ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 581-593

МУЛЬТИФЕРРОИКИ И НЕ ТОЛЬКО:

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАЗЛИЧНЫХ

МАГНИТНЫХ ТЕКСТУР

Д. И. Хомский^*

II. Институт физики, Кельнский университет

50937, Кельн, Германия

Поступила в редакцию 30 октября 2020 г.,

после переработки 20 ноября 2020 г.

Принята к публикации 20 ноября 2020 г.

Представлен краткий обзор многих нетривиальных эффектов, обусловленных взаимосвязью электричес-

ких и магнитных степеней свободы в твердых телах, начало изучения которой было положено И. Е. Дзя-

лошинским в 1959 году. Кратко рассмотрев основные физические свойства мультиферроиков, мы остано-

вимся на различных эффектах в других системах, основанных на тех же физических механизмах, которые

действуют в мультиферроиках. В частности, эти механизмы приводят к нетривиальным электрическим

свойствам различных магнитных текстур, таких как образование диполей на магнитных монополях в спи-

новом льде, на некоторых доменных стенках в обычных ферромагнетиках, на скирмионах и т. д. Также

кратко обсуждается обратный эффект: появления магнитных монополей на электрических зарядах в маг-

нитоэлектриках. Такая необычная электрическая активность различных магнитных текстур проявляется

во многих физических свойствах этих материалов и может иметь прикладное значение.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040015

тья привела к впечатляющему развитию таких на-

правлений, как магнетоэлектрики и мультиферро-

ики [5-13]. Знания, полученные при изучении этих

Электричество и магнетизм представляют собой

материалов, можно также применять для исследо-

две стороны одного и того же физического явления,

вания многих других явлений, обусловленных взаи-

что следует, например, из уравнений Максвелла. Их

мосвязью электрических и магнитных свойств мате-

сильное взаимное влияние играет большую роль как

риалов, причем не только в специальных магнито-

в фундаментальной физике, так и для практиче-

электрических и мультиферроидных соединениях,

ских приложений. Очередным поворотом в этой ис-

но и в обычных магнитных материалах с различ-

тории стало быстрое развитие спинтроники [1,2], но-

ными видами магнитных текстур, таких как маг-

вой прикладной области, в которой используется не

нитные доменные стенки, дефекты, скирмионы и

только заряд, но и спин электронов. Развитие этой

т. д., проявляющих нетривиальную электрическую

области до современного состояния можно просле-

активность. Это является темой данной статьи, ко-

дить от основополагающих работ И. Э. Дзялошин-

торая частично носит характер краткого обзора, но

ского по слабому ферромагнетизму, в которых вве-

также содержит некоторые новые результаты. Та-

дено понятие антисимметричного обмена — взаимо-

ким образом, в названии данной статьи «Мульти-

действия Дзялошинского или Дзялошинского - Мо-

ферроики и не только» акцент будет сделан на сло-

рия (ДМ) [3], и почти одновременно им была пред-

вах «не только». Следует также отметить, что в сво-

ложена идея линейного магнитоэлектрического эф-

их недавних работах Дзялошинский возвращается к

фекта [4]. Обе эти статьи оказали сильное влияние

этой теме [14-17] и, таким образом, его имя снова и

на развитие магнетизма. В частности, вторая ста-

снова возникает в этой области.

^* E-mail: khomskii@ph2.uni-koeln.de

581

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

1. МУЛЬТИФЕРРОИКИ: НЕМНОГО

кого практического использования, хотя за послед-

ИСТОРИИ

ние годы в этом направлении был достигнут огром-

ный прогресс. Но, помимо потенциальных приложе-

Начнем с очень краткого описания развития

ний, изучение этих материалов выдвинуло ряд се-

исследований в области мультиферроиков в моем

рьезных общефизических вопросов. Одним из них

представлении. Как упоминалось выше, настоящая

было первоначальное наблюдение, что в одном из

деятельность в этой области началась с публикации

самых обширных классов материалов, перовскитах

основополагающей статьи Дзялошинского [4], хотя

ABO₃, к которым принадлежит довольно много маг-

иногда также цитируется короткая фраза из гораз-

нитных систем, включая хорошо известные манга-

до более ранней статьи Пьера Кюри 1894 года [18], в

ниты с колоссальным магнитосопротивлением, та-

которой он упомянул, что нетривиальные электри-

кие как La1-xSr_xMnO₃, а также большинство ин-

ческие и магнитные свойства в принципе могут сов-

тересных и практически важных сегнетоэлектри-

мещаться в одном материале. Но это было лишь об-

ков, начиная с BaTiO₃, существует поразительное

щее заявление без привлечения каких-либо конкрет-

“взаимное исключение”: материалы, в которых пе-

ных физических идей. После сделанного Дзялошин-

реходные металлы B имеют частично заполненные

ским утверждения (вслед за коротким замечанием,

d-оболочки, являются магнитными, тогда как при

высказанным в книге [19]) о возможном существова-

незаполненной d-оболочке с конфигурацией d⁰ они,

нии в определенных магнитных системах магнито-

естественно, будут немагнитными, но могут оказать-

электрического эффекта, индуцированной магнит-

ся сегнетоэлектриками. Удивительно, но между эти-

ным полем электрической поляризации, и обратного

ми двумя большими классами материалов практи-

эффекта индуцирования намагниченности электри-

чески не было перекрытия: либо они были сегне-

ческим полем, этот эффект был очень быстро об-

тоэлектриками, либо магнетиками, но почти нико-

наружен Астровым [20] в соединении Cr₂O₃. Вско-

гда не проявляли оба свойства одновременно. Та-

ре последовало довольно быстрое развитие данной

кое dⁿ-d⁰-разделение было замечено давно, но дол-

проблемы, причем внимание привлекли не только

гое время не привлекало внимания. Я помню, что

магнетоэлектрики, в которых интересные эффекты

примерно в 1996 году рассказал об этой проблеме и

возникают во внешнем поле, но и материалы, ко-

вообще о попытках объединить в одном материале

торые в основном состоянии в отсутствие внешних

(ферро)магнитные и сегнетоэлектрические свойства

полей могут сочетать магнитные и сегнетоэлектри-

очень хорошему и чрезвычайно эрудированному фи-

ческие свойства. Такие материалы получили назва-

зику Джорджу Завадскому, с которым мы оба рабо-

ние мультиферроиков [21]. Помимо чисто научного

тали в то время в Гронингенском университете, и его

интереса, эти системы могут найти важное практи-

реакция была весьма характерной: «Это ведь очень

ческое применение, наиболее существенным из ко-

интересно! Почему мы ничего об этом не знаем?»

