ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 434-447

О ПРОСТОМ ЭВРИСТИЧЕСКОМ ВЫВОДЕ ФОРМУЛЫ

ШЕННОНА ДЛЯ КАНАЛА СВЯЗИ С НЕПРЕРЫВНЫМИ

ПЕРЕМЕННЫМИ В КВАНТОВОМ СЛУЧАЕ

И. М. Арбеков^a, С. Н. Молотковa,b,c*, И. В. Синильщиков^c

^a Академия криптографии Российской Федерации

121552, Москва, Россия

^b Институт физики твердого тела Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^c Центр квантовых технологий, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119899, Москва, Россия

Поступила в редакцию 22 декабря 2020 г.,

после переработки 22 декабря 2020 г.

Принята к публикации 23 декабря 2020 г.

Цель статьи — вывод на простом эвристическом и понятном на физическом интуитивном уровне фор-

мул пропускных способностей для классически-квантового канала связи с гауссовским шумом, которые

являются аналогами классических пропускных способностей и которые возникают во многих задачах

квантовой теории информации. Классическая пропускная способность классического канала связи с огра-

ниченной частотной полосой и гауссовскими информационными состояниями при стремлении шума к

нулю имеет расходимость. При последовательном квантовом рассмотрении расходимость устраняется,

что является следствием фундаментального физического принципа тождественности частиц — бозонов

в информационных состояниях.

DOI: 10.31857/S0044451021030056

ский для данной области математический аппарат,

для понимания и освоения которого требуется опре-

деленное время и усилия. В классической теории

1. ВВЕДЕНИЕ

информации для многих результатов имеется каче-

ственная интерпретация, тогда как в квантовой об-

Определение условий для безошибочной пере-

ласти часть фундаментальных понятий и результа-

дачи информации при помощи классических сиг-

тов не может быть в принципе интерпретирована в

налов через канал с шумом является фундамен-

классических терминах. К ним можно отнести поня-

тальным результатом теории информации Шеннона

тие запутанности и результаты, связанные с пере-

[1-3]. В квантовой области существует также зна-

дачей информации при помощи запутанных состо-

чительное количество разнообразных задач, связан-

яний, поскольку само явление запутанности отсут-

ных с передачей и обработкой информации [4-6].

ствует в классической области. Тем не менее, при

Одной из таких задач является передача класси-

исследовании некоторых понятий, таких как про-

ческой информации при помощи квантовых состоя-

пускная способность классически-квантового кана-

ний. Верхняя граница безошибочной передачи клас-

ла связи или скорость безошибочной передачи клас-

сической информации при помощи квантовых со-

стояний в асимптотическом пределе длинных после-

стояний, можно провести аналогию с соответствую-

довательностей дается фундаментальной величиной

щими классическими величинами, несмотря на то,

(информацией) Холево [4-6]. Квантовая теория ин-

что полное сведение к классическому случаю невоз-

формации является достаточно обширной и разра-

можно. Для осмысленной постановки и проведения

ботанной теорией, которая использует специфиче-

экспериментальных исследований часто необходи-

ма простая и интуитивно понятная на физическом

^* E-mail: sergei.molotkov@gmail.com

434

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

уровне интерпретация используемых теоретико-ин-

выводе формулы для пропускной способности дис-

формационных конструкций, не перегруженная ма-

кретного канала связи в классическом случае.

тематическим аппаратом. Цель данной заметки —

дать простой эвристический вывод квантового ана-

2. КЛАССИЧЕСКИЙ ДИСКРЕТНЫЙ КАНАЛ

лога формулы Шеннона для пропускной способно-

СВЯЗИ

сти классического канала с непрерывной перемен-

ной. При выводе используются привычная в физике

Каждому физическому сигналу, передаваемому

интерпретация вероятности как предела частоты со-

через канал связи, сопоставляется символ алфави-

бытий при большом числе испытаний (измерений), а

та xi ∈ X = {xi}Ni=1. При передаче информации

также стандартная борновская интерпретация мат-

каждый символ (сигнал) посылается в канал с ве-

рицы плотности как ансамбля квантовых состояний.

роятностью P_X (x_i). Канал используется n раз, каж-

Речь пойдет о пропускной способности канала связи

дая посылка независима от предыдущих. На прием-

в единицу времени (бит/с) с непрерывными сигнала-

ной стороне принимаются искаженные состояния —

ми, имеющими конечную частотную полосу Ω (Гц)

один из символов алфавита y_i ∈ Y = {y_i}Ni=1. Раз-

и наблюдаемыми на фоне белого гауссовского шума

мерности N и сами алфавиты (множества) на при-

[1-3]:

емной и передающей сторонах не обязательно сов-

(

)

падают. Размерности считаем одинаковыми, чтобы

C =

Ω log

(1)

N₀Ω

не загромождать выкладки несущественными дета-

где

лями.

Физические свойства канала c искажениями (шу-

∫

мом) формализуются заданием переходных вероят-

x²(t)dt

ностей P_Y|X(y|x) — послан символ x, принят сим-

-T/2

вол y. Совместное распределение символов на входе

— ограничение на мощность (дисперсию) случайно-

и выходе канала,

го сигнала x(t), N₀Ω — мощность (дисперсия) белого

шума в полосе [0, Ω]¹⁾, log ≡ log₂.

P_XY (x, y) = P_X(x)P_Y|X(y|x) =

Неформальный смысл (1) состоит в определении

= PY (y)PX|Y (x|y),

(2)

верхней границы числа битов информации в едини-

— это вероятность обнаружить пару (x, y), если од-

цу времени, которые можно передать безошибочно

новременно имеется доступ ко входу и выходу.

при помощи сигналов с ограниченной полосой Ω и

Вероятность получить последовательность Y_n =

мощностью S через канал связи с гауссовским бе-

= (yi1 , . . . , yin ) при условии переданной последова-

лым шумом, имеющим постоянную одностороннюю

тельности (сообщения) X_n = (xi1, . . . , xin ) равна

(для положительных частот) спектральную плот-

ность N₀. Отношение сигнал/шум S/N₀Ω в том или

∏

ином контексте возникает во многих физических си-

P (Y_n|X_n) = P_Y|X (yij |xij ).

(3)

туациях. Для самодостаточности и связности изло-

j=1

жения, а также для того, чтобы проследить ана-

Тем самым задается стационарный дискретный ка-

логии с классическим случаем, приведем эвристи-

нал связи с искажениями (шумом) без памяти. За-

ческий вывод формулы для пропускных способно-

метим, что вероятность сообщения P (X_n) на пере-

стей дискретного классического канала без памяти,

дающей стороне, в соответствии с независимым вы-

а также непрерывного классического канала с гаус-

бором символов, имеет вид

совским белым шумом. Этот вывод потребуется для

получения формулы в квантовом случае. В опреде-

∏

ленном смысле вывод формулы для пропускной спо-

P (X_n) = P_X (xij ) =

j=1

собности в квантовом случае может быть основан на

= (P_X (x₁))n(x1) . . . (P_X (x_n))n(xn),

(4)

¹⁾ Отметим, что для ширины частотной полосы ω исполь-

зуется условие |ω| ≤ W . Поскольку для физической устойчи-

где (n(x₁), . . . , n(x_n)) — частота появления символов

вой системы отрицательные частоты невозможны, использу-

в сообщении X_n, 0 ≤ n(x₁) ≤ n, . . . , 0 ≤ n(x_n) ≤ n и

ем для ширины полосы 0 ≤ ω ≤ Ω (положение интервала на

n(x₁) + . . . + n(x_n) = n.

