ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 533-540

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЦЕПНОГО ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО

ПЛАМЕНИ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

С. Н. Медведевa*, В. И. Оселедецa,b**, В. С. Посвянский^a

^a Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 8 ноября 2020 г.,

после переработки 17 ноября 2020 г.

Принята к публикации 18 ноября 2020 г.

Исследованы зависимости турбулентной скорости пламени в случайном потоке от турбулентной интен-

сивности в рамках модели нелинейности Колмогорова - Петровского - Пискунова в одномерном случае.

В работе показано, что для статической случайной среды турбулентная скорость убывает и стремится

к нулю с ростом турбулентной интенсивности. Это объясняется тем, что скорость случайного потока

является градиентом случайного потенциала, что приводит к ловушкам и замедлению диффузии. Види-

мо, это общий факт: случайное градиентное поле скоростей в двумерном и трехмерном случаях должно

давать тот же эффект. Возможно, что это верно не только для нелинейности Колмогорова - Петровско-

го - Пискунова. Аналитически показано, что введение случайного поля скоростей ненулевого среднего

значения, ускоряющего движение пламени, позволяет пламени легче преодолевать барьеры. Для дина-

мической среды в некоторых областях масштабов по пространству и времени возможен начальный рост

скорости при росте турбулентности. Рассмотрен пример двумерного случайного бездивергентного поля,

для которого численный счет показал рост турбулентной скорости пламени.

DOI: 10.31857/S0044451021030135

скорость турбулентного пламени зависит от статис-

тики этого случайного поля. Одна из важных за-

1. ВВЕДЕНИЕ

дач теории турбулентного горения — выяснить, как

турбулентная скорость горения зависит от статисти-

Бегущие волны появляются в различных прило-

ки турбулентного конвективного потока. Отметим,

жениях, таких как химическая кинетика, горение,

что в обзоре [1] по турбулентному горению предва-

биология, процессы переноса в пористых средах. Все

рительно перемешанных смесей рассмотрены в том

они могут возникать как решения нелинейных урав-

числе нерешенные фундаментальные задачи, имею-

нений в частных производных. Важная задача —

щие практический интерес. В этом обзоре говорится

учет случайной среды и ее влияния на характери-

о необходимости изучения идеализированных моде-

стики бегущих волн, в частности, на зависимость

лей, для того чтобы уточнить теорию и, возможно,

скорости волны от статистики случайной среды.

добиться лучшего согласия с экспериментами.

При численных расчетах турбулентного горения

Мы будем изучать такую зависимость в рамках

часто используется метод «синтетической» турбу-

одномерной модели с нелинейностью Колмогоро-

лентности, когда турбулентное поле скоростей мо-

ва - Петровского - Пискунова (КПП) из их знамени-

делируется, например, гауссовым однородным слу-

той работы [2], поскольку в этом случае есть строгие

чайным полем и добавлением в уравнения реак-

результаты и эффективный вариационный принцип

ция-диффузия членов первого порядка со случай-

для вычисления турбулентной скорости горения.

ными коэффициентами, что отвечает конвективно-

му переносу потоком со случайной скоростью. Тогда

Краткий обзор строгих результатов

В одномерном случае уравнение реакция-диф-

^* E-mail: medvsn@gmail.com

фузия, которое возникает в теории горения, имеет

^** E-mail: oseled@gmail.com

вид

533

С. Н. Медведев, В. И. Оселедец, В. С. Посвянский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

∂u

∂²u

E|x(t)|

+ f(u),

(1)

c^∗(δ) = lim

u(t, x(t)) =

(5)

∂t

∂x²

t→∞ t

где u — относительная концентрация, k — безраз-

где x(t) — положение фронта, E — математическое

мерный коэффициент диффузии. Здесь и далее по

ожидание, т. е. усреднение по реализациям поля v.