торых в настоящее время является потенциальная

Некоторое время спустя на программе по квантово-

возможность электрического управления магнитной

му магнетизму в KITP в Санта-Барбаре в 1998 го-

памятью в компьютерных запоминающих устрой-

ду было организовано широкое обсуждение на тему

ствах за счет эффектов, не связанных с использо-

возможного сосуществования электричества и маг-

ванием обладающих диссипацией электрических то-

нетизма. Никола Спалдин (в то время Никола Хилл)

ков. Это по-прежнему служит основным стимулом

рассказала на этой встрече о своих ab-initio расчетах

подобных исследований.

одного «подозрительного» материала BiNiO₃ [24], и

Особенно активный поиск и изучение таких си-

мы обсудили это эмпирическое наблюдение о взаим-

стем на ранней стадии исследований проводились

ном исключении сегнетоэлектричества (конфигура-

в бывшем Советском Союзе, в основном двумя

ция d⁰) и магнетизма (конфигурация dⁿ).

группами, Смоленского в Ленинграде, ныне Санкт-

Следующий важный шаг был сделан в 2001 го-

Петербург, и Веневцева в Москве, см., например,

ду, когда Никола организовала специальную сессию

[22,23]. В этих двух группах были открыты несколь-

C21 на мартовском митинге Американского физиче-

ко мультиферроиков, но их прикладное значение

ского общества, посвященную обсуждению мульти-

ограничивалось либо низкими температурами, при

ферроиков [25]. Можно сказать, что эта сессия дей-

которых такое состояние существовало, либо от-

ствительно привела к возрождению интереса к этой

носительно слабой связью между электрической и

проблеме и «прославила» мультиферроики. Дейст-

магнитной подсистемами, что до настоящего вре-

вительно, в 2007 году на мартовском митинге APS

мени остается основным препятствиям для широ-

было уже 7 специальных сессий по мультиферрои-

582

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

кам — сессий, а не докладов! В 2008 году термин

этим системам [30]. В данной работе я не буду по-

«мультиферроики» присутствовал уже в названии

дробно обсуждать эти явления, а больше сосредото-

12 сессий мартовского митинга. А началось все с

чусь на «побочных эффектах» таких исследований,

первой специальной сессии на мартовском митинга

в основном, на относительно качественном уровне,

2001 года.

уделив внимание тому, что происходит «за предела-

Однако наиболее важным был эксперименталь-

ми мультиферроиков». Однако сначала будет сделан

ный прогресс в этой области, достигнутый несколь-

краткий обзор основных эффектов и механизмов са-

ко позже, в основном тремя группами. В работе [26]

мих мультиферроиков.

были обнаружены замечательные мультиферроид-

ные свойства соединения TbMnO₃, а в работе [27] —

соединения Tb₂Mn₂O₅. Фактически это стало от-

2. МУЛЬТИФЕРРОИКИ: ОСНОВНЫЕ

крытием мультиферроиков нового вида, которые те-

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

перь называют мультиферроиками II типа — систем,

в которых сегнетоэлектричество возникает вследст-

Мультиферроики можно условно разделить на

вие определенного магнитного упорядочения, в от-

две большие группы [11]. В первую группу, кото-

личие от мультиферроиков I типа, в которых сегне-

рую можно назвать мультиферроиками I типа, вхо-

тоэлектричество и магнетизм появляются независи-

дят материалы, в которых магнетизм и сегнетоэлек-

тричество хотя и взаимосвязаны, но проявляются

мо, и чаще всего за них отвечают различные подси-

стемы и ионы. Третьим прорывом стал синтез груп-

независимо и обусловлены разными механизмами и

подсистемами. В этих материалах значения крити-

пой Рамеша тонких пленок классического мульти-

ферроика I типа BiFeO₃ [28], до сих пор остающегося

ческих температур магнитного и сегнетоэлектриче-

системой с наилучшими характеристиками и, навер-

ского переходов часто бывают довольно высокими,

ное, с лучшими перспективами для практического

причем сегнетоэлектрический переход обычно про-

применения (если говорить об одном материале, а не

исходит при более высоких температурах. Лучши-

о композитных системах, таких как, например, мно-

ми примерами мультиферроиков I типа являются

гослойные структуры, состоящие из хороших сегне-

уже упомянутый BiFeO₃, в котором T_FE = 1100 K

тоэлектриков и хороших ферромагнетиков). Плен-

и T_N = 643 K, а также гексагональные мангани-

ки, выращенные в группе Рамеша, обладали весьма

ты RMnO₃ (R — редкоземельный элемент) с T_FE ∼

впечатляющими свойствами, демонстрируя гораздо

∼ 1000 K и T_N ∼ 100 K. Магнитная и сегнетоэлект-

более сильные эффекты, чем имеющиеся в то вре-

рическая степени свободы в этих системах, разуме-

мя объемные кристаллы BiFeO₃ (хотя сейчас лю-

ется, связаны, но эта связь обычно довольно слабая.

ди достигают таких характеристик и в объемном

В мультиферроиках II типа сегнетоэлектричест-

BFO). Эти три экспериментальных прорыва наря-

во наводится определенным типом магнитного упо-

ду с осознанием некоторых фундаментальных тео-

рядочения. Первыми открытыми мультиферроика-

ретических проблем и задач привели к возрожде-

ми этого класса стали TbMnO₃ [26] и TbMn₂O₅ [27].

нию общего интереса к мультиферроикам и быстро-

Парамагнитное состояние в этих системах не явля-

му прогрессу в этой области. В настоящее время об-

ется сегнетоэлектрическим, однако сегнетоэлектри-

наружено много новых систем, и, наверное, можно

ческая поляризации может возникать при опреде-

сказать, что основные физические механизмы, обу-

ленном типе магнитного упорядочения. Именно эти

словливающие это явление, уже поняты, хотя по-

новые материалы вызвали основной общефизиче-

стоянный прогресс в этой области все еще продол-

ский интерес и привели к появлению нескольких

жается, обнаруживаются новые материалы и новые

новых физических концепций. Благодаря сильной

явления. Помимо исследования собственно мульти-

внутренней связи магнетизма и сегнетоэлектриче-

ферроиков, опыт и знания, приобретенные при их

ства эти материалы могут оказаться более многообе-

изучении, могут применяться для описания похо-

щающими с практической точки зрения. Однако, к

жих явлений в других материалах. В этой статье

сожалению, большинство из них имеют относитель-

я попробую обобщить некоторые из новых достиже-

но низкие значения критических температур, ниже

ний, хотя, конечно, невозможно полностью охватить

которых наблюдается сосуществование сегнетоэлек-

эту очень обширную область. Существует достаточ-

тричества и магнетизма.

