ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 448-456

ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ЖИДКОГО ОБЪЕКТА

С КРУЧЕНИЕМ С ОБРАЗОВАНИЕМ ВСЕЛЕННОЙ

В ЧЕРНОЙ ДЫРЕ

Н. Поплавски^*

Department of Mathematics and Physics, University of New Haven,

300 Boston Post Road, West Haven, CT 06516, USA

Поступила в редакцию 4 августа 2020 г.,

после переработки 28 сентября 2020 г.

Принята к публикации 21 ноября 2020 г.

(Перевод с английского)

GRAVITATIONAL COLLAPSE OF A FLUID WITH TORSION

INTO A UNIVERSE IN A BLACK HOLE

N. Poplawski

Рассмотрен гравитационный коллапс в черную дыру для сферически-симметричной жидкой сферы со

спином и кручением. Используются метрика Толмана и уравнения Эйнштейна - Картана с релятивист-

ской спиновой жидкостью в качестве источника. Показано, что гравитационное отталкивание за счет

кручения препятствует появлению сингулярности, а вместо нее возникает несингулярный отскок. Рожде-

ние квантовых частиц во время сжатия способствует преобладанию кручения над сдвигами. Рождение

квантовых частиц во время расширения может привести к конечному времени инфляции и к образованию

очень большого количества материи. Получающаяся в результате по другую сторону горизонта событий

замкнутая вселенная может испытать несколько отскоков. Такая вселенная является осциллирующей,

при этом каждый цикл оказывается больше предыдущего, до тех пор пока космологическая постоянная

не возрастет настолько, что расширение станет неограниченным. Поэтому может оказаться, что наша

вселенная родилась в черной дыре.

DOI: 10.31857/S0044451021030068

условия согласованности необходимо, чтобы на тен-

зор кручения не накладывалось требование равен-

ства нулю [4]. Наиболее простой и естественной тео-

1. ВВЕДЕНИЕ

рией гравитации, обобщающей ОТО за счет круче-

ния в пространстве-времени, является теория Эйн-

Тензор кручения представляет собой антисим-

штейна - Картана (ЭК) [5-8]. В этой теории, раз-

метричную часть аффинной связности [1]. Общая

витой Шьямой и Кибблом, плотность лагранжиана

теория относительности (ОТО) предполагает, что

для гравитационного поля пропорциональна скаля-

этот тензор обращается в нуль [2, 3]. Однако за-

ру Риччи, как и в ОТО. Кручение определяется с

кон сохранения полного (орбитального и спинового)

помощью полевых уравнений, полученных варьиро-

момента импульса дираковской частицы в искрив-

ванием действия для гравитации и материи по тен-

ленном пространстве-времени не должен противо-

зору кручения [5-8]. Тензор кручения оказывается

речить уравнению Дирака, разрешающему спин-ор-

алгебраически пропорционален спиновому тензору

битальные взаимодействия. Для выполнения этого

фермионной материи, так что кручение оказывает-

ся нединамическим. Тогда уравнения ЭК можно пе-

^* E-mail: NPoplawski@newhaven.edu

448

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Гравитационный коллапс жидкого объекта.. .

реписать как уравнения ОТО с симметричной связ-

конечной величины красного смещения на горизон-

ностью Леви - Чивита, где тензор энергии-импульса

те событий. Тогда, если наша вселенная является

материи приобретает дополнительные члены, квад-

замкнутой [23], то она могла возникнуть как ново-

ратичные по спиновому тензору. Поэтому в теории

рожденная вселенная при отскоке внутри родитель-

ЭК нет духов, которые могут проявляться в других

ской черной дыры, существующей в другой вселен-

теориях с кручением, в которых кручение является

ной [17,19,22,24]. Рождение квантовых частиц после

распространяющимся [9]. Мультипольное разложе-

отскока может способствовать тому, что экспонен-

ние закона сохранения для спинового тензора в тео-

циальная инфляция должна закончиться в течение

рии ЭК приводит к представлению фермионной ма-

конечного периода времени [17], что подтверждает-

терии как спиновой жидкости (идеальной жидкости

ся наблюдениями космического микроволнового фо-

со спином) [10].

на с помощью телескопа «Планк» [25]. Несингуляр-

Кручение может порождать гравитационное

ный отскок также возможен, если спиновый тензор

отталкивание и препятствовать возникновению

полностью антисимметричен [26].