тексту все уравнения записаны в безразмерном ви-

Мы предположили, что v(t, x) — однородное эр-

де. Так, если f(u) = u(1 - u), что соответствует ки-

годическое поле и v(t, -x) имеет то же распределе-

нетической реакции второго порядка, то уравнение

ние в пространстве реализаций, что и v(t, x). Это

(1) описывает процесс распространения цепного изо-

условие отвечает изотропной турбулентности.

термического пламени [3].

Предложенное определение годится для более

Это уравнение впервые было выписано Фишером

общих нелинейностей, а не только для КПП-случая.

[4] в 1937 г. независимо от Колмогорова, Петровско-

Случай v(t, x) = v(x) рассматривался в работе Но-

го, Пискунова [2]. Фишер изучал распространение

лина и Ксина [5]. В этой работе сформулирован ва-

мутантного гена в популяции. Он исследовал ста-

риационный принцип для вычисления турбулентной

ционарную задачу и провел тот же анализ, что и в

скорости для КПП-нелинейности. Нолен и Ксин ис-

работе [2]. В работе [2] изначально рассматривалась

пользовали вероятностный подход Фрейдлина [6].

двумерная и одномерная постановки задачи. При-

Они дали другое определение турбулентной скорос-

мер из работы [2],

ти. Можно показать, что в нашем случае оба опре-

∂u

∂²u

деления совпадают.

+ u(1 - u)²,

(2)

∂t

∂x²

Если X(t) — диффузионный процесс с произво-

имеет биологическую трактовку и отвечает распро-

дящим оператором

странению доминантного гена в популяции. Также

∂²

∂

это уравнение может быть представлено для описа-

+ v(x)

∂x²

∂x

ния распространения цепного изотермического пла-

мени. Для этих примеров нелинейность f(u) удов-

и T₁ — время первого достижения значения 1 про-

цессом X(t), X(0) = 0, то определим функцию

летворяет условиям КПП [2]:

f (0) = f(1) = 0, f(u) > 0,

0 < u < 1,

μ(λ) = -E_v [ln E_X [exp(-λT₁)]] ,

(6)

(3)

max f^′(u) = f^′(0) .

0≤u≤1

где E_X — усреднение, связанное с процессом X(t)

Сейчас такую нелинейность называют КПП-нели-

при фиксированной реализации поля v(x), а E_v —

усреднение по реализациям поля v(x).

нейностью.

√

В работе [2] было доказано, что при c ≥ 2

kf^′(0)

Выпишем вариационный принцип для турбу-

и КПП-нелинейности уравнение (1) имеет решение

лентной скорости:

в виде бегущей волны u(t, x) = g(x+ct). Для случая

λ + f^′(0)

c^∗(δ) = min

(7)

u(0, x) = 1, x ≥ 0,

λ>0

μ(λ)

(3^′)

u(0, x) = 0, x < 0

В эту формулу нелинейность входит только через

в работе [2] было доказано, что такое решение

f^′(0). Это уникальное свойство КПП-нелинейности.

u(t, x) при больших t сближается с решением вида

Нолен и Ксин [5] доказали вариационный прин-

√

g(x + c_mint), где c_min = 2

kf^′(0). Величина c_min и

цип при довольно слабых условиях для v(x). Но

есть «истинная», или ламинарная скорость пламе-

не все эти условия выполняются для случая, когда

ни, если думать о нелинейности f(u) как о скорости

v(x) — процесс Орнштейна - Уленбека (ОУ). Именно

химической реакции.

для него был проведен наш численный счет.

При учете синтетической турбулентности вида

Автокорреляционная функция ОУ равна

δv(t, x) уравнение (1) заменяется на уравнение

K(x) = e^-θ|x|,

∂u

∂²u

∂u

+ δv(t, x)

+ f(u)

(4)

∂t

∂x²

∂x

где 1/θ — пространственный масштаб корреляции.

с начальным условием (3^′). Здесь v(t, x) — случай-

Можно показать, что вариационный принцип верен

ное поле, а δ — ненулевой параметр. В этом случае

и для процесса ОУ. В работе [5] дана оценка скорос-

скорость распространения фронта будет зависеть от

ти для больших δ:

параметра δ. Турбулентная скорость по определе-

нию равна

≤ c^∗(δ) ≤

0<ρ<1,

(8)

δ^ρ

534

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Распространение цепного изотермического пламени. . .