но много общих обзорных работ по мультиферрои-

Появление электрической поляризации в неко-

кам [5-13], раздел по мультиферроикам включен в

торых конкретных магнитоупорядоченных состоя-

книгу [29], а также издана специальная книга по

ниях в мультиферроиках II типа можно объяснить

583

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

ионов i, j существует антисимметричное обменное

взаимодействие Дзялошинского - Мория (ДМ):

H_DM = -D_ij · (S_i × S_j) .

(2)

Рис. 1. а — Циклоидная магнитная структура и суммар-

Если вектор Дзялошинского D отличен от нуля,

ная электрическая поляризация. б — Механизм возник-

это взаимодействие приводит к скосу соседних спи-

новения дипольного момента (обратный механизм Дзя-

нов. Также и наоборот, если спины по какой-либо

лошинского) или поляризации для пары спинов, см. вы-

причине неколлинеарны, то для выигрыша в энер-

ражение (1). Крестиками обозначены положительно заря-

гии может оказаться выгодным искажение решет-

женные ионы переходного металла, а кружком, например,

ион O-2. Жирная зеленая стрелка показывает направле-

ки со сдвигом ионов таким образом, чтобы сделать

ние электрического дипольного момента или электриче-

D = 0. В типичных случаях, например, в перов-

ской поляризации

скитах, обменное взаимодействие между ближай-

шими магнитными ионами M_i и M_j осуществля-

ется за счет суперобмена через лиганд (например,

за счет двух основных механизмов. Одним из них

ионы кислорода), расположенный между ними, см.

является обычная магнитострикция: определенное

рис. 1б. Если этот кислород расположен точно посе-

магнитное упорядочение может нарушать инвер-

редине связи (ij), то по симметрии взаимодействие

сию, а соответствующее искажение решетки за счет

ДМ равно нулю [37]. Чтобы получить выигрыш в

магнитострикции в некоторых магнитных структу-

энергии ДМ (2), необходимо сместить такой кисло-

рах может привести к появлению электрической

род на некоторое расстояние δ перпендикулярно свя-

поляризации (см., например, [31]). Этот механизм

зи (ij), например, в направлении z, см. рис. 1б. То-

не требует наличия спин-орбитального взаимодейст-

гда возникает ненулевое взаимодействие ДМ с век-

вия. Другой, более распространенный и более инте-

тором D ∼ r_ij ×δ, так что теперь достигается выиг-

ресный механизм в мультиферроиках II типа свя-

рыш в энергии ДМ (2). Однако такое смещение от-

зан с релятивистским спин-орбитальным взаимо-

рицательно заряженных ионов кислорода в сторону

действием и больше напоминает изначальный ме-

от «центра тяжести» положительных зарядов ионов

ханизм магнитоэлектричества, предложенный Дзя-

переходных металлов M_i и M_j создает электричес-

лошинским. Существует несколько разновидностей

кий диполь или поляризацию в направлении z. Это

этого механизма (см., например, [32, 33]). Наиболее

обратный эффект Дзялошинского, который являет-

распространенным и важным для выхода «за рамки

ся основой мультиферроидного поведения во мно-

мультиферроиков» является механизм возникнове-

гих системах, и именно этот механизм может также

ния электрической поляризации в магнетиках с цик-

привести к электрической поляризации различных

лоидной магнитной структурой. Этот механизм был

магнитных текстур, таких как некоторые доменные

описан в рамках микроскопического подхода в ра-

стенки, скирмионы и т. д., что будет широко «ис-

боте [34], а также получен с использованием разло-

пользовано» в дальнейшем изложении.

жения Ландау в работе [35]. Согласно этой теории,

если спины двух соседних магнитных ионов некол-

линеарны, для этой пары ионов возникнет электри-

3. ЭЛЕКТРОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ СВЯЗИ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВА И МАГНЕТИЗМА

ческая поляризация, пропорциональная

Обычно появление электрической поляризации

P_ij = cr_ij × [S_i × S_j],

(1)

в магнитоэлектриках и мультиферроиках связано с

соответствующими сдвигами ионов в решетке. Од-

где c — некоторый коэффициент. Для циклоидной

нако такая связь может возникнуть за счет чисто

магнитной структуры, показанной на рис. 1а, возни-

электронного механизма. В частности, этот меха-

кает отличная от нуля полная поляризация, поэтому

низм может работать во фрустрированных систе-

циклоидным магнетикам присущи свойства мульти-

мах на основе треугольников из ионов переходных

ферроиков.

металлов (см. рис. 2). Если описывать d-электроны

Микроскопический механизм возникновения

в таком треугольнике с помощью обычной модели

электрической поляризации был объяснен в работе

Хаббарда

[36]. По сути он представляет собой обратный

∑

эффект Дзялошинского. Как указано в работе [3],

H = -t c^†iσc_jσ + U n_i↑n_i↓ ,

(3)

в некоторых особых группах симметрии для пары

〈ij〉,σ

584

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

соответствующим орбитальным моментом. Эти токи

существуют для некомпланарных спинов и опреде-

ляются выражением [38]:

j₁₂₃ = Cκ(123),

(5)

где κ — скалярная спиновая киральность

κ(123) = S₁ · (S₂ × S₃).

(6)

Здесь коэффициент C в невырожденной модели

Рис. 2. Образование электрической поляризации в тре-

Хаббарда равен C

= 24et³/hU². Таким образом,

угольниках с определенной спиновой структурой. Овалом

некомпланарная спиновая текстура приведет к по-

на панели б изображено синглетное состояние спинов S2,

явлению не только фиктивного магнитного поля от

S3, для которого S2 + S3 = 0 и S2 · S3 = -³⁴ (см. выраже-

фазы Берри [40], но также и реальных орбитальных

ние (4))

токов и орбитальных моментов, пропорциональных

скалярной спиновой киральности (6). Далее будут

то можно показать, что для определенных магнит-

приведены примеры этого эффекта.

