ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 563-568

ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И

СОПРОТИВЛЕНИЕ В МЕТАЛЛАХ БЕЗ ЦЕНТРА ИНВЕРСИИ

В. П. Минеев^*

Université Grenoble Alpes, CEA, IRIG, PHELIQS

F-38000, Grenoble, France

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 23 ноября 2020 г.,

после переработки 23 ноября 2020 г.

Принята к публикации 24 ноября 2020 г.

Квадратичная зависимость сопротивления от температуры в металлах при низких температурах обуслов-

лена релаксацией импульса при межэлектронных столкновениях, сопровождаемых процессами переброса

или рассеянием на примесях. В металлах без центра инверсии спин-орбитальное взаимодействие элект-

ронов с кристаллической решеткой снимает спиновое вырождение состояний и расщепляет каждую энер-

гетическую зону на две зоны. Температурная зависимость скорости релаксации за счет электрон-элект-

ронных столкновений определятся из матричного кинетического уравнения, включающего внутризонные

и межзонные процессы рассеяния электронов на примесях и электронов на электронах. Показано, что в

достаточно чистом случае, когда расщепление зон превосходит скорость рассеяния электронов на при-

месях и в то же время мало по сравнению с энергией Ферми, квадратичная зависимость сопротивления

от температуры остается справедливой.

DOI: 10.31857/S0044451021030172

Ферми. В отсутствие процессов переброса в метал-

лах и полупроводниках с единственной зоной про-

водимости электрон-электронное рассеяние не дает

1. ВВЕДЕНИЕ

вклада в сопротивление, и оно целиком определяет-

ся рассеянием на примесях [3]. Однако в многозон-

Низкотемпературная зависимость сопротивле-

ных металлах вклад от столкновений электронов из

ния нормальных металлов,

разных зон выживает [4-7] и определяет темпера-

турную зависимость сопротивления согласно урав-

ρ = ρ₀ + AT²,

(1)

нению (1).

определяется рассеянием электронов на электронах,

Квадратичная температурная зависимость воз-

сопровождаемым процессами переброса со скорос-

никает, поскольку из-за принципа Паули электроны

тью релаксации [1,2]

могут рассеиваться друг на друге лишь в узком слое

шириной порядка температуры вблизи поверхности

V²

Ферми. Это свойство сохраняется также в металлах

∝

T² .

(2)

τ_ee

ε²

ε_F

с несколькими зонами проводимости.

В металлах без центра инверсии спин-орбиталь-

Здесь V

— амплитуда экранированного потенциа-

ное взаимодействие расщепляет поверхность Ферми

ла межэлектронного взаимодействия, ε_F — энергия

каждой из зон проводимости на две поверхности с

Ферми. Обычно величина 1/τ_ee весьма мала, и тем-

разными импульсами Ферми. Найденная в работе [8]

пературная зависимость (1) наблюдается лишь в ме-

скорость релаксации импульса благодаря электрон-

таллах с очень узкой зоной проводимости и в соеди-

электронным столкновениям равна

нениях с тяжелыми фермионами с малой энергией

(2πT )² + (v_F Δk_F )²

∝

(3)

^* E-mail: vladimir.mineev@cea.fr

τ_ee

ε_F

563

12*

В. П. Минеев

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Здесь v_F — скорость Ферми, Δk_F = kF+-k_F- — раз-

инверсии. Расчеты, представленные в третьем раз-

ность импульсов Ферми. Выражение (3) фактически

деле, показывают, что при выполнении условий (4)

означает, что в металлах без центра инверсии оста-

и (5) низкотемпературная зависимость скорости ре-

точное сопротивление при T = 0 сильно увеличива-

лаксации импульса в металлах без центра инверсии

ется из-за расщепления зон спин-орбитальным взаи-

дается уравнением (2).