оси частот несущественно), поэтому ширина полосы в наших

обозначения вдвое больше по сравнению, например, с шири-

В асимптотическом пределе длинных последова-

ной полосы в [3].

тельностей, при n → ∞, частоты n(x_i) появления

435

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

символов стремятся к своим математическим ожи-

вероятность любой части выходной последователь-

даниям: n(x_i) ≈ nP_X (x_i).

ности, порождаемой частью входной типичной по-

Тогда можно сказать, что при больших n прак-

следовательности, состоящей только из x₁, равна

тически все последовательности (сообщения) имеют

одинаковую вероятность:

(P_Y|X (y₁|x₁))nPX (x1)PY|X (y1|x1)

. . . (PY |X(y_N|x₁))nPX(x1)PY|X(yN|x1) =

∏

P (X_n) = P_X (xij ) =

∏

j=1

= (P_Y|X (y_i|x₁))nPX(x1)PY|X(yi|x1) =

i=1

= (P_X (x₁))nPX (x1) . . . (P_X (x_n))nPX (xn) =

=2-PX(x1)H(Y|x1),

(9)

=2-nH(X),

(5)

где

∑

H(X) = - P_X (x_i) log(P_X (x_i)).

(6)

∑

i=1

H(Y |x₁) = - P_Y|X (y_i|x₁) log(P_Y|X (y_i|x₁))

i=1

Число таких типичных последовательностей [2] рав-

— условная энтропия выхода при условии входа x₁.

но 2nH(X), H(X) — энтропия Шеннона.

Собирая все входные символы вместе, получаем,

Аналогичным образом на приемной стороне

что любая последовательность на выходе, порожда-

вероятность типичной последовательности равна

емая отдельной типичной последовательностью на

P (Y_n) = 2-nH(Y), их число равно

входе, имеет вероятность

∑

2nH(Y), H(Y ) = -

P_Y (y_i)log(P_Y (y_i)).

(7)

∏

i=1

(P_Y|X (y_i|x_k))nPX (xk)PY|X (yi|xk) =

k=1 i=1

Неформально (5) и (7) означают, что при использо-

=2-nH(Y|X),

(10)

вании источника n раз на передающей и принима-

ющей сторонах с вероятностью практически едини-

где

ца возникнет одна из типичных последовательнос-

тей (5).

∑

Энтропии Шеннона H(X), H(Y ) имеют смысл

H(Y |X) = P_X (x_k)H(Y |x_k) = - P_X (x_k) ×

числа битов — бинарных разрядов, минимально

k=1

необходимых для записи типичных последователь-

∑

× P_Y|X(y_i|x_k)log(P_Y|X(y_i|x_k)

(11)

ностей (5), (7).

i=1

Для анализа процесса передачи информации

требуется знать, как каждая последовательность

— средняя условная энтропия выхода.

на передающей стороне переходит в последователь-

Таким образом, каждая типичная последова-

ность на приемной стороне.

тельность на передающей стороне порождает мно-

Пусть задана типичная последовательность

жество последовательностей мощности 2nH(Y|X).

X_n = (xi1, . . . , xin ), где частоты появления симво-

Для того чтобы группы порождаемых последо-

лов равны

вательностей на выходе канала связи не перекрыва-

лись и, следовательно, не возникало ошибки на при-

n(x₁) = nP_X (x₁), . . . , n(x_n) = nP_X (x_n).

емной стороне, передаваемых последовательностей

должно быть не более

Там, где был символ, скажем, x₁, появление на

выходе символов y_k (k = 1, . . . , N) происходит в со-

2nH(Y)

=2nI(X,Y),

ответствии с условными вероятностями

2nH(Y|X)

(12)

I(X, Y ) = H(Y )-H(Y |X) = H(X)-H(X|Y ),

P_Y|X(y₁|x₁), P_Y|X(y₂|x₁), . . . , P_Y|X(y_N |x₁).

(8)

I(X, Y ) — взаимная информация между входом и

Число входных символов x₁ (длина последователь-

выходом канала.

ности из символов x₁) равно nP_X (x₁). Тогда при

Переходные вероятности задаются физически-

nP_X(x₁) → ∞, в соответствии со сказанным выше,

ми свойствами канала, поэтому единственной пе-

436

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

ременной величиной является распределение веро-

Шум в канале представим в виде гауссовской слу-

ятностей P_X(x) на входе канала связи и, следова-

чайной величины z, независимой от x, c нулевым

тельно, максимального значения взаимной инфор-

средним и дисперсией σ2noise, плотностью вероятнос-

мации I(X, Y ) можно добиться выбором распреде-

ти

ления P_X (x).

(

)

z²

Тогда пропускная способность канала связи рав-

ϕ(z, σ2noise) =

√

exp

(16)

2πσ2noise

2σ²

noise

на

C = max I(X,Y )

(13)

и дифференциальной энтропией

PX(x)

и имеет смысл числа битов информации на одну по-

∫

∞

сылку, которые можно безошибочно передать через

H_d(Z) = ϕ(z, σ2noise)log(ϕ(z, σ2noise))dz =

канал связи с шумом.

-∞

Таким образом, чтобы различить каждую пере-

даваемую последовательность, их должно быть не

log(2πeσ2noise).

(17)

более 2^nC.

Более точно, утверждение о кодировании в ка-

Отметим, что дифференциальная энтропия H_d(Z)

нале с шумом [1-3] говорит о существовании набо-

гауссовского распределения определяется только

ра последовательностей размером 2n(C-ε), ошибка

его дисперсией и не зависит от математического

различения которых при любом сколь угодно ма-

ожидания (сдвига) — «центра» распределения веро-

лом ε > 0 стремится к нулю. Соответственно число

ятностей.

битов информации в пересчете на одну посылку, ко-

Наблюдения на выходе канала связи — это сумма

торое безошибочно можно передать через канал свя-

сигнала и шума y = x + z с плотностью распреде-

зи с шумом, не превосходит C. Данное утверждение

ления вероятностей f_Y (y) и дифференциальной энт-

есть теорема существования, поскольку не дает ал-

ропией

горитмически эффективного построения набора по-

∞

∫

следовательностей — кодовых слов на передающей

H_d(Y ) = - f_Y (y)log(f_Y (y))dy.

(18)

стороне, которые можно безошибочно различить на

-∞

приемной стороне.

Для использования результатов предыдущего раз-

дела представим алфавит на входе и выходе канала

3. КЛАССИЧЕСКИЕ КАНАЛЫ С

связи как разбиение числовой прямой на совпада-

НЕПРЕРЫВНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

ющие интервалы Δx_i, Δy_i одинаковой малой дли-

ны Δ.

Дальнейшая цель — вывести формулы для про-

Соответствующие вероятности P_X (x_i), P_Y (y_i)

пускной способности канала с непрерывными пере-

определим как

менными сначала в классическом случае, а затем и в

квантовом, используя интуитивно понятные на фи-

P_X(x_i) = f_X(x_i) · Δ, x_i ∈ (x_i, x_i + Δ),

зическом уровне результаты для дискретного клас-

(19)

сического канала связи.