ных текстур (спиновых корреляционных функций)

Физические механизмы, описанные в этом и

в треугольнике возникает перераспределение заря-

предыдущих разделах, могут быть использованы

дов таким образом, что в отличие от обычных мот-

для предсказания или объяснения не только неко-

товских изоляторов заряд на узле i не равен в точно-

торых свойств мультиферроиков, но также явле-

сти 1, а может оказаться больше или меньше 1. Со-

ний, связанных со взаимодействием электрических

ответственно, в данном случае на таком треугольни-

и магнитных степеней свободы в других случаях.

ке образуется электрический диполь, величина и на-

Это будет обсуждаться в следующих разделах.

правление которого определяется спиновой структу-

рой. Таким образом, мультиферроидное поведение

4. ДИПОЛИ НА МОНОПОЛЯХ В

обусловлено чисто электронным механизмом.

СПИНОВОМ ЛЬДЕ

В работе [38] (см. также [39]) показано, что для

треугольника при вычислении в модели (3) (для од-

В некоторых фрустрированных системах (так

ного электрона на узел с сильными корреляциями

называемом спиновом льде) было недавно обнару-

t/U ≪ 1) до третьего порядка по (t/U), заряд на

жено очень интересное явление образования воз-

узле 1 равен

буждений, обладающих свойствами магнитных мо-

нополей [41,42]. После теоретического предсказания

n₁ ∼ 1+K [S₁·(S₂+S₃)-2S₂·S₃], K = 8t³/U². (4)

таких монополей они были обнаружены и широко

Аналогичные выражения получаются для n₂, n₃.

изучены экспериментально (см., например, [43-45]).

Таким образом, если входящая в выражение (4) спи-

Подобные монополи были впервые предсказаны и

новая корреляционная функция отлична от нуля, то

наблюдались в спиновом льде на пирохлорной ре-

в треугольнике возникает перераспределение заря-

шетке Dy₂Ti₂O₇, состоящей из тетраэдров с изин-

да и образуется электрический дипольный момент

говскими магнитными ионами (в данном случае

(см. рис. 2). Этот эффект кажется довольно малень-

диспрозия) в вершинах, магнитные моменты кото-

ким, ∼ t³/U2 ≪ 1, однако можно показать, что

рых направлены к центру или от центра тетраэд-

такое же выражение справедливо в случае t ∼ U,

ров (рис. 3). Обычное основное состояние спинового

только с другим значением коэффициента K в вы-

льда соответствует конфигурации (2-in)-(2-out) (в

ражении (4). Таким образом, в общем случае этот

каждом тетраэдре два момента направлены внутрь,

чисто электронный механизм наведения электрон-

два наружу); такое распределение спинов не явля-

ной поляризации определенной магнитной тексту-

ется единственным и оказывается сильно фрустри-

рой может быть весьма значительным. (На самом

рованным. Конфигурация монополя, которая для

деле вклад искажений решетки в этом случае при-

обычного спинового льда является возбужденным

водит к такому же выражению для поляризации с

состоянием при конечной температуре, но также

той же зависимостью от спиновой структуры [39].)

может быть стабилизирована внешним магнитным

Достаточно интересно, что в такой же ситуации

полем, соответствует состоянию (3-in)-(1-out) (мо-

для некоторых спиновых текстур в треугольниках

нополю μ с магнитным зарядом внутри тетраэд-

могут также возникать спонтанные круговые токи с

ра +2Q, где каждый спин представляется в виде

585

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Рис. 4. Возникновение электрического диполя на магнит-

Рис. 3. Возникновение электрических диполей (жирные зе-

ном треугольнике, из которых образованы кагоме-системы

леные стрелки) для монополей (а) и антимонополей (б)

с состоянием спинового льда

на тетраэдрах с ионами металлов в вершинах, из которых

образована пирохлорная решетка с состоянием спинового

льда. Здесь и далее монополи изображены розовым, а ан-

тимонополи голубым цветом

пары магнитных зарядов (+Q, -Q)), или состоянию

(1-in)-(3-out) (антимонополю μ с зарядом -2Q). Та-

кие монополи и антимонополи могут перемещаться

в спиновом льде на пирохлорной решетке за счет пе-

Рис.

5. Спонтанный ток (тонкая круговая стрелка) и

реворачивания некоторых спинов, оставляя след из

соответствующий орбитальный момент (жирная голубая

перевернутых спинов, но вследствие присущего со-

стрелка) на магнитном монополе в пирохлорном спиновом

стоянию спинового льда спинового беспорядка, та-

льде. Поскольку выражение (6) нечетно по спинам, токи и

кие струны не обладают жесткостью (энергия не

орбитальные моменты в монополях и антимонополях на-

растет линейно с длиной струны, как в случае со-

правлены в разные стороны, в отличие от электрических

стояния с дальним порядком), т. е. между такими

диполей

объектами отсутствует притяжение, поэтому моно-

поли и антимонополи могут существовать в крис-

талле как независимые возбуждения.

диполи и их следствия действительно наблюдались

Это относится к магнитным степеням свободы

экспериментально в Dy₂Ti₂O₇ и Tb₂Ti₂O₇ [47,48]. В

в таких системах. Однако в рамках подхода, опи-

сильном магнитном поле H ∥ [111] на каждом узле

санного в предыдущем разделе [см. выражение (4)],

спинового льда появляются упорядоченные монопо-

можно показать, что в этом случае с каждым маг-

ли и антимонополи, и, соответственно, дипольные

нитным монополем будет связан электрический ди-

моменты на каждом тетраэдре будут упорядочены

антисегнетоэлектрическим образом [46].

поль [46]. Действительно, из выражения (4) сле-

дует, что для обычных состояний спинового льда

Аналогичный эффект должен существовать и в

(2-in)-(2-out) [а также для состояний (4-in) или

спиновом льде на решетке кагоме (рис. 4). В отличие

(4-out)] суммарный дипольный момент отсутствует.

от пирохлоров, здесь монопольная [(2-in)-(1-out)]

Но из этого же выражения сразу видно, что в мо-

или антимонопольная [(1-in)-(2-out)] конфигурации

нополях и антимонополях будет ненулевой электри-

существуют на каждом треугольнике уже в основ-

ческий дипольный момент (жирная зеленая стрел-

ном состоянии. Поэтому из уравнения (4) следу-

ка), направленный в сторону «выделенного» спина

ет, что на каждом треугольнике существуют элек-

(красная стрелка на рис. 3 — спин наружу в моно-

трические диполи. В реальном основном состоянии

поле, спин внутрь в антимонополе). (Поскольку вы-

спинового льда спиновые конфигурации, то есть в

ражение (4) является четным по спинам, переворот

данном случае монополи и антимонополи, являют-

всех спинов при переходе от монополя к антимоно-

ся случайными, поэтому связанные с ними диполи

полю не меняет направление диполя.) Такие элект-

также будут случайными и флуктуирующими.