космологической сингулярности в однородной и

Эффекты кручения в теории ЭК очень слабы

изотропной вселенной, описываемой метрикой

и играют существенную роль в астрофизике толь-

Фридмана - Леметра - Робертсона - Уокера (ФЛРУ)

ко для черных дыр или для очень ранней вселен-

[2, 3, 5, 11], когда спины фермионов сонаправлены,

ной. Например, кручением можно объяснить асим-

что было показано в работах

[12-14]. Сингу-

метрию количества материи и антиматерии во все-

лярность может отсутствовать и для случайно

ленной [27]. В квантовой теории поля с помощью

ориентированных спинов, поскольку макроско-

кручения можно подвергнуть фермионы простран-

пическое усреднение спиновых членов в тензоре

ственному расширению [7] (вероятно, в будущем это

энергии-импульса дает ненулевое значение, что

можно будет исследовать) и исключить ультрафио-

было получено в работе [15]. Выражения для эф-

летовую расходимость из радиационных поправок,

фективных плотности энергии и давления спиновой

представленных петлевыми диаграммами Фейнма-

жидкости имеют вид

на [28].

В настоящей работе в рамках теории ЭК мы рас-

ϵ= ϵ - αn2f,

p= p - αn2f,

(1)

сматриваем гравитационный коллапс сферы, состо-

где ϵ и p — термодинамические плотность энергии

ящей из однородной спиновой жидкости, исходно

и давление, n_f — численная плотность фермионов,

находящейся в состоянии покоя. Такой коллапс ис-

а α = κ(ℏc)²/32 [15-18], κ = 8πG/c⁴. При низких

следовался в работе [29] в предположении, что ин-

плотностях влиянием кручения можно пренебречь,

тервал внутри коллапсирующей жидкости задает-

и теория ЭК эффективно сводится к ОТО. При

ся метрикой ФЛРУ. В этой работе, как и в рабо-

очень высоких плотностях, существенно больших,

тах [19,20], было показано, что можно избежать воз-

чем ядерная плотность, отрицательные поправки

никновения сингулярности в пространстве-времени

в выражениях (1), обусловленные взаимодействи-

с метрикой в присутствии спиновой жидкости. Од-

ем спин-кручение, нарушают сильное энергетиче-

нако там не были рассмотрены эффекты сдвига,

ское условие и действуют как отталкивающая гра-

действующие противоположно кручению [14], пре-

витация, что может препятствовать возникновению

пятствующему возникновению сингулярности. Кро-

космологической сингулярности [17-20]. Аналогич-

ме того, в работе [29] не было исследовано, что про-

но, коллапсирующая материя в черной дыре, кото-

исходит со спиновой жидкостью после отскока, ко-

рую можно представить с помощью метрики ФЛРУ,

гда формируется горизонт событий, а был рассмот-

также должна препятствовать появлению сингуляр-

рен только случай без горизонта, который реализу-

ности, вместо этого возникает несингулярный от-

ется, когда исходная масса жидкой сферы меньше

скок, после которого должна возникнуть новая рас-

некоторого порога (такое заключение было сдела-

ширяющаяся замкнутая вселенная [17-20], полная

но ранее в работе [7]). Когда формируется горизонт

энергия которой равна нулю [21].

событий, жидкость не может попасть обратно в об-

Если в черной дыре по другую сторону горизон-

ласть пространства снаружи горизонта, поскольку

та событий возникает новорожденная вселенная, то

материя проходит через горизонт только в одном

она должна быть связана с породившей ее вселенной

направлении [3]. Более того, она не может достичь

через мост Эйнштейн - Розена [22]. Возникновение

статического состояния, потому что пространство-

и последующую динамику такой вселенной невоз-

время внутри горизонта событий является неста-

можно наблюдать снаружи черной дыры из-за бес-

ционарным. Поэтому спиновая жидкость по дру-

449

ЖЭТФ, вып. 3

Н. Поплавски

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

гую сторону горизонта событий должна расширять-

2. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС

ся как новая, растущая вселенная [19].

ОДНОРОДНОЙ СФЕРЫ

Чтобы рассмотреть гравитационный коллапс

Для сферически-симметричного гравитационно-

сферы, состоящей из спиновой жидкости, в черную

го поля в пространстве-времени, заполненном иде-

дыру, воспользуемся подходом, предложенным в

альной жидкостью, геометрия определяется метри-

работе [3] для детального анализа коллапса пыле-

кой Толмана [3, 30]:

видной сферы, который в свою очередь, основан

на работах [30] и [31]. Этот формализм связывает

ds² = eν(τ,R)c²dτ² - eλ(τ,R)dR² -

исходный масштабный множитель вселенной внут-

ри черной дыры с исходными радиусом и массой

- eμ(τ,R)(dθ² + sin2 θ dφ²),

(2)

черной дыры. В отсутствие градиентов давления

где ν, λ и μ — функции временной координаты τ и

такой коллапс можно описывать в системе отсчета,

радиальной координаты R. Можно применить пре-

являющейся одновременно синхронной и сопутству-

образование координат τ → τ^′(τ) и R → R^′(R), кото-

ющей [3]. Будем использовать метрику Толмана

рое не меняет вид метрики (2). Компоненты тензора

[30, 31] и полевые уравнения ЭК с релятивистской

Эйнштейна, соответствующие (2) и не обращающи-

спиновой жидкостью в качестве источника. Будем

еся в нуль, имеют вид [3, 30]