где A — положительная константа, ρ — любое. Из

Можно показать, что при ограничении поля ОУ

выражения (8) следует, что c^∗(δ) → 0 с ростом тур-

на решетку, оно удовлетворяет регрессионному со-

булентной интенсивности δ. Без сомнения эти оцен-

отношению поля Хабиби [9], которое используется

ки верны и для процесса ОУ.

при обработке изображений.

Мы рассмотрели также случай, когда v(x) =

Обнаружены три типа поведения скорости c^∗(δ):

= -W^′(x) — белый гауссов шум, W(x) — стандарт-

убывающее (как в статике); возрастающее, а затем

ный винеровский процесс. Тут возникает задача о

убывающее; возрастающее. Возможен ли здесь рост

диффузионном процессе с производящим операто-

до бесконечности осталось невыясненным. В работе

ром L, отвечающим линейному оператору из правой

[10] рассматривали одномерную модель турбулент-

части уравнения реакция-диффузия. Оператор L в

ного высокотемпературного горения, распространя-

форме Феллера [7] записывается в следующем виде:

ющегося в динамическом поле синтетической турбу-

)

(

)

]

лентности. В работе получено ускорение пламени с

^[(δ

Lu = k exp

exp

(9)

ростом интенсивности турбулентности.

Уменьшение скорости пламени в статическом од-

номерном случае связано с тем, что поле скорости —

В этой ситуации диффузионный процесс строится

градиентное поле, и большое значение δ дает более

как диффузия в броуновском потенциале, и функ-

глубокие ловушки. Такая картина должна иметь ме-

цию μ(λ) можно вычислить явно, используя лемму

сто и в многомерном случае для градиентных полей.

японского математика Котани (см., например, ра-

Это предположение подтверждает наш численный

боту [8]). В итоге получается почти явная формула

счет для двумерного поля ∇Ψ(x, y), где Ψ(x, y) —

для случая броуновского потенциала:

скалярное двумерное поле ОУ.

(

)

(

)

Нами было рассмотрено поле вида

K₀

4x/δ

f^′(0)

c^∗(δ) = min

kx +

(

) ,

(10)

(-∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂x) с нулевой дивергенцией по скорос-

x>0

K₁

4x/δ

ти. В двумерном поле синтетической турбулентнос-

ти счет показал рост турбулентной скорости. Такая

где δ = δ/k, K_i — модифицированная функция Бес-

постановка задачи вызывает большой физический

селя индекса i. Численный счет показал хорошее со-

интерес, так как дополнительное условие бездивер-

гласие с этой формулой.

гентного поля определяет выполнение уравнения

При введении постоянного смещения ka/2 в кон-

неразрывности в несжимаемых средах. Этот пример

вективной составляющей, т.е. при замене белого шу-

приведен для КПП-нелинейности, но скорее всего

ма δv(x) на δv(x)+ka/2, формула для турбулентной

будет верен и для других нелинейностей. Главным

скорости приобретет вид

критерием является бездивергентное поле. Этот

(

)

аспект заслуживает дальнейших исследований. В

(

)

K_ν

4x/δ

работах, например [11,12], рассмотрены двумерные

f^′(0)

c^∗(δ) = min

kx +

(

) ,

(11)

постановки распространения турбулентного пла-

x>0

K1-ν

4x/δ²

мени в водородно-воздушных и метано-воздушных

смесях с учетом детальной химической кинетики

где ν

= a/δ

², Kν — модифицированная функция

в поле «синтетической» турбулентности и получе-

Бесселя индекса ν. Для фиксированного значения

но качественное согласие с экспериментальными

ν = q турбулентная скорость не зависит от δ при

данными.

q = 0.5 и равна ламинарной, а при q > 0.5 тур-

булентная скорость растет с ростом δ и убыва-

ет при q

< 0.5. Заметим, что к пульсационной

2. ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ

скорости δv(x) здесь добавлена средняя скорость

ka/2 = qδ²/2k, которая быстро растет с ростом δ,

Все расчеты проводились только для случая

что позволяет пламени быстрее преодолевать бро-

f (u) = u(1 - u). Для численного решения системы

уновские ловушки.

