ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 656-670

АНИЗОТРОПИЯ МАГНИТНЫХ ФАЗ

КУБИЧЕСКИХ ГЕЛИМАГНЕТИКОВ

В. А. Чижиков^*

Федеральный научно-исследовательский центр «Кристаллография и фотоника» Российской академии наук

119333, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 ноября 2020 г.,

после переработки 20 ноября 2020 г.

Принята к публикации 3 декабря 2020 г.

Магнитные фазы кубических хиральных ферромагнетиков с взаимодействием Дзялошинского - Мория

(MnSi, Cu2OSeO3) исследуются в рамках микроскопического и феноменологического подходов. Показа-

но, что взаимодействие магнитных моментов атомов с локальным кристаллическим полем приводит к

возникновению кубического анизотропного члена в энергии Ландау - Лифшица вида M4x +M4y +M4z (M —

поле намагниченности). Этот член отвечает за существование геликоидальной фазы при близком к нулю

магнитном поле, а в более высоких полях может вносить вклад в устойчивость магнитной фазы A. Про-

ведено моделирование фазы A при разных магнитных полях. Показано, что при включении магнитного

поля спирали в геликоидальной фазе приобретают эллиптическую и коническую составляющие.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040076

ческой спиновой структры важно как для приложе-

ний (спинтроника, мультиферроики [13-15]), так и

для фундаментальных проблем, таких как тополо-

1. ВВЕДЕНИЕ

гический эффект Холла [16].

Начиная с открытия хиральных магнитных

Спиральный порядок в природе возникает в

очень непохожих друг на друга системах, от физики

свойств MnSi в

1976

г. [17, 18] по сегодняшний

день наиболее часто используемым методом опи-

конденсированного состояния до биологии [1], и слу-

жит важным примером примитивной самоорганиза-

сания и предсказания закрученных магнитных

структур остается феноменологическая теория,

ции. Эта самоорганизация может создавать доволь-

основанная на свободной энергии Ландау - Лифши-

но сложные структуры, такие как голубые фазы в

ца с добавочным членом, впервые предложенным

холестерических жидких кристаллах [2,3] или скир-

Дзялошинским [19, 20]. Однако данный подход, в

мионные текстуры в хиральных кубических магне-

котором используются наши знания о симметрии

тиках (MnSi, MnGe, Fe1-xCo_xSi, Cu₂OSeO₃ и др.)

физической системы, ничего не может сказать о

[4-9]. При этом в физике столь различных систем

наблюдается замечательное сходство [10-12]. Тем не

значениях входящих в свободную энергию коэф-

фициентов и о том, как они связаны с реальными

менее в каждом отдельном случае за возникновение

макроскопической спирали ответственны свои соб-

межатомными взаимодействиями.

ственные микроскопические механизмы, и требует-

Микроскопические теории, такие как модель

ся приложить немалые усилия для их отыскания.

классического гейзенберговского ферромагнетика

В частности, необходимо установить взаимосвязь

со спин-орбитальным членом, изначально разрабо-

между параметрами локальных взаимодействий в

танная Мория [21,22], в свою очередь обладают тем

системе и ее конечной структурой. Например, пер-

недостатком, что количество переменных, включа-

вый вопрос — что определяет период и направление

ющее спины всех магнитных атомов, бесконечно, и

спиралей? С другой стороны, описание микроскопи-

поэтому эти модели сложно использовать в любых

аналитических расчетах. Тем не менее, несмотря на

^* E-mail: chizhikov@crys.ras.ru

некоторые сомнения в справедливости модели Гей-

656

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

зенберга для зонных магнетиков, она часто исполь-

будет показано, как микроскопические причины,

зуется для численного моделирования [12, 23-25].

в частности взаимодействие спинов с локальным

Для этой модели необходимо знать параметры меж-

кристаллическим полем, могут вызывать появление

спиновых взаимодействий: константы J_ij изотроп-

анизотропных членов в энергии. Также будут

ного обмена между i-м и j-м атомами и (псев-

рассмотрены некоторые следствия анизотропии, в

до)векторы D_ij антисимметричного обмена Дзяло-

том числе ориентация спиралей в геликоидальной

шинского - Мория. Эти параметры можно получить

фазе, преимущественные направления намагни-

двумя способами: из сравнения теоретических ре-

чивания конической фазы и вклад анизотропии в

зультатов с экспериментальными данными и посред-

устойчивость фазы A кубических гелимагнетиков.

ством вычислений ab initio [26,27].

Два этих подхода, микроскопический и феноме-

нологический, на протяжении многих лет исполь-

2. КУБИЧЕСКИЕ ХИРАЛЬНЫЕ

зовались для описания одних и тех же магнитных

ФЕРРОМАГНЕТИКИ

структур, хорошо дополняя друг друга. Тем не ме-

Гелимагнетики представляют собой особый под-

нее осуществить корректный переход от одной мо-

вид магнитных кристаллов, в которых локаль-

дели к другой долго не удавалось даже для такого

ное упорядочение спинов (ферро-, ферри- или ан-

простого случая, как MnSi. Здесь переход, в частно-

тиферромагнитное) сопровождается закруткой на

сти, подразумевает выражение констант, входящих

в энергию Ландау - Лифшица континуальной моде-

масштабах, много больших элементарной ячейки.

Причиной столь необычного поведения может слу-

ли, через параметры J_ij , D_ij гейзенберговской моде-

ли. Обратный переход, очевидно, неоднозначен в си-

жить, например, конкуренция между ферро- и анти-

ферромагнитным обменными взаимодействиями на

лу большого числа микроскопических параметров.

В работах [28, 29] такой переход был впервые осу-

фрустрированной решетке спинов. В данной рабо-

те мы сосредоточимся на другой возможной при-

ществлен для кристаллов MnSi в приближении вза-

чине появления закрученных магнитных структур,

имодействия ближайших соседей. Важным побоч-

а именно, на антисимметричном обмене Дзялошинс-

ным результатом этой работы стало предсказание

кого - Мория. Рассмотрим ряд условий, способству-

и описание антиферромагнитных спиновых скосов,

которые являются неотъемлемой особенностью маг-

ющих возникновению гелимагнетизма такого рода.

нитной структуры закрученных ферромагнетиков,

1) Низкая симметрия межатомных связей обу-

влияющей на волновое число k спиновых спиралей.

словливает возникновение взаимодействия Дзяло-

Далее подход был сначала расширен за счет уче-

шинского - Мория между магнитными атомами. За-

та взаимодействий со следующими соседями в MnSi

метим, что внутри одного кристаллического класса

[30] и, наконец, обобщен на случай других кубиче-

более низкой симметрией атомных позиций и связей

ских гелимагнетиков, включая Cu₂OSeO₃ [31]. Для

обладают кристаллы несимморфных групп.

мультиферроика Cu₂OSeO₃ спиновые скосы играют

2) Отсутствие зеркальной и инверсионной сим-

дополнительную важную роль, осуществляя связь

метрии приводит к возникновению магнитных спи-

магнитной структуры с электрической поляризаци-

ралей с определенным направлением закрутки —

ей [32].

правых или левых геликоид. В принципе, закрут-

Однако программа объединения микроскопиче-

ка может возникать и в кристаллах с центром ин-

ского и феноменологического описаний кубических

версии как следствие спонтанного нарушения сим-

хиральных ферромагнетиков пока остается не

метрии. Однако в первом случае дополнительного

вполне завершенной. Хотя высокая симметрия

нарушения симметрии не требуется и спиральные

кристаллической решетки и позволяет в отдельных

структуры возникают закономерно.

случаях полагать магнитные свойства системы изо-

3) Поскольку взаимодействие Дзялошинско-

тропными, слабая кубическая анизотропия может

го - Мория является слабым спин-орбитальным

проявлять себя, например, в ориентации магнитной

эффектом, оно проявляется лучше на фоне ослаб-

структуры относительно кристаллических осей.

ленного изотропного обмена. Как следствие,

Анизотропные члены вносят меньший вклад в

гелимагнетики обычно имеют низкую температуру

энергию Ландау - Лифшица, чем взаимодействие

перехода от парамагнитного порядка к магнитному.