модействием. Однако вычисления в работе [8] были

проделаны с использованием интеграла электрон-

2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В

электронного рассеяния в форме, неприменимой в

МЕТАЛЛАХ БЕЗ ЦЕНТРА ИНВЕРСИИ

металлах, не обладающих пространственной четно-

стью. Правильный интеграл столкновений был най-

Спектр невзаимодействующих электронов в ме-

ден в следующей работе [9], где был подтвержден

таллах без центра инверсии имеет вид

результат (3). И в той, и в другой работе вычисле-

ния были проведены с использованием законов дис-

ε(k) = ε(k)σ₀ + γ(k) · σ.

(6)

персии ξ_±(k) = v_F (k - k_F±) электронов в двух энер-

Здесь ε(k) — не зависящая от спина часть спект-

гетических зонах, расщепленных спин-орбитальным

ра, σ₀ — единичная матрица 2 × 2 в спиновом про-

взаимодействием. Каждое из этих выражений вер-

странстве, σ = (σ_x, σ_y, σ_z ) — матрицы Паули. Вто-

но вблизи соответствующей поверхности Ферми с

рое слагаемое в уравнении (6) описывает спин-орби-

импульсами Ферми kF+ и k_F-. Но выражение для

тальное взаимодействие, соответствующее симмет-

ξ₊(k) неверно вблизи поверхности Ферми с импуль-

рии данной кристаллической структуры. Псевдовек-

сом k_F-, равно как и выражение для ξ_-(k) неверно

тор γ(k) — периодическая функция волнового век-

вблизи поверхности Ферми с импульсом kF+. Эта

тора, такая что γ(-k) = -γ(k) и gγ(g-1k) = γ(k),

ошибка исправлена в настоящей работе.

где g — любая из операций симметрии точечной

Аналитический вывод зависимости (2) в случае

группы G кристалла. Вблизи точки Γ в случае ку-

поверхности Ферми произвольной формы невозмо-

бической симметрии имеем

жен даже в однозонном металле с центром инверсии.

Дело в том, что длина импульса Ферми меняется от

γ(k) = γk.

(7)

точки к точке на поверхности Ферми. Все извест-

Здесь γ — постоянный множитель. В случае тетра-

ные выводы сделаны при явном или неявном пред-

гональной точечной группы G = C4v антисиммет-

положении, что изменение длины импульса Ферми

ричное спин-орбитальное взаимодействие,

значительно меньше его средней длины. В дополне-

ние к этому условию мы будем также предполагать

γ(k) = γ(k_y x - k_x ŷ) + γ_∥k_xk_yk_z (k2x - k2y)z,

(8)

малость энергии расщепления зон по сравнению с

энергией Ферми:

в чисто двумерном случае (при γ_∥ = 0) известно как

взаимодействие Рашба [10].

ε_F ≫ v_F Δk_F .

(4)

Собственные значения и собственные векторы

матрицы (6) имеют вид

Кинетические явления в металле без центра ин-

ε_±(k) = ε(k) ± |γ(k)|,

(9)

версии описываются кинетическим уравнением для

(

)

матричной функции распределения. Пренебрежение

γkz + 1

недиагональными матричными элементами возмож-

Ψ⁺(k) = Ck

но, когда энергия расщепления зон велика по срав-

γkx + iγky

(

)

(10)

нению со скоростью рассеяния электронов на приме-

-γkx + iγky

сях, на электронах и т. д. Скорость электрон-элект-

Ψ-σ(k) = C

γkz + 1

ронного рассеяния всегда мала по сравнению со ско-

ростью рассеяния электронов на примесях, 1/τ_i. Та-

где C_k = (2(γkz + 1))-1/2, γ_k = γ(k)/|γ(k)|. Собст-

ким образом, мы будем предполагать выполнение

венные векторы удовлетворяют соотношениям орто-

условия

гональности:

v_F Δk_F ≫

(5)

Ψ^α∗σ(k)Ψ^βσ(k) = δ_αβ, Ψ^ασ

(k)Ψ^α∗σ

(11)

(k) = δσ1σ2 .