уравнений использовали программный пакет Open-

Мы рассмотрели также случай динамического

FOAM (ver. 6) [13]. Рассматривалась эйлерова систе-

поля ОУ, т. е. однородного гауссова поля v(t, x) со

ма с равномерной сеткой. Система записана в неяв-

средним значением E[v(t, x)] = 0 и ковариационной

ном виде, источниковые члены линеаризованы. Рас-

функцией (4/τθ)exp(-τ|t|-θ|x|), где 1/τ — времен-

четная область определена пространством [0, L_x].

ной масштаб корреляции.

Начальные условия имеют вид

535

С. Н. Медведев, В. И. Оселедец, В. С. Посвянский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

{

1, L_x - L^∗ < x ≤ L_x,

диффузии и КПП-нелинейности, возобновляет дви-

u(0, x) =

(12)

жение. При этом волна, как бы наверстывая упу-

0≤x≤L_x -L^∗,

щенное, начинает двигаться с большей скоростью, а

где L^∗ — положение фронта пламени в начальный

затем снова выходит на величину c^∗ = -2.

момент. Согласно постановке задачи, пламя движет-

ся «налево». Граничные условия:

Стохастическая форма уравнения КПП в

форме Феллера

∂u(L_x)

u(0) = 0,

=0.

(13)

∂x

Начальная форма уравнения КПП (4) со стохас-

тической частью в конвективном члене может быть

Расчеты проведены для размера ячейки Δx =

заменена на форму без конвективной составляю-

= 0.125 или Δx = 0.25 в соответствии со сходимо-

щей [7]:

стью задачи. Численные схемы определены вторым

)

[

(

порядком точности по времени и пространству. Шаг

∂u

⁽δ

∂

⁾∂u^]

= k exp

exp

по времени подбирался в соответствии с условием

∂t

∂x

Куранта для диффузионного и конвективного чле-

+ f(u).

(14)

нов. Для всех значений параметров проводили от

50 до 100 реализаций в зависимости от разброса ре-

Представленная форма записи является аналогом

зультатов.

первоначального уравнения с различием в знаке в

Роль ловушек (барьеров) хорошо видна на рис. 1.

конвективном члене. Белый шум выражается про-

На этом рисунке представлено движение фронта

изводной винеровского процесса, который описыва-

x(t) для уравнения (4) в области x ∈ [0, 2000]. При

ется уравнением

∫

этом v(t, x) = 0 всюду, а на отрезке x ∈ [1000, 1100]

W (x) = - v(ξ) dξ .

(15)

заданы значения v(x) = -1, δ = δ_b. Значения δ_b вы-

бирали от 0 до 5. Волна движется справа налево.

Сначала фронт движется со скоростью c^∗ = -2, но

При генерации случайного поля задаем поле по

как только фронт достигает точки x = 1100, волна

следующему алгоритму:

встречает барьер и фронт останавливается (попада-

W_i = Wi-1 + dW_i, dW ∈ N(0, Δx) ,

(16)

ет в ловушку). В случае, когда скорость потока в

ловушке |δ_bv(x)| < 2, фронт продолжает движение

где dW — гауссова случайная величина с парамет-

рами 0 и Δx, а первый элемент равен W₀ = dW₀, т. е.

с меньшей скоростью, а если |δ_bv(x)| ≥ 2, то фронт

некоторое время стоит на месте, а затем, благодаря

на расстоянии x для поля будет справедливо прави-

ло W (x) ∈ N(0, x).