Дзялошинского - Мория, тем не менее именно

Рассмотренные в данной работе кристаллы,

они отвечают за существование геликоидальной

MnSi и Cu₂OSeO₃, удовлетворяют вышеперечислен-

фазы в слабом магнитном поле. В данной работе

ным условиям. Оба обладают кубической хиральной

657

ЖЭТФ, вып. 4

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

На рис. 1 схематично изображена фазовая диа-

грамма хирального кубического ферромагнетика.

При температурах намного ниже точки Кюри вы-

деляют три фазы — геликоидальную, коническую

и поляризованную ферромагнитную — с фазовыми

переходами по магнитному полю между ними. Эти

фазы, различающиеся главным образом по поведе-

нию магнитной восприимчивости, структурно весь-

ма похожи. Действительно, геликоидальную и по-

ляризованную структуры можно считать частными

случаями конической: в первой из них равна нулю

высота конуса, во второй — радиус его основания.

Рис. 1. Фазовая диаграмма кубического хирального фер-

Фактически геликоида приобретает коническую со-

ромагнетика. Ниже критической температуры TC сущест-

ставляющую уже при приложении минимального

вует ряд фаз, зависящих от магнитного поля. Критические

магнитного поля, а критическое значение поля Hc1

поля Hc1 и Hc2 разделяют геликоидальную, коническую

определяется, как будет обсуждаться позднее, пере-

и поляризованную ферромагнитную фазы. Вблизи точки

ориентацией оси спирали вдоль направления поля.

Кюри находится область существования загадочной фазы

A с двойной закруткой

Наиболее интригующей фазой безусловно явля-

ется так называемая фаза A, возникающая вблизи

точки Кюри при промежуточных значениях магнит-

несимморфной пространственной группой P 2₁3 и

ного поля [34-41]. Расположение на фазовой диа-

низкой температурой перехода из парамагнитной

грамме позволяет предположить, что за появление

фазы A отвечают механизмы, схожие с теми, что

в упорядоченную ферро- (MnSi, TC = 29 К) или

ферри- (Cu₂OSeO₃, T_C = 58 К) магнитную фазу.

приводят к появлению голубых фаз в холестери-

ческих жидких кристаллах. В настоящий момент

Другое замечательное свойство этих кристал-

считается установленным, что фаза A представляет

лов заключается в том, что, благодаря высокой то-

собой треугольную решетку стабилизированных по-

чечной симметрии, спиновые спирали могут почти

лем линейных топологических дефектов — скирми-

свободно ориентироваться магнитным полем вдоль

онов (рис. 2а) [4-7,35,42,43]. Намагниченность в фа-

произвольного направления. Вследствие этого в ку-

зе A закручена вокруг ориентированных вдоль маг-

бических гелимагнетиках наблюдается интересное

нитного поля ядер скирмионов, а на самих ядрах —

фазовое разнообразие [8,9].

опрокинута против поля. Очевидная энергетическая

невыгодность этого опрокидывания компенсируется

выгодой от двойной закрутки поля намагниченно-

2.1. Фазовая диаграмма

сти, что углубляет аналогию с голубыми фазами.

В кристаллах типа MnSi и Cu₂OSeO₃ темпера-

На рис. 2б показана элементарная ячейка магнитной

туру фазового перехода из парамагнитного состоя-

структуры фазы A с элементами симметрии. Компо-

ния в магнитное часто называют точкой Нееля,

нента намагниченности вдоль поля обозначена цве-

подразумевая при этом, что, благодаря пространст-

товым градиентом, проекция поля намагниченности

венным осцилляциям поля намагниченности, сум-

на плоскость — стрелками. Всем осям симметрии со-

марный магнитный момент геликоидальной фазы

ответствуют сингулярности, в которых намагничен-

равен нулю. Однако правильнее было бы опреде-

ность строго параллельна магнитному полю: осям

лить магнитное состояние не как антиферромагне-

6 — вихри-скирмионы, осям 3 — вихри, осям 2 — ан-

тик, а как «закрученный ферромагнетик» и, соот-

тивихри (2π-дисклинации). Кроме того, симметрия

ветственно, температуру перехода как точку Кюри,

включает магнитные псевдооси 2^′, перпендикуляр-

поскольку это состояние характеризуется ненулевой

ные полю. Магнитная группа p62^′2^′ [44].

локальной намагниченностью, а периоды осцилля-

ций во много раз превышают параметр элементар-

2.2. Микроскопический и

ной ячейки кристалла. Это, в частности, позволяет

феноменологический подходы

отличить данный случай от случая «закрученного

антиферромагнетика», который также встречается

Закрученные магнитные структуры хиральных

в природе [33].

кубических ферромагнетиков, таких как MnSi и

658

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

Рис. 2. (В цвете онлайн) Фаза A хирального кубического ферромагнетика (а) и ее элементарная ячейка с элементами

симметрии (б). Цветовой градиент обозначает проекцию намагниченности на направление магнитного поля: красный —

по полю, синий — против поля. Стрелки — проекции поля намагниченности на плоскость, перпендикулярную полю

Cu₂OSeO₃, могут описываться в рамках микроско-

где суммирование по i теперь ведется по атомам

пического подхода, основанного на энергии Гейзен-

внутри элементарной ячейки. Здесь r_ij = r_j - r_i —

берга [23], либо феноменологически с энергией Лан-

расстояния между некими идеальными положения-

дау - Лифшица [45, 46]. Энергия гейзенберговского

ми двух атомов, также называемыми «обменными»

магнетика имеет вид

[30, 31], которые находятся из системы уравнений

∑∑

∑

(-J_ij s_i · s_j + D_ij · [s_i × s_j ]) -

J_ijr_ij = 0.

(5)

∑

- gμ_B H · s_i,

(1)

Заметим, что константы J и D не могут зависеть

от реальных координат атомов, поскольку реальные

где суммирование ведется по магнитным атомам (i)

координаты не входят в выражение для энергии (1).

и их соседям (j), s — классические спины (|s| = 1),

При выводе формул (2)-(4) за единицу длины при-

J_ij — константы изотропного обмена, D_ij — псевдо-

нимался период кристаллической решетки. Предпо-

векторы Дзялошинского - Мория. В работах [28-31]

лагается, что изменения магнитной структуры про-

был осуществлен переход от соотношения (1) к вы-

исходят на масштабах, много больших элементар-

ражению для плотности энергии Ландау - Лифши-

ной ячейки кристалла. Плотность энергии в про-

извольных единицах измерения длины есть E/V_u.c.,

ца:

где V_u.c. — объем ячейки.

∂μ ∂μ

E =

+ Dμ · [∇ × μ] - M₀H · μ,

(2)

Формулы (3) и (4) позволяют вычислить из пер-

∂r_α ∂r_α

вых принципов волновое число магнитных спира-

лей, k = D/J . В закрученных ферромагнетиках

где μ = M/M — направление вектора намагничен-

J > 0 и знак k, определяющий направление закрут-

ности; здесь предполагается, что плотность магнит-

ки геликоид, совпадает со знаком псевдоскаляра D.

ного момента имеет постоянное абсолютное значе-

Таким образом, выражение (4) устанавливает связь

ние |M(r)| ≈ M₀, что практически верно при темпе-

между структурной хиральностью кристалла и хи-

ратурах достаточно ниже точки Кюри. Коэффици-

ральностью его магнитных свойств. Эта связь иссле-

енты J и D вычисляются согласно формулам [31]

довалась экспериментально и теоретически в целом

∑∑

ряде работ [47-52].