P_Y (y_i) = f_Y (y_i) · Δ, y_i ∈ (y_i, y_i + Δ).

Пусть имеется один классический канал с непре-

рывной случайной величиной (сигналом) x — сигна-

После такого разбиения канал с непрерывным ал-

лом на входе канала — с плотностью распределения

фавитом на входе и выходе превращается в дис-

вероятностей f_X(x), а также с ограничением на вто-

кретный канал с распределением вероятности сим-

рой момент

волов на входе и на выходе (19). После дискретиза-

ции можно напрямую воспользоваться результатами

∫∞

разд. 2 для дискретного канала связи.

Ex² = x²f_X(x)dx ≤ S

(14)

Забегая вперед, отметим, что, как будет видно

-∞

ниже, «мелкость» дискретизации не входит в от-

вет — формально сокращается, однако это не сни-

и дифференциальной энтропией

мает вопроса о нижней границе дискретизации сиг-

∫∞

нала. В классическом случае нет ограничений на

H_d(X) = f_X(x)log(f_X(x))dx.

(15)

нижнюю границу дискретизации, что в итоге приво-

дит к расходимости пропускной способности канала

−∞

437

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

в классическом случае в пределе нулевого шума в

В частном случае нескольких независимых каналов

канале. Этот вопрос последовательно разрешается

с одинаковыми дисперсиями шума σ2noise и общим

только в квантовом случае (см. ниже).

ограничением

Заметим, что при любом фиксированном x наб-

Ex¹² + . . . + Ex2L ≤ S

(26)

людение y = x + z имеет гауссовское распределение

с дисперсией σ2noise. Тогда с учетом (19) и свойст-

пропускная способность достигается на «равномощ-

ва независимости энтропии гауссовского распреде-

ных» входах и выходах:

ления от сдвига, при малых Δ можно проследить

(

)

цепочку приближенных равенств:

C_L =

log

(27)

σ2noiseL

I(X, Y ) = H(Y ) - H(Y |X) =

(

∑

Как видно из (27), при стремлении шума к ну-

= - PY (y_i)log(PY (y_i)) -

- P_X(x_k) ×

лю, σ2noise → 0, пропускная способность — скорость

i=1

k=1

)

передачи информации стремится к бесконечности,

∑

это означает, что через канал без шума можно пе-

× P_Y|X(y_i|x_k)log(P_Y|X(y_i|x_k))

≈

редать сколь угодно много информации в единицу

i=1

⎛

⎞

времени, причем энергия сигнала ограничена (26),

∞

∫

что является физическим абсурдом. Данный факт

≈^⎝- f_Y (y)log(f_Y (y))dy - log(Δ)⎠ -

в скрытом виде есть следствие отсутствия нижней

-∞

⎛

⎞

границы Δ — дискретизации сигнала в классической

∫

∞

∫∞

области.

-^⎝ f_X(x)⎝- f_Y|X(y|x)log(f_Y|X(y|x))dy⎠ dx -

-∞

^-∞⎞

4. КЛАССИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ

КАНАЛЫ

- log(Δ)^⎠ = H_d(Y ) -

log(2πeσ2noise).

(20)

Следующий шаг, который нам потребуется,

Пропускная способность представляется как

прежде чем перейти к рассмотрению классичес-

(

)

ки-квантового канала с ограниченной частотной

C = max

H_d(Y ) -

log(2πeσ2noise)

(21)

полосой и гауссовским шумом,

— рассмотреть

fX (x)

классический канал с ограниченной частотной

Ограничение (14), (16) на сигнал x дает ограничение

полосой и гауссовским шумом. Эти результаты

на y вида

будут использованы ниже.

Ey² = E(x + z)² ≤ S + σ2noise.

(22)

Рассмотрим каналы, в которых сигналы на входе

x(t) и выходе y(t) являются случайными процессами

Максимум дифференциальной энтропии при огра-

или случайными функциями времени.

ничении (22) достигается на гауссовском распреде-

Мы дадим простой интуитивно понятный вывод

лении с дисперсией σ² = S + σ2noise [1-3], поэтому

формулы для пропускной способности (в единицу

времени) канала связи. Пусть вход — приготовле-

max

H_d(Y ) =

log(2πe(S + σ2noise))

(23)

fX (x)

ние сигнала на передающей стороне — имеет вид

и, следовательно,

y(t) = x(t) + n(t),

(28)

C =

log(2πe(S + σ2noise))-

log(2πeσ2noise) =

сигнал x(t) задан (приготавливается) на интерва-

(

)

ле времени [-T/2, T/2], имеет ограниченную частот-

log

(24)

σ²

ную полосу Ω и наблюдается (измеряется на прием-

noise

ной стороне) на фоне белого гауссовского шума n(t)

При наличии L независимых каналов с ограни-

с постоянной спектральной плотностью N₀/2.

чениями на входе S₁, . . . , S_L и дисперсиями шума

Формула (28) имеет асимптотический характер

σ2noise,1 . . .σ2noise,L пропускная способность представ-

ляет собой сумму [1-3]:

при ΩT → ∞ в следующем смысле. Функции с огра-

(

)

ниченным частотным спектром Ω не могут быть

∑

S_m

строго локализованы на конечном временном интер-

C_L =

log

(25)

σ2noise,m

вале T, однако, как будет видно ниже, существует

m=1

438

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

набор функций с ограниченным частотным спект-

где

ром, которые экспоненциально сильно по парамет-

K(τ₁, τ₂) = h^∗(t, τ₁)h^∗(t, τ₂) dt,

(34)

ру ΩT локализованы в интервале T . То есть весь

сигнал x(t) сосредоточен в окне T, кроме «хвостов»,

которые выходят за интервал T лишь с вероятно-

⎧

⎨

стью ≈ exp(-ΩT). Число ортогональных функций

h(t - τ),

|t| ≤

|τ| ≤

h^∗(t, τ) =

(35)

с ограниченным частотным спектром, экспоненци-

⎩

в других точках.

ально локализованных в окне T , есть N_Ω ≈ ΩT , дан-

ные функции используются как базисные, по кото-

Тогда

рым разлагается сигнал x(t). Неформально говоря,

сказанное означает, что сигнал с ограниченным ча-

∫

стотным спектром может быть сколь угодно точно

∑

x(t) =

x_m

h(t - τ)ϕ_m(τ) dτ =

приготовлен передатчиком во временном окне T.

m=1

Перейдем к более точным формулировкам. Сле-

-T/2

[

]

дуя [3], мы используем представление любой задан-

∑

√

= x_m

λ_mϕ_m(t), t ∈

(36)

ной действительной или комплексной функции с по-

m=1

мощью разложения в ряд по ортонормальным функ-

циям. При этом случайная функция описывается с

Здесь {ϕ_m(t)} — система волновых функций вытя-

помощью совместного распределения коэффициен-

нутого сфероида [7-9], ортогональных на всей чис-

тов такого разложения.