рические диполи на каждом магнитном монополе в

С помощью уравнений (5), (6) можно показать,

обычном спиновом льде оказываются случайными и

что на магнитных монополях в пирохлорном спино-

динамическими и вносят дополнительную электри-

вом льде также существуют спонтанные токи и ор-

ческую активность в состояние с монополями. Такие

битальные моменты (рис. 5). В состоянии спинового

586

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

льда с возбужденными монополями они являются

случайными и динамическими. [Следует отметить,

что в отличие от диполей, токи также существу-

ют в тетраэдрах с обычной спиновой конфигурацией

(2-in)-(2-out)].

5. ФРАГМЕНТИРОВАННЫЙ МОМЕНТ И

ДИПОЛИ

Интересным поворотом в этой истории являет-

ся сделанное недавно предположение [49] о том,

что в спиновом льде может существовать новое со-

стояние с фрагментированными спинами или маг-

нитными моментами. Эта идея основана на разло-

жении Гельмгольца намагниченности на безвихре-

вую и бездивергентную компоненты, первая из кото-

рых фактически описывает распределение магнит-

ных монополей — источников магнитного поля в си-

стеме.

Рис. 6. Спиновый лед на решетке кагоме с фрагменти-

рованным моментом. В спиновом льде на пирохлорной

M(r) = M_mono + M_ice = -∇ρ + curl A,

(7)

решетке такое состояние выглядит аналогично [49, 53].

где ρ(r) — плотность магнитных зарядов («монопо-

Электрические диполи также показаны жирными зелены-

лей»), а второе слагаемое представляет собой без-

ми стрелками

дивергентную часть намагниченности, соответству-

ющую исходной конфигурации спинового льда с со-

стоянием (2-in)-(2-out) с нулевым полным магнит-

ется сосуществование в одной спиновой системе как

ным зарядом на каждом тетраэдре. (Естественно,

упорядоченных (монополи), так и неупорядоченных

разложение (7) не противоречит уравнениям Макс-

(сами спины) компонент. Столь необычная ситуация

велла, в частности div B = 0, так как B = H+4πM

определяет также необычные свойства дефектов и

и div H = -4π div M, см., например, работу [50].)

доменных границ в этих системах. В любом упоря-

При этом наиболее интересной особенностью яв-

доченном состоянии необходимо учитывать дефек-

ляется возможность существования нетривиально-

ты или возбуждения, нарушающие идеальный по-

го частично упорядоченного состояния, в котором

рядок, а также возникновение доменов и доменных

монополи и антимонополи существуют и полностью

стенок [54]. В данном случае можно также созда-

упорядочены в основном состоянии, тогда как сами

вать точечные дефекты разных типов, например,

спины по-прежнему разупорядочены (см. рис. 6 для

«обратный» монополь, т. е. заменять антимонополь

спинового льда на решетке кагоме с фрагментиро-

на монополь, или возбуждения нового типа, такие

ванными моментами [51,52]).

как состояние с тремя спинами внутрь («супермо-

Возникает вопрос, что станет с дипольной элект-

нополь» с магнитным зарядом 3Q внутри треуголь-

рической активностью в таком состоянии. Можно

ника) в спиновом льде на решетке кагоме, в кото-

показать [53], что в таких состояниях диполи будут

ром на каждом треугольнике есть монополи и ан-

по-прежнему существовать, но не в свободном ви-

тимонополи (с зарядами ±Q) в упорядоченном со-

де, а всегда объединенными в пары (d, -d) (рис. 6).

стоянии с фрагментированными моментами. Можно

Таким образом, переход в состояние с фрагмен-

также формировать доменные стенки в двухподре-

тированными моментами приводит к уменьшению

шеточном упорядоченном состоянии μ-μ (такие как

электрической активности, например, микроволно-

доменные стенки в антиферромагнетике). При этом

вого поглощения. Спонтанные токи и соответствую-

все подобные дефекты или текстуры сосуществуют

щие орбитальные моменты на монополях также объ-

с сохранившимся спиновым беспорядком!

единяются, в данном случае в пары (L, L) с парал-

Можно показать, что такие дефекты или домен-

лельными орбитальными моментами L [53].

ные стенки также могут изменять электрические

Существенной особенностью состояния с фраг-

свойства. На первый взгляд может показаться, что

ментированными моментами в спиновом льде явля-

каждый такой дефект приводит к образованию сво-

587

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Рис. 7. Электрические диполи на дефектах в состоянии спинового льда с фрагментированными моментами на решетке

кагоме (в пирохлорах ситуация аналогична) [53]. а — Типичная ситуация для дефектов и доменных стенок: видно, что

как минимум в одном из двух соседних треугольников с монополями имеется непарный диполь. б — «Супермонополь-

ный» дефект (треугольник с тремя спинами внутрь). Путем перестановки спинов можно убрать непарные диполи. в —

Образование непарных диполей при замене антимонополя на монополь. г — Один из типов доменной стенки в состоянии

с упорядоченными монополями, на которой возникают непарные диполи

бодных диполей: в состоянии с фрагментированны-

типы дефектов, например замена μ на μ, обязатель-

ми моментами диполи объединяются в пары (d, -d),

но приводят к образованию непарных диполей (да-

дефекты удаляют из пары один диполь, а второй

же сразу трех в спиновом льде на решетке кагоме,

остается непарным. Но на самом деле это не всегда

рис. 7в, и четырех в пирохлорах). Типичная кон-

так. Например, «супермонополь» (состояние с тре-

фигурация таких дефектов представляет собой пару

мя спинами внутрь на треугольнике в спиновом льде

соседних монополей, см. рис. 7а. Видно, что в таком

на решетке кагоме или с четырьмя спинами внутрь

случае должен возникнуть хотя бы один непарный

на тетраэдре в пирохлоре) не может создать такие

диполь, что приводит к появлению непарных дипо-

свободные диполи: используя оставшуюся свободу

лей на дефекте, изображенном на рис. 7в. Непарные

спинов, можно «переставить» их таким образом, что

диполи могут также возникать на доменных стенках

свободные диполи исчезают, см. рис. 7б. Но другие

различного типа, см., например, рис. 7г. Вероятно,

588

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

это можно использовать для управления, ориенти-

рования и перемещения таких дефектов или домен-

ных стенок с помощью (неоднородного) электриче-

ского поля, что потенциально может быть полезно

для некоторых приложений.