J =

J_ij r2ij,

(3)

Есть одна особенность микроскопической спино-

вой структуры, которая не описывается феномено-

∑∑

логической теорией. Она заключается в том, что

D=-

D_ij · r_ij,

(4)

каждый спин s_i отклоняется от направления по-

659

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

ля намагниченности μ(r_i) в точке, где он находит-

Поскольку |μ| = 1, то δμ ⊥ μ и равенство (10) вы-

ся [29]:

полняется, если h_eff ∥ μ, или

s_i = μ + Δs_i⊥ + Δs_i∥,

(6)

μ = h_eff/h_eff,

(12)

где Δs_i⊥ — перпендикулярный к μ малый скос, а

Δs_i∥ = -(Δs_i⊥)²μ/2 — вызванное скосом уменьше-

где знак выбран таким образом, чтобы соответство-

ние проекции спина на направление намагниченно-

вать известному решению для конической спирали,

сти. В первом приближении имеем

когда μ = h_eff .

Δs_i⊥ = ((r_i - r_i) · ∇)μ + [ρ_i × μ],

(7)

Энергия (9) является «изотропной» в том смыс-

ле, что она не зависит от ориентации магнитной

где первое слагаемое связано с разницей реальных

структуры относительно кристаллических осей. Тем

и обменных координат атомов, а второе описывает

не менее известные решения (11), (12), такие как

скосы спинов из-за взаимодействия Дзялошинско-

геликоида, коническая фаза и фаза A, имеют бо-

го - Мория; углы скосов ρ вычисляются из уравне-

лее низкую симметрию, чем сами уравнения. Изот-

ний [31]

∑

ропия же уравнений приводит к тому, что эти низ-

J_ij(ρ_i - ρ_j) =

D_ij.

(8)

косимметричные решения могут быть ориентирова-

ны произвольным образом относительно кристалла.

Скосы дают вклад в энергию (2), учтенный в конс-

Как будет показано в разд. 5, добавление к выра-

тантах J и D.

жению (9) анизотропных членов может привести

к выбору преимущественной ориентации решений.

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением

3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

изотропного случая, не считая нескольких общих за-

МАГНИТНЫХ ФАЗ

мечаний, которые необходимо сделать, говоря о ге-

ликоидальной фазе.

Выражение (2) для плотности энергии содержит

несколько физических констант, что создает впечат-

3.1. Коническая фаза

ление многопараметричности задачи. Можно, одна-

ко, перейти к безразмерным величинам, используя

С точностью до констант и дивергентных членов

замены

плотность энергии (9) можно переписать в виде

r_new =

r_old, E_new =

E_old

D²

E =

(μ + [∇ × μ] - h)² +

(∇ · μ)².

(13)

и вводя параметр

JM₀

Очевидно, что энергия имела бы минимум для сов-

h≡

D²

Hc2

местного решения уравнений

где Hc2 — критическое поле, выше которого магнит-

μ + [∇ × μ] = h, ∇ · μ = 0.

(14)

ная структура вырождается до однородной. Тогда

формула (2) преобразуется к виду

Такое решение существует и представляет собой за-

1 ∂μ

∂μ

крученную вдоль поля коническую спираль:

E =

+ μ · [∇ × μ] - h · μ,

(9)

2 ∂r_α ∂r_α

μ = sinθ(e1 cosz + e2 sinz) + e3 cosθ,

(15)

и задача становится однопараметрической, причем

все нетривиальные магнитные фазы, включая гели-

где {e₁, e₂, e₃} — ортонормированный базис, z ≡

коидальную, коническую фазы и фазу A, помеща-

≡ r · e₃ — координата вдоль оси спирали, e₃ ∥ h

ются в диапазоне 0 ≤ h < 1.

и cosθ = h. Заметим, что двойная закрутка вектора

Приравнивая нулю вариацию энергии магнитной

μ может оказаться локально более выгодной, одна-

структуры, получаем

ко, благодаря пространственным фрустрациям, гло-

∫

бальный минимум энергии достигается на структу-

δE dV = - (h_eff · δμ)dV = 0,

(10)

ре, закрученной вдоль одного направления. Среднее

значение магнитного момента направлено вдоль по-

где

ля, 〈μ〉 = h, и, таким образом, коническая фаза име-

h_eff (μ) = Δμ - 2[∇ × μ] + h

(11)

ет скалярную магнитную восприимчивость χ_c = 1

— действующее на μ эффективное локальное поле.

(χ_c = M₀/Hc2 в размерных величинах).

660

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

Подставляя выражение (15) в (9), получим плот-

cosθ вдоль оси n и эллиптическую составляющую

ность энергии конической спирали:

〈cos ϕ〉 ≈ m/8 вдоль e₁:

〈μ〉 = (〈cos ϕ〉, 0, cos θ) ≈ (h_⊥/2, 0, h_∥),

(20)

E_c = -

(16)

или, в произвольной установке,

При h ≥ 1 конус схлопывается (cos θ = 1) и кони-

ческая фаза переходит в поляризованную. При этом

(h · n)n

магнитная восприимчивость резко убывает, χ → 0,

〈μ〉 =

(21)

и ее отличие от нуля теперь обусловлено сохраняю-

щимися скосами магнитных моментов, которые мед-

Средняя по коническо-эллиптической спирали

ленно уменьшаются при увеличении поля.

плотность энергии равна

h²

3.2. Геликоидальная фаза

〈E_ce〉 = -

cos2γ,

(22)

В области малых магнитных полей, h ≲ hc1 ≡

где γ — угол между магнитным полем и направле-

≡ Hc1/Hc2 ≪ 1, вследствие кубической анизотро-

нием оси спирали.

пии кристалла ось магнитной геликоиды выстраи-

В многодоменной структуре при h → 0 и оди-

вается вдоль кристаллографического направления

наковой встречаемости доменов с разными n усред-

〈100〉 или 〈111〉 в зависимости от знака коэффици-

нение выражения (21) по точечной группе 23 дает

ента при анизотропном члене [45, 46]. Как прави-

〈μ〉 = 2h/3 (использовано 〈n_αn_β〉₂₃ = (1/3)δ_αβ), т. е.

ло, структура распадается на домены, характеризу-

магнитная восприимчивость геликоидальной фазы

ющиеся выбором одного из эквивалентных направ-

составляет две трети от восприимчивости коничес-

лений оси. Направление магнитного поля может не

кой фазы. Этот результат был получен эксперимен-

совпадать с направлением волнового вектора, что

тально [54-56]. При увеличении h домены постепен-

должно приводить к искажению геликоиды. Так, ес-

но переориентируются в направлении магнитного

ли магнитное поле перпендикулярно оси, то гелико-

поля, и магнитная восприимчивость должна испы-

ида переходит в эллиптическую спираль, подобную

тать скачок вблизи h = hc1, для того чтобы намаг-

той, что возникает в холестерических и хиральных

ниченность могла выйти на режим 〈μ〉 = h для ко-

смектических жидких кристаллах при схожих усло-

нической спирали. Из выражения (21) тензор маг-

виях [53]. В случае, когда поле направлено вдоль ге-

нитной восприимчивости спирали в близком к нулю

ликоиды, появляется коническая спираль с высотой

магнитном поле может быть записан как

конуса 〈μ〉 = h. Легко предположить, что при про-

извольной взаимной ориентации поля и оси спирали

χ_αβ = χ_∥n_αn_β + χ_⊥(δ_αβ - n_αn_β),

в области малых h будет возникать коническо-эл-

липтическая спираль, описываемая выражением

χ_∥ = χ_c, χ_⊥ = χ_c/2.

μ = sinθ(e1 cosϕ + e2 sinϕ) + e3 cosθ,

(17)

В работах [56,57] этот результат был получен в при-

ближении среднего поля.