также использовать температуру для описания

(

)

энергии, давления и плотности числа фермионов в

3μ′2

μ^′λ^′

G⁰⁰

= -e^-λ μ^′′ +

релятивистской жидкости [17]. Мы покажем, что

(

)

после формирования горизонта событий гравита-

e^-ν

μ²

ционное отталкивание препятствует возникновению

λμ+

+e^-μ,

сингулярности, вместо нее возникает несингуляр-

)

e^-λ

⁽μ′2

ный отскок. Образующаяся в результате по другую

G¹¹ = -

+μ^′ν^′

сторону горизонта событий вселенная является

(

)

замкнутой и может испытать бесконечное число

μν

3μ²

+e^-ν

μ-

+e^-μ,

отскоков и циклов. В отсутствие кручения должна

(3)

возникать сингулярность, а метрика должна описы-

e^-ν

G²² = G³³ = -

(λν+ μν-

λμ-2λ-

ваться внутренним решением Шварцшильда, при

этом она эквивалентна метрике Кантовски- Закса,

e^-λ

− ˙λ² - 2μ - μ²) -

описывающей анизотропную вселенная с тополо-

гией R × S² [32]. Благодаря кручению вселенная

× (2ν^′′ + ν′2 + 2μ^′′ + μ′2 - μ^′λ^′ - ν^′λ^′ + μ^′ν^′),

внутри черной дыры становится замкнутой с

e^-λ

топологией S³ (3-сфера).

G¹⁰ =

(2 μ^′ + μμ^′ -

λμ^′ - μν^′),

Поскольку наличие сдвигов может помешать

кручению избегнуть сингулярности [14], мы будем

где точка обозначает дифференцирование по cτ, а

учитывать рождение квантовых частиц, которое

штрих — дифференцирование по R.

происходит в изменяющихся гравитационных полях

В сопутствующей системе отсчета пространст-

[33], и покажем, что при этом проявляются два эф-

венные компоненты 4-скорости u^μ обращаются в

фекта. Во время сжатия рождение частиц и кру-

нуль. Тогда ненулевые компоненты тензора энер-

чение, действуя совместно, изменяют на противопо-

гии-импульса для спиновой жидкости,

ложное гравитационное притяжение, порожденное

T_μν = (ϵ+ p)u_μu_ν - pg_μν,

сдвигами, и препятствуют возникновению сингуляр-

ности. Во время расширения то же рождение частиц

имеют вид

может привести к конечному времени инфляции и

T⁰⁰ = ϵ,

к образованию очень большого количества материи.

T¹¹ = T²² = T³³ = -p.

Соответственно, при этом каждый цикл оказыва-

ется больше и длиннее предыдущего [17, 34]. Чис-

Полевые уравнения Эйнштейна

ло отскоков и циклов конечно, поскольку вселен-

G^μν = κT^μν

ная в конце концов достигает размера, при котором

космологическая постоянная (которую также мож-

в такой системе отсчета принимают вид

но объяснить кручением [35]) возрастет настолько,

что расширение станет неограниченным.

G⁰⁰ = κϵ, G¹¹ = G²² = G³³ = -κp, G¹⁰ = 0.

(4)

450

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Гравитационный коллапс жидкого объекта.. .

Ковариантное сохранение тензора энергии-импуль-

соотношениям. Подставляя (8) в первое из уравне-

са дает

ний (7) и используя (9), получаем

2p^′

F^′(R)

λ+ 2 μ = -

, ν^′ =-

(5)

κ(ϵ+ p) =

(10)

ϵ+p

r²r^′

Комбинируя (9) и (10), получаем

где постоянные интегрирования зависят от допусти-

мых преобразований

∫

r²

= f(R) +

ϵr²r^′dR.

(11)

τ → τ^′(τ)

Каждая частица в коллапсирующей жидкой

R → R^′(R).

сфере представляется радиальной координатой R,

Если давление однородно (отсутствуют градиен-

изменяющейся от 0 (в центре сферы) до R₀ (на по-

ты давления), то p^′ = 0 и p = p(τ). В этом случае

верхности сферы). Если M — масса сферы, то ради-

второе уравнение в (5) дает ν^′ = 0. Поэтому ν = ν(τ)

ус формирующейся из сферы черной дыры Шварц-

и преобразование τ → τ^′(τ) делает ν равным нулю,

шильда, r_g = 2GM/c², равен [3]

а g₀₀ = e^ν равным единице. Система отсчета стано-

∫

вится синхронной [3]. Если положить

r_g = κ

ϵr²r^′dR.