ловой прямой (-∞, ∞) и ортогональных на интер-

Любая (интегрируемая с квадратом) функция

вале [-T/2, T/2]. Данное свойство ортогональности

x(t), заданная на интервале [-T/2, T/2], может быть

позволит аккуратно осуществить предельный пере-

представлена в виде разложения по системе ортого-

ход T → ∞ при вычислении скорости в единицу вре-

нальных функций {ϕ_m(t)}∞m=1:

мени безошибочной передачи информации.

Собственные числа λ₁ > λ₂ > . . . > 0 отвечают

∫

∑

за долю энергии — степени локализации функций

x(t) =

x_mϕ_m(t), x_m =

x(t)ϕ_m(t) dt.

(29)

θ_m(t) в интервале [-T/2, T/2]:

m=1

-T/2

Ограничение по частоте Ω можно представить как

∫

прохождение функции x(t) через фильтр с частот-

ϕ2m(t)dt = λ_m.

(37)

ной характеристикой

−T/2

{

0 ≤ ω ≤ Ω,

Имеет место следующее свойство функций вытяну-

H(ω) =

(30)

0, ω ≥ Ω,

того сфероида [7-9]: при ΩT

→ ∞ и для любых

сколь угодно малых значений ε ≈ ln(ΩT )/(ΩT ) соб-

или импульсной переходной функцией

ственные числа λ_m → 1 для всех m ≤ ΩT (1 - ε) и

λ_m → 0 для всех m ≥ ΩT(1 + ε). При этом стрем-

sin(2πΩt)

h(t) =

(31)

ление собственных чисел λ_m к единице при m ≤

πt

≤ ΩT (1 - ε) определяется параметром exp(-ΩT ).

Тогда для любой функции с ограничением Ω имеет

Отсюда следует, что функция x(t) с ограничен-

место представление

ным по частоте спектром, представленная в (36),

[

]

определяется, по существу, только первыми N_Ω =

∑

x(t) =

h(t - τ)ϕ_m(τ) dτ, t ∈

(32)

= ΩT коэффициентами x₁, . . . , xNΩ:

m=1

∑

Можно выбрать систему

{ϕ_m(t)}∞m=1 исходных

x(t) =

= x_mϕ_m(t),

(38)

функций не произвольно, а как решения интеграль-

m=1

ного уравнения [7-9]

функции ϕ_m(t) ортонормированы на интервале

∫

[-T/2, T/2]. При этом ϕ_m(t), m = 1, . . . , N_Ω прак-

K(τ₁, τ₂)ϕ_m(τ₂) dτ₂ = λ_mϕ_m(τ₁),

(33)

тически полностью локализованы на интервале

[-T/2, T/2].

−T/2

439

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Раскладывая по системе {ϕ_m(t)} реализацию бе-

пропускной способности дискретного по времени ка-

лого гауссовского шума, получаем коэффициенты —

нала:

случайные величины:

C_L(T) =

max

(H_d(Y₁, . . . , YNω ) -

∫

f^Y1,...,YN_Ω (^y1^,...,yNΩ⁾

n_m =

n(t)ϕ_m(t) dt, m = 1, . . . , N_Ω.

(39)

- H_d(Y₁, . . ., YNΩ|X₁, . . . , XNΩ)) =

(

)

−T/2

∑

max

H_d(Y ) -

log (2πeN₀)

fY (y)

Коэффициенты n_m при разных m статистически

m=1

(

)

(

)

независимы друг от друга и от x_m, и

N_Ω

log

ΩT log

(45)

N_ΩN₀

N₀Ω

En2m = N₀.

(40)

Для пропускной способности в единицу времени по-

лучаем

Таким образом, канал связи с непрерывным време-

(

)

нем

C_L(T)

C = lim

Ω log

(46)

y(t) = x(t) + n(t)

(41)

T →∞

N₀Ω

представляем в виде дискретного по времени канала

Как видно из (46), расходимость пропускной способ-

ности при нулевом шуме в канале (N₀ → 0) сохра-

(y₁, . . . , yNΩ ) = (x₁ + n₁, . . . , xNΩ + nNΩ )

(42)

няется и в многомодовом случае.

с независимыми компонентами шума (n₁, . . . , nNΩ),

5. КВАНТОВЫЙ КАНАЛ, ОДНОМОДОВЫЙ

имеющими гауссовское распределение. Предполо-

СЛУЧАЙ

жим, что мощность на входе канала ограничена

[1, 3]:

Перейдем к обсуждению квантового случая. Рас-

∫

смотрим классически-квантовый канал. Целью яв-

Ex²(t)dt ≤ S.

(43)

ляется передача классической информации при по-

−T/2

мощи квантовых состояний. Данную задачу мож-

но свести в определенном смысле к эффективно-

С учетом ортогональности {ϕ_m(t)} отсюда получа-

му классическому каналу связи, чтобы можно бы-

ем соотношение

ло провести аналогию с соответствующими класси-

ческими величинами, несмотря на то, что полное

∑

сведение к классическому случаю невозможно.

Ex2M ≤ ST.

(44)

В классически-квантовом канале связи на пере-

m=1

дающей стороне символам классического алфави-

Передача информации в многомодовом случае

та — классической информации — сопоставляют-

осуществляется аналогично передаче информации в

ся квантовые состояния, которые передаются че-

случае одной моды. После дискретизации передат-

рез квантовый канал с шумом. На приемной сто-

чик выбирает в соответствии с вероятностью, анало-

роне посредством измерений квантовых состояний,

гичной (19), в каждой моде символ алфавита (уро-

искаженных шумом в канале связи, требуется полу-

вень сигнала) на входе. Фактически такой выбор от-

чить классическую информацию, закодированную в

вечает выбору амплитуды сигнала в каждой моде.

квантовые состояния. Аналогом непрерывной клас-

На принимающей стороне приемник определяет вы-

сической переменной является когерентное состоя-

ходной символ — уровень сигнала в каждой неза-

ние |ζ〉_j , которое при большом среднем числе фото-

висимой моде. Именно ортогональность сигналов в

нов |ζ|² ≫ 1 переходит в классический сигнал. Ин-

каждой моде — ортогональность базисных функций,

декс j отвечает за пространственную моду состоя-

по которым разлагается сигнал, позволяет это сде-

ния.

лать.

Аналогично предыдущим разделам будем рас-

Далее, используя свойство энтропийной функ-

сматривать пространственные моды с конечной час-

ции и соотношение (27) предыдущего раздела для

тотной полосой, и в качестве базисных одночастич-

пропускной способности независимых гауссовских

ных функций выберем волновые функции вытяну-

каналов, окончательно получаем выражение для

того сфероида. Операторы рождения в различных

440

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

модах коммутируют (базисные состояния ортого-

dα = dα_Redα_Im — вещественная и мнимая части па-

нальны),

раметра α. По этой причине число степеней свобо-

ды в когерентном состоянии в два раза больше, чем

[a(ϕ_j ), a^†(ϕ_i)] = (ϕ_j , ϕ_i) = δ_ji,

в классическом сигнале (см. ниже). Пусть на пе-

∫

(47)

редающей стороне задана интенсивность когерент-

(ϕ_j , ϕ_i) = ϕ_j (ω)ϕ^∗i(ω) dω = δ_ji,

ного состояния α. После прохождения через канал

связи чистое когерентное состояние превращается

∫

в матрицу плотности, искаженную гауссовским шу-

(ϕ_j , ϕ_i) = ϕ_j (ω)ϕ^∗i(ω) dω = δ_ji, ϕ_j =

√ ϕ_j,

мом. Искаженную матрицу плотности можно пред-

λ_j

ставить в виде

где ϕ_j (ω) — j-я функция вытянутого сфероида,

∫

нормированная на единицу во временном окне

ρ_j(α) =

dζ|ζ〉_jj 〈ζ| ×

2πN_noise

[-T/2, T/2], ϕ_j (ω) — функция, нормированная на

(

)

|ζ - α|²

интервале (-∞, ∞), λ_j — собственное число (см.