где ось спирали направлена по e₃ ≡ n и при h =

= (h_⊥, 0, h_∥) в базисе {e₁, e₂, e₃} тригонометричес-

кие функции ϕ выражаются через эллиптические

4. ФАЗА A

функции Якоби:

Наибольший интерес у исследователей вызывает

cosϕ = 2sn²(λz; m) - 1,

фаза A, устойчивая в ограниченной области фазо-

(18)

sinϕ = -2sn(λz; m)cn(λz; m),

вой диаграммы T-H [35,36,38-40]. По шкале темпе-

ратур она представлена в узкой области ниже точки

где z — координата вдоль оси спирали. Минимизи-

Кюри, что роднит ее с голубыми фазами холестери-

руя энергию, в первом приближении по малому па-

ческих жидких кристаллов. Очевидно, как и в слу-

раметру h получим

чае холестериков, для устойчивости фазы A важна

возможность изменения абсолютной величины па-

cosθ ≈ h_∥, m ≈ 4h_⊥, λ ≈ 1/2 + h_⊥/2

(19)

раметра порядка (здесь — намагниченности) вбли-

(см. Приложение). Средний по структуре маг-

зи критической температуры. По магнитному полю

нитный момент имеет коническую составляющую

фаза A расположена вблизи Hc2/2 и снизу и сверху

661

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

ограничена конической фазой. Нейтронографиче-

при k = 1. Однако, вследствие того что сумма (24)

ские исследования показывают, что фаза A раскла-

включает спирали с волновыми числами, кратны-

дывается на три перпендикулярные полю спирали с

ми k₀, «энергетическое давление» высоких гармоник

углами 2π/3 между ними [35-37,40,41]. Структурно

должно приводить к уменьшению величины k₀, ко-

ее часто описывают как треугольную решетку ли-

торая, таким образом, должна быть меньше едини-

нейных топологических дефектов — скирмионов, об-

цы. Отметим, что нейтронографические исследова-

ладающую гексагональной симметрией [7,35,42,43].

ния, как правило, не показывают высоких гармоник,

Оси скирмионов параллельны полю, а намагничен-

что объясняется малым удельным весом последних.

ность меняется в плоскости, перпендикулярной по-

лю.

4.1. Простая модель с тремя геликоидами

Распределение намагниченности в фазе A можно

разложить в ряд Фурье:

Рассмотрим в качестве примера примитивную

∑

модель фазы A, имеющей ненулевую среднюю на-

μ(r) =

μ_k exp(ik · r),

(23)

магниченность μ₀ ∥ h и шесть главных гармоник с

k₀ = 1, образующих три спирали с углами 2π/3 меж-

где векторы k раскладываются по базису обратной

ду ними. Примем, что выполняется условие норми-

решетки:

ровки (26), при этом нарушается более общее усло-

(

√

)

вие унимодулярности (25). Минимизация выраже-

k₁ = k₀(1, 0, 0), k₂ = k₀

ния (24) дает μ₀ = h и среднюю плотность энергии,

в точности равную плотности энергии (16) кониче-

ской фазы. Подчеркнем, что данный результат воз-

k₀ — волновое число главных спиралей, видимых в

можен только благодаря отказу от условия унимо-

нейтронографическом эксперименте. Условие дейст-

дулярности.

вительности поля μ(r) сводится к μ-k = μ∗k.

Поле намагниченности имеет вид

Усредняя плотность энергии (9) по пространству,

находим выражение

∑

∑(

)

μ(r) = he₃ +

{μ_s exp(ik_s · r) + c.c.},

(27)

〈E〉 =

k²|μ_k|² + ik · [μ_k × μ∗k]

-h·μ₀,

(24)

s=1

k=0

≡ h/h, индекс «s» нумерует спирали, волно-

где e₃

которое в отсутствие дополнительных условий легко

вые векторы

минимизируется спиралями вида

(

√

)

Re μ_k ⊥ Im μ_k ⊥ k,

| Re μ_k| = | Im μ_k|.

k₁ = (1, 0, 0), k2,3 =

,±

Однако дополнительное усложнение вытекает из

условия унимодулярности поля μ(r), которое запи-

а амплитуды задаются выражением

сывается в виде свертки:

√

{

1-h²

∑

μ_s =

exp(iφ₀)(-e₃ + i[k_s × e₃]),

(28)

1, k = 0,

μk-k′ · μ_k′ =

(25)

0, k = 0.

k^′

удовлетворяющим условию нормировки. Что каса-

В частности, при k = 0 это приводит к условию нор-

ется условия унимодулярности, то оно хорошо удов-

мировки

летворяется в некоторой области вблизи h = 1/2.

∑

〈μ²(r)〉 =

|μ_k|² = 1.

(26)

Решим, например, задачу минимизации величины

〈(μ² - 1)²〉 = 〈μ⁴〉 - 1, характеризующей отклонение

поля μ от унимодулярности. Из (27), (28) получаем

С учетом условия (25) минимизация выражения (24)

становится непростой задачей, которую приходится

выражение

решать численным моделированием.

〈μ⁴〉 - 1 = (1 - h²) ×

Скажем несколько слов о волновом числе k₀

главных спиралей. Часто утверждают, что |k₀| =

[

]

√

= |D|/J (в принятых здесь безразмерных едини-

× (19h² + 5)/12 - h

3(1 - h²) cos 3φ0 ,

(29)

цах k₀ = 1), т. е. спирали фазы A имеют тот же пе-

риод, что и коническая фаза. Действительно, каж-

имеющее минимум при φ₀ = 0, что соответству-

дое слагаемое в круглых скобках в (24) минимально

ет гексагональной симметрии и расположению ядра

662

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

скирмиона в вершине элементарной ячейки (реше-

ния φ₀ = ±2π/3 приводят к смещению начала ко-

ординат). Таким образом, из данной модели следу-

ет гексагональная симметрия скирмионной решет-

ки. Минимум 〈μ⁴〉-1, приблизительно равный 0.029,

достигается при h = 0.409, что хорошо согласуется

с расположением фазы A на фазовых диаграммах,

получаемых в экспериментах.

4.2. Численное моделирование фазы A

Рис. 3. (В цвете онлайн) Разность 〈EA〉 - Ec средних плот-

Поскольку энергия (9) достигает минимума на

ностей энергий фазы A (моделирование) и конической фа-

конической фазе, для моделирования фазы A необ-

зы как функция величины магнитного поля h и волнового

ходимо минимизировать энергию при дополнитель-

числа главных спиралей k0. Энергия конической фазы вы-

ных условиях, задающих точечную симметрию и пе-

числена для k = 1. Желтые точки соответствуют глобаль-

риодичность. Из экспериментов по дифракции ней-

ному минимуму энергии фазы A при заданном значении

поля

тронов известно, что фаза A имеет ось 6-го или, воз-

можно, 3-го порядка, параллельную приложенному

магнитному полю [35-37, 40, 41]. В перпендикуляр-

му, что периоды решетки не будут меняться при из-

ной полю плоскости структура периодическая с ба-

менении поля, но будут сохранять свои значения,

зисом обратной решетки

полученные в момент возникновении фазы A. По-

(

√

)

этому имеет смысл проводить моделирование в за-

k₁ = k₀(1, 0, 0), k₂ = k₀

висимости не от одного, а сразу от двух параметров:

h и k₀.

Учитывая (12), устойчивое состояние можно искать

На рис. 3 показаны результаты вычисления сред-

методом медленного дрейфа унимодулярного поля

ней плотности энергии фазы A в зависимости от h

μ в направлении эффективного поля h_eff(μ). В ка-

и k₀. Энергия отсчитывается от энергии конической

честве стартового состояния можно взять, напри-

фазы (16) при том же значении магнитного поля

мер, поле простой модели из предыдущего раздела,

и k = 1. Желтая кривая отмечает глобальный ми-

приведя его к унимодулярному: μ → μ/μ.

нимум энергии при заданном значении поля. Вид-

Вариационный метод позволяет отыскать лишь

но, что разница энергий минимальна в некоторой

локально устойчивую магнитную структуру, но не

окрестности h = 1/2, что соответствует области су-

минимизирует полную энергию системы. Это, в

ществования фазы A, наблюдаемой в эксперименте.

частности, означает, что невозможно определить пе-

В этой области оптимальное значение k₀ достига-

ет максимума, приблизительно равного 0.978. Отме-

риод структуры и обратную ему величину k₀. Одна-

ко, при заданных амплитудах μ_k, равновесный пе-

тим, что соответствующее минимуму энергии зна-

риод может быть вычислен минимизацией энергии

чение k₀ всегда меньше единицы, что объясняется

(24), представляющей собой квадратичную функ-

давлением со стороны высоких гармоник.