(12)

r(τ, R) = eμ/2,

Уравнения (11) и (12) дают

то (2) примет вид

r²(τ, R₀) = f(R₀) +

(13)

ds² = c²dτ² - eλ(τ,R)dR² -

r(τ, R₀)

- r²(τ, R)(dθ² + sin2 θ dφ²).

(6)

Если r₀ = r(0, R₀) — начальный радиус сферы и

сфера исходно находилась в состоянии покоя, то

Уравнения Эйнштейна (3) принимают вид

r(0, R₀) = 0.

-λ

κϵ= -

(2rr^′′+r′2-rr^′λ^′)+

(r r

^λ+ r²+1),

r²

Тогда (13) определяет значение R₀:

−κp=

(-e^-λr′2 + 2rr + r² + 1),

r²

(7)

f (R₀) = -

r_g .

(14)

r₀

-λ

rλ

- 2κp = -

(2r^′′-r^′λ^′)+

+^λ+1

λ²+2r,

2r^′ -

λr^′ = 0.

3. БЕССПИНОВАЯ ПЫЛЕВИДНАЯ СФЕРА

Прежде, чем обратиться к гравитационному кол-

Интегрируя последнее уравнение в (7), получаем

лапсу сферы, состоящей из спиновой жидкости, по-

′2

лезно рассмотреть бесспиновую пылевидную сферу,

e^λ =

(8)

1 + f(R)

для которой давление обращается в нуль и поэтому

p= 0. Подставляя (10) в (12), получаем

где f

— функция R, удовлетворяющая условию

1 + f > 0 [3]. Подстановка (8) во второе из урав-

rg = F (R0) - F (0) = F (R0),

(15)

нений (7) дает

откуда можно определить R₀. Если f < 0, то урав-

2rr+ r² - f = -κpr²,

нение (9) имеет решение

откуда

r=-

(1 + cos η),

∫

(16)

F (R)

r² = f(R) +

pr²dr,

(9)

τ - τ₀(R) =

(η + sin η),

2(-f)3/2

где F — положительная функция R. Подстановка

где η — параметр, а τ₀(R) — функция R [3, 30]. Вы-

(8) в третье из уравнений (7) не приводит к новым

бирая

451

Н. Поплавски

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

f (R) = - sin² R, F (R) = a₀ sin³ R,

ультрарелятивистской материи в состоянии кинети-

(17)

τ₀(R) = const,

ческого равновесия, то

получаем

ϵ=h_⋆T⁴,

a₀

sinR(1 + cosη), τ - τ₀ =

(η + sin η), (18)

p = ϵ/3

где a₀ — постоянная [3]. Изначально, при τ = τ0

n_f = h_nf T³,

и η = 0, сфера находится в состоянии покоя, r = 0.

где T — температура жидкости,

Очевидно, что через конечное время все частицы до-

стигнут сингулярности при r = 0. Значения a₀ и R₀

h_⋆ = (π²/30)(g_b + (7/8)g_f)k4B/(ℏc)³

можно определить из (14), (15) и (17):

)1/2

⁽r_g

h_nf = (ζ(3)/π²)(3/4)g_fk3B/(ℏc)³,

sinR₀ =

a₀ =

⁽r³⁰)1/2.

(19)

r₀

см. [17,18]. Для частиц в рамках Стандартной Моде-

Горизонт событий для всей сферы формируется,

ли g_b = 29 и g_f = 90. Поскольку p^′ = 0, температура

когда

не зависит от R, T = T (τ). Подставляя эти соотно-

r(τ, R₀) = r_g,

шения в (22), получаем

т. е. при

r²r^′T³ = g(R),

(23)

cos(η/2) = sin R₀.

где g — функция R. Подставляя это уравнение в

Подставляя (17) и (18) в (8), получаем

(11), получаем

eλ(τ,R) = a²⁰(1 + cosη)²/4.

∫

r² = f(R) +

(h_⋆T⁴ - αh2nf T⁶) r²r^′dR.

(24)

Если определить

a₀

a(τ) =

(1 + cos η),

(20)

Уравнения (23) и (24) определяют функцию r(τ, R),

которая с учетом (8) дает λ(τ, R). Интегрирова-

то квадрат инфинитезимального интервала внутри

ние уравнения (24) также дает начальное значение

коллапсирующей пылевидной сферы (6) становится

τ₀(R). Таким образом, метрика (6) зависит от трех

равен [3]

произвольных функций: f(R), g(R) и τ₀(R).

Будем искать решение уравнений (23) и (24) в

ds² = c²dτ² - a²(τ)dR² -

виде

- a²(τ)sin2 R(dθ² + sin2 θ dφ²).

(21)

f (R) = - sin² R, r(τ, R) = a(τ) sin R,

(25)

Начальное значение a равно a₀. Такая метрика явля-

ется замкнутой метрикой ФЛРУ и описывает часть

где a(τ) — неотрицательная функция τ. Такой вы-

замкнутой вселенной при 0 ≤ R ≤ R₀.

