

дается (из-за совпадения частот в СВ, в гармонике

рис. 5 с частотами 0.1 < F 1 < 0.7 < F 2 < 1.4 мГц

МН и, возможно, волноводного резонанса [9], см. да-

(ср. с рис. 2) резонансов магнитосферных сило-

лее «множественные резонансы»). Горизонтальный

вых линий и/или волноводных мод в непрерывном

каскад на частоте F 2 ∼ 0.29 мГц близок к мини-

интервале 0.1-1.4 мГц не наблюдается. Каскад на

мальной частоте табл. 2. Более точно частоту мож-

F2 ∼ 0.26-0.32 мГц (см. горизонтальнуючерную ли-

но получить, слегка уменьшив r₀ (так как нулевая

нию на рис. 5) начинается максимумом F 2 ∼ 70 %

бесселева частота линейно зависит от его обратной

(слева, считаем, что это — «накачка» от УВ/МСЛ

величины, (ср. табл. 1, 2).

[16]). Он соответствует едва заметному пику на

Поскольку на THA доминируют сжимаемые

рис. 4. Его вторая (нелинейная) гармоника — близка

волны, они вызываются не альвеновскими резонан-

к начальной частоте F 2 наклонного каскада (при-

сами [1-3], а мы считаем, низшей «магической» (1)

мерно первая «магическая» частота). Максимумы

гармоникой MH ∼ 0.6-0.7 мГц с характерным раз-

на 0.05-0.5 мГц наблюдаются часто (см. рис. 1, 4,

мером резонанса мембраны r₀ ∼ 10R_E (табл. 1). Для

[8]), но они до сих пор не были объяснены. МН де-

r₀ ∼ 25R_E доминируют волны с частотой 0.24 мГц

лает это, если считать, что в разных точках наблю-

(табл. 2), что близко к минимальной частоте пиков

дения доминируют разные гармоники (преимуще-

на рис. 4, из чего и выбран r₀ для табл. 2. Физиче-

ственно, нулевые) с разным соответствующим ха-

ским основанием для этого служит то, что с ростом

рактерным размером резонансной области r₀. На

r₀ должно увеличиваться время пролета резонанс-

рис. 4 на GEOTAIL (наиболее близкому к T HA

ной волны вдоль мембраны. Мы также предполага-

по ХGSE) виден максимум на частоте 0.3 мГц

ем, что этот принцип — линейной зависимости пе-

r0 ∼ 20RE), на THA — относительный максимум

риода основного мембранного резонанса от эффек-

при частоте примерно на 0.25 мГц (ср. табл. 2). На-

тивного радиуса мембраны — справедлив и для изо-

помним, вторая (нелинейная) гармоника этой часто-

гнутой мембраны, т. е. МП вдали от подсолнечной

ты может резонировать с линейной гармоникой ре-

точки (время пролета резонансной волны вдоль МП

зонансной силовой линии на частоте примерно 0.6-

может расти примерно линейно с ростом эффектив-

0.7 мГц (близка к первой «магической» частоте (1)

ного радиуса).

(см. рис. 5, табл. 1), предсказываемой в работах

345

С. П. Савин, В. В. Ляхов, В. М. Нещадим и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