Рис. 8. Электрические диполи на неелевской доменной

стенке в ферромагнетике

6. ДИПОЛИ И МАГНИТНЫЕ ТЕКСТУРЫ В

ОБЫЧНЫХ МАГНЕТИКАХ: ДОМЕННЫЕ

СТЕНКИ, СКИРМИОНЫ И Т. Д.

При рассмотрении мультиферроиков мы видели,

что в определенных спиновых конфигурациях, на-

пример, циклоидных, должны возникать электриче-

ские диполи или поляризация, см. рис. 1а. Но такая

же локальная спиновая конфигурация может суще-

ствовать во многих других ситуациях, например, в

доменных стенках неелевского типа в обычных фер-

ромагнетиках (см. рис. 8). Магнитную структура та-

кой доменной стенки можно представить в виде ча-

сти циклоиды, т. е. согласно выражению (1) она так-

же должна иметь отличную от нуля электрическую

поляризацию [35]. Следовательно, можно подумать

о воздействии на такие доменные стенки электри-

ческим полем, что было предложено в работе [14].

Рис. 9. Схема эксперимента из работы [55], показывающе-

Такая же идея возникла ранее у группы авторов из

го движение доменной стенки неелевского типа в обычном

ферромагнитном диэлектрике при приложении импульса

Московского университета, которые провели соот-

напряжения, создающего неоднородное электрическое по-

ветствующие эксперименты [55]. Используя пленки

ле в образце. Красными стрелками показаны спины, жир-

обычного магнитного граната, хорошего ферромаг-

ные зеленые стрелки — электрические диполи на доменной

нитного изолятора с температурой T_c выше комнат-

стенке

ной, авторам этой работы удалось наблюдать дви-

жение неелевских доменных стенок при приложе-

нии к образцу неоднородного электрического поля,

Этот эффект был объяснен в работе [57] в рам-

просто создаваемого импульсом напряжения в за-

ках микроскопического подхода с учетом взаимо-

остренной медной проволоке, расположенной вбли-

действия Дзялошинского - Мория, которое должно

зи пленки (см. рис. 9): электрические диполи, суще-

присутствовать на поверхности, которая, естествен-

ствующие на неелевских доменных стенках, притя-

но, нарушает инверсию. Однако качественно этот

гивались в область более сильного электрического

эффект очень просто объясняется за счет того же

поля вблизи острия. Этот идейно простой, но кра-

механизма, что и возникновение электрической по-

сивый эксперимент подтверждает основные физи-

ляризации в циклоидальных структурах. Как пока-

ческие идеи, впервые разработанные при изучении

зано на рис. 1а, циклоидальная структура приводит

мультиферроиков, что теперь может быть использо-

к возникновению электрической поляризации, на-

вано во многих других случаях.

правленной в плоскости циклоиды перпендикулярно

На основе тех же физических принципов взаи-

ее направлению. Обратно, если в системе существу-

мосвязи магнитных и электрических степеней сво-

ет собственная поляризация или собственное элек-

боды в некоторых магнитных текстурах можно так-

трическое поле, это приводит к образованию цик-

же объяснить эксперимент по созданию спираль-

лоидальной магнитной структуры. Такое электри-

ных магнитных структур в тонких магнитных сло-

ческое поле всегда существует на поверхности ме-

ях на поверхности немагнитных металлов. Было об-

талла из-за двойного слоя или перепада потенциа-

наружено, что магнитная структура монослоя мар-

ла (работы выхода). Поэтому можно ожидать, что

ганца на поверхности вольфрама оказывается цик-

вместо коллинеарной магнитной структуры в этом

лоидальной вместо ожидаемой коллинеарной [56].

случае возникнет циклоидальная структура с опре-

589

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Рис. 10. Электрические диполи на скирмионах. Считается, что в объеме спины направлены вверх, а в центре скирмиона

вниз. По мере приближения к центру спины (красные стрелки) поворачиваются таким образом, что на некоторой «сред-

ней» окружности оказываются в плоскости xy: а — блоховский скирмион, б — неелевский скирмион. Из выражения (1)

следует, что в обоих случаях возникают радиальные электрические диполи (жирные зеленые стрелки)

деленным направлением вращения спинов. Именно

леные стрелки на рис. 10). (Для неелевских скир-

это наблюдалось в работе [56]. Такое вращение спи-

мионов также должна возникать полная поляриза-

на связано с проигрышем в энергии анизотропии,

ция, перпендикулярная плоскости скирмиона.) При

поэтому слишком сильная анизотропия, например,

приложении напряжения к наконечнику создается

легкоплоскостная (которая часто имеет место в маг-

неоднородное электрическое поле. Его радиальная

нитных пленках) может подавлять образование цик-

составляющая будет взаимодействовать с радиаль-

лоид. Однако если анизотропия не слишком сильна,

ными диполями скирмионов и, в зависимости от по-

образование циклоид становится возможным. Поми-

лярности, приведет либо к выигрышу, либо к про-

мо магнитных спиралей в подобных случаях могут

игрышу в энергии. Поэтому действительно можно

возникать магнитные скирмионы, которые наблю-

ожидать, что поле одной полярности стабилизирует

дались в двойном слое железа на иридии [58].

скирмионы под иглой, а поле противоположной по-

лярности препятствует их возникновению. Эта прос-

Еще один интересный эффект на основе тех же

тая картина может объяснить экспериментальное

физических принципов был обнаружен при прило-

наблюдение [58].