цию k₀. Заметим, что изменение k₀ не приведет к на-

На рис. 4 изображены дифракционные картины

рушению условия унимодулярности (25). Для отыс-

фазы A по результатам моделирования для несколь-

кания глобального минимума энергии необходимо

ких пар параметров h, k₀. Площади изображающих

чередовать процесс дрейфа и вычисление k₀. Од-

пики кругов пропорциональны квадратам ампли-

нако нельзя утверждать, что наблюдаемая в экс-

туд |μ_k|². Центральный пик соответствует квадра-

перименте фаза A достигает минимума энергии.

ту средней намагниченности μ²⁰ фазы A. Парамет-

Действительно, поскольку фаза A представляет со-

ры k₀ = 0.978, h = 0.41 соответствуют минимальной

бой решетку скирмионов, любое изменение перио-

разнице энергий 〈E_A〉-E_c. Для сравнения приведены

дичности приводит к рождению/уничтожению то-

две дифракционные картины для структур с тем же

пологических дефектов — процессу, который без на-

периодом, вычисленные при других значениях поля

рушения непрерывности может происходить толь-

(h = 0, h = 0.8). Видно, что большая устойчивость

ко на границе кристалла. Сложность образова-

фазы A связана с меньшим весом высоких гармо-

ния/уничтожения скирмионов может привести к то-

ник. Отметим, что оптимальная для существования

663

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

скирмионов, где намагниченность направлена про-

тивоположно магнитному полю. При этом в центре

ядра наблюдается небольшой прогиб как следствие

двойной закрутки. Усредненная по ячейке энергия

〈E_A〉 обозначена на рисунке желтым уровнем. Синий

уровень соответствует энергии E_c конической фазы

при том же значении поля. Видно, что, несмотря

на сильную неоднородность распределения энергии,

разница 〈E_A〉 - E_c очень мала. Как следствие, любой

неучтенный физический фактор может повлиять на

устойчивость фазы A, сделав ее энергетически более

выгодной, чем коническая фаза. Среди таких фак-

торов следующие:

1) флуктуации намагниченности вблизи точки

Кюри (как уже было замечено, этим может объяс-

няться температурный диапазон существования фа-

Рис. 4. (В цвете онлайн) Дифракционные картины фа-

зы A по результатам моделирования. Площади кружков

зы A);

пропорциональны квадратам амплитуд |μ_k|². Параметры

2) влияние поверхности (по всей видимости, это

k0 = 0.978, h = 0.41 отвечают наименьшей разности энер-

один из главных факторов устойчивости фазы A в

гий между фазой A и конической фазой при k = 1

тонких пленках [38,39,58]);

3) дискретность распределения магнитных ато-

мов;

4) неучтенные в энергии члены более высоких

порядков малости, в том числе члены с кубической

анизотропией.

Последняя из перечисленных выше возможнос-

тей, а именно влияние анизотропных членов на

устойчивость фаз хирального кубического ферро-

магнетика, будет рассмотрена в следующем разде-

ле.

5. КУБИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ

Рис. 5. (В цвете онлайн) Распределение плотности энергии

фазы A по элементарной ячейке по результатам моделиро-

Можно предложить два различных механизма

вания с параметрами h = 0.41, k0 = 0.978. Для сравнения

появления анизотропных членов в энергии Лан-

показаны средняя плотность энергии 〈EA〉 (желтый уро-

дау - Лифшица. Первый связан с взаимодействи-

вень) и энергия конической фазы Ec при том же значении

ем каждого магнитного момента по отдельности с

поля (синий уровень)

неким локальным кристаллическим полем на ато-

ме, к которому он привязан. Другой механизм —

коллективный — не требует привлечения дополни-

фазы A величина магнитного поля h ≈ 0.41 близ-

тельных взаимодействий кроме уже рассмотренных

ка к значению, полученному в простой модели трех

изотропного обмена и антисимметричного обмена

геликоид.

Дзялошинского - Мория. Здесь анизотропия возни-

В отличие от конической фазы с ее всюду одина-

кает как следствие топологических свойств решет-

ковой плотностью энергии, энергия фазы A нерав-

ки взаимодействующих магнитных моментов, обла-

номерно распределена по элементарной ячейке. На

дающей кубической симметрией. В реальных кри-

рис. 5 показана плотность энергии по результатам

сталлах одновременно могут действовать оба этих

моделирования фазы A для наиболее устойчивого

механизма, однако здесь мы ограничимся рассмот-

случая с параметрами h = 0.41, k₀ = 0.978. Как и

рением лишь более простого первого случая. Заме-

ожидалось, плотность энергии максимальна вблизи

тим, что в этом случае анизотропные члены энергии

664

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

Ландау - Лифшица не содержат пространственных

межатомной связи. Второе слагаемое в фигурных

производных от намагниченности.

скобках, имеющее четвертый порядок по намагни-

На микроскопическом уровне энергию взаимо-

ченности, дает вклад в (31).

действия спина s с локальным кристаллическим по-

Для случая хиральных ферромагнетиков струк-

лем можно задать выражением

турного типа B20 (MnSi и др.) коэффициент в вы-

ражении (31) имеет вид

E_l.c.f. =

A_αβs_αs_β +

B_αβγδs_αs_βs_γs_δ,

(30)

3A2xy

α=-∑

B_xxxx,

(35)

где тензоры A и B обладают следующими свойства-

J_ij

ми: 1) они симметричны по перестановкам индек-

где в знаменателе сумма по j берется по всем сосе-

сов; 2) они обладают симметрией атомной позиции;

3) след A и любая свертка B по двум индексам

дям произвольного магнитного момента (i).

равны нулю (A_αα = B_ααγδ = 0). Тензоры, относя-

При переходе к безразмерному выражению (9)

щиеся к атомам в эквивалентных позициях, связа-

для плотности энергии коэффициент α преобразу-

ны преобразованиями симметрии точечной группы

ется как α_new = (J /D²)α_old.

кристалла. В общем случае тензоры A и B имеют

Добавление к плотности энергии (9) анизотроп-

соответственно пять и девять независимых компо-

ного члена (31) вызывает два вида изменений маг-

нент; для атомов, лежащих на оси 3, соответственно

нитной структуры. Во-первых, энергия низкосим-

одну (A_xy) и три (B_xxxx, B_xxxy, B_xxxz).

метричных фаз теперь зависит от их ориентации.

Для того чтобы получить кубическую анизо-

Это может приводить к повороту магнитной струк-

тропную поправку к энергии Ландау - Лифшица (2),

туры как целого, а при малых полях — к выстраива-

необходимо просуммировать (30) по всем магнит-

нию ее вдоль выделенного кристаллографического

ным моментам внутри элементарной ячейки.

направления. Во-вторых, это может вызывать иска-

Из соображений симметрии видно, что первый

жение магнитной структуры. Остановимся на этом

анизотропный член в плотности энергии имеет вид

подробнее.

Введение анизотропного члена (31) изменит эф-

E_a = α(μ4x + μ4y + μ4z).

(31)

фективное локальное поле на величину

Может показаться, что тензор A не должен давать

h(1)eff (μ) = -4α(μ3x, μ3y, μ3z),

(36)

вклада в это выражение, однако это не так. Вклад от

A возникает благодаря скосам, возникающим из-за

что исказит исходную магнитную структуру. Будем

взаимодействия спинов с локальным кристалличе-

искать поле намагниченности в виде

ским полем. Эти скосы могут быть вычислены по

μ²¹

аналогии со скосами (7), (8), возникающими из-за

μ=μ₀ +μ₁ -

μ₀,

(37)

взаимодействия Дзялошинского - Мория. Они име-

ют вид

где μ₀ — исходное решение системы (11), (12), μ₁ —

Δs_i⊥ = Θ_i · μ - μ(μ · Θ_i · μ),

(32)

слабое искажение порядка α, μ₁ ⊥ μ₀. Выпишем по-

где Θ_i — тензоры, вычисляемые из уравнений

правки к плотности энергии первого и второго по-

∑

рядков по α:

J_ij(Θ_i - Θ_j) = -A_i,

(33)

Ea1 = α(μ40x + μ40y + μ40z),

(38)

где сумма по j берется по атомам, соседним с i-м.