τ_i

Статья организована следующим образом. В сле-

Здесь и во всех последующих формулах подразуме-

дующем разделе приведены кинетические уравне-

вается суммирование по повторяющимся спиновым

ния для электронного газа в металлах без центра

σ =↑, ↓ и зонным α = +, - индексам.

564

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Электрон-электронное взаимодействие и сопротивление в металлах.. .

Имеются две поверхности Ферми c различными

Здесь

импульсами Ферми k_F±, определяемые уравнения-

n(ε) =

(16)

ми

⁽ε-μ⁾

exp

ε_±(k) = μ,

(12)

— функция Ферми.

где μ — химический потенциал. В случае двумерной

Эрмитовы матрицы неравновесных распределе-

модели Рашба и в трехмерном изотропном случае

ний в зонном и спиновом представлениях связаны

√

друг с другом преобразованием

k_F± = ∓mγ +

2mμ + (mγ)²,

(13)

f_αβ(k) = Ψ^α∗σ

(17)

(k)nσ1σ2 Ψσ (k).

а скорости Ферми на двух поверхностях Ферми сов-

падают:

В зонном представлении матрица равновесного



√

распределения диагональна:

∂(ε_±(k))

2μ



v_F± =

+γ².

(14)



∂k

n_αβ = Ψ^α∗σ

k=kF ±

(k)nσ1σ2 Ψ^σ (k) =₂

(

)

n(ε₊)

Здесь

k — единичный вектор вдоль импульса k.

(18)

n(ε_-)

Равенство скоростей на разных поверхностях Фер-

αβ

ми — специфическое свойство модели с изотропным

Недиагональные элементы f+-(k) и f-+(k) отлич-

спин-орбитальным взаимодействием (7) в трехмер-

ны от нуля только в неравновесных состояниях.

ном случае и модели Рашба в двумерном.

Кинетическое уравнения для матричной функ-

Матрица равновесного распределения электро-

ции распределения электронов в металлах без цен-

нов имеет вид

тра инверсии выведено в работе [9]. Соответствую-

n(ε₊) + n(ε_-)

n(ε₊) - n(ε_-)

щее условие стационарности во внешнем электриче-

σ₀ +

γ·σ.

(15)

ском поле E имеет вид

2|γ|

⎛

⎞

∂n(ε₊)

(v₊ · E)

(v_± · E)(n(ε_-) - n(ε₊))

⎜

⎟

∂ε₊

e⎜

⎟

⎝

∂n(ε_-)

⎠⁺

(v_∓ · E)(n(ε₊) - n(ε_-))

(v_- · E)

∂ε_-

(

)

i(ε_- - ε₊)f_±(k)

Iⁱ +

I^ee.

(19)

i(ε₊ - ε_-)f_∓(k)

Здесь

Здесь введены обозначения ε_α = ε_α(k), ε^′μ = ε_μ(k^′)

и т. д. Функции

∂ε_α

∂Ψ^-σ(k)

v_α(k) =

v_±(k) = Ψ+∗σ(k)

∂k

(20)

O_αβ(k, k^′) = Ψ^α∗σ(k)Ψ^βσ(k^′)

(22)

v_∓ = -v^∗±.

удовлетворяют соотношениям O_αβ (k, k^′) = O^∗βα(k^′, k).

В борновском приближении интеграл столкновений

Интеграл межэлектронных столкновений в борнов-

I^iαβ электронов с примесями имеет вид

ском приближении дается выражением [9]

∫

′

∫

d³k

d³k^′′ d³k₂

Iⁱ

(k) = 2πn_imp

|V (k - k^′)|² ×

αβ

I^ee(k) = 2π

F (k, k₂, k^′, k^′′),

(23)

(2π)³

(2π)³ (2π)³

× {O_αν(k, k^′)[f_νμ(k^′)O_μβ(k^′, k)-

где k^′ = k + k₂ - k^′′ - Q и Q — вектор обратной ре-

- O_νμ(k^′, k)f_μβ(k)]δ(ε^′ν - ε_β)+

шетки. Здесь и во всех остальных формулах мы ра-

+ [O_αν (k, k^′)f_νμ(k^′) - f_αν (k)O_νμ(k, k^′)] ×

ботаем в системе единиц с постоянной Планка ℏ = 1.