бор аналогичен случаю пылевидной сферы: первое

из уравнений (17), первое из уравнений (18) и урав-

нение (20). Тогда из уравнения (23) получаем

4. СФЕРА ИЗ СПИНОВОЙ ЖИДКОСТИ

a³T³ sin² R cosR = g(R),

(26)

Перейдем к основной части работы и рассмотрим

где разделение переменных τ и R дает

гравитационный коллапс сферы, состоящей из спи-

новой жидкости, чтобы показать, как формируется

несингулярная вселенная. Подставляя r = eμ/2 и (8)

g(R) = const · sin² R cos R, a³T³ = const.

(27)

в первое из уравнений (5), получаем уравнение

Отсюда находим

(ϵr²r^′) + p

(r²r^′) = 0,

(22)

˙T

dτ

aT = a₀T₀,

= 0,

(28)

которое имеет вид первого закона термодинамики

где a₀ = a(0), T₀ = T (0), а H = c a/a — параметр

для плотности энергии и давления (1) [17]. Если

предположить, что спиновая жидкость состоит из

Хаббла. Подставляя (25) в (24), получаем

452

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Гравитационный коллапс жидкого объекта.. .

a² + 1 =

(h_⋆T⁴ - αh2nf T⁶)a².

(29)

но никогда не достигают значения r = 0 (единствен-

ная частица в центре — это частица, которая исход-

Используя (28), из (29) получаем

но находилась в центре, при R = 0). Это препятству-

(

)

ет возникновению сингулярности. Ненулевые значе-

κ h_⋆T⁴⁰a⁴⁰

αh2nf T⁶⁰a⁶⁰

ния a в выражении (21) задают конечные значения

a² = -1 +

(30)

a²

a⁴

T и, соответственно, конечные значения ϵ, p и n_f .

Вселенная, образующаяся в результате по дру-

Подставляя (25) в (8), получаем

гую сторону горизонта событий, имеет замкнутую

геометрию (постоянную положительную кривизну).

eλ(τ,R) = a².

Величина a(τ) является масштабным множителем

для этой вселенной. Вселенная является осциллиру-

Тогда квадрат инфинитезимального интервала

ющей: значения a осциллируют между двумя точка-

внутри коллапсирующей сферы из спиновой жид-

ми поворота. Значения R₀ не меняются. Точка пово-

кости (6) также определяется выражением (21).

рота, в которой ä > 0, соответствует отскоку, а точка

Значения a₀ и R₀ можно определить из (14) и

поворота, в которой ä < 0 — схлопыванию. Поэтому

(25), что также дает выражения (19). Подставляя

вселенная испытывает бесконечное число отскоков

их и ˙a(0) = 0 в (29), где можно пренебречь вторым

и схлопываний, и это происходит в каждом цикле.

членом в правой части, получаем

Уравнение Райчаудхури для конгруенции геоде-

зических без 4-ускорения и вращения имеет вид

Mc² = (4π/3)r³⁰h_⋆T40 .

dθ/ds = -θ²/3 - 2σ² - R_μν u^μu^ν ,

Это соотношение указывает на эквивалентность

где θ — скаляр расширения, σ² — сдвиговый ска-

массы и энергии жидкой сферы радиуса r₀ и с опре-

ляр, а R_μν — тензор Риччи [8]. Для спиновой жид-

деленным значением T₀. Горизонт событий для пол-

кости последнее слагаемое в этом уравнении равно

ной сферы формируется, когда r(τ, R₀) = r_g, что

-κ(ϵ+ 3p)/2. Поэтому необходимым и достаточным

эквивалентно a = (r_gr₀)1/2. Уравнение (30) имеет

условием избегания сингулярности в черной дыре

две точки поворота, a = 0, при условии [18]

является следующее:

r³⁰

3πGℏ⁴h4nf

-κ(ϵ+ 3p)/2 > 2σ².

∝l2Planck,

(31)

8h³

⋆

Для случая релятивистской спиновой жидкости, p =

которое выполнено для астрофизических систем,

= ϵ/3, это условие эквивалентно следующему:

формирующих черные дыры.

2καn2f > 2σ² + κϵ.

(32)

В отсутствие кручения левая часть неравенства (32)

5. ИЗБЕГАНИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ

также отсутствует, поэтому оно не может быть удо-

влетворено, в результате образуется сингулярность.

Уравнение (30) можно решить аналитически в

Поэтому наличие кручения является обязательным

терминах эллиптических интегралов второго рода

условием для предотвращения возникновения син-

[18], задавая функцию a(τ), тогда

гулярности. В отсутствие сдвигов это условие явля-

ется также достаточным.

r(τ, R) = a(τ) sin R.