× exp

(50)

2N_noise

(37)).

Для связи с предыдущими разделами удобнее

здесь N_noise — дисперсия среднего числа фотонов в

рассмотреть сначала случай одной моды j. Любое

j-моде шума, имеет размерность числа фотонов, по-

многочастичное квантовое состояние тождествен-

скольку |ζ -α|² — среднее число фотонов. Распреде-

ных частиц бозонов [10] может быть представлено

ление вероятностей числа фотонов μ = |α|² в кван-

как

товых сигнальных состояниях аналогично классиче-

скому случаю имеет гауссовский вид:

⎛

⎞

(

)

Φ0j

|α|²

⎜

⎟

P (α) =

exp

(51)

⎜

Φ1j(ω₁, ω₂)

⎟

2πM

⎜

⎟

∑

⎜

⎟

|Φ〉_j =

√

⎜

⎟⁼

где M — дисперсия среднего числа фотонов в ин-

⎜

⎟

⎝ Φ_nj(ω₁,ω₂,...,ω_n)

⎠ n⁼⁰

формационных состояниях — аналог энергии в клас-

сическом случае (см. формулы (8), (19)). Формулу

∫

(51) нужно понимать как

(

)

× ... dω₁dω2 ...dω_nΦ_nj(ω₁,ω₂,...,ω_n)×

α2Re+α

P (α_Re, α_Im) =

√

exp

2πM

× (a^†(ϕ_j ))ⁿ|vac〉_j ,

(48)

где α_Re, α_Im — независимые классические гауссовс-

кие случайные величины с одной и той же диспер-

где Φ_nj (ω₁, ω₂, . . . , ω_n) — амплитуды состояний с

сией, dα = dα_Redα_Im.

разными фоковскими числами фотонов в моде j.

Непрерывный диапазон изменений α разбивает-

Одномодовое когерентное состояние, локализован-

ся на дискретные интервалы (α_k, α_k + dα), вероят-

ное во временном окне T , имеет вид

ность α из этого интервала равна P (α_k) dα, анало-

гично классическому случаю. После этого источник

(

∑

|ζ|²

ζⁿ

становится дискретным, число интервалов разбие-

|ζ〉_j = exp

√

(a^†(ϕ_j ))ⁿ|vac〉_j =

ния k есть N. Каждому классическому символу α_k,

n=0

(

выбираемому с вероятностью P (α_k) dα, сопоставля-

∑

|ζ|²

ζⁿ

= exp

√

|n(ϕ_j )〉,

(49)

ется когерентное квантовое состояние, которое по-

n=0

сле прохождения через канал связи становится рав-

ным (50). Итак, сигнальные состояния — набор с

где |n(ϕ_j )〉 — фоковское состояние с n фотонами

разными энергиями ρ_j (α) — выбираются с вероят-

в моде j. Аналогично классическому одномодово-

ностями P (α) dα. На приемной стороне возникают

му случаю кодирование осуществляется в энергию

последовательности ρ_j(k) = ρ_j (α_k)P (α_k) dα. После-

сигнала — амплитуду (x, x + dx), которая выби-

довательность посылок длины n в полной аналогии

рается в соответствии с распределением вероятно-

с дискретным классическим источником (4) имеет

стей P_X(x)dx. В квантовом случае аналогом энер-

вид

гии является среднее число фотонов |α|², которое

при кодировании выбирается случайно в соответ-

(ρ_j (k₁))⊗nk1 ⊗(ρ_j (k₂))⊗nk2 ⊗ . . . ⊗(ρ_j (k_n))⊗nkn ,

(52)

ствии с распределением вероятностей P (α) dα, где

nk1 + nk2 + . . . + nkn = n,

441

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

где nk1 — число вхождений символа αk1 , nk2 — число

Все типичные последовательности (57) равновероят-

вхождений символа αk2 и т. д. Все последовательно-

ны, квантовые состояния последовательностей ор-

сти (52) получаются как результат разложения

тогональны, т.е. достоверно различимы. Для их

различения, чтобы выяснить, какая последователь-

(ρ_j (α₁)P (α₁) dα + ρ_j (α₂)P (α₂) dα +

ность была передана с приемной стороны, нужно де-

лать квантовомеханические измерения на приемной

+ ... + ρ_j(α_N)P(α_N)dα)^⊗n =

)_⊗n

стороне. Такие измерения даются набором проекто-

(∑

ров

ρ_j(α_k)P(α_k)dα

→ρ^⊗nj,

(53)

∑

I =

P_ℓ + P_nontyp,

(58)

∫

ℓ=1

ρ_j = ρ_j(α)P(α)dα.

(54)

где I — единичный оператор, проектор на все по-

следовательности, P_ℓ — проектор на типичную по-

Диагонализуем матрицу плотности ρ_j в (53), (54),

следовательность, сумма проекторов есть проек-

получаем

тор на пространство типичных последовательнос-

∑

тей, P_nontyp — проектор на пространство нетипич-

ρ_j =

Λ_j(K)|K(ϕ_j)〉〈K(ϕ_j)|,

ных последовательностей, вероятность «попасть» в

K=0

(

)

(55)

это подпространство стремится к нулю в асимптоти-

N_noise + M

Λ_j(K) =

ческом пределе. Измерение (58) проводится во вре-

N_noise+M+1 N_noise

+M+1

менном окне T — проекторы «локализованы» в этом

окне.

где Λ_j (K), |K(ϕ_j )〉 — собственные числа и векторы,

Важно отметить, что измерение является кол-

которые нумеруем буквой K. После диагонализа-

лективным — отвечает проекциям не на индивиду-

ции задача становится эффективно «классической».

альные состояния в каждой посылке, а проекциям

Собственные векторы (состояния) матрицы плотно-

сразу на состояния всей последовательности дли-

сти (53)-(55) являются ортогональными, достоверно

ны n.

различимыми — в этом смысле классическими. По-

При вычислении энтропии фон Неймана удобно

этому состояния на передающей стороне выглядят

воспользоваться соотношением

как состояния классического источника, который ге-

нерирует символы классического алфавита (индекс

∑

= k·x^k,

K) с вероятностями Λ_j(K), равными собственным

(1 - x)²

k=1

числам матрицы плотности (53)-(55).

В асимптотическом пределе длинных последо-

получаем

вательностей число вхождений каждого состояния

H(ρ_j ) = (N_noise + M + 1) log(N_noise + M + 1) -

|K(ϕ_j )〉〈K(ϕ_j )| определяется соответствующим соб-

ственным числом — вероятностью Λ_j (K). Число

- (N_noise + M) log(N_noise + M).