× O_μβ(k^′,k)δ(ε^′μ - ε_α)}.

(21)

Матрица

F есть

565

В. П. Минеев

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

e(v_± · E)(n_- - n₊)

F_αβ(k, k₂, k^′, k^′′) =

W₁{[O_αν(k, k^′)f_νμ(k^′)×

f_± =

(26)

i(ε_- - ε₊)

×O_μλ(k^′, k)(δλβ -f_λβ(k))(δξη -f_ξη(k₂))O_ηζ(k₂, k^′′)×

e(v_∓ · E)(n₊ - n_-)

f_∓ =

(27)

× f_ζρ(k^′′)O_ρξ(k^′′, k₂) - O_αν(k, k^′)(δ_νμ - f_νμ(k^′))×

-i(ε₊ - ε_-)

×O_μλ(k^′, k)f_λβ(k) f_ξη(k₂)O_ηζ(k₂, k^′′)(δ_ζρ-f_ζρ(k^′′))×

В стационарном случае вклад этих недиагональных

× O_ρξ(k^′′,k₂)]δ(ε^′ν - ε_β - ε2ξ + ε^′′ζ)+

членов в электрический ток равен нулю [9]. С дру-

гой стороны, подстановка этих выражений в диа-

+ [(δ_αν - f_αν (k))O_νμ(k, k^′)f_μλ(k^′)O_λβ (k^′, k) ×

гональную часть матричных интегралов столкнове-

× (δ_ξη - f_ξη(k₂))O_ηζ (k₂, k^′′)f_ζρ(k^′′)O_ρξ(k^′′, k₂) -

ний (21) и (24) позволяет пренебречь в них всеми

- f_αν(k))O_νμ(k,k^′)(δ_μλ - f_μλ(k^′))×

членами, содержащими недиагональные элементы

× O_λβ(k^′,k)f_ξη(k₂)O_ηζ(k₂,k^′′)(δ_ζρ - f_ζρ(k^′′))×

матричной функции распределения, поскольку они

будут в γk_F τ_i ≫ 1 раз меньше, чем члены с диаго-

× O_ρξ(k^′′,k₂)]δ(ε_α - ε^′μ + ε2ξ - ε^′′ζ)}+

нальными элементами.

W₂{[O_αν(k, k^′)f_νμ(k^′)O_μλ(k^′, k₂)×

Тогда система уравнений (19) для функции

(

)

× (δ_λξ - f_λξ(k₂))O_ξζ (k₂, k^′′)f_ζρ(k^′′))O_ρω (k^′′, k) ×

f₊(k)

f_αβ(k) =

(28)

× (δ_ωβ -f_ωβ (k)O_αν (k, k^′)(δ_νμ-f_νμ(k^′))O_μλ(k^′, k₂) ×

f_-(k)

αβ

× f_λξ(k₂)O_ξζ(k₂,k^′′)(δ_ζρ - f_ζρ(k^′′))O_ρω(k^′′,k)×

приобретает следующий вид:

× f_ωβ(k]δ(ε^′ν - ε_β - ε2ξ + ε^′′ζ)+

∂n(ε₊)

+ [(δ_αν - f_αν (k)O_νμ(k, k^′)f_μλ(k^′)O_λξ(k^′, k₂) ×

(v₊ · E)

=Ii+ +Iee+,

(29)

∂ε₊

× (δ_ξζ - f_ξζ (k₂))O_ζρ(k₂, k^′′)f_ρω (k^′′))O_ωβ (k^′′, k) -

- f_αν(k)O_νμ(k,k^′)(δ_μλ-f_μλ(k^′))O_λρ(k^′,k₂)f_ρξ(k₂)×

∂n(ε_-)

(v_- · E)

=I^i- +I^ee-,

(30)

∂ε_-

× O_ξζ(k₂,k^′′)(δ_ζω - f_ζω(k^′′))×

где

× O_ωβ(k^′′,k)]δ(ε_α - ε^′μ + ε2ξ - ε^′′ζ)}.