Случай наличия сдвигов противоположен слу-

чаю наличия кручения. Сдвиговый скаляр σ² растет

Значение a никогда не становится равным нулю, по-

скольку a убывает, при этом правая часть уравне-

с уменьшением a как ∝ a-6, т. е. по тому же степен-

ному закону, что и n2f . Поэтому, если в начальный

ния (30) становится отрицательной, что противоре-

чит тому, что левая часть неотрицательна. Смена

момент времени в неравенстве (32) слагаемое, соот-

знака происходит при

ветствующее сдвигам, преобладало над слагаемым,

соответствующим кручению, то оно будет преобла-

a < (r_gr₀)1/2,

дать и на более поздних временах во время сжатии,

в результате возникнет сингулярность. Для предот-

т. е. после формирования горизонта событий. Поэто-

вращения возникновения сингулярности при нали-

му все частицы с R > 0 падают на горизонт событий,

чии сдвигов величина n2f должна расти быстрее, чем

453

Н. Поплавски

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

∝ a-6. Поэтому в черной дыре во время сжатия

(29) в виде положительного слагаемого, пропорцио-

должны рождаться фермионы.

нального a².

Рождение частиц увеличивает максимальный

размер масштабного множителя, который дости-

6. РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ

гается при схлопывании. Поэтому каждый новый

цикл больше и длительнее, чем предыдущий. Со-

Во время сжатия или расширения вселенной

гласно (19), R₀ имеет вид

темп рождения частиц [33] можно описать феноме-

нологически:

sin³ R₀ =

(37)

a(0)

d(√-g nf )

βH⁴

(33)

c√-g

c⁴

где a(0) — исходный масштабный множитель, рав-

ный максимальному масштабному множителю в

где g = -a⁶ sin⁴ R sin² θ — определитель метриче-

первом цикле. Поскольку максимальный масштаб-

ского тензора в (21), а β — безразмерный темп рож-

ный множитель в следующем цикле больше, значе-

дения частиц [17]. При рождении частиц второе из

ние sin R₀ убывает. По мере развития циклов значе-

уравнений (28) принимает вид

ние R₀ приближается к π.

(

)

˙T

βH³

-1

(34)

3c³h_nf

T³

7. ИНФЛЯЦИЯ И КОНЕЦ ОСЦИЛЛЯЦИЙ

Число рожденных частиц n_f (a) описывается степен-

ным законом:

Во время сжатия H отрицательно, а температу-

n_f ∝ a-(3+δ),

(35)

ра T возрастает. Во время расширения, если β слиш-

ком велико, то правая часть уравнения (34) должна

где δ зависит от τ. Подставляя это соотношение в

стать положительной. В этом случае температура

(33), получаем

должна увеличиваться с ростом a, что должно при-

δ ∝ -aδ ˙a³.

(36)

водить к постоянной инфляции [17]. Поэтому име-

Во время сжатия ˙a < 0, поэтому δ > 0. Слагае-

ется верхний предел скорости рождения частиц, а

мое

именно, максимум функции (βH³)/(3c³h_nf T³) дол-

n2f ∝ a-6-2δ

жен быть меньше 1.

Если после отскока функция (βH³)/(3c³h_nf T³) в

растет быстрее, чем

уравнении (34) возрастает до значения чуть меньше

1, то температура T должна оставаться практически

σ² ∝ a-6,

постоянной. Соответственно, H также должна быть

что препятствует возникновению сингулярности.

практически постоянной, а масштабный множитель

Рождение частиц и кручение, действуя совместно,

a должен экспоненциально расти, что соответству-

обращают знак эффектов сдвига, что приводит к

ет инфляции. Поскольку плотность энергии также

несингулярному отскоку. Динамика формирования

должна быть практически постоянной, во вселен-

несингулярной, релятивистской вселенной в черной

ной должно образовываться очень большое количе-

дыре описывается уравнениями (29) и (34) с началь-

ство материи и энтропии. Такое расширение долж-

ными условиями

но закончиться, когда правая часть уравнения (34)

станет меньше 1. Поэтому инфляция должна закон-

a(0) = (r³⁰/r_g)1/2

читься в течение конечного периода времени. По-

сле этого влияние кручения ослабевает и вселенная

гладко входит в период расширения с преобладани-

a(0) = 0,

ем излучения, за которым следует период с преоб-

откуда мы получаем функции a(τ) и T(τ). Сдвиги

ладанием материи.

должны входить в правую часть уравнения (29) как

Если вселенная во время расширения не дости-

дополнительное положительное слагаемое, пропор-

гает критического размера, при котором космологи-

циональное a-4. Когда вселенная становится нере-

ческая постоянная становится значительной, то она

лятивистской, слагаемое h_⋆T⁴ в уравнении (29) ста-

снова коллапсирует до другого отскока и начинается

новится положительным и пропорциональным a-1.

новый цикл осцилляций [36]. Новый цикл оказыва-

Космологическая постоянная входит в уравнение

ется больше и длительнее, чем предыдущий [17,34].