(59)

вхождения дается математическим ожиданием ана-

логично классическому случаю (4), (5): nΛ_j(K_i).

Дадим физическую интерпретацию формул (57),

На приемной стороне имеются последовательности

(59). Неформально, все последовательности на при-

квантовых состояний:

емной стороне занимают объем (57) в пространстве

состояний, пространство натянуто на состояния ти-

|K₁(ϕ_j )〉〈K₁(ϕ_j )| ⊗ |K₂(ϕ_j )〉 ×

пичных последовательностей (57).

Если целью было бы различить каждую типич-

× 〈K₂(ϕ_j )| ⊗ . . . ⊗ |K_n(ϕ_j )〉〈K_n(ϕ_j )|,

(56)

ную последовательность, то она достигнута: измере-

число таких типичных последовательностей и их ве-

ние (58) позволяет достоверно (в асимптотике) раз-

роятности равны

личить каждую типичную последовательность (57).

Однако целью является не просто различить типич-

∏

ные последовательности, а установить, из какой ти-

2nH(ρj),

Λ_j(K)nΛj(K) = 2-nH(ρj),

пичной последовательности на передающей стороне

K=0

возникла та или иная последовательность на прием-

H (ρ_j ) = -Tr{ρ_j log(ρ_j )} =

(57)

ной стороне. То есть цель — определить информа-

∑

ционную последовательность (αk1 , αk2, . . . , αkn ) сим-

Λ_j(K)log(Λ_j(K)).

волов по результатам измерения на приемной сто-

K=0

442

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

Рис. 1. Схематически показаны множества последовательностей на передающей и приемной сторонах. Число типичных

классических последовательностей 2(1/2)log(2πeS), множество типичных классических последовательностей на приемной

стороне 2(1/2)log(2πe(S+σnoise⁾⁾. Каждая последовательность на приемной стороне «размазывается» в 2(1/2)log(2πeσnoise⁾

последовательностей. В квантовом случае число различимых последовательностей на приемной стороне 2H(ρj), это мно-

жество также показано на передающей стороне. Каждая последовательность из данного множества переходит в множество

на приемной стороне 2H(ρ(α)). Множество последовательностей, передаваемых с приемной стороны — кодовые последо-

вательности (показаны черными точками). Число последовательностей, которые могут быть безошибочно различимы на

приемной стороне, есть 2nχj = 2H(ρj)/2H(ρ(α))

роне. Матрица плотности в каждой посылке «за-

место внутренние типичные последовательности —

нимает» некоторый объем пространства состояний,

каждая типичная последовательность на передаю-

каждая последовательность на передающей стороне

щей стороне в среднем превращается в одинаковый

переходит в некоторое количество последовательно-

набор внутренних типичных последовательностей,

стей на приемной стороне, каждая последователь-

число которых и вероятность есть

ность на передающей стороне будет занимать неко-

∏

торый объем пространства состояний на приемной

2nH(ρj (α)),

λ_j(k)nλj (k) = 2-nH(ρj (α)),

(61)

стороне, аналогично классическому случаю. Шум в

k=0

канале размазывает каждую последовательность в

для энтропии частичной матрицы плотности полу-

некоторый объем (см. рис. 1 и пояснения к нему).

чаем

Матрица плотности в каждой посылке «име-

ет объем», который не зависит от индекса k (это

∑

справедливо только для гауссовского распределения

H(ρ_j (α_k)) = - λ_j (n) log(λ_j (n)) = (N_noise+1) ×

среднего числа фотонов в сигнале и шуме). Диаго-

n=0

нализуя матрицу плотности в (50), получаем

× log(N_noise + 1) - N_noise log(N_noise).

(62)

∑

Для того чтобы различить при помощи измерений

ρ_j(α_k) =

λ_j(k)|k(ϕ_j)〉〈k(ϕ_j)|,

(58) каждую передаваемую последовательность со

k=0

(60)

стороны передатчика, число таких последователь-

(

)_k

N_noise

ностей на передающей стороне должно быть таково,

λ_j(k) =

N_noise + 1 N_noise

чтобы образы от них на приемной стороне не пере-

крывались. При выборе числа последовательностей

где λ_j (k),

|k(ϕ_j )〉 — собственные числа и векторы

на передающей стороне в асимптотическом пределе

ρ_j(α_k). Отметим, что собственные числа и векторы

(60) не зависят от индекса разбиения k и опреде-

равным

ляются только шумом в канале. Неформально го-

2nH(ρj⁾

воря, внутри типичных последовательностей имеют

2nχj =

χ_j = H(ρ_j) - H(ρ_j(α)),

(63)

2nH(ρj(α))

443

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

приемник сможет безошибочно различить данное

∏

(ρ_j (α₁)P (α₁) dα +

число последовательностей. Естественно, набор

j=1

этих последовательностей — кодовая таблица —

оговаривается заранее. Приемник точно знает, что

+ ρ_j(α₂)P(α₂)dα + ... + ρ_j(α_N)P(α_N)dα)^⊗n =

будет послана одна из последовательностей из

(∫

∏

)⊗nNΩ∏

кодовой таблицы, только заранее неизвестно, какая

ρ_j(α)P(α)dα

= ρ^⊗nj.

(65)

именно. Измерение позволяет отличить каждую

j=1

последовательность из кодовой таблицы. Величина

Число типичных последовательностей и их вероят-

C = χ_j = H(ρ_j)-H(ρ_j(α)) представляет собой фун-

ности по всем каналам (модам) равны

даментальную величину Холево [4-6] — пропускную

способность классически-квантового канала свя-

(

)

∏

зи с гауссовским шумом. Данная величина дает

2nNΩH(ρj),

Λ_j

(K)nΛj (K)

верхнюю фундаментальную границу безошибочной

j=1

K=0

передачи классической информации при помощи

=2-nNΩH(ρj).

(66)

квантовых состояний, т.е. числа битов информации

в пересчете на посылку.

Аналогично одномодовому случаю каждая ти-

Данная величина достижима на коллективных

пичная последовательность в каждом канале (мо-

измерениях (58) (см. также [4-6]).

де) на передающей стороне в среднем превращается

Обратим внимание, что «размазка» состояний на

в одинаковый набор внутренних типичных последо-

приемной стороне определяется только интенсивно-

вательностей, число которых и вероятность есть

стью шума (в (62) входит только N_noise и не входит

(

)

энергия/число фотонов M информационного сигна-

∏

2NΩnH(ρj (α)),

λ_j

(k)nλj (k)

ла, в полной аналогии с классическим случаем (см.

j=1

k=0

формулу (17)).

=2-NΩnH(ρj(α)).

(67)

При выборе числа последовательностей на переда-

ющей стороне в асимптотическом пределе равным

6. КВАНТОВЫЙ КАНАЛ, МНОГОМОДОВЫЙ

СЛУЧАЙ

2NΩnH(ρj⁾

2NΩnχj =

2nH(ρj (α))

В многомодовом случае имеется N_Ω параллель-

∑(

)

(68)

ных независимых классически-квантовых каналов.