(24)

∫

d³k

Ii+ = 4πn_i

|V (k-k^′)|²O₊₊(k, k^′)O₊₊(k^′, k) ×

Здесь W₁ и W₂ — зависящие от импульсов ампли-

2π³

туды кулоновского и обменного взаимодействий. В

× [f₊(k^′)-f₊(k)]δ(ε′+ -ε₊)+O+-(k, k^′)O-+(k^′, k) ×

металле, благодаря экранировке заряда, их можно

× [f_-(k^′) - f₊(k))]δ(ε^′- - ε₊)},

(31)

считать постоянными.

Недиагональные члены в левой части матрич-

∫

d³k^′′ d³k₂

ного кинетического уравнения (19) пропорциональ-

Iee+ = 2π

{W₁[O+ν(k, k^′))Oν+(k^′, k))×

(2π)³ (2π)³

ны энергии расщепления зон, в то время как инте-

гральные члены в правой части пропорциональны

×O_ξζ(k₂, k^′′)O_ζξ(k^′′, k₂)]+W₂[O+ν(k, k^′))O_νξ(k^′, k₂))×

различным внутризонным и межзонным скоростям

× O_ξζ(k₂,k^′′)Oζ+(k^′′,k)]}{f_ν(k^′)(1 - f₊(k))×

релаксации при рассеянии электронов на приме-

× (1 - f_ξ(k₂))f_ζ (k^′′) - (1 - f_ν (k^′))f₊(k)f_ξ(k₂) ×

сях и из-за электрон-электронного рассеяния. Ско-

× (1 - f_ζ (k^′′))}δ(ε^′ν - ε₊ - ε2ξ + ε^′′ζ).

(32)

рость электрон-электронного рассеяния всегда мала

по сравнению со скоростью электронного рассеяния

Соответствующие выражения для I^i- и I^ee- получа-

на примесях. Следовательно, если энергия расщеп-

ются заменой зонных индексов («+» ↔ «-»).

ления зон превышает скорость рассеяния электро-

Таким образом, мы пришли к системе двух урав-

нов на примесях,

нений с интегралами столкновений, включающими

как внутризонные, так и межзонные электронные

v_F (k_F- - kF+) ≫ 1/τ_i,

(25)

процессы рассеяния.

то можно пренебречь интегралами столкновений в

3. СКОРОСТЬ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

недиагональных слагаемых матричного кинетиче-

НА ЭЛЕКТРОНАХ

ского уравнения (19) и использовать бесстолкнови-

тельные решения для недиагональных членов функ-

Решение уравнений такого рода с учетом процес-

ции распределения:

сов переброса является трудной задачей. Даже для

566

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Электрон-электронное взаимодействие и сопротивление в металлах.. .

однозонного металла с центром инверсии и сфери-

Чтобы принять во внимание сохранение энергии,

ческой поверхностью Ферми аналитическое решение

необходимо перейти от интегрирования по импуль-

может быть найдено только путем применения ва-

сам к интегрированию по энергиям. Даже для одно-

риационной процедуры [11]. В отсутствие процессов

зонного металла с центром инверсии эту процедуру

переброса, k^′ = k + k₂ - k^′′, решить эту проблему

можно выполнить аналитически только в случае по-

можно так, как это было сделано в работе [7] для

чти сферической формы поверхности Ферми. Для

двухзонного металла с центром инверсии.