[1-3, 11, 17] и возбуждаемой МН в зоне резонанс-

похожими максимумами в СВ на частотах 0.08 и

ного возбуждения МП до r₀ ∼ 10R_E. Насчет резо-

0.13 мГц, доплер-сдвинутыми на 0.03 мГц. Похожие

нансного возбуждения: дополнительно следует рас-

максимумы видны в МСЛ, их частота тоже умень-

смотреть, как резонансные волны распространяют-

шается с удалением от Солнца, а мощность выше

ся вверх по потоку магнитослоя. В [16] показано, что

уровня СВ опять на 1.5-2.5 порядка. И снова мини-

в магнитослое регистрируется распространение воз-

мальную частоту на SPEKTR-R нельзя объяснить

мущений в сторону Солнца. Отсюда наша концеп-

доплер-сдвигом. На T MA и SPEKTR-R самый низ-

ция: в резонансе участвует, главным образом, маг-

кочастотный пик наблюдается на 0.05 мГц, он требу-

нитопауза в сторону Солнца от спутника, и он ви-

ет участия в резонансе МП вплоть до XGSE порядка

дит ее результат благодаря движению волн к Солн-

-70R_E,что трудно объяснить МН: здесь, очевидно,

цу [16]. Кстати, деление характерной альвеновской

приближение плоской мембраны не работает пря-

скорости (порядка 100 км/с) на эффективный диа-

мо. Хотя последовательность частот на разных КА,

метр мембраны для табл. 1 (т. е. пролет резонансной

объясняемая МН, сохраняется. Если линейная зави-

волны от центра мембраны и обратно) дает имен-

симость периода возмущений от эффективного ра-

но частоту около 0.7 мГц. На ближайшем к Солн-

диуса мембраны для нулевой гармоники качествен-

цу CLUSTER-4 — максимум наблюдается на частоте

но работает и здесь (ср. время пролета резонансной

0.4 мГц (r₀ ∼ 15R_E), на самом удаленном от Солнца

волны вдоль мембраны), то совпадение частот на

SPEKTR-R — на 0.22 мГц (r₀ ∼ 27R_E , ср. с табл. 2).

TMA и SPEKTR-R может объясняться тем, что с

Это может означать, что в мембранном резонансе

ростом r₀ растет и длина резонансной волны, делая

радиус r₀ действительно близок к длине МП от под-

пренебрежимым доплер-сдвиг в МСЛ.

солнечной точки до места измерения вдоль магни-

топаузы. При этом резонансы возбуждаются не обя-

5.4. Новый пример 27.03.2005

зательно на частотах спектральных пиков СВ, что

не должно казаться удивительным: усиление мощ-

В этом случае мы прокоррелировали все доступ-

ности в резонансных пиках в МСЛ на рис. 3 дости-

ные данные 27.03.2005 г. и подтвердили прохожде-

гает 1.5-2 порядков относительно СВ, тогда как пи-

ние резонансных волн от солнечного ветра до на-

ки в СВ превышают фон только в 1.5-3 раза. Од-

земных станций на полярных широтах. Их частоты

нако спектральные пики в СВ могут-таки прово-

удовлетворительно согласуются с бесселевыми гар-

цировать резонансы под МП (см. рис. 1, 4). Отме-

мониками линейных резонансов на разных грани-

тим, уменьшение частоты с удалением КА от Солн-

цах.

ца в МСЛ не объясняется доплер-сдвигом: он дол-

В работах [8,16] показано как и какими волнами

жен расти из-за вторичного ускорения в сторону

разрушается бесстолкновительный поток СВ, набе-

магнитосферного хвоста потока, обтекающего хво-

гающий на магнитосферу: слабые короткие импуль-

стовую магнитосферу. На SPEKTR-R виден пик на

сы волн, бегущие навстречу СВ, в необычайно мощ-

частоте 0.5 мГц, в принципе, объяснимый доплеров-

ном трехволновом каскадном взаимодействии в три

ским сдвигом, но все равно, пики около 0.3 мГц на

этапа термализуют и отклоняют поток СВ. Причем

GEOTAIL и SPEKTR-R не могут быть объяснены

характерные частоты наблюдаемых нелинейных ре-

доплер-сдвигом. Возвращаясь к увеличению часто-

зонансов могут быть описаны МН как линейные за-

ты резонанса в МСЛ с 0.31 до 0.4 мГц на рис. 1, —

травки и/или множественные резонансы (хотя бы

она может быть связана с тем, что КА «видят» ре-

для тех возмущений, которые возбуждаются у МП).

зонансы на разных гармониках (и/или резонируют

Заметим, что в работе [16], в отличие от [11], рас-

разные области погранслоев с разным r₀). Ближе

сматривается единый синхронизированный процесс

к Солнцу КА пролетает области, резонирующие с

резонансов у УВ, МП и в МСЛ. Здесь мы при-

меньшей частью МП, отсюда большая частота гар-

водим новые результаты би-спектрального анали-

моник. А пик под МП больше выделяется на рис. 4,

за у МП, демонстрирующие роль нелинейных вза-

вероятно, из-за совпадения с пиком в СВ. На час-

имодействий и каскадов в установлении взаимосвя-

тоте 0.5-2 мГц (рис. 4) пики в МСЛ расположены

зи резонансов у МП и внутримагнитосферных волн

в той же последовательности, что и рассмотренные

вплоть до локальных резонансных частот силовых

выше, но не имеют триггерных пиков в СВ. Однако

линий порядка 5-7 мГц [11, 17].