Тензоры Θ_i обладают теми же свойствами симмет-

1 ∂μ₁ ∂μ₁

рии, что и A_i. Скосы (32) вносят в плотность энер-

Ea2 =

+ μ₁ · [∇ × μ₁]+h(0)eff(μ₀)μ1

2 ∂r_α ∂r_α

гии вклад

+ 4α(μ30xμ1x + μ30yμ1y + μ30zμ1z).

(39)

∑∑

J_ij{μ · Θ2ij · μ - (μ · Θ_ij · μ)²},

(34)

Видно, что искажения структуры сказываются на

энергии, начиная с членов второго порядка по ма-

где сумма по i берется по всем магнитным атомам

лой величине α. В основном же анизотропия прояв-

в элементарной ячейке, а Θ_ij ≡ Θ_i - Θ_j — симмет-

ляется в зависимости энергии магнитной фазы от ее

ричный бесследовый тензор, имеющий симметрию

ориентации относительно кристаллических осей.

665

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

уже говорилось, магнитная структура разбивается

на отдельные домены, различающиеся выбором од-

ного из нескольких эквивалентных направлений оси

геликоиды. При достижении магнитным полем кри-

тического значения Hc1 доменная структура разру-

шается и спирали переориентируются вдоль поля.

Переориентация спиралей представляет собой слож-

ный процесс, зависящий от направления приложен-

ного магнитного поля и предыдущей истории доме-

нов [56, 59].

Зная Hc1, можно оценить величину коэффици-

ента α. Из (22) видно, что в зависимости от угла

γ между направлением магнитного поля и осью ко-

ническо-эллиптической спирали энергия может ме-

няться в диапазоне ΔE_ce = h²/4. С другой стороны,

Рис. 6. Средняя плотность энергии анизотропии коничес-

энергия анизотропии (40) конической спирали меня-

кой фазы, ориентированной вдоль направлений 〈111〉 и

ется в диапазоне ΔE_a = |α|/4 (h ≪ 1) в зависимости

〈100〉 (случай α > 0). Ось легкого намагничивания ко-

от ориентации оси спирали относительно кристалли-

нической фазы меняет направление при значениях поля

ческой решетки. Приравнивая ΔE_ce и ΔE_a, оценим

0.340Hc2 и 0.861Hc2

√

величину критического поля как hc1 ≈

|α|, или

5.1. Коническая фаза

α ≈ ±(Hc1/Hc2)²,

(42)

Учет малой анизотропной поправки (31) к плот-

где знак выбирается в зависимости от ориентации

ности энергии не приведет к сильному искажению

геликоид при нулевом поле. Так, для кристалла

конической спирали, но средняя энергия будет те-

MnSi Hc1 ≈ 0.1 Тл, Hc2 ≈ 0.6 Тл и, следовательно,

перь зависеть от ориентации оси спирали относи-

α ≈ 1/36.

тельно осей кристалла. Действительно, усредняя E_a

по магнитной структуре (15) при произвольном на-

правлении оси спирали n ≡ e₃ = h/h, получим

5.3. Фаза A

[

]

〈E_a〉 =

3ξ + (8 - 5ξ)(n4x + n4y + n4z)

(40)

Как и в предыдущих случаях, вычисление сред-

ней плотности энергии анизотропии фазы A сводит-

где

ся к вычислению величины 〈μ4x + μ4y + μ4z〉. С этой

ξ = 1 + 6h² - 7h⁴.

(41)

целью введем симметричный тензор четвертого ран-

га с компонентами

Видно, что направление n, соответствующее ми-

нимуму энергии, зависит от знака коэффициента

M_αβγδ = 〈μ_αμ_βμ_γμ_δ〉

(43)

α(8 - 5ξ). Множитель (8 - 5ξ) дважды меняет знак

на отрезке 0 < h < 1, а именно в точках 0.340 и

0.861, и вместе с ним меняется выгодное направле-

в системе координат, связанной с фазой A. Обозна-

чим оси этой системы координат как e₁, e₂, e₃ ≡

ние намагничения (рис. 6). Магнитный эксперимент

с торсионными весами, проведенный при темпера-

≡ n = h/h; для определенности вектор e₁ направлен

вдоль волнового вектора k₁. За декартовыми осями,

туре ниже области существования фазы A, мог бы

связанными с кристаллической решеткой, сохраним

подтвердить или опровергнуть этот результат.

обозначения e_x, e_y и e_z.

Тензор M любой магнитной структуры обладает

5.2. Геликоидальная фаза

точечной симметрией этой структуры и, в частно-

При нулевом поле ξ = 1 и в зависимости от знака

сти, для гексагональной фазы A с осью 6, направ-

α геликоидам выгодно упорядочиваться либо вдоль

ленной вдоль e₃, сохранятся три независимых ком-

трех направлений 〈100〉 (α < 0), либо вдоль четы-

поненты:

рех направлений 〈111〉 (α > 0). Первый случай соот-

ветствует Cu₂OSeO₃, второй — MnSi. При этом, как

M₁₁₁₁ = M₂₂₂₂ = 3M₁₁₂₂, M₁₁₃₃ = M₂₂₃₃, M₃₃₃₃.

666

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

〈111〉 при α > 0, 〈100〉 при α < 0. Однако для устой-

чивости фазы A важнее разница между ее энерги-

ей анизотропии и энергией анизотропии конической

фазы при одном и том же направлении магнитного

поля:

〈E_a,A〉 - 〈E_a,c〉 =

(ξ_A - ξ_c)[3 - 5(n4x + n4y + n4z)]. (47)

На рис. 7 эта разница показана для фазы A с

k₀ = 0.978 и конической фазы с k = 1 (коэффици-

ент α положен равным +1). Видно, что кубическая

анизотропия способствует устойчивости фазы A с

осью n, направленной вдоль 〈111〉 при положитель-

ном значении α и вдоль 〈100〉 при отрицательном.

Необходимо отметить, что величины энергии анизо-

тропии недостаточно для того, чтобы сделать фазу

Рис. 7. (В цвете онлайн) Разность 〈Ea,A〉 - 〈Ea,c〉 энер-

A энергетически выгоднее конической фазы.

гий анизотропии фазы A с k0 = 0.978 и конической фазы

Заметим, что рассмотренный анизотропный эф-

с k = 1 в зависимости от направления n и величины h

фект ограничивается зависимостью энергии фазы

магнитного поля. Коэффициент α = +1. В области суще-

A от направления n магнитного поля и параллель-

ствования фазы A (правая часть диаграммы) анизотро-

ных ему ядер скирмионов и не затрагивает азиму-

пия делает фазу A более устойчивой при n ∥ [111] и менее

тальной ориентации треугольной решетки скирмио-

устойчивой при n ∥ [100] (наоборот при отрицательном

нов [60]. Для описания азимутального упорядоче-

значении α)

ния, выходящего за рамки данной статьи, нужно

учесть анизотропные поправки (39) к энергии, име-

ющие следующий порядок малости по α. Здесь, в

Из условия унимодулярности следует равенство

〈μ⁴〉 = 1, дающее дополнительную связь между эти-

частности, существенную роль будут играть иска-

ми компонентами:

жения скирмионной решетки.

8M₁₁₁₁/3 + 4M₁₁₃₃ + M₃₃₃₃ = 1.

(44)

6. ВЫВОДЫ

Средняя величина четвертой степени проекции μ на

произвольное направление d (d = 1) выражается че-

Для описания магнитной структуры кубических

рез тензор M следующим образом:

хиральных ферромагнетиков в рамках феноменоло-

гического подхода было использовано приближение

〈(μ · d)⁴〉 = M_αβγδd_αd_β d_γ d_δ.