металла без центра инверсии с изотропным спект-

Левые части уравнений (29) и (30) ведут себя

ром

как дельта-функции вблизи поверхности Ферми со-

k²

ε_±(k) =

±γk,

(37)

ответствующей зоны. Таким образом, следуя обыч-

ной процедуре линеаризации, можно искать реше-

следуя процедуре, разработанной в работе [12] и вос-

ние для отклонений функций распределения от рав-

произведенной несколько иным образом в работе

новесной в виде

[13], в пренебрежении членами порядка γk_F /ε_F по-

лучаем

∂n(ε_α)

δf_α(k) = f_α(k) - n(ε_α) = c_α(v_α · E)

(33)

∂ε_α

sinθ dθ dφdφ₂

d³k^′′d³k₂ = m³

∂n(ε2α)

2 cos(θ/2)

δf_α(k₂) = f_α(k₂)-n(ε2α) = c_α(v2α · E)

(34)

[

∂ε2α

⁽γk_F )]dε′′

× 1+O

dε2ξdε.

(38)

и т. д. Затем, умножая уравнение (29) и уравнение

ε_F

(30) соответственно на v₊ и v_- и интегрируя по k,

Здесь θ — угол между k и k₂, φ — азимутальный

мы придем к системе двух линейных алгебраичес-

угол k₂ вокруг направления k, а φ₂ — угол между

ких уравнений для коэффициентов c₊ и c_-. Однако

плоскостями (k, k₂) и (k^′, k^′′). С такой же точнос-

для установления температурной зависимости вре-

тью можно считать множители O_αβ(k, k^′) функци-

мени электронно-электронной релаксации нет необ-

ями, зависящими только от углов между векторами

ходимости воспроизводить эти громоздкие расчеты.

k, k₂, k^′, k^′′.

Для этого достаточно в уравнениях (29) и (30) оста-

Интегрирование по ε^′ν сводится к замене ε′ν =

вить только члены с δf_α(k) = f_α(k) - n(ε_α), пре-

= ε+ +ε2ξ -ε^′′ζ. Затем, выполняя интегрирование по

небрегая остальными членами, пропорциональными

ε^′′ζ и ε2ξ, получаем

δf_α(k₂), и т. д. Конечно, этот трюк отнюдь не дает

решений кинетических уравнений. Но, ввиду одина-

∂n(ε₊)

ковой зависимости от энергии всех членов в подын-

(v₊ · E)

∂ε₊

тегральном выражении, полный расчет дает ту же

= -m³[(πT)² + (ε₊ - μ)²]I₊δf₊(k),

(39)

температурную зависимость электронно-электрон-

ной релаксации, что и в результате применения ука-

занного приема. Таким образом, игнорируя не зави-

∂n(ε_-)

сящий от температуры вклад от рассеяния электро-

(v_- · E)

∂ε_-

нов на примесях, получаем

= -m³[(πT)² + (ε_- - μ)²]I_-δf_-(k),

(40)

∫

′′

∂n(ε₊)

d³k

d³k₂

(v₊ · E)

= -2πδf₊(k)

где

∂ε₊

(2π)³ (2π)³

∫

× {W₁[O+ν(k, k^′))Oν+(k^′, k))O_ξζ (k₂, k^′′)×

sinθ dθ dφdφ₂

I₊ =

{W₁[O+ν(k, k^′))Oν+(k^′, k))×

2(2π)⁵ cos(θ/2)

× O_ζξ(k^′′,k₂)] + W₂[O+ν(k,k^′))O_νξ(k^′,k₂))×

×O_ξζ(k₂, k^′′)O_ζξ(k^′′, k₂)]+W₂[O+ν(k, k^′))O_νξ(k^′, k₂))×

× O_ξζ(k₂,k^′′)Oζ+(k^′′,k)]}{n(ε^′ν)(1 - n(ε2ξ))n(ε^′′ζ)+

× O_ξζ(k₂,k^′′)Oζ+(k^′′,k)]},

(41)

+ (1 - n(ε^′ν ))n(ε2ξ)(1 - n(ε^′′ζ))} ×

× δ(ε^′ν - ε₊ - ε2ξ + ε^′′ζ),

(35)

I- получается из I+ заменой + → -. Подставляя

δf₊(k) и δf_-(k) в выражение для плотности тока

∫

∂n(ε_-)

d³k

(v_- · E)

j=e²

{v₊δf₊(k) + v_-δf_-(k)}

(42)

∂ε_-

(2π)³

∫

′′

d³k

d³k2

и выполняя интегрирование, мы приходим к выра-

= -2πδf_-(k)

× {+ -→ -}.