они укладываются в рамки МН (ср. табл. 1, 2).

На рис. 6 даны вэйвлетные би-спектры |B| на

Два низкочастотных максимума в |B| на часто-

спутнике GEOTAIL, который выходил из магнито-

тах 0.05 и 0.1 мГц на рис. 4 могут быть вызваны

сферы и фиксировал множественные разрывы МП

346

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Собственные колебания границы магнитного барьера. ..

щаяся нелинейная связь, обеспечивающая синхро-

низацию внешних и внутренних магнитосферных

процессов, видна на второй (нелинейной) гармонике

частоты накачки (см. горизонтальные максимумы

на F 2 ∼ 0.3 мГц). Эта частота близка к минималь-

ной частоте табл. 2. Более точно частоту можно по-

лучить, слегка уменьшив r₀.

На нижней части рис. 6 основной горизонталь-

ный нелинейный каскад вблизи 0.15 мГц порождает

также нелинейные гармоники вплоть до четвертой.

Таким образом, мы еще раз демонстрируем, что

взаимосвязь внешнемагнитосферных и/или поверх-

ностных МП-мод с внутримагнитосферными может

происходить именно посредством нелинейных гар-

моник и трехволновых каскадов (см. также обсуж-

дение рис. 2, 5).

6. СЦЕНАРИИ РАЗВИТИЯ РЕЗОНАНСОВ

Рис. 6. 27.03.2005, см. [16]. Вэйвлетная би-когерентность

Как мы видели, и в теории, и в эксперимен-

|B|, GEOTAIL, 03-16 UT. Стрелки на нижней панели (фраг-

те существует множество гармоник и резонансов у

менте верхней) показывает генерацию нелинейных гармо-

МП (ср. [3, 8, 17] и ссылки там). Какие же резонан-

ник на суммарных частотах и их дальнейшее трехволновое

сы реализуются и видны в эксперименте? Как мы

взаимодействие (максимумы)

показали, в различных погранслоях могут домини-

ровать разные гармоники и/или резонансы с раз-

ными эффективными радиусами мембраны. Напом-

под воздействием модулированных на изучаемых

ним, деление характерной альвеновской скорости на

частотах плазменных струй [16]. Считается, что их

эффективный диаметр мембраны (пролет резонанс-

модуляция возникает на деформированной резонан-

ной волны туда и обратно) дает частоты, близкие к

сами ударной волне и что она синхронизована с ре-

предсказываемым МН для нулевых бесселевых гар-

зонансами на МП [8, 16]. Мы также предполагаем,

моник.

что возбуждаются преимущественно частоты вбли-

Особое внимание надо обратить также на взаи-

зи собственных (мембранных) резонансов МП ко-

модействие линейных и нелинейных гармоник. При-

роткими импульсами вектора Пойнтинга в сторо-

мер резонанса на T HA на частоте около 0.7 мГц

ну Солнца ( [16], см. далее). «Накачка» с уровнем

(рис. 4) свидетельствует, что спектральные пики в

би-когерентности порядка 60 %, по всей видимости,

СВ проникают под МП, скорее всего, через нулевую

происходила на F 2 ∼ 0.15 мГц, определяемой плаз-

гармонику МН с r₀ ∼ 10R_E, доминирующую вбли-

менными струями [8,16] (см. большое красное пятно

зи подсолнечной точки, что вместе с альвеновским

в левом нижнем углу нижней панели). Нелинейные

резонансом силовых линий ( [1-3,17], рис. 2) может

гармоники (на суммарной частоте, вплоть до чет-

приводить к «магическим» пикам, видимым вплоть

вертой) показаны стрелками. Они, в свою очередь,

до ионосферы.

продолжают трехволновые взаимодействия как с ис-

Мы придерживаемся гипотезы: в спектрах мощ-

ходным сигналом и между собой, так и с другими

ности доминируют множественные резонансы гар-

волнами (максимумы на нижней панели). Заметьте,

моник, т. е., например, СВ, МН, альвеновские [1-3]

горизонтальные и наклонный каскады (фиолетовые

(ср. рис. 2, 4), магнитозвуковые (волноводные или

линии) качественно хорошо согласуются с рис. 2,

«waveguide modes» и Kruskal-Schwarzschild [4,5,17]),

5. Верхняя панель показывает генерацию нелиней-

локальные [8,11,17], которые дорастают до нелиней-

ных каскадов (горизонтальные, F 2 ∼ const, протя-

ных амплитуд. Спектральные пики в СВ стимули-

женные максимумы) на частотах F 1 ∼ 3-7 мГц,

руют пики под МП, но не являются необходимыми.