жении к системе неоднородного электрического по-

ля. По сути этот эксперимент аналогичен описанно-

му выше эксперименту группы МГУ. В работе [59]

7. ДИПОЛИ НА СПИНОВЫХ ВОЛНАХ

(см. также [60]) было обнаружено, что скирмио-

ны можно создавать при помощи иглы туннельного

С помощью использованного в предыдущем раз-

микроскопа под электрическим напряжением, при-

деле подхода можно также предсказать нетривиаль-

чем только при одной полярности. По крайней ме-

ный эффект даже для обычных спиновых волн в

ре качественно это наблюдение можно снова объяс-

ферромагнетиках. Боголюбов давно задавался во-

нить описанным выше физическим механизмом. Су-

просом [62], существует ли какой-нибудь нетриви-

ществует два типа скирмионов: в одних спины вра-

альный электрический эффект, обусловленный спи-

щаются как в блоховских доменных стенках, так что

новыми волнами. Он фактически рассмотрел то, что

в середине скирмиона они направлены вдоль окруж-

позже стало известно как модель Хаббарда, и при-

ности, см. рис. 10а, а в других — как в неелевс-

менил ее по теории возмущений, предвосхищая, в

ких доменных стенках, и тогда спины на «средней»

частности, гораздо более позднюю трактовку свер-

окружности направлены от центра или к центру,

хобмена Андерсоном, Гуденафом и другими. Далее

см. рис. 10б. Используя выражение (1), можно по-

он задал вопрос, могут ли магноны (если рассматри-

казать [61], что в таких текстурах будут появляться

вать их не в чисто магнитных моделях, а вернуться

локальные электрические диполи, причем в обоих

к первоначальному электронному описанию) нести

случаях диполи будут направлены радиально (зе-

небольшой электрический заряд. В некотором смыс-

590

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

Рис. 11. Возникновение электрического диполя на магноне

в ферромагнетике

ле рассмотрение в работе [38] по духу напоминает

Рис. 12. Образование магнитного монополя (радиально-

этот старый подход Боголюбова. Его вывод оказал-

го магнитного поля) на заряде в магнитоэлектрическом

ся несколько двусмысленным: он не получил ника-

материале (с ненулевыми диагональными компонентами

кого реального тока, переносимого магнонами, но в

магнитоэлектрического тензора αij )

его результатах фактически содержались выраже-

ния, эквивалентные токам из-за спиновой кирально-

сти. Недавно аналогичный вопрос был рассмотрен в

отбора или могут привести к некоторым другим по-

работе [63] для конкретного случая с токами сдвига

добным эффектам.

в мультиферроиках. Было получено, что в опреде-

ленных ситуациях на магнонах действительно могут

существовать нетривиальные электрические эффек-

8. МОНОПОЛИ НА ЗАРЯДАХ В

ты.

МАГНИТОЭЛЕКТРИКАХ

Используя описанный выше подход, в частности,

В предыдущих разделах мы обсудили несколько

выражение (1) для электрической поляризации ско-

случаев, в которых определенные магнитные текс-

шенных спинов, можно привести соображения, что

туры приводят к возникновению электрических ди-

обычные спиновые волны, например, в ферромагне-

полей или токов. Однако существует и обратный

тиках будут обладать электрической активностью,

эффект: в некоторых случаях электрические заря-

однако они будут нести не электрический заряд, а

ды могут вызывать магнитный отклик и, в частнос-

электрические диполи [11]. В самом деле, квазиклас-

ти, приводить к образованию магнитных монополей

сическое представление магнона, мгновенный сни-

[16, 64]. Это происходит в магнитоэлектриках. Дей-

мок которого показан на рис. 11, состоит в том, что

ствительно, рассмотрим магнитоэлектрик с диаго-

спины слегка отклонены от направления средней на-

нальным магнитоэлектрическим тензором α_ij . За-

магниченности z и прецессируют вокруг него, при-

ряд, помещенный в такой материал, создает ради-

чем в спиновой волне эта структура «движется» с

альное электрическое поле, но из-за магнитоэлек-

определенной скоростью.

трического эффекта также появится намагничен-

Если посмотреть на структуру, изображенную на

ность

рис. 11, сразу становится понятно, что в то вре-

∑

M_i = α_ijE_j.

(8)

мя как z-компонента намагниченности постоянна

(и лишь немного меньше M_max), перпендикулярные

xy-компоненты намагниченности образуют в точно-

В случае диагонального магнитоэлектрического

сти такую циклоиду, как на рис. 1! Поэтому из того

тензора α_ij эта намагниченность также окажется

же выражения (1) можно ожидать появления элек-

радиальной и будет иметь форму эллипсоида. Из

трических диполей на обычных спиновых волнах,

того же разложения Гельмгольца (7) видно, что

изображенных на рис. 11. Если создать пакет спино-

она будет иметь безвихревую компоненту (сфери-

вых волн, то при движении в образце он будет пере-

ческую часть моментов, показанную на рис. 12),

носить не только намагниченность, но и перпенди-

и бездивергентную компоненту квадрупольного

кулярный электрический диполь. Трудно предста-

вида. Первая компонента эквивалентна наличию

вить, какие экспериментальные проявления можно

магнитного монополя на месте пробного заряда.

ожидать от наличия таких диполей; возможно, они

Существование таких монополей может приве-

могут вносить вклад, например, в рамановское рас-

сти к ряду нетривиальных последствий, в частно-

сеяние света на магнонах за счет изменения правил

сти для транспортных свойств таких систем [64].

591

Д. И. Хомский

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Можно также обнаружить экспериментально изме-

11.

D. I. Khomskii, Physics (Trends) 2, 20 (2009).

римые эффекты путем размещении и передвижения

12.

K. F. Wang, J.-M. Liu, and Z. F. Ren, Adv. in Physics

зарядов над поверхностью таких магнитоэлектри-

58, 321 (2009).

ков. Зеркальный заряд, создаваемый при этом внут-

ри магнитоэлектрика, приведет к образованию маг-

13.

N. A. Spaldin and R. Ramesh, Nat. Mater. 18, 203

нитного монополя, магнитное поле которого вне об-

(2019).

разца может быть измерено экспериментально. Та-

14.

I. Dzyaloshinskii, Europhys. Lett. 83, 67001 (2008).

кие измерения, подтвердившие данную картину, бы-

ли выполнены недавно в работе [17], соавтором ко-

15.

I. Dzyaloshinskii, Europhys. Lett. 96, 17001 (2011).

торой является И. Е. Дзялошинский.

16.

M. Fechner, N. A. Spaldin, and I. E. Dzyaloshinskii,

Phys. Rev. B 89, 184415 (2014).

В заключение можно сказать, что в различных

магнитных текстурах действительно существуют

17.

Q. N. Meier, M. Fechner, T. Nozaki et al., Phys. Rev.

разнообразные и очень интересные электрические

X 9, 011011 (2019).

эффекты. Это еще одно проявление нетривиаль-

18.

P. Curie, J. Phys. Theor. Appl. 3, 393 (1894).

ного взаимодействия магнитных и электрических

степеней свободы в твердых телах, открытого

19.

L. D. Landau and E. M. Lifshits, Electrodynamics

Дзялошинским более 50 лет назад, но до сих пор

of Continuous Media, Fizmatlit, Moscow (2001) (in

преподносящего все новые и новые сюрпризы.