(45)

|M(r)| = const, хорошо применимое при температу-

рах значительно ниже точки перехода из парамаг-

В случае гексагональной симметрии эта величина

нитной в упорядоченную фазу. В данном прибли-

зависит только от проекции направления d на ось 6

жении энергия Ландау—Лифшица содержит в ка-

(d · n ≡ d₃):

честве единственного параметра величину внешнего

магнитного поля h = H/Hc2, причем все нетриви-

〈(μ · d)⁴〉 = M₁₁₁₁(1 - d²³)² +

альные магнитные фазы — геликоидальная, кони-

+ 6M₁₁₃₃d²³(1 - d²³) + M₃₃₃₃d⁴³.

(46)

ческая, фаза A — заключены в диапазоне 0 ≤ h < 1.

В рамках данной модели показано, что гели-

Подставляя в качестве d направления кристалличе-

коидальная фаза в слабом магнитном поле хоро-

ских осей e_x, e_y, e_z и суммируя, получим среднюю

шо описывается коническо-эллиптическими спира-

плотность энергии анизотропии фазы A вида (40) с

лями. При этом вид тензора магнитной восприим-

ξ_A = 8M₁₁₁₁/3 + 16M₁₁₃₃.

чивости согласуется как с экспериментальными дан-

В отличие от случая конической фазы, комбина-

ными [54-56], так и с результатами, полученными с

ция (8 - 5ξ_A) не меняет знака во всей области суще-

помощью других теоретических подходов [56, 57].

ствования фазы A, поэтому энергетически наиболее

Проведено моделирование фазы A в зависимости

выгодным всегда является одно направление оси n:

от величины магнитного поля и волнового числа k₀

667

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

главных спиралей. Результаты вычислений показа-

вания фазы. Так, при α > 0 фаза A становится

ли, что фаза A энергетически наиболее выгодна при

устойчивее, если поле приложено вдоль направле-

H ≈ 0.41Hc2; при этом число k₀ составляет 97.8% от

ний 〈111〉, при α < 0 — если вдоль 〈100〉. Некоторые

волнового числа спиралей конической фазы.

экспериментальные наблюдения показывают пря-

Тем не менее в рамках заданного приближения

мо противоположную картину. Так, в кристалле

энергия фазы A не опускается ниже энергии кони-

MnSi фаза A существует в более широкой области

ческой фазы при том же значении поля. Наиболее

температур, если поле приложено вдоль направ-

вероятное объяснение того, почему фаза A оказы-

лений 〈100〉 [61, 62], а в Cu₂OSeO3 — если поле

вается все же выгоднее конической при некоторых

параллельно 〈111〉 [40]. Это несоответствие может

условиях, заключается в том, что в области суще-

служить доводом в пользу иной микроскопической

ствования фазы A — вблизи точки Кюри T_C — усло-

причины возникновения кубической анизотропии

вие |M(r)| = const выполняется лишь приближен-

в этих кристаллах. Такой причиной, например,

но из-за тепловых флуктуаций магнитного порядка,

может быть взаимодействие Дзялошинского - Мо-

сильных вблизи температуры перехода. В этом слу-

рия между спинами, упорядоченными в решетку с

чае вместо унимодулярного поля μ(r) (μ = 1) необ-

кубической симметрией. В этом случае в энергии

ходимо использовать поле, близкое к унимодулярно-

Ландау - Лифшица должны появиться анизотроп-

му (μ ≲ 1), и ввести в энергию Ландау - Лифшица

ные члены с пространственными производными от

дополнительный член f(μ). В работе [30] приводят-

намагниченности.

ся аргументы в пользу того, что этот член должен

иметь вид f(μ) ∼

^√1 - μ.

Благодарности. Автор выражает благодар-

Взаимодействие спинов с локальным кристал-

ность В. Е. Дмитриенко за плодотворные обсужде-

лическим полем рассмотрено в качестве причины

ния и высказанные критические замечания.

возникновения кубической анизотропии магнитных

Финансирование. Работа выполнена при под-

свойств исследуемых кристаллов. В этом случае

держке Министерства науки и высшего образования

энергия Ландау - Лифшица должна быть дополне-

РФ в рамках Государственного задания Федераль-

на анизотропным членом α(μ4x + μ4y + μ4z). Знак α

ного научно-исследовательского центра «Кристал-

определяется кристаллографическими направлени-

лография и фотоника» Российской академии наук.

ями, вдоль которых выстраиваются спирали в гели-

коидальной фазе: α > 0 соответствует направлени-

ПРИЛОЖЕНИЕ

ям 〈111〉, α < 0 — направлениям 〈100〉. Абсолютную

величину α можно оценить по критическому полю

Определим параметры θ, λ и m коническо-эллип-

Hc1, разграничивающему геликоидальную и кони-

тической спирали из разд. 3.2, необходимые для вы-

ческую фазы: |α| ≈ (D²/J )(Hc1/Hc2)².

числения энергии и магнитной восприимчивости ге-

Для конической фазы, так же как и для гели-

ликоидальной фазы.

коидальной, существуют кристаллографические на-

Подставляя (17) в выражение (9) для плотности

правления, вдоль которых энергетически более вы-

энергии получим при θ = const

годно выстраивание спиралей. Эти направления не

(

)

постоянны и зависят от величины магнитного по-

dϕ

1 dϕ

E = sin2 θ

-1

- h∥ cosθ-

ля. Действительно, энергия анизотропии кониче-

2 dz

ской спирали имеет вид αF (h)[n4x + n4y + n4z], где

- h⊥ sinθcosϕ.

(48)

n — направление оси спирали, а функция F(h) два-

Уравнение Эйлера - Лагранжа

жды меняет знак на отрезке 0 ≤ h < 1. Это при-

водит к тому, что, например, при α > 0 оси лег-

d²ϕ

h_⊥

sinϕ

(49)

кого намагничивания меняются сначала от 〈111〉 к

dz²

sinθ

〈100〉 при H = 0.340Hc2, а затем обратно к 〈111〉 при

совпадает с уравнением движения математического

H = 0.861Hc2. Данный вывод можно проверить, на-

маятника с первым интегралом

пример, проведя магнитный эксперимент с торсион-

⁽ dϕ)2

2h_⊥

ными весами.

(a - cos ϕ).

(50)

sinθ

Показано, что кубическая анизотропия влияет

на устойчивость фазы A в зависимости от на-

Подставляя в (50) решение (18), находим

правления магнитного поля, однако одного этого

h_⊥

эффекта недостаточно для объяснения существо-

- 1, λ² =

(51)

m sinθ

668

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Анизотропия магнитных фаз кубических гелимагнетиков

Подставляя (50), (51) в (48) и усредняя по z, полу-

A. Bogdanov and A. Hubert, J. Magn. Magn. Mater.

чаем

138, 255 (1994).

U. K. Rößler, A. N. Bogdanov, and C. Pfleiderer,

〈E〉 = -k sin² θ - h_∥ cos θ -

Nature 442, 797 (2006).

- h⊥ sinθ(2/m - 1 - 2〈cosϕ〉),

(52)

С. М. Стишов, А. Е. Петрова, УФН 181, 1157

где введено обозначение k = 〈dϕ/dz〉 = 2π/p, p — пе-

(2011) [S. M. Stishov and A. E. Petrova, Phys. Usp.

риод спирали. Учитывая, что p = 2K(m)/λ (K(m) —

54, 1117 (2011)].

полупериод функций Якоби), получим из (51) урав-

А. Б. Борисов, УФН 190, 291 (2020) [A. B. Borisov,

нение для параметра m эллиптических функций:

Phys. Usp. 63, 269 (2020)].

π²h_⊥

10.

S. Tewari, D. Belitz, and T. R. Kirkpatrick, Phys.

mK²(m) =

(53)

k² sinθ

Rev. Lett. 96, 047207 (2006).

При малых полях m ∼ h_⊥ и с учетом разложения

11.

B. Binz, A. Vishwanath, and V. Aji, Phys. Rev. Lett.

(

)

96, 207202 (2006).

9m²

K(m) ≈

12.

A. Hamann, D. Lamago, Th. Wolf et al., Phys. Rev.

Lett. 107, 037207 (2011).

решение (53) принимает вид

13.