что попадает в область резонансов магнитных си-

Для «сильных» транзиентных возмущений, вызыва-

ловых линий [8, 11, 17]. Причем наиболее выделяю-

ющих нелинейную реакцию МП, когда частота (или

347

С. П. Савин, В. В. Ляхов, В. М. Нещадим и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

обратный интервал между ними, см. [7]) в СВ совпа-

ми, Kruskal-Schwarzschild и волноводными модами

дает с частотой бесселевой гармоники (в линейном

(«waveguide modes», ср. рис. 2 и [1-9,11,17]). Кроме

приближении), на ней развивается первоначальный

того, продемонстрирован процесс нелинейного воз-

резонанс (затухающий) и при дорастании амплиту-

буждения альвеновского резонанса магнитных си-

ды до нелинейной его «обычные» гармоники, а при

ловых линий [17] сжимаемыми волнами (рис. 2),

очень сильных возмущениях — и нелинейные на по-

включающий в себя нелинейные взаимодействия

ловине частоты, резонирующие с «накачкой», рис. 6.

и генерацию большей части «магических» гармо-

Далее возбуждаются нелинейные дискретные каска-

ник (1).

ды (не путать с турбулентными) на разных гармони-

Наша простая мембранная модель, не являясь

ках различных резонансов [8,16]. В спектрах мощно-

прямо применимой вдали от подсолнечной точки

сти также появляются максимумы при совпадении

магнитопаузы, однако, показывает направление

частот нескольких резонансов разной природы или

дальнейших исследований — как нужно пытать-

имеющих разные масштабы области возбуждения (и

ся упорядочить данные с разных спутников

—

в результате, приобретающие нелинейные амплиту-

и качественно объясняет резонансы вплоть до

ды). На частотах в десятки мГц дискретный кас-

0.05-0.5 мГц. Приведен пример возбуждения вол-

кад размывается и превращается в непрерывный (за

новодной моды внутри магнитопаузы, по всей

счет расширения и перекрытия резонансов в среде

видимости, нелинейными волнами мембранной

с высоким уровнем флуктуаций [8]). Его обычно и

неустойчивости (рис. 2). Четырехволновой нели-

считают турбулентным.

нейный анализ данных

— предмет отдельного

исследования.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодарности. Авторы признательны за

поддержку работы ISSI Team Savin/Wang, LPCEE

Упрощенная мембранная неустойчивость (МН),

(Orleans) за использование программы SWAN

а также элементарные времяпролетные оценки для

для вэйвлетного анализа, экспериментаторам

резонансной волны дают неплохое совпадение с экс-

CLUSTER, THEMIS, GEOTAIL, WIND, за данные

периментом вблизи подсолнечной точки и позво-

через CDAWeb, CSDS и SPDF. Особая благодар-

ляет объяснить (качественно) структуру спектров

ность профессору Г. Н. Застенкеру за предоставле-

мощности потока плазмы одновременно на разных

ние данных BMSW (SPEKTR-R) и многочисленные

участках погранслоев у МП, а также связать их с

полезные консультации. Мы признательны рецен-

би-спектральными максимами. МН объясняет резо-

зенту за его актуальные вопросы, ответы на которые

нансы на частотах 0.05-0.5 мГц, несмотря на ограни-

позволили существенно улучшить доказательную

чения модели плоской мембраны. Рисунок 3h в [7] и

базу статьи.

рис. 1-3 демонстрируют сжимаемость резонансных

волн у МП (ср. [11]), что означает невозможность

возбуждения резонансов МП одними альвеновски-

ЛИТЕРАТУРА

ми модами [1-3]. Мы предполагаем — как общий

принцип — совпадение частот разных гармоник раз-

1. F. Plaschke, K. H. Glassmeier, H. U. Auster,

O. D. Constantinescu, W. Magnes, V. Angelopoulos,

ных резонансов и рост их амплитуд до нелинейных

D. G. Sibeck, and J. P. McFadden, Geophys. Res.

уровней как условие усиления спектральных и би-

Lett. 36, L02104 (2009).