χ=

H(ρ_j ) - H(ρ_j (α))

Сигнальные состояния ρ_j(α) (j

= 1, 2, . . ., N_Ω) в

j=1

(

)

независимых каналах выбираются с вероятностя-

=N_Ω

H(ρ_j ) - H(ρ_j (α))

ми P (α_k) dα в каждой моде. Каждая мода j выби-

рается независимо. Последовательности в каждой

приемник сможет безошибочно различить их все.

посылке во всех модах могут быть представлены

Для скорости безошибочной передачи информации

аналогично предыдущему случаю с одной модой,

в многомодовом случае с учетом (67), (68) получаем

ρ(k, j) = ρ_j(α_k)P (α_k) dα (индекс k нумерует интер-

валы разбиения, число интервалов N). Все последо-

C_Q = lim

T →∞ T

вательности имеют вид

= Ω([(N_noise + M + 1)log(N_noise + M + 1) -

+ M)] -

- (N_noise + M) log(N_noise

ρ(k₁, j₁)⊗n(k1,j1) ⊗

- [(N_noise + 1) log(N_noise + 1) -

⊗ ρ(k₂, j₂)⊗n(k2,j2) ⊗ . . . ⊗ ρ(k_n, j_n)⊗n(kn,jn),

(64)

- Nnoise log(N_noise)]).

(69)

где n(k₁, j₁) — число вхождений в последователь-

Зависимости пропускных способностей в квантовом

ность состояний ρ(k₁, j₁) с k₁, j₁ с энергией αk1 в

и классическом случаях от M приведены на рис. 2.

моде j₁ и т. д. Все последовательности длины n мо-

Как видно из рис. 2, с ростом интенсивности шума и

гут быть представлены как результат разложения:

при одном и том же отношении M/N_noise пропуск-

ная способность в квантовом случае C_Q стремится

444

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

zero. To put it another way, when an analysis of

a mathematical model of a physical problem is

indeterminate, it means that the model has been

over-idealized and the model must be changed”.

В квантовом случае при большом числе фотонов

пропускная способность частотно-ограниченного

классически-квантового канала (69) имеет вид

(

)

C_Q = Ω log (1 + M) = Ω log

(71)

N_noise = 0.

Удобно ввести обозначение M = m/Ω, где m име-

ет смысл числа фотонов в состоянии в единичной

частотной полосе. Как видно из (71), при нулевом

шуме расходимость отсутствует.

Формула (70) является чисто классической [3],

при стремлении энергии шума к нулю (N_noise → 0)

скорость передачи информации расходится. Для то-

Рис. 2. Зависимости пропускных способностей в класси-

го чтобы явно локализовать причину расходимости,

ческом случае (штриховые линии) и квантовом случае

рассмотрим пример.

(сплошные линии) как функции среднего числа фотонов

Действительно, разобьем диапазон изменений

в моде M (энергии S → M в формуле (1)) при различных

непрерывной случайной величины (энергии сигна-

значениях интенсивности шума Nnoise(N0) = 0.1 (1, 1^′),

ла) на интервалы Δ таким образом, чтобы вероят-

1.0 (2, 2^′), 10.0 (3, 3^′)

ности попадания в каждый интервал были одина-

ковыми. Передача информации осуществляется вы-

к классическому значению 2C (множитель 2 возни-

бором энергии сигнала в том или ином интервале.

кает из удвоенного числа степеней свободы в кван-

Припишем каждому интервалу его номер в лексико-

товом случае — комплексности параметра α в ко-

графическом порядке, начиная с 0. Бинарное пред-

герентном состоянии). При большой интенсивности

ставление номера (энергии сигнала) и будет переда-

сигнала и шума пропускная способность в кванто-

ваемой информацией — блоком 0 и 1. Очевидно, что

вом и классическом случаях практически совпада-

при стремлении масштаба дискретизации к нулю,

ют (кривые 3, 3^′ на рис. 2).

Δ → 0, за одну посылку и один акт измерения энер-

гии сигнала приемником (канал идеальный) можно

7. СРАВНЕНИЕ ПРОПУСКНОЙ

получить сколь угодно много информации — сколь

СПОСОБНОСТИ В КЛАССИЧЕСКОМ И

угодно большой блок 0 и 1.

КВАНТОВОМ СЛУЧАЯХ

Для того чтобы устранить данное противоречие

со здравым смыслом, часто произносятся слова, что

Как было отмечено выше, формула для пропуск-

процесс измерений сам вносит шум, поэтому интер-

ной способности Шеннона для частотно-ограничен-

вал дискретизации нельзя выбирать меньше ампли-

ного канала расходится при нулевом шуме в канале:

туды шума. С логической точки зрения такой под-

(

)

ход непоследователен, поскольку измеряется общее

C =

Ω log

→ ∞, N₀ → 0.

(70)

значение переменной, которое содержит вклад от

N₀Ω

всех процессов, включая шум, и процесс дискрети-

Данный факт свидетельствует об ограниченности

зации не зависит от шума — является внешним.

классического подхода.

Неформально говоря, количество передаваемой

Отметим, что подозрение о том, что форму-

информации за одну посылку зависит от волевого

лу

(70) нужно модифицировать, высказывались

решения по дискретизации.

еще в классических работах по теории инфор-

Физически ясно, что любой физический сигнал

мации [3] R. G. Gallager, Information Theory and

нельзя дискретизировать до бесконечности в сто-

Reliable Communication, p. 390 (формула (8.3.23)):

рону уменьшения интервала Δ. На каком-то эта-

“Physically, of course, the problem can be easily

пе неизбежно возникнут ограничения, диктуемые

resolved by observing that N₀ cannot be strictly

квантовой природой сигнала. Причем нижняя гра-

445

И. М. Арбеков, С. Н. Молотков, И. В. Синильщиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

ница дискретизации диктуется квантовой механи-

размещения M фотонов по N_Ω одночастичным со-

кой и не зависит от интенсивности сигнала. Нельзя

стояниям. Число размещений бозе-частиц по N_Ω со-

дискретизировать сигнал до «масштабов, меньших

стояниям равно

отдельного фотона». Любой интенсивный сигнал со-

(N_Ω - 1 + M)!

держит хоть и макроскопически большое, но все же

C^MN

(72)

Ω-1+M

(N_Ω - 1)!M!

конечное число фотонов.

Вектор состояния, отвечающий размещению — раз-

Квантовая природа микромира должна огра-

ничивать степень дискретизации, что неизбежно

биению числа n₁ + n₂ + . . . + nNΩ = M, имеет вид

должно приводить к конечности энтропии сигна-

∫

ла, соответственно, накладывать фундаментальные

|Φ

n1,n2,...,nN

〉=

dω₁dω₂ . . . dωn1 dωn1+1 ×

ограничения на скорость передачи информации.

Для того чтобы выяснить фундаментальные огра-

× dωn1+2 . . . dωn2 . . . dωnN_Ω-1+1dωnN_Ω-1+2 . . . dω

n^NΩ

ничения на скорость передачи информации, необхо-

× ϕ₁(ω₁)ϕ₁(ω₂). . . ϕ₁(ωn1)ϕ₂(ωn1+1)×

димо сразу рассматривать сигнал как квантовое со-

стояние, которое может содержать любое число фо-

× ϕ₂(ωn1+2). . . ϕ2(ωn2). . . ϕNΩ(ωnN_Ω-1+1)×

тонов. Чтобы прояснить глубокую физическую при-

× ϕNΩ(ωnN

...ϕNΩ(ω

)×

Ω-1+2)

n^NΩ

чину, стоящую за устранением расходимости в клас-

× |ω₁, ω₂, . . . , ωn1 , ωn1+1, ωn1+2, . . . , ωn2 ,

сической формуле, рассмотрим вывод пропускной

〉.