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

3.1. Расчеты КПП для белого шума

Проведены численные расчеты распространения

фронта пламени в статическом поле ОУ. На рис. 2

приведены данные аналитического решения по фор-

муле (10) и два варианта численной реализации: по

уравнению (4) и в форме Феллера (14). Проведено

по 50 реализаций для каждого значения δ. Усредне-

ние проводится по оценочной средней скорости для

каждой реализации. Для значений δ > 1.0 пламя

на некоторое время останавливается в части реа-

Рис. 1. Профили t-x положения фронта пламени в зави-

лизаций и продолжительное время находится в од-

симости от времени при расчете области x ∈ [0, 2000]. В

ном положении. По результатам расчетов видно, что

расчетной области определен один скачок скорости v(x)

форма записи (14) дает лучшее согласие с анали-

шириной 100 (на отрезке [1000, 1100]) и величиной δ_b. Во

тической кривой при больших значениях амплиту-

всем остальном поле x скорость δv(x) = 0. Представлены

ды δ. Но так же, как и в случае с использованием

кривые: 1 — δ_b = 0; 2 — δ_b = 1; 3 — δ_b = 1.5; 4 — δ_b = 3;

уравнения (4), при больших значениях δ пламя оста-

5 — δ_b =5

навливается в процессе счета. Обе результирующие

536

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Распространение цепного изотермического пламени. . .

Рис. 2. Среднее значение скорости в зависимости от амп-

Рис. 3. Среднее значение скорости в зависимости от ам-

литуды возмущений δ. Сравнение расчета по уравнению

√

плитуды возмущений δ

θ/2. Расчеты проведены для поля

(14) с полем винеровского процесса (кривая 1, значения

ОУ с различными значениями θ. Кривая 1 — θ = 0.01, кри-

отмечены квадратами) и расчета по уравнению (4) в поле

вая 2 — θ = 1, кривая 3 — θ = 100. Штриховая кривая 4 —

белого шума (кривая 2 со значениями, отмеченными круж-

аналитическое решение с белым шумом

ками). При больших δ наблюдаются различия в поведении

кривых. Штриховая кривая 3 — аналитическое решение

(10) уравнения КПП в поле белого шума

3.3. Определение системы КПП для поля

ОУ в динамическом поле

кривые дают хорошее согласие с аналитическим ре-

Рассмотрим однородное гауссово поле v(t, x)

шением для δ < 2.5.

со средним

и ковариационной функцией

σ²exp(-τ|t| - θ|x|). Для этого поля справедливо

3.2. Расчеты КПП для поля ОУ

регрессионное соотношение Хабиби [9] на решетке:

Далее проведены расчеты для стохастического

v_i,j = r_xvi-1,j + r_tvi,j-1 - r_xr_tvi-1,j-1 +

поля ОУ. Процесс ОУ удовлетворяет уравнению

√

v_i = r_xvi-1 + σ

(1 - r2x)ξ_i ,

(17)

+σ

(1 - r2x)(1 - r2t) ξ_i,j ,

(20)

где r_x = exp (-θΔx), переменная θ определена об-

где r_t = exp (-τΔt) и r_x = exp (-θΔx) — перемен-

ратным интегральным масштабом по пространству,

ные корреляционной зависимости по времени и про-

σ — дисперсия и ξ_i — нормальное гауссово распре-

странству. Переменные θ и τ определены обратными

деление со средним 0 и дисперсией 1. Для первого

интегральными масштабами соответственно по про-

элемента в пространственной сетке (индекс i = 0)

странству и времени. При генерации поля обход на-

определено решение

чинается с угла и идет сначала по пространству, за-

тем переходит на следующий временной слой. Гра-

v₀ ∈ N(0, σ²) .

(18)

определены по зависимо-

ничные элементы для v_i,j

Значение дисперсии σ подбирается из условия, что

стям

интеграл ковариационной функции должен быть ра-

⎧

√

вен 1. Тогда

⎨

rtv0,j-1+σ

(1-r2t)ξ0,j ,

i = 0,

√

v_i,j =

(21)

rxvi-1,0+σ

(1-r2x)ξi,0,

j = 0,

σ=

(19)

⎩

ξ0,0,

i=j =0.