А. П. Пятаков, А. К. Звездин, УФН 182, 593 (2012)

5ω³

4h_⊥

[A. P. Pyatakov and A. K. Zvezdin, Phys. Usp. 55,

m≈ω-

ω=

(54)

k² sinθ

557 (2012)].

∫

14.

M. Mostovoy, Phys. Rev. Lett. 96, 067601 (2006).

〈cos ϕ〉 =

sn²(x; m)dx - 1 ≈

(55)

15.

А. П. Пятаков, А. С. Сергеев, Е. П. Николае-

ва и др., УФН 185, 1077 (2015) [A. P. Pyatakov,

Подставляя (54), (55) в (52) и сохраняя члены до

A. S. Sergeev, E. P. Nikolaeva et al., Phys. Usp. 58,

второго порядка малости по h включительно, име-

981 (2015)].

ем

16.

N. Kanazawa, Y. Onose, T. Arima et al., Phys. Rev.

(

)

h2⊥

Lett. 106, 156603 (2011).

〈E〉 = sin² θ

-k

- h∥ cosθ -

(56)

17.

Y. Ishikawa, K. Tajima, D. Bloch, and M. Roth, Sol.

Минимизируя по k и θ, получаем k = 1 и cos θ = h_∥

St. Comm. 19, 525 (1976).

и окончательно имеем

18.

K. Motoya, H. Yasuoka, Y. Nakarnura, and J. H. Wer-

h2∥

h2⊥

nick, Sol. St. Comm. 19, 529 (1976).

〈E〉 = -

(57)

19.

И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 32, 1547

(1957)

[I. E. Dzyaloshinsky, Sov. Phys. JETP

1259

(1957)].

ЛИТЕРАТУРА

20.

I. Dzyaloshinsky, Phys. Chem. Sol. 4, 241 (1958).

1. A. A. Kornyshev, D. J. Lee, S. Leikin, and A. Wyn-

veen, Rev. Mod. Phys. 79, 943 (2007).

21.

T. Moriya, Phys. Rev. Lett. 4, 228 (1960).

2. В. А. Беляков, В. Е. Дмитриенко, УФН 146, 369

22.

T. Moriya, Phys. Rev. 120, 91 (1960).

(1985) [V. A. Belyakov and V. E. Dmitrienko, Sov.

Phys. Usp. 28, 535 (1985)].

23.

J. M. Hopkinson and H.-Y. Kee, Phys. Rev. B 79,

014421 (2009).

3. D. C. Wright and N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys.

61, 385 (1989).

24.

J. P. Chen, Y. L. Xie, Z. B. Yan, and J.-M. Liu,

J. Appl. Phys. 117, 17C750 (2015).

4. А. Н. Богданов, Д. А. Яблонский, ЖЭТФ 95, 178

(1989) [A. N. Bogdanov and D. A. Yablonskii, Sov.

25.

G. P. Müller, F. N. Rybakov, H. Jónsson et al., Phys.

Phys. JETP 68, 101 (1989)].

Rev. B 101, 184405 (2020).

5. A. Bogdanov and A. Hubert, Phys. Stat. Sol. (b) 186,

26.

J. H. Yang, Z. L. Li, X. Z. Lu et al., Phys. Rev. Lett.

527 (1994).

109, 107203 (2012).

669

В. А. Чижиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

27.

O. Janson, I. Rousochatzakis, A. A. Tsirlin et al.,

45.

P. Bak and M. H. Jensen, J. Phys. C 13, L881 (1980).

Nature Comm. 5, 5376 (2014).

46.

O. Nakanishi, A. Yanase, A. Hasegawa, and M. Ka-

28.

V. E. Dmitrienko and V. A. Chizhikov, Phys. Rev.

taoka, Sol. St. Comm. 35, 995 (1980).

Lett. 108, 187203 (2012).

47.

M. Tanaka, H. Takayoshi, M. Ishida, and Ya. Endoh,

29.

V. A. Chizhikov and V. E. Dmitrienko, Phys. Rev.

J. Phys. Soc. Jpn 54, 2970 (1985).

B 85, 014421 (2012).

48.

M. Ishida, Ya. Endoh, S. Mitsuda et al., J. Phys. Soc.

30.

V. A. Chizhikov and V. E. Dmitrienko, Phys. Rev.

Jpn 54, 2975 (1985).

B 88, 214402 (2013).

49.

V. Dmitriev, D. Chernyshov, S. Grigoriev, and

31.

V. A. Chizhikov and V. E. Dmitrienko, J. Magn.

V. Dyadkin, J. Phys.: Condens. Matter 24, 366005

Magn. Mater. 382, 142 (2015).

(2012).

32.

V. A. Chizhikov and V. E. Dmitrienko, J. Phys.:

50.

S. V. Grigoriev, N. M. Potapova, S.-A. Siegfried et

Condens. Matter 29, 155601 (2017).

al., Phys. Rev. Lett. 110, 207201 (2013).

33.

F. J. dos Santos, M. dos Santos Dias, and S. Lounis,

51.

K. Shibata, X. Z. Yu, T. Hara et al., Nature Nano-

Phys. Rev. B 102, 104436 (2020).

tech. 8, 723 (2013).

34.

S. V. Grigoriev, S. V. Maleyev, A. I. Okorokov et al.,

52.

V. Dyadkin, K. Prsa, S. V. Grigoriev et al., Phys.

Phys. Rev. B 74, 214414 (2006).

Rev. B 89, 140409 (2014).

35.

S. Mühlbauer, B. Binz, F. Jonietz et al., Science 323,

53.

В. Е. Дмитриенко, В. А. Беляков, ЖЭТФ 78, 1568

915 (2009).

(1980) [V. E. Dmitrienko and V. A. Belyakov, Sov.

Phys. JETP 51 787 (1980)].

36.

W. Münzer, A. Neubauer, T. Adams et al., Phys. Rev.

B 81, 041203 (2010).

54.

В. Н. Нарожный, В. Н. Краснорусский, ЖЭТФ

143, 906 (2013) [V. N. Narozhnyi and V. N. Krasno-

37.

T. Adams, S. Mühlbauer, C. Pfleiderer et al., Phys.

russky, JETP 116, 785 (2013)].

Rev. Lett. 107, 217206 (2011).

55.

V. N. Narozhnyi and V. N. Krasnorussky, Phys. Rev.

38.

X. Z. Yu, N. Kanazawa, Y. Onose et al., Nature Mat.

B 91, 134403 (2015).

10, 106 (2011).

56.

A. Bauer, A. Chacon, M. Wagner et al., Phys. Rev.

39.

S. Seki, X. Z. Yu, S. Ishiwata, and Y. Tokura, Science

B 95, 024429 (2017).

336, 198 (2012).

57.

M. Janoschek, M. Garst, A. Bauer et al., Phys. Rev.

40.

T. Adams, A. Chacon, M. Wagner et al., Phys. Rev.

B 87, 134407 (2013).

Lett. 108, 237204 (2012).

58.

F. N. Rybakov, A. B. Borisov, S. Blügel, and

41.

S. Seki, J.-H. Kim, D. S. Inosov et al., Phys. Rev.

N. S. Kiselev, New J. Phys. 18, 045002 (2016).

B 85, 220406 (2012).

59.

P. Milde, L. Köhler, E. Neuber et al., Phys. Rev.

42.

U. K. Rößler, A. A. Leonov, and A. N. Bogdanov,

B 102, 024426 (2020).

J. Phys.: Conf. Ser. 303, 012105 (2011).

60.

T. Adams, M. Garst, A. Bauer et al., Phys. Rev. Lett.

43.

M. C. Ambrose and R. L. Stamps, New J. Phys. 15,

121, 187205 (2018).

053003 (2013).

61.

D. Lamago, R. Georgii, C. Pfleiderer, and P. Böni,

44.

D. B. Litvin, Magnetic Group Tables: 1-, 2-, and

Physica B 385-386, 385 (2006).

3-Dimensional Magnetic Subperiodic Groups and

Magnetic Space Groups, International Union of Crys-

62.

A. Bauer and C. Pfleiderer, Phys. Rev. B 85, 214418

tallography (2013).

(2012).

670