454

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Гравитационный коллапс жидкого объекта.. .

После конечной последовательности циклов вселен-

V. A. Fock, The Theory of Space, Time and Gravi-

ная достигает критического размера, после которо-

tation, Macmillan (1964); P. A. M. Dirac, General

го невозможно следующее сжатие, и входит в пе-

Theory of Relativity, Wiley (1975).

риод расширения с доминированием космологиче-

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical

ской постоянной, во время которого она расширя-

Theory of Fields, Pergamon (1975).

ется неограниченно. Значение R₀ асимптотически

стремится к π, что соответствует максимальному

F. W. Hehl and J. D. McCrea, Found. Phys. 16, 267

значению R в замкнутой изотропной вселенной в

(1986); N. Poplawski, arXiv:1304.0047.

соответствии с выражением (21). Последний отскок,

E. A. Lord, Tensors, Relativity and Cosmology,

называемый большим отскоком, представляет собой

McGraw-Hill (1976).

большой взрыв.

D. W. Sciama, Proc. Camb. Phil. Soc. 54, 72 (1958);

T. W. B. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961);

D. W. Sciama, in Recent Developments in General

8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Relativity, p. 415, Pergamon (1962); Rev. Mod. Phys.

36, 463 (1964); Rev. Mod. Phys. 36, 1103 (1964);

Если наша вселенная является замкнутой, то

F. W. Hehl and B. K. Datta, J. Math. Phys. 12,

она могла возникнуть как новорожденная вселен-

1334 (1971); F. W. Hehl, Gen. Relativ. Gravit. 4,

ная при отскоке внутри родительской черной дыры,

333

(1973); Gen. Relativ. Gravit. 5,

491

(1974);

F. W. Hehl, P. von der Heyde, G. D. Kerlick, and

существующей в другой вселенной. Эту гипотезу

J. M. Nester, Rev. Mod. Phys. 48,

393

(1976);

подтверждает проведенный в настоящей работе ана-

V. de Sabbata and M. Gasperini, Introduction to

лиз гравитационного коллапса объекта, состоящего

Gravitation, World Scientific (1985); V. de Sabbata

из спиновой жидкости, при наличии кручения и

and C. Sivaram, Spin and Torsion in Gravitation,

рождения частиц. Более реалистичный сценарий

World Scientific (1994).

гравитационного коллапса должен рассматривать

неоднородную и вращающуюся жидкую сферу. Ес-

N. J. Poplawski, Phys. Lett. B 690, 73 (2010); Phys.

ли давление в сфере неоднородно, то система от-

Lett. B 727, 575 (2013).

счета не может быть сопутствующей и синхронной

N. J. Poplawski, Classical Physics: Spacetime and

[3, 37]. Поэтому ν и температура могут зависеть от

Fields, arXiv:0911.0334.

R, и тогда уравнения, описывающие коллапс и по-

следующую динамику вселенной, будут более слож-

D. E. Neville, Phys. Rev. D 21, 867 (1980); I. L. Sha-

ными. Для случая вращающейся сферы возникают

piro, Phys. Rep. 357, 113 (2002).

дополнительные сложности [38], и для формирую-

10.

K. Nomura, T. Shirafuji, and K. Hayashi, Prog.

щейся черной дыры Керра, помимо массы, нужно

Theor. Phys. 86, 1239 (1991).

вводить еще один параметр, а именно, момент им-

пульса [39]. Тем не менее, общий характер влияния

11.

A. Friedmann, Z. Phys. A 10, 377 (1922); G. Le-

кручения и рождения частиц на избегание сингу-

maˆitre, Ann. Soc. Sci. Bruxelles A 53, 51 (1933);

лярности и возникновение отскока в черной дыре

H. P. Robertson, Astrophys. J.

82,

284

(1935);

остается обоснованным.

A. G. Walker, Proc. London Math. Soc. 42, 90 (1937).

12.

F. W. Hehl, Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 18, 98

Финансирование. Работа выполнена при фи-

(1966).

нансовой поддержке University Research Scholar

Program, University of New Haven.

13.

A. Trautman, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Math.

Astr. Phys. 20, 185 (1972); Symp. Math. 12, 139

(1973); Nature Phys. Sci. 242, 7 (1973).

14.

W. Kopczynski, Phys. Lett. A

39,

219

(1972);

ЛИТЕРАТУРА

W. Kopczynski, Phys. Lett. A 43, 63 (1973).

1. L. P. Eisenhart, Non-Riemannian Geometry,

15.

F. W. Hehl, P. von der Heyde, and G. D. Kerlick,

American Mathematical Society (1927); E. Schrö-

Phys. Rev. D 10, 1066 (1974).

dinger, Space-time Structure, Cambridge University

Press

(1954); J. A. Schouten, Ricci-Calculus,

16.