Проведено сравнение средних значений скоростей

при различных значениях амплитуды возмущений

Дисперсия динамического поля ОУ определяет-

√

θ/2 для поля ОУ при разных значениях θ = 0.01,

ся формулой

1, 100 (рис. 3). При первых двух значениях θ реше-

σ² =

τθ.

(22)

ние приближается к аналитическому решению за-

дачи с белым шумом. Стоит отметить, что во всех

На рис. 4 показаны расчетные кривые для ди-

рассмотренных вариантах скорость уменьшается.

намического поля ОУ с интегральными значения-

537

С. Н. Медведев, В. И. Оселедец, В. С. Посвянский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Рис. 4. Зависимости скорости фронта пламени в динами-

Рис. 5. Профили x-t положения фронта пламени в зави-

ческом поле ОУ по уравнению (4). Размеры расчетных об-

симости от времени при распространении пламени в дву-

ластей Lx = 2000 или Lx = 6000 в зависимости от ампли-

мерной постановке. Рассмотрены три варианта: кривая 1 —

туды δ. Рассмотрены следующие комбинации: τ = 0.01,

градиентное поле с параметрами θ = 0.01, δ = 100 дает

θ = 0.01 (кривая 1); τ = 100, θ = 0.01 (2); τ = 0.01,

среднюю скорость пламени 1.5; кривая 2 — градиентное

θ = 100 (3) и τ = 100, θ = 100 (4); кривая 5 — аналитиче-

поле с θ = 100, δ = 0.2 имеет результирующую скорость

ское решение задачи (10) в статическом поле

1.95; кривая 3 — безградиентное поле с θ = 0.01, δ = 100

со скоростью 3.4

ми τ и θ. При больших значениях τ

= 100 ско-

∂u

рость пламени c^∗ растет с увеличением амплитуды

= kΔu + δv(x, y)∇u + f(u) .

(23)

∂t

δ. При τ = 0.01 скорость снижается: для θ = 100

скорость убывает монотонно с увеличением δ, а для

Функция скорости v(x, y) выражается градиента-

θ = 0.01 наблюдается начальный рост до значений

ми потенциала v = ∇Ψ = (∂Ψ/∂x; ∂Ψ/∂y). Ска-

δ ≈ 100 с последующим уменьшением при увеличе-

ляр Ψ генерируется аналогично динамическому по-

нии δ. Для последней кривой проблема расчетов со-

лю по модели Хабиби в уравнениях (20)-(22), толь-

стояла в том, что положение фронта пламени сильно

ко вместо времени используется вторая простран-

отклонялось от средней траектории движения, что

ственная координата. Модель изотропна, т. е. харак-

требовало увеличения количества реализаций и уве-

терный размер возмущений по осям одинаков и вы-

личения размеров расчетной области L_x. Основным

ражается переменной θ. Также рассмотрен случай

отличием динамического поля от статического, где

бездивергентного поля, когда скорость описывается

скорость фронта замедляется ловушками, состоит

выражениями ∇v = 0, v = (-∂Ψ/∂y; ∂Ψ/∂x).

в том, что в динамическом поле эти ловушки дви-

Построено двумерное поле размерами 1000 на

жутся, т. е. локально меняется закон диффузии. Мы

250 со структурированной сеткой размером 0.25.

предполагаем, что этот фактор приводит к росту

Фронт пламени движется слева направо. На верх-

скорости пламени при определенных комбинациях

них и нижних границах определены условия нуле-

интегральных масштабов. Сменится ли рост скоро-

вого градиента для скорости v и переменной u. На

сти ее уменьшением при больших интенсивностях

боковых границах условия остались прежними (13).

осталось невыясненным.

Генерируем поле Ψ с параметрами θ = 0.01, δ = 100.

Для анализа результатов на рис. 5 представлены

x-t-диаграммы усредненного по y-координате фрон-

та пламени для трех случаев. В градиентном поле

3.4. Двумерные расчеты

скорость фронта убывает и составляет в среднем 1.5

Для проверки предположения, что градиентные

(кривая 1), а в бездивергентном поле достигает 3.4

случайные поля могут только замедлять скорость

(кривая 3), что на 75 % превышает скорость в невоз-

распространения пламени, были проведены двумер-

мущенной среде. Кривая 2 воспроизводит практи-

ные расчеты. Общую форму уравнения КПП (4)

чески ламинарное течение с параметрами θ = 100,

расширили для многомерного случая:

δ = 0.2.