(73)

способности классически-квантового канала связи в

. . ., ωnNΩ-1+1, ωnN_Ω-1+2, . . . , ω

n^NΩ

идеальном случае — канала без шума, где интенсив-

Дальнейшая логика рассуждений следующая. При

ность шума N_noise сразу равна нулю.

заданном числе фотонов в состоянии M имеется (72)

ортогональных, а значит достоверно различимых,

квантовых состояний на интервале [-T/2, T/2], ко-

8. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ

торые локализованы почти целиком в этом окне.

ИДЕАЛЬНОГО

Измерения во временном окне позволяют разли-

ЧАСТОТНО-ОГРАНИЧЕННОГО

чить все ортогональные состояния. Максимальная

КЛАССИЧЕСКИ-КВАНТОВОГО КАНАЛА

СВЯЗИ И ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ

энтропия источника достигается в том случае, когда

ЧАСТИЦ

источник генерирует равновероятно все C^MN

Ω-1+M

ортогональных различимых состояний. Состояния

Как сейчас покажем, за отсутствием расходимос-

(73) ортогональны, поэтому достоверно различимы.

ти при нулевом шуме в формуле (71) стоит фун-

Передатчик посылает состояния (73) равновероят-

даментальный физический принцип тождественно-

но. Приемник использует измерения, сводящиеся к

сти частиц — бозонов. Вычисление пропускной спо-

проекции на набор состояний (73). В каждом акте

собности для идеального канала связи сводится к

измерения во временном окне [-T/2, T/2] возника-

подсчету скорости генерации энтропии источником

ет случайно один из C^MN

исходов.

Ω-1+M

информационных состояний. Формально отсутствие

Вероятность каждого состояния, генерируемого

шума означает, что распределение сигнальных кван-

передатчиком, есть 1/C^MN

, соответственно, эн-

Ω-1+M

товых состояний в (50) сконцентрировано в окрест-

тропия источника, генерируемая за время T , есть

ности числа фотонов M во всех состояниях, которые

(

)

H_T = log

C^MN

(74)

становятся равновероятными.

Ω-1+M

В этом случае задача вычисления скорости ге-

Поскольку N_Ω ≫ 1, воспользовавшись формулой

нерации энтропии сводится к подсчету числа кван-

Стирлинга для значения факториала в главном при-

товых состояний с M фотонами, локализованных в

ближении, получаем

интервале времени [-T/2, T/2].

Пусть квантовое состояние поля содержит M

(N_Ω + M)NΩ(N_Ω + M)^M

C^MN

≈

Ω-1+M

фотонов — бозе-частиц. Состояние имеет носитель

M^M

NNΩΩ

в конечной частотной полосе Ω. В качестве одно-

(

)NΩ (

)_M

N_Ω

частичных базисных состояний выберем волновые

(75)

N_Ω

функции вытянутого сфероида ϕ_n(ω). Таких функ-

ций N_Ω = ΩT . Число многочастичных ортогональ-

где M — число фотонов во временном окне [0, T ].

ных векторов состояний с M фотонами, локализо-

Удобно для дальнейшего ввести обозначение M =

ванных во временном окне T, равно числу способов

= mT, где m имеет смысл числа фотонов в единицу

446

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

О простом эвристическом выводе формулы Шеннона...

времени и имеет такую же размерность, как часто-

ортогональных различимых квантовых состояний

та Ω [1/с], поэтому отношение m/Ω является безраз-

при заданном числе фотонов M (в классическом

мерным.

случае интенсивностью), которые можно сформиро-

Используя (74), (75), находим, что энтропия, ге-

вать в данной частотной полосе. Число различных

нерируемая источником в единицу времени (про-

способов размещения M бозонов при использовании

пускная способность) равна

N_Ω одночастичных базисных состояний диктуется

фундаментальным физическим принципом тожде-

H_T

ственности частиц — бозонов, формула (72). При

C_Q = lim

T →∞ T

квантовом рассмотрении проблема дискретизации

[

(

)]

(

m⁾

сигнала отсутствует, при заданном количестве

= Ω log

log

(76)

частиц M число состояний определяется числом

способов размещения тождественных частиц по N_Ω

При малых числах фотонов (предельно квантовый

уровням — набору одночастичных состояний.

сигнал), m/Ω ≪ 1, выражение для скорости генера-

ции энтропии принимает вид

Благодарности. Выражаем благодарность кол-

легам по Академии криптографии Российской Фе-

C_Q = m,

(77)

дерации за обсуждения и поддержку, а также

К. А. Балыгину, А. Н. Климову, С. П. Кулику за

она пропорциональна числу фотонов в единичной

многочисленные обсуждения и замечания.

частотной полосе. Скорость генерации энтропии

Финансирование. Работа выполнена при

фактически определяется частотной полосой сигна-

поддержке Российского научного фонда (проект

ла. Формально ширина частотной полосы в формуле

№21-12-00005).

(78) сокращается, скорость генерации энтропии про-

порциональна числу фотонов. При большом числе

фотонов, m/Ω ≫ 1, (классический предел) второе

ЛИТЕРАТУРА

слагаемое в правой части (76) остается конечным и

стремится к

1. C. E. Shannon, Bell System Techn. J. XXVII, 379

(1948).

(

)

log

→

→ ∞.

(78)

2. T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of Infor-

ln(2)

mation Theory, Wiley (1991).

Первое слагаемое в (76) логарифмически растет с

3. R. G. Gallager, Information Theory and Reliable

увеличением числа фотонов (интенсивности сигна-

Communication, John Willey&Sons, New York, Chi-

ла):

(

chester, Brisbane, Toronto, Singapore (1968).

m⁾

C_Q = Ω log 1 +

(79)

4. A. S. Holevo, Probl. Inf. Transm. 9, 177 (1973).

что совпадает с пропускной способностью (71) ка-

5. А. С. Холево, УМН 53, 193 (1998).

нала с гауссовскими информационными состояния-

ми после устремления к нулю интенсивности шума

6. А. С. Холево, Квантовые системы, каналы, ин-

в канале.

формация, МЦНМО, Москва (2010).

7. H. J. Landau and H. O. Pollak, Bell System Techn.

J. 40, 65 (1961).

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

8. D. Slepian and H. O. Pollak, Bell System Techn. J.

В заключение отметим, что при выводе про-

40, 43 (1961).

пускной способности канала с гауссовскими инфор-

мационными состояниями и шумом предыдущим

9. W. H. J. Fuchs, J. Math. Analysis Applications 9,

способом (разд. 5-7) за кадром остается фунда-

317 (1964).

ментальный факт

— устранение расходимости,

10. Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования,

фактически невозможность дискретизировать

сер. Шедевры мировой физико-математической

сигнал до сколь угодно малых масштабов. Ниж-

литературы, ИО НФМИ, Новокузнецк

(2000),

няя граница дискретизации ограничивается числом

230 с.

447