I. S. Nurgaliev and W. N. Ponomariev, Phys. Lett.

Springer-Verlag (1954).

B 130, 378 (1983).

455

Н. Поплавски

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

17.

N. Poplawski, Astrophys. J. 832, 96 (2016); Int. J.

27.

N. J. Poplawski, Phys. Rev. D 83, 084033 (2011).

Mod. Phys. D 27, 1847020 (2018).

28.

N. Poplawski, Found. Phys. 50, 900 (2020).

18.

G. Unger and N. Poplawski, Astrophys. J. 870, 78

(2019).

29.

M. Hashemi, S. Jalalzadeh, and A. H. Ziaie, Eur.

Phys. J. C 75, 53 (2015).

19.

N. J. Poplawski, Phys. Lett. B 694, 181 (2010); Phys.

Lett. B 701, 672 (2011).

30.

R. A. Tolman, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 20, 169

(1934).

20.

B. Kuchowicz, Gen. Relativ. Gravit. 9, 511 (1978);

M. Gasperini, Phys. Rev. Lett. 56,

2873

(1986);

31.

J. R. Oppenheimer and H. Snyder, Phys. Rev. 56,

Y. N. Obukhov and V. A. Korotky, Class. Quantum

455 (1939).

Grav. 4, 1633 (1987); N. J. Poplawski, Gen. Relativ.

Gravit. 44, 1007 (2012).

32.

R. Kantowski and R. K. Sachs, J. Math. Phys. 7, 443

(1966); R. W. Brehme, Am. J. Phys. 45, 423 (1977);

21.

N. J. Poplawski, Class. Quantum Grav. 31, 065005

N. Poplawski, arXiv:2007.11556.

(2014); N. Poplawski, Mod. Phys. Lett. A 33, 1850236

(2018).

33.

L. Parker, Phys. Rev. Lett. 21, 562 (1968); Phys. Rev.

183, 1057 (1969); Y. B. Zeldovich, J. Exp. Theor.

22.

N. J. Poplawski, Phys. Lett. B 687, 110 (2010);

Phys. Lett. 12, 307 (1970); L. Parker, Phys. Rev. D 3,

N. Poplawski, arXiv:1910.10819; arXiv:1912.02173.

346 (1971); Phys. Rev. D 3, 2546 (1971); Y. B. Zel-

23.

W. Handley, arXiv:1908.09139; E. Di Valentino,

dovich and A. A. Starobinskii, J. Exp. Theor. Phys.

A. Melchiorri, and J. Silk, Nature Astron. 4, 196

Lett. 26, 252 (1977); V. A. Beilin, G. M. Vereshkov,

(2020).

Y. S. Grishkan, N. M. Ivanov, V. A. Nesterenko,

and A. N. Poltavtsev, J. Exp. Theor. Phys. 51, 1045

24.

I. D. Novikov, J. Exp. Theor. Phys. Lett. 3, 142

(1980).

(1966); R. K. Pathria, Nature 240,

298

(1972);

V. P. Frolov, M. A. Markov, and V. F. Mukhanov,

34.

J. D. Barrow and M. P. Dabrowski, Mon. Not. Roy.

Phys. Lett. B 216, 272 (1989); Phys. Rev. D 41,

Astron. Soc. 275, 850 (1995); J. D. Barrow and

383 (1990); L. Smolin, Class. Quantum Grav. 9,

C. Ganguly, Int. J. Mod. Phys. D 26, 1743016 (2017).

173

(1992); S. Hawking, Black Holes and Baby

Universes and other Essays, Bantam Dell (1993); W.

35.

N. Poplawski, Gen. Relativ. Gravit. 46, 1625 (2014).

M. Stuckey, Amer. J. Phys. 62, 788 (1994); D. A. Eas-

son and R. H. Brandenberger, J. High Energ. Phys.

36.

H. Bondi, Cosmology, Cambridge University Press,

06, 024 (2001); J. Smoller and B. Temple, Proc. Natl.

(1960); J. D. North, The Measure of the Universe,

Acad. Sci. USA 100, 11216 (2003).

Clarendon Press (1965).

25.

S. Desai and N. J. Poplawski, Phys. Lett. B 755, 183

37.

E. M. Lifshitz and I. M. Khalatnikov, J. Exp. Theor.

(2016).

Phys. 12, 108 (1961).

26.

N . Polawski, Phys. Rev. D 85, 107502 (2012); J.

38.

A. G. Doroshkevich, Y. B. Zel’dovich, and I. D. No-

Magueijo, T. G. Zlosnik, and T. W. B. Kibble, Phys.

vikov, J. Exp. Theor. Phys. 22, 122 (1966).

Rev. D 87, 063504 (2013); J. L. Cubero and N. J.

Poplawski, Class. Quantum Grav. 37, 025011 (2020).

39.

R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).

456