538

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Распространение цепного изотермического пламени. . .

вает ловушки, что приводит к росту скорости. Ес-

ли рассмотреть поле δv(x) + ka/2, q = a/δ2, то при

q > 0.5 скорость растет, при q < 0.5 убывает, а при

q = 0.5 скорость остается постоянной. Такой мощ-

ный поток, порядка δ², позволяет пламени преодо-

левать ловушки.

Проведенные численные эксперименты для по-

ля ОУ динамической среды показали, что учет ди-

намического поля δv(t, x) может приводить к росту

турбулентной скорости. Оказалось, что для динами-

ческой среды в некоторых областях масштабов по

пространству и времени возможен начальный рост

скорости при росте турбулентности. Отметим, что

в статическом поле движение частиц замедляется

глубокими ловушками. Мы предполагаем, что в ди-

намическом поле глубокие ловушки движутся, ме-

няется закон диффузии, что, возможно, приводит к

Рис. 6. Профиль фронта горения в градиентном поле (кри-

росту скорости пламени. Сменится ли рост скорос-

вая 1) в момент времени 450 и в бездивергентном поле

ти падением при больших интенсивностях осталось

(кривая 2) при t = 150. Пламя распространяется снизу

невыясненным.

вверх

Нами проведен двумерный расчет для статичес-

кого градиентного поля. Получено, что турбулент-

ная скорость пламени убывает. Видимо, это общий

На рис. 6 показаны профили фронтов пламени.

факт для градиентных полей. Случайное градиент-

Кривой 1 представлен профиль фронта в градиент-

ное поле скоростей в двумерном и трехмерном слу-

ном поле, а кривой 2 — в бездивергентном. В послед-

чаях должно давать тот же эффект. Возможно, что

нем варианте наблюдается сильное развитие поверх-

это верно не только для КПП-нелинейности.

ности и выделение «языков» пламени. Данная кар-

В работе был рассмотрен пример двумерного

тина развития пламен наиболее похожа на задачи

бездивергентного поля, для которого численный

распространения турбулентных пламен, где учиты-

счет показал рост турбулентной скорости. Предпо-

вается множество уравнений: уравнение неразрыв-

лагается, что это имеет место для широкого класса

ности, уравнение сохранения количества движения

задач.

и уравнение сохранения энергии.

Финансирование. Работа выполнена час-

тично за счет субсидий, выделенных ИХФ

РАН на выполнение государственного зада-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ния по темам АААА-А17-117040610346-5 и

АААА-А18-118012390045-2.

Проведено исследование зависимости турбулент-

ной скорости изотермического пламени в случайном

потоке от интенсивности турбулентности для одно-

ЛИТЕРАТУРА

мерного случая и КПП-нелинейности. Для статичес-

кой случайной среды турбулентная скорость убыва-

1. P. D. Ronney, Modeling in Combustion Science,

ет и стремится к нулю с ростом турбулентной ин-

Springer, Berlin-Heidelberg (1995).

тенсивности. Такое поведение турбулентной скорос-

ти получено как для белого шума, так и для процес-

2. А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Писку-

са ОУ. Мы объясняем это тем, что скорость случай-

нов, Бюлл. МГУ, сер. А 1(6), 333 (1937).

ного потока есть градиент случайного потенциала,

3. В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе, Я. Б. Зель-

что приводит к ловушкам и замедлению диффузии.

дович и др., Математическая теория горения и

Аналитически показано, что при наличии спут-

взрыва, Наука, Москва (1980).

ного потока — добавлении средней скорости к пуль-

сационной δv(x) — фронт пламени легче преодоле-

4. R. A. Fisher, Ann. Eugenics 7(4), 355 (1937).

539