спектральных пиков у МП и их распространения в

ионосферу («множественные резонансы»).

2. F. Plaschke, K. H. Glassmeier, H. U. Auster, V. An-

В противоположность одному из предположений

gelopoulos, O. D. Constantinescu, K. H. Fornacon,

[10] мы демонстрируем не только наличие резонан-

E. Georgescu, W. Magnes, and J. P. McFadden, J.

сов у МП, но и регистрацию каскадного нелинейного

Geophys. Res. 114, A00C10 (2009).

распада и взаимодействия множественных нелиней-

3. F. Plaschke, K.-H. et al., Geophysical Monograph.

ных гармоник под МП, который обеспечивает воз-

American Geophys. Union & John Wiley and Sons.

можность возбуждения магнитосферных резонан-

216, 195 (2016).

сов на частотах 0.1-25 мГц без изначального точ-

ного совпадения частот с частотами гармоник ли-

4. J. C. Samson, B. G. Harrold, J. M. Ruohoniemi,

нейных резонансов МП и силовых линий. Подоб-

R. A. Greenwald, and A. D. M. Walker, Geophys.

ная связь может быть и между МН, альвеновски-

Res. Lett. 19, 441 (1992).

348

ЖЭТФ, том 159, вып. 2, 2021

Собственные колебания границы магнитного барьера. ..

5. I. R. Mann, A. N. Wright, K. J. Mills, and V. M. Na-

11. M. O. Archer, H. Hietala, M. D. Hartinger, F. Pla-

kariakov, J. Geophys. Res. 104, 333 (1999).

schke, and V. Angelopoulos, Nat. Commun. 10, 615

(2019).

6. M. O. Archer and T. S. Horbury, Ann. Geophys. 31,

12. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения ма-

319 (2013).

тематической физики, Наука, Москва (1966).

7. С. П. Савин, В. П. Будаев, Л. М. Зеленый, Э. Ама-

13. V. V. Lyahov and V. M. Neshchadim, Advances in

та, Д. Сайбек, В. Н. Луценко, Н. Л. Бородкова,

Space Research 65, 2782 (2020).

Х. Занг, В. Ангелопулос, Я. Шафранкова, З. Неме-

чек, Я. Бленцки, Й. Бюхнер, Л. В. Козак, С. А. Ро-

14. S. Savin, J. Büchner, G. Consolini, B. Nikutowski,

манов, А. А. Скальский, В. Красносельских, Пись-

L. Zelenyi, E. Amata, H. U. Auster, J. Blecki,

ма в ЖЭТФ 93, 837 (2011).

E. Dubinin, K. H. Fornacon, H. Kawano, S. Klimov,

F. Marcucci, Z. Nemecek, A. Pedersen, J. L. Rauch,

8. S. Savin, E. Amata, V. Budaev, L. Zelenyi,

S. Romanov, J. Safrankova, J. A. Sauvaud, A. Skal-

E. A. Kronberg, J. Buechner, J. Safrankova, Z. Ne-

sky, P. Song, and Yu. Yermolaev, Nonlin. Proc.

mecek, J. Blecki, L. Kozak, S. Klimov, A. Skalsky,

Geophys. 9, 443 (2002).

L. Lezhen, Письма в ЖЭТФ 99, 19 (2014).

15. M. O. Archer, T. S. Horbury, J. P. Eastwood,

9. V. M. Nakariakov, V. Pilipenko, B. Heiliget,

J. M. Weygand, and T. K. Yeoman, J. Geophys. Res.

P. Jel´ınek, M. Karlický, D. Y. Klimushkin, D. Y. Ko-

118, 5454 (2013).

lotkov, D.-H. Lee, G. Nisticò, T. Van Doorsselaere,

G. Verth, and I. V. Zimovets, Space Sci. Rev. 200,

16. S. Savin, E. Amata, L. Zelenyi et al., Письма в

75 (2016).

ЖЭТФ 110, 323 (2019).

10. В. А. Пилипенко, О. В. Козырева, Л. Бэддели,

17. A. Keiling, D.-Hun Lee, and V. Nakariakov, Low-Fre-

Д. Лорентцен, В. Б. Белаховский, Солнечно-зем-

quency Waves in Space Plasmas (Geophysical Mono-

ная физика 3, 17 (2017).

graph Series), American Geophysical Union (2019).

349