(36)

(2π)³ (2π)³

жению

567

В. П. Минеев

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

}

e²v2F

^{N₀₊

N0-

ляемая электронно-электронными столкновениями,

(43)

3π²m³T²

I+

I-

может быть подавлена из-за существенной анизот-

ропии поверхности Ферми.

где N0± = mk_F±/2π² — плотности состояний в зо-

нах ±. Таким образом, при условии выполнения сде-

ланных при выводе ограничений, скорость релакса-

ЛИТЕРАТУРА

ции импульса, определяемая рассеянием электронов

на электронах, и сопротивление в металлах без цен-

Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 7, 379

тра инверсии при низких температурах имеют обыч-

(1937) [Phys. Zs. Sowjetunion 10, 649 (1936)].

ную температурную зависимость, соответствующую

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Физ-

формулам (2) и (1).

матлит, Москва (2010).

Упомянутый выше полный вывод с учетом всех

членов в уравнениях (29)-(32), включая и рассеяние

R. W. Keyes, J. Phys. Chem. Sol. 6, 1 (1958).

на примесях, приводит к такой же температурной

В. Ф. Гантмахер, И. Б. Левинсон, ЖЭТФ 74, 261

зависимости проводимости.

(1978) [Sov. Phys. JETP 47, 133 (1978)].

J. Appel and A. W. Overhauser, Phys. Rev. B 18,

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

758 (1978).

В работе показано, что в металлах без центра ин-

S. S. Murzin, S. I. Dorozhkin, G. Landwehr, and

версии электронно-электронные столкновения дают

A. C. Gossard, Письма в ЖЭТФ 67, 101 (1998)

тот же вклад в низкотемпературную зависимость

[JETP Lett. 67, 113 (1998)].

сопротивления, что и в обычных металлах без на-

H. K. Pal, V. I. Yudson, and D. L. Maslov, Lith. J.

рушения пространственной четности. Предыдущие

Phys. 52, 142 (2012).

вычисления [8, 9], посвященные той же задаче, при-

вели к неверному результату (3) из-за использова-

V. P. Mineev, Phys. Rev. B 98, 165121 (2018).

ния неправильных формул для законов дисперсии

В. П. Минеев, ЖЭТФ 156, 750 (2019) [JETP 129,

электронов.

700 (2019)]; Поправка, ЖЭТФ 157, 1131 (2020)

Настоящие вычисления были выполнены в пред-

[JETP 130, 955 (2020)].

положении, что расщепление зон спин-орбитальным

взаимодействием велико по сравнению со скорос-

10.

Э. И. Рашба, ФТТ 2, 1224 (1960) [E. I.Rashba, Sov.

Phys. Sol. St. 2, 1109 (1960)].

тью рассеяния электронов на примесях и в то же

время мало по сравнению с энергией Ферми. При

11.

J. M. Ziman, Electrons and Phonons, Oxford,

этих условиях электронно-электронное рассеяние

Clarendon Press (1960).

порождает обычную квадратичную температурную

12.

A. A. Abrikosov and I. M. Khalatnikov, Rep. Progr.

зависимость удельного сопротивления при низких

Phys. 22, 329 (1959).

температурах и не вносит дополнительного вклада

в остаточное удельное сопротивление металла при

13.

G. Baym and C. Pethick, in Physics of Liquid

T = 0.

and Solid Helium, ed. by K. H. Bennemann and

Как и в обычных металлах с центром инверсии,

J. B. Ketterson, Wiley, New York (1978), Vol. 2,

квадратичная температурная зависимость, опреде-

Ch. 2.

568