Russian).

20.

D. N. Astrov, Sov. Phys. JETP 11, 708 (1609).

Благодарности. Я благодарен многим колле-

гам, с которыми долгое время сотрудничал по во-

21.

H. Schmid, Ferroelectrics 162, 317 (1994).

просам, обсуждаемым в этой статье.

22.

G. A. Smolenskii and I. E. Chupis, Sov. Phys. Usp.

Финансирование. Работа выполнена при под-

25, 475 (1982).

держке Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG,

Немецкий исследовательский фонд), проект

23.

Y. N. Venevtsev and V. V. Gagulin, Ferroelectrics

№277146847-CRC 1238.

162, 23 (2994).

24.

N. A. Hill and K. M. Rabe, Phys. Rev. B 59, 8759

(1999).

ЛИТЕРАТУРА

25.

Bull. Amer. Phys. Soc., Section C 21 (2001).

1. M. Ziese, M. J. Thornton, Eds., “Spin Electronics”,

Lecture Notes in Physics, v.

569, Springer,

26.

T. Kimura et al., Nature 426, 55 (2003).

Heidelberg-Berlin (2001).

27.

N. Hur et al., Nature 429, 392 (2004).

2. I. Zutič and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 76, 323

28.

J. Wang et al., Science 299, 1719 (2003).

(2004).

29.

D. I. Khomskii, Transition Metal Compounds, Cam-

3. I. Dzyaloshinskii, J. Phys. Chem. Sol. 4, 41 (1958).

bridge Univ. Press, Cambridge (2014).

4. I. E. Dzyaloshinskii, Sov. Phys. JETP 10, 628 (1959).

30.

Multiferroic Materials: Properties, Techniques and

5. M. Fiebig, J. Phys. D: Appl. Phys. 38, R123 (2005).

Applications, ed. by Juling Wang, CRC Press, Taylor

and Francis Group, Boca Raton-London-New York

6. D. I. Khomskii, J. Magn. Magn. Mater. 306, 1 (2006).

(2016-2017).

7. W. Ehrenstein, N. Mazur, and J. Scott, Nature 442,

31.

J. van den Brink and D. I. Khomskii, J. Phys.

759 (2006).

Condens. Matter 20, 434217 (2008).

8. S.-W. Cheong and M. Mostovoy, Nat. Mater. 6, 1

32.

Y. Tokura, Sh. Seki, and N. Nagaosa, Rep. Prog.

(2007).

Phys. 77, 076501 (2014).

9. R. Ramesh and N. A. Spaldin, Nat. Mater. 6, 21

33.

R. Ono, S. Nikolaev, and I. Solovyev, Phys. Rev.

(2007).

B 102, 064422 (2020).

10. Special issue of J. Phys. Condens. Matter 20, 434201

34.

H. Katsura, N. Nagaosa, and A. V. Balatsky, Phys.

(2008).

Rev. Lett. 95, 057205 (2005).

592

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Мультиферроики и не только: электрические свойства. . .

35.

M. V. Mostovoy, Phys. Rev. Lett. 96, 067601 (2006).

51.

G. Moller and R. Moessner, Phys. Rev. B

80,

140409(R) (2009).

36.

I. A. Sergienko, C. Sen, and E. Dagotto, Phys. Rev.

Lett. 97, 227204 (2006).

52.

G.-W. Chern, P. Mellado, and O. Tchernyshyov,

Phys. Rev. Lett. 106, 207202 (2011).

37.

T. Moriya, Phys. Rev. 120, 91 (1960).

53.

D. I. Khomskii, arXiv:2010.11149 (2020).

38.

L. N. Bulaevskii, C. D. Batista, M. V. Mostovoy, and

D. I. Khomskii, Phys. Rev. B 78, 028402 (2008).

54.

D. I. Khomskii, Basic Aspects of the Quantum Theory

of Solids: Order and Elementary Excitations, Cam-

39.

D. I. Khomskii, J. Phys. Cond. Matter 22, 164209

bridge Univ. Press, Cambridge (2010).

(2010).

55.

A. S. Logginov et al., JETP Lett. 86, 115 (2007);

40.

Y. Taguchi, Y. Oohara, H. Yoshizawa, N. Nagaosa,

Appl. Phys. Lett. 93, 182510 (2008).

and Y. Tokura, Science 291, 2573 (2001).

56.

M. Bode et al., Nature 447, 190 (2007).

41.

I. A. Ryzhkin, J. Exp. Theor. Phys. 101, 481 (2005).

57.

P. Ferriani et al., Phys. Rev. Lett. 101, 027201

42.

C. Castelnovo, R. Moessner, and S. L. Sondhi, Nature

(2008).

451, 42 (2008).

58.

J. Sassmannshausen, A. Kubetzka, P.-J. Hsu,

43.

D. J. P. Morris et al., Science 326, 411 (2009).

K. von Bergmann, and R. Wiesendanger, Phys. Rev.

44.

T. Fennel et al., Science 326, 415 (2009).

B 98, 144443 (2018).

45.

E. Mengotti et al., Nat. Phys. 7, 68 (2010).

59.

P.-J. Hsu et al., Nat. Nanotechnol. 12, 123 (2017).

46.

D. I. Khomskii, Nat. Commun. 3, 904 (2012).

60.

A. Rosch, Nat. Nanotechnol. 12, 103 (2017).

47.

C. P. Grams, M. Valldor, M. Garst, and J. Hember-

ger, Nat. Commun. 5, 4853 (2014).

61.

K. T. Delaney, M. Mostovoy, and N. A. Spaldin, Phys.

Rev. Lett. 102, 157203 (2009).

48.

F. Jin, C. Liu, A. Zhang, X. Wang, X. G. Chen,

X. Sun, and Q. Zhang, Phys. Rev. Lett. 124, 087601

62.

N. N. Bogoliubov, Lectures on quantum statistics,

(2020).

Vol. 1, Gordon and Breach, New York-London-Paris

(1967).

49.

M. E. Brooks-Bartlett, S. T. Banks, L. D. C. Jaubert,

A. Harman-Clarke, and P. C. W. Holdsworth, Phys.

63.

T. Morimoto and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 100,

Rev. X 4, 011007 (2014).

235138 (2019).

50.

S. T. Bramwell, Phil. Trans. R. Soc. A 370, 5738

64.

D. I. Khomskii, Nat. Commun. 5, 4793 (2014).

(2012).

593

ЖЭТФ, вып. 4